ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар 2005 ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар 2005 УДК 517.9 ББК 22.161. В.Д. Г н о, Л.Ю. С о ее а, В.М. С о ен е . Ди ерен иа н е ра нени . При ер и ипо е адани : Учебное пособие/К бГАУ. – Краснодар, 2005. – 105с. Пособие содер и и о ение еоре ичес и с едени по осно н ра де а рса об но енн ди ерен иа н ра нени о носи е но небо о об е е. И о ение а ериа а сопро о дае с ре ение ипо при еро . И е с а е адани ипо расчео д са ос о е но о ре ени , предс а енн е 30 ариан а . Учебное пособие сос а ено соо е с ии с ос дарс енн обра о а е н с андар о с е о про ессиона но о обра о ани , ер денно о о и е о РФ по с е обра о ани , Мос а, 2000, и о е б испо о ано с ден а и ин енерн ае о ни ерси е а. Рецензент: А.Ф. Бач рс а , . .- . н., до ен а едр ди ерен иа н ра нени К бГУ, В.В. ч о а, а . а едро а е а и и и ин ор а и и КВАУ , . .- . н., до ен . ISBN 5-94672-139-9 © В.Д. Г н о, Л.Ю. С о ее а, В.М. С о ен е © К банс и ос дарс енн а рарн ни ерси е (К бГАУ), 2005 Оглавление Предисловие………………………………………………………... § 1. Общие понятия и определения……………………...... § 2. Простейшие типы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка § 3. § 4. 4 5 2.1. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными……………………... 13 2.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка………………………………………….......... 22 2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Я. Бернулли…………………….. 29 2.4. Уравнения в полных дифференциалах……………... 44 Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка ( n) 3.1. Уравнения вида y = f ( x ) ………………………….... 51 3.2. Уравнения, не содержащие искомой функции…...... 58 3.3. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной……………………………………………….... 66 Линейные дифференциальные уравнения порядка n 4.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка n с постоянными коэффициентами....... 73 4.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения порядка n с постоянными коэффициентами...... 83 Литература………………………………………………………………….. 105 -3- Предисловие Нас о ее чебно- е одичес ое пособие пос ено не оор осно н ра де а рса об но енн ди ерен иа н ра нени . Особое ни ание де ено е ода ре ени ра ичн ипо об но енн ди ерен иа н ра нени . Те с пособи сопро о дае с подробн ре ение ипо при еро и и с ра и н и рис н а и, ч о по о е бо ее бо о и на дно осприни а и а ае а ериа . Це пособи – по оч с ден а рабо е с о и о ре ени об но енн ди ерен ипра ичес и на а н ра нени , опис а и о ионн е про есс ра ичн об ас ес ес о нани . При о предпо а ае с , ч о необ оди е с едени по ди ерен иа но и ин ера но исчис ени чи а е и ес н . И о ение а ериа а еде с на дос пно , по о о нос и с ро о е. Кро е о о, до ное ни ание де ено подбор адани ипо расче о д са ос о е но о ре ени пред а ае30 ариан а и содер а и 360 адач. Пособие сос ои и ре пара ра о , с содер ание оор чи а е о е о на о и с по о а ени . Ма ериа пособи рассчи ан на с ден о ин енерн а е о ,а а е о е б по е н д се др и а е ори с ден о , и ча и о и и ино об е е рс об но енн ди ерен иа н ра нени . А ор ра а б а одарнос ре ен ен а до ен а едр ди ерен иа н ра нени К бГУ Бач рс о А. Ф. и а ед е а едро а е а и и и ин ор а и и КВАУ , до ен ч о о В. В. а по е н е а ечани и со е , способс о а ие ч ени нас о е о и дани . А ор -4- §1. Общие понятия и определения Определение 1. Дифференциальным уравнением на ае с ра нение, с а ее е д собо не а иси е пере енн е, неи ес н н и и пере енн и ее прои одн е (и и ди ерен иа ). Ес и неи ес на н и а иси о о о одно пере енно , о ди ерен иа ное ра нение на ае с обыкновенным. Ес и е неи ес на н и а иси о нес о и не а иси пере енн , о ди ерен иа ное ра нение на ае с уравнением в частных производных. Определение 2. Пор д о ди ерен иа но о ра нени наае с наи с и пор до прои одно (и и ди ерениа а) неи ес но н ии, од е ра нение. Примеры. x = y 2 – об y 1) 3 x 3 y но енное ди ерен иа ное ра - нение пер о о пор д а, y = y ( x ) – неи ес на d 2y 2) dx 2 xy нение dy = 0 – об dx но енное ди ( ) ид об н и ; ерен иа ное ра - нение ре е о пор д а, y = y ( x ) – неи ес на 4) F x, y, y ,..., y ( n ) = 0 – об и и ; ерен иа ное ра - оро о пор д а, y = y ( x ) – неи ес на 8 y = 4 x 2 1 – об 3) y но енное ди н н но енно о ди и ; е- рен иа но о ра нени n о пор д а, де F и ес на н и с ои ар ен о , аданна не о оро и сиро анно об ас и, x не а иси а пере енна , y = y ( x ) – неи ес на н и ар одн е неи ес но ен а x ; y , y , y ,..., y ( n ) прои - н ии; -5- 5) x z dx y z = 0 – ди dy прои одн н час н пер о о пор д а; z = z ( x; y ) – неи ес на и ; 6) u t = 9 u xx – ди и одн н ерен иа ное ра нение ерен иа ное ра нение час н про- оро о пор д а; u = u ( t ; x ) – неи ес на и . Замечание: В ди ерен иа ное ра нение n о пор д а об а е но до на оди прои одна (и и ди ерен иа ) n о пор д а неи ес но н ии, а не а иси е пере енн е, са а неи ес на н и и ее прои одн е (и и ди ерен иа ) пор д а, ни е, че n , о и не оди . Определение 3 Решением (или интегралом) дифференциальае с а а ди ерен ир е а н ного уравнения на и , о ора , б д чи подс а ена ди ерен иа ное ра нение, обра ае е о о дес о, . е. ра енс о, ерное при се доп с и начени пере енн . Ре и , и и проин е риро а ди ерен иа ное ра нение – начи , на и се е о ре ени . Гра и с о о ре ени ди ерен иа но о ра нени на ае с интегральной кривой. Примеры. 1) н и y = sin x ес иа но о ра нени ре ение об но енно о ди оро о пор д а: y = y . -6- ерен- Де с и е но, пос е подс ано и ра нение, по 2) н ди чае н ии y = sin x о дес о: sin x и y = 3x не данное sin x . е с ре ение об но енно о ерен иа но о ра нени пер о о пор д а dy = y 6. dx Де с и е но, пос е подс ано и ее данное ди ерен иа ное ра нение по чи ра енс о: 3 = 3x 6 , о орое не е с о дес о , . . оно ерно не при се доп с и начени пере енно x , а и при x = 1. За е и , ч о ин е риро ание ди ерен иа но о ра нени об е с чае при оди бес онечно но ес ре ени , о ича и с др о др а пос о нн и е ичина и. Ле о до ада с , напри ер, ч о ре ение ди ерене с иа но о ра нени пер о о пор д а y = cos x н и y = sin x , а а и ооб е с о нна . об о он ре ни е н Ди чае апис н е н ии y = sin x 1, y = sin x 2, ии ида y = sin x c , де c – прои о на по- ре ение ди ерен иа но о ра нени приобрен с с , е о надо подчини не о ор допо с о и . ерен иа ное ра нение пор д а n об е с ае с иде ( ) F x; y; y ; y ; ..., y ( n ) = 0, (1.1.) и и ( y ( n ) = f x; y; y ; ..., y ( n ес и е о о но ра ре и 1) ) (1.2.) о носи е но с ар е прои одно . -7- Определение 4. Начальной задачей и и задачей Коши д об но енно о ди ерен иа но о ра нени (1.2.) пор д а n наае с адача о с ани ре ени о о ра нени , до еначальным условиям: ор е о а на ае y ( x0 ) = y0, y ( x0 ) = y0 , y ( x0 ) = y0, (1.3.) ... ... ... ... y(n 1) (x ) = y ( 0 n 1) 0 . В час нос и, д ди ерен иа но о ра нени пер о о о с ании е о пор д а y = f ( x; y ) адача Ко и сос ои ре ени , о орое при x = x 0 прини ае ение, до е ор начение y0 , . е. ре- ее нача но y ( x0 ) = y0 . с о и Гео е ричес и о начи , ч о реб е с на и ин е ра н ри , про од чере данн оч ( x0 ; y0 ) оордина но п ос ос и XOY . Определение 5. Общим решением ди ерен иа но о ра нени пор д а n на ае с н и y = ( x, c1 , c2 , ..., cn ) , а ис а о n прои о н р а с о и 1) Ф н и пос о нн : ( x, c , c , ..., c ) 1 2 е с ре ение ди 2) Ка о б ни б ( x, c 0 1 а н и ар и нача н е с о и ен а x (1.3.) , с c1 = c10 , c 2 = c 20 , ..., c n = c n0 , c 20 , ..., c n0 ) иа но о ра нени о и n - ерен иа но о ра нени . начени пос о нн н и c1 , c2 , ..., cn , и до е о- е с ре ение ес а ие, ч о ди (1.2.) и до е ор е нача н (1.3.) . -8- еренс- Об ее ре ение ди n , аписанное иде ерен иа но о ра нени пор д а ( x, y, c , c , ..., c ) = 0 , 1 n 2 ае с общим интегралом. В час нос и, об и ре ение ди ра нени пер о о пор д а y = f ( x, y ) на на y= ( x, c ) , содер а а одн прои о н до е ор а с о и : 1) Ф н и y = ( x, c ) а н ерен иа но о ае с н и пос о нн и ар c и ен а x - е с ре ение ди ерен иа но о ра нени ; 2) Ка о о б ни б о нача ное с о ие y ( x 0 ) = y 0 , с ес н е а ое начение пос о нно y= и ( x, c 0 ) до е ор е ча но с о и . ре ение ди Определение 6. ас н ни пор д а n на и сиро анн ас ное ре ение ди а n , аписанное иде на на- ( x, c 0 1 , c 20 , ..., c n0 ) при c1 = c10 , c 2 = c 20 , ..., c n = c n0 . пос о нн ( x, y , c данно ерен иа но о ра не- ае с ре ение y = начени c = c0 , ч о ерен иа но о ра нени пор д0 1 , c 20 , ..., c n0 ) = 0 , ае с частным интегралом. еорема Пикара (существования и единственности решения задачи Коши) Ес и ра нении (1.2.) н и f , опреде а пра час ра нени нача но (1.2.) непрер на ( оч и x 0 , y 0 , y 0 , ..., y (0n 1) не о оро ) и и ее непрер о о рес нос и час н е прои одн е по се -9- о рес нос и н е пере енн , начина со оро , о ра нение (1.2.) и ее единс енное ре- ение y = y ( x ) , до е ор Пример. Ре и ее нача н с о и (1.3.) адач Ко и y = 2 x, y (1) = 2 . Решение: Оче идно, ч о ре ение данно о ра нени предс а е собо се е с о се н и , пер а прои одна о ор ра на 2x , . е. и ее ид y = x2 c, де c – прои о на пос о нна . y (1) = 2 и ее : 2 = 12 c , о И нача но о с о и c=1. То да час ное ре ение, и ее да ид yч. р. = x 2 1 . Гео е ричес и, се е с о ин е ра н ри данноо ра нени предс а е собо се е с о парабо с ерина и оч а ида ( 0; c ) , де c – прои о на пос о нна . А ра и о на денно о час но о ре ени е с парабо а с ер ина и оч е ( 0;1) , .е. про од а чере очA (1; 2 ) (рис но 1). ОРР - 10 - ЯР У Нар д с нача но адаче ( адаче Ко и) расс а рио оа с а на ае е граничные (краевые) задачи, р допо ни е н е с о и на ис о н и ада с не одно оч е, а о и ее ес о нача но адаче, а на он а не о оро о ин ер а а a; b и ра с и ае с ре ение, опреде енное н ри о о ин ер а а. Ус о и , ада ае е на он а ин ер а а a; b , на а с граничными (краевыми) условиями, а адача о с ани ре ени ди ерен иа но о ра нени , до е ор е о раничн с о и , на ае с граничной (краевой) задачей. Необ оди о о е и , ч о пос ано а ранично адачи и ее с с о о д ра нени пор д а, е пер о о. Гранична ( рае а ) адача не се да и ее ре ение, а ес и и ее , о, ча е се о, не единс енное. Пример. На и ре ение об но енно о ди ерен иа но о ра нени y = 6x , до е ор ее раничн с о и y ( 0 ) = 0, y (1) = 1 . Решение: Ин е рир пос едо а е но данное ди а ное ра нение д а ра а, и ее y = 3 x 2 c1 , y = x3 ерен и- c1 x c 2 – об ее ре ение, де c1 и c2 – прои о н е пос о нн е. Испо раничн е с о и , по чи сис е д а ебраичес и ра нени о носи е но прои о н пос онн c1 и c2 , од и об ее ре ение, а и енно: 0 = 0 c1 0 c 2 , 1 = 1 c1 1 c 2 . - 11 - И по ра нени на оди , ч о c1 = 0 , ченно сис е c 2 = 0 , и, с едо а е но, ис о ое час ное ре ение и ее ид y = x 3. Ответ. y ( x ) = x 3 – час ное ре ение. Контрольные вопросы I. Ка ие ра нени на а с об но енн и ди ерен иа н и ра нени и? II. о на ае с пор д о ди ерен иа но о ра нени ? III. о на ае с ре ение ди ерен иа но о ра нени ? IV. о на ае с ин е ра но ри о ди ерен иа но о ра нени ? V. В че а чае с ео е ричес и с с ре ени адачи Ко и д об но енно о ди ерен иа но о ра нени I пор д а? VI. е о ича с об но енн е ди ерен иа н е ра нени о ди ерен иа н ра нени час н прои одн ? VII. Ка ие и при еденн ни е ра нени с ди ерен иа н и, а и е и пор до : a ) y x = 1 , б ) ln y = x 2 , в ) dy = xe x dx , г ) sin ( x y ) = 0 , d 2x д) y = 0 , е) 2 dt 2 x = 0 , ж) dx dt 2 x = 1. t VIII. Я е с и н ии y1 = e 2 x и y 2 = x 2 ре ени и ди ерен иа но о ра нени y 5 y 6 y = 0 ? IX. С о о ре ени об е с чае и ее ди ерен иа ное ра нение? X. о на ае с об и ре ение ди ерен иа но о ра нени ? XI. о на ае с час н ре ение ди ерен иа но о ра нени ? XII. С ор ир е еоре с ес о ани и единс еннос и ре ени адачи Ко и д ди ерен иа но о ра нени . - 12 - - 13 - §2. Простейшие типы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка 2.1. