Геометрические приложения определенного интеграла

Геометрические приложения определенного интеграла
1. Введение
Данная работа касается практического применения одного из важнейших
понятий математики — интеграла. Определённый интеграл и его приложения
играют важную роль в экономике, физике и других областях науки. Отдельно
выделим применение геометрических приложений определенного интеграла
для вычисления площадей, длин дуг, объемов тел вращения.
Актуальность темы: понятия неопределенного и определенного
интегралов являются одними из ключевых понятий математического анализа. С
помощью методов интегрирования решается задача восстановления функции
по её производной, что находит применение в разных естественнонаучных
дисциплинах.
Я не ставил целью открытие чего-то нового, а лишь систематизировал
известные факты и привлек внимание к понятию, без знаний о котором
невозможны многие разделы физики, техники, экономики; к понятию, без
знания которого несостоятелен современный инженер, экономист, любой
ученый, делающий выборку, оценку результатов, составляющий прогноз
перспектив исследования.
Поскольку невозможно охватить все сферы применения интеграла, я
остановлюсь на классических применениях в математике: вычислениях длин
дуг, площадей и объемов фигур, ограниченных кривыми линиями.
Цель работы: практическое изучение геометрического смысла
определенного интеграла.
Для достижения поставленной цели мне потребовалось выполнить
следующие задачи:
 Анализ литературы и информационного материала
 Изучение понятия определенного интеграла и его свойств
 Использование аналитического метода вычислений интегралов
 Обработка данных и построение графиков с помощью Wolfram
Mathematica
2. Теоретическая основа работы
В математическом анализе интегралом функции называют расширение
понятия суммы. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.
Этот процесс обычно используется при нахождении таких величин как площадь,
объем, масса, смещение и т. д., когда задана скорость или распределение
изменений этой величины по отношению к некоторой другой величине
(положение, время и т. д.).
2.1. Понятие неопределенного и определенного интеграла
Интегральное исчисление решает следующую задачу: нaйти функцию
F(х), зная ее производную F'(х) = f(x). Искомую функцию F(х) называют
первообразной функции f(x).
Если функция F(х) является первообразной функции f(x) на [а; b], то
множество всех первообразных для f(x) задается формулой F(х) + C, где С постоянное число.
Множество всех первообразных функций F(x) + С для f(x) называется
неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом
� � ��. Таким образом, по определению � � �� = � � + �. Здесь f(x)
называется подынтегральной функцией, f(x)dx– подынтегральным выражением,
х – переменной интегрирования, ʃ - знаком неопределенного интеграла [1].
При переходе к решению задач с более конкретным содержанием, а
именно рассмотрении неопределенного интеграла на отрезке �; � появляется
понятие определенного интеграла.
Пусть функция � = � � определена на отрезке �; � , � < �. Для
построения определенного интеграла выполним следующие действия:
1.
Пусть точки �0 = �, �1 , �2 , …. , �� = �(�0 < �1 < … < �� ) разбивают
отрезок �, � на � частичных отрезков �0 , �1 , �1 , �2 , …. , ��−1 , �� .
2.
Возьмем на каждом частичном отрезке произвольную точку с� (� =
1, …, �), принадлежащую отрезку ��−1 , �� .
3.
Вычислим значение функции в точке с� , получим � �� .
4.
Умножим полученное значение � �� на длину соответствующего
частичного отрезка ∆�� = �� − ��−1 , получим � �� ∆�� .
5.
Просуммируем полученные произведения:
�� = � �1 ∆�1 + � �2 ∆�2 + … + � �� ∆�� = ��=1 � �� ∆�� .
6.
Сумма �� называется интегральной суммой функции � = � � на
отрезке �; � . Пусть длина наибольшего частичного отрезка равна λ: λ =
���∆�� .
Тогда определенным интегралом называется от функции � = � � на
отрезке �; � называется предел интегральных сумм:
�
�
� � �� =
���
�→∞,λ→0
�
�=1
� �� ∆�� .
Числа � и � называются нижним и верхним пределами интегрирования
соответственно, � � ��
– подынтегральным выражением, � �
–
подынтегральной функцией. Интегрирование ведётся по переменной � , где
�, � является областью интегрирования.
Функция � = � � , для которой существует определенный интеграл
�
� � �� на отрезке �, � , называется интегрируемой на этом отрезке [2].
�
Свойства определенного интеграла
1.
Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной
�
�
�
интегрирования: � � � �� = � � � �� = � � � ��.
2.
Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования
�
равен нулю: � � � �� =0.
2
�
3.
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
�
с� � �� = с � � � ��.
�
4.
При перестановке пределов интегрирования определённый
�
�
интеграл меняет свой знак на противоположный: � � � �� =− � � � ��.
5.
Интеграл от суммы/разности двух функций равен сумме/разности
�
�
�
� � ± � � �� = � � � �� ± � � � ��.
интегралов от двух функций:
�
6.
