Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Калмыцкий государственный университет»
Е.О. Басангоеа
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ
И КОМБИНАТОРИКУ
Учебное пособие
Рекомендовано Учебно-методическим советом по математике
и механике УМО по классическому университетскому образованию РФ
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по группе математических и механических направлений
и специальностей
Элиста 2007
ББК В126(2Рос.Калм)я73+В141(2Рос.Калм)я73
Б 270
Басангова, Е.О.
Введение в теорию множеств и комбинаторику [Текст]: учебное посо­
бие / Е.О. Басангова. - Элиста, 2007. - 88 с.
Пособие содержит теоретический и практический курс по основам
теории множеств и комбинаторики. Состоит из двух частей. Разделы каж­
дой части содержат упражнения, снабженные ответами. В конце обеих час­
тей подобран комплект задач по всем темам.
Предназначается для студентов университета специальности
«Математика».
Печатается по решению редакционно-издательского совета КГУ.
Рецензенты: зав. кафедрой прикладной математики и
программирования ЮФУ,
д-р физ.-мат. наук Г.А. Угольницкий;
проф. кафедры алгебры и дискретной математики ЮФУ,
д-р физ.-мат. наук Я.М. Ерусалимский
© Издательство Калмыцкого университета, 2007 г.
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
1.1. Определение множества
1.2 Способы задания множеств
1.3. Сравнение множеств
1.4 Операции над множествами
1.5 Свойства операций над множествами
1.6. Счетные множества
1.7. Разбиения и покрытия
1.8. Формула включений и исключений
1.9. Произведение множеств
1.10. Бинарные отношения
1.11. Обратные отношения и композиции отношений
1.12. Свойства отношений
1.13. Приложение. Системы управления базами данных
1.14. Функции
1.15. Обратные функции и композиция функций
1.16. Принцип Дирихле
ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
2. КОМБИНАТОРИКА
2.1. Правило суммы и произведения
2.2. Размещения, перестановки, сочетания
2.2.1 Размещения с повторениями
2.2.2 Размещения без повторений
2.2.3 Перестановки без повторений
2.2.4 Сочетания без повторений
2.2.5 Перестановки с повторениями
2.2.6 Сочетания с повторениями
2.2.7 Биномиальные коэффициенты
2.3. Комбинаторика разбиений
ЗАДАЧИ ПО КОМБИНАТОРИКЕ
ЛИТЕРАТУРА
3
4
4
5
7
9
11
14
16
16
19
20
22
25
30
34
39
41
44
53
53
56
57
59
62
64
68
70
72
74
79
87
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
1.1. Определение множества
Под множеством понимают совокупность предметов, безразлично
какой природы, собранных по какому-либо признаку. Например, множество
целых чисел, множество студентов, коллекция картин и т.д.
Георг Кантор (1845 - 1918) - основатель теории множеств - сказал:
«Множество - есть многое, мыслимое как единое».
Множество состоит из элементов. Например, число 14 является эле­
ментом множества целых чисел, а число 7.3 - не является элементом мно­
жества целых чисел.
Обычно множества обозначаются латинскими прописными буквами:
А, В, С, D, ..., X, Y, Z, а элементы - строчными буквами а, Ь, с, d, ..., x,y,z.
Если объект а является элементом множества А, то пишут: аеА (а принад­
лежит множеству А), иначе - пишут: а^А (а не принадлежит множеству А).
Так, 14eZ (Z - множество целых чисел), 7.3^N.
Пустое множество - это множество, не содержащее элементов, такое
множество обозначают 0 . Кроме пустого множества, стандартные назва­
ния и обозначения имеют следующие множества:
N={1, 2, 3, ...} - множество натуральных чисел;
Z={0, ±1, ±2, ±3, ...} - множество целых чисел;
Р : р, qeZ, q^O} - множество рациональных чисел;
Q={ —
Ч
R={Bce десятичные дроби} - множество вещественных чисел.
Мощность множества А - это число элементов этого множества, обо­
значают \А\. Например, если А - множество однозначных натуральных чи­
сел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то | А | = 9 . Для пустого множества | 0 | =0, но
l{0}l=i.
Множество А конечно, если содержит конечное число эле ментов.
Примером конечного множества является множество стран мира, бесконеч­
ного - множество натуральных чисел, или множество вещественных чисел
из интервала (0, 1).
1.
2.
3.
4.
Упражнения
Является ли бесконечным множество всех атомов Солнечной системы?
Старейший математик среди шахматистов и старейший шахматист среди
математиков - это один или тот же человек или (возможно) разные?
Лучший математик среди шахматистов и лучший шахматист среди ма­
тематиков - это один или тот же человек или (возможно) разные?
Каждый десятый математик - шахматист, а каждый шестой шахматист математик. Кого больше - математиков или шахматистов - и во сколько
раз?
4
5. Пусть А - множество растений, растущих в Калмыкии, В - множество
цветов, С - множество деревьев.
a) Назовите два элемента множества В, не являющихся элементами
множества А.
b) Назовите два элемента множества С, не являющихся элементами
множества А.
c) Существуют ли элементы, принадлежащие всем трем множествам?
6. Является ли множество, состоящее из числа 0, пустым множеством?
7. Пусть А - множество студентов вашей группы, какова его мощность?
1.2 Способы задания множеств
Существует три способа задания множества.
1) Перечисление элементов.
Этот способ применим лишь для конечных элементов, таких как: мно­
жество всех континентов, множество гласных букв, множество отличников
группы. Например,
А={Европа, Азия, Америка, Африка, Австралия},
В={а, е, и, о, у, э, ю,я}.
2) С помощью характеристического свойства.
Характеристическое свойство множества - это свойство, которым
обладают все элементы этого множества. Если множество А задано харак­
теристическим свойством Р, то это обозначают:
А = {х | Р(х)}
3) С помощью порождающей процедуры
Порождающая процедура - это процедура, которая, будучи запу­
щенной, порождает некоторые объекты, являющиеся элементами опреде­
ляемого множества.
Например, множество целых чисел в диапазоне от m до п обозначают
так: m..n, то есть
m..n:={keZ|0<k&k<n}.
Приведем еще пример - задание последовательности элементов мно­
жества формулой, содержащей параметр:
А = {ск =3 + 2(£2+1)} к = 0,1,2,...
Задавая различные значения параметра к, можем вычислять элементы мно­
жества А: х0 =5, X! =7, х2 =13 и т.д. Подобное задание может быть явным, как
в данном примере, или неявным, требующим разрешения. В частности, ис­
пользуются возвратные, или рекуррентные соотношения. Например, числа
Фибоначчи задаются условиями:
ai=l, a 2 =2, an=an_i + an_2 для п>2.
Последняя формула позволяет последовательно вычислять значения
аЗ = а2 + al =3, а4 = 5, а5 = 8 и т.д.
Бесконечные множества задаются характеристическим свойством или
порождающей процедурой.
5
Парадокс Рассела
Задание множеств характеристическим предикатом может приводить
к противоречиям.
Рассмотрим множество всех множеств, не содержащих себя в качест­
ве элемента:
Y={X|X£X}.
Если множество Y существует, то мы должны иметь возможность ответить
на следующий вопрос: YeY?
nycTbYeY, тогдаY^Y. Пусть Y^Y,
тогдаУеУ. Получается неустранимое логическое противоречие, которое
известно как парадокс Рассела. Вот три способа избежать этого парадокса.
1. Ограничить используемые характеристические предикаты видом
Р(х)=х е А & Q(x),
где А - известное, заведомо существующее множество (универсум). Обыч­
но при этом используют обозначение {хеА | Q(x)}. Для Y универсум не
указан, а потому Y множеством не является.
2. Теория типов. Объекты имеют тип 0, множества имеют тип 1, множе­
ства множеств - тип 2 и т. д. Y не имеет типа и множеством не является.
3. Характеристический предикат Р(х) задан в виде вычислимой функции
(алгоритма). Способ вычисления значения предиката ХеХ не задан, а пото­
му Y множеством не является.
Пример 1.2.1. Задать перечислением множество, заданное характе­
ристическим свойством:
A = ^ceZ\x2 +4x-12<0}
Ответ: А={-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2}
Пример 1.2.2. Описать множество точек М плоскости таких, что
{М | OM=R }
Решение. Точка О(х0, уо) - центр окружности радиуса R, заданной
уравнением
(x-x0)2+(y-y0)2=R2,
Искомое множество: А={(х, у) | (x-x0)2+(y-yo)2=R2} , т.е. окружность
(рис.1).
Рис.1
6
Пример 1.2.3. Перечислить элементы множества М, заданного порож­
дающей процедурой:
1) 5еМ;
2) если <яеМ, то — еМ;
а
3) если а еМ, то (1-я) еМ;
Решение. Множество М конечно и состоит из 6 элементов, а именно,
. . Г. 1 . 1 4 5l ^
.
М = о , - , - 4 , — ,—,— >• Для каждого <я, начиная со значения а =5, есть две
[5
4 5 4J
возможности порождения новых элементов: операциями 2) и 3), при этом
могут получаться и элементы, порожденные ранее. Так, из числа 5 операци­
ей 2) получается - , операцией 3) - число (-4), а из числа - операцией 2) снова число 5. Никаких других чисел процедуры 2) и 3) не дают.
Если же в правиле 3) заменить (Х-а) на (2-<я), то порождаемое мно­
жество будет бесконечным: из числа 5 чередующейся последовательностью
операций 2) и 3) порождается последовательность
чисел
\_ 9 5 9_ 17 13
! + (£ + !) Х + 4к Х + Щ + 2)
' 5 ' 5 ' 9 ' 1 3 ' 1 3 ' 1 7 ' " " Х + 4к 'l + 4(* + l)'l + 4(* + l)"" ( " " " " }
Упражнения
1. Составить список элементов множеств, заданных характеристическими
свойствами:
a) А = {х\х2 -8х + 15 = о},
b) A = {x\xeN,-XX<x<3}
2. Описать множества точек М плоскости таких, что
a) {M|OM<R}
b) {М | АМ=МВ }
3. Перечислить 10 чисел множества М, заданного порождающей процеду­
рой:
a) 1еМ;
b) если <3GM, ТО 2а еМ;
c) еслиаеМ, то (а+3) еМ;
4. Определите с помощью характеристического свойства следующие мно­
жества:
S={2,5,8,11,...};
т = .- 1 1 1
1.3. Сравнение множеств
Множество А содержится в множестве В (множество В включает
множество А), если каждый элемент А есть элемент В:
7
АсВ:=хеА^>хеВ.
В этом случае А называется подмпожестеом множества В, а В падмпожестеом А.
Если AczB и А^В, то А называется собственным подмножеством В.
Заметим, что для любого множества М : М с М . Пустое множество является
элементом любого множестваМ: 0 с М .
Замечание. Если требуется различать собственные и несобственные
подмножества, то для обозначения включения собственных подмножеств
используется знак с , а для несобственных - cz.
Два множества равны, если они являются подмножествами друг
друга:
АсВиВсА.
Если | А | = | В |, то множества А и В называются равномощными.
Булеан
Множество всех подмножеств множества М называется булеаном и
обозначается 2 м :
2М:={А|АСМ}.
Теорема. Для конечного множества М: | 2 м | = 2 | м | .
Доказательство.
Индукция по | М |. База индукции: если | М | =0, то М = 0 и 2 0 ={0}. Следо­
вательно, | 2 0 | = | {0} | =1=2°=2 |0 '.
Индукционный переход: пусть для любого М | м | < k=> | 2 м | =2 . Рас­
смотрим М={а ь а 2 ,... ,аК}, | М | =к. Положим
Mi:={X с 2 м | ai е X} иМ2:={Х с 2 м | щё X}.
Имеем 2M=MI^JM2 nMir^M2=0. По индукционному предположению
\Мх\=2к~\ \М2\ = 2к~1 .
Следовательно,
| 2 м | = | Мх | + | М21 =2 к - 1 +2 ы ==2*2 ы =2 к =2' м '.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Упражнения
Найти все подмножества множеств 0 , {0}, {1,2}, {a,b,c,d}.
Верно ли, что {1,2}е {{1,2,3}, {1,3}, 1,2 }?
Верно ли, что {1,2}с {{1,2,3}, {1,3}, 1,2 } ?
Верно ли, что {{1,2}, {2, 3}}={1, 2, 3}?
Привести примеры таких множеств А, В и С, что
АеВ,ВеС иА^С,
Привести примеры таких множеств А, В и С, что
АсВ, ВсС, АсС.
Построить булеан множества А= {а,Ь,с}.
8
1.4 Операции над множествами
Во всех рассуждениях о нескольких множествах будем предполагать,
что они являются подмножествами некоторого фиксированного множества
U, которое назовём универсальным. На практике это множество часто явно
не указывают, предполагая, что в случае необходимости оно может быть
восстановлено.
Пересечением множеств А и В называется множество, обозначае­
мое АпВ и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принад­
лежат обоим множествам - А и В.
Это определение символически можно записать так:
А п В={х | хеА и хеВ}.
Например, {1,2, 5} п {1,5,6} = {1,5}; {1,3} п {2, 4, 5}=0. Если А множество всех чётных чисел; В - множество всех простых чисел, то
А п В={2}. Если А - множество студентов мужского пола; В - множество
мужчин старше 20 лет, то А п В - множество студентов мужского пола
старше 20 лет.
Объединением множеств А и В называется множество, обозначае­
мое А и В и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые при­
надлежат хотя бы одному из множеств А, В.
Это определение символически можно записать так:
А и В= {х | хеА или хеВ}
Например, {1, 2} и {2, 3, 4, 5}={1, 2, 3, 4, 5}. Если R >о — множество
всех положительных действительных чисел, R < 0 - множество всех отрица­
тельных действительных чисел, то R >0 u R < о - множество всех действи­
тельных чисел, кроме 0. Если R <i - множество всех действительных чисел
меньше 1 ; T O R > 0 U R < I - множество всех действительных чисел.
Отметим, что объединение множеств А и В называют иногда суммой
и обозначают А + В, а их пересечение - произведением и обозначают АВ.
Разностью множеств А и В называют множество, состоящее из
всех тех и только тех элементов из А, которые не принадлежат В, и обозна­
чают:
А\В={х|хеА&х£В}.
Например, А={ 1,2,3}, В={3, 4, 5}. Тогда А\В={1, 2}.
Симметри ческая разность :
А А В=(АиВ) \ (АпВ)={х | (хеА & х£В) v (x£A & хеВ)}.
Например, А={ 1,2, 3},В={3,4, 5}. Тогда А А В={1, 2, 4, 5}.
Дополнение множества А:
^4 = {х| х£А}.
Операция дополнения подразумевает некоторый
универсум
U: A = U \ A .
На рис.2 приведены диаграммы Эйлера, иллюстрирующие операции
над множествами. Заданные множества изображаются кругами, а резуль­
тат выделяется штриховкой.
9
AnB
AuB
A\B
AAB
Рис.2
Операции пересечения и объединения допускают следующее обоб­
щение. Пусть I - некоторое множество, элементы которого используются
как индексы, и пусть для любого i e l множество Ai известно. Тогда
(J Ai= {x | существует iel, такое что xeAi},
iel
р| Ai={x| для любого i e l xeAi}.
iel
Пример 1.4.1. Изобразим с помощью кругов Эйлера множества (если
АПВ*0, АПВПС*0):
a ) i n B , (рис.3)
рис.3
Ъ) А глВ , (рис.4),
рис.4
с) В\(АПС), (рис.5).
рис.5
Пример 1.4.2. Задать множества А={х| xeN, x - делитель числа 20},
В={х| х кратно 5, хе[5, 30]}, С={х| х2-х-20=0} перечислением элементов.
Найти множества: АП(В1Ю), (А\С) ЦВ.
Решение.
А={х| xeN, х - делитель числа 20} = {1, 2, 4, 5, 10, 20};
В={х| х кратно 5, хе[5,30]} = {5,10, 15,20,25,30};
С={х|х2-х-20=0} = {-4,5};
АП(В11С)={5, 10,20};
(А\С) U В = {1, 2, 4, 5, 10, 15, 20, 25, 30}.
10
Пересечение, объединение и разность подмножеств множества U
(универсума) являются подмножествами множества U. Множество всех
подмножеств множества с операциями пересечения, объединения, разности
и дополнения образуют алгебру подмножеств множества U.
Пример 1.4.3. Построить множество точек плоскости, заданное не­
равенством
х + Зу
х2+у2-4
<0
Решение. Решаем неравенство. Возможны два случая:
(х + 3у<0
(х + 3у>0
\х2+у2-4>0
\х2+у2-4<0
Множество решений первой системы - пересечение полуплоскости
х+3у<0 и внешности круга - представлено рисунком 6, множество решений
второй - пересечение полуплоскости х+3у>0 и круга - рисунком 7. Объеди­
няя решения двух систем, получаем искомое множество точек плоскости
(рис.8)
Рис.6
Рис.7
Рис.8
Упражнения
1. Изобразить с помощью кругов Эйлера множества (если AflB#0):
а) А и В, Ъ) А и В
2. Изобразить с помощью кругов Эйлера множества (если АПВПС#0):
а) АЦВПС),
Ъ) A\(SUC),
с) АПВПС,
d) (A\B)(JC,
е)С\(ВПС),
f)(A\C)U5,
g) ^ПВ,
h) АЦСГШ).
3. Записать множества А={х| xeN, х - делитель числа 24}, В={х| х кратно 5,
хе[15,30]}, С={х| х2-х-20<0} перечислением элементов. Найти
a) AUB,
е) А\В,
ОАЦСПВ).
b) АПС,
f)C\B,
с) Ari(BUC),
g) (A\C)UB,
d) АПВПС
h) АПВ,
1.5 Свойства операций над множествами
Пусть задан универсум U. Тогда для множеств А, В, С a U выполня­
ются следующие свойства.
1. идемпотентность:
А и А = А, А п А = А:
11
2. коммутативность:
АиВ^ВиА,
А п В = В n A;
3. ассоциативность:
Au(BuC)=(AuB)uC,
An(BnC)=(AnB)nC;
4. дистрибутивность:
Au(BnC)=(AuB)n(AuC),
An(BuC)=(AnB)u(AnC);
5. поглощение:
(AnB)uA=A,
(AuB)nA=A;
6. свойства нуля:
A u 0 = A,
A n 0 = 0;
7. свойства единицы:
A u U = U,
A n U = A;
8. инволютивность:
А=А;
9. законы де Моргана:
10.
свойства дополнения:
Aui=U,
An Л =0;
11. выражения для разности:
А\В = А п £ .
В справедливости перечисленных свойств можно убедиться различ­
ными способами. Например, нарисовать диаграммы Эйлера для левой и
правой частей равенства и убедиться, что они совпадают, или же провести
формальное рассуждение для каждого равенства. Рассмотрим для примера
первое равенство: АиА = А. Возьмём произвольный элемент х, принадле­
жащий левой части равенства, X G A U A . ПО определению операции объеди­
нения имеем: XGA ИЛИ XGA. В любом случае XGA. ВЗЯВ произвольный
элемент из множества в левой части равенства, обнаружили, что он принад­
лежит множеству в правой части. Отсюда по определению включения мно­
жеств получаем, что АиА с А. Пусть теперь XGA. Тогда, очевидно, верно
XGA ИЛИ XGA. Отсюда по определению операции объединения имеем XGA
и А. Таким образом, А с А и А.
Следовательно, по определению равенства множеств: АиА = А. Аналогич­
ные рассуждения нетрудно провести и для остальных равенств.
Пример 1.5.1. Докажем тождество:
A\(BUC)=(A\B)\C
Доказательство:
1 способ
1) Докажем, что A\(BL)C) с (А\В)\С. Рассмотрим произвольный элемент
множества A\(BL)C):
12
XG A\(BUC) =^> XG А и x^BUC ^ х е А и х ^ В и х ^ С ^ х е А\В И
X^C^XG(A\B)\C.
2) Докажем, что (А\В)\С с: A\(B|JC). Пусть
XG(A\B)\C:
X G ( A \ B ) \ C =^> XGA\B И X ^ C =^> XGA И Х ^ В И X ^ C =^> x G А и х g
BUC
=} x G A\(B(JC)
2 способ
Преобразуем левую часть равенства к правой с помощью свойств
операций над множествами:
A\(BUC)= Агл(В^С) = Агл(ВглС) = ( Л п В ) п С = 04\В)пС=(А\В)\С.
Изобразим обе части равенства с помощью кругов Эйлера (рис.9):
!£ !&^£^ГГь>,
А 0 ::р|=^ Б
^X„„i^
zi
ч^т zzzzp^zzzzijzzy
•\=ЕЕр^ Q
(A\B)\C
A\(BUC)
Рис.9
Упражнения
1. Доказать тождества:
a) АП(В\СНАПВ) \(АПС)
b) А\(А\В)=АПВ
2. Доказать, что если AUBczC, то Ас:С и Вс:С, и обратно (т.е. если Ас:С и
ВсС, то AUBczC)
3. Даны множества A={XGR| Х -2Х-3<0},
a) B={XGJV| х-нечётно и х<9/2},
b) C = { X G Z | X G [ - 2 ; 5 ] } .
4. Найти АПВПС , (А\В) UC, (А\В) Ц В \ С ) .
5. Даны подмножества целых чисел:
A={3n:nGZnn>4};
B={2n:nGZ};
C={n:nGZnn 2 <100}.
Используя операции на множествах, выразите следующие подмножества
через А, В, С:
Xi={нечетные целые числа};
Х 2 ={-10,-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8, 1 0 } ;
X3={6n: nGZ ип>2};
Х 4 ={-9,-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,9}.
13
1.6. Счетные множества
Множество называется счетным, если оно равномощно множеству N
натуральных чисел, то есть если его можно представить в виде ^с1,х1,хъ ...}
(здесь Xi - элемент, соответствующий числу i; соответствие взаимно одно­
значно, так что все Xi различны).
Примеры счетных множеств:
a) множество целых чисел Z (так как целые числа можно расположить
в последовательность 0,1,-1,2,-2,3,-3,...);
b) {1,4,9,16,...,п 2 ,...}
^ l\-2 ' 4-' 6-' 8-' " ' ' 2—
1
/i' J
С)
Теорема 1. (а) Подмножество счётного множества конечно или счётно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счётное подмножество.
(в) Объединение конечного или счётного числа конечных или счётных
множеств конечно или счётно.
Доказательство, (а) Пусть В - подмножество счётного множества
А = {^,^,#2,...}. Выбросим из последовательности а0, а1}... те члены, которые
не принадлежат В (сохранял порядок оставшихся). Тогда оставшиеся члены
образуют либо конечную последовательность (и тогда В конечно), либо
бесконечную (и тогда В счётно).
