Вопрос 1. Одинаковые маленькие металлические шарики, несущие одноименные заряды 𝑞1 = 10 и 𝑞2 = 50 нКл, находятся на расстоянии 𝑟1 = 2 м друг от друга. Шарики привели в соприкосновение. На какое расстояние их нужно развести, чтобы сила взаимодействия осталась прежней? Дано. СИ. Решение. 𝑞1 = 10 нКл, 𝑞1 = 10 ∙ 10−9 Кл, После соприкосновения 𝑞2 = 50 нКл, 𝑞2 = 50 ∙ 10−9 нКл, заряд перераспределится 𝑟1 = 2 м. между двумя шариками: 𝑟1 = 2 м. суммарный поровну 𝑞′1 = 𝑞′2 = 𝑞; 𝑟2 −? здесь 𝑞′1 - заряд первого шарика после соприкосновения, 𝑞′2 - заряд второго шарика после соприкосновения, 𝑞 - заряд одного из двух шариков после соприкосновения, Сумма зарядов шариков до соприкосновения равна сумме зарядов шариков после соприкосновения: 𝑞1 + 𝑞2 = 2𝑞 Отсюда: 𝑞= 𝑞1 + 𝑞2 2 Сила Кулона до соприкосновения 𝐹= 𝑘 ∙ 𝑞1 ∙ 𝑞2 ; 𝑟12 здесь 𝑘 - коэффициент пропорциональности. Сила Кулона после соприкосновения и разведения на расстояние 𝑟2 : 𝑘∙𝑞∙𝑞 𝑘∙ ′ 𝐹 = = 𝑟22 𝑞1 + 𝑞2 𝑞1 + 𝑞2 ∙ 𝑘(𝑞1 + 𝑞2 )2 2 2 = 𝑟22 4𝑟22 Так как по условию 𝐹 = 𝐹 ′ , то: 𝑘 ∙ 𝑞1 ∙ 𝑞2 𝑘(𝑞1 + 𝑞2 )2 = 𝑟12 4𝑟22 𝑞1 ∙ 𝑞2 (𝑞1 + 𝑞2 )2 = 𝑟12 4𝑟22 Отсюда выразим расстояние 𝑟2 : 𝑟12 (𝑞1 + 𝑞2 )2 𝑟1 (𝑞1 + 𝑞2 ) 𝑟2 = √ = 4 ∙ 𝑞1 ∙ 𝑞2 2√𝑞1 ∙ 𝑞2 Проверим размерность и вычислим: 𝑟2 = 𝑟2 = Ответ: 𝑟2 = 2,7 м. м ∙ (Кл + Кл) 2 ∙ √Кл ∙ Кл = Кл 2 ∙ (10 ∙ 10−9 + 50 ∙ 10−9 ) 2 ∙ √10 ∙ 10−9 ∙ 50 ∙ 10−9 = 2,7 м Вопрос 2. В трех вершинах квадрата находятся заряды 𝑄1 , 𝑄2 и 𝑄3 . Электрические заряды 𝑄1 и 𝑄2 , находящиеся в соседних вершинах, закреплены (𝑄1 = 𝑄2 = −7 мкКл). Заряд 𝑄3 = 5 нКл, отталкиваясь от 𝑄1 и 𝑄2 , удаляется на бесконечность. Определите работу сил электрического поля при этом перемещении. Сторона квадрата 𝑎 = 0,4 м. Дано. СИ. 𝑄1 = 𝑄2 = −7 мкКл, 𝑄1 = 𝑄2 = −7 ∙ 10−6 Кл, 𝑄3 = 5 нКл, 𝑄3 = 5 ∙ 10−9 Кл, 𝑎 = 0,4 м, 𝑎 = 0,4 м, 1 Н ∙ м2 9 = 9 ∙ 10 4𝜋𝜀0 Кл2 1 4𝜋𝜀0 = 9 ∙ 109 Н∙м2 Кл2 . Решение. 