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными Определение 1. Дифференциальным уравнением с разделенными переменными на ае с ра нение ида: p ( y ) dy = q ( x ) dx , ( 2.1.) о оро е а час а иси о о о одно пере енно , а пра а – о о о др о . Ре а с ди ерен иа н е ра нени с ра де енн и пере енн и ин е риро ание обеи час е : p ( y ) dy = q ( x ) dx Здес под ин е ра а и пони а обра н е. Пример 1. На и ре ение ди dy y ие пер о- ерен иа но о ра нени dx = 0. x Решение: Перенесе с а ае ое по чи ди с соо е с ( 2.2.) dx и x е о час и пра , ерен иа ное ра нение: dy dx = , y x о орое е с ра нение с ра де енн и пере енн и. Ин е рир обе час и пос едне о ра нени , б де и е dy dx , = y x о да ln y c1 = ln x c2 , де c1 , c2 – прои о н е пос о нн е, - 13 - и и ln y = ln x c3 , ( 2.3.) де c3 = c2 c1 . В да не е , пос е ин е риро ани обеи час е ра нени , б де писа одн пос о нн ин е риро ани c прао час и ра енс а, о ора б де с ад а с и пос о нн ин е риро ани е о и пра о час и ра нени . За е и а е, ч о по ченно ра енс е ( 2.3.) прои о н пос онн c3 добно о ари c3 = ln c , с ичес о ор е, а и енно, 0, с R , ч о а онно, а а с ое де с и е ное чис о о е б предс а ено а о ари др о о де с и е но о чис а. По о ра енс о ( 2.3.) о но аписа иде ln y = ln x ln c , де c 0 – прои о на пос о нна , и и ln y = ln cx , о да, по ен ир , о онча е но по чи об ее ре ение y = cx , x 0, c 0 ( 2.4.) По ченное об ее ре ение ( 4 ) , де c – бое де с и е ное чис о, ео е ричес и предс а е собо сее с о по пр , ис од и и нача а оордина , ис ча са оч ( 0; 0 ) (рис но 2). Ответ. y ( x ) = cx – об ее ре ение, с – прои о на пос о нна . - 14 - Определение 2. Дифференциальным уравнением с разделя щимися переменными на ае с ра нение, о орое о е б аписано иде y = f ( x) g ( x), и и y = f1 ( x) ( 2.5.) g1 ( x) иде M 1 ( x ) N1 ( y ) dx M 2 ( x ) N 2 ( y ) dy = 0 де f ( x ) , M 1 ( x ) , M 2 ( x ) – н g ( y ) , N1 ( y ) , N 2 ( y ) – ии о н ии о ( 2.6.) о пере енно x , а о пере енно y . Общая схема решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными I. Ра де и пере енн е, . е. с ес и ра нени с ра де енн и пере енн и. Д о о надо обе час и данно о ра нени но и и и ра де и на а ое ра ение, ч об одн час ра нени оди а о о одна пере енна , а др – о о др а пере енна . Замечание. Ес и с с е данно ди ерен иа но y , о снача а с ед е прои ес и ра де ение пере енн а ени . ра нении при- y на dy , а а е dx II. Проин е риро а обе час и по ченно о ра нени с ра де енн и пере енн и. III. На I апе, при де ении обеи час е ра нени на раени , содер а ие пере енн е, о б по ер н ре ени , обра а ие о ра ение н . По о с ед е расс о ре опрос о с ес о ании а и ре ени данно о ди ерен иа но о ра нени . ра нени адано нача ное с оIV. Ес и допо ни е но ие, о с е о по о с ед е на и час ное ре ение. - 15 - Пример 2. Ре и ра нение y x 2 y = 2 xy y: Решение. В ра и y = x 2 y 2 xy . За ени y на ченно о ра енс а dy и одно ре енно dx несе об и пра о час и по - но и е y а с об и, по чи dy = y(x2 dx 2x) . Данное ра нение е с ра нение с ра де иис пере енн и, . . е о да ос при ес и ра нени ида ( 2.5 ) , де о но счи а f ( x ) = x 2 2 x, g ( x ) = y . Ре и е о. I. Ра де и пере енн е, д на dx , по чи че о снача а dy = y ( x 2 2 x ) dx, dx За е ра де и обе час и по но и обе час и 0 ченно о ра енс а на y dy = (x2 y 2 x ) dx, y 0 По чи и ра нение с ра де енн и пере енн и. II. Проин е рир е обе час и по ченно о ра нени : dy = y (x 2 x ) dx , 2 и и x3 ln y = 3 x2 c, де c – прои о на пос о нна , о по чае y=e x3 3 x2 - 16 - да, по ен ир , c , и и y=e e c x3 2 x 3 e c = c , де c – а П с То да о онча е но по . е прои о на пос о нна . чае об ее ре ение y=c e x3 2 x 3 ( 2.7.) III. За е и , ч о при ра де ении пере енн ч о y 0. Расс о ри о де но с н и y=0 а е ча по а а и, y = 0 . Ле о беди с , ч о е с ре ение данно о ра нени . Одна о а е и , ч о оно ор а но по чае с и ор ( 2.7 ) об е о ре ени при c = 0 . Ответ: y ( x ) = c e x3 x2 3 – об ее ре ение, де c – прои - о на пос о нна . Пример 3. На и час ное ре ение ди ерен иа но о ра нени , до е ор ее аданно нача но с о и : xydx Решение. Данное ди ( 2.6 ) , де (1 y 2 ) 1 x 2 dy = 0, ерен иа ное y ( 8 ) = 1. ра нение и ее ид ра нени M 1 ( x ) = x, N1 ( y ) = y, M 2 ( x ) = 1 x 2 , N 2 ( y ) = 1 y 2 , а по о е с ра нение с ра де и ис пере енн и. I. Ра де и пере енн е, д че о поде и обе час и ра нени на y 1 x 2 , по а а y 1 x2 0: 1 y2 dx dy = 0 , 2 y 1 x x и и - 17 - 1 y2 dx = dy . 2 y 1 x x По чи и ра нение с ра де енн II. Ин е рир е обе час и, и ее x 1 x и пере енн 1 y dx = 2 и. y dy , де c – прои о на пос о нна , и и 2 1 d (1 x ) = 2 2 1 x dy y ydy , О да по чае об и ин е ра данно о ди о ра нени : ерен иа но- y2 , 2 1 x = ln y 2 и и 1 x 2 y2 2 ln y ñ=0 де c – прои о на пос о нна . III. При ра де ении пере енн по а а и, ч о y 1 x2 0, ч о о о при ес и по ере ре ени . Расс о ри о де но с ча y о 1 x2 = 0, да с ед е , ч о y = 0, ( 1 x2 0 при се x ). Пос е под- с ано и y = 0 ис одное ра нение по чи x 0 dx о (1 02 ) 1 x 2 d0 = 0, да и ее 0 = 0 . С едо а е но, y = 0 а е е с ре е- ние данно о ди ерен иа но о ра нени . Одна о а е и , ч о оно не о е б по чено и об е о ре ени ни при ао час но начении прои о но пос о нно c . - 18 - IV. Да ее, час ное ре ение, до е ор ча но с о и ,y ( 8 ) = 1, по ее аданно чи , подс а на- об и ин е ра x = 8 , y = 1 : 1 c = 0, о 2 1 8 ln1 С едо а е но, ис о 1 x Ответ. 1 x 2 2ln y час н 2 ln y y2 2 прои о на пос о нна ; н y2 2 7 2 да c = . ин е ра и ее ид: 7 = 0. 2 c = 0 – об и ин е ра , де c – 1 x ин е ра ; y = 0 . - 19 - 2 2ln y y2 2 7 = 0 – час 2 Задание 1. айти общее решение (или общий интеграл) дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. 4 xdx 3 ydy = 3 x 2 ydy 2 xy 2 dx . 2. 2 x 1 y 2 dx 3. 6 xdx 6 ydy = 2 x 2 ydy 3 xy 2 dx . 4. x (1 y 2 ) 5. 6. 7. 3 y 2 dx (y (e y dy = 0 . (1 y y x2 ) = 0 . y dy = x 2 y dy . 2 x y2 ) (x y x2 ) y = 0 . 3x 7 ) dy y e3 x dx = 0 . 2 1 x2 1 y2 1= 0. 8. y y 9. 6 xdx 6 ydy = 3 x 2 ydy 2 xy 2 dx . 10. y = e x y . x x 11. y ( 4 e ) dy e dx = 0 . 12. 4 x2 y xy 2 x = 0. 13. y tg x y = 1. 14. x 4 y 2 dx y 15. (e x 8 ) dy y 16. e 1 1 x 2 dy = 0 . ye x dx = 0 . dy = 1. dx 17. 6 xdx ydy = yx 2 dy 3 xy 2 dx . 18. y ln y xy = 0 . 19. (1 e x ) y = ye x . 20. y = 10 y x . 21. y (1 ln y ) xy = 0 . - 20 - 22. (3 e x ) yy = e x . 23. 2 x 2 xy 2 y 24. e (1 2 x 2 y = 0. x 2 ) dy 2 x ( 1 e y ) dx = 0 . 25. 2xdx ydy = yx 2 dy xy 2 dx . 26. y xy = 1 x 2 y . y 2 y 27. e (1 x ) dy 2 x (1 e ) dx = 0 . 2 2 28. x y ( 1 x ) y = 1 y . 29. (1 2 y ) x dx (1 x 2 ) dy = 0 . 30. y sin 2 x = y ln y . - 21 - 2.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка Пон ие однородно о ди ерен иа но о ра нени перо о пор д а с ано с однородн и н и и. Определение 1. Ф н и ( x; y ) на цией степени n , ес и д дес о: бо о чис а k ( k x; k y ) Пример. Расс о ри но оч ен kn 0 и ее ес о о - ( x; y ) . ( x; y ) = 2 x 2 однородно н ие с епени 2. Де с и е но, а ени ар ен на н е е ичин ае с однородной функ- 3 xy 5 y 2 . Он е с x и y на пропор ио- kx и ky , о да б де и е ( kx; ky ) = 2 ( kx ) 2 3 ( kx )( ky ) 5 ( ky ) = 2 = k 2 ( 2 x 2 3 xy 5 y 2 ) = k 2 ( x; y ) . Определение 2. Однородным дифференциальным уравнением первого порядка на ае с ди ерен иа ное ра нение, оорое о е б аписано иде y = f а а е y , x ( 2.8.) иде M ( x ; y ) dx N ( x ; y ) dy = 0 , де M ( x; y ) и N ( x; y ) – однородн е с епени. С по о подс ано и y = t и и y = tx , x - 22 - н ( 2.9.) ии одно и о е де t = t ( x ) – но а неи ес на н и , однородное ди рен иа ное ра нение пер о о пор д а при оди с нени с ра де и ис пере енн и. Пример 1. Ре и ера - ра нение xy = y 2 x . Решение. В ра и y , по чи y = y 2x , x и и y = По ченное ди ра нени y x ерен иа ное ( 2.8.) , де f ( 2.10.) 2, ра нение ( 2.10.) и ее y y = 2 . С едо а е но, данное ра x x нение е с однородн ди ерен иа н пер о о пор д а. Д о о ч об ре и е о, сде ае а ен y = tx . На де пер прои одн н ра нение ( 2.11.) ии y по ар ен y = ( tx ) = t x tx = t x t ра нение ( 2.10.) Подс а и ид чере t и x со асно ра енс а ( 2.12.) y и x ( 2.11.) и ( 2.12.) : ес о y и x ра ени t x t = t 2, и и t x = 2. dt и одно ре енно ра де и dx с едне о ра енс а на x , по чи ра нение За ени t на - 23 - обе час и по- dt 2 = , x dx x о орое е с ди и ис пере енн 0, ерен иа н ра нение и. Ра де и пере енн е dt = с ра де- 2 dx . x Проин е рир е обе час и dt = о 2 dx , x да t = 2ln x ln c , c 0, c R , де ln c – прои о на пос о нна , и и t = ln cx . Во ра а с пер онача но пере енно , по чи ние ис одно о ди ерен иа но о ра нени иде ре е- y = ln cx , и и y = x ln cx . x За е и , ч о при ре ении де и и обе час и ра нени на x , по а а , ч о x 0 . При x = 0 и данно о ра нени с ед е y = 0 , . е. и ее оч ( 0; 0 ) , а и обра о , с ча x = 0 не дае ре ение. Ответ. y ( x ) = x ln cx – об ее ре ение, де c – прои о на пос о нна . Пример 2. По а а , ч о ди (x ерен иа ное ра нение y ) dx xdy = 0 е с однородн , и ре и е о. Решение. Расс о ри н ии M ( x; y ) = x y и N ( x; y ) = x . На де - 24 - M ( kx; ky ) = kx ky = k ( x y ) = kM ( x; y ) , N ( kx; ky ) = kx = kN ( x; y ) . С едо а е но, н ии M ( x; y ) и N ( x; y ) с одно- родн и пер о с епени, по о данное ра нение однородно. По а ае y = tx , де x – не а иси а пере енна , y = y ( x ) – пер онача на неи ес на ес на То да н н и , t = t ( x ) – но а неи - и . y =t x t, и и dy dt x t, = dx dx и и dy = xdt tdx Подс а о ( 2.13.) ра ение данное ра нение, б де и е ( x tx ) dx x ( xdt tdx ) = 0 , x 2 dt x ( 2t 1) dx = 0 . Ра де и обе час и пос едне о ра енс а на x , по а а x 0 , по чи ди ерен иа ное ра нение xdt ( 2t 1) dx = 0 , о орое е с ра нение с ра де Ра де и пере енн е dt dx = . 2t 1 x Ин е рир обе час и, по чае dt dx , = 2t 1 x d ( 2t 1) dx = 2 , 2t 1 x о с да на оди - 25 - и ис пере енн и. ln 2t 1 = 2ln x ln 2t 1 = ln ln c , c , x2 и и 2t 1 = c , x2 де c – прои о на пос о нна . Верне с пер онача но пере енно , о да об ее ре ение при е ид y= де c1 = c – прои о 2 x 2 c1 x ( 2.14.) на пос о нна . С ед е а е о е и , ч о про ессе ре ени о ниа а необ оди ос де и на н ии x и 2t 1. Прира ниа и н , по чае о о н е ре ени : 1) x = 0 , 2) 2t 1 = 0 , и и y = x . 2 Ле о беди с про ер о , ч о обе н ии до е оданно ди ерен иа но ра нени ; ора н - р y= и н x по чае с и об е о ре ени ( 2.14.) при c1 = 0 ; 2 x = 0 не о е б по чена и об е о ре ени и ( 2.14.) ни при а о начении прои о но пос о нно c1 . x c1 – об ее ре ение, де c1 – прои о 2 x на пос о нна , x = 0 . Ответ. y ( x ) = аме ание: Ура нение при ере 2 (x о но б о а е аписа y ) dx xdy = 0 иде - 26 - - y . x y = 1 По ченное ра нение и ее f и по о ид ра нени y y = 1 , x x е с однородн . - 27 - ( 2.8.) , де Задание 2. Показать, то данные дифференциальные уравнения являются однородными и решить их. 1. x y =y 3. x 8y . y = 8x y 5. x y y =x 7. y = 9. y xy = y 3 x sin . x 2 2 2 4 xy 2 x . 