Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «МИРЭА – Российский технологический университет» ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Лекция 2 Анализ оптимального решения на чувствительность Трифонова Ольга Александровна При решении задачи ЛП возможны случаи: 1. Задача ЛП имеет единственное решение * X • min * X • max grad z 2. Задача ЛП имеет бесконечное множество решений (альтернативные решения) X* • grad z 2 • X ** При решении задачи ЛП возможны случаи: 3. Задача ЛП не имеет оптимального решения: • неограниченность • пустота множества множества допустимых решений допустимых решений 3 Общие свойства решения ЗЛП uОптимальное решение ЗЛП не внутри, а на границе области допустимых решений, в одной из вершин uЗЛП может иметь единственное решение, не иметь решений и иметь бесконечное множество решений. uПоиск решения путём перебора вершин (опорных точек) так, что переход к следующей вершине приближает или по крайней мере не удаляет от оптимума 4 Анализ на чувствительность Первая задача на чувствительность: ОГРАНИЧЕНИЯ активные (связывающие) неактивные (несвязывающие) дефицитные ресурсы недефицитные ресурсы Цели: • макс. увеличение запаса дефицитного ресурса, позволяющее улучшить значение целевой функции; • макс. уменьшение запаса недефицитного ресурса, не 5 меняющее значение целевой функции. 5 (Построение оптимального плана производства) Исходные ресурсы Сахар Какао Прибыль Расход ресурсов на 1 тонну готовой продукции Шоколад Конфеты 1 5 5 1 2 3 Математическая модель max z = max(5 x1 + 3 x2 ) x1 + x2 £ 4; 5 x1 + 2 x2 £ 10; x1 ³ 0, x2 ³ 0. 6 Запас ресурса 4 10 ì * 2 ïï x1 = 3 Ûí ï x * = 10 ïî 2 3 x2 ( * 1 z x ,x 5 4 7 7 O * 2 ) 2 10 40 = 5× +3× = 3 3 3 •B grad z = ( 5,3 ) x1 2 ( 2) 4 (1) Слайд 17 Ресурс 1 L = ( 0,5 ) x1 + x2 = 4 ­ x2 b1 = 4, b1¢ = x1 + x2 = 0 + 5 = 5, Db1 = 5 - 4 = 1 5• L z ( L ) = 5 x1 + 3 x2 = 5 × 0 + 5 × 3 = 15 4 40 5 D1z = z ( L ) - z ( B ) = 15 = 3 3 x1 8 2 ( 2) 4 (1) Ресурс 2 5 x1 + 2 x2 = 10 ­ K = ( 4,0 ) b2 = 10, b2¢ = 5 x1 + 2 x2 = 5 × 4 = 20, x2 Db2 = b2¢ - b2 = 20 - 10 = 10 z ( K ) = 5 x1 + 3 x2 = 5 × 4 + 3 × 0 = 20 40 20 D 2z = z ( K ) - z ( B ) = 20 = 3 3 4 K 9 2 •4 x1 Результаты решения первой задачи анализа на чувствительность: 10 Ресурс Тип (статус) ресурса Максимальное Максимальное изменение изменение запаса дохода Ресурс 1 дефицитный 1 5/3 Ресурс 2 дефицитный 10 20/3 Вторая задача на чувствительность (вычисление стоимости ресурсов): Теневая (двойственная) цена ресурса показывает на сколько изменится доход при изменении запаса деф. ресурса на единицу. Вычисляется по формуле: yi = Максимальное увеличение дохода Максимальное увеличение запаса i -го ресурса Вывод: расширение производства за счет увеличения запаса первого ресурса наиболее выгодно. 11 max z = 5 x1 + 3 x2 Третья задача на чувствительность (чувствительность к изменению цен): grad z = ( 5, c2 ) grad z = ( 5,3 ) grad z = ( c1,3 ) x1 + x2 £ 4, 5 x1 + 2 x2 £ 10, x1 ³ 0, x2 ³ 0. целевая функция z = c1x1 + c2 x2 a11x1 + a12 x2 = b1 (1) •B a21x1 + a22 x2 = b2 ( 2 ) активные ограничения Диапазон оптимальности a1 £ a z £ a 2 tga1 £ tga z £ tga 2 a1 a2 az 12 ( 2) z (1) 1 c1 5 a11 c1 a21 £ £ £ Þ £ 1 c2 2 a12 c2 a22 max z = 5 x1 + 3 x2 x1 + x2 £ 4, Диапазон оптимальности 1 c1 5 £ £ 1 c2 2 5 x1 + 2 x2 £ 10, x1 ³ 0, x2 ³ 0. если c1 = 5 Þ •B 13 если c2 = 3 Þ 1 5 5 £ £ , 2 £ c2 £ 5 1 c2 2 1 c1 5 15 £ £ , 3 £ c1 £ 1 3 2 2 Выводы uПроблемные ситуации могут быть сформулированы как задачи ЛП uСтруктурные составляющие задачи ЛП: переменные, целевая функция, ограничения и ограничения на знак переменных uОптимальное решение для задач малой размерности может быть получено с помощью геометрического метода uГеометрически оптимальное решение задачи ЛП находится на границе множества допустимых решений uЗадача ЛП может иметь одно оптимальное решение, бесконечное множество оптимальных решений или не иметь оптимальных решений uАнализ 14 на чувствительность выявляет зависимость оптимального решения от возможных изменений параметров 14 исходной модели