1 Н ∙ м2 9 = 9 ∙ 10 4𝜋𝜀0 Кл2 𝐴−? Работа электрического поля между зарядами 1 и 3 по перемещению заряда в бесконечность: 𝐴13 = 1 𝑄1 ∙ 𝑄3 𝑄1 ∙ 𝑄3 1 𝑄1 ∙ 𝑄3 − ( )= 4𝜋𝜀0 𝑎 ∞ 4𝜋𝜀0 𝑎 Работа электрического поля между зарядами 2 и 3 по перемещению заряда в бесконечность: 𝐴23 = 1 𝑄2 ∙ 𝑄3 𝑄2 ∙ 𝑄3 1 𝑄2 ∙ 𝑄3 − ( )= 4𝜋𝜀0 √2𝑎 ∞ 4𝜋𝜀0 √2𝑎 Работа сил электрического поля при перемещении: 𝐴 = 𝐴13 + 𝐴23 = 1 𝑄1 ∙ 𝑄3 1 𝑄2 ∙ 𝑄3 + 4𝜋𝜀0 𝑎 4𝜋𝜀0 √2𝑎 Проверим размерность и вычислим: Н ∙ м2 Кл ∙ Кл Н ∙ м2 Кл ∙ Кл 𝐴= + = Н ∙ м = Дж Кл2 м Кл2 м −7 ∙ 10−6 ∙ 5 ∙ 10−9 −7 ∙ 10−6 ∙ 5 ∙ 10−9 9 𝐴 = 9 ∙ 10 ∙ + 9 ∙ 10 ∙ = 0,0013 Дж = 0,4 √2 ∙ 0,4 9 = 1,3 мДж Ответ: 𝐴 = 1,3 мДж. Вопрос 3. Обкладки плоского конденсатора плотно прилегают к диэлектрику с диэлектрической проницаемостью 𝜀 = 3 и толщиной 5 мм. Найти объемную плотность энергии электрического поля, если к обкладкам приложено напряжение 𝑈 = 350 В. Дано. СИ. Решение. 𝜀 = 3, 𝜀 = 3, Плотность 𝑑 = 5 мм, 𝑑 = 0,005 м, численно равна отношению 𝑈 = 350 В. 𝑈 = 350 В. энергии поля, заключенного в объеме к этому энергии электрического поля, потенциальной объему: 𝜔−? 𝜔= 𝑊 , 𝑉 (1) здесь 𝑊 – энергия поля, Дж, 𝑉 – объем пространства между обкладками конденсатора, м3. Энергия электрического поля между обкладками конденсатора находится как: 𝐶𝑈 2 𝑊= , 2 (2) здесь 𝐶 – емкость конденсатора, Ф. Емкость конденсатора находится как: 𝐶= 𝜀0 𝜀𝑆 , 𝑑 (3) здесь 𝜀0 = 8,85 ∙ 10−12 Ф⁄м - электрическая постоянная, 𝑆 - площадь обкладки конденсатора, м2. Объем объем пространства между обкладками конденсатора находим как: 𝑉 =𝑆∙𝑑 (4) Подставим (2) и (4) в (1): 𝐶𝑈 2 𝐶 ∙ 𝑈2 2 𝜔= = 𝑆∙𝑑 2∙𝑆∙𝑑 Подставим (3) в (5): (5) 𝜀0 𝜀𝑆 2 ∙𝑈 𝜀0 ∙ 𝜀 ∙ 𝑆 ∙ 𝑈 2 𝜀0 ∙ 𝜀 ∙ 𝑈 2 𝑑 𝜔= = = 2∙𝑆∙𝑑 2 ∙ 𝑆 ∙ 𝑑2 2 ∙ 𝑑2 Проверим размерность и вычислим: Кл 2 ∙В Ф⁄м ∙ В2 Ф ∙ В2 Кл ∙ В Дж В 𝜔= = = = = 3 м2 м3 м3 м3 м 8,85 ∙ 10−12 ∙ 3 ∙ 3502 Дж мДж −3 𝜔= = 65 ∙ 10 = 65 2 ∙ 0,0052 м3 м3 Ответ: 𝜔 = 65 мДж м3 . Вопрос 4. В цепи на рисунке ЭДС каждого из источников 𝜀 = 9 В, 𝑅1 = 𝑅2 = = 1 Ом, 𝑅3 = 6 Ом. Внутренние сопротивления источников одинаковы 𝑟1 = 𝑟2 = 0,1 Ом. Определите ток, текущий через резистор 𝑅3 . Дано. СИ. Решение. 