2 2 y . 2y x . 2x y y2 x2 y . x 2. y = 1 4. 3y 3 2x 2 y . xy = 2y 2 x 2 6. 4x 2 y 3y 3 . xy = 2 2 2x 2 y 8. xy = 2 x 2 y2 y. 3 y 3 6 yx 2 . 10. xy = 2 y 2 3x 2 x 2 xy y 2 . 11. y = 2 x 2 xy 12. x y 13. x y y = 2 x 2 14. x y y2 . x 2 2 xy y 2 . 15. y = 2 x 2 2 xy y ln dy dx 2y = 0. x x2 = 2 y 2 . 16. xy = 3 x 2 y x y2 y. 17. x y = y x e . 10 x 2 y 3 y 3 . 18. y x = 5x2 2 y 2 x 2 3 xy y 2 . 19. y = 2 3 x 2 xy 20. xy = 3 2 x 2 21. x y = y 12 x 2 y 3 y 3 . 22. xy = 2 y 2 6 x2 2 23. y = 25. (y 27. (y 29. y 2 x2 2 8 xy . xy 3 y 2 . x 2 4 xy xy 2 12 x 2 ) dx = x 24. xy = 2 y 2 3 x 2 dy . 2 xy ) dx x 2 dy = 0 . x y = xyy . 2 y2 26. (x 28. xy y. 2 y ) dx xdy = 0 . y y = x tg . x y x 30. xy = y x e . - 28 - y. - 29 - 2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Я. Бернулли Определение 1. инейным дифференциальным уравнением первого порядка на ае с ра нение, о орое о но аписа иде y p ( x) y = f ( x) , ( 2.15.) де p ( x ) и f ( x ) – аданн е непрер н е с и – пос о нн е ( f ( x ) – с ободн ч ен f ( x ) ра нени ин ер а е ( a; b ) , о оро ра нени ии, час но- ч ен и и пра а час ра нени ). Б де по а а , ч о о и с ободн н и иен ра нени p ( x ) ( 2.15.) непрер н на не- о оро ра с и ае с ре ение ( 2.15.) . ра нении ( 2.15.) , Ес и пра а час о дес енно не ра на н н и f ( x) , на ( a; b ) , о ра нение ( 2.15.) на- ае с линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Ес и е пра а час ра нении ( 2.15.) , н и f ( x ) , на ( a; b ) , о ра нение ( 2.15.) при- о дес енно ра на н ни ае ид: y p( x) y = 0 ( 2.16.) и на ае с о с чае линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка, соо е с и ине но неоднородно ра нени ( 2.15.) ( ине ное однородное ди ерен иа ное ра с е и а с однородн и ди пер о о пор д а, содер а и и р е расс а ри а ис е). О нение I пор д а не с ед е ерен иа н и ра нени и однородн н и , о ое и , ч о ине ное однород- - 29 - ное ра нение е с ра нение енн и. а Ино да ра нение ( 2.16.) на с ра де и ис пере- ине н ра нение бе пра о час и. С ес е нес о о е одо ре ени ине но о ди ерен иа но о ра нени пер о о пор д а. Расс о ри нес о о и ни . I. етод . Бернулли Ре ение ра нени ( 2.15.) ра с и ае с иде ( 2.17.) y=u v де u = u ( x ) , v = v ( x) – но е неи ес н е н ии ар ен а x . И ра енс а ( 2.17.) на од ( 2.18.) y =u v u v ра нение ( 2.15.) Подс а ес о y и y и ени чере u и v , со асно ра енс а ра- ( 2.17.) и ( 2.18.) , по- ча u v u v p ( x) u v = f ( x), Да ее, р ппир е о час и с а ае е с об и а с обно и е е v (и и u ), и, нос об и но и е и, и е u В ачес е н ( 2.19.) p ( x)u v u v = f ( x) ии u ( x ) бере одно и ре ени ди - ерен иа но о ра нени u . е. н и u ( x ) подбирае с ра нении ( 2.19.) , б оди с p ( x)u = 0 а , ч об ра ен н о . То да а об ее ре ение ра нени - 30 - ( 2.20.) и иен при v н и v ( x ) на- u v = f ( x) , ( 2.21.) Подс а по ченн е ра ени д н и u = u ( x) ор н и y ( x) . и v = v( x) ( 2.17.) , на од ис о Та и обра о , с по о подс ано и ( 2.17.) ре ение ине но о ди ерен иа но о о носи е но неи ес но н ра нени пер о о пор д а ре еии y ( x ) с оди с ни д ди ерен иа н ра нени с ра де и ис пере енн и, одно – о носи е но но о неи ес но н ии u ( x ) , др ое – о носи е но др о но о неи ес но н ии v ( x ) . Пример 1. На и ре ение ра нени , 2y =x x y до е ор ее нача но Решение. Данное ра нение р д а. Здес о но счи а Ре ение данно о ди а иде о y (1) = 0 . с о и е с p( x) = ине н пер о о по- 2 , f ( x) = x . x ерен иа но о ра нени б де ис- y = u v, ( 2.17.) y = u v uv ( 2.18.) y и y и ( 2.17.) и ( 2.18.) данное да Подс а ра нение, по ра ени д чае u v uv 2uv = x. x Гр ппир е о час и пер ое и орое с а ае об и но и е а с об и, по чи - 31 - еи нос 2u v uv = x x u Подбере с об а б а , ч об , . е. н и u о ра но н u ( 2.23.) ра ение адра н 2u = 0. x Ре ае по ченное ра нение с ра де и ис пере енн и и на оди н и u , а е о не о орое нен е ое ре ение: du 2u = , dx x и и, пос е ра де ени пере енн , du 2dx , u = u x 0. Ин е рир , на оди du dx = 2 , u x ln u = 2ln x ln c 0 , и и u= В бира c 0 = 1 , по а способ ( 2.23.) и ее ди x2 . чае u= То да, чи c0 1 x2 бора н ии v ( x ) : uv = x , а н ии u ( x ) и ерен иа ное ра нение д оро неи ес но и и, чи ( 2.24.) ( 2.24.) - 32 - ра нени на о дени 1 v = x, x2 о орое е с ди ерен иа н ра нение с ра деи ис пере енн и о носи е но др о неи ес но н ии v ( x ) . Ре а е о, по чае dv = x3 , dx и и dv = x 3 dx . Ин е рир пос еднее ра енс о, на оди dv = x3 dx , и и x4 v= 4 ( 2.25.) c, де c – прои о на пос о нна . Пере но а на денн е ра ени д н и u ( x) и v( x) , на оди ис о ое ре ение x4 4 1 y = uv = 2 x c . Та и обра о , об ее ре ение данно о ине но о ра нени и ее ид x2 y ( x) = 4 c , x2 де c – прои о на пос о нна . Испо аданное нача ное с о ие, б де и е 0= о 1 c, 4 да на оди c= 1 . 4 - 33 - То да ис о ое час ное ре ение и ее x2 y= 4 x2 Ответ. y ( x ) = 4 II. ид 1 . 2 4x 1 – час ное ре ение. 4 x2 етод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) о е од а чае с с ед е : 1) на од об ее ре ение соо е с е о ине однородно о ра нени , о орое б де содер а с; и о н пос о нн 2) ре ение ис одно о неоднородно о ди ерен иа ра нени с ед е ис а о е иде, ч о и ре соо е с е о однородно о ра нени , но а с на н и с ( x ) . О с а ее, на пос о нн об ее ре ение данно о ра нени . Пример 2. Ре и Решение. 1) Ре ае соо е с о ра нение с ра де dy и ра де dx но о ение ени од ине но о неоднородно о ине ное ди y на но о про- ерен иа ное ра нение y cos x = e sin x . ее однородное ра нение: y y cos x = 0 . и ис пере енн пере енн е, по чи dy = y cos x , dx и и - 34 - и. За ен y dy = cos xdx . y Пос е ин е риро ани и ее dy = y о cos xdx , да на оди ln y = sin x c 0 , и и y=e sin x c0 . c0 По а а e = c , по чае об ее ре ение соо е с однородно о ра нени иде y = c e sin x , е о ( ) де c – прои о на пос о нна . 2) Ре ение ис одно о неоднородно о ди ерен иа но о ра нени б де ис а о е иде, ч о и ре ение ( ) соо е с е о однородно о ди ерен иа но о ра нени , о о а ен пос о нн c на н и c ( x ) : y = c( x) e Проди ( 2.26.) sin x ерен ир е ра енс о ( 2.26.) по x : y = c ( x)e Подс а и sin x ( 2.27.) ра ени ( 2.26.) и ( 2.27.) c ( x ) cos x e ис одное ра нение sin x ес о y и y б де и е c ( x)e Преобра sin x c ( x ) cos x e sin x c ( x ) cos x e по ченное ра енс о, по чае c ( x ) = 1, и и dc = 1, dx dc = dx , - 35 - sin x =e sin x . о да, пос е ин е риро ани , на оди dc = dx , и и c ( x) = x c0 , де c 0 – прои о на пос о нна . Подс а на денное ра ение д чи об ее ре ение ис одно о ди y = ( x c0 ) Ответ: y ( x ) = ( x c0 ) e sin x c( x) ( 2.26.) , по - ерен иа но о ра нени e sin x . , де с0 – прои о на пос о нна . Замечание. Не о ор е ра нени с ано с ине н и по ен ро и ис о н и и не а иси енн . Пример. Расс о ри о оро н Учи y е с ра нение y = ( 2x н и, еспере- y3) y , ие о x . Оно не е с ине - о носи е но y . а ,ч о y = 1 , б де и е x y = ( 2x y3 ) ра нение 1 , x и и x 2x = y2 , y о орое е с ине н о носи е но пере енно x , . е. дес x = x( y) – ис о а н и , y – не а иси а пере енна . Определение 2. равнением . ернулли на ае с об ноенное ди ерен иа ное ра нение пер о о пор д а, о орое о но аписа иде - 36 - p ( x) y = f ( x) yn , ( n y де y = y ( x ) – неи ес на и не а иси о о пере ен- ен а x , p ( x ) , f ( x ) – и ес н е но о ар ра нени , y n = y ( x ) иен н н n ( 2.28.) 0, 1) н ии, о и- – n - с епен неи ес но ии y ( x ) . С ес е нес о о способо ре ени ра нени Я. Берн и. Один и ни сос ои о , ч о ес и аписа иде ра нение ( 2.28.) y о с по о н n p ( x ) y1 n = f ( x ) , y y а ен ( 2.28.) 0, z = y1 n , де z = z ( x ) – но а неи ес на и , ра нение ( 2.29.) при оди с ине но ди е- рен иа но ра нени пер о о пор д а, о орое о но ре и б и еи о енн способо . Одна о, ре ение ра нени Я. Берн и ( 2.28.) добне ис а е одо И. Берн и, . е. иде y = u v, не при од е о Пример 3. Ре и ине но ра нени . ра нение y 2y = e x y 2. Решение. Данное ра нение е с ра нение Я. Берн и ( n = 2 ) . Ре и е о по е од И. Берн и, . е. ре ение б де ис а иде прои едени д н и : y = u v, де u = u ( x ) , v = v ( x ) – но е неи ес н е На де y =u v u v . - 37 - н ии. Подс а и ис одное ра нение ес о y и y и ра е- ни чере u и v , по чи 2u v = e x u 2 v 2 , u v u v и и, пос е р ппиро и с а ае е о час и по ченноо ра енс а и несени об е о но и е а с об и, б де и е u v u v Ф н и v ( x ) на де ( 2.30.) 2v = e x u 2 v 2 а не о орое час ное ре ение ра нени v о ра нение с ра де ре енн е и ин е рир 2v = 0 . и ис пере енн и. Ра де а е обе час и, по чи пе- dv = 2v , dx и и dv = 2dx , v о да и ее dv = 2 dx , v ln v = 2 x c 0 , v=e 2x c0 . По а а c0 = 0 , по чи v=e При а о и е но боре ии v ( x ) и н ( 2.31.) 2x ра нени с ед ее ра нение о носи е но н ии u ( x ) : u e и и, пос е нес о н 2x = e x u 2 (e 2x ) 2 оро неи ес - , преобра о ани , по чи u = e x u 2, - 38 - ( 2.30.) б де ра нение ( 2.32.) о орое е с ра нение с ра де и. Ра де и пере енн е du =e dx и ис пере енн - x u2, x dx . и и du =e u2 Проин е рир е обе час и du = e x dx , 2 u 1 = e x c, u де c – прои о на пос о нна , и и 1 =e u о x c, да на оди u ( x) = 1 x e ( 2.33.) c За е и , ч о, ро е по ченно о об е о ре ени н и u = 0 , о о( 2.33.) ра нени ( 2.32.) до е ор е ра не о е б по чена и ( 2.33.) ни при а о ор прои о но начении пос о нно c . Та и обра о , ре ени ис одно о ра нени 1. при u = 0 , v = e 2 x , y = 0 . 2. при u ( x ) = 1 x , v=e 2x , y= e x а о : 2x – об ее ре ение. e c e c e 2x Ответ: y ( x ) = x – об ее ре ение, де c – прои о e c пос о нна , y = 0 . - 39 - на Задание 3. айти: а) решение зада и оши для линейного дифференциального уравнения первого порядка. б) решение уравнения Бернулли, удовлетворяющее заданному на альному условию. 1. а) y б) y = x2 , x dy dx 2. а) y y (1) = 0; xy = (1 x ) e x y ( 0 ) = 1. y2 , y ctgx = 2 x sin x, y 1 y cos x = sin 2 x, 2 б) 2 ( xy y ) = xy 2 , y ( 0 ) = 0; 3. а) y 4. а) y б) 5. а) y б) x y (1) = 2. y tg x = cos 2 x, dy dx y 4x 3 y = 4( 1 x 3 ) e 4x y = y 2 ln x , 1 y (1) = . 2 dy y = (1 x ) e x , dx x 1 б) 2 ( y xy ) = (1 x ) e x y 2 , dy dx y = x sin x, x б) 3 ( xy 8. а) y y ( 0 ) = 1. y ( 0 ) = 0; x2 6. а) 7. а) y 2, 1 = ; 4 2 , 2 xy = 3x 2 e dy dx = 0; 1 y (1) = . 2 y = 2 y 2 ln x, б) xy 2 y ( 0 ) = 1; y ( 0 ) = 2. y y ) = y 2 ln x, 1 y sin x = 0, x = 1; y (1) = 3. y( - 40 - 2 )= 1 ; y cos x = y б) 2 y 9. а) dy = dx y x 1 cos x (1 sin x ) , y (1) = 1; x2 , б) y 4x 3 y = 4 y 2 e 4x 10. а) y 2 xy 2x 2 = , 1 x2 1 x2 б) 3 11. а) dy dx 2 xy = 2x e y2 (1 3y = y ( 0 ) = 1. y ( 0) = 2x 2 2 y ( 2) = 4 ; 3) y 3 , 13. а) y = б) 3 ( xy y x 2ln x , x y ) = xy 2 , 1 12 y= 3, x x x 1 1 y ( 0) = . 2 5 y (1) = ; 6 y (1) = 1. y (1) = 1; y ( 0 ) = 2. 2 xy = 2 x 3 y 3 , 2 y ( 0 ) = 1. y (1) = 4; dy 1 = y 3 x, dx x 2x 1 , y y (1) = 3. dy y = 2 xy 2 , dx dy 2 y = x3 , 15. а) dx x б) 3 xy 5 y = ( 4 x 5 ) y 4 , 17. а) y 1 ; 2 y (1) = 1; б) б) y y (1) = y (1) = e; 3 y cos x = e 2 x ( 2 3cos x ) б) 2 y 14. а) y (5x 2 ; 3 y ( 0 ) = 1. , x y ( x 1) e = , x x dy 12. а) dx 16. а) x 3 ), dy 2 x 5 = y 5, dx x2 б) 2 xy y ( 0 ) = 1. y = 1 x2 , - 41 - y (1) = 3; dy y = y 2 ln x, dx 1 2x y = 1, 18. а) y x2 dy 1 б) 2 3 y cos x = ( 8 12cos x ) e 2 x , dx y y (1) = 1 . б) x 19. а) dy dx y (1) = 1; y ( 0 ) = 2. 