Муниципальное автономное образовательное учреждение “Школа № 45 с углублённым изучением отдельных предметов” Проектная работа по Геометрии на тему: «Пирамиды в Архитектуре» Выполнила: ученица 8 Б класса Рубцова Елизавета Дмитриевна Руководитель проекта: Судаева С.А. Нижний Новгород 2022 1 Цели и Задачи: o o o o o o o o Гипотеза. Понять, что такое пирамида. Понять, что такое архитектура. Чем связанны пирамиды и архитектура. Самые известные в мире архитектурные постройки в виде пирамид. Определения и формулы. Практика. Вывод. 2 Гипотеза. Я думаю, что пирамиды и архитектура тесно связаны между собой. Что такое пирамида. o Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. o Пирамида является частным случаем конуса. o Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Свойства пирамиды. Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга). Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами. Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность. Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр. Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны. Свойства правильной пирамиды. 1. 2. 3. 4. 5. 6. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания. Все боковые ребра равны. Все боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к основанию. Апофемы всех боковых граней равны. Площади всех боковых граней равны. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы. 3 7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят через середину ребер. 8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром и основанием. 9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n, где n - это количество углов в основании пирамиды. основание – Правильная треугольная пирамида правильный треугольник основание – Правильная четырёхугольная пирамида правильный четырёхугольник (квадрат) основание – основание - правильный пятиугольник правильный пятиугольник 4 Связь пирамиды со сферой. Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многогранник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды. Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу. В пирамиду можно вписать сферу, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы. 5 Определение. Усеченная пирамида (пирамидальная призма) - это многогранник, который находится между основанием пирамиды и плоскостью сечения, параллельной основанию. Таким образом пирамида имеет большую основу и меньшую основу, которая подобна большей. Боковые грани представляют собой трапеции. Определение. Треугольная пирамида (четырехгранник) - это пирамида в которой три грани и основание являются произвольными треугольниками. В четырехграннике четыре грани и четыре вершины и шесть ребер, где любые два ребра не имеют общих вершин, но не соприкасаются. Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, которые образуют трехгранный угол. Отрезок, соединяющий вершину четырехгранника с центром противоположной грани называется медианой четырехгранника (GM). Бимедианой называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, которые не соприкасаются (KL). Все бимедианы и медианы четырехгранника пересекаются в одной точке (S). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы в отношении 3:1 начиная с вершины. 6 Что такое Архитектура. Архитектура, или зодчество — искусство и наука строить, проектировать здания и сооружения (включая их комплексы) а также сама совокупность зданий и сооружений, создающих пространственную среду для жизни и деятельности человека. Архитектура создаёт материально организованную среду, необходимую людям для их жизни и деятельности, в соответствии с их устремлениями, современными техническими возможностями и эстетическими воззрениями. В архитектуре взаимосвязаны функциональные (назначение, польза), технические (прочность, долговечность) и эстетические (красота) свойства объектов. Чем они связаны. Так как пирамида -это геометрическая фигура, а архитектура -это искусство строения, в котором применяется геометрические фигуры. Пирамида одна из геометрических фигур поэтому они тесно связаны. Самые известные в мире архитектурные постройки в виде пирамид. Трансамериканская пирамида вСан-Франциско. Трансамериканская пирамида в Сан-Франциско -105-е здания в мире по высоте (260 метров в высоту!) Фасад здания покрыт кварцем –что придаёт ему чисто белый цвет. В этом архитектурном сооружение 18 лифтов более 3000 окон, 48 этажей. Пирамиды майя. Пирамиды древних Майя представляют собой достаточно сложные архитектурные сооружения. В основном они состоят из крупных платформ, образующих огромные ступени. Практически все майянские храмы были построены настолько давно, что в настоящее время они находятся под землей. Но не все памятники древней цивилизации ждала такая учесть: многие пирамиды Майя в Мексике практически полностью сохранили свой первозданный вид и продолжают привлекать ученых и туристов со всего мира. 7 Определения и формулы. Определение. Пирамида — это многогранная объемная фигура, ограниченная плоским многоугольником (основой) и треугольниками, имеющих общую вершину, не лежащую в плоскости основания. Определение. Боковая грань - это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника). Определение. Боковые ребра - это общие стороны боковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника. Определение. Высота пирамиды - это перпендикуляр, опущенный из вершины на основание пирамиды. Определение. Апофема - это перпендикуляр боковой грани пирамиды, опущенный из вершины пирамиды к стороне основания. Определение. Диагональное сечение - это сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания. Определение. Правильная пирамида - это пирамида, в которой основой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания. Объём и площадь поверхности пирамиды. o Формула. Объём пирамиды через площадь основы и высоту: V = 1 Sосн H 3 Определение. Боковая поверхность пирамиды - это совокупная площадь всех боковых граней пирамиды. Определение. Полная поверхность пирамиды - это совокупность площадей боковой поверхности и площади основания пирамиды. o Формула. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания и апофему: Sb = 1 ph 2 8 Практика. Объём и площадь поверхности пирамиды Формула. Объём пирамиды через площадь основы и высоту: V = 1 x Sосн x H 3 Формула. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания и апофему: Sb = 1 x p x h 2 Правильная треугольная пирамида V = 1 x Sосн x H 3 Sосн = 1 x a x h = 1 x 7 x 6 = 1 x 42 = 21 2 2 2 H = 10,5 V = 1 x 21 x 10,5 = 1 x 220,5 = 73 1 = 73,5 3 3 2 Sb = 1 2 x pxh p = 7 x 3 = 21 h = 11 Sb = 1 2 x 21 x 11 = 1 x 231 = 115 1 = 115,5 2 2 9 Объём и площадь поверхности пирамиды Формула. Объём пирамиды через площадь основы и высоту: V = 1 x Sосн x H 3 Формула. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания и апофему: Sb = 1 x p x h 2 Правильная четырёхугольная пирамида V = 1 x Sосн x H 3 Sосн = a x a = 7 x 7 =49 H = 6,5 V = 1 x 49 x 6,5 = 1 x 318,5 = 106 1 = 106,17 3 3 6 Sb = 1 x p x h 2 p = 7 x 4 = 28 h=7 Sb = 1 x 28 x 7 = 1 x 196 = 98 2 2 10 Объём и площадь поверхности пирамиды Формула. Объём пирамиды через площадь основы и высоту: V = 1 x Sосн x H 3 Формула. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания и апофему: Sb = 1 x p x h 2 Правильная пятиугольная пирамида V = 1 x Sосн x H 3 Sосн = 2 x a^2 x (1 + √2) =50 x 2,4 = 120 H=6 V = 1 x 120 x 6 = 1 x 720 = 240 3 3 Sb = 1 x p x h 2 p = 5 x 5 = 25 h = 6,5 Sb = 1 2 x 25 x 6,5 =1 x 162,5 = 81 1 = 81,25 2 4 11 Вывод. Итак подведём итоги. Пирамиды в архитектуре сыграли большую роль для человечества и в частности для нас. Благодаря им люди не терялись потому что пирамиды служили компасом. В 21 веке пирамиды это не только компас , но так же прекрасные архитектурные сооружения, исторические памятники. Изученная мною информация пригодится в старшой школе. 12
