Системой линейных алгебраических уравнений

Алгебра 10 класс угл. новые ФОП
ТЕМА: «РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ»
Урок 1-2
Цель: Рассмотреть различные способы решения систем линейных уравнений. Ввести
понятие матрицы и определителя. Формировать умение решать системы уравнений
различными способами.
Ход урока
I.
Орг. момент.
II.
Повторение
№1. Решить систему уравнений
Какой способ применить к решению данной системы наиболее рационально?
Способ сложения
2 x  3 y  5
3x  33
 x  11
 x  11
 x  11





x

3
y

38
x

3
y

38
11

3
y

38
3
y


27




 y  9
Ответ: (11;-9)
№2. Решить систему уравнений
Какой способ применить к решению данной системы наиболее рационально?
Способ подстановки
3x  y  7
 y  7  3x
 y  7  3x
 y  7  3x








5 x  2 y  3
5 x  2 y  3
5 x  2(7  3x)  3
11x  14  3
 y  7  3x
y  7 3
y  4



x

1

11
x


11


x  1
Ответ: (1;4)
Можно решать системы и графическим способом
III. Объяснение новой темы (лекция).
Дадим общее понятие системы линейных уравнений с любым количеством
уравнений:
Определение: Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется
объединение n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных:
Отметим, что не всегда количество неизвестных будет совпадать с количеством
уравнений в системе, но системы такого уровня рассматриваются в высшей школе. Мы
ведем речь пойдёт о системах двух уравнений с двумя и тремя переменными.
Повторим уже известные нам алгоритмы:
Решение системы линейных уравнений методом
1
Алгебра 10 класс угл. новые ФОП
Метод подстановки знаком из курса школьной математики, его изучают в 7 классе.
Это самый лёгкий способ решения систем линейных уравнений. Его алгоритм
достаточно прост и заключается в следующем:
1. одна переменная из одного линейного уравнения выражается через другую
переменную;
2. выраженная переменная подставляется в другое уравнение системы;
3. полученное уравнение, содержащее только одну переменную, решается
относительно этой переменной;
4. значение переменной, полученное в пункте 3, подставляется в выражение для
другой (первой) переменной (см. пункт 1).
Для примера применим данный метод решения к следующей системе уравнений:
Ответ: (7;3)
Решение системы линейных уравнений методом почленного сложения
(вычитания) уравнений системы
Суть данного метода состоит в избавлении от одной из переменных в системе
уравнений, алгоритм метода достаточно простой:
1. все уравнения системы почленно умножаются на такое число, чтобы
коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами
(если коэффициенты при одной из переменных уже являются
противоположными числами, то сразу можно переходить к пункту 2);
2. правая и левая части каждого уравнения почленно складываются, получается
уравнение с одной переменной;
3. полученное уравнение решается относительно единственной переменной;
4. значение найденной переменной подставляется в одно из исходных уравнений
системы, далее определяется значение второй переменной.
В качестве примера решим систему уравнений:
Ответ: (4;3)
2
Алгебра 10 класс угл. новые ФОП
Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера
Чтобы решить систему линейных уравнений методом Крамера, нужно познакомиться с
понятием определителя.
Определение: Определителем системы называют запись чисел в квадратной таблице,
в соответствие которой ставится число по некоторому правилу.
Давайте познакомимся с этим правилом. Пусть даны четыре числа a, b, c, d. Пусть они
имеют следующее расположение в квадратной таблице:
a
c
b
d  ad  bc - значение определителя.
Определитель, составленный из коэффициентов при переменных в линейной системе
уравнений, называется главным определителем системы. Будем обозначать его Δ.
Например, у рассмотренной выше системы уравнений:
главный определитель будет иметь вид:
Найдём его значение:
Для решения системы линейных уравнений методом Крамера нам понадобятся ещё
два определителя, которые называются вспомогательными:
Отметим, что в данные определители уже входят правые части каждого уравнения
системы. Так, в определитель Δₓ первым столбцом записываем правые части
уравнений (так называемые свободные члены уравнений), второй столбец оставляем
таким же, как в главном определителе системы. В определитель Δу вторым столбцом
записываем правые части уравнений, а первый столбец оставляем таким же, как в
главном определителе системы.
Итак, формулы Крамера для решения системы двух линейных уравнений с двумя
переменными:
Отметим, что данный метод решения СЛАУ можно применять лишь в тех случаях,
когда Δ ≠ 0.
1)Если ∆ ≠ 0, то система имеет единственное решение.
2) Если ∆ = 0, ∆х = 0, ∆у = 0, система имеет бесконечное множество
решений
3) Если ∆=0, а ∆x²+∆y²+∆z²>0, то система не имеет решений
Убедимся в том, что данные формулы работают, подставив в них ранее найденные
значения определителей:
3
Алгебра 10 класс угл. новые ФОП
Пара чисел (4;3) действительно является решением данной системы уравнений.
Отметим, что определитель второго порядка имеет и геометрический смысл :
a
c
b
d  ad  bc - модуль значения определителя равен площади параллелограмма,