𝜀 = 9 В, 𝜀 = 9 В, 𝑅1 = 𝑅2 = 1 Ом, 𝑅1 = 𝑅2 = 1 Ом, 𝑅3 = 6 Ом, 𝑅3 = 6 Ом, 𝑟1 = 𝑟2 = 0,1 Ом 𝑟1 = 𝑟2 = 0,1 Ом 𝐼3 −? Найдем эквивалентное сопротивление трех резисторов 𝑅1 , 𝑅2 и 𝑅3 , соединенных параллельно: 𝑅= 𝑅1 ∙ 𝑅2 ∙ 𝑅3 𝑅1 ∙ 𝑅2 + 𝑅1 ∙ 𝑅3 + 𝑅2 ∙ 𝑅3 Ток через источники ЭДС найдем по закону Ома: 𝐼= 𝜀+𝜀 = 𝑅 + 𝑟1 + 𝑟2 2𝜀 𝑅1 ∙ 𝑅2 ∙ 𝑅3 + 𝑟1 + 𝑟2 𝑅1 ∙ 𝑅2 + 𝑅1 ∙ 𝑅3 + 𝑅2 ∙ 𝑅3 Напряжение на резисторе 𝑅3 найдем по второму закону Кирхгофа: 𝑈3 = 𝜀 + 𝜀 − 𝐼(𝑟1 + 𝑟2 ) = 2𝜀 − = 2𝜀 − 2𝜀 ∙ (𝑟1 + 𝑟2 ) 𝑅1 ∙ 𝑅2 ∙ 𝑅3 + 𝑟1 + 𝑟2 𝑅1 ∙ 𝑅2 + 𝑅1 ∙ 𝑅3 + 𝑅2 ∙ 𝑅3 2𝜀(𝑟1 + 𝑟2 ) 𝑅1 ∙ 𝑅2 ∙ 𝑅3 + 𝑟1 + 𝑟2 𝑅1 ∙ 𝑅2 + 𝑅1 ∙ 𝑅3 + 𝑅2 ∙ 𝑅3 По закону Ома найдем ток в сопротивлении 𝑅3 : 2𝜀 − 𝐼3 = 𝑈3 = 𝑅3 = 2𝜀(𝑟1 + 𝑟2 ) 𝑅1 ∙ 𝑅2 ∙ 𝑅3 + 𝑟1 + 𝑟2 𝑅1 ∙ 𝑅2 + 𝑅1 ∙ 𝑅3 + 𝑅2 ∙ 𝑅3 = 𝑅3 2𝜀 − 𝑅3 2𝜀(𝑟1 + 𝑟2 ) 𝑅1 ∙ 𝑅2 ∙ 𝑅3 2 + (𝑟1 + 𝑟2 )𝑅3 𝑅1 ∙ 𝑅2 + 𝑅1 ∙ 𝑅3 + 𝑅2 ∙ 𝑅3 Проверим размерность и вычислим: В ∙ Ом В = =А Ом ∙ Ом ∙ Ом2 Ом + Ом ∙ Ом Ом ∙ Ом + Ом ∙ Ом + Ом ∙ Ом 2∙9 2 ∙ 9 ∙ (0,1 + 0,1) 𝐼3 = − = 2,1 А 1 ∙ 1 ∙ 62 6 + (0,1 + 0,1) ∙ 6 1∙1+1∙6+1∙6 𝐼3 = В − Ом Ответ: 𝐼𝑅3 = 2,1 А. Вопрос 5. Два сопротивления последовательно. На обоих и 𝑅1 = 2 Ом сопротивлениях 𝑅2 = 4 Ом выделилось соединены 𝑄 = 500 Дж теплоты. Какое количество теплоты выделилось за это время на первом сопротивлении? Дано. СИ. Решение. 𝑅1 = 2 Ом, 𝑅1 = 2 Ом, Закон Джоуля-Ленца для двух сопротивлений: 𝑅2 = 4 Ом, 𝑅2 = 4 Ом, 𝑄 = 𝐼 2 ∙ (𝑅1 + 𝑅2 ) ∙ 𝑡, (1) 𝑄 = 500 Дж. 𝑄 = 500 Дж. здесь 𝐼 – ток в цепи, А, который одинаков для 𝑄1 −? обоих сопротивлений так как они соединены последовательно, 𝑡 – время, с, за которое на обоих сопротивлениях выделилась теплота 𝑄 = 500 Дж, а на первом сопротивлении выделилась теплота 𝑄1 , Дж. Выразим из (1) 𝑡: 𝑡= 𝑄 𝐼 2 ∙ (𝑅1 + 𝑅2 ) (2) Закон Джоуля-Ленца для первого сопротивления: 𝑄1 = 𝐼 2 ∙ 𝑅1 ∙ 𝑡 (3) Выразим из (3) 𝑡: 𝑡= 𝑄1 𝐼 2 ∙ 𝑅1 Приравняем выражения (2) и (4): 𝑡= 𝑄 𝑄1 = 𝐼 2 ∙ (𝑅1 + 𝑅2 ) 𝐼 