(б) Пусть А бесконечно. Тогда оно непустое и содержит некоторый
элемент Ъ0. Будучи бесконечным, множество А не исчерпывается элементом
Ь0 - возьмём какой-нибудь другой элемент Ьь и т. д. Получится последова­
тельность Ь0, Ьь...\ построение не прервётся ни на каком шаге, поскольку А
бесконечно. Теперь множество В={Ь0, Ьь...} и будет искомым счётным под­
множеством. (Заметим, что В вовсе не обязано совпадать с А, даже если А
счётно.)
(в) Пусть имеется счётное число счётных множеств А ь А2,... Распо­
ложив элементы каждого из них слева направо в последовательность
( 4 ={ai0,an,...}) и поместив эти последовательности друг под другом, полу­
чим таблицу
«00
«01
«02
«10
«11
«12
«20
«21
«22
Теперь эту таблицу можно развернуть в последовательность, напри­
мер, проходя по очереди диагонали:
14
ао2~*аоз
a12^/a13
ciog—baoi
OdffJZir*
a
<*2(У 0-21 / 22
...
a
24
•••/•У
Если множества А не пересекались, то мы получили искомое пред­
ставление для их объединения. Если пересекались, то из построенной по­
следовательности надо выбросить повторения.
Если множеств конечное число или какие-то из множеств конечны, то
в этой конструкции части членов не будет — и останется либо конечное,
либо счётное множество. Теорема доказана.
Теорема 2. Множество Q рациональных чисел счётно.
В самом деле, рациональные числа представляются несократимыми
дробями с целым числителем и знаменателем. Множество дробей с данным
знаменателем счётно, поэтому представимо в виде объединения счётного
числа счётных множеств
Теорема 3. Множество N , элементами которого являются наборы из
к натуральных чисел, счётно.
Это легко доказать индукцией по к. При к = 2 множество N2 =NxN
пар натуральных чисел разбивается на счётное число счётных множеств
{0}xN, {l}xN,... (элементами i-ro множества будут пары, верный член кото­
рых равен i). Поэтому N2 счётно. Аналогичным образом множество троек
натуральных чисел разбивается на счётное число множеств {/'} х N х N. Каж­
дое из них состоит из троек, первый член которых фиксирован и потому
равномощно множеству N2, которое счётно. Точно так же можно перейти
от счётности множества Nk к счётности множества Nk+1
• Множество всех конечных последовательностей натуральных чисел
счётно. В самом деле, множество всех последовательностей данной длины
счётно (как мы только что видели), так что интересующее нас множество
разбивается на счётное число счётных множеств.
• В предыдущем примере не обязательно говорить о натуральных
числах — можно взять любое счётное (или конечное) множество. Напри­
мер, множество всех текстов, использующих русский алфавит (такой текст
можно считать конечной последовательностью букв, пробелов, знаков пре­
пинания и т. п.), счётно; то же самое можно сказать о множестве (всех мыс­
лимых) компьютерных программ и т. д.
Упражнения
1. Докажите, что множество периодических дробей счётно.
2. Докажите, что любое семейство непересекающихся интервалов на пря­
мой конечно или счётно. (Указание: в каждом интервале найдётся ра­
циональная точка.)
3. Докажите, что любое множество непересекающихся восьмёрок на
15
плоскости конечно или счётно. (Восьмёрка - объединение двух касаю­
щихся окружностей любых размеров).
4. Докажите, что множество всех прямых на плоскости равномощно мно­
жеству всех точек на плоскости. (Указание: и точки, и прямые задаются
парами чисел - за небольшими исключениями.)
1.7. Разбиения и покрытия
Пусть Е = {Ei}ieI - некоторое семейство подмножеств множества М,
Ei а М. Семейство Е называется покрытием множества М, если каждый
элемент М принадлежит хотя бы одному из Ei:
М <z\jEt <^>\/xeM3ieI
xeEr
iel
Семейство Е называется дизъюнктным, если элементы этого семей­
ства попарно не пересекаются, то есть каждый элемент множества М при­
надлежит не более чем одному из множеств Ei:
Vijeli^j ^ E i n E j = 0 .
Дизъюнктное покрытие Е называется разбиением множества М.
Пример.1.7.1. Пусть М={1. 2.3}. Тогда {{1,2}, {2,3}, {3,1}} являет­
ся покрытием, но не разбиением; {{1}, {2}, {3}} является разбиением (и по­
крытием), а семейство {{1}, {2}} является дизъюнктным, но не является ни
покрытием, ни разбиением.
Упражнения
1. Пусть дано множество А={А, В, С, D, E, F}. Какие из следующих мно­
жеств образуют покрытие:
1 ) 4 = { А , В } , 4 = { Д Е } , А3={¥}2 ) 4 = { A , B , F } , 4 = { Д Е } , АЪ={С}3)4={А,В}, 4={B,C,D}, 4={E,F}.
2. Пусть А={1, 3, 5, 7, 9}. Какие из следующих семейств являются покры­
тиями, разбиениями, дизъюнктными множествами?
a) {{1,3}, {1,5,7}, {9}};
b) {{1,3,5}, {7,9}};
c) {{1,3,5}, {5,7}, {7,9}};
d) {{1}, {1,3}, {5,7}, {7,9}}.
1.8. Формула включений и исключений
Для любых конечных множеств А и В верно равенство
| AuB | = | А | + | В | -1 АпВ |
(1)
Доказательство. Множество AuB является объединением трёх по­
парно непересекающихся множеств: А\(АпВ) (элементы, принадлежащие
только А), В \ (АпВ) (элементы, принадлежащие только В) и АпВ (элемен­
ты, принадлежащие обоим множествам). Первое из этих множеств содер­
жит | А | -1 АпВ | элементов, второе содержит | В | -1 АпВ | элементов, а
16
третье - | АпВ | элементов. Значит, число элементов в множестве AuB рав­
но | А | -1 АпВ | + | В | -1 АпВ | + | АпВ |,
Таким образом, | AuB | = | А | + | В | -1 АпВ |.
Пример 1.8.1. Пусть множество А состоит из букв {а, б, в, г, д, е}, а
множество В состоит из букв {г, д, е, ж, з}, тогда их объединением является
множество {а, б, в, г, д, е, ж, з}, а их пересечением - множество {г, д, е}. При
этом, | А | =6, | В | =5, | АпВ | =3, | AuB | =8, что согласуется с формулой (1).
Формула (1) является частным случаем более общей формулы
|A b ...,A m | = |Ail +...+ | А т | - |AinA 2 | - |AinA 3 | -...- |AinA m |
- | А 2 П А 3 | -...- |A 2 nA m | -...- |A m _inA m | + | A i n A 2 n A 3 | +...+
( - l ^ l A ^ . - n A k l +...+ (-l)m+1 l ^ n . - . n A j ,
(2)
которую называют формулой перекрытия или, иначе, формулой включе­
ний и исключений. В эту формулу, кроме самих множеств А ь ... ,А т , входят
их всевозможные пересечения по 2, по 3, ... , по т . При этом, если число
пересекаемых множеств нечетно, соответствующее слагаемое входит в
формулу (2) со знаком «плюс», а если оно четно, то со знаком «минус».
Например, при п=3 имеем:
| A u B u C | = | А 1 + | В | + | С | - | А П В | -1 АпС | -1 BnC | + | AnBnC |.
(3)
Чтобы доказать равенство (3), заметим, что AuBuC=(AuB)uC, и потому
по формуле (1) имеем: | A u B u C | = | AuB | + | С | -1 (AuB)nC |. Но по свой­
ствам операций над множествами
(AuB)nC=(AnC)u(BnC),
и потому
I (AuB)nC | = | АпС | + | BnC | -1 (AnC)n(BnC) | = | AnC | + | BnC | IAnBnC|.
Значит,
| A u B u C | = | AuB | + | С | -1 AnC | -1 BnC | + | AnBnC |.
Заменяя | AuB | по формуле (1), получаем (З).
В общем случае формула (2) доказывается аналогично, методом ма­
тематической индукции.
С помощью формулы (2) легко найти и число элементов некоторого
множества М, не принадлежащих ни одному из подмножеств А ь ... ,А т этого
множества - сначала надо найти число элементов в AiU... uA m , а потом вы­
честь найденное число из числа элементов в М.
Пример 1.8.2. На курсе обучаются 42 студента. Из них 16 участвуют
в секции по лёгкой атлетике, 24 - в футбольной секции, 15 - в шахматной
секции, 11 - и в секции по лёгкой атлетике, и в футбольной, 8 - и в легкоат­
летической, и в шахматной, 12 - и в футбольной, и в шахматной, а 6 - во
всех трёх секциях. Остальные студенты увлекаются только туризмом.
Сколько студентов является туристами?
17
Решение. Обозначим через М множество всех учащихся, через А членов легкоатлетической секции, через В - футбольной, через С - шахмат­
ной и через D - туристической. По условию задачи имеем:
M=AuBuCuD,
причём
Dn(AuBuC)=0
и | М | =42, | А | = 1 6 , | В | =24, | с | = 1 5 , | А п В | = 1 1 , | АпС | =8, | ВпС |=12,
| АпВпС | =6.
По формуле (3) получаем, что
| A u B u C ] =16+24+15-11-8-12+6=30,
и поэтому
I D | = | М | -1 A u B u C | =42-30=12.
Значит, туризмом занимаются 12 школьников.
Пример 1.8.3. Экзамен по математике сдавали 250 абитуриентов, по­
ступающих в ВУЗ. Оценку ниже «5» получили 180 человек, а выдержали
этот экзамен 210 человек. Сколько человек получили оценки «3» и «4»?
Решение. Пусть А - множество абитуриентов, получивших оценки
«2», «3»и«4»; |А| = 180;
В - множество абитуриентов, получивших «3», «4», «5»; |В| =210;
Всего 250 абитуриентов: |АиВ| = 250.
Найдем, сколько человек получили «3» и «4»:
|А| + |В| - |АиВ| = 180+210-250=140;
250-210=40 человек сдали на «2»;
180-40=140 человек получили «3» и «4». Ответ можно проиллюстрировать
рисунком 10:
рис.10
Ответ: 140 абитуриентов получили «3» и «4».
Пример 1.8.4. Сколько человек участвовало в прогулке, если известно,
что 16 из них взяли с собой бутерброды с ветчиной, 24 - с колбасой, 15 - с
сыром, 11 - и с ветчиной и с колбасой, 8 - и с ветчиной и с сыром, 12 - и с
колбасой и с сыром, 6 - бутерброды всех трех видов, а 5 вместо бутербро­
дов взяли с собой пирожки?
Решение. Обозначим: В - множество туристов, взявших бутерброды с
ветчиной, К - с колбасой, С - с сыром, П - пирожки.
|В|=16, |К|=24, |С|=15, |BnK|=ll, |BnC|=8, |KnC|=12, |BnKnC|=6, |П|=5
Найдем, сколько человек участвовало в прогулке:
|ВиКиСиП|=|В|+|К|+|С|+|П|-|ВпК|-|ВпС|-|ВпП|-|КпС|-|КпП||СпП|+|ВпКпС|+|ВпКпП|+|ВпСпП|+|КпСпП|-|ВпКпСпП|=16+24+15+518
11-8-12+6=35.
Ответ: 35 человек участвовало в прогулке.
Упражнения
1. В соревнованиях по биатлону участвовало 30 чел., по лыжам - 21 чел., по
прыжкам с трамплина - 16 чел. Биатлон и лыжи совмещали 5 чел., биат­
лон и прыжки с трамплина - 3 чел., лыжи и прыжки - 2 человека. Во всех
трех видах одновременно никто не смог участвовать. Сколько всего
спортсменов в команде?
2. «Мистер Холмс, - начал инспектор, едва отдышавшись, - сенсационное
дело! Об этом говорит весь Лондон. Вчера поздно вечером недалеко от
Гайд-Парка шайка вооруженных бандитов напала на служащего банка, и
похитила около 10000 фунтов. Служащий, некто Сэмюэль Бартон, ут­
верждает, что пятеро нападавших были вооружены винчестерами, трое револьверами, четверо - ножами. При этом шестеро имели и ножи и вин­
честеры, семеро - ножи и револьверы, двое - винчестеры и револьверы, а
один из грабителей, по-видимому, главарь, был вооружен винчестером,
ножом и револьвером. Как видите, мистер Холмс, дело серьезное! Я даже
стал сомневаться, не сочинил ли все это Бартон: слишком уж велика
шайка, да и место неподходящее - центр Лондона. Однако бакалейщик из
Сохо, случайно оказавшийся поблизости в момент происшествия, все
подтвердил. Что Вы думаете по этому поводу, мистер Холмс? Хотите,
наверное, побеседовать с Бартоном? »
«Не имею ни малейшего желания, инспектор, - ответил Холмс, по­
качиваясь в кресле, - и так все ясно! Рекомендую арестовать Бартона и
его сообщника бакалейщика. И советую не терять время!»
Итак, Шерлок Холмс сразу понял, кто истинный преступник. Выяс­
ните, как ему это удалось сделать?
1.9. Произведение множеств
Пусть А и В - некоторые множества. Декартовым произведением
двух множеств А и В назьшается множество упорядоченных пар, в котором
первый элемент каждой пары принадлежит А, а второй принадлежит В:
AxB = {(a,b)\ae A,beB}
Степенью множества А назьшается его декартово произведение само­
го на себя:
Ап
=Ах...хА
..
V
V
1
п раз
Пример 1.9.1. Пусть А={1, 2, 7}, В={3, 9}, С={х, у}. Тогда
АхВ={(1, 3), (1, 9), (2, 3), (2, 9), (7, 3), (7, 9)};
АхА={(1, 1), (1,2), (1,7), (2, 1), (2, 2), (2, 7), (7, 1), (7, 2), (7, 7)};
АхВхС ={(1, 3, х), (1, 3, у), (1, 9, х), (1, 9, у), (2, 3, х), (2, 3, у), (2, 9, х),
(2, 9, у), (7, 3, х), (7, 3, у), (7, 9, х), (7, 9, у)}.
19
Теорема. |АхВ| = |А|- |В|.
Доказательство. Первую компоненту упорядоченной пары можно вы­
брать |А| способами, вторую - |В| способами. Таким образом, всего имеется
|А|-|В| различных упорядоченных пар.
Следствие. |АП| = |А|П .
Пример 1.9.2. Упорядоченную пару (а,Ь), где a, b - действительные
числа, будем отождествлять с точкой плоскости, абсцисса которой равна а а
ордината - Ь. Тогда R геометрически изображается как плоскость XY.
2 3 4
5В
Рис. 11
Если же А=[1, 6], В=[1,4], то АхВ на плоскости изображается заштрихован­
ным прямоугольником (рис. 11).
1.
2.
3.
4.
Упражнения
Выпишите элементы множества {1,2, 3}х{3,4}.
Какую область на плоскости изображает множество
{(x,y)eR21 х<0, у>0, у <2х+1}
Перечислите элементы множества
{(x,y)eZ 2 |x>0,y>l,y<x+4}
Пусть В= {0,1}. Опишите множество Вп.
1.10. Бинарные отношения
Пусть А и В - некоторые множества. Бинарным отношением R из
множества А в множество В называется подмножество декартова произве­
дения А и В:
Re: АхВ.
Обозначают: aRb=(a, b)e Re: АхВ.
Если А=В, то говорят, что R есть отношение на множестве А.
Пример 1.10.1. ПустьА={1,2,7}, В={3,9}.
Задаем отношения:
Ri={(l, 9), (2, 3), (2, 9), (7, 3)} с: АхВ;
R2={(1, 2), (2, 7), (7, 1), (7, 2), (7, 7)} с: АхА;
Существуют более удобные способы перечисления упорядоченных
пар, принадлежащих данному отношению. Первый из них основан на поня­
тии «ориентированный граф», а второй использует матрицы.
20
Пусть А и В - два конечных множества и R - бинарное отношение
между ними. Изобразим элементы этих множеств точками на плоскости.
Для каждой упорядоченной пары отношения R соединим соответствующие
им точки стрелкой. Такой объект называется ориентированным графом,
точки, изображающие элементы множеств, назьшают вершинами графа, а
стрелки - ребрами (дугами). Графы отношений Ri и R2 примера 1.10.1 по­
казаны на рис.12.
Рис.12
Второй способ задания бинарного отношения на конечных множест­
вах основан на использовании матриц. Пусть R - бинарное отношение ме­
жду множествами А={а ь а2,..., ап} и B={b b b 2 ,..., b m }. Для задания отно­
шения построим матрицу M e n строками и m столбцами. Строки перенуме­
руем элементами множества А, а столбцы - элементами множества В. Эле­
мент матрицы M(i,j) определяем следующим образом:
M(ij)=l,ecm(a i ,b j )GR,
M(i,j)=0, если (аь bj)£R.
Отношения Ri и R2 задаются матрицами М^ и М2 (рис.13):
3
9
1 2
7
1 Го \Л
Мх=2 1 1
7
lfO
М2 =2 0
ь oj
1 1
Л
1 0
о 1
1
1/
Рис.13
Отношение aRb можно рассматривать и как совокупность всех выска­
зываний вида «элемент аеА находится в отношении R с элементом be В». В
математике (и не только в математике) термин «отношение» используют
для обозначения связи между предметами и понятиями. Например, отноше­
ние «меньше» в множестве вещественных чисел, отношение подобия тре­
угольников, отношение равенства дробей, отношение делимости в множе­
стве целых чисел, отношение родства в множестве людей. Это примеры от­
ношений между двумя элементами. Можно рассмотреть отношения и меж­
ду тремя, четырьмя и более элементами. Например, отношение «точка А
лежит между точками В и С», отношение между целыми числами а, Ь, с, d,
если они образуют пропорцию a:b=c:d, и др. Мы будем рассматривать толь­
ко бинарные отношения.
21
1.11. Обратные отношения и композиции отношений
Отрицанием бинарного отношения R на множестве А будем назы­
вать бинарное отношение R , в котором находятся все пары элементов из А,
кроме находящихся в отношении R. R называют также противоположным
отношением для R.
Например, обратным к отношению «х - родитель у» на множестве
всех людей будет отношение «у - ребенок х».
На графическом языке обратное отношение получается обращением
всех стрелок в орграфе, изображающем исходное отношение.
Пример 1.11.1. А={3, 6, 12}. Построить отношение aRb= "а кратно
Ь" и его отрицание.
Ответ: R={(3,3), (6, 3), (6,6), (12, 3), (12, 6), (12,12)},
R ={(3,6), (3,12), (6,12)}.
Пусть R -бинарное отношение между множествами А и В, a S - би­
нарное отношение между В и третьим множеством С. Композицией R и S
назьшается бинарное отношение между А и С, которое обозначается SoR и
определяется формулой:
SoR = {(а, с): аеА, сеС и aRb, bSc для некоторого ЬеВ}.
Новое отношение устанавливает связь между элементами множеств А
и С, используя элементы из В в качестве посредников.
Пример 1.11.2 Пусть R — отношение «а — сестра b», a S обозначает
отношение «Ь — мать с» на множестве всех людей. Опишите на словах
композиции: SoR и SoS.
Решение. Если а — сестра b, a b — мать с, то а, очевидно, будет сест­
рой матери с, т. е. а приходится тетей с. Стало быть, отношение SoR есть ни
что иное, как «а — тетя с».
Аналогичными рассуждениями легко установить, что SoS — это «а —
бабушка с».
Пример 1.11.3. Предположим, что отношения R и S заданы орграфа­
ми, представленными на рис.14. Найдите орграф, соответствующий компо­
зиции SoR.
R
S
Рис.14
Решение. Используя орграфы, выпишем упорядоченные пары, при­
надлежащие отношениям.
R = {(а, 1), (а, 2), (а, 3), (Ь, 2)} и S = {(1, у), (2, х), (3, х)}.
22
Применим определение композиции отношений.
aRl и IS у => (а, у) е SoR;
aR2n2Sx=>(a,x)e SoR;
aR3n3Sx=>(a,x)e SoR;
bR2 и 2Sx=> (b, x) G SoR.
Теперь на рис. 15 изобразим орграф композиции.
Рис.15
Композицию бинарных отношений можно вычислить и с помощью матриц,
их определяющих. Имея матрицы двух отношений, мы построим матрицу
их композиции. Она назьшается логическим или булевым произведением
матриц.
Рассмотрим три множества:
А = {а ь а2, ..., а п },В= {b b b2, ...,b m }, и С = { с ь с2, ...,с р }.
Предположим, что R — отношение между А и В, a S — отношение ме­
жду В и С. Напомним, что матрица М отношения R определяется условием:
M(i, j) = И если (аь Ъ}) e R,
M(i, j) = Л если (аь bj) £ R.
Аналогично, матрица N отношения S заполняется по правилу:
N(i,j) = H если(а ь q) е S,
N(iJ) = JI если(Ь ь Cj) £ S,
Если найдется такой элемент b k e В, что aiRbk и bkScj, то в i011 строке
матрицы М на ком месте стоит И. Кроме того, в j 0 M столбце матрицы N на ком
месте тоже будет стоять значение И. С другой стороны, поскольку по опре­
делению композиции отношений ai(SoR)Cj , то значение P(i, j) логической
матрицы Р отношения SoR тоже равно И. Если же в i011 строке матрицы М
нет значений И, соответствующих такому же значению в j 0 M столбце матри­
цы N, то P(i,j) = Л.
Таким образом, логическая матрица Р композиции SoR заполняется
по следующему правилу:
Р(1,])=[М(1,1)иМ(1,])]или
или [M(i,2)nN(2,j)]
или [M(i, n) и N(n, j) ].
Будем писать Р = MN для обозначения булева произведения матриц.
Пример 1.11.4. Пусть R и S — отношения из примера 1.10.4 Вычисли­
те логическую матрицу отношения SoR с помощью булева произведения
логических матриц отношений R и S.
23
Решение. Отношение R между А = {а, Ь} и В = {1,2,3} задается мат­
рицей
^И И И
м = ЛИЛ
строки и столбцы которой помечены элементами множеств А и В в том по­
рядке, в котором они выписаны.
Аналогично, S — отношение между В = {1, 2, 3} и С = {х, у}, задан­
ное матрицей
Л
N=
и
и л
и л
Значит, логическая матрица Р отношения SoR равна булеву произве­
дению
~л и
и
и~
и л
Р=
л и л
и л
И
В матрице М - две строки, а в матрице N - два столбца. Поэтому
матрица Р состоит из двух строк и двух столбцов.
Элемент Р(1, 1) заполняется по первой строке матрицы М и первому
столбцу матрицы N Более точно,
~Л
р(\л) = [и и и]и = (ИиЛ) или (И и И) или (ИиИ) =
и
Л или И или И = И.
