Оглавление Введение…………………………………………………………………………….2 Глава 1. Метод укрупнения дидактических единиц в системе методов обучения математике…………………………………………………………………………..4 1.1. Методы обучения в педагогике и методике обучения математике………...4 1.2. Психолого-дидактические основы применения метода УДЕ при изучении теоретического материала…………………………………………………………5 1.3. Психолого-дидактические основы применения метода УДЕ в работе с задачами…………………………………………………………………………….7 Глава 2. Методические рекомендации по изучению темы «Прогрессии» методом УДЕ ………………………………………………………………………10 2.1. Логикодидактический анализ темы «Прогрессии»………………………..10 2.2. Проекты системы уроков по теме…………………………………………..37 Литература………………………………………………………………………..80 1 Введение На современном этапе развития общества главной целью образования является формирование разносторонне развитой, творческой личности, способной реализовать творческий потенциал, как в собственных жизненных интересах, так и в интересах общества. В связи с этим наиболее остро стоит вопрос о том, что обучение должно быть направлено не только на овладение учащимися необходимыми знаниями, умениями, навыками, но и на формирование умения получать новые знания, на развитие личности учащегося. Учитывая специфику предмета, цель математического образования состоит в целостном развитии личности средствами математики, а для этого ученик должен выступать субъектом процесса познания, быть активным его соучастником, что и служит источником его развития. Перед учителем стоит очень сложная задача организации процесса творческой учебно-познавательной деятельности школьников. Успех учебной деятельности зависит как от правильного определения его целей и содержания, так и от способов достижения целей, то есть от методов обучения. Так доктор педагогических наук профессор П.М.Эрдниев считает, что многие недочеты в обучении математике являются следствием несовершенства методов преподавания. Наиболее распространенные методы и приемы обучения далеко не соответствуют познавательным способностям учеников; их возможности в действительности выше. В результате решения данной проблемы, П.М.Эрдниевым был разработан новый метод обучения - метод укрупнения дидактических единиц. Вопрос о внедрении метода УДЕ в школьную практику очень актуален, так как применение этого метода имеет ряд существенных достоинств. Назовем некоторые из них. 2 1. Метод УДЕ способствует более успешному включению школьников в поисковую и познавательную деятельность, что создает условия для усвоения ими необходимого гуманитарно-ориентированного содержания. 2. Ведет к сокращению времени освоения материала, что позволяет решить проблему, связанную с сокращением количества часов, отводимых на изучение дисциплин естественно-математического цикла. 3. Информация, полученная с помощью данного метода, быстро запоминается, системна, долговременна и устойчива к сохранению во времени. 3 Глава 1. Метод укрупнения дидактических единиц в системе методов обучения математике 1.1. Методы обучения в педагогике и методике обучения математике Одно из центральных мест в методике преподавания математики занимают методы обучения. Знание методов обучения математике необходимо для организации «эффективного обучения школьников». Качество знаний, приобретенных учениками, зависит не только и не столько от изученного ими материала. Ведущим системообразующим фактором в обучении выступает, прежде всего, комплекс методов, применяемых педагогом. Исследователи справедливо подчеркивают превосходство методов над предметом изучения, считая, что для развития мышления важно не столько то, чему учат, сколько то, как учат. По мнению известного методиста из Калмыкии П.М.Эрдниева в математике слишком многие элементы изучают порознь, вместо того чтобы в соответствии с логикой их связей изучать совместно, дабы образовывать систему знаний, которая была бы устойчива по отношению к разрушающему воздействию времени [7,с.32]. П.М.Эрдниев решает проблему образования устойчивой системы знаний у учащихся с помощью метода укрупнения дидактических единиц, основоположником которого он является. Рассмотрим данное П.М.Эрдниевым определение и основные дидактические и методические положения теории укрупнения дидактических единиц. В процессе обучения учитель выдает определенную информацию ученику. Эта информация состоит из отдельных порций - дидактических единиц. Укрупненная дидактическая единица — это клеточка учебного процесса, состоящая из логически различных элементов, обладающих в то же время 4 информационной общностью. Укрупненная дидактическая единица обладает качествами системности и целостности, устойчивостью к сохранению во времени и быстрым проявлением в памяти. При укрупнении дидактических единиц используются скрытые резервы мышления, существенно повышающие результативность процесса обучения в целом. 1.2. Психолого-дидактические основы применения метода УДЕ при изучении теоретического материала. Существуют различные источники укрупнения теоретического материала: 1. Взаимообратные связи. 2. Установление родственных связей. 3. Изучение аналогичных понятий. Рассмотрим данный вопрос более детально. Взаимно обратные связи. П.М.Эрдниев отмечает, что целесообразно изучать одновременно взаимно обратные действия и операции, как-то: сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня, заключение в скобки и раскрытие скобок, логарифмирование и потенцирование и т. п. При раздельном изучении взаимно обратных операций ученики длительное время решают однородные задачи на основе одного правила, и зачастую создается обманчивая видимость успешного усвоения материала. В дальнейшем ученики при решении любой задачи вынуждены выбирать один из двух возможных вариантов рассуждения, но, т.к. они не встречались с необходимостью выбора операции, то и соответствующее умение у них не вырабатывалось. Поэтому и возникают массовые ошибки подмены одного действия другим. Иное дело при одновременном изучении этих вопросов: здесь с самого начала ученик рассматривает различие и сходство задач разного вида, 5 овладевает надежными приемами их дифференцирования, выбора действий. Термин «одновременное изучение» подчеркивает ту мысль, что между рассмотрением взаимосвязанных заданий должно пройти не более чем несколько минут, а не сутки; причем этот промежуток времени нельзя заполнять какой-либо другой работой мысли, не связанной с исходным заданием. Только в этих условиях проявляется эффект оперативной памяти: информация, связанная с прямой операцией, лишь непродолжительное время (15-20 мин) находится в активной фазе, в оперативной памяти, благоприятной для ее «вторичного включения» в состав производных операций. Разумеется, данный подход, вовсе не исключает того, что в отдельных случаях при введении новых трудных понятий может быть целесообразным несколько уроков посвятить ознакомлению с содержанием только этого понятия. Изучение аналогичных понятий. Умозаключения по аналогии являются непременной составной частью творческого мышления, так как этим путем мысль человека выходит за пределы известного, пролагая путь к неизвестному. Аналогия - сходство объектов в некоторых свойствах или отношениях. Объекты, обладающие сходством, называются аналогичными. [6,с.60 ] Это один из наиболее широко распространенных эвристических методов математической деятельности. Аналогия позволяет раскрывать содержание понятий, формулировать определения, выдвигать гипотезы, отыскивать методы доказательства теорем и решения задач. Аналогия позволяет учащимся прогнозировать деятельность, сравнивать изучаемые объекты с ранее изученными, «открывать» новые факты, закономерности. Аналогия помогает сопоставлять и противопоставлять понятия, которые лучше усваиваются, тогда, когда они вводятся не вне всякой связи с предыдущими, а в сравнении с ними, в установлении сходных или 6 отличительных признаков предыдущего и последующего. Целесообразность такого изучения связана с тем, что обнаружение общих черт в объектах или явлениях позволяет высказывать гипотезы, а реализация сопоставлений и противопоставлений способствует осознанию и лучшему запоминанию свойств и признаков изучаемых объектов. Установление родственных связей. В своей работе П.М.Эрдниев отмечает, что если освоение знаний осуществляется укрупненными порциями, то создаются лучшие условия для возникновения и системного качества знаний, т.к. элементы знаний образуют укрупненную единицу усвоения лишь благодаря многообразным связям между этими элементами. Одним из способов создания таких внутритемных и межтемных связей является установление родственных связей между логически разнородными понятиями при изучении их методом УДЕ. В данном случае особенно важным представляется выбор стержневого понятия, темы, или в терминах теории систем, системнообразующего фактора, потенциально содержащего информацию обо всей системе. Примером использования метода УДЕ в данном случае может являться изучение линейного уравнения, линейного неравенства, линейной функции в единой укрупненной теме «Линейные функции, уравнения и неравенства». Логическим стержнем в данном случае является построение графика линейной функции. 1.3. Психолого-дидактические основы применения метода УДЕ в работе с задачами В книге под редакцией Т.А.Ивановой «Теория и технология обучения математике в средней школе» под задачей понимается задание, которое должен выполнить субъект, или вопрос, на который он должен найти ответ, опираясь на указанные условия и все, вытекающие из них следствия.[6,с. 164] Таким образом, в любой задаче есть условие, то есть исходные данные, заключение, то есть требование, которое нужно выполнить, и субъект, 7 который это требование выполняет. Роль задач в математике огромна. Так авторы, в выше указанном методическом пособии, отмечают, что задача является целью и средством обучения математики. С точки зрения П.М.Эрдниева в работах над математической задачей отчетливо выделяются четыре последовательных и взаимосвязанных этапа: а) составление математического упражнения; б) выполнение упражнения; в) проверка ответа (контроль); г) переход к родственному, но более сложному упражнению. [7,с.13] П.М.Эрдниев обращает внимание на то, что в существующей практике обучения ограничиваются большей частью вторым из указанных этапов. Для развития личности необходимо формировать умение учащегося самому сформулировать вопрос и, применяя математические знания, найти ответ на него. Одним из способов пропедевтики такого качества ума является составление задач учеником на уроках. Работу над задачей не целесообразно завершать получением ответа к ней; необходимо приемом обращения составлять и решать в сравнении с исходной (прямой) задачей новую, обратную задачу, извлекая тем самым дополнительную информацию, заключающуюся в новых связях между величинами исходной задачи. Для этого в условие исходной задачи вводится ее ответ, а некоторые числа из условия переводятся в разряд искомых. В процессе преобразования прямой задачи в обратную учащийся выявляет и использует взаимно обратные связи между величинами задачи. Совокупность пары прямой и обратной задачи - это единое, качественно новое упражнение, одна из частей которого целиком выступает продуктом творчества учащихся, будучи структурным продолжением другой [7,с.38]. Опыт обучения П.М.Эрдниева на основе укрупнения единиц усвоения показал, что основной формой упражнения должно стать многокомпонентное 8 задание, образующиеся из нескольких логически разнородных, но психологически состыкованных в некоторую целостность частей: а) решение обычной «готовой» задачи; б) составление обратной задачи и ее решение; в) составление аналогичной задачи по данной формуле или уравнению и решение ее; г) составление задачи по некоторым элементам, общим с исходной задачей; д) решение или составление задачи, обобщенной по тем или иным параметрам исходной задачей. Главное в работе над укрупненными задачами - чтобы все составные части по возможности были выполнены в указанной последовательности на одном занятии (при нехватке времени - хотя бы устно или обсуждены кратко с завершением в домашней работе). [7,с. 14] Акцент на необходимость пространственного и временного совмещения элементов укрупненного знания имеет психологическую причину. Согласно научным данным всякая информация, воспринятая человеком, циркулирует в так называемой оперативной памяти в течение 15-20 мин., после чего «уходит» на хранение в долговременную память. Фаза оперативной памяти наиболее оптимальна для всевозможных перекодировок информации, для преобразования знаний. [7,с. 15] Из изложенного в первой главе материала можно сделать следующие выводы: не смотря на то, что использование метода УДЕ требует от учителя творческого подхода к переструктурированию последовательности изучения теоретического материала, детальной проработки записей на доске и в тетрадях, доработки задачного материала, целесообразность его использования в обучении очевидна, т. к. помимо значительной экономии учебного времени информация, полученная с помощью данного метода, быстро запоминается, системна, долговременна и устойчива к сохранению во времени. 9 Глава 2. Методические рекомендации по изучению темы «Прогрессии» методом УДЕ 2.1. Логико-дидактический анализ темы «Прогрессии» Проведем логико-дидактический анализ темы «Арифметическая и геометрическая прогрессия» по учебнику «Алгебра 9» авторского коллектива Алимов Ш.А., Колягин Ю.Н. и др. В теме «Прогрессии» (глава 5) выделены следующие четыре крупных блока: 1. Числовая последовательность 2. Арифметическая прогрессия 3. Геометрическая прогрессия 4. