§ 1. Задача преобразования координат натами относительно некоторой системы координат. Координаты

§ 1. Задача преобразования координат.
Положение точки на плоскости определяется двумя координатами относительно некоторой системы координат. Координаты
точки изменятся, если мы выберем другую систему координат.
Задача преобразования координат состоит в том, чтобы, зная координаты точки в одной системе координат, найти ее координаты
в другой системе. Эта задача будет разрешена, если мы установим формулы, связывающие координаты произвольной точки по
двум системам, причем в коэффициенты этих формул войдут постоянные величины, определяющие взаимное положение систем.
Пусть даны две декартовы системы координат хОу и ХО1У
(рис. 68). Положение новой системы XO1Y относительно старой
системы хОу будет определено, если известны координаты а и b
нового начала О1 по старой системе и угол α между осями Ох и
О1Х.
Обозначим через х и у координаты произвольной точки М относительно старой системы, через X и У — координаты той же
точки относительно новой системы. Наша задача заключается в
том, чтобы старые координаты х и у выразить через новые X и Y.
В полученные формулы преобразования должны, очевидно, входить постоянные а, b и α. Решение этой общей задачи мы получим из рассмотрения двух частных случаев.
1. Меняется начало координат, направления же осей остаются неизменными (α =0).
2. Меняются направления осей, начало же координат остается неизменным (a = b = 0).
§ 2. Перенос начала координат.
Пусть даны две системы декартовых координат с разными
началами О и O1 и одинаковыми направлениями осей (рис. 69).
Обозначим через a и b координаты нового начала О1 в старой системе и через х, у и X, Y— координаты произвольной точки М
соответственно в старой и новой системах. Проектируя точку М
на оси О1X и Ох, а также точку О1 на ось Ох, получим на оси Ох
три точки О, A и Р. Как известно величины отрезков ОА, АР и
ОР связаны следующим соотношением:
вел. OA  вел. AP  вел.OP (1)
Заметив, что вел ОА = a, вел ОР = х, вел АР = вел О1Р1 = X, пере1
пишем равенство (1) в виде:
a  X  x или x  X  a
(2)
Аналогично, проектируя М и O1 на ось ординат, получим:
(3)
y Y b
Итак, старая координата равна новой плюс координата нового начала по старой системе. Из формул B) и C) новые координаты можно выразить через старые:
X  x  a,
(2')
(3')
Y  y b.
§ 3. Поворот осей координат.
Пусть даны две декартовы системы координат с одинаковым
началом О и разными направлениями осей (рис. 70). Пусть α есть
угол между осями Ох и ОХ. Обозначим через х, у и X, У координаты произвольной точки М соответственно в старой и новой системах.
Из рис. 71 имеем:
x  OP  OM cos(  )  OM cos  cos   OM sin  sin  ,
y  PM  OM sin(  )  OM sin  cos   OM cos  sin 
Так как (гл. I, § 11) OM cos φ = X, OM sin φ = Y,
то
(5)
x  X cos   Y sin  ,
(6)
y  X sin   Y cos  .
§ 6. Преобразование общего уравнения второй степени, не содержащего произведения переменных.
Общее уравнение 2-ой степени между двумя переменными,
не содержащее их произведения, имеет вид:
(8)
Ax 2  Cy 2  Dx  Ey  F  0 ,
где коэффициенты А и С одновременно не равны нулю, так как в
противном случае уравнение превратилось бы в уравнение 1-ой
степени.
Посмотрим, какие кривые определяются этим уравнением
при различных значениях его коэффициентов.
Случай I. Коэффициенты при x2 и у2 одного знака. Можно
считать, что они положительны, так как если бы они были отрицательными, то, умножив обе части уравнения на (-1), мы сдела-
2
ли бы их положительными. Перепишем уравнение (8) следующим образом:
D 
E 


A x 2  x   C  y 2  y   F  0 .
A 
C 


Дополним выражения в скобках до полных квадратов.
Для этого к левой и правой частям уравнения прибавим
D2 E 2

;
4 A 4C
уравнение примет вид:
 2
 2
D
D2 
E
E 2  D2 E 2

A x  2
x  2   C  y  2
y

F
2
2
A
2
C
4
A
4
C
4
A
4
C




или
2
2
D
E 
CD 2  AE 2  4 ACF


.
(9)
A x 
  C y 
 
2
A
2
C
4
AC




Перенесем начало координат в точку
E 
 D
O1  
,

2
A
2
C


Тогда по формулам (2') и (3') (§ 2)
D
E
X  x
и Y  y
,
2A
2C
где X и Y—координаты в новых осях. Обозначим правую часть
уравнения (9) через U
CD 2  AE 2  4 ACF
U
.
4 AC
В результате уравнение (9) примет вид:
Ax 2  Cy 2  U
(10)
Пусть U>0; разделив обе части уравнения (10) на U, получим:
A 2 C 2
X  Y 1
U
U
Введя обозначения
A 1
C 1
 2 и  2,
U b
U a
что возможно, так как А, C и U положительны, будем иметь
3
X2 Y2
.