Заметим, что в первой строке матрицы М на втором и третьем местах
стоит И, так же как и в первом столбце матрицы N. Этого достаточно для
обоснованного заключения: Р(1, \) = И.
Сравнивая первую строку матрицы М со вторым столбцом матрицы
N, мы видим, что в обоих случаях на первом месте стоит значение И. Сле­
довательно, Р(\,2) = И.
Таким же способом, по второй строке матрицы М и первому столбцу
матрицы N, определяем Р(2, \) = И.
Наконец, Р(2, 2) = Л, так как вторая строка матрицы М и второй стол­
бец матрицы N не имеют значения И на одинаковых местах.
Итак.
^И И
Р=
И Л
Пример 1.11.5. Отношение R на множестве А = {1,2, 3, 4, 5} задается
матрицей
24
л
л
л
л
л
л
и
л
л
и
и
л
л
и
л
и
л
и
л
л
л
и
л
л
л
Вычислить матрицу композиции RoR и объяснить, почему отношение
R не обладает свойством транзитивности.
Решение. Матрица композиции RoR равна
Л Л и и л~\ л л и и л'
л л и и л
Л И л л и л и л
л и л и л л и
л
л
л
л л и л л л л и л
л и л л л л и л л
и л л л\ л и л л л
=
л л и л л
л л л и л
л и л л и
Элементы композиции RoR имеют вид (х, z), где xRy и yRz для неко­
торого уеА. Поэтому в случае транзитивности R композиция RoR должна
быть подмножеством R. Однако из расположения значения И в матрицах,
выписанных выше, видно, что RoR содержит пары, которые не лежат в R.
Именно поэтому отношение R не транзитивно.
-
1.12. Свойства отношений
Пусть RczA2. Тогда отношение R называется
рефлексивным, если aRa для любого аеА;
антирефлексивным, если а7? а для любого аеА;
симметричным, если из aRb следует bRa для любых аеА, be A;
антисимметричным, если а^Ь, то из aRb следует Ь7? а для любых аеА,
ЬеА;
транзитивным, если из aRb и bRc следует aRc для любых аеА, ЬеА,
сеА:
Пример 1.12.1. Какими свойствами обладают следующие отношения:
a) «х делит у» на множестве натуральных чисел;
b) «х^у на множестве целых чисел;
c) «количество лет х совпадает с возрастом у» на множестве всех
людей.
Решение.
а) Поскольку х делит сам себя, то это отношение рефлексивно. Оно не
симметрично, так как, например, 2 является делителем 6, но не наоборот: 6
не делит 2.Проверим, что отношение делимости транзитивно. Предполо­
жим, что х делит у, а у в свою очередь делит z. Тогда из первого предполо­
жения вытекает, что у=тх для некоторого натурального числа т , а из вто25
рого - z=ny, где n - натуральное число. Следовательно, z=ny=(nm)x, т.е. х
делит z. Значит, данное отношение транзитивно.
b) Так как высказывание «хфх» ложно, то это отношение не рефлек­
сивно. Оно симметрично, поскольку х^у тогда и только тогда, когда у Ф х.
Отношение не обладает свойством транзитивности, так как, например, 2фЪ и
3^2, но, тем не менее, 2=2.
c) Отношение рефлексивно, так как возраст любого человека х совпа­
дает с количеством прожитых им лет. Оно симметрично, поскольку выска­
зывание «количество лет х совпадает с возрастом у» равносильно высказы­
ванию «количество лет у совпадает с возрастом х». Отношение транзитив­
но, так как, если найдутся такие три человека х, у и z, что «количество лет х
совпадает с возрастом у», а «количество лет у совпадает с возрастом z», то
все трое будут одинакового возраста.
Пример 1.12.2. Рассмотрим отношения:
1) Отношения равенства рефлексивны, симметричны и транзитивны.
2) Отношения между парами чисел «больше», «меньше» - антирефлексивны, антисимметричны и транзитивны.
3) Отношение параллельности прямых рефлексивно, симметричной
транзитивно.
4) Отношение перпендикулярности прямых рефлексивно, симметрично,
нетранзитивно.
Если отношение R на множестве А не обладает тем или иным свойст­
вом, то его можно продолжить до отношения R*, которое будет иметь нуж­
ное свойство. Под «продолжением» мы понимаем присоединение некото­
рых упорядоченных пар к подмножеству RcAxA так, что новое полученное
множество R* уже будет обладать требуемым свойством. Очевидно, что ис­
ходное множество R будет подмножеством в R*. В том случае, если вновь
построенное множество R* будет минимальным среди всех расширений R с
выделенным свойством, то говорят, что R* является замыканием R относи­
тельно данного свойства.
Отношение R* называется замыканием отношения R относительно
свойства Р, если
1. R* обладает свойством Р;
2. RcR*;
3. R* является подмножеством любого другого отношения, содержащего
R и обладающего свойством Р.
Пример 1.12.3. Пусть А = { 1 , 2 , 3},а отношение R на А задано упо­
рядоченными парами:
R = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)}.
Оно не рефлексивно, не симметрично и не транзитивно. Найдите соответ­
ствующие замыкания.
Решение. Замыкание относительно рефлексивности должно содер­
жать все пары вида (х, х). Поэтому, искомое замыкание имеет вид:
26
R* = {(1, 1), (1,2), (1, 3), (3, 1), (2, 3); (2, 2), (3, 3)},
где добавленные пары отделены от исходных точкой с запятой.
Замыкание относительно симметричности должно содержать все па­
ры, симметричные исходным. Значит,
R* = {(1, 1), (1, 2), (1. 3), (3, 1), (2, 3); (2, 1), (3, 2)}.
Чтобы найти замыкание относительно транзитивности, необходимо
выполнить несколько шагов. Так как R содержит пары (3, 1) и (1, 2), замы­
кание обязано включать в себя и пару (3, 2). Аналогично, пары (2, 3) и (3, 1)
добавляют пару (2, 1), а пары (3, 1) и (1, 3) — пару (3, 3). Добавим сначала
эти пары:
R * 3 {(1,1), (1,2), (1.3), (3,1), (2,3); (3,2), (2,1), (3,3)}.
Теперь у нас возникло сочетание (2, 1) и (1, 2). Стало быть, замыкание R*
должно содержать пару (2, 2). Теперь можно увидеть, что все необходимые
пары мы добавили (хотя бы потому, что перебрали все пары из А ). Следо­
вательно,
R* = {(1, 1), (1,2), (1, 3), (3. 1), (2, 3); (3, 2), (2, 1), (3, 3), (2, 2)}.
Отношения эквивалентности
Отношение эквивалентности - бинарное отношение, являющееся
рефлексивным, симметричным и транзитивным.
Примерами отношений эквивалентности являются:
1) отношение равенства, 2) отношение параллельности прямых, 3) отноше­
ние подобия треугольников, 4) отношение пропорциональности между па­
рами чисел.
Пусть на множестве А введено некоторое отношение эквивалентно­
сти R. Для каждого элемента ае А рассмотрим множество Ма = {b e A | aRb}
элементов be А, эквивалентных а. Так как отношение R симметрично и
транзитивно, то Ма=Мь если aRb. Если же aR b, то M a nM b =0. Множество
Ма называется классом эквивалентности произвольного элемента аеА.
Таким образом, система различных множеств {Ма } - разбиение
множества А, то есть каждое отношение эквивалентности на множестве по­
рождает разбиение этого множества на классы эквивалентности бинарного
отношения R на множестве А - такую систему подмножеств множества А,
что
- любые два элемента из одного класса эквивалентны;
- любые два элемента из разных классов не эквивалентны.
Верно и обратное - любое разбиение некоторого множества А мож­
но рассматривать как отношение эквивалентности, в котором находятся па­
ры элементов, отнесенные к одному и тому же классу разбиения, и не нахо­
дятся элементы из разных классов.
Диаграмма Эйлера-Венна разбиения некоторого множества А на
пять непересекающихся подмножеств показана на рис.16.
27
А
Ai
A+
Рис.16
Классами эквивалентности являются: множества подобных друг
другу треугольников, множества пар чисел (х, у), имеющих одинаковое зна­
чение частного х/у.
Пример 1.12.4. Отношение R на вещественной прямой задано усло­
вием: xRy, если и только если х-у - целое число. Докажем, что R - отношение эквивалентности и опишем классы эквивалентности, содержащие 0, - ,
И V2.
Решение. Так как x-x=0 eZ для любого вещественного числа х, от­
ношение R рефлексивно. Если х-у число целое, то и противоположное к не­
му у-х= -(х-у) является целым. Следовательно, R - симметричное отноше­
ние. Пусть х-у и y-z - целые числа. Тогда x-z=(x-y)+(y-z) - сумма целых чи­
сел, т.е. целое число. Это означает, что R транзитивно. Итак, мы показали,
что отношение R рефлексивно, симметрично и транзитивно. Следовательно,
R - отношение эквивалентности. Класс эквивалентности Мх произвольного
вещественного числа х определяется по формуле:
М х = {zeR: z-x - целое число }.
Поэтому,
M0=ZМ 1 =<z e.R: z
целоечислоУ = •< ...,-1 —, — , —, 1—, 2 — ,..Л;
Мп^ = jz G R : z-V2 - целоечисло]= | . . , - 1 + V2, V2,1 + V2, 2 + V2,...|
Отношения порядка
Среди бинарных отношений можно выделить отношения, являю­
щиеся отношениями порядка.
Отношение строгого порядка - бинарное отношение, являющееся
антирефлексивным, антисимметричным и транзитивным.
Примерами являются отношения: «больше», «меньше», «старше»,
«левее» и т.д.
Отношение нестрогого порядка - бинарное отношение, являющееся
рефлексивным, антисимметричным и транзитивным.
28
Примерами являются отношения: «больше, либо равно», «меньше,
либо равно», «не старше» и т.д.
Задание для множества некоторого отношения порядка называется
его упорядочением, а само множество в результате этого становится упоря­
доченным.
Если для отношения порядка R на множестве А и некоторых раз­
личных элементов а,ЬеА выполняется хотя бы одно из отношений aRb или
bRa, то элементы а и b называются сравнимыми, в противном случае - не­
сравнимыми.
Упорядоченное множество А - множество, на котором задано от­
ношение порядка, причем любые два элемента множества А сравнимы.
Частично упорядоченное множество - то же, но допускаются несравнимые
пары элементов.
Если R - отношение частичного порядка на множестве А, то при х^у
и xRy называем х предшествующим элементом, или предшественником, а
у - последующим. У произвольно взятого элемента может быть много
предшествующих элементов. Однако если х предшествует у и не существу­
ет таких элементов z, для которых xRz и zRy, называем х непосредствен­
ным предшественником у и пишем х^у.
Непосредственных предшественников можно условно изобразить с
помощью графа, известного как диаграмма Хассе. Вершины графа изобра­
жают элементы частично упорядоченного множества А, и если х^у, то
вершина х помещается ниже вершины у и соединяется с ней ребром.
Пример 1.12.5. Дано отношение « х - делитель у», которое опреде­
ляет частичный порядок на множестве А={1, 2, 3, 6, 12, 18}. Составить таб­
лицу предшественников и непосредственных предшественников, построить
диаграмму Хассе.
Решение. Составим таблицу:
элемент
1
2
3
6
12
18
предшественник
нет
1
1
1,2,3
1,2,3,6
1,2,3,6
непосредственный
предшественник
нет
1
1
2,3
6
6
Соответствующая диаграмма Хассе представлена рис.17.
Примером частично упорядоченного множества может служить мно­
жество трехмерных векторов, если порядок задан так: (а ь а2, а3) -< (b b b2, b3)
(вектор а предшествует вектору Ь), если ai<b b a2<b2, a3<b3. Несравнимыми
являются, например, векторы (1,0, 1) и (0, 1, 1).
29
Линейным порядком на множестве А называется отношение час­
тичного порядка, при котором из любой пары элементов можно выделить
предшествующий и последующий.
Пример 1.12.6. линейного порядка:
1) « < » на множестве вещественных чисел;
2) лексикографическое упорядочение слов в словаре.
Различные сортирующие процедуры в информатике требуют, чтобы
элементы сортируемых множеств были линейно упорядочены. В этом слу­
чае они могут выдавать упорядоченный список. Другие приложения ис­
пользуют частичный порядок, предполагая, что в любом частично упорядо­
ченном множестве найдется минимальный элемент (не имеющий пред­
шественников) и максимальный (не имеющий последующих элементов).
Частично упорядоченное множество из примера 1.12.5 обладает од­
ним минимальным элементом, а именно, числом 1. С другой стороны, в нем
есть два максимальных: 12 и 18. В этом множестве содержится несколько
линейно упорядоченных подмножеств. Каждое из них соответствует цепоч­
ке ребер на диаграмме Хассе. Например, множество {1, 2, 6, 18} линейно
упорядочено относительно отношения «х делитель у».
1.13. Приложение. Системы управления базами данных
Данные, хранящиеся в компьютере, называются базой данных. Про­
граммы, с помощью которых пользователь извлекает информацию из базы
данных или вносит в нее изменения, называются системами управления
базами данных (СУБД).
Данные в компьютере, как правило, организованы в виде таблиц. На­
пример, табл. 1.1 содержит информацию о группе студентов: личный номер
студента, фамилию, пол, дату рождения, семейное положение и адрес.
Т1 ^Персональные данные
Таблица
Номер
билета
Фамилия
Пол
Дата
рожд.
Семейное
положение
400123
500147
511239
502411
553289
508301
519623
496201
Белов
Сергеев
Серова
Петров
Климова
Чернов
Краснов
Петров
м
м
ж
м
ж
м
м
м
01.02.8
04.05.8
21.03.8
12.12.8
15.08.8
09.07.8
21.03.8
07.10.8
ХОЛОСТ
женат
не замужем
холост
замужем
женат
холост
холост
1.1
Адрес
Пушкина. 143/5
Толстого, 16/75
Чехова, 44/12
Гоголя. 13/13
Некрасова. 58/47
Гончарова. 39/17
Герцена. 112/4
Крылова, 60/7
В табл. 1.2 занесена информация об успеваемости некоторых студен­
тов по отдельным курсам. Проблемы при работе с табл. 1.1 могут возник­
нуть при попытке извлечь информацию о двух различных Петровых, а в
30
табл. 1.1 отсутствует детальная информация о некоторых из студентов, по­
являющихся в табл. 1.2.
Т2 = Успеваемость
Таблица 1.2
Фамилия
мат. анализ информатика
дискретная аналитиче­
математика ская геомет-
Степанов
Белов
Сергеев
Серова
Петров
Климова
Андреев
отл
хор
удовл
удовл
неуд
отл
удовл
удовл
хор
отл
отл
удовл
хор
отл
хор
удовл
хор
хор
неуд
отл
отл
отл
неуд
удовл
неуд
удовл
отл
хор
Строки таблицы с п колонками, помеченными множествами А ь
А 2 ,..., Ап можно представить как подмножество в прямом произведении
AiX A 2 x... х Ап. Строки образуют список из п элементов, по одному из каж­
дого Ai, а вся таблица представляет собой п-арное отношение.
Например, табл. 1.2 можно рассматривать как подмножество Т2 в AiX
А2х А3х А4х А5, где Ai — множество фамилий студентов, а А2= А3= А4= А5
= {отл, хор, удовл, неуд}. Один из элементов этого пятинарного отношения
— строка (Белов, хор, удовл, хор, неуд), в которой записаны оценки Белова,
полученные им за четыре предмета.
Для извлечения информации и изменения содержания таблиц, соот­
ветствующих набору отношений, мы определим несколько основных опе­
раций над ними, а именно: проект, соединение и выбор. Это только три из
многочисленных операций, созданных для манипулирования базами дан­
ных, теория которых опирается на язык множеств, отношений и функций.
Операция проект формирует новую таблицу из определенных столб­
цов старой. Например, проект(Т1, {Фамилия, Адрес}) создает табл. 1.3.
ТЗ = проект(Т1, {Фамилия, Адрес})
Таблица 1.3
Фамилия
Белов
Сергеев
Серова
Петров
Климова
Чернов
Адрес
Пушкина, 143/5
Толстого, 16/75
Чехова, 44/12
Гоголя, 13/13
Некрасова, 58/47
Гончарова, 39/17
31
Краснов
Петров
Герцена, 112/4
Крылова, 60/7
Пример 1.13.1. Найти:
проект(Т2, {Фамилия, Мат.анализ, Дискр. матем.}).
Решение. Смотри табл. 1.4
Таблица 1.4
Фамилия
Степанов
Белов
Сергеев
Серова
Петров
Климова
Андреев
Мат.анализ
Дискр. мате­
матика
отл
хор
удовл
удовл
неуд
отл
удовл
удовл
хор
отл
отл
удовл
хор
отл
Операция соединение объединяет две таблицы в большую, выписы­
вая в одну строку информацию, соответствующую общему атрибуту. Пред­
положим, что R и S - отношения, представленные двумя таблицами, причем
R — подмножество в прямом произведении Aix А 2 х... х Amx Bix В2х... х В п
a S - в прямом произведении Aix А 2 х... х А т х Cix С2х... х Ср . В этом случае
общие атрибуты представлены множествами . А ь А 2 ,..., Ат. Соединение R и
S — это подмножество в Aix A 2 x... x Amx Bix B 2 x...x Bnx Cix C2x...x Ср, со­
стоящее из элементов вида (а ь а2,..., а т , Ь ь Ь 2 ,..., Ьп, с ь с 2 ,..., ср), где
(а ь а2,..., а т , Ь ь Ь 2 ,..., Ьп,), лежит в R, а (а ь а2,..., а т , с ь с2э..., ср), — в под­
множестве S.
Например, соединение(ТЗ, Т2) дает табл. 1.5.
Таблица 1.5
Фамилия
Белов
Сергеев
Серова
Петров
Климова
Адрес
Мат.анали Информа­
3
тика
Пушкина. 143/5 ХОР
Толстого, 16/75
удовл
Чехова, 44/12
удовл
Гоголя, 13/13
неуд
Некрасова. 58/47 отл
Дискр.
матема-
УДОВЛ
ХОР
Аналит.
геометрия
неуд
хор
хор
неуд
отл
отл
отл
удовл
хор
удовл
неуд
удовл
отл
Операция выбор отбирает строки таблицы, удовлетворяющие подходящему
критерию. Например, выбор(Т1, Пол = М и Семейное положение = Женат)
верстает табл. 1.6
32
таблица 1.6.
Номер билета Фамилия
номер
500147
508301
Сергеев
Чернов
Пол
м
м
Дата рожд.
04.05.874
09.07.89
Семейное
положение
женат
женат
Адрес
Толстого, 16/75
Гончарова, 39/17
Пример 1.13.2. Найдите выбор(Т2, Дискр. матем. = отл).
Решение. В новую таблицу (табл. 1.7) войдут только те строки таблицы Т2,
у которых в столбце, помеченном «Дискр. Математика» будет стоять «отл».
Таблица 1.7
Фамилия
Мат.
анализ
Информатика
Дискр.
матем.
Аналит.
геометрия
Сергеев
удовл
хор
ОТЛ
удовл
Серова
Андреев
удовл
удовл
хор
отл
отл
отл
неуд
хор
Как иллюстрируют следующие задачи, комбинация всех трех опера­
ций позволит нам извлекать различную информацию из баз данных.
Пример 1.13.3. Найдите таблицу, которая получится в результате опе­
раций:
R1 = проект(Т2, {Фамилия, Информатика, Аналит.геометрия});
R2 = Bbi6op(Rl, Аналит.геометрия = отл или Информатика = отл);
Решение. Во-первых, все столбцы таблицы Т2, отличные от Фами­
лия, Информатика, Аналит.геометрия, удаляются. В результате получится
таблица R1. Затем, в новой таблице нужно оставить только те строки, в ко­
торых есть хотя бы одна оценка «отл», а остальные отбросить. Это даст нам
требуемую таблицу R2 (табл. 1.8).
Таблица 1.8
Фамилия
информатика
аналитическая геометрия
Степанов
Климова
Андреев
хор
отл
отл
ОТЛ
отл
хор
Пример 1.13.4. Найдите результат действий следующих операций:
R1 = выбор(Т1, пол = Ж);
R2 = проект(Т2,{Фамилия, Дискр. матем.});
R3 = соединение(К1э R2).
Решение. Прежде всего выберем из таблицы Т1 строки, соответст­
вующие студенткам, и составим из них таблицу R1. таблицу R2 получим,
33
удалив из Т2 все столбцы, кроме двух выбранных. Общим атрибутом таб­
лиц R1 и R2 является Фамилия. Соединив R1 и R2, получим искомую таб­
лицу (табл. 1.9).
Таблица 1.9
Номер
билета
511239
553289
Фамилия
Серова
Климова
Пол
Ж
ж
Дата
рожд.
Семейное
положение
Адрес
21.03.8 не замужем Чехова, 44/12
15.08.8 замужем
Некрасова, 58/47
Дискр.
матем.
отл
хор
Пример 1.12.5. Выпишите последовательность операций (выбор, про­
ект и соединение) для определения имен и адресов всех тех студенток, ко­
торые получили оценку не ниже «хор» по обоим предметам: мат.анализ и
дискретная математика.
Решение. Одна из последовательностей операций выглядит следую­
щим образом:
R1 = вы6ор(Т1, пол = Ж);
R2 = выбор(Т2, Дискр. матем. = «отл» или Дискр. матем. = «хор»);
R3 = выбор (R2, Мат.анализ = «отл» или Мат.анализ = «хор»);
R4 = соединение Rl, R3);
R = npoeKT(R4,{Фамилия, Адрес}).
1.
2.
3.
4.
5.
Упражнения
Перечислите все пары (a,b), a,be {3, 4, 9, 11}, для которых выполнено от­
ношение aRb, где R(a,b) : Ъ - а > 1.
Какие из пар (3, 8), (9, 3), (3, 9), (9, 9) находятся в отношении R, если
R: X < Y+2?
Является ли симметричным отношение Р: (X Ф Y) на множестве целых
чисел?
Перечислите все пары (a,b), a,be{3, 4, 6, 9, 11, 44}, для которых выполнено отношение aRb, где R={(x,y)eN | x делит у}.
Отношение R на множестве А={а, Ь, с, d} задается матрицей:
'0 1 1 0\
0 0 11
0 10 0
\/
ч1 1 0
Перечислите упорядоченные пары, принадлежащие R.
1.14. Функции
Функции -это частный случай бинарных отношений, на которые на­
ложены дополнительные ограничения.
34
Функцией из множества А в множество В называется бинарное отно­
шение, при котором каждый элемент множества А связан с единственным
элементом множества В. Другими словами, для каждого а е А существует
ровно одна пара из отношения вида (а, Ь).