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Проведем анализ теоретического материала каждого из них. В параграфе «Числовая последовательность» авторами рассматриваются следующие дидактические единицы: понятие числовой последовательности (конечной и бесконечной) и способы ее задания, определение n-го члена последовательности и его номера. Понятие, последовательность вводится через практический пример, на интуитивном уровне, строгого определения не дается. Целесообразно ввести определение последовательности, как частного случая функции (числовая последовательность есть функция натурального аргумента), т.к. введение корректного определения будет способствовать созданию внутрипредметных связей. Далее рассматриваются способы задания последовательности: словесный, описанием, аналитический и рекуррентный. Особое внимание авторы уделяют двум последним, т.к. именно эти способы задания используются для введения определения геометрической и арифметической прогрессии и доказательств теорем в данной теме. Отсюда следует необходимость более подробной и детальной проработки их с учащимися. 10 Выделение учителем сходств, отличий, положительных и отрицательных моментов применения различных способов задания последовательностей. Второй блок в теме «Прогрессии» - «Арифметическая прогрессия». Он включает в себя рассмотрение следующих дидактических единиц: определение арифметической прогрессии, характеристическое свойство арифметической прогрессии, формула n-го члена арифметической прогрессии, теорема о сумме n-первых членов арифметической прогрессии. Определение арифметической прогрессии: «Числовая последовательность а1, а2, а3, ..., ап ,... называется арифметической прогрессией, если для вех натуральных n выполняется равенство ап+1 = ап + d, где d - некоторое число». Оно дано через род и видовые отличия. Родовое понятие - «числовая последовательность». Видовое отличие задается индуктивно, с помощью рекуррентного способа задания последовательности, следовательно, необходима актуализация данной формы задания. Возможна следующая словесная формулировка: Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа. Итак, можно сделать выводы о том, что учителю нужно обратить внимание на отработку следующих особенностей определения: 1. Какое понятие является родовым (числовая последовательность); 2. Каковы видовые отличия: • выполнение рекуррентной формулы со второго члена; • необходимо задание первого члена и разности арифметической прогрессии - d, • постоянство числа d; • отсутствие ограничений на d (необходимо наличие заданий, где оно 11 равно нулю, отрицательное, положительное, иррациональное); • выполнение формулы «для всех натуральных n»,а именно o «всех»; Особое o «натуральных n»; внимание следует уделить d- разности арифметической прогрессии и способу ее вычисления. Для мотивации изучения данного понятия можно предложить учащимся задачу на практическое применение арифметической прогрессии. Приведем примеры таких задач. 1. В физике - свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Какое расстояние пройдет тело за первую, вторую, третью,... секунду полета? 2. В третьем тысячелетии високосными годами будут годы 2004, 2008,2012,... 3. На складе имеется 500 т угля, каждый день подвозят по 30 т. Сколько угля будет на складе через день, 2 дня, 3 дня,...? 4. В литературе. Вспомним строки из романа А.С.Пушкина «Евгений Онегин», сказанные о его герое: «...Не мог он ямба от хорея, как мы ни бились, отличить». Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха. Ямб - стихотворный метр с ударениями на четных слогах стиха: «Мой дядя самых честных правил...» (2, 4, 6, 8,...). Хорей - стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха: «Буря мглою небо кроет...» (1, 3, 5, 7,...)[5 стр.250]. Из определения арифметической прогрессии следует ее свойство. «Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов». Этим объясняется название «арифметическая» прогрессия. В логической структуре теоремы присутствует два условия (сложное условие): 12 1) последовательность - арифметическая прогрессия; 2) n>1. Связь между условиями конъюнктивная. Заключение: ап = ( ап-1 + ап+1 )/2. Способ доказательства синтетический, прием алгебраический (основан на использовании определения арифметической прогрессии). Имеются возможности для формирования навыков формулировки и доказательства обратного предложения: Если числовая последовательность такова, что каждый член последовательности, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов, то данная последовательность - арифметическая прогрессия. Доказательство: ап = ( ап-1 + ап+1 )/2=> 2ап = ап-1 + ап+1 ап - ап-1 = ап+1 - ап = d => ап = ап-1 + d, ап+1 = ап +d.=> а1, а2, а3, ..., ап ,... - арифметическая прогрессия по определению. Т.к. доказаны свойство и признак арифметической прогрессии, то можно сформулировать критерий: Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов. Наличие критерия позволяет сформулировать равносильное определение - числовая последовательность называется арифметической прогрессией, если каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Необходимо отметить, что доказательство обратной теоремы и формулировка критерия и равносильного определения целесообразна в более сильном классе, в противном случае можно ограничиться моделированием обратной теоремы. Следующая дидактическая единица - формула n-го члена 13 арифметической прогрессии: ап = а1 + (n-1)d В учебнике формула приведена без доказательства. Гипотеза о существовании данной формулы вводится на основе неполной индукции. Целесообразно объяснить ученикам, что умозаключение, сделанное на основе этого метода, является лишь вероятным и требует доказательства выдвинутой гипотезы. Ученикам можно предложить следующий способ доказательства: а1 = а1 а2 = а1 + d а3 = а2 + d n-равенств, сложим почленно ... ап-1 =ап-2 + d ап =ап-1 + d ап = а1 + (n-1)d Продолжая функциональную линию темы, можно отметить, что арифметическую прогрессию можно задать с помощью линейной функции у = d(х - 1) + а1, где а1 - первый член арифметической прогрессии (х € N ). В качестве мотивации введения формулы n-го члена учитель может попросить учеников найти, например, 255 член арифметической прогрессии, если а1 = 2, d = 3. Зная только определение прогрессии, это сделать не совсем удобно, так как придется находить предыдущие 254 члена последовательности. Возникает потребность вывести формулу n-го члена. Теорема о сумме n первых членов арифметической прогрессии: Sп =( a1 + an )/2*n. Метод доказательства в логическом плане - синтетический, в содержательном - выражение одной и той же суммы двумя способами. Перейдем к рассмотрению третьего блока темы - «Геометрическая прогрессия». Он включает в себя рассмотрение следующих дидактических единиц: определение геометрической прогрессии, 14 характеристическое свойство геометрической прогрессии, формула n-го члена геометрической прогрессии, теорема о сумме n-первых членов геометрической прогрессии. Определение геометрической прогрессии: «Числовая последовательность b1, b2, b3, …, bn, ... называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство bn+1 = bп*q, где bп ≠ 0, q - некоторое число, не равное нулю». Дано через род и видовые отличия. Родовое понятие - «числовая последовательность» соответствует родовому понятию в определении арифметической прогрессии. Видовое отличие, также как в определении арифметической прогрессии, задается индуктивно с помощью рекуррентной формулы общего члена bn+1 = bп*q. Структура определений похожа Өn+1 = Өn + (*) число, но в случае с геометрической прогрессией сложение заменяется на умножение и есть ограничения на n-ый член последовательности и q (bп ≠ 0, q ≠ 0 ). Это требует дополнительного внимания и отработки на практике. Из выше сказанного можно сделать вывод, что отработка понятия геометрической прогрессии включает в себя те же особенности, что при введении определения арифметической прогрессии (перечислены ранее) и дополняется следующими: 1) bп ≠ 0, 2) q ≠ 0. В качестве мотивации для изучения данного понятия можно рассмотреть следующие задачи: 1. В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Записать колонию, рожденную одной бактерией за одну, две, три,... минуты. 2. Вкладчик внес в сберегательный банк 3000 р. Банк начисляет ежегодно 5 % от суммы вклада. Какой станет сумма вклада через один, два, три,... года. Рассмотрим свойство геометрической прогрессии: 15 «Если все члены прогрессии положительные, то bп =√bп-1bп+1 , то есть каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов». Этим объясняется название «геометрическая» прогрессия». Структура формулировки теоремы аналогична структуре свойства арифметической прогрессии, а именно - имеет два условия. Первое условие также, накладывает ограничение на вид последовательности - «геометрическая прогрессия», второе условие на число n - n>1, но появляется ограничение - все члены прогрессии положительны. Связь между условиями, как и в случае с арифметической прогрессией - конъюнктивная. Заключение выражено в виде формулы bп = √bп-1bп+1. Так же, как в характеристическом свойстве арифметической прогрессии, в формуле присутствует n, n-1, n+1 члены. Метод доказательства, как и в случае арифметической прогрессии, в логическом плане - синтетический, в содержательном - алгебраический, основанный на использовании определения геометрической прогрессии. Следует отметить сходство структуры доказательства: Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия ап+1 = ап + d bn+1 = bп*q, ап-1 = ап - d, bn-1 = bп/q, ап = ( ап-1 + ап+1 )/2 b2п = bп-1bп+1. Действия в доказательстве По определению прогрессии выражаем (n+1)-член последовательности. Используя определение прогрессии, записываем формулу для n-го члена и выражаем (n-1) член Складываем (умножаем) полученные равенства Заметим, что полученная при доказательстве свойства формула b2п=bп1bп+1. верна для любых геометрических прогрессий, и лишь при переходе к выражению bп = √bп-1bп+1 появляется ограничение на положительный знак элементов прогрессии. Причем переход от b2п = bп-1bп+1.к формуле |bп| = √bп-1bп+1 16 также корректен. В результате чего данное свойство можно обобщить для любых геометрических прогрессий: Квадрат члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов. Либо: модуль каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Сформулированные свойства эквивалентны, поэтому для рассмотрения с учащимися учитель может выбрать оно из двух по своему усмотрению. К данным теоремам можно сформулировать обратные и доказать их истинность: Если числовая последовательность bп такова, что квадрат каждого члена последовательности, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов, то данная последовательность - геометрическая прогрессия. Доказательство: b2п = bп-1bп+1=> bп / bп-1 = bп+1 / bп = q=> bn = bп-1*q, bn+1 = bп*q => b1, b2, b3, …, bn, ... - геометрическая прогрессия по определению. Если числовая последовательность такова, что модуль каждого член последовательности, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов, то данная последовательность - геометрическая прогрессия. Доказательство: |bп| = √bп-1bп+1 => b2п = bп-1bп+1 (далее доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы): bп / bп-1 = bп+1 / bп = q => bn = bп-1*q, bn+1 = bп*q => b1, b2, b3, …, bn, ... - геометрическая прогрессия по определению. Схема данных доказательств аналогична схеме доказательств обратной теоремы к свойству арифметической прогрессии и использует тот же прием подведения под понятие. Так же как и в случае с арифметической прогрессии, возможна 17 формулировка критерия, а значит и равносильного определения: 1)Критерий: Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого члена последовательности, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов. Определение: Числовая последовательность называется геометрической прогрессией, если квадрат каждого ее члена, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов. 2)Критерий: Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Определение: Числовая последовательность называется геометрической прогрессией, если модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Как и в теме «Арифметическая прогрессия» возможно создание связи с понятием функция, а именно представление геометрической прогрессии в виде функции у = b1qx-1 , где b1 - первый член геометрической прогрессии, (х € N ). Проанализируем формулу n-го члена геометрической прогрессии bn = b1qn-1 . Как и в случае с арифметической прогрессией, n-ый член зависит от первого члена, номера элемента (n-1) и числа - q. Но есть и следующие отличия: замена знака сложения на умножение, переход (n-1) в показатель числа q. Как и при выведении формулы n-го члена арифметической прогрессии данное выражение получено на основе метода неполной индукции. Строгого доказательства в учебнике так же не приведено. Рассмотрим следующий способ доказательства: b1 = b1 b2 = b1 * q b3 = b2 * q n-равенств, умножим почленно … 18 bп-1 =bп-2 * q bп =bп-1 * q bп = b1 * qn-1 Данное доказательство, аналогично доказательству теоремы о формуле n-го члена арифметической прогрессии, в нем используется определение геометрической прогрессии, с помощью него выражаются n первых элементов прогрессии. Но в предоставленном доказательстве почленное сложение заменяется умножением. Рассмотрим следующую дидактическую единицу - формулу суммы nпервых членов геометрической прогрессии Sп = b1 (1- qn ) / (1 – q), q ≠ 1(если q = 1, то Sп = b1 п). Формулы различны, хотя, как и в случае с арифметической прогрессии сумма зависит от первого члена и числа - q. В данном случае из-за присутствия