2 ∙ 𝑅1 𝑄 𝑄1 = , 𝑅1 + 𝑅2 𝑅1 Откуда выразим 𝑄1 : 𝑄1 = 𝑄 ∙ 𝑅1 𝑅1 + 𝑅2 Проверим размерность и вычислим: 𝑄1 = Дж ∙ Ом = Дж Ом (4) 𝑄1 = Ответ: 𝑄1 = 167 Дж. 500 ∙ 2 = 167 Дж 2+4 Вопрос 6. Индукция магнитного поля в центре проволочного кольца с радиусом 𝑅 = 2 см, по которому течет ток, 𝐵 = 700 мкТл. Найти разность потенциалов на концах кольца, если его сопротивление 𝑟 = 6 Ом. Ответ укажите с точностью до целых. Дано. СИ. Решение. 𝑅 = 2 см, 𝑅 = 0,02 м, По закону Ома разность потенциалов 𝐵 = 700 мкТл, 𝐵 = 700 ∙ 10−6 Тл, 𝑟 = 6 Ом. на концах кольца: 𝑈 = 𝐼 ∙ 𝑟, 𝑟 = 6 Ом. (1) здесь 𝐼 – ток, текущий по кольцу, А. 𝑈−? Выражение магнитной индукции в центре кольца: 𝐵= 𝜇0 𝐼 , 2𝑅 здесь 𝜇0 = 1,26 ∙ 10−6 Гн⁄м - магнитная постоянная. Выразим из последнего выражения ток: 𝐼= 𝐵2𝑅 𝜇0 Подставим полученное выражение тока в (1): 𝑈= 𝐵2𝑅 𝐵2𝑅𝑟 ∙𝑟 = 𝜇0 𝜇0 Проверим размерность и вычислим: Н 2 Тл ∙ м ∙ Ом Тл ∙ м2 ∙ Ом А ∙ м ∙ м ∙ Ом Н ∙ м ∙ Ом Н ∙ м ∙ Ом 𝑈= = = = = = В∙с Гн⁄м Гн Гн А ∙ Гн А∙ А Н ∙ м ∙ Ом Дж ∙ Ом Дж Дж = = = = =В В∙с В∙с А ∙ с Кл 700 ∙ 10−6 ∙ 2 ∙ 0,02 ∙ 6 𝑈= = 133 В 1,26 ∙ 10−6 Ответ: 𝑈 = 133 В. Вопрос 7. Внутри длинного соленоида под углом 𝛼 = 30° его оси расположен проводник с током 𝐼1 = 0,2 А длиной 𝑙 = 3 см. По виткам соленоида течет ток 𝐼2 = 6 А, плотность намотки витков соленоида 𝑛 = 4000 м−1 . Определить величину силы, действующей на проводник со стороны магнитного поля соленоида. Дано. СИ. Решение. 𝛼 = 30°, 𝛼 = 30°, Сила 𝐼1 = 0,2 А, 𝐼1 = 0,2 А, прямолинейный проводник длиной 𝑙 с 𝑙 = 3 см, 𝑙 = 0,03 м, током 𝐼2 = 6 А, 𝐼2 = 6 А, магнитное поле: 𝑛 = 4000 м−1 . 𝑛 = 4000 м−1 . ампера, 𝐼1 , действующая помещенный в на однородное 𝐹 = 𝐼1 ∙ 𝐵 ∙ 𝑙 ∙ sin 𝛼 , (1) здесь 𝐵 – магнитная индукция, Тл. 𝐹−? Выражение магнитной индукции внутри соленоида: 𝐵 = 𝜇𝜇0 𝑛𝐼2 , здесь 𝜇 = 1 – относительная магнитная проницаемость. (Так как среда не указана в условии задачи, принимаем значение 𝜇 для вакуума). 