«Применение производной к построению графиков функций».

Урок 6 . Тема урока «Применение производной к построению графиков
функций».
Предварительная подготовка к уроку:
учащиеся должны знать таблицу производных, правила дифференцирования, а также темы
«Возрастание и убывание функции», «Экстремумы функции».
Цели урока:
1) образовательная:
знакомство учащихся с общей схемой исследования функции методом построения графика
чётной и нечётной функции, обучение проведению исследования и построению графика;
2) воспитательная:
воспитание требовательного отношения к себе при самостоятельном изучении нового материала;
3) развивающая:
развитие наблюдательности, умения рассуждать и аргументировать свои действия.
Оборудование:
кодоскоп, записи на доске, карточки, сигнальные карточки (зелёная-красная).
Тип урока: урок – теоретическое и практическое исследование.
Ход урока
I. Организационный момент
(Сообщение темы целей урока)
II.Проверка домашнего задания
(Выполняется устно)
- Назовите промежутки убывания, возрастания, экстремумы функции.
III. Актуализация опорных знаний
Задание 1.
Тест.
(Задания выполняются по вариантам с последующей взаимопроверкой по кодоскопу)
- По изображенному графику установите соответствие между каждым интервалом (А- Е) и
характером поведения функции на этом интервале.
Вариант I.
Интервалы: А=(-3;0); В(-2;0); С=(-2;2);
Д(0;3);
Поведение: 1) убывает; 2) возрастает;
3) имеет минимум; 4) имеет максимум.
Ответы: А2;
В2;
С4;
Д1;
Е(1;3);
Е1.
Вариант II.
Интервалы: А=(-3;-1); В=(1;3);
С=(-1;1);
Поведение: 1) убывает; 2) возрастает;
Ответы: А2; В3; С4;
Д1;
Д=(0;2);
Е=(-2;0);
3) имеет минимум; 4) имеет максимум.
Е2.
- Обменяйтесь тетрадями, проверьте работу соседа. Поднимите зелёную карточку, у кого нет
ошибок. Поднимите красную карточку, у кого 1 ошибка.
IV. Работа с учебником
(Самостоятельное изучение нового материала по плану , записанному на доске.)
План:
1) Прочитать текст параграфа «Применение производной к построению графиков функций».
2) Записать в тетрадь схему исследования функции.
3) Записать с учителем образец решения задания 2(оно приводится ниже).
4) Рассмотреть метод построения графика четной (нечетной) функции на примере одной из задач
учебника.
Образцы решений.
Задание 2. Постройте график функции f(x)=х3-2х2+х
Решение.
1. Область определения D(f)=R.
2. Найдём производную f/(x)=(x3-2x2+x)/=3x2-4x+1
3. Найдём критические точки, решив уравнение f/(x)=0
3x2-4x+1=0
(3х-1)(х-1)=0
Х1=1, х2=1/3.
4. Найдём промежутки возрастания и убывания, используя метод интервалов и правило
чередования знаков.
1
3
Для производной f/(x)=3x2-4x+1=3(x-1/3)(x-1) имеем три интервала знакапотоянства (-∞; );
1
( 3 ;1); (1; +∞).
1
Имеем 0 ∈ (-∞ 3) и f/(0)=1>0 .Значит, f/(x)>0 на промежутках (-∞;
1
)
3
и (1; +∞), и значит,
1
функция возрастает на этих промежутках. А т.к. f/(x)<0 на промежутке ( 3 ; 1), значит, функция
убывает на этом промежутке.
5. При переходе через точку х=1/3 знак производной меняется с «+» на «-», значит, это точка
максимума. При переходе через точку х=1 знак производной меняется с «-» на «+», значит, это
точка минимума. Значения в экстремумах равны:
1
1
1
1 4
f(3)=(3)3 – 2(3)2 +3=27, f(1)=13-2˙12+1=0
6. Составим таблицу по результатам исследований.
Х
(- ;1/3)
1/3
(1/3;1)
1
(1;+ )
+
0
-
0
+
f(x)
4/27
7. Найдём абсциссы точек пересечения графика с осью Ох:
Х=0 или х=1
8. Построим график функции.
V. Творческое задание
Задание 3.
Завершите эскиз графика функции, зная, что у=f(x) – четная функция.
Задание 4.
Завершите эскиз графика функции, зная, что у=f(x) – нечетная функция.
0
Задание 5.
Закончите фразу.
1) График четной функции симметричен относительно… (оси Оу).
2) График нечетной функции симметричен относительно… (начала координат (0;0)).
VI. Закрепление изученного материала
Задание 6. Постройте график функции.
(Работа над заданиями ведётся на доске и в тетрадях)
У=6х
Решение.
1. D(f)=R
2. Функция у(-х)=6(-х) чётная, график симметричен относительно Оу. Исследуем на (0;+ ).
3. Находим производную у=
4. Находим критические точки: у=0.
5. Промежутки возрастания и убывания.
Х
0
(0;1)
1
(1;+ )
f(x)
0
+
0
-
f(x)
0
2
Экстремумы
min
max
6. График.
VII. Подведение итогов урока
- По какой схеме проводится исследование свойств функции?
Ответ:
Надо найти:
1. Область определения функции( D(f)=R)
2. Производную
3. Стационарные точки (f(x)=0)/
4. Промежутки возрастания и убывания(методом интервалов).
5. Точки экстремума и значение функции в этих точках.
6. а) Точки пересечения с осью Ох (если возможно);
б) несколько дополнительных точек графика (для более точного построения).
Домашнее задание
Задание 7. Построить график функции:
а) у=2+3х-х
б) у=3х+1/3х