ограничения на q (q≠1) доказательство разбивается на два случая:. q ≠ 1 И q = 1 Вывод формулы для q = 1 прост и основывается на использовании определения геометрической прогрессии. Случай, когда q ≠ 1 имеет общие методы доказательства, что при выводе теоремы о сумме n-первых членов арифметической прогрессии, а именно: 1. в логическом плане метод доказательства - синтетический; 2. в содержательном - выражение суммы n первых членов, используя формулу n-го члена прогрессии. В качестве мотивации для введения формулы суммы n-первых членов геометрической прогрессии можно использовать легенду «о шахматной доске»: Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индийский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за остроумную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был 19 скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников. Царь решил отблагодарить ученого и сказал, что исполнит его самое смелое желание. Сета, издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую клетку - 2 зерна, за третью-4, за четвертую - 8, за пятую - 16,.... Таким образом, царь должен был отдать зерна за все 64 клетки доски. Много ли зерна попросил ученый? В параграфе «Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия» авторами рассматриваются следующие дидактические единицы: определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии, определение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии и формула для ее нахождения. Определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии: «Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы». Дано через род и видовые отличия. Родовое понятие - «геометрическая прогрессия». Видовое отличие задается описательно «модуль ее знаменателя меньше единицы». Рассмотрим следующую дидактическую единицу: Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому стремится сумма ее первых n членов при n —> ∞. Формула: S = b1 / (1- q). Определение и формула бесконечно убывающей геометрической прогрессии вводится через предельный переход, что ново для учащихся. Перед введением данного понятия целесообразно рассмотреть конкретный пример и его графическую интерпретацию - задача 1 из §32, и только после этого переходить к формальному доказательству. Итак, сделаем общие выводы из приведенного анализа теоретического материала: 20 Арифметическая прогрессия Определение: Числовая последовательность а1, а2, а3, ..., ап ,... называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство ап+1 = ап +d, где d -некоторое число Сходства Различия Сходства Различия Геометрическая прогрессия Определение: Числовая последовательность b1, b2, b3, …, bn, ... называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство bn+1 = bп*q, где bn ≠ 0, q- некоторое число, не равное нулю. Сходная структура определений: 1. родовое понятие - «числовая последовательность»; 2. видовые отличия - «если для всех натуральных n выполняется равенство Өn+1 = Өn число З. рекуррентный способ задания n-го члена. Өn+1 = Өn + число Өn+1 = Өn * число Ограничений нет. Есть ограничения: bn ≠ 0, q ≠ 0 Свойство: Свойство: Каждый член арифметической Если все члены прогрессии прогрессии, начиная со второго, положительные, то каждый равен среднему арифметическому член геометрической двух соседних с ним членов. Этим прогрессии, начиная со второго, объясняется название равен среднему «арифметическая» прогрессия геометрическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название геометрическая» прогрессия В общем случае: квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов. 1. Теоремы имеют простую структуру, а именно одно условие (каждый член ...прогрессии) и одно заключение (равен среднему … двух соседних с ним членов). 2. Возможны формулировка и доказательство обратной теоремы, а, следовательно, критерия и равносильного определения. 3. Отдельным предложением выделена связь названий прогрессий и соответствующих им свойств. 4. Обе теоремы выражают зависимость n-го члена прогрессий от двух соседних с ним. 5. Присутствие в формулах ½. 1. ½ присутствует как множитель. 1. ½ присутствует как 2. Өn-1 +Өn+1 – (n-1) и (n+1) члены показатель степени. 21 складываются. Доказательство свойства: По определению арифметической прогрессии ап+1 = ап +d ап-1 = ап -d, сложив равенства, получаем ап =( ап-1 + ап+1 )/2 2. Өn-1 *Өn+1 – (n-1) и (n+1) члены перемножаются Доказательство свойства: По определению геометрической прогрессии bn+1 = bп*q bn-1 = bп/q умножив равенства, получаем b2п = bп-1bп+1 (для любой геометрической прогрессии) если все члены прогрессии положительны, то bп = √bп-1bп+1 Сходства Различия Используя определения прогрессий, выражаем (n+1) и n член Складываем получившиеся Умножаем получившиеся выражения. выражения. Формула n-го члена: Формула n-го члена: ап = а1 + (n-1)d bn = b1qn-1 Сходства Различия Формула зависит от первого члена, номера n и числа (q или d). 1. (n-1) и d множители. 1. (n-l) показатель 2. Ө1 + f(n – 1, d) 2. Ө1 *g(n – 1, q) Доказательство формулы n-го члена: а1 = а1 а2 = а1 +d а3 = а2 +d ….. n равенств сложим почленно ап-1 = ап-2 +d ап = ап-1 +d ап = а1 +d(n-1) Сходства Различия Вывод Доказательство формулы nго члена: b1 = b1 b2 = b1 *q b3 = b2 *q ….. n равенств умножим почленно bп-1 = bп-2 *q bп = bп-1 *q bn = b1qn-1 Используя определения прогрессий, выражаем первые n членов Складываем получившиеся Умножаем получившиеся выражения. выражения. Сумма n первых членов: Сумма n первых членов: Sп =( a1 + an )/2*n. Sп = b1 (1- qn ) / (1 – q), q ≠ 1 (если q = 1, то Sп = b1 п). Данные формулы не имеют ярко выраженных сходств. Доказательство: Доказательство: Sn = а 1 + а 2 + ... + ап-1 + а п . Sn= b1 + b1 q+...+ b1qn-1(3) Пусть 22 Запишем Sn двумя способами: Sn = а 1 + а 2 + ... + ап-1 + а п Sn = а n + а n - 1 + ... + а2 + а 1 По определению арифметической прогрессии эти равенства можно записать так Sn= а 1 + (a1+d)+(a1+2d)+...+(a1 +(n-1)d) Sn = а n +(an- d)+(an- 2d) + ...+(an(n-1)d) Сложив эти два равенства почленно, получим: 2Sn=(а 1 +an)+(а 1 +an)+...+(а 1 +an) В правой части равенства n пар слагаемых. Значит, 2Sn = п(а1 + ап), то есть Sп =( a1 + an )/2*n q=l, тогда геом. пр. bl, b2,...,bn_... состоит из n чисел, равных b1 ., т.е. прогрессия имеет вид bl, b2,...,bn_.... Сумма этих чисел равна пb1. Пусть q ≠ 1, тогда умножим обе части равенства на q: qSn= b1 q+ b1 q2+...+ b1qn. (4) Перепишем равенства (3) и (4), выделив в них одинаковые слагаемые: Sn= b1 +( b1 q+ b1 q2+...+ b1qn- ) qSn =( b1 q+ b1 q2+...+ b1qn-1)+ b1qn. Выражения, стоящие в скобках равны. Поэтому, вычитая из верхнего равенства нижнее, получаем: Sn - qSn= bl(1 - b1qn) Отсюда Sn(1- q)= bl(1 - b1qn) Sп = b1 (1- qn ) / (1 – q), На первом шаге доказательства для записи Sn используется формула n-члена, но в последующем рассуждения различаются. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Определение: Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии: Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому стремится сумма ее первых n членов при n →∞ Формула S = b1 / (1- q). 23 Доказательство формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: Sп = b1 (1- qn ) / (1 – q) Распишем данную формулу: Sп = b1 /(1- q ) - b1 qn / (1 – q) Если n→∞, то qn →0, тогда b1 qn / (1 – q) →0, тогда Sп → b1 (1- q) Таким образом, S = b1 / (1- q). Из таблицы видно, что темы «Арифметическая прогрессия» и «Геометрическая прогрессия» имеют одинаковую структуру: определение характеристическое свойство формула n-го члена формула суммы n-первых членов. Причем первые три дидактические единицы в данных темах сопоставимы и противопоставимы, что дает возможность использовать метод УДЕ при их изучении. Применение данного метода в обучении позволяет активизировать поисковую деятельность учащихся, способствует более быстрому, но в тоже время долгосрочному запоминанию материала. Отметим основные методологические знания данной темы: Способы задания числовых последовательностей. Определения арифметической и геометрической прогрессии, теоремы и формулы, относящиеся к ним. Связь с темой «функция». Арифметическая и геометрическая прогрессии частный вид числовой последовательности. Есть возможность для формирования следующих методов познания: сравнение, неполная индукция, аналогия. 24 Следует отметить наличие аналогии в данных темах. Данная особенность позволяет организовать самостоятельную познавательную деятельность учащихся, так как осознание закономерности схемы введения понятия арифметической прогрессии позволяет создать условия для выдвижения гипотез о свойствах и признаках геометрической прогрессии и методах доказательств данных теорем. Использование метода УДЕ при введении данной темы базируется на использовании аналогии этих понятий, но в то же время подразумевает более глубокое исследование, включающее в себя не только сопоставление этих понятий, но и анализ их различий, а также наличие комплекса специально подобранных упражнений. Возможно знакомство учащихся с историей возникновения понятия прогрессии, арифметической и геометрической прогрессий, различными историческими задачами, связанными с данной темой. Историческая справка. Термин «прогрессия» (от латинского слова progression, что означает «движение вперед») был введен римским автором Боэцием (VI в.) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки. Равенство вида ап - ап-1 = ап+1 - ап они называли непрерывной арифметической пропорцией, а равенство вида bп / bп-1 = bп+1 / bп непрерывной геометрической пропорцией. Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были ещё у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать. Математика Древней Греции. В школе Пифагора арифметика из простого искусства счисления перерастает в теорию чисел. Пример 1: Пифагор 25 Сумма любого числа последовательных нечетных чисел, начиная с единицы, есть точный квадрат: 1+3+5+...+(2n-1)= n2 . Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида «Начала» (III в. до н.э.). Пример 2: Архимед Для нахождения площадей и объемов фигур применял «атомистический метод», для чего ему потребовалось находить суммы членов некоторых последовательностей. Он вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел: 12 + 22 + З2 + n2 = 1/6 n(n + l)(2n + 1) Архимед рассмотрел ещё одну не менее интересную задачу: если бы вся вселенная состояла сплошь из песка, то и тогда нашлось бы число, с помощью которого можно было бы выразить такое количество песчинок. Заслуга Архимеда именно в том, что он придумал, как называть большие числа и как проводить с ними вычисления (при вычислениях он пользовался только свойствами арифметической и геометрической прогрессии, которые в то время были известны). Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана Диофантом (III в.н.э.). Пример 3: Алкуин, «Задачи для изощрения ума юношей» Лестница имеет 100 ступеней. На первой ступени сидит один голубь, на второй - два, на третьей - три и так на всех ступенях до сотой. Сколько всего голубей? Математика Эпохи Возрождения Леонард Пизанский (Фибоначчи) в 1202 году написал «Книгу абака», которая состояла из 15 разделов. 12 и 13 разделы состоят из разнообразных задач, решаемых с помощью простого и двойного ложных положений, а также суммирования арифметических прогрессий и квадратов натуральных чисел. А также приводится правило отыскания суммы членов произвольной арифметической прогрессии. 26 Михель Штифель (1487 - 1567), профессор Йенского университета сопоставил арифметическую и геометрическую прогрессии для упрощения действий с большими числами, что впоследствии помогло Й. Бюрги и Дж. Неперу создать логарифмические таблицы и разработать логарифмические вычисления. В «Арифметике» Магницкого Л.Ф. (1669 - 1739) присутствовала задача: Некто продавал лошадь за 150 рублей. Но покупатель, приобретая лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря: «Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия: «Если по-твоему, цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего 1А копейки, за второй - половину копейки, за третий - 1 копейку и т.д.». Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условие продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался? Покупатель действительно проторговался. Он за 24 подковных гвоздя должен был заплатить (1/4 + ½ + 1 + 2 + 22 + 23 +…+ 223). Известна интересная история о знаменитом немецком математике К.Гауссе (1777 - 1855). Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. маленький Гаусс решил эту задачу за минуту. Сообразив, что суммы 1 + 100, 2 + 99 ... равны, он умножил 101 на 50, т.е. на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии. Данные исторические справки можно использовать на различных уроках для повышения мотивации учащихся к изучению темы «Прогрессии». Проведем логико-дидактический анализ задачного материала по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии». 27 В качестве основания классификации возьмем рассматриваемые в данной теме дидактические единицы. 1. Определение числовой последовательности. Типы упражнений: а). Вычислить n-ый член последовательности: • последовательность задана рекуррентно: №3 (п.27), 365. 368, 367, 369, 448,461. • последовательность задана формулой n-го члена: №1 (п.27), 361(1), 362,365, 446, 447. б). Найти номер члена последовательности, заданной формулой n-го члена: №2 (п.27). № 361(2), 363 а), 366. в). Выяснить является ли число членом последовательности: №363 б), 364. В тетрадях целесообразно вести записи в две колонки. 2. Определение. Арифметической прогрессии геометрической прогрессии Типы упражнений: 1. Задачи, в которых задана последовательность. Требуется выяснить: является ли она арифметической или геометрической прогрессией. № 1 (п.28). 