𝜇0 = 4𝜋 ∙ 10−7 Гн⁄м - магнитная постоянная. Подставим последнее выражение магнитной индукции в (1): 𝐹 = 𝐼1 ∙ 𝜇𝜇0 𝑛𝐼2 ∙ 𝑙 ∙ sin 𝛼 Проверим размерность и вычислим: Гн −1 А2 ∙ Гн В ∙ с А ∙ В ∙ с Вт ∙ с Дж 𝐹 =А∙ ∙м ∙А∙м= = А2 ∙ = = = =Н м м А∙м м м м 𝐹 = 0,2 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 𝜋 ∙ 10−7 ∙ 4000 ∙ 6 ∙ 0,03 ∙ sin 30° = 90 ∙ 10−6 Н = 90 мкН Ответ: 𝐹 = 90 мкН. Вопрос 8. Протон, двигающийся со скоростью 𝑣 = 0,4 ∙ 106 м/с, попадает в область, в которой существует одновременно однородное электрическое и однородное магнитное поля противоположного направления (см. рисунок) Напряженность электрического поля 𝐸 = 9 кВ⁄м, индукция магнитного поля 𝐵 = 9 мТл. Вектор скорости протона перпендикулярен векторам 𝐸 и 𝐵. Определите величину и направление ускорения протона в начальный момент времени. Дано. СИ. Решение. 𝑣 = 0,4 ∙ 106 м⁄с, 𝑣 = 0,4 ∙ 106 м⁄с, 𝐸 = 9 кВ⁄м, 𝐸 = 9 ∙ 103 В⁄м, 𝐵 = 9 мТл, 𝐵 = 9 ∙ 10−3 Тл. 𝑣̅ ⊥ 𝐸̅ ⊥ 𝐵̅. 𝑎−? Суммарная сила, действующая на протон: 𝐹 = 𝑚𝑎, здесь 𝑚 = 1,67 ∙ 10−27 кг – масса протона. Отсюда ускорение протона: 𝑎= 𝐹 𝑚 Сила электрического поля: 𝐹э = 𝑞 ∙ 𝐸, где 𝑞 = 16 ∙ 10−19 Кл - заряд протона. Сила магнитного поля: 𝐹м = 𝑞 ∙ 𝑣 ∙ 𝐵. Результирующий вектор силы: 𝐹 = √𝐹э 2 + 𝐹м 2 = √(𝑞 ∙ 𝐸)2 + (𝑞 ∙ 𝑣 ∙ 𝐵)2 Подставим результирующую силу в (1): √(𝑞 ∙ 𝐸)2 + (𝑞 ∙ 𝑣 ∙ 𝐵)2 𝑎= 𝑚 (1) Проверим размерность и вычислим: 𝑎= √(Кл ∙ В⁄м)2 + (Кл ∙ м⁄с ∙ кг Тл)2 2 √(Кл ∙ В⁄м)2 + (Кл ∙ м⁄с ∙ Н ) А∙м = = кг 2 2 √(Кл ∙ В⁄м)2 + (Кл ∙ Н ) √(А ∙ с ∙ В⁄м)2 + (А ∙ с ∙ Н ) А∙с А∙с = = кг кг 2 √(Дж) + Н2 √Н2 + Н2 Н кг ∙ м м м = = = = 2 = 2 кг кг кг с ∙ кг с √(16 ∙ 10−19 ∙ 9 ∙ 103 )2 + (16 ∙ 10−19 ∙ 0,4 ∙ 106 ∙ 9 ∙ 10−3 )2 𝐹= = 1,67 ∙ 10−27 м = 9,28 ∙ 1011 2 с Ответ: 𝐹 = 9,28 ∙ 1011 м с2 . Вопрос 9. На катушке с сопротивлением 𝑅 = 6 Ом и индуктивностью 𝐿 = 60 мГн поддерживается постоянное напряжение 𝑈 = 70 В. Сколько энергии выделится при размыкании цепи катушки? Дано. СИ. Решение. 