3y = 2x 3, x y (1) = 1; 4 x3 y = ( x3 8) e б) 4 y 2x y ( 0 ) = 1. y2 , 1 y (1) = ; e y ( 0 ) = 1. dy 2 xy 2 x3 = 0, dx б) y xy = ( x 1) e x y 2 , 20. а) xy 1 = x, 2 2 (1 x ) 2 21. а) y б) 2 x dy 3y = dx 22. а) y б) 2 xy ( 20 x 2 y (0) = ; 3 12 ) y 3 , 2 x 3 = 0, dy 3 y cos x = e dx 2x (2 dy 2y 2 = e x (1 x ) , dx x 1 б) 2 ( y xy ) = ( x 1) e x y 2 , 23. а) 2 dy 2 xy = x e x sin x , dx б) 2 ( xy y ) = y 2 ln x , 24. а) 25. а) y = y x 2 . 2 y ( 0 ) = 3; y (1) = 2 , x2 3cos x ) 1 , y y ( 0 ) = 1. y ( 0 ) = 1; y ( 0 ) = 2. y ( 0 ) = 1. y (1) = 2 . y (1) = 1; dy 2 4 y tgx = y sin x, dx 3 26. а) y 3 y = e2 x , б) - 42 - y ( 0 ) = 1. y ( 0 ) = 3, 2; б) (1 x 2 ) 27. а) dy dx dy dx y cos x = sin 2 x, б) xydy = ( y 2 28. а) dy dx x ) dx, 2 x2 y = 4 y, 30. а) xy б) 2 ( y ) = 1; y (1) = 2; dy 5 y = ( 4 x 5) y 4 , dx y (1) = 1. 3 2 x2 2 y (1) = e ; x y=e , 2 y( 1 y (1) = ; 2 y (1) = 0. y = ln x 1, 29. а) xy y ( 0 ) = 0. y (1) = 0. 2y 1 = 2 , x x ex б) xy б) 3 x 2 xy = 4 y ( 1 x 2 ) arctg x, y ( 0 ) = 2. y ) = x y2 , - 43 - 2.4. Уравнения в полных дифференциалах Определение 1. Ди ерен иа ное ра нение ида M ( x, y ) dx N ( x, y ) dy = 0 ( 2.34.) на ае с уравнением в полных дифференциалах, ес и е о еа час е с по н ди ерен иа о не о оро н ии F ( x, y ) , . е. dF ( x, y ) dF dx dx Спра ед и о с ед Д о о ч об dF dy = M ( x, y ) dx N ( x, y ) dy dy ее утверждение: ра нение ( 2.34.) б ( 2.35.) о ра нение по н ди ерен иа а , необ оди о и дос а очно, ч об по н ос с о ие об ре и н и M ( x, y ) N ( x, y ) y x ра нение ( 2.34.) , необ оди о на и а F ( x, y ) , по н час и ра нени ( 2.36.) ди ерен иа ( 2.34.) , о ес , ч об о оро ра ен е о по н ос с о ие ( 2.35.) . То да, ч о оче идно с ед е и ра нени ( 2.34.) , б де по н с ра енс о dF ( x, y ) = 0 , и, с едо а е но, се ре ени е ор ра нени ( 2.34.) б д до - с о и F ( x, y ) = c , де c – прои о на пос о нна . Д на о дени н ии F ( x, y ) оспо F = M ( x, y ) , x F = N ( x, y ) y - 44 - е с ра енс а и ( 2.37.) Ин е рир пер ое и и ра енс по x , счи а y пос о н- но е ичино по о но ени пере енно ин е риро ани н и F ( x, y ) с очнос до прои о но x , опреде и ди ерен ир е о н ( y) ( н и ии ( y ) и рае о с чае ро пос о нно ин е риро ани , очнее, пос онно по о но ени пере енно ин е риро ани x , . е. не а ис е о x ) F ( x, y ) = M ( x, y ) dx = ( x, y ) ( y), ( 2.38.) н и ; ( x, y ) де ( y ) – прои о на ди ерен ир е а – пер ообра на о M ( x, y ) . Да ее, ди ерен ир е ( 2.38.) по y и с че о оро о ра енс а и ( 2.37.) по чае ра нение д опреде ени н ии ( y ) : ( x, y ) d = N x, y . ( ) y Пример. Ре и ( 2 xy Решение. В данно с dy ра нение 3 y 2 ) dx (x 2 6 xy 3 y 2 ) dy = 0 . чае и ее M ( x, y ) = 2 xy 3 y 2 , N ( x, y ) = x 2 6 xy 3 y 2 . На оди M ( x, y ) y N ( x, y ) y Та и обра о , = = ( 2 xy y x ( y 2 3 y2 ) = 2x 6 y , 6 xy 3 y 2 ) = 2 x 6 y . по нено с о ие M N , = y x - 45 - с едо а е но, данное ра нение е с ра нение по н ди ерен иа а , . е. е о е а час де с и е но е с по н ди ерен иа о не о оро н ии F ( x, y ) . Д ис о о ии F ( x, y ) и ее н F F = 2 xy 3 y 2 , = x2 y x Ин е рир ( 2 xy F ( x, y ) = Д ( 2.39.) по x ,счи а пер ое и ра енс нно , по чи опреде ени н 3 y 2 )dx = x 2 y 3 y 2 x ( y ) ди ии y пос о- ( y). ерен ир е пос еднее ра енс о по y , счи а x пос о нно , и, с че о ра енс ( 2.39.) 6 xy 3 y 2 оро о и ( 2.39.) , и ее F = x2 y 6 xy y = x2 6 xy 3 y 2 , о с да y = 3y 2 , о да = 3y 2 y , и и, ин е рир = 3 y2 y , ( y) = y 3 c1 , де c1 – прои о на пос о нна . По о F ( x, y ) = x 2 y 3 xy 2 Все ре ени ис одно о ра нени x 2 y 3xy 2 Ответ: x 2 y 3 xy 2 y3 c1 . апи y3 = c . с иде y 3 = c – об и ин е ра , де c – прои - о на пос о нна . - 46 - Задание 4. Проверить, то данные уравнения являются уравнениями в полных дифференциалах и решить их. 1. 2. 3. 4. ( x e 1) dy = 0. (1 y sin 2 x ) dx 2 y cos x dy = 0 . ( 3x 4 y ) dx (8 xy e ) dy = 0. e dx ( 2 y x e ) dy = 0 . 3x 2 e y dx 2 2 y y dx cos 2 x ( 2 xy y 2 y 3) dx (x 6. ( 3x 7. 2x 1 8. ( sin 2 x 3x 2 ( 2 10. 11. e y dx 14. x2 (1 1 x2 13. y y y2 12. 2 2 5. 9. y 3 tg x ) dy = 0. 2 x 3 y 2 ) dy = 0. 3 ) dx y x2 y ) ) dx 2cos ( x 2cos ( x x3 y ln y ) dy = 2 y 3y2 dx x4 (2y y dy = 0. y ) dy = 0. dy. 2y dy = 0. x3 y xe ) dy = 0. y dx ( y 3 ln x ) dy = 0. x ( x cos 2 y 1) dx x 2 sin 2 y dy = 0 . 1 xy 1 xy dx dy = 0. 2 2 x y xy x y 15. 1 e 16. y dx x2 17. xe x dx e x y 1 x y dy = 0. xy 1 dy = 0. x y 1 dx = dy. 2 x x - 47 - 18. 19. ( x2 2x 1 y x2 21. (y 22. xe y dx 23. x dy x2 26. 3 27. ( x x2y ey 2 dy = 0 y ) tg 2 y dy = 0 y dx = 0. 2 y 2 y sin y 2 y dy 1 dy x 1 dx x y sin x 2 y 2 = 0. x cos y cos x 1 dy = 0. y y 2 sin 2 x ) dx 2 y cos 2 x dy = 0. (1 2 28. x sin y 29. 3x 2 30. xdy = 0. x2 y2 2 x 3x y dy y 2 (1 x2 ( cos y xe ) dy = 0 cos x ) dx ( 3 xy e ) e y dx 25. ) dx = e x dx y2 20. 24. y2 ln y ) dx = 2 y 2 dx x x (x y 2 2 1) cos y cos 2 y 1 2 2x cos y y 2 x3 dy. y 1 x dx 1 y dy = 0. 2x 2x cos dy = 0. y2 y y dx x - 48 - 2 y 2 1 y x y2 dy = 0. Контрольные вопросы I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. Ка ое ра нение на ае с ди ерен иа н ра нение с ра де енн и и ра де и ис пере енн и? При еди е при ер . Ка ое ра нение на ае с однородн ди ерен иа н ра нение пер о о пор д а? Ка на и е о об и ин е ра ? Ка ое ра нение на ае с ине н ди ерен иа н ра нение пер о о пор д а? При еди е при ер. На о и е осно н е е од ре ени ине н ди ерен иа н ра нени пер о о пор д а, че они ача с ? Ка ое ди ерен иа ное ра нение на ае с ра нение Я. Берн и? У а и е е од е о ре ени . Ка ое ра нение на ае с ди ерен иа н ра нение по н ди ерен иа а ? С ор ир е с о ие, при о оро аданное ра нение е с ра нение по н ди ерен иа а . Опреде и е а о ип о нос с ди ерен иа н е ра нени : 1. x (1 y 2 ) 2. ( 2 xy 3. dy dx 4. x y 5. x y (1 x 2 ) 3 y 2 ) dx 2 xy = 3 x 2 (x dy = 0; dx 6 xy 3 y 2 ) dy = 0; 2 2 x4 ; y y = x tg ; x dt t = 1; dx - 49 - 6. xy 2 y = x 2 7. (x 8. y dx x 9, y 2 ) y = 2 xy; 2 ( xy 10. y y3 ; ( y ln x ) dy = 0 ; e ) dx x dy = 0 ; 3 x 2 y = x4 ex y3 . x - 50 - § 3. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 3.1. Уравнения вида y ( n ) = f ( x ) Расс о ри ра нение ида ( 3.1.) y ( n ) = f ( x) , де f ( x ) – непрер н и , y = y ( x ) – неи ес на на н и , y ( n ) – прои одна пор д а n неи ес но н ии y. Д по чени об е о ре ени ра нени ра проин е риро а е о обе час и, ре ение ра нени ( 3.1.) б де и е y = dx dx... f ( x ) dx = F ( x ) c1 x n 1 ре ид: c2 x n 2 ( 3.1.) с ед е а е че о об ее ... c n 1 x c n , ( 3.2.) де c1 , c 2 , ..., c n – прои о н е пос о нн е. Пример 1. Ре и ра нение y = sin x . Решение. Оче идно, данное ра нение о носи с расс а ри ае о ид ( n = 3) . Запи е данное ра нение иде (y ) = sin x , d(y ) = sin x , и и dx и и d ( y ) = sin x dx , - 51 - n о да, проин е риро а обе час и пос едне о ра енс а, почи d ( y ) = sin x dx , и и y = cos x c1 , де c1 – прои о на пос о нна . Пос па ана о ично, по чи да ее (y ) = cos x c1 , и и d(y dx и и )= cos x c1 , d ( y ) = ( cos x c1 ) dx , ин е рир пос еднее ра енс о, по чи d(y )= ( cos x c1 ) dx , и и y = sin x c1 x c 2 , де c 2 – прои о на пос о нна . Пос па а е, а и ранее, б де и е dy = sin x c1 x c 2 , dx и и о dy = ( sin x c1 x c 2 ) dx , да dy = ( sin x c1 x c 2 ) dx , о да об ее ре ение данно о ра нени б де и е y = cos x c1 x2 2 - 52 - c2 x c3 , ид и и x2 2 y = cos x c1 де c1 = c1 2 , c1 , c 2 , c 3 – прои о Ответ: y ( x ) = cos x c1 c1 , c 2 , c 3 – прои о c2 x c3 , н е пос о нн е. x2 2 c 2 x c 3 – об ее ре ение, де н е пос о нн е. Пример 2. На и ре ение адачи Ко и y IV = e 2 x , y ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 2, y ( 0 ) = 3, y ( 0 ) = 1 . Решение. 1) На де об ее ре ение данно о ра нени че н ин е риро ание е о обеи час е : d(y dx ре ра - ) = e 2x , d(y ) = e 2 x dx , d ( y ) = e 2 x dx , 1 y = e 2x 2 c1 , ( 3.3.) да ее, d(y dx ) = 1 e 2x d(y )= d(y )= 2 1 2x e 2 1 2x e 2 c1 , c1 dx , c1 dx , 1 y = e 2 x c1 x c 2 , 4 d ( y ) 1 2x c1 x c 2 , = e dx 4 - 53 - ( 3.4.) d(y )= d(y )= 1 y = e 2x 8 dy 1 2 x = e dx 8 1 dy = e 2 x 8 dy = о 1 2x e 8 1 2x e 4 c1 x c 2 dx , 1 2x e 4 c1 x c 2 dx , c1 x2 2 c2 x c3, c1 x2 2 c 2 x c3 , x2 2 c1 c1 x2 2 c 2 x c 3 dx , c 2 x c 3 dx , да об ее ре ение ис одно о ра нени и ее 1 y = e 2x 16 c1 x3 6 x2 2 c3 x c4 , c1 x 3 c 2 x 2 c3 x c4 , c2 ( 3.5.) ид и и y= де c1 = c1 6 , c2 = c2 2 1 2x e 16 , c1 , c 2 , c 3 , c 4 – прои о ( 3.6.) н е пос о нн е. Прои о н е пос о нн е c1 , c 2 , c 3 , c 4 на де и сис е ра нени : 1 20 e c1 0 3 c 2 0 2 c 3 0 c 4 , 16 1 20 02 c1 c2 0 c3, 2= e 8 2 1 3 = e 2 0 c1 0 c 2 , 4 1 1 = e 2 0 c1 , 2 0= - 54 - ( 3.7.) о ора н ( 3.3.) , ( 3.4.) , ( 3.5.) , ( 3.6.) и аданс о и . Ре а сис е ( 3.7.) , б де и е е ае и ра енс нача н 1 , 16 17 , c3 = 8 11 c2 = , 4 3 c1 = , 2 c c а , ч о c1 = 1 , c 2 = 2 , по 6 2 1 , c1 = 4 11 c2 = , 8 17 , c3 = 8 1 c4 = . 16 c4 = и и, чи То да ре ение данно чи адачи Ко и и ее ид: 1 2 x 1 3 11 2 17 1 . e x x x 16 4 8 8 16 1 2 x 1 3 11 2 17 1 – час ное реОтвет: y ( x ) = e x x x 16 4 8 8 16 y= ение (ре ение адачи Ко и). - 55 - Задание 1. 5. Решить зада у оши: y ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 2, y ( 0 ) = 1 y = 3 cos 2 2 x , ( ) 4 x 1 2 y (1) = 0, y (1) = 1, y (1) = 1, y (1) = 2 2. y IV = 3. y = 4. y =2 cos x , sin 3 x y 5. sin 3 x 4 , y = sin 2 x y 6. y = 27e 3 x 120 x 3 , y ( 0 ) = 3, y ( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 2 7. y = x e x, y ( 0 ) = 3, y ( 0 ) = 2 8. y = x cos3 x , y ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 1 9. y = 2sin x cos 2 x sin 3 x , y ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 1 x 1 ( x 1) 3 , , y ( 2 ) = 3, y ( 2 ) = 2, y ( 2 ) = 2 2 = 0, y = 1, y 2 = 0, y = 2 1 2 2 4 sin x , 3cos3 x 1 11. y = , x 12. y = x ln x , y (1) = 1, y (1) = 2, y (1) = 2 13. y = x e x , y ( 0) = 1, y ( 0) = 0 14. y = ln x , x2 y ( e ) = 4, y ( e ) = 15. y = 1 , 2 2 sin x cos x y 10. y = 16. y IV x4 , = 1 x2 17. y = sin 2 3x , 2 y ( 0 ) = 3, y ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 7 y (1) = 1, y (1) = 0 4 = 3, y y ( 1) = 0, y y ( 1) = 4 2 e =0 ( 1) = 2, 3, y ( 1) = 7 y ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 3 - 56 - =2 18. y = 4 x3 2 4 x x5 2 y ( 0 ) = 2, y ( 0 ) = 5 , 19. y = ( 2 3 x ) , y ( 2 ) = 1, y ( 2 ) = 3, y ( 2 ) = 6 20. y sin 4 x = sin 2 x , y 5 21. y IV x x = sin cos 2 2 22. y = x2 2 , 5x 6 , x 3 e 6x 2 = ,y 2 = 2, y 2 = 1 y ( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 5, y ( 0 ) = 3, y ( 0 ) = 8 y ( 1) = 0, y ( 1) = 1, y ( 1) = 2 25. y = tg 2 3 x , 4 1 , y ( 0) = , y ( 0) = 1 27 9 3 y ( 0 ) = 6, y ( 0 ) = , y ( 0 ) = 2, y ( 0 ) = 5 2 y ( 0 ) = 9, y ( 0 ) = 5 26. y = sin 4 x cos 6 x , y ( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 2, y ( 0 ) = 4 27. y = cos 3 2 x , y 23. y = e 3x 1 y (0) = , 24. y IV = 64sin 2 x cos 2 x , 28. y ( ) = x 1 2 3 1 x 1 1 cos 2 x 29. y = , 1 cos 2 x x2 , 30. y = 1 x2 , 4 = 0, y 4 = 4 3 y ( 4 ) = 1, y ( 4 ) = 2, y ( 4 ) = 3 y ( 0 ) = 5, y ( 0 ) = 2 y ( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 0 . - 57 - 3.2. Уравнения, не содержащие искомой функции I. Ди ерен иа ное ра нение n - о пор д а, не содер а ие ис о о н ии, и ее ид ( ) ( 3.8.) F x, y , y ,..., y ( n ) = 0 , Пор до е о о е б ен пони ен на едини с по о y = p( x) , де p ( x ) – но а ис о а Та а н ( 3.9.) и . ра нение ( 3.8.) а ена при оди а- ( F x, p, p , p ,..., p ( n 1) ра нени )=0 ( 3.10.) II. Ди ерен иа ное ра нение о орое не содер и ни ис очио н ии y , ни ее прои одн до пор д а ( k 1) е но, . е. и ее ид ( F x, y ( k ) , y ( k 1) ) ( 3.11.) ,..., y ( n ) = 0 , пони ен на k едини Е о пор до о е б подс ано и ре а е ( 3.12.) н и . То да ра нение ( 3.11.) y( k ) = p ( x ) , де p ( x ) – но а ис о а прини ае ид ( F x, p, p , p ,..., p ( n Пос е опреде ени од и ра нени k ) ) = 0. н ии p ( x ) ис о ( 5) k - ра н ( 3.13.) н и y ( x ) на- ин е риро ание е о обеи час е . III. Ди ерен иа н е ра нени , о ор е содер а о о д е пос едо а е н е прои одн е неи ес но н ии, . е. ра нени ида - 56 - ( F y(n Ес и 1) ) ид (y( )) y(n) = и ре ае с с по о де p ( x ) – но а ис о а 1) = p( x) н и . Та а подс ано а ( 3.16.) при оди Опреде и и ра нение ( 3.16.) , на од ( 3.16.) ра нение ( 3.15.) dp = ( p). dx ра нени ( 3.17.) н Пример 1. Ре и ( 3.15.) n 1 подс ано и y(n ее о носи е но y ( n ) , о о ра нение дае с ра ре и оно прини ае ( 3.14.) , y(n) = 0. ( 3.17.) и p ( x ) и подс а и неи ес н н и y ( x) . ра нение. y =5 y 1 . x Решение. Данное ра нение не содер и ис о о д ид а ен y = p( x) и y = p ( x) н ии y , по о е о ре ени про еде де p ( x ) – но а ис о а при е н ( 3.18.) и . То да данное ра нение ид p =5 p 1 , x и и dp 1 =5 p . dx x Ра де и пере енн е, по чи dp dx , =5 p x - 57 - о да, ин е рир , б де и е dp dx , =5 p x и и ln p = 5ln x ln c1 , и и p ( x ) = c1 x 5 , де c1 – прои о на пос о нна . Подс а на денн ра енс ( 3.18.) , по чи нача но ис о о p( x) пер ое ра нение и ра нение д опреде ени пер о- н и ии y ( x ) : н y = c1 x 5 , ре а о орое, б де и е dy = c1 x 5 , dx и и, ра де и пере енн е, dy = c1 x 5 dx . Пос е ин е риро ани по чи dy = c1 x 5 dx , и и y= c1 x6 c2 , y = c1 x 6 c2 , 6 и и де c1 = c1 6 , c 2 – прои о н е пос о нн е. Ответ: y ( x ) = c1 x 6 c 2 – об ее ре ение, де c1 , c 2 – прои о н е пос о нн е. - 58 - Пример 2. На и об ее ре ение ди нени ерен иа но о ра - 2 y = x 3. xy Решение. Данное ра нение не содер и ис о о о прои одно y . Сде ае н ии y и ее пер- а ен y = p( x) , де p ( x ) – но а неи ес на н То да данное ра нение при е ( 3.19.) и . ид 2 p = x3 , x p и и 2 p = x2 x p ( 3.20.) Пос еднее ра нение е с ине н ди ерен иа н ра нение пер о о пор д а о носи е но но о неи ес но н ии p ( x ) , о орое ре и е одо И. Берн и. Неи ес н н и p ( x ) б де ис а иде ( 3.21.) p = u v, де u = u ( x ) , v = v ( x ) – неи ес н е И н ии. ( 3.21.) и ее p=u v u v , Подс а и ра нение ( 3.20.) чере u и v и ( 3.21.) и ( 3.22.) , по чи u v u v ес о p и p и ( 3.22.) ра ени 2 u v = x2 , x и и, пос е р ппиро и с а ае е о час и по ченноо ра енс а и несени об е о но и е а с об и, u v u v - 59 - 2 v = x2. x ( 3.23.) Ф н и v ( x ) на де а одно и ре ени 2 v = 0, x v о орое е с и. И а , и ее ра нени ра нение с ра де и ис пере енн - dv 2 = v, dx x и и dv 2 = dx , v x пос е ин е риро ани dv dx =2 , v x о да ln v = 2ln x , и и v( x) = x 2 . То да д опреде ени н ( 3.24.) ии u ( x ) б де и е ра нение u v = x2 . Пос е подс ано и пос еднее на денно н ии v ( x ) по чи ра нение ра ени д u x2 = x2, и и du = 1, dx и и du = dx , о да, ин е рир , du = dx , u ( x ) = x c1 , - 60 - ( 3.25.) де c1 – прои о на пос о нна . То да, чи и ес на а ра енс а ( 3.24.) и ( 3.25.) , по н и p ( x ) и ее ид p ( x ) = x 3 c1 x 2 . Подс а ра ение ( 3.26.) д на денное ра енс о ( 3.19.) , б де и е чае , ч о не- с ед ее ди ( 3.26.) н ии p ( x ) ерен иа ное ра нение д опреде ени пер онача но неи ес но н ии y ( x ) , а и енно, ра нение y = x3 о орое ре и д И ее ра н c1 x 2 , ин е риро ание обеи час е . d(y dx ) = x3 и и, пос е ра де ени пере енн d ( y ) = (x3 c1 x 2 , , c1 x 2 ) dx . Ин е рир , по чи , y = c1 1 4 x 4 3 x3 c2 . Да ее, пос па ана о ично, б де и е dy 1 4 = x dx 4 c1 3 x3 c2 , и и dy = о 1 4 x 4 c1 3 x3 c 2 dx , да dy = 1 4 x 4 c1 3 и и - 61 - x3 c 2 dx , 1 5 c1 4 x x 20 12 y= и и, по а а c1 12 = c1 , по ис одно о ра нени c2 x c3 , чи о онча е но об ее ре ение иде y= 1 5 x 20 c1 x 4 c2 x c3, де c1 , c 2 , c 3 – прои о н е пос о нн е. Ответ: y = 1 5 x 20 c1 , c 2 , c 3 – прои о Пример 3. Ре и c1 x 4 c 2 x c 3 – об ее ре ение, де н е пос о нн е. адач Ко и д ра нени y = 2 y , y ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 2 . Решение. Данное ра нение содер и о о д е пос едо ае н е прои одн е неи ес но н ии y и y . Пони и е о пор до с по о а ен y = p( x) , де p ( x ) – но а неи ес на ( 3.27.) н и . То да ис одное ра нение при е ид p = 2p, и и dp = 2p, dx То да dp = 2dx , p о да, ин е рир , по чи dp = 2 dx , p ln p = 2 x c 0 , - 62 - и и p=e 2x c0 , c0 де c 0 – прои о на пос о нна , и и по а а , e = c1 , и ее ( 3.28.) p = c1 e 2 x , де c1 – прои о на пос о нна . То да, подс а на денное ра енс о ( 3.28.) , по чи о н ра ение д ра нение д н ии p ( x ) опреде ени ис о- ии y ( x ) y = c1 e 2 x . Проин е рир е пос еднее ра енс о пос едо а е но д а ра а. По чи d(y dx ) =c 1 e 2x , и и d ( y ) = c1 e 2 x dx . То да d ( y ) = c1 e 2 x dx , о да 1 y = c1 e 2 x 2 c2 , де c 2 – прои о на пос о нна . Да ее, пос па ана о ично, б де и е dy 1 = c1 e 2 x dx 2 c2 , и и dy = о 1 c1 e 2 x 2 c 2 dx , да 1 y = c1 e 2 x 4 c2 x c3 , - 63 - де c 3 – прои о на пос о нна . 1 4 По а а c1 = c1 , о онча е но по чи об ее ре ение исодно о ди ерен иа но о ра нени y = c1 e 2 x иде ( 3.29.) c2 x c3, де c1 , c 2 , c 3 – прои о н е пос о нн е. Д опреде ени пос о нн c1 , c 2 , c 3 оспо н и нача н и с о и и и по чи с ед ра нени о носи е но c1 , c 2 , c 3 : е с адансис е 1 0 = c1 e 2 0 c 2 0 c 3 , 4 1 1 = c1 e 2 0 c 2 , 2 2 = c1 e 2 0 . И по ченно сис е опреде е : c1 = 2, c 2 = 0, c3 = 1 , 2 1 c1 = . 2 То да, подс а с о нн на денн е начени д c1 , c 2 , c 3 1 y = e2 x 2 1 2 по- об ее ре ение ( 3.29.) , по чи час ное ре ение и и ре ение адачи Ко и, Ответ: y ( x ) = e2 x прои о н иде 1 . 2 1 – час ное ре ение (ре ение адачи 2 Ко и). - 64 - Задание 6. айти общее решение дифференциального уравнения: 1. (1 x2 ) y 2. y x ln x = y , 3. x y 4. 2xy = y , 5. xy 6. y tg x 7. x2 y 8. y 9. x3 y y = 1, y = x 1, y 1 = 0, sin x x y = 1, ctg 2 x 2 y = 0 , 10. y x2 ) y 14. x 5 y 15. x y x3 y = 1 , 2y = 0, 12. x y (1 x2 y = 1, tg x = 2 y , 11. x 4 y 13. x y = 2, 2 x y = x3 , x4 y = 1, y 1 = 0, x x = 0, 16. x y y 17. x y y = x, 18. y tg x = y 19. y tg5 x = 5 y , 1, x2 y = x , 20. x3 y 21. (x 1) y 22. (1 sin x ) y = y cos x , y = x 1, 1 , x 23. x y y = 24. x y 2y = 25. x 4 y 26. y 2 , x2 x3 y = 4 , 2x x2 1 y = 2x , 27. (1 x2 ) y 28. (x 2 ) y IV = y , 29. x y 30. - 65 - ( cos x 2 xy = 12 x3 , y = 5x2 , 2 ) y = y sin x . 3.3. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной Ди ерен иа н е ра нени , не содер а ие но не а иси о пере енно , и е с ед и об и ид ( ) ( 3.30.) F y, y , y , ..., y ( n ) = 0 . С по о а ен y = p( y) и и ( де p ( y ) – но а ис о а ре енна ), пор до Та о а ора , ре ( 3.30.) пони ае с на едини . пере енн и се пос ед до н б преобра о ан енно б а y , а и енно, y =(y = p ( y ( x )) ) y =(y ) d2p 2 = p dy 2 = p p dp dy x x = прини ае с не x , а y , ие прои одн е ( y , y , ... ) а , ч об не а иси о пере- dp dp dy = = p p, dx dy dx dp = p dy y 2 p= p ( 3.31.) н и , y – но а не а иси а пе- ра нени а не а иси dy = p( y), dx dy d 2p = p dx dy 2 (p ) p2 2 dp dp dy dy p, … … … … … … … … … … … … ( y ( n ) = g p, p , ..., p ( n де p (i) 1) ), dip , i = 1, 2, ..., n 1 . = dy i - 66 - p= ( 3.32.) Подс ано и ( 3.31.) и ( 3.32.) ди ра нение ( 3.30.) при од ( n 1) - о пор д а о носи е н ии p ( y ) : ерен иа но ра нени но но о неи ес но ( F1 y, p, p , ..., p ( n 1) Ес и дае с на и об и ин е ра )=0 ( 3.33.) ра нени ( 3.33.) ( y, p, c , c , ..., c ) = 0 , 1 о соо но ение 2 ( y, y , c , c , ..., c ) = 0 1 2 е с ди ерен иа н о оро о и на од ис о ра нени n 1 ( 3.34.) , и е ( 3.34.) n 1 ра нение пер о о пор д а, и н и y ( x ) . Об и ин е ра и ид ( x, y, c , c , ..., c ) = 0 , 1 2 n де c1 , c 2 , ..., c n – прои о н е пос о нн е, ( 3.30.) . ин е ра о ис одно о ра нени За е и а е, ч о при ос о на по ер ре ени но о ре ени е с об и ес ении а ен ( 3.31.) о - y = const . Непосредс енно необ оди о про ери на ичие ра нени подс а- ( 3.30.) а о о ида. Пример. Ре и (y ) адач Ко и 2 2 y y = 0, y (1) = 1, y (1) = 1. Решение. Данное ра нение не содер и но не а иси о ип . пере енно x , а по о о носи с расс а ри ае о По а ае y = p, де p = p ( y ) – но а неи ес на си а пере енна . - 67 - н и , y – но а не а и- ( 3.32.) и ее И ра енс dp p. dy y = p p= То да данное ра нение при е ид p2 2y p p = 0, p2 2 yp и и dp = 0. dy Ра де и обе час и пос едне о ра нени на p (с ед е не аб ре ение p = 0 ): допо ни е но исс едо а p 2y о ра нение с ра де dp = 0. dy и ис пере енн 2y 2 dp = p, dy dp dy , = p y 2ln p = ln y о и. Ре и е о ln c12 , да, по ен ир , на оди , ч о p = 2 c12 y , и и p= c1 y , де c1 – прои о на пос о нна . Учи де ени а а ен p = y = н ии y ( x ) : dy , по dx - 68 - чае ра нение д опре- c1 dy = , dx y о орое и. Ра де е с ра нение с ра де пере енн е, и ее ( 3.35.) и ис пере енн - y dy = c1 dx . Ин е рир , по чае об ее ре ение 2 32 y = c1 x c 2 , 3 иде ( 3.36.) де c2 – прои о на пос о нна . И аданн нача н с о и на оди , ч о прои о н е пос о нн е c 1 и c 2 до е ор сис е е ра нени : 2 1 = c1 1 c 2 , 3 1 = c1 , о да на оди c1 = 1, c2 = 1 . 3 Подс а на денн е начени д прои о н пос о нc1 и c 2 об ее ре ение ( 3.36.) , по чае час ное ре ен ние, ре ение адачи Ко и, иде 2 23 1 , y =x 3 3 и и 3 2 2 y = 3 x 1, и и 3 2 y = 3x 1 . 2 - 69 - Во од обе час и пос едне о ра енс а 2 , по 3 с епен - чи о онча е но ис о ое ре ение адачи Ко и 2 1 y= ( 3x 1) 3 . 3 4 Та а о исс ед е про ессе ре ени при оди ос де и допо ни е но с ча p = 0 , . е. y = const . Оче идно ре ение y = c ( де c = const ) по dy = 0, и и dx о е б чено и об е о ( 3.36.) при c1 = 0 . 2 1 Ответ: y ( x ) = ( 3x 1) 3 – ре ение адачи Ко и. 3 4 - 70 - на p , Задание 7. айти решение зада и оши: 1. 4 y 3 y = y 4 1, y ( 0 ) = 2, y ( 0 ) = 2. y = 128 y 3 , y ( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 8 . 3. y y3 4. y 5. y = 32 sin 3 y cos y , 6. y = 98 y 3 , 7. y y3 8. 4 y 3 y = 16 y 4 1, 9. y 64 = 0 , 2sin y cos3 y = 0 , 49 = 0 , 8sin y cos3 y = 0 , 1 2 2 y ( 0 ) = 4, y ( 0 ) = 2 . y ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 1 . y (1) = , y (1) = 4 . 2 y (1) = 1, y (1) = 7 . y ( 3) = 7, y ( 3) = 1 . y (0) = 2 1 . , y ( 0) = 2 2 y ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 2 . 10. y = 72 y 3 , y ( 2 ) = 1, y ( 2 ) = 6 . 11. y y 3 36 = 0 , y ( 0 ) = 3, y ( 0 ) = 2 12. y = 18 sin 3 y cos y , y (1) = 13. 4 y 3 y = y 4 1 6, y ( 0 ) = 2 2, y ( 0 ) = 14. y = 50 y 3 , y ( 3) = 1, y ( 3) = 5 . 15. y y 3 16. y 25 = 0 , 18 sin 3 y cos y = 0 , 2 , y (1) = 3 . y ( 2 ) = 5, y ( 2 ) = 1. y ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 3 . 18. y = 32 y 3 , , y (1) = 2 . 2 y ( 4 ) = 1, y ( 4 ) = 4 . 