373,450. № 1 (п. 30). 408 Пример формулировки задания: № 373(1). Доказать, что последовательность, заданная формулой n-го члена, является арифметической прогрессией: ап = 3 - 4n. 2.Задачи, в которых требуется найти первый член, разность (знаменатель) арифметической (геометрической) прогрессии, записать первые n членов арифметической (геометрической) прогрессии. №371, 372, 463,449. № 406, 407. Пример формулировки задания: 28 № 371. Запишите первый член и разность арифметической прогрессии: 6, 8, 10,... . 3. Характеристическое свойство прогрессии Типы упражнений: 3.Между двумя данными числами вставить число так, чтобы получилось три последовательных члена арифметической (геометрической) прогрессии: № 465(2), 385, 464. №471(4),414,415,472. Пример формулировки задания: Найти девятнадцатый член арифметической прогрессии, если: а18 = -6,а20 = 6 . 4.Показать, что три числа являются членами арифметической или геометрической прогрессии: № 467. №419. Пример формулировки задания: №467. Показать, что следующие числа являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии: sin 5а, sin3a cos2a, sin а. 4. Формула n-го члена Типы упражнений: 5.Найти n-ый член арифметической (геометрической) прогрессии. №2 (п. 28). 379, 380, 477, 478, 385, 451. № 2 (п. 30). 409, 410, 412, 470, 455, 456,457 Пример формулировки задания: №2(п.28) Найти седьмой член геометрической прогрессии, если b1 = 81,q = 1/3 . 6.Найти разность (знаменатель) арифметической (геометрической) прогрессии, используя формулу n-го члена. № 379, 462. № 412. Пример формулировки задания: 29 №412(1). Найти знаменатель геометрической прогрессии, если b1 = 2, b5 = 162. 7.Найти а1 ( b1 ), используя формулу n-го члена. № 380,381. №415. Пример формулировки задания: №380(1). Разность арифметической прогрессии равна 1,5. Найти а1, если а9 = 12. 8.Задачи, в которых требуется найти номер члена. № 3(п.28), 376, 378, 384. №3(п.30), 411, 413. Пример формулировки задания: №3(п.30). Число 486 является членом геометрической прогрессии 2, 6, 18, . . . . Найти номер этого члена. 9.Является ли число членом арифметической прогрессией. № 377, 378. Пример формулировки задания: № 377. Является ли число 12 членом арифметической прогрессии -18, 1 5 , - 1 2 , .. .? 5. Теорема о сумме n первых членов Типы упражнений: 10. Задачи, в которых требуется найти сумму п первых членов арифметической или геометрической прогрессии. №2(п.29), 390, 393, 394, №2(п.31), 420, 421, 426,427, №396, 397, 398, 402, 458, 459, №2(п.29), 391, 392, 395 , №425 №481,430(3,4) Пример формулировки задания: №2 (п.31). Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии 6, 2, 2/3, … 30 11. Задачи, в которых требуется найти номер или первый член или п ый член или разность (знаменатель) арифметической (геометрической) прогрессии чрез формулы суммы п первых членов. №400, 401, 403, 404, 469, №3(п.31), 422, №4(п.29), 468, 399 №4(п.31), 423, №5(п.31), 425, №424, 429, 430(1,2) Пример формулировки задания: №400. Найти ап и d арифметической профессии, у которой: а1 = 10, n = 14, S14 = 1050. 12. Задачи-теоремы, в которых надо доказать новые формулы, связывающие члены арифметической (геометрической) прогрессии. № 3 8 8 ,3 8 9 . №479, 480 Пример формулировки задания: №388. Доказать, что для арифметической прогрессии справедливо равенство ап + ак = ак-1. + ак+1. 6. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 13. Определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии: № 431, 432, 435, 460. Пример формулировки задания: Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей: -81, -27, -9, . .. . 14. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии: • Прямое применение: а) Прогрессия задана перечислением членов: № 433. 436. б) Прогрессия задана первым членом и знаменателем: № 434. в) Прогрессия задана рекуррентной формулой: № 435. • Найти первый член прогрессии или знаменатель: № 438. 31 • Решение уравнений с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: № 489, 440. • в Использование бесконечно убывающей геометрической прогрессии записи бесконечных периодических десятичных дробей в виде обыкновенных дробей: № 445. Задачи, которые подчеркнуты, носят дидактический характер. Эти задачи должны уметь решать все ученики. Упражнения отвечают принципам полноты, однотипности, от простого к сложному, непрерывного повторения. Основной метод решения выше рассмотренных задач выражение неизвестной величины из формулы. Необходимо включить задания на отработку определений арифметической и геометрической прогрессии: 1.Верны ли следующие предложения а) Числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа, называется арифметической прогрессией б) Числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число, не равное нулю, называется геометрической прогрессией. в) Последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа, называется арифметической прогрессией. г) Числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа, называется геометрической прогрессией. д) Числовая последовательность ненулевых членов, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число, называется геометрической прогрессией. е) Числовая последовательность не нулевых членов, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением 32 на одно и то же число, не равное нулю, называется геометрической прогрессией 2. Вставьте пропущенные слова в определении а) Числовая … ,в которой каждый следующий член, начиная со … получается из предыдущего ... одного и то же числа, называется арифметической прогрессией. б) ... последовательность не нулевых членов, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число, …, называется геометрической прогрессией. в) Числовая последовательность ... , в которой каждый следующий член, начиная ... , получается из предыдущего умножением на одно и то же число, не равное нулю, называется ... прогрессией. Также необходимо предложить школьникам упражнения следующего характера: Определите, является ли заданная последовательность арифметической или геометрической прогрессией: 1. 2. 3. 4. 2 ,4 ,6 ,8 , 10, 1 2 ,. . . . 2 ,7 ,1 3 ,1 8 ,. . . . 5 ,5 ,5 ,5 , .. . . 3 ,9 ,2 7 ,8 1 ,2 4 3 , .. . . 5. 4 ,0 ,0 ,0 , .. . . 6. 0 ,4 ,8 ,1 2 , .. . . 7. 1 ,1 / 2 ,1 / 3 ,1 / 4 ,1 / 5 , . . . Последовательность выполнения упражнений может быть такой: 1. упражнения на отработку определения числовой последовательности: №361(1), 362, 367, 368, 363 (а), 361, 366, 363(6), 364. 2. упражнения на отработку определения арифметической и геометрической прогрессии. а) Верны ли следующие предложения (задания см. выше). б) №373,408,371,372,406,407 33 в) вставить пропущенные слова (задания см. выше). г) определите, является ли заданная последовательность арифметической или геометрической прогрессией. 3. характеристическое свойство членов арифметической и геометрической прогрессии №466,419, 464. 4. формула п-го члена №379480, 412, 374, 386 409,411, 375, 382 ,410. 5. теорема о сумме п -первых членов арифметической и геометрической прогрессии №390, 393, 391, 420, 430(3, 4), 400, 401, 399, 422, 425, 430(1, 2) 6. задачи, содержащие формулы, связывающие члены арифметической и геометрической прогрессии №388, 389, 479, 480. (эти задачи не нужно решать всем ученикам, только сильным ученикам). Исходя из всего выше сказанного, можно выделить следующие методические рекомендации по использованию метода УДЕ при изучении темы «Прогрессии»: Введение I. нового теоретического материала целесообразно организовать в форме лекции имеющей следующую структуру. 1. Открываются два новые понятия - арифметическая и геометрическая прогрессии, формулируются их определения. В результате их сравнения (сопоставления и противопоставления) делается вывод о возможном сходстве их свойств. 2. Дальнейшее изучение теоретического материала происходит следующим образам: учащиеся открывают и доказывают свойства для одной из прогрессий и, учитывая разницу определений, выдвигают гипотезы и доказывают свойства другой прогрессии. II. Изучение задачного материала строится на сходстве теоретического: учащиеся выделяют основные типы задач и методы их решения для одной 34 прогрессии и, используя аналогию, выделяют основные ключевые задачи и методы их решения для другой прогрессии. При этом ученик должен не только решать «готовые» задачи, но и участвовать в процессе их составления. В программе по математике для общеобразовательных школ 2009 года (сост. Т.А.Бурмистрова) на тему «Прогрессии» отведено 14 часов и даны следующие методические рекомендации: «Основная цель - познакомить учащихся с понятиями арифметической и геометрической прогрессий. Учащиеся знакомятся с понятием числовой последовательности, учатся по заданной формуле n-го члена при рекуррентном способе задания последовательности находить члены последовательности. Знакомство с арифметической и геометрической прогрессиями как числовыми последовательностями особых видов происходит на конкретных практических примерах. Формулы n-го члена и суммы п первых членов обеих прогрессий выводятся учителем, однако требовать от учащихся умения выводить эти формулы необязательно. Упражнения не должны предполагать использование в своем решении формул, не приведенных в учебнике. Основное внимание уделяется решению практических и прикладных задач». [4,с. 14] Цели темы «Прогрессии» образовательные познакомить учащихся с понятиями арифметической и геометрической прогрессии выработать умения, связанные с задачами на арифметическую и геометрическую прогрессии развивающие развитие познавательного интереса к математике, литературе, истории 35 развитие навыков исследовательской деятельности воспитательные воспитание коммуникативных умений формирование умения проводить оценку и самооценку знаний, умений и навыков Прогнозируемый результат В ходе учебной деятельности ученик: • формулирует определения понятий арифметическая, геометрическая, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия; описание числовой последовательности; • записывает формулы суммы п первых членов арифметической прогрессии, геометрической прогрессии, суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, формулы n-го члена прогрессий; • различает рекуррентный способ задания последовательности и с помощью формулы n-го члена; • формулирует словесно и записывает символически свойства арифметической и геометрической прогрессий; • доказывает формулы сумм, свойства прогрессий; • применяет изученные формулы при решении задач различного уровня; • понимает, что понятия арифметической и геометрической прогрессий аналогичны; • использует метод аналогии для «открытия» новых теорем (свойств, формул) и их доказательства; • выделяет сходства и различия в содержании понятий; • выделяет по аналогии типы ключевых задач. 36 2.2. Проекты системы уроков по теме С учетом требований программы можно предложить следующее планирование темы «Прогрессии»: № урок а 1 Тема Тип урока Числовая последовательность Урок изучения нового 2 Арифметическая и геометрическая прогрессии Урок изучения нового 3 Характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий Урок изучения нового 4 Арифметическая и геометрическая прогрессии Арифметическая и геометрическая прогрессии Урок усвоения теоретического материала Урок решения ключевых задач 5 6 Арифметическая и геометрическая прогрессии. Самостоятельная работа. 7 Сумма n первых членов арифметической и геометрической прогрессий. Учебные задачи урока Познакомить учащихся с понятием числовая последовательность и способами её задания. Открыть определение арифметической и геометрической прогрессий, и формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий совместно с учащимися методом аналогии, как одним из источников укрупнения теоретического материала. В совместной деятельности с учениками открыть характеристическое свойство арифметической и геометрической прогрессии, используя метод УДЕ. Выяснить уровень усвоения теоретического материала. Выделить, совместно с учащимися, основные виды ключевых задач и методы их решения используя метод УДЕ. Урок практикум 1.Формировать умения применять полученные знания при решении задач различного уровня 2. Провести диагностику умений применять полученные знания на практике Урок изучения Доказать совместно с учащимися формулы суммы нового n первых членов арифметической и геометрической прогрессий 37 8 9 10 11 12 13 14 Сумма n первых членов арифметической и геометрической прогрессий. Прогрессии Урок решения ключевых задач синтетическим методом Выделить совместно с учащимися основные виды ключевых задач и методы их решения. Урок систематизации и обобщения знаний Систематизировать и обобщить изученный материал по теме: «Прогрессии». Бесконечно Урок изучения В совместной деятельности с убывающая учащимися открыть понятие нового геометрически бесконечно убывающей прогрессия геометрической прогрессии. Бесконечно Урок решения Выделить совместно с убывающая ключевых задач учащимися основные виды геометрически ключевых задач и методы их прогрессия решения. Урок Систематизировать и Прогрессии систематизации и обобщить изученный обобщения знаний материал по теме «Прогрессии». Урок контроля Выяснить уровень Контрольная работа. знаний усвоенного материала. Урок Корректировать знания и Анализ контрольной консультация умения школьников по теме. работы 38 Урок 2. Тема урока: Арифметическая и геометрическая прогрессии. Тип урока: урок изучения нового (1 час). Учебная задача: «открыть» определение арифметической и геометрической прогрессий совместно с учащимися методом аналогии, как одним из источников укрупнения теоретического материала. Диагностируемые цели: В результате ученик: формулирует определения арифметической и геометрической прогрессий; устанавливает сходства и различия между арифметической и геометрической прогрессиями; понимает, что арифметическая и геометрическая прогрессии являются числовыми последовательностями; записывает формулу n-го члена арифметической и геометрической прогрессий; поясняет, при каких условиях применяется тот или иной способ нахождения члена арифметической и геометрической прогрессий; знает схему доказательства формул n-го члена для арифметической и геометрической прогрессий. ХОД УРОКА. Деятельность учителя Деятельность учащихся Мотивационно – ориентировочный этап Вспомните, пожалуйста, какую тему Числовые последовательности мы с Вами изучали на прошлом уроке. Что такое числовая Функция вида y = f(x), Где x€N, последовательность? называется функцией натурального аргумента или числовой последовательностью, и обозначается y = f(n) или y1, y2, …,yn, … 39 Как могут быть заданы числовые Аналитически, последовательности? рекуррентно. словесно и На доске заранее написаны числовые последовательности: 1) yn = 2n 2) 1, ½, 1/3, ¼, …, 1/n 3) последовательность простых чисел 4) y1= 3, yn=2 yn-1 1) и 2) – формулой n-го члена Какими способами заданы эти 3) словесным способом числовые последовательности? 