Пусть f- отношение из А в В, такое что если (х, yi)ef и (х, y 2 )ef
то yi= у2 для любого хеА.
Такое свойство отношения называется однозначностью, или функцио­
нальностью, а само отношение является функцией из А в В и обозначается
следующим образом:
f-.A^B
или
А^-^В.
Если / : А -» В, то обычно используется префиксная форма записи:
y=f(x):(x,y)ef.
Будем говорить, что функция / отображает множество А в множе­
ство В, a f (x) называть образом х при отображении f или значением f, соот­
ветствующим аргументу х.
В графических терминах функция описывается таким графом, у кото­
рого из каждой вершины, изображающей элементы множества А. выходит
ровно одна стрелка.
Например, на рис. 18 изображен граф, представляющий функцию из
множества {а, Ь, с} в {1,2}, состоящую из пар (а, 1), (Ь, 1) и (с, 2)
ъ
^^^*° 2
с
Рис.18
Пример 1.14.1. Определите, какие из следующих отношений между
множествами А = {а, Ь, с} и В = {1, 2, 3} являются функциями из множест­
ва А в В.
а ) / = { ( я , 1 ) , ( я , 2 ) , ( М ) , (с, 2)};
b)g={(a,l),(b,2),(c,l)};
с) // = {(а,1), (с, 2)}.
Решение.
a) Отношение f - не функция, поскольку элементу а соответствуют два раз­
ных элемента множества В: 1 и 2.
b) Отношение g является функцией.
c) Отношение h функцией не является, поскольку элементу Ь не соответст­
вует ни одного элемента.
Пример 1.14.2. Какие из отношений являются функциями:
a) « х — брат или сестра у » на множестве всех людей;
b) отношение на множестве Z, заданное парами: {( х, х ) : х е Z};
c) отношение на множестве R, заданное парами: {( х, у): х=у2}?
35
Решение.
a) Это не функция, поскольку есть люди с несколькими братьями и сестра­
ми, а также бывают семьи с единственным ребенком.
b) Отношение является функцией, поскольку по каждому целому числу х
его квадрат х2 определяется однозначно.
c) Отношение — не функция, так как, например, обе упорядоченные пары:
(2, V2) и (л/2, 2), — ему принадлежат. Кроме того, в нем отсутствуют
пары (х, у) с отрицательными х.
Пусть f:A—>B (функция f переводит элементы из А в элементы из
В), тогда множество А - область определения функции f, а множество В область значений функции f.
Для уточнения подмножества элементов, в которые переводятся эле­
менты из А функцией f, вводят понятие «образ» или «множество значений
функции». А именно, множеством значений функции / называется под­
множество в В, состоящее из образов всех элементов хеА. Оно обозначает­
ся символом f(A) и формально определяется так:
f ( A ) = { f ( x ) : хеА}.
Диаграмма Венна на рис. 19 служит удобной иллюстрацией функции,
определенной на множестве А со значениями в множестве В.
Рис.19
Функция / : Ах х... х Ап -^В называется функцией п аргументов, или itместной функцией.
Если дана функция f : А —» В, где А и В — бесконечные множества,
то граф этого отношения нарисовать не можем. Следует обратиться к тра­
диционной математической идее графического представления функции, а
именно, ее графику.
Инъекция, сюръекция и биекция
Пусть f :А^-В. Тогда функция/ называется:
инъектиеной, если
b= f(ai) и b=f(a2) =^> а!=а2;
или если а^а 2 , то f(ai) Ф f(a2), т. е. у инъективной функции нет повторяю­
щихся значений. Иными словами, разные входные данные дают различные
выходные данные;
сюрьектиеной (или функцией «на»), если для любого ЬеВ существует
ае А такое, что b= f(a) или каждый элемент области значений является обра­
зом какого-то элемента из области определения;
биективной, если она инъективная и сюрьективная.
36
Пример 1.14.3. Рис. 20 иллюстрирует понятия отношения, функции,
инъекции, сюрьекции и биекции.
Отношение, но не функция
с)
А
В
Инъекция, но не сюръекция
d)
А
В
Сюръекция, но не инъекция
Биекция
Рис. 20. Различные виды функций
a) отношение не является функцией, та как одному из элементов множе­
ства А соответствуют две пары из отношения вида (а, Ь).
b) данная функция инъективна, так как не имеет повторяющихся значе­
ний. Она не является сюръекцией, ввиду того, что в один из элементов
множества В ничего не переходит.
c) данная функция не инъективна, так как один элемент имеет два разных
значения. Она сюръективна, поскольку множество ее значений совпа­
дает со всей областью значений.
d) данная функция инъективна, так как не имеет повторяющихся значе­
ний. Она же и сюръективна, поскольку множество ее значений совпада­
ет со всей областью значений.
Пример 1.14.4. Покажите, что функция h : Ъ-^ Z, заданная формулой
h(x) = х и не инъективна, и не сюръективна.
Решение. Прежде всего заметим, что данная функция не совпадает с
функцией f: R-^ R, заданной той же формулой f(x) = х . Несмотря на оди­
наковые формулы, области определения и значений функции h ограничены
только целыми числами. Фактически график h, изображенный на рис. 21,
состоит из серии изолированных точек.
37
•
•
•
18 |
16 14 12 10 8642-
•oi.
•
•
•
•
— I — I
- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4
Рис. 21
Чтобы показать, что h не инъективна, достаточно найти такие разные
целые числа а^а 2 , для которых h(ai) = h(a2) . На графике видно много таких
пар целых чисел. Например, ai=2 и а2=-2.
Функция h не сюръективна, если можно найти такое число, которое
содержится в области значений, но не является значением функции h. По
графику видно, что любое отрицательное число, в частности - 1, не является
значением функции h.
Пример 1.14.5. Покажите, что функция g : R ^ R , заданная формулой
g(x) = 4х + 3, является биекцией.
Решение. Предположим, что g(xi) = g(x2) , т.е.
4xi + 3 = 4 х 2 + 3.
Из равенства следует, что 4 Xi = 4 х2, откуда Xi = х2. Значит, g инъекция.
Пусть be R. Покажем, что найдется такое вещественное число aeR,
что g(a)=b. Ясно, что в качестве а можно взять а =1/4(Ь—3). Итак, g —
сюръективная функция.
Поскольку g является одновременно и сюръекциеи и инъекцией, то
она — биективная функция.
Упражнения
1. Пусть Х={х ь х 2 ,..., x n }, Y={ у ь у 2 ,..., уп} - конечные множества. Найти
число всех отображений множества X в Y. При каком условии сущест­
вуют инъективные, сюръективные, биективные отображения X в Y? Ка­
ково число биективных отображений? Каково число инъективных ото­
бражений?
2. Пусть X - конечное множество. Доказать, что если отображение F:X^X
сюръективно, то оно и инъективно, и обратно.
3. Проверить, что следующие отображения инъективны:
a) f:R>0->R,f(x)=|x|;
b) f:R>0 - R , f(x)=lgx;
c) f:R->R,f(x)=2 x +l.
4. Проверить, что следующие отображения сюръективны:
a) f: R ^R > 0 , f(x)= 2 х ;
38
b) f:R->R,f(x)=x+l;
c) f:R ->R, f(x)=2x.
1.15. Обратные функции и композиция функций
Любая функция f: А —» В - бинарное отношение. Поэтому мы можем
построить обратное отношение f"1. Если при этом мы снова получим
функцию, то исходную функцию будем называть обратимой и использо­
вать/ : В —^4 для обозначения обратной функции.
Функция f состоит из пар вида (а, Ь), где b = f(a). Когда f обратима,
обратная функция fх состоит из пар (Ь, а), где а = f 1(b). Значит, обратимая
функция должна удовлетворять условию: если f (а) = Ь, то f 1(Ъ) = а. Други­
ми словами, обратная функция переворачивает действие исходной.
Пример 1.15.1. Какие из функций примера 1.14.3 обратимы?
Решение. Обратное отношение получается простым обращением
стрелок в орграфе, его представляющем. Очевидно, только в случае (d) мы
имеем обратимую функцию.
Теорема. Функция / обратима тогда и только тогда, когда она биек­
тивна.
Доказательство. Доказательство состоит из двух частей.
Сначала мы докажем, что биективная функция обратима. Пусть
f: А —» В - биекция. Как отношение, f можно определить с помощью пре­
дикатов:
f= {(a,b):aeAnf(a) = b}.
По определению обратного отношения имеем:
f1 = {(b, a):aeAnf(a) = b}.
Поскольку f сюръективна, для любого элемента ЬеВ найдется такой
элемент аеА, что f(a) = b . Кроме того, ввиду инъективности функции f та­
кой элемент а определяется по b единственным образом. Следовательно, все
пары отношения fl обладают тем свойством, что каждый элемент множест­
ва В соответствует единственному элементу множества А. А это, по опре­
делению, и означает, что fl является функцией, как и утверждалось.
Теперь покажем, что обратимая функция обязана быть биективной.
Предположим, что обратное отношение fl — функция. Тогда для любого
ЬеВ существует единственный элемент аеА, для которого (b, a)ef l . Сле­
довательно, (a, b) ef, т.е. b=f(a). Этим доказана сюръективность f.
Для проверки инъективности функции f поступим следующим обра­
зом. Предположим, что f (ai) = f (a2). Тогда обе пары: (f (a^, ai) и (f (a2), а2)
— лежат в f \ Так как f является функцией, имеет место равенство: а! = а2,
так что f инъективна.
Таким образом,/является биекцией, как и утверждалось. Доказатель­
ство проведено полностью: обратимая функция биективна и, в обратную
сторону, биективная функция обратима.
39
Пример 1.15.2. Пусть А={х: xeR и х^1} и f: А —» А задается форму­
лой:
Показать, ч т о / биективна и найти обратную ей функцию.
Решение. Предположим, что f(ai) = f(a2). Тогда
ах -1
а2
-1
Значит,
откуда ax = a2. Следовательно, f инъективна.
Пусть be A — элемент области значений f. Найдем элемент а из мно­
жества А, удовлетворяющий условию: f(a) = b, т.е.
а—\
Разрешая полученное уравнение относительно а, найдем
Ь
а=
.
Ъ-\
Нам удалось найти элемент а =
, для которого f(a) = b. Это свидетельстЬ-\
вует о сюръективности f.
Итак, мы показали, что функция f как сюръективна, так и инъективна.
Значит, она является биекцией.
Обратная функция определяется условием: f"(b) = а всегда, когда
f(a)=b. Но, как мы уже выяснили при доказательстве сюръективности f,
Ь
а=
.
Ь-\
l
Таким образом, f : А ^ А ,
х-1
т. е. функция f обратна сама себе.
Рассмотрим композицию функций. Если f : A ^ B n g : B ^ C функции, то композиция отношений gof между А и С состоит из пар вида
(а, с), где для некоторого beB (a, b)ef и (Ь, с) eg. Однако элемент b = f(a)
однозначно определяется по а, поскольку f- функция. Более того, элемент с
= g(b) также однозначно определяется по b (g тоже .функция). Следователь­
но, элемент с = g(f(a)) единственным образом определяется элементом а и,
стало быть, композиция функций f и g — снова функция.
Итак, композиция gof: А —» С является функцией, действующей по
правилу (gof)(x) = g(f(x)).
Пример 1.15.2. Рассмотрим две функции: f: R —> R,
f(x)=x и
g : R —» R, g(x) = 4x + 3. Вычислить gof, fog, fof, go g.
40
Решение. Все четыре новых функции определены на R со значениями
BR.
(gof)(x)=g(f(x))=g(x2)=4x2+3;
(fog)(x)=f(g(x))=f(4x+3)=(4x+3)2=16x2+24x+9;
(fof)(x)=f(f(x))=f(x2)=x4;
(gog)(x)=g(g(x))=g(4x+3)=4(4x+3)+3=16x+15;
В современных языках программирования функции используются
очень широко. Они дают нам возможность выделить отдельные вычисления
в подпрограммы. В большинстве языков есть специальные библиотеки с
наиболее часто применяющимися функциями, такими как sin(x), log(x), |x| и
т.д. Кроме того, в них легко создавать собственные функции.
В некоторых особенно мощных языках, известных как языки функ­
ционального программирования, основные операторы определены в терми­
нах функций. Главная особенность таких языков - возможность построения
новых, более сложных, операторов из основных. Для этого необходимо ис­
пользовать композицию функций.
1.16. Принцип Дирихле
Пусть f : А ^ В - функция, причем как А, так и В - конечные множе­
ства. Предположим, что А состоит из п элементов: а ь а2, ..., ап. Принцип
Дирихле гласит, что если |А| > |В|, то по крайней мере одно значение f
встретится более одного раза. То есть, найдется пара элементов a^aj, для
которых f(ai) = f(aj).
Чтобы убедиться в истинности принципа, предположим, что для любой
пары разных индексов i^j имеем: f(ai) Ф f(aj). Тогда множество В содержит по
крайней мере п различных элементов: f(ai), f(a2), ..., f(an). В любом случае,
|В|> п, что противоречит предположению: п = |А| > |В|. Следовательно, есть
хотя бы два разных элемента ai5 ще А, для которых f(aj) = f(aj).
Пример 1.16.1. На семинар записалось восемь студентов. Покажите,
что по крайней мере двое из них учатся на одном курсе.
Решение. Множество студентов семинара обозначим буквой А, а
множество всех пяти курсов обозначим через В. Рассмотрим функцию f:
А ^ В , сопоставляющую каждому студенту курс, на котором он учится. Так
как |А|= 8, а |В| = 5, то |А| > |В|. По принципу Дирихле функция f должна
иметь повторяющиеся значения, т. е. найдутся два студента с одного и того
же курса.
Задачу из примера 1.16.1 легко решить и менее формальным рассужде­
нием. Дано 8 человек и 5 курсов. Поэтому совершенно очевидно, что хотя бы
двое из них учатся на одном курсе. Однако, более сложные задачи могут
быть решены только с помощью принципа Дирихле, если, конечно, удастся
обнаружить подходящую функцию. Поиск нужной функции — всегда самая
трудная часть решения. Ключевая идея, на которой основан принцип Дирих­
ле, состоит в том, что функция f размещает некоторое количество объектов
41
(элементов множества А) в меньшее число клеток (элементы множества В).
Поэтому по крайней мере два объекта попадут в одну клетку.
Пример 1.16.2. Какое наименьшее число фамилий должно быть запи­
сано в телефонном справочнике, чтобы с гарантией можно было утвер­
ждать, что хотя бы две фамилии начинаются с одной и той же буквы и за­
канчиваются одинаковыми буквами?
Решение. Пусть А — множество фамилий в справочнике, а В — мно­
жество пар букв, выписанных из стандартного алфавита русского языка, на­
считывающего 33 буквы (если учесть, что фамилии не могут начинаться с
букв «Ь» и «Ъ», то требуемый объем справочника окажется меньше). Обо­
значим через f: A ^ B функцию, которая каждой фамилии справочника ста­
вит в соответствие пару букв: первую и последнюю буквы фамилии. На­
пример, ^Кузнецов) = (к, в). Множество В содержит 33*33 = 1089 пар букв.
Принцип Дирихле гарантирует нам, что если |А| > |В| = 1089, то найдется по
крайней мере две фамилии, начинающиеся и оканчивающиеся на одинако­
вые буквы. Поэтому телефонный справочник должен содержать не менее
1090 фамилий.
Пример 1.16.3. Покажите, что какие бы пять цифр из 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и
8 мы ни выбрали, найдутся хотя бы две из них, сумма которых равна 9.
Решение. Перечислим пары цифр, дающих в сумме 9: {1, 8}, {2, 7},
{3,6}, {4,5}.
Обозначим через А множество выбранных пяти цифр (не важно каких
конкретно), а через В следующее множество пар:
В ={{1,8}, {2,7}, {3,6}, {4,5}}.
Рассмотрим функцию f: A ^ B , сопоставляющую каждой цифре из пя­
терки пару из множества В, которая в ней содержится. Например, f(3) =
{3,6}. По принципу Дирихле хотя бы две цифры из множества А попадут в
одну и ту же пару. То есть, две из пяти цифр дадут в сумме 9.
Принцип можно обобщить следующим образом. Рассмотрим функ­
цию f: А ^ В , где А и В — конечные множества. Если |А| > к|В| для некото­
рого натурального числа к, то найдется такое значение функции f, которое
она будет принимать по крайней мере к +1 раз. Это утверждение верно по­
тому, что если каждое значение функция f принимает не более чем к раз, то
все множество А состоит не более чем из к|В| элементов.
Пример 1.16.4. Какое наименьшее число фамилий должно быть запи­
сано в телефонном справочнике, чтобы с гарантией можно было утвер­
ждать, что хотя бы пять фамилий начинаются с одной и той же буквы алфа­
вита и заканчиваются одинаковыми буквами?
Решение. Пусть f: A ^ B — функция из примера 1.16.2. Как мы уже
подсчитали, В состоит из 1089 элементов. Чтобы по крайней мере пять фа­
милий начинались и оканчивались одинаковыми буквами, нам нужно, что­
бы |А| > 4|В| = 4356. Таким образом, телефонный справочник должен со­
держать не менее чем 4357 абонентов.
42
Пример 1.16.5. Покажите, что в любой группе из шести человек най­
дутся трое, знакомые друг с другом, или наоборот, совершенно не знающие
друг друга.
Решение. Пусть х — один из шести людей, А — множество остав­
шихся пяти людей в группе и В = {0, 1}. Определим функцию f: A ^ B по
правилу:
0, а не знаком с х,
/(*) =
1, если а знаком с х.
Поскольку 5 = |А| > 2|В|, то найдется три человека, которые либо все знако­
мы с х, либо все трое его не знают.
Предположим теперь, что три человека a, b и с знакомы с х. Если все
три друг с другом не знакомы, то мы получаем решение задачи. В против­
ном случае, какая-то пара, скажем а и b знает друг друга. Но они же знако­
мы и с х. Стало быть, трое людей: a, b и х — хорошие знакомые. Аналогич­
но разбирается случай, когда нашлась тройка людей, которые с х не знако­
мы.
Приведенные примеры наглядно свидетельствуют, что применение
принципа Дирихле требует аккуратной постановки задачи и, довольно час­
то, тонких логических рассуждений.
Упражнения
1. Пусть R — отношение между множествами {1,2,3} и {1,2,3,4}, заданное
перечислением пар:
R ={(1,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,4)}.
Кроме того, S — отношение между множествами {1, 2, 3, 4} и {1, 2},
состоящее из пар:
S ={(1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)}.
Вычислите R"1, S"1 и SoR. Проверьте, что (SoR)"1 =R'1oS'1.
2. Пусть R — отношение «а - родитель b», a S — отношение «а - брат Ь»
на множестве всех людей. Дайте краткое словесное описание отношени­
ям: R"1, S"1 и SoR, R_1oS_1, RoR.
3. Покажите, что если R — отношение частичного порядка на множестве
А, то обратное к нему отношение R"1 тоже устанавливает частичный по­
рядок на множестве А. Какова связь между максимальным и минималь­
ным элементами относительно R и R"1?
2
4. Функция/: А —> В задана формулой: f(x)=l + - , где А обозначает мноX
жество вещественных чисел, отличных от 0, а В — множество вещест­
венных чисел без 1. Покажите, что f биективна и найдите обратную к
ней функцию.
5. Функции f : R ^ R n g : R ^ R заданы следующим образом:
43
|2JC + 1, если х > О
?
z
f(x) = x
6.
7.
8.
9.
и
g(*)H
[- х, если х<0
Выразите формулами композиции: fog, gof и gog.
Пусть f: А ^ В и g : В ^ С — функции. Докажите, что
a) если f и g инъективны, то gof тоже инъективна;
b) если f и g сюръективны, то gof тоже сюръективна;
c) если f и g обратимые функции, то (gof)"1 = f lo g"1.
Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы какое-то число на
ней выпало по крайней мере дважды?
Сколько раз нужно бросить две игральные кости, чтобы с гарантией
можно было утверждать: сумма выпавших очков появится, по крайней
мере дважды?
Известно, что в одном селе проживает 79 семей, в каждой из которых по
2 ребенка.
a) Покажите, что найдется по крайней мере две семьи, в которых совпа­
дают месяцы рождения обоих детей, т. е. если в первой семье дети ро­
дились в январе и мае, то и во второй — в январе и мае.
b) Докажите, что по крайней мере у шестерых детей имена начинаются с
одной и той же буквы.
ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
1. Составить список элементов множеств, заданных характеристическими
свойствами:
a) A={xeZ|x 2 +x-12<0},
b) A = { x | x e N , х 2 <7 }
2. Доказать, что если А есть множество корней уравнения х2-7х+6=0 и
В={1,6},тоА=В.
3. Какая разница в записях Ас:В, и аеВ ?
4. Доказать, что { {1,2}, {2,3} }#{1,2,3}.
5. Привести примеры таких множеств А, В и С, что
a) AczB, СсВ, А^С,
b) АеВ, AczB.
6. Привести примеры такого одноэлементного множества В, что для неко­
торого множества А одновременно АеВ и AczB.
7. Доказать справедливость соотношения 0 # {0}.
8. Доказать, что существует лишь одно множество, не имеющее элемен­
тов.
9. Найти все подмножества множеств 0 , {0}, {1,2}, {a,b,c,d}.
10. Доказать, что если AczB, BczA, то А=В, и обратно.
11. Доказать, что для любых множеств А ь А2,..., Ап, если AicA 2 c...c:
A n cAbToAi=A 2 =.=A n .
44
12. Доказать, что для любых элементов а, Ь, с, d если {{а}, {а,Ь}}={{с},
{c,d}}, то а=с и b=d, и обратно.
13. Доказать, что для любых множеств А, В и С:
a) AczA (рефлексивность),
b) если AczB и BczC, то AczC (транзитивность).
14. Доказать, что для любого множества А из данного универсального
множества U:
a) 0czAczU.
b) если Acz0, то А=0; если Ucz А, то A=U.
15. Доказать, что всякое множество есть: а) объединение всех своих под­
множеств;
Ь) объединение всех своих конечных подмножеств;
с) объединение всех своих одноэлементных подмножеств.
16. Изобразить с помощью кругов Эйлера множества (если АПВПС#0):
a)Af)B,
Ъ)АЩ?Э
с)АГ\В,
d)A\jB,
е) А\(АПВ),
f) AUBUC,
g) АЦВПС),
h) (АПС)\В,
i) А Ц М С ) ,
])(АПВ)\(АПС), к) В\(АПС),
1) (А\Я)ЦАПС),
т)(АПЯ)ЦСГи).
17. Доказать правильность свойств операций над множествами (1-10).
18. Доказать, что a) AflBczAczAUB; Ъ) A\BczA .