19. y y 3 16 = 0 , y (1) = 2, y (1) = 2 . 17. y = 8 sin y cos3 y , 20. y 32sin y cos3 y = 0 , 1 . 2 y (1) = y ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 4 . - 71 - y (1) = 22. y = 18 y 3 , , y (1) = 5 . 2 y (1) = 1, y (1) = 3 . 23. y y 3 9 = 0 , y (1) = 1, y (1) = 3 . 3 4 24. y y = 4 ( y 1) , y ( 0 ) = 2, y ( 0 ) = 2 . 21. y = 50 sin 3 y cos y , 25. y y ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 5 . 50sin y cos3 y = 0 , y ( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 2 . 26. y = 8 y 3 , 27. y y 3 y ( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 2 . 4 = 0, 28. y = 2 sin 3 y cos y , y (1) = 29. y 3 y = y 4 16 , y ( 0 ) = 2 2, y ( 0 ) = 2 . 30. y = 2 y 3 , y ( 1) = 1, y 2 , y (1) = 1 . ( 1) = 1. Контрольные вопросы I. Ка и способо ре а с ра нени ида y ( n ) = f ( x ) ? О - е по сни е на он ре н при ера . II. Ка о об и ид и е ра нени n го пор д а, не содер а ие ис о о н ии? При еди е при ер и аи е способ ре ени . III. Ка о об и ид и е ди ерен иа н е ра нени n го пор д а, не содер а ие но не а иси о пере енно ? При еди е при ер а и ра нени и а и е способ и ре ени . IV. Ка ие и перечис енн ди ерен иа н ра нени о но ре и пони ение и пор д а? У а и е соо е с и способ ре ени . a ) y = 2sin x , б ) y д) x 3 y 2 y = 6 x , в) y = ( y 4 x 2 y = 10 , е) y = - 72 - ) , г) 3 y y , ж) y x 3 y2 = x , y = cos x . x2 - 73 - §4. Линейные дифференциальные уравнения порядка n 4.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка n с постоянными коэффициентами Определение 1. инейным однородным дифференциальным уравнением порядка n с постоянными ко ффициентами наае с ра нение ида a n y( n ) an y( n 1 1) ( 4.1.) a0 y = 0, ... a1 y де a n , an 1 , an 2 , ..., a1 , a 0 – и ес н е пос о нн е о , приче 0; y = y ( x ) – неи ес на an н и иен- и ар ен а x , y ( n ) , y ( n 1) , …, y – ее прои одн е пор д а n, ( n 1) , ..., 1 соо е с енно. При еде осно н е свойства решений ине но о однородно о ра нени ( 4.1.) . I. Ес и y1 , y2 , ..., ym – ре ени и ине на ( 4.1.) , о и ра нени о бина и ( 4.2.) c1 y 1 c 2 y 2 ... c m y m , а е ба е с ре ение ра нени ( 4.1.) , де c1 , c2 , ..., cm – не о ор е пос о нн е. II. Ес и ине ное однородное ра нение ( 4.1.) с де с ие н и о y = u i v, о и иен а и и ее о п е сное ре ение н ии u = Re y и v = Im y о де нос и с ре ени и ра нени Определение 2. Ф н ии 1 ( 4.1.) . ( x ) , 2 ( x ) , ..., m нейно зависимыми на но ес е A, ес и с н е 1 , 2 , ..., m , а ие, ч о 1 1 ( x) 2 2 ( x) ... - 73 - m m ( x) ( x ) на а ес 0, x с ли- пос о нA, ( 4.3.) приче 2 1 Ес и 1 = 2 = ... = е m 2 2 2 m ... 0. ес о и при ( 4.2.) и ее н ии 1 ( x ) , 2 ( x ) , ..., m ( x ) на а- о дес о = 0, о с линейно независимыми. Определение 3. Л ба сис е а и n ине но не а иси реени y1 ( x ) , y2 ( x ) , ..., yn ( x ) ине но о однородно о ра не- ( 4.1.) на ае с фундаментальной системой решений ра нени ( 4.1.) . III. Об ее ре ение ине но о однородно о ра нени ( 4.1.) ни предс а е собо ине н о бина и а н ре ени , . е. и ее ид нда ен- y ( x ) = c1 y1 ( x ) c2 y2 ( x ) ... cn yn ( x ) , ( 4.4.) де c1 , c2 , ..., cn – прои о н е пос о нн е, а y1 ( x) , y2 ( x ) , y3 ( x ) , ..., yn ( x ) – нда ен а на сис е а ре ени ра - ( 4.1.) . Фор а ( 4.4.) опреде е с р р об е о ре ени ине но о однородно о ра нени ( 4.1.) . IV. Лине ное однородное ра нение ( 4.1.) се да и ее ренени ение y 0 , о орое на ае с тривиальным решением. V. Задача Ко и д ине но о однородно о ди ерен иа но о ра нени n- о пор д а с пос о нн и о ииен а и a n y ( n ) an 1 y(n 1) ... a1 y a0 y = 0, y ( x0 ) = y0 , y ( x0 ) = y0 , y ( x0 ) = y0 , ... ... ... ... y ( n 1) ( x0 ) = y0( n 1) . - 74 - ( 4.5.) се да и ее и при о единс енное ре ение при нача н с о и ( 4.5.) . б Определение 4. арактеристическим уравнением д ине но о однородно о ди ерен иа но о ра нени пор д а n с пос о нн и о и иен а и an y ( на n) an 1 y ( n 1) ... a1 y a0 y = 0 ае с а ебраичес ое ра нение с епени n ида an k n an 1 k n 1 ... a1 k a0 = 0 . Та и обра о , ч об ние ( 4.6.) , надо сос а и ( 4.6.) ара ерис ичес ое ра не- ра нении ( 4.1.) а ени y ( n 1) , …, y соо е с енно с епен прои одн е y ( n ) , и неи ес но е ичин k, очнее, по а а е с епени с осно ание k до ен б раен пор д соо е с е прои одно неи ес но н ии y , а са а ис о а н и y а енена едини е ( . е. k 0 ). Здес о о н с ед ие с чаи: 1. Ес и се орни ара ерис ичес о о ра нени ( 4.6.) k 1 , k 2 , k 3 , ..., k n – чис а е ес енн е и не ра н е ( . е. среди ни не ра н y1 ( x ) = e обра k1 x е д собо ), о , y2 ( x) = e k2 x нда ен а н н , ..., yn ( x ) = e сис е ии ( 4.7.) kn x ре ени ра нени ( 4.1.) . 2. Ес и се орни ара ерис ичес о о ра нени чис а е ес енн е, но среди ни ес ра н е е д собо ), о а до орн p соо е с y1 ( x ) = e и ра н е ( . е. ki ра нос и е p ине но не а иси ki x , y2 ( x) = x e ki x нда ен а но сис е - 75 - н , ..., y p ( x ) = x p ре ени ( 4.6.) – и ида ( 4.8.) ра нени ( 4.1.) . 1 e ki x 3. Ес и среди орне ( 4.6.) ара ерис ичес о о ра нени и е с о п е сн е, но не ра н е е д собо ( и орни се да од о п е сно сопр енн и пара и i ), о а до паре о п е сно сопр енн орне i соо е с е д е ине но не а иси y1 ( x ) = e и x cos x и y2 ( x ) = e нда ен а но сис е x е н ии ( 4.9.) ра нени ( 4.1.) . sin x ре ени 4. Ес и е среди о п е сн орне ара ерис ичес о о ра нени ( 4.6.) и е с ра н е, о а до паре о п е сно сопр енн i ра нос и p ( о - орне п е сно сопр енн е орни ара ерис ичес о о ра нени се да и е одн и е ра нос ) соо е с е 2 p ине но не а иси н и ида e x cos x; x e x cos x; x 2 e e x sin x; x e x sin x; x2 e x x cos x; ...; x p sin x; ...; x p 1 1 e e x x cos x; sin x; ( 4.10.) Та и обра о , ине н е однородн е ра нени с пос онн и о и иен а и се да о но ре и е енарн н и , приче ре ение с оди с а ебраичес и опера и . Пример 1. Ре и адач Ко и д ди ерен иа но о ра нени y Решение. Сос а е 9y ине но о однородно о 20 y = 0, y ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 1. ара ерис ичес ое ра нение ида ( 4.6.) k2 9k 20 = 0 . На оди е о орни k 1 = 4, k 2 = 5 , о ор е е ес енн и не ра н сис е е д собо ( . е. не ра н е). То да нда ен а н ре ени ( ра о ФСР) обра н ии y1 ( x ) = e 4 x , y2 = e 5 x . - 76 - С едо а е но, об ее ре ение ис одно о ди ерен иа ноо ра нени ес ине на о бина и нда ен а н ре ени y1 ( x ) и y2 ( x ) , а и енно y ( x ) = c1 e 4x 5x c2 e ( 4.11.) , де c1 , c 2 – прои о н е пос о нн е. Да ее по аданн нача н с о и опреде и пос о нн е c1 и c2 , д че о, пре де се о, на де прои одн о об е о ре ени ( 4.11.) : y ( x) = 4c 1 e сис е 5c 2 e 5x , ( 4.12.) ( 4.11.) , ( 4.12.) и по чи Подс а и нача н е с о и с ед 4x ра нени д опреде ени c1 и c2 : 0 = c1 c 2 , 1 = 4c1 5c 2 , о да на оди и ее c1 = 1, То да ис о ое ре ение адачи Ко и c 2 = 1. ид y ( x) = e Ответ: y ( x ) = e 4x Пример 2. Ре и 5x e и и e 5x . . ра нение y Решение. Сос а 4x е 2y y = 0. ара ерис ичес ое ра нение k 3 2k 2 k = 0 , k (k 2 2k 1) = 0 . Е о орни k 1 = 0, k 2 = 1, k 3 = 1 – е ес енн , но среди ни ес ра н е ( k 2 = k 3 ) . По о ре ени сос ои и н и - 77 - нда ен а на сис е а y 1 ( x ) = e 0 x = 1, y2 ( x) = e x , y3 ( x) = x e x. С едо а е но, об ее ре ение данно о ра нени ес не на о бина и нда ен а н y ( x ) = c1 1 c 2 e x c 3 x e x , и- де c1 , c 2 , c 3 – прои о н е пос о нн е. Ответ: y ( x ) = c1 c 2 e x c 3 x e x , де c1 , c2 , c3 – прои о н е пос о нн е. Пример 3. На и час ное ре ение ине но о однородно о ра нени с пос о нн и о и иен а и, до е ор ее аданн нача н с о и : y 6 y 10 y = 0, y ( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 0 . Решение. Хара ерис ичес ое ра нение k 2 6k 10 = 0 и ее одн пар о п е сно сопр То да нда ен а на н и орне k 1,2 = 3 i . енн сис е а ре ени y1 ( x ) = e 3 x cos x, y2 ( x ) = e 3x sin x. сос ои и д . С едо а е но, об ее ре ение данно о ди ра нени и ее ид ерен иа но о y ( x ) = c1 e 3 x cos x c 2 e 3 x sin x , и и y ( x ) = e 3x Д (c 1 cos x c 2 sin x ) . опреде ени прои о н ча н пос о нн ( 4.13.) c1 и c 2 и на- с о и надо на и y : y ( x ) = e 3x ( c1 c 2 ) cos x - 78 - ( c2 c1 ) sin x . ( 4.14.) ( 4.13.) и ( 4.14.) нача н е с о и , по чи сис е- Подс а ра нени д опреде ени прои о н пос о нн c1 , c 2 : c1 = 1, c1 c 2 = 0, о да c1 = 1, c 2 = 1. То да ис о ое ре ение, до е ор ее аданн нача н с о и , по чи , подс а на денн е начени д c1 и c2 об ее ре ение ( 4.13.) : y ( x ) = e 3 x ( cos x sin x ) . Ответ: y ( x ) = e 3 x ( cos x sin x ) . Пример 4. Ре и ра нение yV y = 0. Решение. Хара ерис ичес ое ра нение и ее k 5 k 3 = 0, и и ид k 3 ( k 2 1) = 0 . Е о орни k 1 = 0, k 2 = 0, k 3 = 0, k 4,5 = i . Среди и орне ес о п е сно сопр енн ра н е ( k 1 = k 2 = k 3 ) и одна пара k 4,5 = i = 0 i . С едо а е но, нда ен а на сис е а ре ени ис одно о ди ерен иа но о ра нени сос ои и н и y 1 ( x ) = e 0 x = 1, y 2 ( x ) = x, , y3 ( x) = x 2. y 4 ( x ) = e 0 x ` cos x = cos x, y 5 ( x ) = e 0 x ` sin x = sin x . - 79 - По о ис о ое об ее ре ение и ее y ( x ) = c1 c 2 x c 3 x 2 ид c 4 cos x c 5 sin x , де c1 , c 2 , c 3 , c 4 , c 5 – прои о н е пос о нн е. Ответ: y ( x ) = c1 c 2 x c 3 x 2 c 4 cos x c 5 sin x , де c1 , c2 , c3 , c4 , c5 – прои о н е пос о нн е. - 80 - Задание 8. Решить зада у оши для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. 1. y 8y 16 y = 0; y ( 0 ) = 1; y ( 0 ) = 0; 2. y 7y 6 y = 0; y ( 0 ) = 2; y ( 0 ) = 0; 3. y 4y 17 y = 0; y 4. y 8y 15 y = 0; y ( 0 ) = 1; y ( 0 ) = 2; 5. y 4y 4 y = 0; y ( 0 ) = 2; y ( 0 ) = 1; 6. y y = 0; 7. y 2y y = 0; ) = 1; y ( 2 ) = 0; 8. y 2y 10 y = 0; y 9. y 7y 10 y = 0; y ( 0 ) = 1; y ( 0 ) = 1; 10. y 6y 9 y = 0; y ( 0 ) = 2; y ( 0 ) = 1; 11. y 6 y = 0; 12. y 10 y 13. y 16 y = 0; 14. y 8y 15. y 9 y = 0; 16. y 7y 12 y = 0; 17. y 2y 5 y = 0; 18. y 5y 6 y = 0; 19. y 9 y = 0; = 0; y 2 y( 25 y = 0; 7 y = 0; 2 2 = 1; ( ) = 4; y ( 2 ) = 6; y = 0; y 2 = 1; y ( 0 ) = 2; y ( 0 ) = 2; y ( 0 ) = 5; y ( 0 ) = 3; y( ) = 1; y ( ) = 2; y ( 0 ) = 1; y ( 0 ) = 2; y ( ) = 0; y ( ) = 1; y ( 0 ) = 2; y ( 0 ) = 2; y ( 0 ) = 0; y ( 0 ) = 1; y ( 0 ) = 5; y ( 0 ) = 0; y ( 0 ) = 2; y ( 0 ) = 3; - 81 - 20. y 3y 2 y = 0; y ( 0 ) = 0; y ( 0 ) = 2; 21. y 2y 8 y = 0; y ( 0 ) = 0; y ( 0 ) = 5; 22. y y 23. y y = 0; 24. y y 25. y 4y 26. y y 27. y 4 y = 0; 28. y 4y 29. y 16 y = 0; 30 y 6y 2 y = 0; 6 y = 0; 5 y = 0; 2 y = 0; 3 y = 0; 9 y = 0; y ( 0 ) = 1; y ( 0 ) = 2; y( ) = 1; y ( ) = y ( 0 ) = 3; y ( 0 ) = 5; y ( 0 ) = 0; y ( 0 ) = 1; y ( 0 ) = 1; y ( 0 ) = 2; 4; = 2; y = 1; y 2 2 y ( 0 ) = 3; y ( 0 ) = 7; y 2 = 3; y 2 y ( 0 ) = 1; y ( 0 ) = 3; - 82 - = 1; 20. y 3y 2 y = 0; y ( 0 ) = 0; y ( 0 ) = 2; 21. y 2y 8 y = 0; y ( 0 ) = 0; y ( 0 ) = 5; 22. y y 23. y y = 0; 24. y y 25. y 4y 26. y y 27. y 4 y = 0; 28. y 4y 29. y 16 y = 0; 30 y 6y 2 y = 0; 6 y = 0; 5 y = 0; 2 y = 0; 3 y = 0; 9 y = 0; y ( 0 ) = 1; y ( 0 ) = 2; y( ) = 1; y ( ) = y ( 0 ) = 3; y ( 0 ) = 5; y ( 0 ) = 0; y ( 0 ) = 1; y ( 0 ) = 1; y ( 0 ) = 2; 4; = 2; y = 1; y 2 2 y ( 0 ) = 3; y ( 0 ) = 7; y 2 = 3; y 2 y ( 0 ) = 1; y ( 0 ) = 3; - 82 - = 1; 4.