4) рекуррентной формулой Давайте найдем десятый член первой последовательности. Подставить номер элемента – 10 в Как это сделать? формулу. y10=2*10 = 20 Найдите 40 член второй y40=1/40. последовательности. А сейчас вычислите 3 член четвертой последовательности. Вычислить второй член Что для этого надо сделать? последовательности, а потом, используя значение второго члена, вычислить третий член последовательности. y1= 3, y2=2 3=6 y3=2 6=12 А чтобы найти 40 член данной последовательности, что надо сделать? Это очень трудоемко. Перечислите достоинства и недостатки задания последовательностей формулой n-го члена и рекуррентным способом. Найти предыдущие последовательности. 39 членов Формула n-го члена: «+» можно вычислить любой член последовательности, не вычисляя предыдущие; «-» могут быть сложными формулы для вычисления. Рекуррентный способ задания: «+» несложные вычисления; «_» нельзя найти член последовательности, не зная 40 В зависимости от целей задачи иногда удобно пользоваться одним способом, а иногда другим. А сейчас рассмотрим следующее задание. В третьем тысячелетии високосными годами будут годы 2004. 2008, 2012, 2016, 2020, … У нас получилась некоторая числовая последовательность. Каким образом можно получить последующий член данной последовательности через предыдущий? Как формулу (n+1) члена можно записать в общем виде? Каким способом задана последовательность? Даны последовательности: 1. 5; 5,3; 5,6; 5,9 … 2. 7, 7, 7, 7, 7, … 3. 2, -1, -4, -7, -10, … Выделите особенности первой числовой последовательности предыдущего. К каждому предыдущему члену последовательности прибавить число 4. ап+1 = ап + 4 Последовательность рекуррентным способом. задана Каждый следующий член последовательности отличается от предыдущего на 0,3. получить Прибавить к предыдущему 0,3. через Каким образом можно последующий член предыдущий? Какие особенности у второй последовательности? Какое число прибавляется к каждому члену последовательности? Что можно сказать о третьей последовательности? Как можно записать формулу (n+1) члена Что общего между этими последовательностями? Все числа одинаковые. Ноль. К каждому предыдущему члену последовательности прибавляется -3. ап+1 = ап + (-3) В каждой из этих последовательностей каждый ее член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. ап+1 = ап + d, где d некоторое число Как записать формулу (n+1) члена для всех этих случаев? Последовательности Какой способ задания заданы 41 последовательностей? рекуррентной формулой. Давайте подумаем, какую числовую последовательность можно записать, зная условия следующей легенды: Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индийский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за остроумную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников. Царь решил отблагодарить ученого и сказал, что исполнит его самое смелое желание. Сета, издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую клетку – 2 зерна, за третью – 4, за четвертую – 8, за пятую – 16, … Таким образом, царь должен был отдать зерна за все 64 клетки доски. У нас получилась некоторая числовая последовательность: 1, 2, 4, 8, 16, … Каким образом можно получить последующий член данной последовательности через Каждый член последовательности умножить на число 2. предыдущий? Каким способом задана Последовательность задана последовательность? рекуррентным способом. Даны последовательности: 1. 1, -2, 4, -8, 16, … 2. 3, 1, 1/3, 1/9, 1/27, 1/81, … 3. 5, 5, 5, 5, 5, 5, … Каким образом в первой последовательности можно получить каждый последующий член через Умножить предыдущий член на -2. предыдущий? 42 А во второй последовательности как получить последующий член через Умножить предыдущий член на 1/3. предыдущий? А в третьей последовательности? Умножить предыдущий член на 1. Что общего между последовательностями? этими В этих последовательностях, каждый член, начиная со второго, равен предыдущему на одно и то же число. Как записать формулу (n + 1)-го члена для всех этих случаев? А как найти предыдущий член этих последовательностей через последующий? Может ли быть это число равным нулю? А как найти q, используя эту формулу? Какое ограничение надо наложить на bп? С учетом этих двух ограничений, какую формулу (n + 1)-го члена мы получили? Каким способом задана последовательность? bn+1 = bп*q, где q- некоторое число. Разделить на q. Нет, т.к. на ноль делить нельзя. bn+1 / bп bn ≠ 0 bn+1 = bп*q, где bn ≠ 0, q- некоторое число, q ≠ 0. Последовательность рекуррентным способом. задана Итак, мы получили два подвида числовых последовательностей, их называют прогрессиями. Первая последовательность является арифметической прогрессией, а вторая – геометрической прогрессией. Данные последовательности довольно часто встречаются на практике (в физике, биологии, медицине). Поэтому, цель нашего урока – изучить эти виды числовых последовательностей. Итак, тема нашего урока «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Содержательный этап. Возникает вопрос, откуда же пошло, 43 что данные последовательности называются прогрессиями. Слово «прогрессия» латинского происхождения, буквально означает «движение вперед», как и слово прогресс. Данное название встречается у Боэция (5-6 века). Под ним понималась в более широком смысле бесконечная числовая последовательность. Но в настоящее время это название прочно закрепилось за частным видом числовых последовательностей, которые мы и будем изучать. Давайте обобщим, что мы уже знаем об арифметической прогрессии: 1. Это числовая последовательность 2. Выполняется формула ап+1 = ап + d, где d некоторое число Для каких n эта формула Для всех натуральных n. выполняется? Попробуйте сформулировать Числовая последовательность а1, а2, определение арифметической а3, ..., ап,... называется арифметической прогрессии. прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство ап+1 = ап + d, где d -некоторое число Верно. Учитель на доске записывает рекуррентную формулу, записи в тетрадях не ведутся. Приведите свои примеры Приводят. арифметических прогрессий. Как можно получить d из этой d = ап+1 - ап формулы? Как называется число, полученное вычитанием одного числа из другого? Разностью. Число d называется разностью арифметической прогрессии. Давайте обобщим, что мы уже знаем о геометрической прогрессии: 1. Это числовая последовательность 2. Выполняется формула bn+1 = bп*q, где bn ≠ 0, q- некоторое 44 число, q ≠ 0. Для каких n выполняется эта формула? Для всех натуральных n. Попробуйте сформулировать определение геометрической Числовая последовательность b1, b2, b3, прогрессии. …, bn, ... называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство bn+1 = bп*q, где bn ≠ 0, q- некоторое Верно. Учитель на доске записывает число, не равное нулю. рекуррентную формулу, записи в тетрадях не ведутся. Приведите свои примеры геометрических прогрессий. Приводят. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии. В чем сходство определений арифметической и геометрической Арифметическая и геометрическая прогрессий? прогрессии являются числовыми последовательностями. А в чем различия? Способ задания рекуррентный. В арифметической прогрессии каждый последующий член получается из предыдущего прибавлением к нему одного и того же числа. В геометрической прогрессии – умножением на одно и то же число, не равное нулю. В определении геометрической прогрессии есть ограничения bn ≠ 0, q ≠ 0. Записываем в тетради определения следующим образом: Числовая последовательность а1, а2, а3, ..., ап,... называется b1, b2, b3, …, bn, ... арифметической прогрессией геометрической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство ап+1 = ап + d , где d – некот. число bn+1 = bп q, bn ≠ 0, q ≠ 0. Число d, q называется разностью 45 (знаменателем) арифметической (геометрической) прогрессий. Учитель демонстрирует, как читаются определения, после чего ученики делают записи в тетрадях. Определения очень похожи: обе последовательности числовые и заданы рекуррентной формулой, которая выполняется для всех натуральных n, и в той, и в другой формуле присутствует предыдущий член и постоянное число. Вероятно, и в свойствах должно быть что-то общее. Именно поэтому мы рассматриваем данные понятия совместно. Разделите тетрадный лист на две колонки. В левой мы будем вести записи, относящиеся к арифметической прогрессии, в правой – к геометрической прогрессии. Учитель ведет записи на доске так же в два столбика. Сейчас давайте рассмотрим следующее задание: (Устно). Назовите первый член и разность (знаменатель) арифметической (геометрической) прогрессии. 1. 6, 8, 10, … 2. 25, 21, 17, … 3. 8, 16, 32, … 4. 4, 2, 1, … Решите задачу: Решим аналогичную задачу 1. а1 = 6, d = 2 2. а1 = 25, d = -4 3. b1 = 8, q = 2 4. b1 = 4, q = 1/2 Дано: а1, а2, а3, ..., ап,... арифметическая прогрессия а1 = 10, d = 2,5 Найти: а2 ,а3 ,а4 Решение: а1 = 10 а2 = а1 + d, а2 = 10 +(-2,5) = 7,5 а3 = а2 + d, а3 = 7,5 +(-2,5) = ,5 для а4 = а3 + d, а3 = 5 +(-2,5) = 2,5 46 геометрической прогрессии Рассмотрим следующее задание: Как вы думаете, сколько времени необходимо, чтобы вычислить а255 арифметической прогрессии? В этом заключается недостаток рекуррентного метода. А какой из известных вам способов задания последовательности для выполнения данного задания наиболее удобен? Вы правы, эту задачу можно решить, если знать необходимую формулу n-го члена арифметической прогрессии. Так давайте попробуем вывести эту формулу. По определению арифметической прогрессии: каждый член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа d. Значит, а2 = а1 + d, а3 = а2 + d = а1 +2 d, а4 = а3 + d = а1 +3 d, Что общего между этими равенствами? Видим, что меняется количество d. Какова закономерность? Дано: b1, b2, b3, ..., bп,... геометрическая прогрессия b1 = 10, q = √5 Найти: b2 ,b3 ,b4 ,b5 Решение: b1 = 10 b2 = b1 q, b2 = 20 √5 b3 = b2 q, b3 = 20 √5*√5 = 100 b4 = b3 q, b4 = 100√5 b5 = b4 q, b5 = 100√5*√5 = 500 Очень много. Задание последовательности помощью формулы n-го члена. с Везде присутствует первый член. Количество d меньше номера члена прогрессии на 1. Тогда как запишется формула для n-го элемента? ап = а1 +(n-1) d, где d -некоторое число Правильно. Но мы провели не доказательство, а лишь выдвинули гипотезу. А сейчас давайте докажем открытую нами формулу. По определению арифметической прогрессии: 47 а1 = а1 а2 = а1 +d а3 = а2 +d ….. n равенств сложим почленно ап-1 = ап-2 +d ап = ап-1 +d ап = а1 +d(n-1) Записи в тетрадях: Дано: а1, а2, а3, ..., ап,... арифметическая прогрессия Доказать: ап = а1 +d(n-1) Доказательство: а1 = а1 а2 = а1 +d а3 = а2 +d ….. n равенств сложим почленно ап-1 = ап-2 +d Теперь найдите а255 арифметической ап = ап-1 +d прогрессии, если а1 = 2, d = 2. ап = а1 +d(n-1) Наверное, существует формула n-го члена и для геометрической а255 = 2 + (255-1)2 = 510. прогрессии. Давайте по аналогии с арифметической прогрессией, «откроем» формулу n-го члена геометрической прогрессии. Что будем делать? Так же, используя определение геометрической прогрессии, распишем несколько первых элементов и попытаемся выразить закономерность. b2 = b1 *q b3 = b2 *q = b1 *q2 Правильно. Мы вновь провели не доказательство, b4 = b3 *q= b1 *q3 а лишь выдвинули гипотезу. Итак, ….. данная формула называется формулой bn = b1qn-1 n-го члена геометрической прогрессии. Давайте сравним формулы n-го члена для арифметической и геометрической прогрессий. Что в них общего? Какие различия? Формула зависит от первого члена, номера n и числа (q или d). В формуле для арифметической прогрессии (n-1) и d – множители, а Как вы успели заметить, формулы для геометрической прогрессии (n-1) – имеют много схожего. Поэтому показатель q. доказательство формулы для геометрической прогрессии, аналогично доказательству формулы 48 для арифметической прогрессии. Ваше домашнее задание провести доказательство формулы n-го члена геометрической прогрессии самостоятельно дома. А сейчас рассмотрим следующие задания: Учитель оформляет решение на доске под диктовку учеников, учащиеся ведут записи в тетрадях в две колонки. 