19. Равносильны ли следующие условия: Af|B=0, Aczi?, Bcz.4.
20. Существуют ли такие множества А, В и С, что Af|B#0, AUC=0,
(АПВ) \ С = 0 ?
21. Доказать тождества:
a) А\(ВиС)=(А\В)П(А\С);
b) А\(ВПС)=(А\В)и(А\С);
c) А\(А\В)=АПВ;
d) АП(В\СНАПВ) \(АПС)=(АПВ) \ С ;
e) A\(BUC)=(A\B)\C;
f) АП(В\А)=0;
g) АЦВ=АЦ(В\А);
h) ZVB=^U(AfTB);
i) (АЦВ)\(АПВНАП5)и(ВПЛ);
j) (An^)U(Bn^)U(AnB)=AUB;
k) АЦВ11(.4Пв)=и.
22. Доказать, что:
a) если AczBflC, то AczB и AczC, и обратно;
b) если (A\B)(JB=A, то BczA;
c) если А=В, то (А\В) U(B\A)=0, и обратно;
d) если AflBczC, то AczSljC, и обратно;
45
e) если AczBUC, TO АГШ<=С, И обратно;
f) еслиАсВ,тоАиСсВиСиАПСсВПС.
23. Записать множества
A={x|xeN, 2х+7>0},
В={х | х кратно 3, хе[7, 29]},
С={х|х 2 -16<0}
перечислением элементов. Найти:
a) AUB,
Ъ) АПС,
с) Ari(BUC),
е)А\В,
f)C\B,
g) (A\C)UB,
i)AU(cn^),
d) АПВПС
h) АПВ,
j) u n f i l e .
24. Найти ВПС и AfKBUC), если А=[-1; 2], В= 0.
4
С=
н
25. Множество А состоит из целых чисел, делящихся на четыре, множест­
во В - из целых чисел, делящихся на 10, множество С - из целых чисел,
делящихся на 75. Из каких чисел состоит множество АПВПС ?
26. Изобразить на координатной плоскости множество точек М(х;у), коор­
динаты (х;у) которых удовлетворяют системе неравенств
У +у2 <2у
У -2\х\
27. Даны множества:
А={(х;у)|(х-2) 2 +(у-1) 2 <4},
В={(х;у)|(х+2) 2 +у 2 ^17Ь
С={(х;у)|х>2}.
Изобразить множество (Af|B)\C.
28. Даны два множества А и В. Найти множество X, удовлетворяющее ус­
ловиям:
(АГ\х = вГ\х = АГ\в,
{A{JB{JX=A{JB
29. Решить системы уравнений:
АГ\Х=В
где А, В, С - данные множества и В czAczC;
A\JX=C
А\Х=В
где ВсА, АПС=0;
X\F = C
А\Х =В
где В с А с С .
A{JX=C
30. Описать множества точек:
46
а)
b)
'
-1 .
с)
d)
е)
f)
g)
h)
\
У 1
A
-^
31. На курсе 1400 студентов. Из них 1250 умеют кататься на лыжах, 952 на коньках. Ни на лыжах, ни на коньках не умеют кататься 60 студен­
тов. Сколько студентов умеет кататься и на лыжах и на коньках?
32. Из 32 сотрудников фирмы 22 занимаются бегом, 15 занимаются бегом,
но не занимаются гимнастикой, двое не занимаются ни гимнастикой, ни
бегом, Сколько сотрудников занимается как гимнастикой, так и бегом?
Сколько учеников занимается гимнастикой, но не занимаются бегом?
33. Обследование 100 студентов дало следующие результаты о количестве
студентов, изучающих различные иностранные языки: испанский - 28,
немецкий - 30, французский - 42, испанский и немецкий - 8, испанский и
французский -10, немецкий и французский - 5, все три языка - 3. Сколько
студентов не изучает ни одного языка? Сколько студентов изучает один
испанский язык? Один немецкий язык? Один французский язык?
34. Староста одной группы дал следующие сведения о студентах: «На кур­
се учится 45 человек, в том числе 25 юношей. 30 студентов учатся на
хорошо и отлично, в том числе 16 юношей. Спортом занимаются 28 че47
ловек, в том числе 18 юношей и 17 студентов, учащихся на хорошо и
отлично. 15 юношей учатся на хорошо и отлично и занимаются спор­
том». Докажите, что в этих сведениях есть ошибка.
35. По итогам подписной компании на предприятии были выделены 4 из­
дания, привлекших максимальное число подписчиков: 420 чел. подпи­
сались на «Аргументы и факты», 380 - на «Поиск », 356 - на «Компью­
тер-пресс» и 250 - на «Смену», причем 205 подписчиков «АиФ» явля­
ются подписчиками и «Поиска», 70 подписчиков «Поиска» подписа­
лись и на «Компьютер-пресс», из них 25 - и на «АиФ». Среди любите­
лей «Смены» лишь 120 подписались еще на одно издание - а именно, на
«Компьютер-пресс». Сколько человек подписались только на одно из­
дание, сколько - на «АиФ» и «Компьютер-пресс», если всего 995 со­
трудников участвовали в подписной компании ?
36. В соревнованиях по биатлону участвовало 30 чел., по лыжам - 21 чел.,
по прыжкам с трамплина - 16 чел. Биатлон и лыжи совмещали 5 чел.,
биатлон и прыжки с трамплина - 3 чел., лыжи и прыжки - 2 человека.
Во всех трех видах одновременно никто не смог участвовать. Сколько
всего спортсменов в команде?
37. Пусть А - множество решений уравнения f(x)=0, В - множество реше­
ний уравнения g(x)=0. Описать множество решений уравнений :
a) f(x) g(x)=0,
b) ^
=0
38. Построить множество точек плоскости, задаваемых системой:
У
\у — х\<2
39. Построить множество точек плоскости, задаваемых уравнением:
а)
с)
е)
g)
i)
к)
(у-х)2+(ху-1)2=0
(х-уХху-У)
=0
(y-xf+(xy-\f
х-у = 0
ху-1
^±Z<i
2х
Ъ)
d)
f)
h
л2+у2-2*-8
х-у
2х-у_
х2+у2
)
j)
1)
(у-х)(ху-1)=0
х-у = Q
xy-\
х-у = 0
ху — \
х2+у2+2у-2
y+l
x2-y2
х2 + у2 -1
У~х2+3<0
у-4
40. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составьте все двузначные числа. Как связано полу48
чившееся множество с декартовым произведением АхА, где А={1, 2, 3,
4,5}?
41. Выпишите множество упорядоченных пар и начертите ориентирован­
ный граф отношения, заданного матрицей:
а
b
е
d
1 1
2 1
3 0
0
0
1
1 0
1 0
1 0
42. Для каждого из следующих отношений на множестве натуральных чи­
сел N опишите упорядоченные пары, принадлежащие отношениям:
R={(x,y): 2x + y = 9};
S={{x jy ):x + y<7};
Т={{х,у):у = х 2 }.
43. Пусть R — отношение на множестве {1, 2, 3, 4}, определяемое услови­
ем: uRv тогда и только тогда, когда u + 2v — нечетное число. Пред­
ставьте R каждым из способов:
a) как множество упорядоченных пар;
b) в графической форме;
c) в виде матрицы.
44. Определите, какие из следующих отношений на множестве людей реф­
лексивны, симметричны или транзитивны:
a) «... имеет тех же родителей, что и ...»;
b) «... является братом...»;
c) «... старше или младше, чем...»;
d) «...не выше, чем...».
45. Определите, какие из приведенных ниже отношений на Z являются
рефлексивными, симметричными, а какие транзитивными?
a) «х + у — нечетное число»;
b) «х + у — четное число»;
c) «ху — нечетное число»;
d) «х + ху — четное число».
46. Перечислите упорядоченные пары, принадлежащие отношениям, за­
данным на множестве {х : xeZ и 1<х<12}.
a) R = { ( x j y ) : x y = 9 } ;
b) S = { ( x , y ) : 2x = 3y};
c) замыкание R по транзитивности;
d) замыкание S по транзитивности.
47. Ниже определены отношения на множествах. Опишите на словах за­
мыкание по транзитивности в каждом случае.
a) «х на один год старше, чем у» на множестве людей;
b) х = 2у на множестве N натуральных чисел;
49
c) х < у на множестве R вещественных чисел;
d) «х является дочерью у» на множестве женщин.
48. Найдите замыкания по рефлексивности, по симметричности и по тран­
зитивности отношения
{(a, a), (b, Ь), (с, с), (а, с), (a, d), (b, d), (с, a), (d, a)},
заданного на множестве {а, Ь, с, d}. Имеет ли смысл строить замыкание
по антисимметричности?
49. Для каждого из следующих отношений эквивалентности на данном
множестве А опишите классы, на которые разбивается множество А:
a) А — множество книг в библиотеке, a R определяется услови­
ем: xRy, если и только если цвет переплета х совпадает с цве­
том переплета у;
b) A = Z, R задается условием: xRy тогда и только тогда, когда х у — четное число;
c) А — множество людей, и xRy, если х имеет тот же пол, что и
у;
d)
A = R , R задается по правилу: (a, b) R (с, d) в том случае, ко­
гда a2+b2 = c2+d2.
50. Отношение R на множестве Z определяется так: xRy в том и только том
случае, когда х2 — у2 делится на три. Покажите, что R является отно­
шением эквивалентности, и опишите классы эквивалентности.
51. Нарисуйте диаграмму Хассе для каждого из следующих частично упо­
рядоченных множеств:
a) множество {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} с отношением «х делит у»;
b) множество всех подмножеств в {1, 2, 3} с отношением «X —
подмножество Y».
52. Диаграмма Хассе частичного порядка R на множестве А = {а, Ь, с, d, e,
f, g, h} показана на рис. 22. Перечислите элементы R и найдите мини­
мальный и максимальный элементы частично упорядоченного множе­
ства А.
h
Of
Рис.22
53. Лексикографический (алфавитный) порядок работает следующим обра­
зом: у данных слов X и Y сравниваем букву за буквой, оставляя без
внимания одинаковые, пока не найдем пару разных. Если в этой паре
50
буква слова X стоит раньше (по алфавиту), нежели соответствующая
буква слова Y. то X предшествует Y; если все буквы слова X совпадают
с соответствующими буквами Y, но оно короче, то X предшествует Y, в
противном случае, Y предшествует X.
54. Упорядочите следующие слова лексикографически: книга, банан, би­
ном, башня, бинт, колесо.
55. Определите, какие из следующих функций инъективны, а какие сюръективны. Укажите, какие из них являются биекциями.
а)
Ъ)
с
О-
X) з
56. Отношения R и S заданы матрицами М и N соответственно, где
и л и и
ии лл лл
М =
,. N
Л^ =
= и и л л
и л и
л и и и
Вычислите булево произведение MN. Какое отношение задается этим
произведением?
57. Пусть А = {О, 2, 4, 6} и В = {1, 3, 5, 7}. Какие из нижеперечисленных
отношений между множествами А и В являются функциями, опреде­
ленными на А со значениями в В?
a) {(6,3), (2,1), (0,3), (4,5)};
b) {(2,3), (4,7), (0,1), (6,5)};
c) {(2,1), (4, 5), (6,3)};
d) {(6,1), (0,3), (4,1), (0,7), (2, 5)}.
Какие из найденных функций инъективны, а какие сюръективны?
58. Определите, являются ли следующие функции инъекциями, сюръекциями или биекциями (области определения и значений функций - Z):
a) f(n)=2n+l;
п
Ъ) g(n)= —, если п четно,
2
2и, если
еслип пнечетно;
четно,
п -1, если п нечетно.
с) h(n)=59. Изобразите графики функций:
a) f:Z->Z, f(x)=xz+l;
b) g: N ^ N , g(x)=2x;
c) h:R->R;h(x)=5x-l;
51
\2х — Ъ, если х>1,
'
[х +1, если х<1;
e) k:R^R,k(x)=x+|x|;
f) l:R->R,l(x)=2x-|x|.
60. Назовите их множество значений и скажите, какие из них инъективны,
а какие сюръективны (|х| здесь обозначает модуль числа х, совпадаю­
щий с х при х> 0 и равный - х при х < 0).
61. Функция, называемая целой частью числа, сопоставляет вещественно­
му числу х наибольшее целое число, не превосходящее х и обозначает­
ся так: [х].
а) Пусть А = {-1,0, 1,2} и функция f : А —» Z определяется усло­
d)j:R^Rj(x)=
х2+1
Найдите множество значений f.
3
b) Определите, является ли функция g : Z —» Z, заданная формулой
п
инъективной, сюръективной или биективной.
g(n)=
2
62. Сколько карт необходимо вытащить из стандартной колоды в 52 карты,
чтобы обязательно попались хотя бы две одной масти?
63. Сколько карт необходимо вытащить из стандартной колоды в 52 карты,
чтобы обязательно попались хотя бы четыре одной масти?
64. Пусть S = {1,2, ...,20}.
a) Какое наименьшее количество четных чисел необходимо взять
из множества 5, чтобы по крайней мере два из них в сумме да­
вали 22?
b) Покажите, что если взять 11 элементов из множества S, то по
крайней мере одно из выбранных чисел будет делить какое-то
из оставшихся в выборке. (Указание: используйте функцию f,
которая сопоставляет каждому целому числу его наибольший
нечетный делитель. Например,_/(12)=3.)
вием: f(x)=
52
2. КОМБИНАТОРИКА
Комбинаторикой (от латинского combinare - соединять, сочетать) на­
зывают раздел математики, в котором изучают задачи следующего типа:
сколько комбинаций, удовлетворяющих тем или иным условиям, можно со­
ставить из элементов данного множества. Некоторые часто встречающиеся
комбинации получили названия: перестановки, размещения, сочетания.
2.1. Правило суммы и произведения
При подсчете числа различных комбинаций используются два прави­
ла - правило суммы, и правило произведения.
Правило суммы
Если объект А можно выбрать m различными способами, а объект В
можно выбрать п различными способами, причем результаты выборов объ­
ектов А и В никогда не совпадают, то выбор «А или В» можно осуществить
m+n различными способами.
Пример 2.1.1. В кондитерской к концу дня осталось четыре сорта за­
варных пирожных, два типа шоколадных и три сорта фруктовых. Скольки­
ми способами покупатель может купить одно пирожное?
Решение. Так как все пирожные различны, можно просто сложить их
количества: 4+2+3=9. Таким образом, всего девять способов покупки пи­
рожного.
На языке теории множеств это правило формулируется следующим
образом:
Если пересечение конечных множеств А и В пусто (АПВ=0), то число
элементов в их объединении равно сумме чисел элементов множеств А и В:
|АШ|=|А|+|В| .
Пример 2.1.2. В группе 16 человек занимаются в секции лёгкой атле­
тики, остальные 10 человек - в секции футбола. Одновременно в двух сек­
циях никто не занимается. Сколько человек в группе?
Решение. Обозначим через Е множество всех студентов, через А членов легкоатлетической секции, через В - футбольной. Тогда имеем
|Е| = |AUB| = |А|+|В| = 16+10 = 26 (человек в группе).
Пусть множество А={а ь ...,а п } состоит из п элементов, а множество
B={b b ...,b m } - из m элементов. Рассмотрим множество, состоящее из все­
возможных упорядоченных пар (а,Ь), где элемент а принадлежит множеству
А, а элемент b принадлежит множеству В (такое множество называется де­
картовым произведением множеств А и В и обозначается АхВ). Слово
«упорядоченные» в определении АхВ особенно важно, когда в А и В есть
одинаковые элементы.
Правило произведения
Пусть объект А можно выбрать п различными способами, после каж­
дого выбора объекта А объект В можно выбрать m различными способами,
тогда количество способов, которыми можно выбрать «А и В» равно n-m.
53
Пример 2.1.3. Если в примере 2.1.1. нужно выбрать три пирожных по одному пирожному всех трех видов - то это можно сделать 4-2-3=24 спо­
собами.
Если множества А и В конечны, то число пар в их декартовом про­
изведении АхВ равно произведению чисел элементов этих множеств:
|АхВ|=|А| |В|.
Пример 2.1.4. В группе 16 человек занимаются в секции лёгкой атле­
тики, остальные 10 человек в секции футбола. Одновременно в двух секци­
ях никто не занимается. Сколькими способами можно выбрать по одному
человеку из каждой секции в сборную команду?
Решение. Пусть множество А - спортсмены легкоатлетической сек­
ции, В - футбольной. Тогда имеем
|АхВ|=|А|х|В| = 16x10 = 160 (способов).
Рассмотрим примеры, использующие правила суммы и произведения.
Пример 2.1.5. Сколько четырехбуквенных «слов» можно составить из
карточек с буквами: «в», «е», «ч», «н», «о», «с», «т», «ь»?
Решение. Пусть ак - к-ая буква слова (к=1, 2, 3, 4). Обозначим ni число способов выбора i-той буквы, i= 1,2, 3, 4. Тогда П!=8, п2=7, п3=6, п4=5
и по правилу произведения сразу получаем ответ: 8-7-6-5=1680.
Ответ: 1680.
Пример 2.1.6. Сколькими способами можно поставить на шахматную
доску белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга?
Решение. Выбор объекта А - поля для белой ладьи может быть сделан
п=64 способами. Независимо от выбора этого поля белая ладья бьет 15 по­
лей, поэтому для черной ладьи (объекта В) остается 64-15=49 полей: т=49.
Ответ: число расстановок ладей равно 64-49=3146.
Пример 2.1.7. Сколькими способами можно поставить на доску во­
семь ладей так, чтобы они не били друг друга?
Решение. В этой задаче подразумевается, что ладьи одинаковые, не­
различимые. Очевидно, что на каждой горизонтали и на каждой вертикали
должна стоять только одна ладья. Будем расставлять ладьи последователь­
но, начиная с первой горизонтали. На первой горизонтали восемь клеток, и
первую ладью можно поставить на любую из них. Когда мы будем ставить
вторую ладью, то второй горизонтали ей будут доступны семь клеток, и т.д.
По правилу произведения получаем, что всего таких позиций 8!
Если же считать ладьи различными (как в примере 2.1.6), то число пе­
рестановок ладей будет равно
64-49-36-25-16-9-4-1=(8!)2
Действительно, для первой ладьи можно выбрать любое поле доски разме­
ром 8x8, вторая ладья фактически становится на квадратную доску 7x7 (мы
удалили одну горизонталь и одну вертикаль и "сдвинули" оставшиеся части
доски) и т.д.
Зафиксируем одну из таких расстановок различных ладей. Число пе54
рестановок ладей на выделенных полях равно 8! Если мы считаем ладьи
одинаковыми, то (8!) позиций разбиваются на классы по 8! позиций в каж­
дом, и все позиции данного класса будут одинаковыми. Поэтому число пе(8!)2
рестановок одинаковых ладей равно ^^— = 8!, что совпадает с ранее полу8!
ченным ответом.
Пример 2.1.8. Сколько существует четырехзначных чисел, у которых
все цифры нечетные? Сколько существует четырехзначных чисел, в записи
которых есть хотя бы одна четная цифра?
Решение. Всего нечетных цифр - пять, поэтому выбор k-й цифры
числа может быть сделан пк=5 способами (к=1, 2, 3, 4), а количество четы­
рехзначных чисел, у которых все цифры нечетные, равно 5-5-5-5=625.
Чтобы ответить на второй вопрос, проще не определять последова­
тельно, сколько существует чисел, в записи которых ровно одна четная
цифра, две цифры, три цифры, четыре цифры, а воспользоваться получен­
ным ответом на первый вопрос. Все четырехзначные числа, а их 9999999=9000, делятся на две группы: те, в записи которых все цифры нечетные,
и те, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра. Следовательно, ко­
личество чисел второго типа равно 9000-625=8375.
Ответ: 8375.
Пример 2.1.9. Сколько существует автомобильных номеров, если но­
мер представляет собой комбинацию из трех букв и трех цифр, причем ис­
пользуются только буквы, имеющие одинаковый вид в русском и латинском
алфавитах?
Решение. Перечислим допустимый набор букв: А, В, Е, К, М, Н, О, Р,
С, Т, У, X (всего 12 букв). Число способов составления буквенной части
номера:
12-12-12=1728
Цифровую часть номера можно составить
10-10-10-1=999 способами (исключаем номер 000).
Окончательно получаем:
12-12-12-(10-10-10-1)=1726272.
Упражнения
1.
2.
3.
4.
У человека есть пять пиджаков, восемь рубашек и семь галстуков.
Сколько различных костюмов можно составить из этих предметов?
Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С - три
дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в В?
Из двух спортивных обществ, насчитывающих по 100 фехтовальщиков
каждое, надо выделить по одному фехтовальщику для участия в состя­
зании. Сколькими способами может быть сделан этот выбор?
Имеется пять видов конвертов без марок и четыре вида марок одного
55
достоинства. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой
для посылки письма?
5. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из
слова «теорема»?
6. Бросают игральную кость с шестью гранями и запускают волчок, имею­
щий восемь граней. Сколькими различными способами могут они упасть?
7. На вершину горы ведут 5 дорог. Сколькими способами турист может
подняться на гору и спустится с нее? То же самое при условии, что
спуск и подъем происходят по разным путям.
8. В торговом зале выставлено 20 видов портативных компьютеров и 12
видов принтеров. Сколькими способами можно выбрать один компью­
тер и один принтер? Если такой выбор уже сделан, сколькими способа­
ми можно сделать его еще раз?
9. В букинистическом магазине лежат 6 экземпляров романа
И.С.Тургенева «Рудин», 3 экземпляра его же романа «Дворянское гнез­
до» и 4 экземпляра романа «Отцы и дети». Кроме того, есть 5 томов,
содержащих романы «Рудин» и «Дворянское гнездо», и 7 томов, со­
держащих романы «Дворянское гнездо» и «Отцы и дети». Сколькими
способами можно сделать покупку, содержащую по одному экземпляру
каждого из этих романов?
Примечание: можно купить либо по экземпляру каждого романа, либо
том, содержащий 2 романа и экземпляр третьего романа.
10. Имеются 3 волчка с 6, 8 и 10 гранями соответственно. Сколькими раз­
личными способами могут они упасть? Та же задача, если известно, что,
по крайней мере, два волчка упали на сторону, помеченную цифрой «1».
11. У англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими способа­
ми можно назвать ребенка, если общее число имен равно 300, а ему
дают не более трех имен?
2.2. Размещения, перестановки, сочетания
Пусть дано множество из п элементов: Х={х ь х2, ... , х п }.
Выборкой из п элементов по k (k<n) называется набор из к элементов
{ х^,..., xt } множества X.
Выборка {xi^,...,xi } называется упорядоченной (или размещением),
если порядок элементов в ней задан; в противном случае выборка называет­
ся неупорядоченной (сочетанием).