 

построенного на векторах с координатами a; b и c; d
Решение системы линейных уравнений методом Крамера.
Пусть дана система линейных уравнений:
Нужно:
1. Вычислить главный определитель системы
2. Вычислить вспомогательные определители
3. Применить формулы Крамера и найти решение системы:
IV.
Отработка умений решать системы линейных уравнений методом
Крамера
4
Алгебра 10 класс угл. новые ФОП
V.
Итоги урока.
Домашнее задание: решать системы уравнений методом Крамера
5
Алгебра 10 класс угл. новые ФОП
ТЕМА: «РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ»
Урок 3-4
Цель: Рассмотреть различные способы решения систем линейных уравнений. Ввести
понятие матрицы и определителя. Формировать умение решать системы уравнений
различными способами.
Ход урока
I.
Орг. момент.
II.
Повторение
Метод Крамера
Для системы линейных уравнений:
Нужно:
1. Вычислить главный определитель системы ∆
2. Вычислить вспомогательные определители ∆х и ∆у
3. Применить формулы Крамера и найти решение системы:
1)Если ∆ ≠ 0, то система имеет единственное решение.
2) Если ∆ = 0, ∆х = 0, ∆у = 0, система имеет бесконечное множество
решений
3) Если ∆=0, а ∆x²+∆y²+∆z²>0, то система не имеет решений
Решение системы из домашнего задания
x y
 2  3  2

 3x  y  6
 2
1
2

3
2
x 

1
3
1
1
3  1
1 1
   1          0 ;
2
2  3
2 2
1
 1
3  2   1  6      2  2  0
 3
1
2 
6
1
2
y 
3
2
∆ = 0,
2
6
1
3
  6   2  3  3  0
2
2
∆х = 0,
∆у = 0,
система имеет бесконечное множество решений!!!
6
Алгебра 10 класс угл. новые ФОП
Самостоятельная работа
I вариант
 – х  2 у   5;

 7 х  3 у   13;
III.
3 х  4 у  9;

2 х  5 у  6;
II вариант
5 х  2 у  6  0;

 7 х  5 у  4  0;
4 х  у  17;

3 х  5 у  7;
2 х  3 у  7;

 4 х  6 у   14;
 х  5 у  1;

 3 х  15 у  4.
IV. Объяснение новой темы (лекция).
Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы
Матрицей системы линейных уравнений называется таблица, составленная из
коэффициентов при переменных. Так, для системы вида:
матрицей A является:
Столбцом свободных коэффициентов будем называть
а столбцом переменных —
Тогда систему уравнений можно переписать в виде:
Матрица, в которой число строк равно числу столбцов называется квадратной
матрицей.
a 
a
A   11 12 
 a21 a22 
 Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной
диагонали, равны нулю, называется диагональной.
0 
a
A   11

 0 a22 

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен
единице, называется единичной. Обозначается буквой Е.
1 0
E 

0 1
7
Алгебра 10 класс угл. новые ФОП

Матрица полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же
номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается АТ .
a
AT   11
 a12
a21 

a22 
 Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.
Обозначается буквой О.
0 0
O