1) Записать формулу n-го члена арифметической прогрессии, если известно а1 = 2, d = 3 Дано: а1, а2, а3, ..., ап ... арифметическая прогрессия а1 = 2, d = 3 Найти: формулу n-го члена Решение: ап = а1 +d(n-1) 2) Записать формулу n-го члена ап = 2 +3(n-1)= 3n- 1 геометрической прогрессии, если известно b1 = 2, q = 3 Дано: b1, b2, b3, ..., bп ... геометрическая прогрессия b1 = 2, q = 3 Найти: формулу n-го члена Решение: bn = b1qn-1 3) В арифметической прогрессии bn = 2*3n-1 найти а15, если известно а1 = 2, d = 3 Дано: а1, а2, а3, ..., ап ... арифметическая прогрессия а1 = 2, d = 3 Найти: а15 Решение: ап = а1 +d(n-1) 4) Для геометрической прогрессии а15 = 2 +3(15 - 1)= 44 вычислить b6, если известно b1 = 3, q = -1/3. Дано: b1, b2, b3, ..., bп ... геометрическая прогрессия b1 = 3, q = -1/3 Найти: b6, Решение: bn = b1qn-1 b6 = 3*(-1/3)6-1 = - 1/81 49 Рефлексивно – оценочный этап. Итак, подведем итог нашего урока. В числовых последовательностях два подвида: Что нового мы узнали о числовых выделяют арифметическая и геометрическая последовательностях? прогрессии. Проговорите еще раз их определения. Числовая последовательность а1, а2, а3, ..., ап,... называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство ап+1 = ап + d, где d -некоторое число Числовая последовательность b1, b2, b3, …, bn, ... называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство bn+1 = bп*q, где bn ≠ 0, q- некоторое число, не равное нулю. Вспомним, как записывается формула n-го члена для арифметической ап = а1 +d(n-1) прогрессии. Используя определение, записали n – Вспомним схему доказательства. первые члены арифметической прогрессии и почленно сложили. Как записать формулу n-го члена для bn = b1qn-1 геометрической прогрессии? На следующем уроке мы продолжим изучение данной темы. 50 Урок 3. Тема урока: Характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессии. Тип урока: урок изучения нового (1 час). Учебная задача: В совместной деятельности с учениками открыть характеристическое свойство арифметической и геометрической прогрессии, используя метод аналогии, как одним из источников укрупнения теоретического материала. Диагностируемые цели: В результате ученик формулирует характеристическое свойство арифметической характеристическое свойство геометрической прогрессии; формулирует прогрессии; формулирует обратные предложения к свойствам арифметической и геометрической прогрессий; воспроизводит схему доказательства характеристического свойства арифметической и геометрической прогрессии; знает сходства и различия характеристических свойств арифметической и геометрической прогрессии; знает, как по аналогии со свойством арифметической прогрессии доказывается характеристическое свойство геометрической прогрессии; понимает, как на основе свойств арифметической и геометрической прогрессий сформулировать критерий для данных дидактических единиц; понимает, как, используя критерии арифметической и геометрической прогрессий, сформулировать равносильные определения. 51 ХОД УРОКА. Деятельность учителя Деятельность учащихся Мотивационно – ориентировочный этап. На прошлом уроке мы начали изучать новую тему «Арифметическая и геометрическая прогрессии» Давайте вспомним определение арифметической прогрессии. Числовая последовательность а1, а2, а3, ..., ап ,... называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство ап+1 = ап +d, где d -некоторое число Скажите определение геометрической Числовая последовательность b1, b2, b3, …, bn, ... называется прогрессии. геометрической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство bn+1 = bп*q, где bn ≠ 0, q- некоторое число, не равное нулю. На доске последовательности: 1) 3, 9, 27, 81, 243,... 2) 7, 5, 3, 1,... 3) 8, 0, 0, 0,... 4) 2, 4, 7, 11,... 5) -2√5, -√5, 0, √5… 6) 4, 4, 4, 4,... записаны 2) каждый последующий член Какие из предоставленных последовательности, начиная со последовательностей могут быть второго, получается арифметическими прогрессиями и прибавлением числа -2. почему? 5) каждый последующий член последовательности, начиная со второго, получается прибавлением числа √5. 6) каждый последующий член последовательности, начиная со второго, получается Как называются числа -2, √5, 0 для прибавлением числа 0. прогрессий? Разностью арифметической прогрессии. Какие из предоставленных 52 последовательностей могут быть 1) каждый последующий член геометрическими прогрессиями и последовательности, начиная со почему? второго, получается умножением на число 3. 6) каждый последующий член последовательности, начиная со второго, получается умножением на число 1. Какая закономерность у последовательности 3)? Каждый последующий член последовательности, начиная со второго, получается умножением на число 0. Данная последовательность может Нет, так как в данном случае быть геометрической прогрессией? нарушается ограничение q ≠ 0. Как называются числа 3, 1 для Знаменатель геометрической прогрессий? прогрессии. Что можно сказать о 4) последовательности Она не является ни арифметической, ни геометрической. А о 6) последовательности? Она может быть как арифметической, так и геометрической прогрессией. А сейчас несколько отвлечемся от математики. Сейчас по литературе вы изучаете «Евгения Онегина» А.С.Пушкина. Ребята, а попробуйте дать характеристику такому Дети описывают. литературному герою как Татьяна Ларина. основные качества, А чтобы охарактеризовать человека, Назвать свойства присущие этому что необходимо сделать. человеку. Оказывается и у арифметической, и у геометрической прогрессии есть свое, присущее только им свойство. Оно так и называется характеристическое. Ребята, а как вы думаете, почему арифметическая и геометрическая Дети делают предположения. прогрессии так называются? Так вот открыть тайну «имени» арифметической и геометрической 53 прогрессии нам то же помогут эти свойства. Открыть характеристические Как вы думаете, какова цель нашего свойства арифметической и урока? геометрической прогрессии Открываем тетради, записываем тему нашего урока «Свойства арифметической и геометрической прогрессий». Мы с вами продолжим заполнять таблицу. Записи будем вести в две колонки. В левой для арифметической прогрессии, в правой - для геометрической Содержательный этап следующую прогрессию: Рассмотрим арифметическую 1)1,2,3,4,5,... Подметьте, каким свойством обладают три последовательных В сумме 1 и 3, разделенные члена прогрессии( 1,2,3)? пополам дают число 2. (Аналогично для других соседних С какого номера, выполняется данная троек чисел) Со второго закономерность? Как называется полусумма чисел а и Среднее арифметическое чисел а и b. b? Мы получили, что каждый член Сформулируйте словесно данной арифметической выделенную вами закономерность. прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. -2, -4, -6, -8, … Да. Выполняется ли эта зависимость для данной арифметической прогрессии? Как вы думаете, будет ли выполняться данная закономерность для членов произвольной Наверное, да. арифметической прогрессии? Верно. Давайте докажем выдвинутые нами гипотезы. Пусть дана арифметическая прогрессия а1, а2, а3, ..., ап ,.... Рассмотрим три ее члена, следующие друг за другом: ап+1 , ап , ап-1 54 По определению арифметической прогрессии ап+1 = ап +d Выразим ап-1 через ап и d Сложите полученные равенства и выразите ап. Что получилось? Дано: а1, а2, а3, ..., ап ,... арифметическая прогрессия Доказать: ап = ( ап-1 + ап+1 )/2 Доказательство: ап+1 = ап +d ап-1 = ап -d, Для каких n выполняется это ап = ( ап-1 + ап+1 )/2 n > 1, т.к. для а1нет предыдущего. равенство? Записи в тетрадях ведутся в две колонки. Справа оставляем место для доказательства обратного утверждения. Доказали истинность нашей гипотезы. Таким образом, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «арифметическая» прогрессия. Это свойство арифметической прогрессии можно использовать при Дано: а1, а2, а3, ..., ап ,... решении задач. арифметическая прогрессия Решим задачу. а7,=15, а5 = 7, Найти: а6 Решение: ап = ( ап-1 + ап+1 )/2 а6 = ( а5 + а7 )/2 а6 = ( 15+7)/2 Попробуйте сформулировать а6 = 11 обратное утверждение к свойству Если числовая последовательность такова, что каждый член арифметической прогрессии. последовательности, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним чисел, то данная последовательность – арифметическая прогрессия. Как вы думаете, оно верное? Наверное, да. Что необходимо, чтобы его доказать? Обратить цепочку рассуждений. Дано: ап = ( ап-1 + ап+1 )/2 Доказать: а1, а2, а3, ..., ап ,... 55 арифметическая прогрессия Доказательство: ап = ( ап-1 + ап+1 )/2=> 2ап = ап-1 + ап+1 ап - ап-1 = ап+1 - ап = d => ап = ап-1 + d, ап+1 = ап +d.=> а1, а2, а3, ..., ап ,... - арифметическая В тетрадях записи ведутся в правой прогрессия по определению половине рядом с доказательством свойства. Что можно сформулировать, если выполняется и прямое, и обратное Критерий. утверждения? Сформулируйте его. Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Наличие критерия позволяет сформулировать равносильное определение. Числовая последовательность Как оно будет звучать? называется арифметической прогрессией, если каждый ее член, начиная со второго равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. В тетрадях запишите равносильное определение под доказательством свойства и предложения, обратного ему. Как вы думаете, можно ли в геометрической прогрессии выразить член прогрессии через соседние два? Давайте попробуем, перед вами геометрическая прогрессия 1,2,4,8,16,.. выразите член прогрессии Если из произведения 1 и 4 через соседние два.( 1,2,4) извлечь квадратный корень, то Как называется корень квадратный из получим 2. чисел а и b . Средним геометрическим чисел а Сформулируйте словесно и b. выделенную вами закономерность. Мы получили, что каждый член 56 геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних. Мы получили следующую формулу bп = √bп-1bп+1, n > 1 Рассмотрим -1, -2, -4, -8, … Выполняется ли данное свойство для Нет. -2≠ √(-1)(-4) данной геометрической прогрессии? | bп | = √bп-1bп+1, n > 1 Какое условие необходимо добавить? Давайте проанализируем формулу, которую нам надо доказать и сравним ее с формулой для арифметической прогрессии. Каждый член прогрессии Что общего? выражается через соседние два. В формуле для арифметической прогрессии есть ½ , а есть ли это Да, это квадратный корень. число в формуле для геометрической прогрессии? Если свойства так похожи по записи, значит и доказать их можно аналогично. Ваше домашнее задание провести доказательство свойства для геометрической прогрессии. Дайте словесную формулировку Модуль каждого члена геометрической прогрессии, данного свойства. начиная со второго, равен среднему геометрическому двух Этим и объясняется название соседних с ним членов. геометрическая прогрессия. Запишите формулировку в тетрадь. А сейчас, как и в случае с арифметической прогрессией, Если числовая сформулируем обратное утверждение. последовательность такова, что модуль каждого члена последовательности, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов, то данная последовательность – геометрическая прогрессия. 57 Что необходимо, чтобы его доказать? Обратить цепочку рассуждений в доказательстве свойства геометрической прогрессии. Сформулируйте критерий. Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда модуль каждого члена последовательности, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Используя данный критерий, Числовая последовательность сформулируйте равносильное называется геометрической определение геометрической прогрессией, если каждый ее прогрессии и запишите его в тетрадь. член, начиная со второго равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Ваше домашнее задание будет учить записи в тетради. Оформить доказательства характеристического свойства геометрической прогрессии и предложения обратного ему. Рефлексивно оценочный этап Какое еще различие можно выделить В случае с арифметической у свойств арифметической и прогрессией свойство позволяет геометрической прогрессий? однозначно определить член прогрессии, а для геометрической прогрессии с точностью до знака. Решим следующие задачи: Между числами -10 и 5 вставить Дано: а1, а2, а3, ..., ап ,... число так, чтобы получилось три арифметическая прогрессия последовательных члена аn-1=-10, аn+1 = 5, арифметической прогрессии. Найти: аn Решение: ап = ( ап-1 + ап+1 )/2 ап = (-10 + 5)/2 ап = 2,5 Между числами 4 и 9 вставить Дано: b , b , b , ..., b ,... 1 2 3 п положительное число так, чтобы три геометрическая прогрессия последовательных члена bn-1=4, bn+1 = 9, bп>0 геометрической прогрессии. Найти: bn 58 Решение: | bп | = √bп-1bп+1, | bп | = (4 + 9)/2 | bп | = 6 Т.к. bп>0, то bп = 6 Итак, подведем итоги нашего урока. Вспомним, какая была цель нашего Открыть характеристические урока? свойства арифметической и геометрической прогрессии Да. Мы достигли поставленной цели? Так почему же арифметическая и Данные названия следуют из геометрическая прогрессии имеют характеристических свойств такие названия? арифметической и геометрической прогрессии. Сформулируйте характеристическое Каждый данной свойство арифметической прогрессии. арифметическойчлен прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Сформулируйте характеристическое Модуль каждого члена свойство геометрической прогрессии. геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Что общего в данных свойствах? Какие отличия? На сегодня урок закончен. Каждый член прогрессии выражается через соседние два. ½ в свойстве арифметической прогрессии присутствует как множитель, (n - 1), (n + 1) члены складываются, а в свойстве геометрической прогрессии ½ присутствует как показатель степени (n - 1), (n + 1) члены перемножаются. В случае с арифметической прогрессией свойство позволяет однозначно определить член прогрессии, а для геометрической прогрессии с точностью до знака 59 Урок 4. Тема урока: Арифметическая и геометрическая прогрессии. Тип урока: урок усвоения теоретического материала (1 час). Учебная задача: Выявить уровень усвоения теоретического материала темы. Диагностируемые цели: В результате ученик: формулирует определения арифметической и геометрической прогрессий; записывает формулы n-ого членов арифметической и геометрической прогрессий; устанавливает сходства и различия между арифметической и геометрической прогрессиями; знает схему доказательства формул n-ого члена; формулирует характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий; формулирует обратные предложения к свойствам арифметической и геометрической прогрессий; воспроизводит схему доказательства характеристического свойства арифметической и геометрической прогрессии; знает сходства и различия характеристических свойств арифметической и геометрической прогрессии; понимает, как на основе свойств арифметической и геометрической прогрессий сформулировать критерий для данных дидактических единиц. 