Выборки могут быть с повторениями и без повторений элементов.
Пример 2.2.1. Пусть дано множество Х={а, Ь, с}, п=|Х|=3. Рассмотрим
примеры различных типов выборок.
l)n=3,k=2
размещения из n no k с повторениями:
аа. ab. ас. ba. bb. be. ca. cb. ее
56
2)n=3,k=2
размещения из п по к без повторений:
ab, ас, ba, be, ca, cb
3)п=3,к=3
размещения из п по к (к=п) без повторений:
abc, acb, bac, bca, cab, cba.
4)n=3,k=2
сочетания из п по к без повторений:
ab, ас, be.
5)п=3,к=4
сочетания из п по к с повторениями
аааа
aabc
abec
aaab
аасс
асес
ааас
abbb
bbbb
aabb
abbe
bbbc
bbec
Ьссс
cccc
2.2.1 Размещения с повторениями
Упорядоченная выборка (или кортеж длины к), составленная из к
элементов n-элементного множества X, называется размещением с повто­
рениями из п элементов по к. Число этих размещений обозначают А^ . (Бу­
ква А от французского слова arrangement - размещение. Черта указьшает на
возможность повторения элементов).
Акп = пк
(1)
Пример 2.2.2. Сколько пятизначных номеров можно составить из де­
вяти цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
Решение. Такие номера являются размещениями по пять элементов с
повторениями,
составленными
из
элементов
множества
Х={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. По формуле (1) их число равно А% =95=6561.
К подсчету числа размещений заданной длины сводятся многие дру­
гие комбинаторные задачи.
Задача 1 Найдем число отображений множества X в множество Y, ес­
ли |Х|=к и |Y|=n.
Решение. Перенумеруем элементы множества X: Х={х ь ...,х к }. Каж­
дому отображению f множества X в Y соответствует кортеж длины к, со­
ставленный из образов этих элементов (взятых в том же порядке), т.е. кор­
теж (f(xi),...,f(Xk)). Обратно, задание кортежа (уь...,Ук), составленного из
элементов множества Y, однозначно определяет отображение f: элемент Xj
переходит в элемент у].
Значит, число отображений множества X в множество Y равно числу
размещений длины к, составленных из элементов множества Y. Так как
|Y|=n, то по формуле (1) это число равно п .
57
Пример 2.2.3. Сколькими способами можно разделить шесть различ­
ных конфет между тремя детьми?
Решение. Каждый способ раздела является отображением множества
конфет в множество детей. Число таких отображений равно З6, т.е. 729.
Вообще, любое отображение k-элементного множества X в пэлементное множество Y можно истолковать как раскладку к элементов по
п ящикам. Мы видим, что число таких раскладок равно п .
Задача 2. Найдем число всех подмножеств множества X, если X со­
держит к элементов (в теории множеств это мощность булеана).
Решение. Будем раскладывать элементы множества X в два ящика.
Каждому подмножеству А множества X соответствует способ раскладки,
при котором элементы подмножества попадают в первый ящик, а остальные
элементы - во второй. Обратно, каждая такая раскладка однозначно опреде­
ляет подмножество элементов, попавших в первый ящик. Поэтому общее
число подмножеств в X равно числу способов раскладки элементов множе­
ства по двум ящикам, т.е. равно 2 - 2 .
Пример 2.2.4. Выпишем все подмножества множества {а, Ь, с}.
Решение. Данное множество имеет восемь подмножеств:
0,{а}, {Ь}, {с}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c},
3
так как 8=2 .
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Упражнения
Пароль, открывающий доступ к компьютеру, состоит из шести симво­
лов — строчные буквы латинского алфавита (всего 26 букв). Сколько
можно придумать различных паролей?
Ответ: 308 915 776.
Сколько существует пятизначных номеров, не содержащих цифру «8»?
Не содержащих цифр «0» и «8»? Составленных из цифр 2, 3, 5, 7?
Ответ: 52488; 32768; 1024.
Сколькими способами можно разложить 12 различных деталей по 3
ящикам?
Ответ:531441.
В некотором королевстве не было двух человек с одинаковым набором
зубов. Каково могло быть наибольшее число жителей этого королевст­
ва, если у человека 32 зуба?
Ответ: 4 294 967 296.
Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт по одной
карте каждой масти? То же самое при условии, что среди вынутых карт
нет ни одной пары одинаковых, т.е. двух королей, двух десяток и т.д.
Ответ: 28561, 17160.
Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт (содер­
жащей 52 карты) по одной карте каждой масти так, чтобы карты крас­
ных мастей и карты черных мастей образовывали пары (например, де58
вятки пик и треф и валеты бубен и червей)?
Ответ: 169.
7. Надо послать 6 срочных писем. Сколькими способами это можно сде­
лать, если для передачи писем можно послать трех курьеров и каждое
письмо можно дать любому из курьеров?
Ответ: 729 способов.
8. У отца есть пять различных апельсинов, которые он выдает своим
восьми сыновьям так, что каждый получает либо один апельсин, либо
ничего. Сколькими способами можно это сделать? Если число апельси­
нов, получаемых каждым сыном, не ограничено.
Ответ: 6720, 32768.
9. Четверо студентов сдают экзамен. Сколькими способами могут быть
поставлены им отметки, если известно, что никто из них не получил
неудовлетворительной отметки?
Ответ: 81.
10. В селении проживает 2000 жителей. Доказать, что, по крайней мере,
двое из них имеют одинаковые инициалы. (Указание: из 33 букв алфа­
вита с 4 букв: Ъ, Ь, Ы, И, имена не начинаются).
11. Имеется 3 курицы, 4 утки и 2 гуся. Сколько имеется комбинаций для
выбора нескольких птиц так, чтобы среди выбранных птиц были и ку­
ры, и утки, и гуси?
Ответ: 315 .
2.2.2 Размещения без повторений
Будем теперь составлять из элементов n-элементного множества X
упорядоченные множества без повторений, содержащие к элементов. Ины­
ми словами, в отличие от размещений с повторениями будем брать лишь
кортежи длины к без повторяющихся элементов.
Упорядоченное множество длины к, составленное из элементов пэлементного множества X, назьшают размещениями без повторений из п
элементов множества X по к.
Найдем число размещений без повторений из п элементов по к.
Первой компонентой размещения может стать любой из элементов
множества X. Так как их число равно п, то получаем п возможностей выбо­
ра. Если первый элемент х\ уже выбран, второй элемент можно выбрать
лишь п - 1 способами (повторение элемента х\ не допускается). Аналогично
устанавливаем, что при выбранных элементах Xi и х2 элемент х3 можно вы­
брать п-2 способами и т.д. вплоть до элемента хк, который можно выбрать п(к-1), т.е. п-к+1 способами (до него выбраны к-1 элементов: х ь ...,х к _ь ни
один из которых не должен повторяться).
По правилу произведения получаем, что число размещений без по­
вторений из т элементов по к выражается формулой
4=п(п-1)... (п-к+1)
59
(2)
Эту формулу можно записать иначе, если воспользоваться обозначением п!
для произведения натуральных чисел от 1 до п, п!=1-2-... -п. Если умножить
обе части равенства (2) на (т-к)! =(т-к) •... • 1, то получим:
(n-к)! Акп =п(п-1)... (п-к+1)(п-к)... 1=п!
Отсюда:
Ак=—п—
" {п-к)\
(3)
У }
Пример 2.2.5. Найдем, СКОЛЬКИМИ способами можно выбрать из груп­
пы, насчитывающей 40 студентов, старосту, представителя студпрофкома и
представителя студсовета.
Решение. Любой такой выбор является размещением без повторений
из 40 элементов по 3. Значит, число способов выбора равно
40!
лъ
Ответ: 59280.
Пример 2.2.6. Сколько шестизначных чисел, кратных 5, можно соста­
вить из цифр 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 при условии, что цифры в записи числа
не повторяются?
Решение. Последней цифрой искомого числа может быть «0» или «5».
В первом случае остальные пять цифр можно выбирать из множества { 1 , 2 ,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и число вариантов
равно А9 ~ 7 7 ~ ^ ^ ^ - Если число
оканчивается цифрой «5», то в качестве первой цифры можно взять любую
из восьми цифр «1», «2», «3», «4», «6», «7», «8», «9». Цифру «0» нельзя ис­
пользовать, так как число должно быть шестизначным. Цифры со второй по
четвертую можно выбрать ^
=1680 различными способами. Следователь­
но, по правилу произведения имеется
8 * As
чисел, оканчивающиеся циф­
рой «5». По правилу суммы находим, сколько существует чисел, удовлетво­
ряющих условию задачи:
Ад +8 Al =28560.
В размещениях с повторениями была установлена связь между кор­
тежами длины к, составленными из элементов множества Y, и отображе­
ниями в Y к-элементного множества X. Размещением без повторений соот­
ветствуют такие отображения, при которых разные элементы множества X
отображаются в разные элементы множества Y, т.е. обратимые отображения
множества X в Y. Тем самым доказано следующее утверждение:
Пусть множество X содержит к элементов, а множество Y - п элемен­
тов. Тогда число обратимых отображений множества X в множество Y рав­
к
А
но п
60
Наглядное истолкование обратимых отображений X в Y состоит в
том, что элементы множества X раскладьшаются по п ящикам, причем ни в
один ящик нельзя положить более одного элемента.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Упражнения
Кодовый замок содержит 10 кнопок с цифрами от 1 до 0. Замок откры­
вается одновременным нажатием трех кнопок. Сколько существует
различных кодовых комбинаций.
Ответ: 720.
В цехе работают 8 токарей. Сколькими способами можно поручить
трем из них изготовление трех различных видов деталей (по одному
виду на каждого)?
Ответ: 336.
Сколько существует возможностей для присуждения первого, второго
и третьего мест семнадцати участницам соревнований по икебане?
Ответ: 4080.
В студенческий совет избрано 9 человек. Из них надо выбрать предсе­
дателя, его заместителя, секретаря и культорга. Сколькими способами
это можно сделать?
Ответ: 3024.
Сколькими способами можно составить трехцветный флаг, если имеет­
ся материал пяти различных цветов? И если одна из полос должна быть
красной?
Ответ: 60, 36.
Пароль, открывающий доступ к компьютеру, состоит из шести симво­
лов — строчные буквы латинского алфавита (всего 26 букв). Сколько
можно придумать различных паролей из неповторяющихся символов?
Ответ: 165 765 600.
Из десяти различных книг выбирают четыре для посылки. Сколькими
способами можно это сделать?
Ответ: 5040.
Сколькими способами можно опустить 5 писем в 11 почтовых ящиков,
если в каждый ящик опускается не более одного письма?
Ответ: 55440.
Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно
выполнять переводы с любого из пяти языков: русского, английского,
французского, немецкого, итальянского, на любой другой из этих пяти
языков? На сколько больше словарей придется издать, если число раз­
личных языков равно 10?
Ответ: 20. 70.
61
2.2.3 Перестановки без повторений
Если длина размещения без повторений равна числу п элементов
множества X, то в этом размещении встречаются по одному разу все эле­
менты из X. Два таких размещения отличаются друг от друга лишь поряд­
ком этих элементов. Такие размещения имеют особое название.
Перестановкой без повторений из п элементов называют размеще­
ние без повторений из этих элементов по п.
Число перестановок из п элементов обозначают Рп. (От французского
слова permutation - перестановка.) Так как Р п = ^ , то получаем, что
Pm=n-(n-l>... <n-n+l)=n-(n-l) ... -l=n!
Итак,
Pn=n!
(4)
Пример 2.2.7. Сколько различных четырехзначных чисел можно по­
лучить, переставляя цифры числа 2154? Перечислите их.
Решение. Число 2154 содержит четыре цифры, следовательно, число
их перестановок - Рп = Р4 = 4! = 24 . Перечислим:
1245, 1254, 1425, 1452, 1524, 1542,
2145, 2154, 2415, 2451, 2514, 2541,
4125, 4152, 4215, 4251, 4512, 4521,
5124, 5142, 5214, 5241, 5412, 5421.
При перечислении перестановок удобно пользоваться схемой (рис.23)
5
/ 4
2 ^—1
— 4
5
4
2
5
5
2
2
4
4
2
Рис.23
Пример 2.2.8. Кай в чертогах Снежной королевы безуспешно склады­
вал из льдинок слово «вечность». Упростим задачу и представим, что у нас
есть набор из восьми карточек с буквами «в», «е», «ч», «н», «о», «с», «т»,
«ь». Сколько восьмибуквенных «слов» можно составить из этих карточек?
(Здесь под словом понимается некоторая последовательность букв).
Решение. Составление слова из восьми букв можно представить как
заполнение буквами клеток следующей таблицы:
1 2
3 4 5 6 7 8
На первое место можно поставить любую из восьми букв, на второелюбую из семи оставшихся и т.д. вплоть до заполнения единственным спо­
собом клетки № 8 последней оставшейся буквой. Число способов заполне­
ния таблицы будет равно
62
8-7-6-5-4-3-2-1=8!=40320
Пример 2.2.9. Сколькими способами можно поставить на доску во­
семь ладей так, чтобы они не били друг друга?
Решение. Подразумевается, что ладьи одинаковые, неразличимые.
Очевидно, что на каждой горизонтали и на каждой вертикали должна стоять
только одна ладья. Будем расставлять ладьи последовательно, начиная с
первой горизонтали. На первой горизонтали восемь клеток, и первую ладью
можно поставить на любую из них. Когда мы будем ставить вторую ладью,
то на второй горизонтали ей будут доступны 7 клеток и т.д. По правилу
произведения получаем, что всего таких позиций 8!
Пример 2.2.10. а) Сколькими способами можно расставить на книж­
ной полке десятитомник Пушкина? б) Та же задача, но чтобы том 2 стоял
рядом с томом 1 и справа от него?
Решение, а) Имеем 10!=3 628 800.
б) Чтобы решить задачу представим себе, что тома 1 и 2 связаны бечевкой.
Расстановка полученного набора из 9 томов (восьми обычных и одного
сдвоенного) может быть произведена 9! способами.
Ответ: а) 3 628 800; б) 362 880.
Пример 2.2.11. Сколькими способами 6 человек могут сесть на 6 стульев?
Решение. Занумеруем стулья числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 и обозначим чело­
века, севшего на k-й стул через хк. Тогда (х ь ...,х 6 ) - перестановка из имен
этих шести людей, причем каждой такой перестановке соответствует один и
только один способ размещения на стульях. Значит число способов равно
Р6=6!=720.
Каждая перестановка элементов множества X задает взаимно однознач­
ное отображение этого множества на себя. Занумеруем элементы множества X
числами 1,2,...,п: Х=(х ь ...,х п ) и возьмем какую-нибудь перестановку этих
элементов. После этого элементу Xi поставим в соответствие первую коорди­
нату этой перестановки, элементу х2- вторую,..., элементу хп - n-ую координа­
ту. Таким образом задается взаимно однозначное отображение X на себя.
Например, если Х=(1, 2, 3, 4), то перестановка (4, 3, 2, 1) соответству­
ет взаимно однозначное отображение множества X на себя, при котором 1
переходит в 4, 2 - в З , 3 - в 2 , 4 - в 1.
1.
2.
Упражнения
На собрании должны выступить 5 человек: А, Б, В, Г и Д. Сколькими
способами можно расположить их в списке ораторов при условии, что
Б не должен выступить до того, как выступит А? Та же задача, но А
должен выступить непосредственно перед Б.
Ответ: 60,24.
Сколькими способами можно посадить за круглый стол 5 мужчин и 5
женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?
Ответ: 2(5!)2=28800.
63
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
В купе железнодорожного вагона имеется два противоположных дивана
по 5 мест в каждом. Из десяти пассажиров четверо желают сидеть лицом
к паровозу, а трое - спиной к паровозу, остальным трем безразлично, как
сидеть. Сколькими способами могут разместиться пассажиры?
Ответ: 3(5!)2=43200.
На полке находится m+n различных книг, из которых m в черных пере­
плетах, а п в красных. Сколько существует перестановок этих книг, при
которых книги в черных переплетах занимают первые m мест? Сколько
положений, в которых все книги в черных переплетах стоят рядом?
Ответ: m!n!(n+l)=m!(n+l)!.
Сколько нечетных чисел можно составить из цифр числа 3694 (каждую
цифру можно использовать не более одного раза)? А четных?
Ответ: 12 нечетных чисел, 12 четных чисел.
Сколькими способами можно посадить рядом 3 англичан, 3 французов
и 3 турок так, чтобы никакие три соотечественника не сидели рядом?
Ответ: 9!-3-3!7!+3 (3!)25!-(3!)4=283824
В шахматной олимпиаде участвуют представители п стран по 4 пред­
ставителя от каждой страны. Сколькими способами они могут встать в
ряд так, чтобы рядом с каждым был представитель той же страны?
Ответ: 12п(2п)!
Сколькими способами можно обить 6 стульев тканью, если имеются
ткани 6 различных цветов и все стулья должны быть разного цвета?
Ответ: 720.
Сколькими способами могут расположиться в турнирной таблице 10
футбольных команд, если известно, что никакие 2 команды не набрали
поровну очков?
Ответ: 3628800.
2.2.4 Сочетания без повторений
Будем теперь строить из элементов множества X не кортежи, а под­
множества. Получим так называемые сочетания без повторений.
k-элементные подмножества n-элементного множества X называют
сочетаниями без повторений из элементов этого множества по к. Их чис­
ло обозначают Сп . (От французского слова combination - комбинация.)
Пример 2.2.12. Из множества {а, Ь, с, d, e} можно составить 10 соче­
таний по 3 элемента в каждом:
{a,b,c}, {a,b,d}, {a,b,e}, {a,c,d}, {a,c,e},
{a,d,e}, {b,c,d}, {b,c,e}, {b,d,e}, {c,d,e}.
Из каждого такого сочетания путем различных упорядочиваний эле­
ментов получается шесть размещений из 5 элементов по 3. Например, из
сочетаний {а,Ь,с} получаем следующие размещения {a,b,c}, {a,c,b}, {b,a,c},
{b,c,a}, {c,a,b}, {c,b,a}. Отсюда видно, что число размещений без повторе­
ний из 5 элементов по 3 равно 54-3=60, что согласуется с формулой
64
Л=
: 4=54-3=60.
(и - Аг)!
Найдем число сочетаний без повторений из п элементов по к.
Из каждого сочетания без повторений из n no k путем упорядочиваний по­
лучаются к! различных размещений без повторений из п элементов по к.
При этом различные сочетания порождают различные размещения, и каж­
дое размещение может быть получено указанным образом. Отсюда следует,
что число размещений без повторений из п элементов по к в к! раз больше,
чем число сочетаний без повторений из п элементов по к. Иными словами,
мы доказали, что Ап = к! Сп . Но тогда
j^k
,
_
п
Ллпк
к\ •
лк
Подставляя для Ап выведенное значение
П\
— , получаем,
(п -к)\
Скп=
(5)
" к\(п-к)\
Формулу (5) можно записать следующим образом:
п(п-\)-...-(п-к
+ \)
к
Сп=
Г^г—к
(6)
Пример 2.2.13. Сколькими способами можно составить команду из
четырех человек для соревнований по бегу, если имеются семь бегунов?
Решение. Число способов составить команду равно:
С74=35
Если бы команда выбиралась для эстафетного бега на
100+200+400+800 м, то число способов выбора команды было бы в 4! =24
раза больше, поскольку в этом случае имеет значение порядок спортсменов
в команде: кто - какую дистанцию будет бежать.
Понятие сочетания без повторений тоже можно истолковать на языке
отображений, только теперь придется отображать упорядоченные множест­
ва. А именно, пусть даны два упорядоченных множества X и Y, причем
|X|=k, |Y|=n. Тогда число отображений X в Y, сохраняющих порядок эле­
ментов, равно Сп . В самом деле, каждое такое отображение однозначно
определяется выбором к элементов из множества Y. После этого первый
элемент X отображается в наименьший из выбранных элементов, второй - в
следующий из выбранных элементов и т.д. вплоть до к-го, который отобра­
жается в последний из выбранных элементов.
Например, подмножеству А={2,3,6} упорядоченного множества
Y=(l, 2, 3, 4, 5, 6) соответствует следующее отображение упорядоченного
множества Х=( 10, 11, 12) в Y: 10 переходит в 2, 11 - в 3, 12 - в 6.
65
Пример 2.2.14. Сколькими способами можно попасть из точки А в
точку С, если можно двигаться лишь вправо и вверх по отрезкам сети
(рис.24).
D
.
_С
к
i
* * i
В
Рис.24
Решение. Каждый путь состоит из восьми горизонтальных и четырех
вертикальных единичных отрезков. Если обозначить горизонтальный отре­
зок буквой а, а вертикальный - буквой Ь, то получим последовательность из
восьми букв а и четырех букв Ь. Согласно примеру 2.2.13 их число, а тем
самым искомое число путей равно:
А *
i
*
i
1
i
»
.
i
Си=495.
Пример 2.2.15. Сколькими способами можно поставить на шахматную
доску восемь ладей? Не налагается условие, что ладьи не могут бить друг
друга. Поэтому нам надо просто выбрать из 64 клеток шахматной доски
любые восемь клеток. А это может быть сделано
Г*
64'
Ь64 =
= 4328284968
8!56!
способами.
Точно так же доказывается, что на доске из m горизонталей и п верти­
калей к ладей можно поставить
r*k = (mn)\
Ци« — — — способами.
к\ (тп - к ) \
Если же ставить не к одинаковых ладей, а к различных фигур, то уже важно,
какая фигура куда поставлена. Поэтому в этом случае имеем не сочетания, а
размещения, и ответ дается формулой
Лк _
^тп--
(тп)\
г—
(тп -к у.
Многие комбинаторные задачи сводятся к подсчету числа сочетаний
без повторений из п элементов по к.
Пример 2.2.16. Найдем число кортежей длины k+n, содержащих к раз
букву а и п раз букву х.
Решение. Так как состав кортежей известен, они могут отличаться
друг от друга лишь порядком букв. Но этот порядок однозначно определя­
ется заданием мест, на которых стоят буквы а (остальные места занимаются
буквами х). Иными словами, надо выбрать k-элементное подмножество в
ч„
^ ~.„..„ш„„^ ..ш„ш„^„- .,„_.... _
66
к
_„„ ш „ _^,-._„ С k+n способами.
Упражнения
1. Хоккейная команда насчитывает 18 игроков. Одиннадцать из них вхо­
дят в основной состав. Подсчитайте количество возможных основных
составов.
Ответ: 31 824.
2. Сколькими способами можно выбрать три различные краски из имею­
щихся пяти?
Ответ: 10.
3. У одного человека есть 7 книг по математике, а у другого - 9 книг.