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения порядка n с постоянными коэффициентами Определение 1. инейным неоднородным дифференциальным уравнением порядка n с постоянными ко ффициентами на ае с ра нение ида a n y( n ) an y( n 1 1) a0 y = f ( x) , ... a1 y де a n , a n 1 , a n 2 , ..., a1 , a 0 – и ес н е пос о нн е о ен , приче 0; y = y ( x ) – неи ес на an н ( 4.15.) и и- и ар ен- а x , y ( n ) , y ( n 1) , …, y – ее прои одн е пор д а n, ( n 1) , ..., 1 соо е с енно, f ( x ) – и ес на и и пра а час н , непрер с чаи a = Ес и и (с ободн ч ен ( 4.15.) ) о дес енно не ра на не о оро про е е ( a; b ) , приче , ра нени на и b= не ис ча ра нении ( 4.15.) с ар и нение ( 4.15.) прини ае y( n ) н an 1 с . и иен a n = 1 , о ра - о ид y( n 1) ... a1 y a0 y = f ( x) , ( 4.16.) и на ае с ине н неоднородн ди ерен иа н ра нение пор д а n канонической форме. Ес и ра нении ( 4.15.) f ( x ) 0 при се x ( a; b ) , о ра - нение a n y( n ) an 1 y( n 1) ... a1 y a0 y = 0 , ( 4.17.) на ае с линейным однородным дифференциальным уравнением порядка n, соответству щим неоднородному уравнени ( 4.15.) . - 83 - Основные свойства решений линейного неоднородного дифференциального уравнения ( 4.15.) I. Общее решение y O.H. ( x ) ине но о неоднородно о ра - ( 4.15.) ра но с нени е об е о ре ени y O.O. ( x ) соо - е с е о е ине но о однородно о ра нени ( 4.17.) и а о о-ниб д час но о ре ени y ×.H. ( x ) дан- ( 4.15.) , . е. на оди с по но о неоднородно о ра нени ор е: y O.H. ( x ) = y O.O. ( x ) ( 4.18.) y ×.H. ( x ) . II. Принцип суперпозиции решений Ес и пра а час ине но о неоднородно о ра нени ( 4.15.) ес с а m н и , . е., ра нение ( 4.15.) и ее ид: an y ( n ) an 1 y(n 1) ... a1 y a 0 y = f1 ( x ) ... f m ( x ) ( 4.19.) и y1 ( x ) , y2 ( x ) , ..., ym ( x ) – соо е с енно час н е ре ени ра нени an y ( n) an y ( n) an y( n 1) 1 an y( n 1) 1 ... a1 y a 0 y = f1 ( x ) , ... a1 y a 0 y = f2 ( x ) , ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... an y ( n ) an 1 y(n 1) ... a1 y о час ное ре ение y ( x ) час н ор ре ени a 0 y = fm ( x ) , ра нени ра нени ( 4.20.) ( 4.19.) ес с а ( 4.20.) , . е. на оди с по е: y ( x ) = y1 ( x ) y2 ( x ) ... ym ( x ) . III. Задача Ко и д ине но о неоднородно о ди ерен иа но о ра нени с пос о нн и о и иен а и ( 4.15.) an y ( n ) an 1 y(n 1) ... a1 y - 84 - a0 y = f ( x) , y ( x0 ) = y0 , y ( x0 ) = y0 , y ( x0 ) = y0 , ( 4.21.) ... ... ... ... y(n 1) (x ) = y ( 0 n 1) 0 . се да и ее и при о единс енное ре ение при нача н с о и . A. б етод вариации (изменения) произвольных постоянных (метод Лагранжа) С нос ре ае с о о е ода сос ои с ед е . Пер онача но ине ное однородное ра нение y( n) соо е с нени an 1 y(n 1) ее данно y( n) an 1 y(n 1) ... a1 y ( 4.22.) a0 y = 0, ине но неоднородно ра - ... a1 y a0 y = f ( x) ( 4.16.) Здес , не о раничи а об нос и, по о и и a n = 1 , . . о о се да о но доби с , ра де и обе час и ра нени ( 4.15.) на a n 0 . По чи об ее ре ение y O.O. ( x ) соо е с о однородно о ра нени е о ине но- ( 4.22.) y O.O. ( x ) = c1 y 1 c2 y2 ... c n y n ( 4.23.) ( де c1 , c2 , ..., cn – прои о н е пос о нн е, y1 , y2 , ..., yn – н- да ен а на сис е а ре ени ине но о однородно о ра нени ( 4.22.) ), пос па а : по а а , ч о ре ении ( 4.23.) еичин c1 , c2 , c3 , ..., cn с не пос о нн - 85 - и, а н и и не а иси о пере енно x , и ре ение ине но о неоднородиде: но о ра нени ( 4.16.) и y O.H. ( x ) = c1 ( x ) y 1 де н c2 ( x) y2 ... c n ( x ) y n , ии c1 ( x ) , c 2 ( x ) , ..., c n ( x ) опреде ( 4.24.) с и сис е ра нени : c1 ( x ) y 1 c2 ( x) y 2 c1 ( x ) y 1 c2 ( x) y 2 ... c n ( x ) y n = 0, ... c n ( x ) y n = 0, ( 4.25.) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... c1 ( x ) y 1( n 2) c 2 ( x ) y (2n 2) c1 ( x ) y 1( n 1) c 2 ( x ) y (2n 1) О носи е но н и ... c n ( x ) y (nn ... c n ( x ) y (nn 2) 1) = 0, = f ( x), c1 ( x ) , c 2 ( x ) , ..., c n ( x ) сис е а ( 4.25.) е с сис е о n ине н неоднородн а ебраичес и ра нени , приче а н опреде и е о сис е – определитель ронс о о =W = y1 y 2 ... ... y n y1 y 2 ... ... y n ... ... ... ... ... y 1( n 1) y (2n 1) ... y (nn д ( 4.26.) 1) ( a; b ) . сис е а ( 4.25.) и ее единс енное ре ение: бо о x По о c1 ( x ) = ( x), 2 ( x), 1 c2 ( x ) = ... ... ... ... cn ( x ) = о 0 да - 86 - n ( x), ( 4.27.) c1 ( x ) = 1 ( x )dx c2 ( x) = 2 c1 , ( x ) dx c2, ( 4.28.) ... ... ... ... ... ... ... cn ( x) = n ( x ) dx cn, де c1 , c2 , ..., cn – прои о н е пос о нн е. Учи а ра енс о ( 4.24.) , об ее ре ение y O.H. ( x ) ине но- о неоднородно о ра нени риа ии прои о н y O.H. ( x ) = c1 y1 ( 4.16.) , на денное е одо пос о нн c2 y2 , по чае n ... cn yn i =1 y O.O. ( i а- иде ( x) dx ) yi ( 4.29.) y ×.Í . Пример 1. Ме одо ариа ии прои о н пос о нн реи ине ное неоднородное ди ерен иа ное ра нение: y 2 y 3 y = e4 x . ( 4.30.) Решение. 1) Соо е с ее однородное ра нение y 2 y 3y = 0. ( 4.31.) Хара ерис ичес ое ра нение: k2 и ее д а ра ичн 2k 3 = 0 де с и е н орн k 1 = 1, k 2 = 3 . То да нда ен а на сис е а ре ени ине но о однородно о ди ерен иа но о ра нени ( 4.31.) сос ои и н и y1 ( x ) = e x , y 2 ( x ) = e 3 x . С едо а е но, об ее ре ение y O.O. ( x ) но о ра нени ( 4.31.) и ее ид: y O.O. ( x ) = c1 e x - 87 - c 2 e 3x , ине но о однород- де c1 , c 2 – прои о н е пос о нн е. 2) Об ее ре ение ис одно о ине но о неоднородно о ра нени ( 4.30.) , со асно е од Ла ран а, б де иса иде y O.H. ( x ) = c1 ( x ) e де ии c1 ( x ) и c2 ( x ) опреде н c1 ( x ) e опреде и е =W = e x e x e 3x 3e 3 x с и сис е 3x 4x – опреде и е Вронс о о бо о x R , по о сис е- единс енное ре ение, о орое 0 д а ( 4.33.) и ее и, при о ( 4.33.) 3c2 e = e . x о сис е = 4e 2 x ( 4.32.) c2 e3 x = 0, x c1 ( x ) e Г а н c 2 ( x ) e 3x , x на де по е од Кра ера: 1 = 0 e 3x e 4 x 3e 3 x = e , 7x 2 = e x e x 0 e 4x = e 3x . То да c1 ( x ) = 1 5x e , 4 ( 4.34.) 1 c2 ( x ) = e x , 4 Ин е рир ра енс а ( 3.69.) , на оди 1 5x 1 5x e dx = e 4 20 1 x 1 c2 ( x ) = e dx = e x c2 , 4 4 c1 ( x ) = де c1 , c2 – прои о н е пос о нн е. - 88 - c1 , ( 4.35.) Подс а на денн е ра ени д н и c1 ( x ) и c2 ( x ) ра енс о ( 4.32.) , по чи ис о ое ре ение данно о ине - ( 4.30.) но о неоднородно о ра нени y O.H. ( x ) = c1 e x c2 e3 x y o.o. Ответ: y O.H. ( x ) = c1 e x c 2 e 3x иде 1 4x e . 5 y ÷.í . 1 4x e , де c1 , c 2 – прои о 5 н е пос о нн е. Ме од ариа ии прои о н пос о нн ( е од Ларан а) – ни ерса н . Он по о е при по о и адрар на и час ное ре ение ине но о неоднородно о ди ерен иа но о ра нени ( 4.15.) , ес и и ес но об ее ре ение соо е с ео е ине но о однородно о ди а но о ра нени ( 4.17.) . ерен и- Ни е расс о ри е од, по о и на оди час ное ре ение ине но о неоднородно о ди ерен иа но о ра нени ( 4.15.) бе при енени е ода ариа ии прои о н пос о нн B. , . е. бе чис ени ин е ра о . етод неопределенных коэффициентов для нахождения астного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами П с ра нении a n y( n ) де о пра а час an и иен н f ( x) = e 1 y(n 1) ... a1 y a0 y = f ( x) , ( 4.15.) an , an 1 , ..., a1 , a 0 – де с и е н е чис а, ии f ( x ) , и ее x ид: Pn ( x ) cos x Qm ( x ) sin x , - 89 - ( 4.36.) де , – и ес н е де с и е н е пос о нн е, Pn ( x) , Qm ( x) но оч ен соо е с енно с епени n и m с де с и е н и о и иен а и о носи е но пере енно x . То да ине ное неоднородное ра нение ( 4.15.) и ее единс енное час ное ре ение ида: y ×.Í . = x r e x ( 4.37.) M l ( x ) cos x N l ( x ) sin x , де r 0 – ра нос он ро но о чис а ( очнее, о п е сноi пра о час и а орн ара есопр енно пар ) z = рис ичес о о ра нени соо е с е о ине но о однородно о ра нени ( 4.17.) ( r 0 – ре онансн с ча , r = 0 – нере онансн с ча ), M l ( x ) , N l ( x ) – l = max n, m с неи ес н но оч ен с епени и де с и е н и о и иен- а и, о ор е о б на ден методом неопределенных ко ффициентов. Та и обра о , ине н е неоднородн е ди ерен иа н е ра нени с пос о нн и о и иен а и се да о б проин е риро ан адра ра , приче с чае, о да пра а час , с ободн ч ен f ( x ) , и ее спе иа н ид ( 4.36.) , ин е риро ание по с а ебраичес и опера и ес с оди с . Пример 1. На и об ее ре ение ине но о неоднородно о ди ерен иа но о ра нени с пос о нн и о и иен а и y 7 y 12 y = 5 . ( 4.38.) Решение. Об ее ре ение данно о неоднородно о ра нени и ее y Î .Í . ( x ) = y Î .Î . ( x ) y ×.Í . ( x ) 1) На де снача а y Î .Î . ( x ) – об ее ре ение соо е с е о однородно о ра нени y 7y 12 y = 0 . - 90 - ид ( 4.18.) - Хара ерис ичес ое ра нение и ее ( 4.39.) 7 k 12 = 0 k2 орни k 1 = 3, k 2 = 4 . То да нда ен а на сис е а ре ени сос ои и y1 ( x ) = e 3 x и y 2 ( x ) = e 4 x , н с едо а е но, ис о ое об ее ре ение соо е с ине но о однородно о ра нени y O.O. ( x ) = c1 e 3 x c 2 e 4 x , и ео де c1 , c 2 – прои о н е пос о нн е. 2) На де y ×.Í . ( x ) – час ное ре ение данно о неоднородно о ра нени ( 4.38.) . Расс о ри пра данно о ра нени час ине но о f ( x) = 5 ( 4.40.) и сра ни ее с ( 4.37.) . Та ( 4.40.) данно о ра нени ( 4.37.) не со- а пра а час дер и но и е e x , о надо счи а , ч о = 0 (e x = e0 x = = e 0 = 1). ( 4.40.) не содер и а е ни cos x , ни о начи , ч о = 0 ( cos x = cos 0 x = 1; sin x = sin 0 Пра а час sin x . x = 0) . ис о 5 пра о час и данно о ра нени надо расс а ри а а но оч ен н е о с епени, . е. P0 ( x ) = 5 ( n = 0 ) . Та и обра о , он ро ное чис о пра о час и ( 4.40.) и ее ид z= и не е с орне i = 0 0 i = 0, ара ерис ичес о о ра нени о о начае , ч о r = 0 (нере онансн и ,ч о о с чае l = 0 ( l = n ) . - 91 - с ча ). Та ( 4.39.) . е а е- С едо а е но, час ное ре ение y ×.Í . ( x ) данно о ине но о неоднородно о ра нени б де ( 4.37.) = 0, = 0, r = 0, l = 0 ): ис а иде (подс а и ( 4.41.) y ×.Í . ( x ) = A , де A – неи ес н На де пер и де с и е н о и иен . ор прои одн е y ×.Í . ( x ) : y ×.Í . = 0, y ×.Í . = 0 . Подс а и ра ени д y ×.Í . , y ×.Í . , y ×.Í . данное ра нение 0 7 0 12 A = 5 , о да A= 5 . 12 Подс а и на денное начение д A ( 4.41.) и по чи ча- с ное ре ение данно о неоднородно о ра нени y ×.Í . ( x ) = С ад 5 . 12 а y ×.Í . ( x ) с y Î .Î . ( x ) , на оди об ее ре ение адан- но о ра нени y Î .Í . ( x ) = c1 e 3 x c2 e 4x 5 , 12 де c1 , c 2 – прои о н е пос о нн е. Ответ: y ( x ) = c1 e 3 x c 2 e 4 x 5 , де c1 , c 2 – прои о н е 12 пос о нн е. Пример 2. Ре и ра нение y y = 3x 2 5 . ( 4.42.) Решение. y Î .Í . ( x ) = y Î .Î . ( x ) 1) Соо е с y ×.Í . ( x ) . ее однородное ра нение - 92 - ( 4.18.) y y = 0. Хара ерис ичес ое ра нение k3 k2 = 0 , и и k 2 ( k 1) = 0 и ее ( 4.43.) орни k 1 = k 2 = 0, k 3 = 1 . То да нда ен а на сис е а ре ени сос ои и y1 ( x ) = e 0 x = 1, н и y2 ( x ) = x , y3 ( x ) = e x . С едо а е но, об ее ре ение y Î .Î . ( x ) соо е с ео однородно о ра нени ( 4.44.) y Î .Î . ( x ) = c1 c 2 x c 3 e x , де c1 , c2 , c3 – прои о н е де с и е н е пос о нн е. 2) Д о с ани час но о ре ени однородно о y ×.Í . ( x ) ра нени расс о ри f ( x ) = 3x 2 5 , аданно о не- е о пра час ( 4.45.) о ора предс а е собо но оч ен с епени 2. Сра ни а = 0, = 0, n = 2 . Кон ро ное чис о ( 4.45.) с ( 4.37.) , и ее пра о час и z= е с орне i=0 0 i=0 ара ерис ичес о о ра нени нос и 2, с едо а е но, r = 2 (ре онансн о l = 2 (l = n) . Подс а ( 4.37.) = 0, ( 4.43.) ра - с ча ). Здес чис- = 0, l = 2, r = 2 , по чае об и ид час но о ре ени y ×.Í . ( x ) ис одно о неоднородно о ра нени - 93 - ( Ax y ×.Í . ( x ) = x 2 Bx C ) , 2 ( 4.46.) и и y ×.Í . ( x ) = Ax 4 ( 4.47.) Bx 3 Cx 2 , де A, B, C – неи ес н е де с и е н е о ( 4.47.) пер На де и , ор y ×.