Реферат по математике На тему: Вычисление дифференциала. Приложение Дифференциала к приближенным вычисление значений функций. Подготовила: Студентка гр. М-22 Дювенжи Татьяна Содержание 1. История возникновения. 2. Правила вычисления дифференциала. 3. Приближение дифференциала к приближенным вычислениям значения функции. 4. Литература. 5. https://ru.wikipedia.org/wiki https://spravochnick.ru/matematika/proizvodnaya_i_differ encial/pravila_vychisleniya_differencialov/ История возникновения. Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально dx применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики, за исключением нестандартного анализа. Правила вычисления дифференциала Правила вычисления дифференциалов были открыты Лейбницем и аналогичны правилам отыскания производных. Правило 1 Числовой множитель выносится за знак дифференциала Найти дифференциал функции. d(18shx) Решение. Вынесем числовой множитель за знаки дифференциала d(18shx)=18d(shx) Найдем производную функции и добавим знак дифференциала. d(18shx)=18chxdx Правило 2 Дифференциал суммы или разности функций равен сумме или разности их дифференциалов. Найти дифференциал функции. d(4х2+5) Решение. d(4x2 +5)=d(4x2 )+d(5) По правилу дифференцирования, дифференциал суммы равен сумме дифференциалов функций. d(4x2 +5)=8xdx Найдем производные данных функций и добавим к ним знак дифференциала. Производная второй функции так же, как и дифференциал, равна 0. Правило 3 Дифференциал произведения Найти дифференциал функции. y=x2 ex Решение. По формуле произведения найдем дифференциал dy=x2 d(ex)+eă d(x2) dy=x2 ex xdx+ex 2xdx Упростим dy=x2 ex xdx+ex 2xdx=x2 ex (x+2)dx Правило 4 Дифференциал частного Найти дифференциал функции. 𝑑( 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 5𝑥 ) Решение. Вынесем числовой множитель за знаки дифференциала 𝑑( 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 5𝑥 1 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 5 𝑥 ) = 𝑑( ) По формуле частного найдем дифференциал 𝑢 𝑣𝑑𝑢−𝑢𝑑𝑣 𝑣 𝑣2 𝑑 ( ) == 𝑑( 𝑑( 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 )= )= . 𝑥𝑑 (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 )−𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝐸 𝐸2 −𝑥𝑑𝑥 −𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝐸 √1−𝑥2 𝐸2 . 𝑑𝑥 =− √1−𝑥2 +𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑑𝐸 Правило 5 Дифференциал числа (константы) равен 0 Выполнить дифференцирование функции. d(4) Решение. 𝐸 . По правилу дифференцирования, дифференциал числа равен 0. d(4)=0 Дифференциалом функции называется выражение. Дифференциал функции можно применять для приближенного вычисления функции в окрестности точки х0 зная значение функции и ее производной в самой точке х0 Приближенная формула имеет вид: Если представить геометрически, то мы вычисляем значение функции ,как если бы она была касательной в точке х0. Имеется два момента, которые нужно учесть. Первое. Мы не знаем, насколько функция может измениться при переходе от точки x 0 к точке изменение точки х 0. Это зависит от того насколько меняется ее производная. И второе, мы не можем оценить точность нашего вычисления. Поэтому задачу о вычислении приближенного значения функции ставят так: найти значение функции в точке точки х 0 используя дифференциал. изменение Иногда просят оценить погрешность или относительную погрешность, зная точное значение в точке Приведем несколько примеров. Сделаем следующий вывод: для достаточно близких точек погрешность может быть вполне удовлетворительной. Но самое главное, мы не можем вычислить значение в близкой точке с нужной нам точностью. Это можно сделать, используя формулу Тейлора и взяв в ней достаточное число членов. Рассмотрим пример Литература https://spravochnick.ru/matematika/proizvodnaya_i_differ encial/pravila_vychisleniya_differencialov/ https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%8 4%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1 %86%D0%B8%D0%B0%D0%BB_(%D0%BC%D0%B0 %D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0% B8%D0%BA%D0%B0) https://www.work5.ru/spravochnik/matematika/primeneni e_differenciala_v_priblizhennyh_vychislen