Сколькими способами они могут обменять две книги одного на две
книги другого?
Ответ: 756.
4. Из состава конференции, на которой присутствует 52 человека, надо
избрать делегацию, состоящую из 5 человек. Сколькими способами
можно это сделать?
Ответ: 2 598 960.
5. Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если данные
два человека из этих 17 не могут быть выбраны вместе?
Ответ: С^-СЦ.
6. На плоскости задано п точек, из которых р лежат на одной прямой, а
кроме них никакие 3 точки не лежат на одной прямой. Сколько сущест­
вует треугольников, вершинами которых являются эти точки?
Ответ: Съп-С\.
7. Оргкомитет олимпиады состоит из 11 человек. Материалы олимпиады
хранятся в сейфе. Сколько замков должен иметь сейф и сколькими
ключами следует снабдить каждого члена оргкомитета, чтобы доступ в
сейф был возможен, когда соберутся любые 6 членов оргкомитета, и не
был возможен, если соберется меньше 6 членов.
Ответ: Так как к каждому замку имеется 6 ключей то общее число клю­
чей равно 462-6=2772, а каждый член оргкомитета имеет 2772/11=252
ключа.
8. Сколькими способами можно выбрать 5 делегатов из состава конфе­
ренции, на которой присутствует 15 человек?
Ответ: 3003.
9. Сколькими способами можно поставить на черные поля доски 12 белых
и 12 черных шашек.
Ответ: 32!/(12!)2-8!.
10. У одного человека есть 11 книг по математике, а у другого - 15. Сколь­
кими способами они могут выбрать по три книги каждый для обмена?
Ответ: 75075.
67
2.2.5 Перестановки с повторениями
При перестановке букв в слове «толпа» получается Р5=5!=120 «слов».
Если же переставлять буквы в слове «топот», то получится меньше различ­
ных слов потому, что ни перестановка двух букв «т», ни перестановка двух
букв «о» не изменяют слова. Мы имеем здесь дело с перестановками с по­
вторениями.
Перестановкой с повторениями состава (k b ...,k n ) из букв (а ь ...,а п )
называют любой кортеж длины k=k!+k2+... +kn, в которой буква а! входит ki
раз ,..., буква ап - kn раз. Число таких перестановок обозначают Р(к ь ... ,к т ).
Пример 2.2.17. Кортеж (а, Ь, а, а, с, b, b, b, с) является перестановкой с
повторениями из трех букв а, четырех букв b и двух букв с. Его состав вы­
ражается кортежем (3, 4, 2) (мы считаем из букв а, Ь, с буква а - первая, b вторая, с - третья).
Найдем число P(k b ...,k n ) перестановок с повторениями, имеющих со­
став (k b ...,k n ).
Перестановку состава (к ь ... ,кп) можно получить следующим образом:
сначала выбираем ki мест из общего числа мест к=к!+...+кп и ставим в эти
места букву а! - этот выбор может быть сделан Ck способами. Затем из
оставшихся k-kx мест выбираем к2 мест и заполняем их буквой а2 - этот выбор мест может быть сделан ^к-кг способами, и т.д.
По правилу произведения получаем, что выбор перестановки состава
(k b ...,k n ) может быть сделан
формулы (-£ =
:
С^ ^k-ki---^k-kx-...kn_x
способами. В силу
получаем
JKk-J)\
P(kl,...,kn) = — k^—
кх\-...-кп\
(7)
Пример 2.2.18. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в
слове «математика»?
Решение, слово «математика» является кортежем длины 10, имеющим
состав (2, 3, 2, 1, 1, 1) (буква «м» входит 2 раза, буква «а» - 3 раза, буква «т»
- 2 раза, буквы «е», «и», «к» - по одному разу). Значит, при перестановках
букв получится
Р(2,3,2, 1, 1, 1)= 2!3! 1 2 °| !1!1 , =151200 «слов».
Как и другие понятия комбинаторики, перестановки с повторениями
могут быть истолкованы на языке отображений множеств.
Пусть даны множества X и Y, причем |X|=k=ki+...+kn, |Y|=n,
Y={y b ...,y n }. Тогда P(k b ...,k n ) равно числу отображений X в Y, таких, что
полный прообраз элемента у] содержит kj элементов. Именно, каждому та68
кому отображению f сопоставляется перестановка с повторениями длины к,
состоящая из букв у ь ... ,у т , причем буква у] СТОИТ на месте тех хк для кото­
рых f(Xk)=yj.
Пример 2.2.19.Сколькими способами можно разложить 28 различных
предметов по четырем различным ящикам, так, чтобы в каждом ящике, ока­
залось, по 7 предметов?
Решение. В силу сказанного выше число способов равно
28! _ 28!
Р(7, 7 , 7 , 7 ) - 7 ! 7 ! 7 ! 7 ! - ^у
В примере 2.2.19 существенно, что ящики можно отличить друг от
друга (например, они покрашены в разные цвета).
Пример 2.2.20. Сколькими способами можно положить 28 различных
открыток в 4 одинаковых конверта так, чтобы в каждом конверте лежало по
7 открыток?
Решение. Сначала пометим конверты цифрами 1, 2, 3, 4. Тогда со­
гласно примеру 2.2.19 число различных раскладок равно Р(7, 7, 7, 7). После
этого уберем пометки. Теперь конверты можно произвольно переставлять
друг с другом, не меняя результата раскладки (ведь они теперь неотличимы
друг от друга). Так как число различных перестановок четырех конвертов
равно Р4-4!, то число различных раскладок уменьшается в 4! раз, и равно
1
28'
^4'
4!-Р(7,7,7,7)= 4!(7!)
Замечание. Ясно, что число различных раскладок является целым.
28'
Поэтому
'—^ целое число. Таким же образом доказывается, что при любых натуральных т и п число ——— целое.
т\\п\)
1.
2.
3.
Упражнения
Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 коня, 2 сло­
на, 2 ладьи, ферзя и короля) на первой линии шахматной доски?
Ответ: Р(2, 2, 2, 1, 1)=5040.
Для премий на математической олимпиаде выделено 3 экземпляра од­
ной книги, 4 экземпляра другой и 8 экземпляров третьей. Сколькими
способами могут быть распределены эти премии между 30 участниками
олимпиады, если каждому вручается не более одной книги?
С1515'
Ответ: ——-.
3!4!8!
Сколькими способами можно разбить m+n+p предметов на три группы
так, чтобы в одной было т , в другой п, а в третьей р предметов?
Ответ: P(m,n,p)=-
^-.
т\п\р\
69
4.
5.
30 человек голосуют по 5 предложениям. Сколькими способами могут
распределиться голоса, если каждый голосует за одно предложение и
учитывается лишь число голосов, поданных за каждое предложение?
Ответ: Р(30,4)=46376.
Сколько различных браслетов можно сделать из 5 одинаковых изумру­
дов, 6 одинаковых рубинов и 7 одинаковых сапфиров (в браслет входят
все 18 камней)?
Ответ:
6.
7.
{ > > )=
:—
36
36-5!6!7!
Сколькими способами можно переставить буквы слова «перешеек» так,
чтобы 4 буквы «е» не шли подряд?
Ответ: Р(4,1,1,1,1)-5!=1560.
Сколькими способами можно переставлять буквы в слове «обороно­
способность» так, чтобы две буквы «о» не шли подряд?
Ответ: Р(3,2,2,1,1,1,1)-Ц2 способов.
8. Сколькими способами можно переставить буквы слова «каракули» так,
чтобы никакие две гласные не стояли рядом?
Ответ: 5-12 =720 способов.
9. Сколькими способами можно переставить цифры числа 12 341 234 так,
чтобы никакие две одинаковые цифры не шли друг за другом?
Ответ: Р(2,2,2,2)-4-Р(2,2,2,1)+6-Р(2,2,1,1)-4-Р(2,1,1,1)+Р(1,1,1,1)=864.
10. Найти коэффициент при х в разложении (1+х -х ) .
Ответ: Р(2,2,2,2,1)+Р(3,3,2,1)=378.
2.2.6 Сочетания с повторениями
Пусть имеются предметы п видов и из них составляется набор, содер­
жащий к элементов. Два таких набора считаются одинаковыми в том и
только в том случае, когда они имеют одинаковый состав. Такие наборы на­
зовем сочетаниями с повторениями из п элементов по к. Число сочета­
ний с повторениями из п элементов по к обозначим Сп .
Найдем число сочетаний с повторениями из п элементов по к.
Каждый состав сочетания задается последовательностью (к ь ...,к п ), состоя­
щей из неотрицательных целых чисел, где ki показывает количество эле­
ментов первого вида, к2 - второго,..., кп - n-го вида. Таким образом, Сп ,
равно количеству числовых кортежей (k b ...,k n ) длины п, для которых
ki+k2+...+kn=k.
Итак, надо решить следующую задачу:
1. Найдем количество тех числовых кортежей (k b ...,k n ) длины п, для кото­
рых ki+k2+... +kn=k.
Решение. Будем кодировать каждый кортеж (к ь ... ,кп) словом, составленным
70
из единиц и нулей. С этой целью заменим в кортеже каждое число kj после­
довательностью из kj единиц (если kj=0, то единицы не пишутся), а каждую
запятую заменим нулем. Получится кортеж из k!+...+kn=k единиц и п-1 ну­
лей (запятых в кортеже (k b ...,k n ) на 1 меньше, чем чисел). Например, кор­
теж (4, 1,0,2) кодируется так: (1111010011). Обратно, каждому кортежу,
составленному из к единиц и п-1 нуля, соответствует числовой кортеж
(k b ...,k n ), такой, что ki+...+kn=k. Поэтому искомое число кортежей вида
(k b ...,k n ) равно числу кортежей из к единиц и п-1 нуля. По формуле пере­
становок с повторениями число таких кортежей равно
P(k,n-1)=
к
(к + п-\)\
к\(п-\)\
^ „ ~^„ „„„„ г™.„„ С к+п-1 • Итак, мы доказали равенство:
CI = CL-,
(8)
Пример 2.2.21. Сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в
продаже имеются 4 сорта пирожных?
Решение. Выбор набора (2, 1, 3, 1), состоящего из 2 пирожных первого
вида, одного пирожного второго вида, трех пирожных третьего вида и одного
пирожного четвертого вида соответствует коду 1101011101. а код 1111011100
обозначает, что набор включает четыре пирожных первого вида и три пирож­
ных второго вида (третий и четвертый вид пирожных не выбраны).
Искомое число равно С4 =С 7+4 _ 1 . Но С10 =С 10 =
=120. Итак,
можно составить 120 наборов.
Пример 2.2.22. Сколькими способами можно разложить к одинаковых ша­
ров по п различным ящикам?
Решение. Различные способы раскладки различаются лишь числом
шаров, попавших в каждый ящик. Значит, число таких способов равно:
к\(п-\)\
1.
2.
3.
Упражнения
Сколько можно построить различных параллелепипедов, длина каждо­
го ребра которых является целым числом от 1 до 10.
Ответ: 220.
Меню в китайском ресторане дает вам возможность выбрать ровно три
из семи главных блюд. Сколькими способами можно сделать заказ?
Ответ: 35.
В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими спо­
собами можно купить в нем 12 открыток? 8 открыток? Сколькими спо­
собами можно купить 8 различных открыток?
Ответ: 293930: 24310: 45.
71
4.
5.
Сколько различных вариантов можно получить, бросая пять игральных
костей?
Ответ: 252.
Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают
одно из следующих значений: 4, 5, 6, 7 см?
Ответ: 20.
2.2.7 Биномиальные коэффициенты
Число сочетаний
Скп=
"
(10)
к\(п-к)\
это число различных ^-элементных подмножеств n-элементного множества.
Числа С- „ также назьшают биномиальными коэффициентами в формуле
бинома Ньютона:
(x + yy=±Cknx"y"-k
(11)
Следствия из формулы (11):
п
Следствие 1.
Х ^ « ~ ^"
к=0
Х(-1) И С* = 0
Следствие 2.
к=0
Свойства биномиальных коэффициентов, вытекающие из основной
формулы для числа сочетаний (10):
1
s-ik
г^п-к
2 Ск =Ск ,+Ск~}
i
"
п
п-\
п-\
_ s-iks~im
f-im f-ik—m
•^ •
п к
п
п-т •
Из свойства 2 вытекает эффективный способ рекуррентного вычисле­
ния значений биномиальных коэффициентов, который можно представить в
графической форме, известной как треугольник Паскаля (рис. 25а).
1
1
1
1
2
1
1 3
3
1
1 4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
Рис. 25 а)
В этом равнобедренном треугольнике каждое число (кроме единиц на
боковых сторонах) является суммой двух чисел, стоящих над ним.
72
с»
/--О
L, 3
^ 1
CO
р 2
L, 3
/-il
*—4
/i0
*—4
с;
L, 3
y-»2
*—4
/^1
L, 3
/^-3
41
/~i4
4
/~<Ъ
•-» 2
/~i 4
/^*^
Рис. 25 b)
Каждая (п+1)-ая строка этого треугольника состоит из биномиальных
коэффициентов, получающихся при раскрытии скобок в выражении
(а + й)"(рис.25Ь). Число сочетаний Скп находится в (п+1)-ом ряду на (п+1)ом месте.На внешних сторонах треугольника Паскаля стоят единицы, так
как С° = Спп = 1. Симметрия относительно вертикальной высоты треугольни­
ка следует из тождества Скп = С^~к (свойство 1)
Пример 2.2.23. Найти коэффициент при х у из разложения степени
7
(х+у) .
^ 9
7
Решение. Коэффициент при х у из разложения степени (х+у) равен
7'
— = 21.
5!2!
п\
Коэффициенты Р(пх,п2,...,пк) =
носят название полипх\п2\-... • пк\
помиальпых. Они стоят при произведениях х^х22 -...-хкк в разложении сте­
пени (х(хх ++х
х2 ++......++ ххк))пп: -Y,P(n ,n ,.. .,п )х? х <
X,
х
2
к
x
2
к
n
"1 v2
2
n
'Х
9
v
А
k
Пример 2.2.24. Найти коэффициент при х у z из разложения степени
(x+y+z) .
Решение. Коэффициент при x3y2z4 из разложения степени (x+y+z)'
равен
9'
3!2!4! = 1260
4.
Упражнения
Найдите коэффициент при х6 из разложения степени (х+3)8.
^ 9 9
7
Найдите коэффициент при х у z из разложения степени (x+y+z) .
Дана восьмая строка треугольника Паскаля:
1 7 21 35 35 21 7 1
Найдите девятую и десятую его строки.
Докажите тождество:
5.
Докажите:
1.
2.
3.
(cy+(Clf
+
73
...+(c:f=c"2n
2.3. Комбинаторика разбиений
Рассматриваются задачи, в которых элементы делятся на две или
большее число групп, и надо найти все способы такого раздела.
Иногда существенную роль играет порядок элементов в группах:
например, когда сигнальщик вывешивает сигнальные флаги на нескольких
мачтах, то для него важно не только то, на какой мачте окажется тот или
иной флаг, но и то, в каком порядке эти флаги развешиваются. В других же
случаях порядок элементов в группах никакой роли не играет. Когда игрок
в домино выбирает кости из кучи, ему безразлично, в каком порядке они
придут, а важен лишь окончательный результат.
Отличаются задачи и потому, играет ли роль порядок самих групп.
При игре в домино игроки сидят в определённом порядке, и важно не толь­
ко то, как разделились кости, но и то, кому какие кости достались. Если же
кто-то раскладывает фотографии по одинаковым конвертам, чтобы послать
их приятелю, то существенно, как распределяются фотографии по конвер­
там, но порядок самих конвертов совершенно несуществен - ведь на почте
их всё равно смешают.
Играет роль и то, различаем ли мы между собой сами элементы или
нет, а так же различаем ли между собой группы, на которые делятся эле­
менты. Наконец, в одних задачах некоторые группы могут оказаться пусты­
ми, то есть не содержащими ни одного элемента, а в других такие группы
недоступны. В соответствии со всем сказанным возникает целый ряд раз­
личных комбинаторных задач на разбиение.
Раскладка по ящикам
Даны п различных предметов и к ящиков. Надо положить в первый
ящик П! предметов, во второй - п2 предметов, ... , в k-ый - п к предметов,
где П!+п2+ ... + пк=п. СКОЛЬКИМИ способами можно сделать такое распреде­
ление?
Получаем ответ в общем случае: число различных раскладок по ящи­
кам равно
и'
Р(п1,п2,...,пк) = ——
.
пу\п1}....пк\
Пример 2.2.25. Даны три предмета: информатика, математический
анализ и алгебра. В один день зачёт по информатике могут сдать 12 чело­
век, по математическому анализу - 10 человек, по алгебре - 8 человек.
Сколькими способами группа может распределиться по предметам?
30!
Решение: Р(12, 10, 8 ) = ( 1 2 + 1 0 + 8 ) !
12!10!8!
12!10!8!
1.
Упражнения
Переправа через реку. Имеется паром и катер, катер берёт 20 человек,
паром берёт 34 человека. Участники похода должны переправиться че­
рез реку. Сколькими способами они могут это сделать?
74
54'
Ответ:
20134!
2. 10 сообщений можно зашифровать 4 способами. Первым способом
можно зашифровать 2 сообщения, вторым способом - 3 сообщения,
третьим способом - 4 сообщения и четвёртым способом - 1 сообщение.
Сколькими способами это можно сделать?
„
10!
Ответ:
2!3!4!1!
3. В три аудитории нужно распределить курс в 50 человек. В 1-ую ауди­
торию помещается 18 человек, во 2-ую - 15 человек, в 3-ю -17 человек.
Сколькими
можно распределить курс по аудиториям?
5 0способами
!
гл
Ответ:
18!15!17!
Разбиение чисел
Изменим, условие предыдущей задачи следующим образом: в каждом
из к ящиков может быть разложено любое количество предметов, в том
числе и нулевое.
Пример 2.2.26. Трое ребят собрали с яблони 40 яблок. Сколькими
способами они могут их разделить, если все яблоки считаются одинаковы­
ми (то есть если нас интересует лишь, сколько яблок получит каждый, но не
то, какие именно яблоки ему достанутся)?
Решение. Поступим так: добавим к собранным яблокам ещё две оди­
наковые груши, а потом переставим всеми возможными способами 40 яблок
и 2 груши. По формуле для перестановок с повторениями число таких пере­
становок равно
о 42'
Р(40,2) = С 4 2 2 = - ^ = 8 6 1 .
40!2!
Пример 2.2.27. Сколькими способами можно разложить число 7 на
сумму из четырёх слагаемых? Каждое слагаемое меньше 7 и больше 0.
Решение. Представим число 7 как набор из семи единиц, и добавим
три нуля. Тогда любая последовательность, содержащая 7 единиц и 3 нуля,
соответствует разбиению. Например (1111111000 или 1101011011 и т.д.),
тогда число представлений числа 7 в виде суммы из четырех слагаемых
равно:
1.
2.
Р(7,3)= C, 7 0 =i°!-=120.
7!3!
Упражнения
Сколькими способами можно разделить 14 конфет между двумя детьми
(конфеты одинаковые)?
Ответ: 15.
Сколькими способами можно разложить 9 одинаковых книг в 4 банде­
роли?
75
3.
Ответ: 220.
В библиотеке имеется 27 книг «Устав Вооружённых Сил РФ». Одно­
временно в библиотеку вошли трое дежурных по взводу, чтобы взять
Устав. Сколькими способами они могут разделить эти книги?
Ответ: 406.
Проблема абитуриента
Пусть дана некоторая последовательность чисел а0, а ь ... , ап, ... Об­
разуем степенной ряд
а0+ а!Х+ ...+ апхп+...
Если этот ряд сходится в какой то области к функции f(x), то эту функцию
называют производящей для последовательности чисел а0, а ь ... , ап, ....
Например, из формулы
— =1+х+...+хп+...
1-х
вытекает, что функция
является производящей для последовательно-
1-х
стичисел 1,1,1,... , 1 , . . .
Поступающий в высшее учебное заведение должен сдать 4 экзамена.
Он полагает, что для поступления будет достаточно набрать 17 очков.
Сколькими способами он может сдать экзамены, чтобы наверняка посту­
пить в ВУЗ?
Решение: За каждый успешно сданный экзамен поступающий получа­
ет 3, 4 или 5 баллов. Обозначим через F(k,N) число способов, которыми
можно набрать N баллов после к экзаменов. Тогда имеет место соотноше­
ние
F(k, N)=F(k-l, N-3)+F(k-l, N-4)+F(k-l, N-5)
Отсюда получаем, что
F(4, 17)=F(3, 14)+F(3, 13)+F(3, 12)=
F(2, 11)+2F(2, 10)+3F(2, 9)+2F(2, 8)+F(2, 7)=
2+3F(2, 9)+2F(2, 8)+F(2, 7)
поскольку набрать 11 баллов после двух экзаменов невозможно, а набрать
10 баллов можно единственным образом - получив две пятерки.
Продолжая вычисления, получаем, что
F(2,9)=F(1,6)+F(1,5)+F(1,4)
F(2,8)=F(1,5)+F(1,4)+F(1,3)
F(2,7)=F(1,4)+F(1,3)+F(1,2)
F(4, 17)=2+3F(1, 6)+5F(l, 5)+6F(l, 4)+3F(l, 3)+F(l, 2).
Ho F(1,6)=F(1,2)=0, a F(l, 5)=F(1, 4)=F(1, 3)=1.
Поэтому
F(4, 17)=2+5+6+3=16.
F(4, 18)=F(3, 15)+F(3, 14)+F(3, 13)
F(3, 15)=F(2, 12)+F(2, 11)+F(2, 10)
76
F(3, 14)=F(2, 11)+F(2, 10)+F(2, 9)
F(3, 13)=F(2, 10)+F(2, 9)+F(2, 8)
F(4, 18)=F(2, 12)+2F(2, 11)+3F(2, 10)+2F(2, 9)+F(2, 8)
Поскольку набрать 12 и 11 баллов после двух экзаменов невозможно, а на­
брать 10 баллов можно единственным образом - получив две 5. Тогда
F(4, 18)=3+2F(2, 9)+F(2, 8)
2F(2, 9)=2F(1, 6)+2F(l, 5)+2F(l, 4)
F(2,8)=F(1,5)+F(1,4)+F(1,3)
F(4, 18)=3+2F(1, 6)+3F(l, 5)+3F(l, 4)+F(l, 3)
Ho F(l, 6)=0, a F(l, 5)=F(1, 4)=F(1, 3)=1
Поэтому F(4, 18)=3+3+3+l=10
Точно также выводим, что F(4, 19)=4 и F(4, 20)=1
Итого получаем 16+10+4+1=31 способ успешной сдачи экзаменов.