60 ХОД УРОКА. Деятельность учителя Деятельность учащихся Мотивационно – ориентировочный этап. Сегодня мы продолжаем работать с темой «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Вспомним, с какими теоретическими На предыдущих двух уроках мы дали положениями данной темы мы с вами определение арифметической и уже знакомы? геометрической прогрессии, вывели формулы n-го члена, и рассмотрели свойства данных прогрессий и сформулировали эквивалентные Как вы, наверно, уже заметили, мы определения. изучили довольно большой объем теории, а на следующем уроке мы начнем решать задачи по этой теме и, следовательно, знание теории просто необходимо. Итак, цель нашего урока установить, как вы усвоили новый материал. Содержательный этап Давайте вспомним определение Числовая последовательность а1, а2, арифметической прогрессии. а3, ..., ап ,... называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство ап+1 = ап +d, где d некоторое число А теперь вспомните определение Числовая последовательность b1, b2, геометрической прогрессии b3, …, bn, ... называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство bn+1 = bп*q, где bn ≠ 0, qнекоторое число, не равное нулю. В чем сходство определений Арифметическая и геометрическая арифметической и геометрической прогрессии являются числовыми прогрессий? последовательностями. Способ задания рекуррентный. Правильно. А в чем различия? В арифметической прогрессии каждый последующий член получается из предыдущего 61 прибавлением к нему одного и того же числа, а в геометрической прогрессии умножением на одно и то же число. В определении геометрической прогрессии есть ограничения на q и bn (q ≠ 0 и bn≠0). Первое задание определить, верны ли следующие предложения: 1) Последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа, называется арифметической прогрессией. 2) Числовая последовательность, в которой каждый следующий член, получается из предыдущего прибавлением числа, называется арифметической прогрессией Далее к доске вызываются четверо учащихся, они восстанавливают доказательства формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, необходимое и достаточное условие характеристического свойства арифметической прогрессии (Запись на доске ведется в две колонки - для арифметической и геометрической прогрессии). Остальные учащиеся разбирают следующее задание: Задание 1.: Доработать представленные определения до равносильного определения арифметической (геометрической) прогрессии: 1) Последовательность, в которой каждый следующий член, получается из предыдущего прибавлением числа, называется арифметической прогрессией. 2) Последовательность, в которой Утверждение Последовательность числовой. неверно. должна быть Утверждение неверно. условие выполняется со члена последовательности. Данное второго 1) Последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением числа, называется арифметической прогрессией. 2) Последовательность, в которой 62 каждый следующий член, получается из предыдущего умножением на число, называется геометрической прогрессией. каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число, не равное нулю, называется геометрической прогрессией. Приведите контрпример на каждое из доработанных определений, т.е. при невыполнении одного из тех условий, которые вы добавили, определение будет не верно (выделены курсивом). Какие типы задач можно решать, Можно использовать при решении используя определения следующих типов задач: арифметической и геометрической 1)найти разность (знаменатель) прогрессии? арифметической (геометрической) прогрессии; 2) найти n-ый член прогрессии с помощью рекуррентного способа задания; 3) доказать, что последовательность является арифметической (геометрической) прогрессией. Вспомним формулы n-го члена для ап = а1 + (n-1)d арифметической прогрессии. Ребята вспомним как мы доказывали Расписали с 1-го по n-ый член прогрессии по определению эту формулу? арифметической прогрессии и сложили полученные равенства. Дано: а1, а2, а3, ..., ап ,... арифметическая прогрессия, Доказать: ап = а1 + (n-1)d Доказательство: а1 = а1 а2 = а1 +d а3 = а2 +d ….. n равенств сложим почленно ап-1 = ап-2 +d ап = ап-1 +d ап = а1 +d(n-1) Вспомним формулы n-го члена для bn = b1qn-1 геометрической прогрессии. 63 Что общего в формулах n-ых членов Формула зависит от первого члена, для арифметической и номера n и числа (q или d). геометрической прогрессий? Чем они отличаются? В формуле для арифметической прогрессии (n-1) и d множители, а для геометрической прогрессии (n-1) показатель q. Ваше домашнее задание было по аналогии с формулой n-го члена для арифметической прогрессии доказать формулу n-го члена для геометрической прогрессии. Давайте проверим доказательство. Дано: b1, b2, b3, ..., bп ,... арифметическая прогрессия, n-1 Доказать: bn = b1q Доказательство: b1 = b1 b2 = b1 *q b3 = b2 *q ….. n равенств умножим почленно bп-1 = bп-2 *q bп = bп-1 *q bn = b1qn-1 Почему мы можем поделить обе Т.к. из определения геометрической части на : b1, b2, b3, ..., bп-1 ? прогрессии bn≠0. Что общего в доказательствах Используя определение. Записали nформул n-го члена? первых членов прогрессии. Что различного? Почленно сложили(умножили) полученные равенства. Давайте еще раз вернемся к формулам n-ых членов арифметической и геометрической прогрессий. Спрогнозируем, для нахождения Найти разность прогрессии, n-ый каких элементов прогрессии может член. Номер элемента. быть использована данная формула? Какие типы задач можно решать, Такие же, как и для арифметической используя формулу n-го члена прогрессии, т.к. в формуле участвуют геометрической прогрессии? схожие элементы – n-ый член, номер члена и первый член прогрессии. С чем это связано? Это связано с тем, что понятия арифметической и геометрической прогрессии имеют схожую структуру теоретического материала. Далее решите следующие задачи: 1) В арифметической прогрессии Дано: арифметическая прогрессия найти а15 , если а1 = 2 , d=3. а1 = 2, d =3, п = 15 64 Найти а15 Решение: ап = a1 + (п -1)d а15 = 2 + (15 -1)3 а15 = 44 2) Для геометрической прогрессии Дано: геометрическая прогрессия вычислить b6,если b1=3 и q= -1/3. b1 = 3,q = -1/3 Найти: b6 Решение: bn = b1*qn-1, b6 = b1* q6-1, b6 = -1/81 член арифметической А теперь вспомним свойства Каждый арифметической и геометрической прогрессии, начиная со второго, равен прогрессии. среднему арифметическому двух соседних с ним членов Модуль каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов. Спрогнозируем, для нахождения каких элементов прогрессии могут быть использованы данные свойства. Вспомним, как мы доказывали свойство для арифметической прогрессии. Член прогрессии, соседние члены. если известны Дано: а1, а2, а3, ..., ап ,... арифметическая прогрессия Доказать: ап =( ап-1 + ап+1 )/2, n > 1 Доказательство: По определению арифметической прогрессии ап+1 = ап +d Итак, для того, чтобы доказать ап-1 = ап -d, свойство, мы по определению сложив равенства, получаем арифметической прогрессии записали ап =( ап-1 + ап+1 )/2, n > 1 ап+1 и ап-1 через ап, и, сложив полученные равенства, выразили ап, Ребята, вспомните, пожалуйста, обратное утверждение. Как оно Если числовая последовательность формулируется? такова, что каждый член последовательности, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов, то данная 65 Как мы его доказывали? последовательность – арифметическая прогрессия. Мы обратили цепочку рассуждений. Дано: ап =( ап-1 + ап+1 )/2, n > 1 Доказать: а1, а2, а3, ..., ап ,... арифметическая прогрессия Доказательство: ап = ( ап-1 + ап+1 )/2=> 2ап = ап-1 + ап+1 ап - ап-1 = ап+1 - ап = d => ап = ап-1 + d, ап+1 = ап +d.=> а1, а2, а3, ..., ап ,... - арифметическая прогрессия по определению А как звучит обратное утверждение Если числовая последовательность для геометрической прогрессии? такова, что модуль каждого члена последовательности, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов, то данная Вашим домашним заданием было последовательность – геометрическая доказать прямое и обратное прогрессия. утверждения для геометрической прогрессии по аналогии с арифметической. Далее к доске вызываются два Дано: b1, b2, b3, ..., bn,... человека, они записывают геометрическая прогрессия доказательство на доске. Доказать: | bп | = √bп-1bп+1, n > 1 Доказательство: По определению геометрической прогрессии bn+1 = bп*q bn-1 = bп/q умножив равенства, получаем b2п = bп-1bп+1 | bп | = √bп-1bп+1, n > 1 1 Дано:| bп | = √bп-1bп+1, n > 1 Доказать: b1, b2, b3, ..., геометрическая прогрессия Доказательство: | bп | = √bп-1bп+1, b2п = bп-1bп+1 bn,... 66 Остальные учащиеся в это время решают задачи на прямое применение данных свойств. Что общего в доказательствах характеристических свойств арифметической и геометрической прогрессий? Что различного? Как вы сами заметили, структуры доказательств очень похожи. Из того, что верно прямое и обратное утверждения, можно сформулировать критерий. Сформулируйте критерий для арифметической прогрессии. Сформулируйте критерий геометрической прогрессии bn / bп-1= bп+1/ b п= q bn = bп-1q, bn+1 = bп*q Значит, b1, b2, b3, ..., bn,... геометрическая прогрессия Дано: арифметическая прогрессия а18 = -6, а20 = 8 Найти а19 Решение: ап = ( ап-1 + ап+1 )/2 а19 = ( а18 + а20 )/2 а19 = (-6 + 8 )/2 а19 = 1 Дано: геометрическая прогрессия b4 = -1/5, b6 = -1/125 Найти b5 Решение: | bп | = √bп-1bп+1, | b5 | = √b4b6, | b5 | = √,-1/5*-1/125 | b5 | =1/5 b5 =+1/5, b5 =-1/5 Учащиеся рассказывают доказательство. По определению прогрессий записать (n + 1) и (n – 1) члены через n-ый член. Сложить (умножить) равенства. полученные Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. для Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, 67 когда модуль каждого ее члена, начиная со второго равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. последовательность А теперь вспомним равносильные Числовая называется арифметической определения прогрессий. прогрессией, если каждый ее член, начиная со второго равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Числовая последовательность называется геометрической прогрессией, если модуль каждого ее члена, начиная со второго равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Доказать, что числовая Какие типы задач можно решать, последовательность является используя эти определения? арифметической (геометрической) прогрессией. Имеют ли задачи для Да. арифметической и геометрической прогрессии что-либо общее? Это связано с тем, что понятия С чем это связано? арифметической и геометрической прогрессий имеют схожую структуру теоретического материала. Рефлексивно – оценочный этап. Мы вспомнили определение Что мы сегодня сделали на уроке? арифметической и геометрической прогрессии, вывели формулы n-го члена, и рассмотрели свойства данных прогрессий и сформулировали эквивалентные определения. Так же мы спрогнозировали какие типы задач могут встретиться по теме «Прогрессии». Доказать, что последовательность Вспомним, какие типы задач мы с является геометрической (арифметической) прогрессией. вами выделили? Найти разность (знаменатель) прогрессии, n-ый член, номер 68 элемента. В течение оставшихся 10 мин. пишется самостоятельная работа Самостоятельная работа 1. вариант 2.вариант 1. Запишите определение 1. Запишите определение арифметической прогрессии. геометрической прогрессии. 2. Выпишите первые четыре члена 2. Выпишите первые четыре члена геометрической прогрессии ( b п ) , арифметической прогрессии (ап), если b 1 =-2,q =-1/2. если а1 = 3,d = 7. 3. Составьте формулу n-го члена 3. Составьте формулу n-го члена арифметической прогрессии: 7, 5, 3, геометрической прогрессии: 4, 1, ... . 0,25, … . 4. Между числами 16 и 64 4. Между числами 18 и 2 вставьте вставьте отрицательное число так, положительное число так, чтобы чтобы получились три получились три последовательных последовательных члена члена геометрической прогрессии. геометрической прогрессии. Ребята на следующем уроке мы будем решать задачи по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» поэтому повторяем теорию, а на сегодня урок закончен 69 Урок 5. Тема урока: Арифметическая и геометрическая прогрессии. Тип урока: урок решения ключевых задач (1 час). Учебная задача: совместно с учащимися, используя системный подход к решению задач и аналогию, как главные источники метода УДЕ, выделить основные ключевые задачи темы и методы их решения. Диагностируемые цели: В результате ученик: выделяет основные ключевые задачи темы; знает методы решения данных ключевых задач; формулирует новые задачи, аналогичные ключевым; применяет полученные знания при решении задач на уроке ХОД УРОКА. Деятельность учителя Деятельность учащихся Мотивационно – ориентировочный этап. (Устно). Даны арифметические и 1. 