0 0
В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.
Умножение матрицы на столбец.
При умножении матрицы на столбец X получается столбец, а само умножение
происходит по следующему правилу:
Обратная матрица А⁻¹
Рассмотрим алгоритм поиска обратной матрицы:
1) вычислить определитель матрицы A:
2) записать матрицу миноров M. Для этого нужно просто переставить числа в
матрице A следующим образом:
3) записать матрицу алгебраических дополнений А ͙. Для этого необходимо лишь
поменять знаки коэффициентов а₁₂ и а₂₁ в матрице миноров M, в результате чего
получим:
a
A   22
 a12
a21 

a11 
записать матрицу, транспонированную к матрице алгебраических дополнений:
a12 
a
AT   22

 a21 a11 
найти обратную матрицу А⁻¹, разделив каждый элемент матрицы Аᵀ ͙ на значение
определителя матрицы A, то есть
A1 
1 T
A

8
Алгебра 10 класс угл. новые ФОП
Для нахождения неизвестных нужно полученную обратную матрицу А⁻¹ умножить на
столбец свободных коэффициентов:
Поясним всё на примере решения системы линейных уравнений с двумя
переменными:
Матрица системы:
столбец свободных коэффициентов:
Следуя алгоритму решения СЛАУ, найдём обратную матрицу А⁻¹:
1) определитель матрицы A равен
2) матрица миноров:
3) матрица алгебраических дополнений:
 1 4 
A

 3 2 
4) матрица, транспонированная к матрице алгебраических дополнений:
 1 3 
AT  

 4 2 
5) обратная матрица:
Теперь умножим найденную обратную матрицу на столбец свободных коэффициентов:
Пара чисел (1;2) является решением данной системы уравнений.
Ответ: (1;2)
9
Алгебра 10 класс угл. новые ФОП
V.
Отработка умений решать системы линейных уравнений матричным
методом
VI.
Итоги урока.
Домашнее задание: решать системы уравнений матричным методом
10
Алгебра 10 класс угл. новые ФОП
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
Этот метод позволяет достаточно легко находить решения систем линейных
уравнений, в которых более двух уравнений и неизвестных. По сути, этот метод
является обобщением метода подстановки. Итак, как можно решить систему линейных
уравнений? Рассмотрим этот способ на примере системы трёх уравнений с тремя
неизвестными.
На первом этапе решения систему уравнений необходимо привести к трапециевидной
форме, которая выглядит следующим образом:
Для этого нужно провести несложные линейные преобразования с
коэффициентами расширенной матрицы системы. Расширенная матрица системы
отличается от матрицы системы лишь тем, что она содержит ещё и столбец правых
частей уравнений, который записывается справа. Преобразования включают в себя
сложение или вычитание строк матрицы, а также умножение элементов строки на
число.
Применим данный метод к системе линейных уравнений с тремя переменными:
Расширенная матрица A данной системы принимает вид:
Проводя преобразования строк, нужно добиться того, чтобы в третьей строке
расширенной матрицы на первом и втором местах были нули, а во второй строке —
нуль на первом месте (возможно, при этом во второй строке будет ещё нуль и на
третьем месте).
Вначале вычтем из второй строки матрицы первую строку, умноженную на два, в
результате во второй строке окажется два нуля. Затем вычтем из третьей строки
первую строку, умноженную на три, в результате чего в третьей строке окажется
только один ноль:
11
Алгебра 10 класс угл. новые ФОП
С одной стороны, можно остановиться на данном этапе, поменять вторую и третью
строку местами, решить систему уравнений, соответствующую полученной
расширенной матрице:
С другой стороны, следуя алгоритму решения системы уравнений, необходимо
вычесть из третьей строки расширенной матрицы вторую строку и получить два нуля в
последней строке матрицы:
Это позволит перейти к решению ещё более простой системы линейных уравнений:
Теперь реализуем обратный ход метода Гаусса: из третьего уравнения системы
определим z = 3 , из второго — y = 2. Далее используем метод подстановки и
определим значение x:
Итак, решение системы линейных уравнений методом Гаусса: x = 1, y = 2, z = 3.
Заключение
мы разобрали следующие основные способы решения систем линейных уравнений:
метод подстановки, или «школьный метод»,
 метод почленного сложения или вычитания,
 метод Крамера,
 решение с помощью обратной матрицы,
 метод Гаусса.
Надеемся, что теперь вы сможете без труда справиться с любым

12