𝑅 = 6 Ом, 𝑅 = 6 Ом, По закону Ома, сила тока на катушке, А 𝐿 = 60 мГн, 𝐿 = 60 ∙ при постоянном напряжении равна: 𝑈 = 70 В. 10−3 Гн, 𝑊−? 𝑈 = 70 В. 𝐼= 𝑈 𝑅 Энергия магнитного поля при размыкании катушке находим как: 0 𝐿𝐼 2 𝑊 = − ∫ 𝐿𝐼𝑑𝐼 = , 2 𝐼 Подставим в последнее выражение (1): 𝑈 2 𝐿( ) 𝐿𝑈 2 𝑅 𝑊= = 2 2𝑅2 Проверим размерность и вычислим: Гн ∙ В2 Ом ∙ с ∙ В2 с ∙ В2 𝑊= = = = с ∙ В ∙ А = Кл ∙ В = Дж Ом2 Ом2 Ом 60 ∙ 10−3 ∙ 702 𝑊= = 4,1 Дж 2 ∙ 62 Ответ: 𝑊 = 4,1 Дж. (1) Вопрос 10. Резистор 𝑅 и индуктивность 𝐿 соединены параллельно и включены в цепь переменного тока с эффективным напряжением 𝑈 = 150 В и частотой 𝜈 = 50 Гц. Найти сопротивление 𝑅 и индуктивность 𝐿, если известно, что мощность 𝑃, поглощаемая в этой цепи, равна 100 Вт. Сдвиг фаз между током и ЭДС источника равен 45°. Дано. СИ. 𝑈 = 150 В, 𝑈 = 150 В, 𝜈 = 50 Гц, 𝜈 = 50 Гц, 𝑃 = 100 Вт, 𝑃 = 100 Вт, 𝜑 = 45°. 𝜑 = 45°. 𝑅−? Решение. Так как сопротивление и катушка соединены параллельно, то напряжения на сопротивлении 𝐿−? и катушке равны напряжению цепи: 𝑈𝑅 = 𝑈𝐿 = 𝑈, здесь 𝑈𝑅 - напряжение на сопротивлении, В, 𝑈𝐿 – напряжение на катушке, В Мощность, выделяемая на сопротивлении: 𝑃 = 𝐼𝑅 2 ∙ 𝑅, здесь 𝐼𝑅 – ток в сопротивлении. По закону Ома: 𝐼𝑅 = 𝑈𝑅 𝑈 = 𝑅 𝑅 Подставим выражение тока в сопротивлении в (1): 𝑈 2 𝑈2 𝑃 =( ) ∙𝑅 = , 𝑅 𝑅 Откуда выразим 𝑅: 𝑈2 𝑅= 𝑃 Проверим размерность и вычислим: В2 В2 В 𝑅= = = = Ом Вт В ∙ А А (1) 1502 𝑅= = 225 Ом 100 Тангенс угла сдвига между током и напряжением равен отношению тока в сопротивлении к току в катушке и сопротивления к индуктивному сопротивлению: 𝑡𝑔 𝜑 = 𝐼𝑅 𝑅 = , 𝐼𝐿 𝑋𝐿 здесь 𝐼𝑅 – ток в сопротивлении, 𝑋𝐿 - индуктивное сопротивление. Выразим из последнего выражения индуктивное сопротивление: 𝑋𝐿 = 𝑅 𝑡𝑔 𝜑 Находим индуктивность катушки как: 𝐿= 𝑋𝐿 𝑅 = , 𝜔 𝜔 ∙ 𝑡𝑔 𝜑 здесь 𝜔 = 2𝜋𝜈 - угловая частота переменного тока, Тогда 𝐿= 𝑅 2𝜋𝜈 ∙ 𝑡𝑔 𝜑 Проверим размерность и вычислим: 𝐿= 𝐿= Ом = Ом ∙ с = Гн Гц 225 = 0,716 мГн = 716 мГн 2 ∙ 𝜋 ∙ 50 ∙ 𝑡𝑔 45° Ответ: 𝑅 = 225 Ом, 𝐿 = 716 мГн.
