Дифференциал функции

Дифференциал
Понятие о дифференциале функции.
Определение:
Дифференциалом
функции
называется
величина,
пропорциональная
приращению
независимой
переменной
и
отличающаяся от приращения функции
на
бесконечно малую функцию высшего порядка
малости по сравнению с приращением независимой
переменной.
Связь дифференциала функции с производной. Дифференциал
независимой переменной.
Теорема 1.
Если функция имеет дифференциал, то эта функция имеет
производную.
Следствие: dy = y x  x.
Теорема 2.
Если функция имеет производную, то эта функция имеет
дифференциал.
Определение. Под дифференциалом независимой переменной
понимается дифференциал функции, тождественной с независимой
переменной, т.е. при y = x.
y= 1, то dy = dx =.x
dy


Следствие: dy = y x  dx; y x  dx .
Свойства дифференциала.
Предполагаем, что функции дифференцируемы
1.dc = 0;
2.d(u+c) = du;
3.d(u+v-w) = du+dv-dw;
4.d(cu) = cdu;
5.d(uv) = vdu + udv;
6.d vdu  udv =  u  ;
2
v
v
7.Дифференциал сложной функции.
y = f((x)); y = f(u); u = ((x);
yx = yu ux dx
yxdx = yu(uxdx)  dy = yu  uxdx


dy
du
dy = yudu – эта формула совпадает по форме с dy = yxdx,
но есть и принципиальное отличие
 x  x t 

 y  y t 
в
 x  xt 
x – независимая переменная и x  dx;

 y  y t 
а в dy = yudu u есть функция du  .u
Из функции dy = yudu  Независимость вида дифференциала от
выбора независимой переменной.
! Дифференциал функции = произведению производной этой
функции на дифференциал аргумента, при этом аргумент может
быть как независимой переменной, так и дифференцируемой
функцией от другой независимой переменной.
Таблица дифференциалов функций
1.dun = nun-1du
2.dan = an lnadu
3.den - endu
du
4.d(logau) =
u ln a
5.d (sinu) = cosudu
6.d(cosu) = -sinudu
du
7.d(tgu) =
2
cos u
du
8.d(ctgu) = - 2
sin u
9.d(arcsinu) =
du
1 u2
du
10.d(arccosu) = -
1 u2
du
11.d(arctgu) =
1 u2
du
12.d(arcctgu) = 2
1 u
13.df(u) = f(u)du.
Приближенные вычисления с
помощью дифференциала.
y =f(x); x; x+ x D(y); y
дифференцируема  y  y ( x)  x 0 (x)
  y  yx  x  dy;
 yx  x  yx  yx  x.
Дифференциалы высших порядков.
y =f(x); x – независимая переменная, f(x) –
дифференцируемая функция.
d f(x) = f(x)dx.
Определение. Дифференциалом второго порядка d2f(x)
функции y =f(x) называется дифференциал от
дифференциала первого порядка этой функции.
d f x   d df x .
2
dx – const, dy – функция x.
d 2 f x  d  f x  dx  dx  df x  dx  f x2  dx  f x2 dx 2 .