7, 9 . Это арифметическая геометрические прогрессии. прогрессия с d= 2. Дописать еще два члена. 2.1, ½ Геометрическая прогрессия с Аргументировать свой ответ. q = 1/2 . 1. 1,3,5,.... 3. 3-3√2, 3-4√2. Арифметическая 2. 8, 4 ,2 , . .. . прогрессия с d= - √ 2 . 3. 3,3-√2,3-2√2,.... 4. 100√5/3, 55√5/3. Геометрическая 4. 12√5/5, 4√5, 20√5/3 … прогрессия с q = 5/3. Вспомним формулу n-го члена для а = а + (n-1)d п 1 арифметической прогрессии. А для геометрической прогрессии? bn = b1qn-1 Итак, чтобы нам записать формулу n- Первый член прогрессии го члена, что нам необходимо знать? знаменатель (разность). Следующее задание формулу n-го члена: и ее записать 70 Арифметическая 1)1,6,11,.... 2)25,21,17,.... 3) -4, -6, -8,.... прогрессия: Арифметическая прогрессия: 1) ап = 1 + (n - 1)5 2) ап = 25 + (n - 1) (-4) 3) ап = -4 + (n - 1) (-2) Геометрическая прогрессия: Геометрическая прогрессия: 1) bn = 4*3n-1 1)4, 12, 36 … 2)3. 1, 1/3 … 2) bn = 3*(1/3)n-1 3)4, -1, ¼ … 3) bn = 4*(-1/4)n-1 Прогрессии окружают нас повсюду, даже в литературе. Вспомним строки из романа А.С.Пушкина «Евгений Онегин», сказанные об его герое: «...Не мог он ямба от хорея как мы ни бились, отличить». Отличие ямба от хорея состоит в расположениях ударных слогов стиха. Ямб - стихотворный метр с ударениями на четных слогах стиха: «Мой дядя самых честных правил...» (2, 4, 6, 8,...). Хорей - стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха: «Буря мглою небо кроет...» (1, 3, 5, 7,..) Но чтобы применять знания на практике, мы должны хорошо знать теорию и решать основные ключевые задачи темы. На прошлом уроке мы решали задания на усвоение определений и формул, а так же спрогнозировали, какие типы задач могут встретиться по теме «Прогрессии». А как вы думаете, какая цель Выделить методы решения основных сегодняшнего урока? ключевых задач по теме: «Прогрессия». Доказать, что последовательность Вспомним, какие типы задач мы с является арифметической вами выделили? (геометрической) прогрессией. Найти разность (знаменатель) прогрессии, n-ый член, номер элемента. 71 Содержательный этап. Задачи, которые мы с вами решим на уроке будем оформлять следующим образом. Разделите тетрадный лист на две колонки. В первой части мы будем делать записи, относящиеся к арифметической прогрессии, во второй к геометрической прогрессии. (Для решения задачи один ученик вызывается к доске, остальные оформляют решение в тетрадях) Рассмотрим следующую задачу: Доказать, что последовательность заданная формулой ап = 1,5 + 3(п -1), является арифметической прогрессией. Как можно доказать, что Показать, что последовательность является определению. арифметической? А сколько арифметической известно? Вспомним их. она удовлетворяет определений Два. Одно основано на рекуррентном прогрессии нам соотношении, другое на характеристическом свойстве арифметической прогрессии. Числовая последовательность а1, а2, а3 , ..., ап ,... называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство ап+1 = ап +d, где d некоторое число. Числовая последовательность называется арифметической прогрессией, если каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Воспользуемся первым определением. Как переформулировать условие задачи, если для доказательства мы будем использовать это определение? Доказать, что каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа, т.е. надо 72 доказать, что разность an+1 - ап одна и та же для всех n (не зависит от n) Решите задачу. Дано: числовая последовательность, заданная формулой: ап = 1,5 + 3(п -1). Доказать: является арифметической прогрессией. Доказательство: ап+1 - ап = 1,5 + 3(п + 1) – (1,5 +3n) = 3 (не зависит от n). А теперь попробуем решить задачу, используя второе определение. Доказать, что каждый член, начиная Переформулируйте задачу, учитывая со второго, равен среднему данное определение. арифметическому двух соседних с ним членов. Таким образом, нам надо взять три последовательных члена последовательности и показать выполнение формулы ап = ( ап-1 + ап+1 )/2. Дано: числовая последовательность, Решим задачу. заданная формулой ап = 1,5 + 3(п -1). Доказать: является арифметической прогрессией. Доказательство: ( ап-1 + ап+1 )/2 =1,5 + 3((п - 1) + 1) +1,5 + 3((n + 1) + 1) = 1,5 + 3(п + 1) = ап. Итак, как мы можем доказать, что последовательность является Доказать, что каждый следующий член, начиная со второго, получается арифметической прогрессией? из предыдущего прибавлением одного и того же числа, т.е. надо доказать, что разность одна и та же для всех n ап+1 - ап одна и та же для всех n (не зависит от n ). Или Доказать, что каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. А теперь рассмотрим следующую задачу. 73 Дана арифметическая прогрессия, у которой а1 = -2, d = 4, п = 5. Найти пятый член прогрессии. Какие существуют способы нахождения n-го члена последовательности? В данном случае как наиболее рационально можно решить задачу? Решим задачу. Используя рекуррентный способ задания или формулу n-го члена. Записать формулу n-го члена и подставить известные нам величины. Дано: арифметическая прогрессия а1 = -2, d = 4, п = 5 Найти а5 Решение: ап = a1 + (п -1)d а5 = -2 + (5 -1)4 а5 = 14 Переформулируйте эту задачу так, чтобы нужно было найти номер Дано: арифметическая прогрессия а1 = -2, d = 4, ап = 14 элемента Найти n Решение: ап = a1 + (п -1)d 14= -2 + (n -1)4 n=5 Давайте проанализируем полученный результат. Какие ограничения накладываются n€N на n? Итак, если некоторое число является членом арифметической прогрессии, то n- какое-то натуральное число. А если мы подставим произвольное число и при решении данного уравнения мы получаем, что n не натуральное. Какой вывод можно сделать об этом Это число не является членом данной числе? прогрессии. Составьте задачу, используя данное свойство. Как мы будем решать задачи такого Подставим значение данного числа типа? (как значение некоторого n-го члена прогрессии) в формулу n-го члена 74 данной прогрессии. Если n имеет натуральное значение, то число является членом данной арифметической прогрессии с номером n. В противном случае число не является членом данной прогрессии. Решите сформулированную вами Дано: арифметическая прогрессия задачу. а1 = -2, d = 4, ап = 25 Найти n Решение: ап = a1 + (п -1)d 25= -2 + (n -1)4 n = 7,75 Число 25 не является членом данной арифметической прогрессии. Переформулируйте эту задачу так, чтобы нужно было найти первый Дано: арифметическая прогрессия a5 = 14, d = 4 член Найти a1 Решение: ап = a1 + (п -1)d 14= a1 + (5 -1)4 a1 = -2 Переформулируйте эту задачу так, чтобы нужно было найти разность арифметической прогрессии. Решите задачу. Дано: арифметическая прогрессия a5 = 14, а1 = -2 Найти d Решение: ап = a1 + (п -1)d 14= -2+ (5 -1)d d=4 Какую формулу мы использовали для решения всех этих задач? Формулу n-го члена Какие типы задач можно решать с Нахождение n-го члена, номера помощью данной формулы? элемента, первого члена и разности арифметической прогрессии и определить, принадлежит ли число данной арифметической прогрессии. Итак, какой общий метод решения Подставить известные величины в составленных нами задач? формулу n-го члена и решить получившееся уравнение 75 относительно искомой величины. Рассмотрим следующую задачу. Найти девятый член прогрессии, если а8 = 126, а10 = 146. С чего начнем решать данную С выбора нужной формулы. задачу? Какую формулу будем использовать? Характеристическое свойство арифметической прогрессии. Решите задачу. Дано: арифметическая прогрессия a8 = 126, а10 = 146 Найти d Решение: ап = (an-1 + an+1 )/2 а9 = (a8 + a10 )/2 а9 = (126 + 146)/2 а9 = 136 Теперь мы знаем три последовательных члена Разность и первый член прогрессии, а арифметической прогрессии, какие значит и формулу n-го члена. элементы прогрессии мы можем найти? Решите данные задачи самостоятельно. Какой метод решения рассмотренных Используя формулу, в которой есть нами задач? искомое число, составить уравнение с одним неизвестным и решить его. Как мы с вами уже выяснили арифметическая и геометрическая прогрессии имеют много схожего. Следовательно, и ключевые задачи у них совпадают. Попробуйте, по аналогии с арифметической Доказать, что последовательность прогрессией, выделить для является геометрической геометрической прогрессии прогрессией Нахождение n-го члена, основные ключевые задачи. номера элемента, первого члена прогрессии, знаменателя геометрической прогрессии и принадлежит ли число данной прогрессии Попробуем, используя разобранные нами задачи для арифметической прогрессии, сформулировать и решить аналогичные задачи для 76 геометрической прогрессии. Рассмотрим задачу. Доказать, что последовательность, заданная гn формулой bп = 7 , является геометрической прогрессией. Проводя аналогию с методами решения данной задачи на доказательство для арифметической прогрессии, как можно доказать, что последовательность является Воспользуемся одним из двух геометрической? определений геометрической прогрессии. Числовая последовательность b1, b2, Вспомним их. b3, …, bn, ... называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство bn+1 = bп*q, где bn ≠ 0, qнекоторое число, не равное нулю. Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Решим задачу, используя первое определение, что для этого нужно Доказать, что каждый следующий сделать? член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число, не равное нулю, т.е. надо доказать, что частное bn+1 / bп одно и то же для всех n (не зависит от n) Дано: числовая последовательность, заданная формулой bп = 7гn Доказать: является геометрической прогрессией Доказательство: bn+1 / bп =7г(n+1) / 7гn =49 не зависит от n. Значит последовательность – геометрическая прогрессия. Решим задачу, используя второе Доказать, что модуль каждого ее определение, что для этого нужно члена, начиная со второго, равен 77 сделать? среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Дано: числовая последовательность, заданная формулой bп = 7гn Доказать: является геометрической прогрессией Доказательство: √bn-1bn+1 = √7г(n-1) 7г(n+1) =√74n=|7гn=|bn| Значит последовательность – Рассмотрим следующую задачу: дана геометрическая прогрессия. геометрическая прогрессия b1 = 4,q = 2. Какие задачи можно составить, Дано: геометрическая прогрессия b1 = 4,q = 2 используя эти данные? Найти: b4 Составьте задачу. Решение: bn = b1*qn-1, b4 = b1* q4-1, b4 = 4*24-1, b4 = 32 Переформулируйте эту задачу, так чтобы нужно было найти номер Дано: геометрическая прогрессия b1 = 4,q = 2,bn = 32 элемента. Найти: n Решение: bn = b1*qn-1, 32 = b1* q4-1, 32 = 4*2n-1, 2n-1 = 8 n–1=3 Какой метод решения данной задачи? n = 4 Используя формулу, в которой участвует искомая величина, составить и решить уравнение. Переформулируйте эту задачу, так Дано: геометрическая прогрессия чтобы нужно было найти первый q = 2,b4 = 32 Найти: b1 член геометрической прогрессии. Решение: bn = b1*qn-1, 32 = b1* 24-1, b1 = 4 Переформулируйте эту задачу, так чтобы нужно было найти Дано: геометрическая прогрессия знаменатель геометрической b1 = 4, b4 = 32 78 прогрессии Найти: q Решение: bn = b1*qn-1, 32 = 4* q4-1, q4-1 = 8 q=2 Есть ли общее в методах решения И в том и в другом случае метод задач для арифметической и решения один и тот же: используя геометрической прогрессии? формулу, в которой участвует искомая величина, составить и решить уравнение. Задание на дом: Составьте и решите все возможные задачи по этим данным b4 = 5, b6 = 20 элементы некоторой геометрической прогрессии. Рефлексивно – оценочный этап. Итак, подведем итог нашего урока. Доказать, что последовательность Вспомним основные ключевые является геометрической задачи темы «прогрессии». (арифметической) прогрессией. Назовите их. Найти разность (знаменатель) прогрессии, n-ый член, номер элемента. Задачи на доказательство: показать, что данная последовательность удовлетворяет определению. Задачи на нахождения элементов прогрессии: используя формулу, в которой участвует неизвестная величина, составить уравнение и решить его. Используя, какой метод мы открыли Метод аналогии. ключевые задачи по теме «геометрическая прогрессия»? 79 Литература 1. Алгебра: Учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений / Ш.А.Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - М.: Просвещение, 2009. 2. Изучение алгебры в 7-9 классах: Кн. для учителя / Ю.М.Колягин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачева и др. - М.: Просвещение, 2002 3. История математики в школе 9-10 кл./ Г.И Глейзер - М.: Просвещение, 1965. 4. Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра. 7-9 классы. Составитель: Бурмистрова Т.А. 5. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. - М.: Просвещение, 1995. 6. Теория и технология обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для педагогических студентов вузов/ математических Т.А.Иванова, специальностей Е.Н.Перевощикова, Л.И.Кузнецова, Т.П.Григорьева; Под ред. Т.А.Ивановой. - Н.Новгород: НГПУ 2009. 7. Эрдниев П.М. Преподавание математики в школе. (Из опыта обучения методом укрупненных упражнений). М.: Просвещение, 1978. 8. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Аналогия в задачах: (Укрупнение дидактических единиц во внеклассной работе по математике). Элиста: Калмыцкое книжное издательство, 1989. 9. Эрдниев П.М. Укрупнение дидактических единиц как технология обучения. Ч.1 и 2.- М.:Просвещение,1992. 80