Тот же результат можно получить иначе. Легко проверить, что 17 оч­
ков можно получить лишь 2 существенно различными способами: либо по­
лучить 2 пятерки, 1 четверку и 1 тройку, либо получить 1 пятерку и 3 чет­
верки. Эти отметки могут любым способом могут распределятся по сдавае­
мым предметам. Так как
Р(2, 1, 1)+Р(1, 3 ) = ^ - + — =12+4=16,
2!1!1! 3!1!
то 17 очков можно получить 16 способами.
18 очков можно «заработать» в двух случаях: получив 3 пятерки и 1
тройку, либо получив 2 пятерки и 2 четверки.
Р(3, 1)+Р(2, 2)= — + — =4+6=10,
3!1! 2!2!
Таким образом, 18 очков можно получить 10 способами.
19 очков можно набрать единственным образом: получив три пятерки
и одну четверку. Эти отметки могут любым способом распределяться по
сдаваемым предметам. Так как
4'
Р(3, 1)=—=4,
3!1!
то 19 очков можно получить 4 способами.
20 очков можно получить лишь единственным образом: получив все
«пятерки».
Итого: 16+10+4+1=31 способов.
Эту же задачу можно решить с помощью производящей функции. В
качестве производящей функции надо взять (х3+х4+х5)4. Ведь при раскрытии
скобок в выражении f(x)= (х3+х4+х5)4 каждое слагаемое xN встретится столь­
ко раз, сколькими способами N разбивается на сумму 4 слагаемых, прини­
мающих значение 3, 4, 5. При этом встретятся и члены, получаемые друг из
друга перестановкой слагаемых в показателе (например, х3х4х5х3 и х4х3х3х5).
f(x)=(x3+x4+x5)4=x12(l+x+x2)4.
Заметим, что
77
1+х+х 2 - 1 -* 3
1-х
Поэтому f(x) можно записать в виде
«x)=^^=x12(l-xY(l-x)-4.
(1-х)
По формуле бинома Ньютона имеем.
(1-х3)4=1-4х3+6х6-4х9+х12,
а по формуле ряда Ньютона
(1-ху4=1+4х+10х2+20х3+35х4+56х5+84х6+120х7+165х8+...
+
4-5-...-(и + 3 ) х п +
Поэтому
f(x)= х12(1-4х3+6х6-4х9+х12>
(1+4х+10х2+20х3+35х4+56х5+84х6+120х7+165х8+..)=
Перемножая почленно эти разложения, получим
=х12+4х13+10х14+20х15+35х16+56х17+84х18+120х19+165х20+...
-4х15-16х16-40х17-80х18-140х19-224х20-... +6х18+24х19+60х20+... =
...+16х17+10х18+4х19+х20+...
17
1Я
1Q
90
найдём коэффициенты при х , х , х и х и он равны 16, 10, 4, 1 соответ­
ственно.
По правилу суммы имеем: 16+10+4+1 =31.
78
ЗАДАЧИ ПО КОМБИНАТОРИКЕ
1.
В холодильнике мороженое шести разных наименований. На десерт
можно взять одну, две или даже три порции мороженого сразу. Сколько
возможностей есть у Вас для различных десертов?
2. У женщины в шкафу висит шесть платьев, пять юбок и три блузки.
Сколько разных нарядов она может составить из своей одежды?
3. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из
слова "интеграл"?
4. Из 12 слов мужского рода, 9 женского и 10 среднего надо выбрать по
одному слову каждого рода. Сколькими способами может быть сделан
этот выбор?
5. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами
можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну - на правую
руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?
6. В n-ичной системе счисления используются п цифр. Определить,
сколько в n-ичной системе натуральных чисел, записываемых ровно к
знаками. (Для натуральных чисел не применяют записей, начинающих­
ся с нуля.)
7. Для запирания сейфов и автоматических камер хранения применяют
секретные замки, которые открываются лишь тогда, когда набрано не­
которое «тайное слово». Это слово набирают с помощью одного или
нескольких дисков, на которые нанесены буквы (или цифры). Пусть на
диск нанесены 12 букв, а секретное слово состоит из 5 букв. Сколько
неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим сек­
ретного слова?
8. Перевертыш — это многозначное число, которое не поменяет своего
значения, если все его цифры записать в обратном порядке. Сколько
существует шестизначных перевертышей? А сколько семизначных?
9. Сколько четырехзначных чисел, не превосходящих 6 000, можно соста­
вить, используя только нечетные цифры?
10. При передаче сообщений по телеграфу используется код Морзе. В этом
коде буквы, цифры и знаки препинания обозначаются точками и тире.
При этом для одних букв используется один знак (например, буква Е
кодируется точкой), а для некоторых приходится использовать 5
знаков (буква Э кодируется: • • - • • ) . Показать, что меньшим, чем 5,
числом знаков не обойтись (учесть, что в русском алфавите 32 буквы,
да еще надо передавать цифры и знаки препинания).
11. Сколькими способами можно указать на шахматной доске два квадрата
- белый и черный? А если нет ограничений на цвет выбранных квадра­
тов?
13. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и чер­
ный квадраты, не лежащие на одной и той же вертикали и горизонтали?
79
14. Пароль, открывающий доступ к компьютеру, состоит из шести симво­
лов. Первые два из них — строчные буквы латинского алфавита (всего
26 букв), а оставшиеся четыре могут быть как цифрами, так и строчны­
ми буквами. Сколько можно придумать различных паролей?
15. Из 3 экземпляров учебника алгебры, 7 экземпляров учебника геометрии
и 7 экземпляров учебника тригонометрии надо выбрать по одному экзем­
пляру каждого учебника. Сколькими способами это можно сделать?
16. В букинистическом магазине лежат 6 экземпляров романа
И.С.Тургенева «Рудин», 3 экземпляра его же романа «Дворянское гнез­
до» и 4 экземпляра романа «Отцы и дети». Кроме того, есть 5 томов,
содержащих романы «Рудин» и «Дворянское гнездо», 7 томов, содер­
жащих романы «Дворянское гнездо» и «Отцы и дети», и 3 тома, в кото­
рые входят «Рудин» и «Отцы и дети». Сколькими способами можно
сделать покупку, содержащую по одному экземпляру каждого из этих
романов?
17. В корзине лежат 12 яблок и 10 апельсинов. Ваня выбирает из нее ябло­
ко или апельсин, после чего Надя берет и яблоко, и апельсин. В каком
случае Надя имеет большую свободу выбора: если Ваня взял яблоко
или если он взял апельсин?
18. Пусть S - множество четырехзначных чисел, в чьей десятичной записи
участвуют цифры: 0, 1, 2, 3, и 6, причем 0 на первом месте, естествен­
но, стоять не может.
a) Какова мощность множества S?
b) Сколько чисел из S в своей десятичной записи не имеют повто­
ряющихся цифр?
c) Как много четных среди чисел пункта (б)?
d) Сколько чисел из пункта (б) окажутся больше, чем 4 000?
19. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг,
если имеется материал 5 различных цветов? Та же задача, если одна из
полос должна быть красной?
20. Вычислите следующие величины:
a)
Al Al Ал6 и 4 Г 1 ;
b)
Qo, сэ, Q и сп~.
Убедитесь, что С* = Cnn~k.
21. Комитет из 20 членов избирает председателя и секретаря. Сколькими
способами это можно сделать?
22. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно
выполнять переводы с любого из пяти языков: русского, английского,
французского, немецкого, итальянского, на любой другой из этих пяти
языков?
23. Труппа театра состоит из п актеров. Известно, что четырёх претенден­
тов на ведущие роли в пьесе можно выбрать числом способов, в 56 раз
80
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
большим, чем выбрать из этой же труппы двух претендентов на глав­
ные роли. Сколько артистов в труппе?
Решить уравнение (х- натуральное число):
А5 + Лъ
Л1 - Л5
А4 • Р
Лп+Х • Р
х
х
х
х 4
x+1
x n
а) * 3 * = 4 3
Ь)
= 89
с)
~ = 42
d)
~ = 90
5
Ах
Ах
Рх_2
Рх_х
Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт (содер­
жащей 52 карты) по одной карте каждой масти так, чтобы карты крас­
ных мастей и карты черных мастей не образовывали пары?
В местком избрано 9 человек. Из них нужно выбрать председателя, за­
местителя председателя, секретаря и культорга. Сколькими способами
это можно сделать?
У м а м ы 2 яблока и 3 груши. К а ж д ы й день в течение пяти дней подряд
она выдаёт по одному фрукту. Сколькими способами это может быть
сделано?
Аналогичная задача, если яблок т , а груш п.
Аналогичная задача, когда имеется 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина.
В один из комитетов парламента нужно отобрать трех членов, причем
выбирать надо из пяти консерваторов, трех лейбористов и четырех ли­
берал-демократов .
a) Сколько разных комитетов можно составить?
b) Сколько разных комитетов можно составить, если в него должен
входить по крайней мере один либерал-демократ?
c) Сколько разных комитетов можно составить, если лейбористы и
консерваторы не могут быть его членами одновременно?
d) Сколько разных комитетов можно составить, если в него должен
войти по крайней мере один консерватор и хотя бы один лейборист?
Несколько человек садятся за круглый стол. Будем считать, что два
способа рассадки совпадают, если каждый человек имеет одних и тех
же соседей в обоих случаях. Сколькими различными способами можно
посадить четырех человек? А семь человек? В о скольких случаях два
данных человека из семи оказываются соседями? Во скольких случаях
данный человек (из семи) имеет двух данных соседей?
Сколькими способами можно заполнить карточку «Спортлото» (за­
черкнуть 6 номеров из 49)?
Ж ю р и из 5 женщин и 7 м у ж ч и н должно быть выбрано из списка в 8
женщин и 11 мужчин. Сколько можно выбрать различных жюри?
Предстоит выбрать команду четырех игроков в гольф из пяти профес­
сиональных игроков и пяти любителей. Сколько разных команд может
состоять из трех профессионалов и одного любителя? Сколько команд
состоит только из профессионалов или только из любителей?
Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими способами
они могут разбиться на две команды по 4 человека в каждой команде,
если в каждой команде должно быть хотя бы по одному юноше?
81
36. У одного человека есть 7 книг по математике, а у другого - 9 книг.
Сколькими способами они могут обменять одну книгу одного на книгу
другого?
37. Сколькими способами можно посадить на карусель 5 мужчин и 5 жен­
щин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом? (спосо­
бы, переходящие друг в друга при вращении карусели, считаются сов­
падающими)
38. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях
среди этих карт окажется хотя бы один туз? Во скольких случаях ровно
один туз? Во скольких случаях не менее двух тузов? Ровно два туза?
39. На железнодорожной станции имеется m светофоров. Сколько может
быть дано различных сигналов, если каждый светофор имеет три со­
стояния: красный, желтый и зеленый?
40. Автомобильные номера состоят из одной, двух или трех букв и четырех
цифр. Найти число таких номеров, если используется 32 буквы русско­
го алфавита.
41. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове
«парабола»? В слове «информатика»?
42. Из спортивного клуба, насчитывающего 30 членов, надо составить ко­
манду из 4 человек для участия в беге на 1000 м. Сколькими способами
это можно сделать? А сколькими способами можно составить команду
из 4 человек для участия в эстафете 100+200+400+800 ?
43. Имеется п абонентов телефонной сети. Сколькими способами можно
соединить одновременно три пары?
44. Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, надо выбрать 6 чело­
век так, чтобы среди них было не менее 2 женщин. Сколькими спосо­
бами это можно сделать?
45. Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно со­
ставить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если каждая цифра может встречаться в за­
писи числа несколько раз?
46. В небольшой фирме восемь человек работают на производстве, пятеро
- в отделе сбыта, и трое - в бухгалтерии. Для обсуждения новой про­
дукции было решено пригласить на совещание шестерых работающих.
Сколькими способами это можно сделать, если:
a) необходимо пригласить по два представителя от каждого отде­
ла;
b) необходимо пригласить по крайней мере двоих представителей
производства;
c) необходимы представители каждого из трех отделов?
47. Поезду, в котором находятся п пассажиров, предстоит сделать m оста­
новок. Сколькими способами могут распределиться пассажиры между
этими остановками?
48. В соревнованиях по гимнастике участвуют 10 человек. Трое судей
82
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
должны независимо друг от друга перенумеровать их в порядке, отра­
жающем их успехи в соревновании. Победителем считается тот, кого
назовут первым хотя бы двое судей. В какой доле случаев соревнова­
ния победитель будет определен?
Сколько ожерелий можно составить из 7 бусинок разных размеров (на­
до использовать все 7 бусинок)?
Сколько ожерелий можно составить из 5 одинаковых бусинок и 2
большего размера?
Компания из 7 юношей и 10 девушек танцует. Если в каком-то танце уча­
ствую все юноши, то сколько имеется вариантов участия девушек в этом
танце? Сколько имеется вариантов, если относительно двух девушек мож­
но с уверенностью сказать, сто они будут приглашены на танец?
Сколько можно сделать перестановок из п элементов, в которых дан­
ные 2 элемента а и b не стоят рядом? Данные три элемента а, Ь, с не
стоят рядом (в любом порядке)? Никакие два из элементов а, Ь, с не
стоят рядом?
Рота состоит из 3 офицеров, 6 сержантов и 60 рядовых. Сколькими
способами можно выделить из них отряд, состоящий из одного офице­
ра, двух сержантов и 20 рядовых? Та же задача, если в отряд должен
войти командир роты и старший из сержантов.
На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Скольки­
ми способами можно выбрать из них 4 пары для танца?
Сколькими способами можно выбрать 15 человек группы людей для
работы? В группу могут входить 1, 2, 3, ...,15 человек. Та же задача
для случая выбора из п человек.
Пусть р ь ...,рп - различные простые числа. Сколько делителей имеет
число q-rf 1 ..-iC 1 , где al,...,atl - некоторые натуральные числа (вклю­
чая делители 1 и q ). Чему равна их сумма?
Сколькими способами 12 полтинников можно разложить по пяти раз­
личным пакетам, если ни один из пакетов не должен быть пустым?
Сколькими способами можно расставить 20 книг в книжном шкафу с 5
полками, если каждая полка может вместить все 20 книг?
Сколькими способами можно надеть 5 различных колец на пальцы од­
ной руки, исключая большой палец?
Проверьте, что если a, b и с — три последовательных числа в восьмой
строке треугольника Паскаля, то одно из чисел десятой строки можно
получить как сумму: а + 2Ь + с.
Воспользуйтесь формулой Паскаля для доказательства равенства:
Ск
п
2Ck+l
ck+2
п
п
=
ск+2
п+1
при 0 < к < п - 2
(Эта формула обобщает факт, сформулированный в задаче 60 на весь
треугольник Паскаля.)
62. Положив в биноме Ньютона а = b = 1, покажите, что для любого п=0,1,
83
2,... справедлива формула:
i
c:+c n+...+c:=r
63. Выведите отсюда, что в множестве S из п элементов содержится ровно
2 различных подмножеств. (Указание: определите сначала, сколько
подмножеств мощности к содержится в S.)
64. Переплётчик должен переплести 12 различных книг в красный, зелё­
ный и коричневый переплёты. Сколькими способами он может это сде­
лать, если в каждый цвет должна быть переплетена хотя бы одна книга?
65. Сколькими способами можно составить 6 слов из 32 букв, если в сово­
купности этих 6 слов каждая буква используется один и только один
раз?
66. Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если данные
двое из этих 17 не могут быть выбраны вместе?
67. Сколько различных браслетов можно сделать из шести одинаковых
изумрудов, трех одинаковых рубинов и трех одинаковых сапфиров (в
браслет входят все 12 камней)?
68. Сколькими способами можно из тех же камней выбрать три камня для
кольца?
69. Сколько разных «слов» можно получить из слова
«АБРАКАДАБРА»?
a) сколько из них начинаются с буквы «К»?
b) в скольких из них обе буквы «Б» стоят рядом?
70. Найдите коэффициент при а3Ь5 после раскрытия скобок в выражении (а
+ Ь)8.
71. Найдите
коэффициент при xy3z4 после раскрытия скобок в выражении
Найд]
(х + у + zf.
72. Найдите коэффициент
при ху z после раскрытия
скобок
5
в выражении (x+2y+z-l) .
73. В комнате студенческого общежития живут трое студентов. У них есть
4 чашки, 5 блюдец и 6 чайных ложек (все чашки, блюдца и ложки от­
личаются друг от друга). Сколькими способами они могут накрыть стол
для чаепития (каждый получает одну чашку, одно блюдце и одну ложку)?
74. У мужа 12 знакомых-5 женщин и 7 мужчин, а у жены-7 женщин и 5
мужчин. Сколькими способами можно составить компанию из 6 муж­
чин и 6 женщин так, чтобы 6 человек пригласил муж и 6-жена?
75. На каждом борту лодки сидят по 4 человека. Сколькими способами
можно выбрать команду для этой лодки, если есть 31 кандидат, причём
10 человек хотят сидеть на левом борту лодки, 12-на правом, а для 9
безразлично, где сидеть?
76. Команда шахматистов состоит из 7 спортсменов. Перед игрой нужно
выбрать шахматиста, выступающего на первой доске, и шахматиста,
играющего на второй доске. Остальные 5 шахматистов произвольным
•у
84
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
образом на 3 - 7 досках. Сколько имеется различных вариантов высту­
пления команды на 7 досках?
Пароль, открывающий доступ к компьютеру, состоит из шести симво­
лов. Первые два из них — строчные буквы латинского алфавита (всего
26 букв), а оставшиеся четыре могут быть как цифрами, так и строчны­
ми буквами. Сколько можно придумать различных паролей?
В урне лежат жетоны с числами 1,2,3,...,10. Из неё вынимают 3 жетона.
Во скольких случаях сумма написанных на них чисел равна 9? Не
меньше 9?
Сколькими способами можно выбрать из полной колоды, содержащей
52 карты, 6 карт так, чтобы среди них были все четыре масти?
Хор состоит из 10 участников. Сколькими способами можно в течении
трёх дней выбирать по 6 участников, так, чтобы каждый день были раз­
личные составы хора?
Человек имеет 6 друзей и а течении 20 дней приглашает к себе 3 из них
так, что компания ни разу не повторяется. Сколькими способами может
он это сделать?
Ресторан в своем меню предлагает пять различных главных блюд. Каж­
дый из компании в шесть человек заказывает свое главное блюдо.
Сколько разных заказов может получить официант?
Цветочница продает розы четырех разных сортов. Сколько разных бу­
кетов можно составить из дюжины роз?
Вы покупаете пять рождественских открыток в магазине, который мо­
жет предложить четыре разных типа приглянувшихся Вам открыток.
a) Как много наборов из пяти открыток Вы можете купить?
b) Сколько наборов можно составить, если ограничиться только
двумя типами открыток из четырех, но купить все равно пять
открыток?
Трое юношей и две девушки выбирают место работы. В городе есть три
завода, где требуются рабочие в литейные цехи (туда берут лишь муж­
чин), две ткацкие фабрики (туда приглашают женщин) и две фабрики,
где требуются и мужчины и женщины. Сколькими способами могут
они распределиться между этими предприятиями?
Сколько слов, содержащих по пяти букв каждое, можно составить из 33
букв, если допускаются повторения, но никакие две соседние буквы не
должны совпадать, то есть такие слова, как «пресс» или «ссора», не
допускаются?
Берутся домино от (0,0) до (п , п). Показать, что число домино с суммой
очков п - г равно числу домино с суммой очков п + г и это число равно
1/4(2п - 2г +3). Найти общее число всех домино.
Сколькими способами можно посадить за круглый стол 7 мужчин и 7
женщин так, чтобы никакие две женщины не сидели рядом?
В лабораторной клетке находятся 8 белых и 6 коричневых кроликов.
85
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
Найдите число способов выбора пяти кроликов из клетки, если:
a) они могут быть любого цвета;
b) 3 из них должны быть белыми, а 2 коричневыми;
c) все 5 кроликов должны быть белыми;
d) все 5 кроликов должны быть одного цвета.
Сколькими способами можно выбрать из 16 лошадей шестёрку для за­
пряжки так, чтобы вошли три лошади из шестёрки АВСА В С , но ни
одна из пар АА, ВВ, СС?
Сколькими способами можно составить из 9 согласных и 7 гласных
слова, которые входят 4 различных согласных и 3 различных гласных?
Во скольких из этих слов никакие 2 согласные не стоят рядом?
Компания, состоящая из 10 супружеских пар, разбивается на 5 групп по
4 человека для лодочной прогулки. Сколькими способами можно раз­
бить их так, чтобы в каждой лодке оказались двое мужчин и двое жен­
щин?
Во скольких случаях данный мужчина окажется в одной лодке со своей
женой?
Во скольких случаях данные двое мужчин окажутся в одной лодке со
своими женами?
Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, если каждая из них может повторяться несколько раз?
Найти количество шестизначных чисел таких, что сумма трёхзначного
числа, образованного первыми тремя цифрами, и трёхзначного числа,
образованного последними тремя цифрами, меньше 1000.
Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 чёрных шашек
на чёрных полях шахматной доски?
Сколькими способами можно переставить буквы слова «Юпитер» так,
чтобы гласные шли в алфавитном порядке?
86
ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Новиков Ф. А. Дискретная математика для программистов. - СПб.:
Питер, 2000.
Хаггарти Р. Дискретная математика для программистов. - М.: ТЕХ­
НОСФЕРА, 2005.
Ерусалимский Я.М. Дискретная математика. - М.: Вузовская книга,
2000.
Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математи­
ческой логике и теории алгоритмов. - М.: Наука, 1995.
ВиленкинН.Я. Комбинаторика. -М.: Наука, 1969.
Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной матема­
тике. - М . : Наука, 1977.
Верещагин Н.К., Шень А. Лекции по математической логике и теории
множеств. Часть 1. Начала теории множеств. - М.: МЦНМО, 2002.
Басангова
Елена
Одляевна
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ
И КОМБИНАТОРИКУ
Учебное
пособие
Подписано в печать 20.12.07. Формат 60x84/16.
Печать офсетная. Бумага тип. №1. Усл. п.л. 5,1
Тираж 120 экз. Заказ 728.
Издательство Калмыцкого университета.
358000 Элиста, ул. Пушкина, 11
Выписка
из решения 19-го Пленума Учебно-методического совета по математике и механике
УМО по классическому университетскому образованию РФ
(г. Омск, Омский государственный университет, 21-24 сентября 2004 г.).
Присвоить гриф УМС по математике и механике УМО по классическому
университетскому образованию РФ учебному пособию
Басангова Е.О. « Введение в теорию множеств и комбинаторику» , Калмыцкий
государственный университет.
Председатель УМС
Академик РАН
сЛ
О.Б. Лупанов