Í . ( x ) = 12 Ax 2 . прои одн е y×.Í . ( x) и ре y ×.Í . ( x ) = 4 Ax 3 3Bx 2 и иен 2Cx , 6 Bx 2C , ( 4.48.) y ×.Í . ( x ) = 24 Ax 6 B . Подс а и ра ени по чи ( 24 Ax 6B ) ( 4.48.) (12 Ax 2 ис одное ра нение ( 4.42.) , 6 Bx 2C ) = 3 x 2 5 , и и ( 12 A ) x 2 ( 24 A 6B ) x ( 6B 2C ) = 3 x 2 5 . Сра ни а пос едне ра енс е о и иен при одина ос епен x е о и пра о час и, по чи сис е ра нени д опреде ени о и иен о A, B, C : 12 A = 3, 24 A 6 B = 0, 6 B 2C = 5, о да на оди 1 , 4 B = 1, 1 C= . 2 A= Подс а на денн е начени д о и иен о A, B, C ( 4.47.) , по чае час ное ре ение неоднородно о ра нени y ×.Í . ( x ) = 1 4 x 4 - 94 - x3 1 2 x . 2 ( 4.49.) С ад а ра ени ( 4.44.) и ( 4.49.) д y Î .Î . ( x ) и y ×.Í . ( x ) , по чае ис о ое об ее ре ение данно о ине но о неоднородно о ра нени ( 4.42.) иде y Î .Í . = c1 c 2 x c 3 e x 1 4 x 4 x3 1 2 x , 2 де c1 , c2 , c3 – прои о н е де с и е н е пос о нн е. Ответ: y ( x ) = c1 c2 x c3 e x 1 4 (x 4 4 x3 2 x 2 ) , де c1 , c2 , c3 – прои о н е де с и е н е пос о нн е. Пример 3. Ре и ра нение y 6y ( 4.50.) 8 y = 3e 2 x . Решение. y Î .Í . ( x ) = y Î .Î . ( x ) 1) Соо е с ( 4.18.) y ×.Í . ( x ) . ее однородное ра нение y 6 y 8y = 0. Хара ерис ичес ое ра нение и ее ( 4.51.) 6k 8 = 0 k2 орни k 1 = 2, k 2 = 4 . То да нда ен а на сис е а ре ени сос ои и y1 ( x ) = e 2 x , y 2 ( x ) = e 4 x . С едо а е но, об ее ре ение y Î .Î . ( x ) соо е с однородно о ра нени и ее н и ео ид y Î .Î . ( x ) = c1 e 2 x ( 4.52.) c2 e 4x , де c1 , c2 – прои о н е де с и е н е пос о нн е. 2) Расс о ри пра час данно о ра нени f ( x ) = 3e 2 x . - 95 - ( 4.50.) : ( 4.53.) Сра ни а ( 4.53.) с ( 4.37.) , на оди = 2, = 0, n = 0 . То да l = 0 l = n. Кон ро ное чис о пра о час и ( 4.53.) z= е с орне i=2 0 i=2 ара ерис ичес о о ра нени нос и 1, по о r = 1 . Подс а = 2, = 0, r = 1, l = 0 ( 4.51.) ра - ( 4.37.) , по чи час ное ре ение данно о неоднородно о ра нени ( 4.50.) ор иде y ×.Í . ( x ) = x 1 e 2 x A , и и y ×.Í . ( x ) = Ax e 2 x , де – неи ес н И ( 4.54.) на оди де с и е н ( 4.54.) о и иен . y×.Í . ( x ) = ( Axe2 x ) = Ae2 x 2 Axe2 x = Ae2 x (1 2 x ) y×.Í . ( x ) = ( Ae (1 2 x ) ) = 2 Ae ( 4.55.) (1 2x ) 2 Ae = 4 Ae (1 x ) y ×.Í . ( x ) , y ×.Í . ( x ) , Подс а и ра ени ( 4.54.) и ( 4.55.) д y ×.Í . ( x ) ис одное ра нение ( 4.50.) , по чи 4 Ae 2 x (1 x ) 6 Ae 2 x (1 2 x ) 8 Axe 2 x = 3e 2 x . 2x 2x 2x Ра де и обе час и пос едне о ра енс а на e 2 x x R , по чи 4 A (1 x ) 6 A (1 2 x ) 8 Ax = 3 , и и, рас р о с об и и при од подобн е, 2 A = 3, да A= 3 . 2 - 96 - 2x 0 при се Подс а и на денное начение д A ( 4.54.) , по- ор чи час ное ре ение ис одно о неоднородно о ра нени иде 3 2x xe . 2 ( 4.18.) , ( 4.52.) , ( 4.56.) , по y ×.Í . ( x ) = То да, чи ре ение а ( 4.56.) чае ис одное иде y Î .Í . ( x ) = c1 e 2 x c2 e 4x 3 2x xe , 2 де c1 , c2 – прои о н е де с и е н е пос о нн е. Ответ: y ( x ) = c1 e 2 x c 2 e 4 x 3 2x xe , де c1 , c 2 – прои о 2 н е де с и е н е пос о нн е. Пример 4. На и об ее ре ение ди ни ерен иа но о ра не- ( 4.57.) y = 5sin 2 x . y Решение. y Î .Í . ( x ) = y Î .Î . ( x ) 1) Соо е с y ×.Í . ( x ) . ( 4.18.) ее однородное ра нение y y = 0. Хара ерис ичес ое ра нение ( 4.58.) k2 1= 0 и ее пар о п е сно сопр енн орне k 1,2 = i = 0 i . То да нда ен а на сис е а ре ени сос ои и y 1 ( x ) = e 0 x cos x = cos x , н и y 2 ( x ) = e0 x sin x = sin x . С едо а е но, об ее ре ение однородно о ра нени и ее ид - 97 - ( 4.59.) y Î .Î . ( x ) = c1 cos x c 2 sin x , де c1 , c2 – прои о н е де с и е н е пос о нн е. 2) Расс о ри пра ра нени ( 4.57.) час данно о ди ерен иа но о f ( x ) = 5sin 2 x . ( 4.60.) и ( 4.37.) , и ее = 2; Pn ( x ) = P0 ( x ) = 0 ( n = 0 ) ; ( 4.60.) Сра ни а = 0; Qm ( x ) = Q0 ( x ) = 5 ( m = 0) . С едо а е но, l = max n; m = 0 . То да он ро ное чис о пра о час и ( 4.60.) z= не е с орне i = 0 2i = 2i ара ерис ичес о о по о r = 0 (нере онансн Подс а и ( 4.37.) = 0, ид час но о ре ени нени ( 4.58.) , ра нени с ча ). = 2, r = 0, l = 0 , по чи об и y ×.Í . ( x ) данно о неоднородно о ра - ( 4.57.) ( 4.61.) y ×.Í . ( x ) = A cos 2 x B sin 2 x , де A, B – неи ес н е де с и е н е о И и иен . ( 4.61.) на оди y ×.Í . ( x ) = 2 A sin 2 x 2 B cos 2 x, ( 4.62.) y ×.Í . ( x ) = 4 A cos 2 x 4 B sin 2 x. Подс а и ис одное ра нение ( 4.57.) и y ×.Í . ( x ) и ( 4.61.) и ( 4.62.) , по чи : ра ени д y ×.Í . ( x ) A cos 2 x B sin 2 x = 5sin 2 x, 4 A cos 2 x 4 B sin 2 x и и ( 3 A ) cos 2 x ( 3B ) sin 2 x = 5sin 2 x, Сра ни а пос едне ра енс е о sin 2x е о и пра о час и по чи - 98 - и иен при cos 2x и 3 A = 0, 3B = 5, о да на оди A = 0, B= Подс а 5 . 3 на денн е начени д AиB ( 4.61.) , по чае 5 sin 2 x . ( 4.63.) 3 а ра енс а ( 4.18.) , ( 4.59.) , ( 4.63.) , на оди обy ×.Í . ( x ) = То да, чи ее ре ение ис одно о неоднородно о ра нени y Î .Í . ( x ) = c1 cos x c 2 sin x ( 4.57.) 5 sin 2 x , 3 де c1 , c2 – прои о н е де с и е н е пос о нн е. Ответ: y ( x ) = c1 cos x c 2 sin x 5 sin 2 x , де c1 , c2 – прои 3 о н е де с и е н е пос о нн е. - 99 - Задание 1. 2. 3. а) y 3y 2 y = 1 x2 , б) y 4y 5 y = (16 12 x ) e x , ) y 2y y = 4e x ( sin x cos x ) . а) y y = 6x2 б) y 2y 2 y = (1 2 x ) e x , ) y 4y 4 y = e 2 x sin 6 x. y = x2 x, б) y y y = ( 3x 7 ) e2 x , ) y 6. 7. а) y IV 2y 3y y = 2 x, 2 y = ( 2 x 5) e2 x , y = 2cos7 x 3sin 7 x. y = 5( x 2) , 2 б) y 3y 4 y = (18 x 21) e x , ) y 2y 5 y = sin 2 x. IV 2y а) y y = 2 x (1 x ) , б) y 5y 4 y = ( 2 x 5) e x , ) y 4y 8 y = e x ( 5sin x 3cos x ) . а) y IV 2 y б) y ) y 8. y 2 y = 2e x ( sin x cos x ) . а) y IV 3 y б) y 5. 3 x, а) y ) y 4. 9. Решить дифференциальные уравнения. 4y y = x2 x 1, 8 y = ( x 1) e x , 2 y = e x ( sin x cos x ) . а) yV y IV = 2 x 3, б) y 2y 5 y = (18 x 21) e2 x , ) y 4y 3 y = e 2 x sin 3 x. - 100 - 9. 10. y y ) y 6y 13 y = e 13. 17. y = 2cos3 x 3sin 3 x. б) y 3y 2 y = ( 4 x 9 ) e2 x , ) y 2y 5 y = 2sin x. а) y IV 4 y 4 y = x x2 , б) y 4y 5 y = (12 x 16 ) e x , ) y 4y 3 y = ( 3sin x 4cos x ) e x . y = 12 x, а) 7 y y 2 y = ( 6 x 11) e x , 8 y = 10e x ( sin x cos x ) . а) y 3y 2 y = 3x 2 б) y 6y 18 y = ( 6 x 5 ) e x , ) y 4y 4 y = e x sin 5 x. а) y y = 3x 2 б) y 4y ) y IV 16. 2 y = 4x ex , y = 5 x 2 1, ) y 15. cos 4 x. а) y б) y 14. 3y 3x y = 4 x2 , а) y IV 2 y ) y 12. y = (8x 4) e x , б) y б) y 11. y = 6 x 1, а) 3 y IV 2 x, 2 x 1, 4 y = ( 9 x 15 ) e x , y = 2cos5 x 3sin 5 x. а) y y = 4 x 2 3 x 2, б) y 3y y ) y 2y 5 y = 17 sin 2 x. а) y IV 3 y 3 y = ( 4 8x ) ex , y = x 3, 3y 4 y = (7 6x ) ex , б) y y 4y ) y 6y 13 y = e 3x cos x. - 101 - 18. 19. а) y IV 2 y y = 12 x 2 6 x, б) y 3y 2 y = (1 2 x ) e x , ) y 4y 8 y = e x ( 3sin x 5cos x ) . а) y 4 y = 32 x 384 x 2 , б) y 5y 4 y = ( 20 16 x ) e x , IV x ) y 16 y = 6e ( sin x cos x ) . 20. 21. 22. а) y IV 2 y б) y 4y 3 y = 4x ex , ) y 4y 8 y = e 2 x sin 4 x. а) y y = 49 24 x 2 , б) y 5y 6y = e ) y 6y 13 y = e а) y б) y ) y 23. 24. 25. y = 2 3x 2 , ( 32 x x 3) , 3x cos5 x. 2y 3 y = 3x 2 x 4, 6y 9 y = 4x ex , 9 y = 2cos7 x 3sin 7 x. 12 y = x 1, а) y 13 y б) y 8y 16 y = ( 8 x 12 ) e 2 x , ) y 2y 5 y = cos x. а) y IV y = x, (8x б) y y 2y = ) y 4y 8 y = e3 x а) y 2 y = 6 x 5, б) y 5y 4) e x , ( 2sin x cos x ) . 4 y = (16 x 1) e x , IV x ) y 16 y = 3e ( sin x cos x ) . 26. а) y 3y б) y 10 y ) y 2 y = x2 2 x 3, 25 y = ( 8 x 3) e5 x , 4 y = e 2 x sin 4 x. - 102 - 27. 28. а) y 2y б) y 6y ) y 2y а) y IV 6 y б) y ) y 29. 30. y = ( x 1) , 2 13 y = (1 7 x ) e3 x , 3y = e cos8 x. 9 y = 3 x 1, 27 y = e y 2x x ( 2x 5) , 6 y = 10cos x. 12 y = 18 x 2 а) y 13 y б) y y 9y ) y 4y 8 y = 2cos 4 x 3sin 4 x. 7, 9 y = 16 x e x , а) y IV 2 y = 12 x 1, б) y 4y 3 y = 4e ) y 2y 5 y = e2 x x (1 x), ( sin x 2cos x ) . - 103 - Контрольные вопросы I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII. Ка о ид и ее ине ное ди ерен иа ное ра неи иен а и? е ние пор д а n с пос о нн и о о ичае с однородное ине ное ра нение о неоднородно о? о на ае с ара ерис ичес и ра нение , соо е с и ине но однородно ди ерен иа но ра нении? о а ое нда ен а на сис е а ре ени однородноо ине но о ди ерен иа но о ра нени n го пор д а? о а ое опреде и е Вронс о о ре ени ине но о однородно о ди ерен иа но о ра нени n го пор д а? Ка с рои с об ее ре ение ине но о однородно о ди ерен иа но о ра нени n го пор д а по нда ена но сис е е ре ени ? Ка с р р и ее об ее ре ение ине но о неоднородно о ди ерен иа но о ра нени n го пор д а? В че сос ои е од ариа ии прои о н пос о нн ( е од Ла ран а) ин е риро ани ине но о ди ерен иа но о ра нени n го о пор д а? В че сос ои е од неопреде енн о и иен о д на о дени час н ре ени ине но о неоднородно о ди ерен иа но о ра нени n го пор д а? - 104 - Литература 1. Арно д В. И. Об но енн е ди ерен иа н е ра нени . – М.: На а, 1984. – 271с. 2. Дан о П. Е., Попо А. Г., Ко е ни о а Т. Я. В с а ае а и а пра нени и адача . ч. II – М.: В с а о а, 1986. – 463с. 3. Ер ин Н. П., Ш о а о И.З., Бондарен о П.С. К рс об но енн ди ерен иа н ра нени . – Кие : Ви а о а, 1974. – 471с. 4. Кисе е А. И., Красно М. Л., Ма арен о Г. И. Сборни адач по об но енн ди ерен иа н ра нени . – М.: В с а о а, 1978. – 278с. 5. К не о Л. А. Сборни адани по с е а е а и е.– М.: В с а о а, 1983.–175с. 6. Ма ее Н. М. Ме од ин е риро ани об но енн ди ерен иа н ра нени . – Минс : В а о а, 1974. – 766с. 7. Ма ее Н. М. Сборни адач и пра нени по об ноенн ди ерен иа н ра нени : Учебное пособие.– СПб: И да е с о «Лан », 2002. – 432с. 8. Ма ее Н. М. Ди ерен иа н е ра нени . – М.: Прос е ение, 1988. – 254с. 9. Пе ро с и И. Г. Ле ии по еории об но енн ди ерен иа н ра нени . – М.: На а, 1970. – 279с. 10. Фи иппо А. Ф. Сборни адач по ди ерен иа н ра нени . – М.: На а, 1985. – 126с. 11. Шипаче В. С. Задачни по с е а е а и е.–М.: В с а о а, 2001. – 304с. - 105 - Литература 1. Арно д В. И. Об но енн е ди ерен иа н е ра нени . – М.: На а, 1984. – 271с. 2. Дан о П. Е., Попо А. Г., Ко е ни о а Т. Я. В с а ае а и а пра нени и адача . ч. II – М.: В с а о а, 1986. – 463с. 3. Ер ин Н. П., Ш о а о И.З., Бондарен о П.С. К рс об но енн ди ерен иа н ра нени . – Кие : Ви а о а, 1974. – 471с. 4. Кисе е А. И., Красно М. Л., Ма арен о Г. И. Сборни адач по об но енн ди ерен иа н ра нени . – М.: В с а о а, 1978. – 278с. 5. К не о Л. А. Сборни адани по с е а е а и е.– М.: В с а о а, 1983.–175с. 6. Ма ее Н. М. Ме од ин е риро ани об но енн ди ерен иа н ра нени . – Минс : В а о а, 1974. – 766с. 7. Ма ее Н. М. Сборни адач и пра нени по об ноенн ди ерен иа н ра нени : Учебное пособие.– СПб: И да е с о «Лан », 2002. – 432с. 8. Ма ее Н. М. Ди ерен иа н е ра нени . – М.: Прос е ение, 1988. – 254с. 9. Пе ро с и И. Г. Ле ии по еории об но енн ди ерен иа н ра нени . – М.: На а, 1970. – 279с. 10. Фи иппо А. Ф. Сборни адач по ди ерен иа н ра нени . – М.: На а, 1985. – 126с. 11. Шипаче В. С. Задачни по с е а е а и е.–М.: В с а о а, 2001. – 304с. - 103 - НУ ЕН ДРУГОЙ ПОСЛЕДНИЙ ЛИСТ В ади ир Дани о ич Г н о, Л д и а Юр е на С Ви а и Ми а о ич С о ен е Ди ерен иа н е ра нени . При ер и ипо Подписано печа 60 84 116 . Тира 500 . о ее а, е адани .2005 . Б а а ипо ра ичес а . Фор а . П. . – , че . – и д. – 6,1. За а Реда ионно-и да е с и о де и ипо ра и К банс о о ос дарс енно о а рарно о ни ерси е а 350044, . Краснодар, . Ка инина, 13