 1.
a 2 b2
Это есть уравнение эллипса. Следовательно, в данном
случае уравнение (10), а значит и уравнение (8), определ яет эллипс (в частности, при а = b — окружность). Центр этого эллипса имеет координаты
D
E

и
2A
2C
(в системе координат xOy), а его оси параллельны осям координат.
Если U=0, то уравнение (10) будет иметь вид
2
AX  CY 2  0 . Оно определяет только одну точку Х=0, Y=0, так
как при любых других значениях переменных левая часть уравнения положительна. Возвращаясь к уравнению (8), видим, что
ему удовлетворяют координаты только одной точки
E 
 D
O1  
,
.
 2 E 2C 
Наконец, если U<0, то правая часть уравнения (10) отрицательна, в то время как оба члена левой части при любых
значениях X и Y неотрицательны. Следовательно, нет ни одной
точки, координаты которой удовлетворяли бы уравнению (10), а
значит и уравнению (8). В этом случае уравнение не определяет никакой линии.
Случай II. Коэффициенты А и С уравнения (8) имеют разные
знаки. Для определенности положим, что А>О, а С<0. Как и в
случае I, приведем уравнение (8) к виду:
2
2
D
E 
CD 2  AE 2  4 ACF


.
(11)
A x 
  C y 
 
2A 
2C 
4 AC


Перенесем начало координат в точку
E 
 D
O1  
,

 2 E 2C 
и обозначим правую часть уравнения (11) через U. После этого в системе координат XOY уравнение (11) примет вид
Ax 2  Cy 2  U
(12)
где
4
D
E
, Y  y
.
2A
2C
Пусть U отлично от нуля. Разделив обе части уравнения
(12) на U, получим:
A 2 C 2
X  Y  1.
U
U
Если A >0, то можно ввести обозначения (напомним, что по
условию A > 0 , С < 0 ) :
A 1 C
1
 2 ,  2,
U
U a
b
После этого уравнение примет вид:
X2 Y2

 1.
a 2 b2
Это уравнение гиперболы, действительная ось которой лежит на оси О 1 Х, а мнимая на оси O 1 Y.
Если же U<0, то, обозначая
A
1 C 1
 2,  2
U
a U b
придем к уравнению
X2 Y2
Y2 X2
 2  2  1 или 2  2  1.
a
b
b
a
Это тоже уравнение гиперболы. Только действительная ось
ее лежит на оси O1Y, а мнимая — на оси О1 Х.
Итак, в рассматриваемом случае уравнение (8) определяет
гиперболу с центром в точке
E 
 D
,

.
2
A
2
C


Действительная ось ее будет параллельна оси Ох или оси Оу в
зависимости от знака U.
Пусть U=0. В этом случае уравнение (12) представится
так:
Ax 2  Cy 2  0
Полагая A=m2 и C= -n 2 , перепишем его в таком виде:
m2 X 2  n 2Y 2  0
или
X  x
5
mX  nY mX  nY   0 .
Но это уравнение распадается на два уравнения первой степени:
mX  nY  0 и mX  nY  0
Каждое из них есть уравнение прямой, проходящей через точку
Х=0, Y=0, т. е. через точку О1.
Таким образом, при U=0 уравнение (12), а значит и уравнение (8), определяет пару пересекающихся прямых. Как говорят,
кривая выродилась в пару прямых.
Случай III. Коэффициент С уравнения (8) равен нулю (A≠0).
В этом случае уравнение (8) принимает вид:
(13)
Ax 2  Dx  Ey  F  0
Предполагая, что E≠0, разрешим его относительно у
A
D
F
y   x2  x  .
E
E
E
Введем обозначения:
F
A
D
  a ,   b,   c .
E
E
E
Наше уравнение запишется так:
(14)
y  ax 2  bx  c
Преобразуем его к виду
 2
b
b2  b2
y  a x  2 x  2  
 c.
2
a
4
a
4
a


Или
2

b2 
b 

y   c    a x  
4a 
2a 


Перенесем начало координат в точку
 b
b2 
O1   ; c  
4a 
 2a
Полагая

b
b2 
X  x  , Y  y   c  
2a
4a 

получим уравнение
Y  aX 2 .
(14)
Это есть уравнение параболы. Вершина ее находится в точке
6
О1 а ось симметрии лежит на оси О1Y и, следовательно, параллельна первоначальной оси Оу.
Заметим, что уравнение (14) было рассмотрено в § 5, где
приведение его к простейшему виду производилось иным способом.
Если в уравнении (13) E=0, то оно примет вид:
(15)
Ax 2  Dx  F  0
т. е. будет содержать только одно переменное х.
Пусть α1 и α 2 — корни этого уравнения. Тогда уравнение
(15) принимает вид
Ax  1 x   2   0 .
Приравнивая к нулю каждую из скобок, получим два уравнения
первой степени:
x  1  0 и x   2  0 .
Если корни α1 и α2 действительные, то каждое из них есть
уравнение прямой, параллельной оси Оу. (При α1 = α2 обе прямые
сливаются.) В этом случае говорят, что кривая выродилась в пару
параллельных прямых.
Если же корни α1 и α2 мнимые, то трехчлен Ах2 + Dx + F ни
при каких действительных значениях х не обращается в нуль и,
следовательно, нет ни одной точки, координаты корой удовлетворяли бы уравнению (15).
Разумеется, ход нашего исследования не изменится в случае
A = 0, С ≠ О.
2