Интеграл по всему отрезку интегрирования равен сумме интегралов
по частям этого отрезка:
с
�
�
�
�
� �� = � � � �� + с � � ��.
Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция � = � � интегрируема на отрезке �, � . Если функция
� = � � непрерывна на отрезке �, � и � � – первообразная на �, � (�' � =
� � ), то имеет место формула
�
�
� � �� = �(�)|�� = � � − � � .
Формула Ньютона-Лейбница позволяет удобным способом вычислять
определенный интеграл. Таким образом, для того, чтобы вычислить
определенный интеграл от функции � � необходимо найти первообразную
функцию � � и вычислить разность � � − � � . [3]
Некоторые основные методы интегрирования
�
1) Замена переменной. Для вычисления интеграла � � � ��
от
непрерывной функции можно сделать подстановку x=φ(t). Если:
 Функция x=φ(t) и ее производная x’=φ’(t)непрерывны � ∈ �, � .
 Множеством значений функции x=φ(t) при � ∈ �, � является �, � .
 φ(�)=a и φ(�)=b,
тогда:
�
�
� � �� =
�
�
�(�(�))�'(�) ��.
2) Интегрирование по частям. Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют
непрерывные производные на отрезке �, � , то имеет место формула
�
�
��� = ��|�� −
�
�
��� .
Описанные выше свойства и методы понадобятся для дальнейшей
практической части работы [2].
2.2. Площадь криволинейной трапеции
Пусть непрерывная функция � = � � ≥ 0 задана на отрезке �, � .
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком
функции � = � � , снизу – осью Оx, сбоку – прямыми � = � и � = �. Для того,
3
чтобы вычислить площадь криволинейной трапеции выполним следующие
шаги.
Рис. 1
Разобьем отрезок �, � на � частичных отрезков:
�0 , �1 , �1 , �2 , …. , ��−1 , �� , где �0 = �, �1 , �2 , …. , �� = �(�0 < �1 < … < �� ).
На каждом частичном отрезке ��−1 , �� выберем произвольную точку с�
(� = 1, …, �) и вычислим значение функции в ней: � �� . Умножим полученное
значение � �� на длину соответствующего частичного отрезка ∆�� = �� − ��−1 ,
получим � �� ∆�� . Произведение � �� ∆�� равно площади прямоугольника со
сторонами � �� и ∆�� . Сумма всех произведений �� = � �1 ∆�1 + � �2 ∆�2 +
… + � �� ∆�� = ��=1 � �� ∆��
равна
площади
ступенчатой
фигуры
иприближенно равна площади � криволинейной трапеции:
� ≈ �� =
�
�=1
� �� ∆�� .
Для того, чтобы увеличить точность приближения криволинейной
трапеции ступенчатой фигурой, необходимо уменьшить величину ∆�� . Точная
площадь � криволинейной трапеции равна пределу, к которому стремится
λ = ���∆��
величина �� при неограниченном возрастании � , так что
стремится к нулю:
� = lim �� =
�→∞
���
�→∞,λ→0
�
�=1
� �� ∆�� =
�
�
�(�)�� .
Таким образом, геометрический смысл определенного интеграла состоит
в следующем: определенный интеграл от неотрицательной функции численно
равен площади криволинейной трапеции [2].
2.3. Площади плоских фигур
Площадь криволинейной трапеции, расположенной над осьюOx(f(x)≥0),
�
равна соответствующему определенному интегралу: � = � � � ��.
Рассмотрим криволинейную трапеция, ограниченную линиями y = f (x) ≥
0, x = a, x = b, y = 0 (см. рис. 1). Чтобы найти площадь S этой трапеции сделаем
следующее:
1.
Возьмем произвольную точку x ϵ [a; b] и будем считать, что S=S(x).
4
y
y=f(x)
dS
S(x)
dx
O
a
x
x+dx
b
x
Рис. 2
2. Пусть Δх=dx (х+Δх ϵ [a; b]) – приращение x. ΔS — приращение функции S
=S(x), являющееся площадью «элементарной криволинейной трапеции».
Главной частью приращения ΔS при Δх→0 является дифференциал площади
dS, он равен площади прямоугольника с основанием dx и высотой y:
dS = y · dx.
3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем
�=
y
�
�
� ��
d
y=f2(x)
y=φ(x)
b
y=f1(x)
O
y
b
a
x
O
x
Рис. 3Рис. 4
Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f1(x) и y = f2(x), прямыми х
= а их = b (при условии f2 (x) ≥ f1 (x)) (см. рис. 3), можно найти по формуле:
�=
�
�
�2 � �� −
�
�
�1 � �� =
�
�
(�2 � − �1 � ) ��
Если криволинейная трапеция ограничена прямыми y = c и y = d, осьюOy
и непрерывной кривой x =φ(y) ≥ 0 (см. рис. 4), то ее площадь находится по
�
формуле � = � � �� [2].
2.4. Формула для нахождения длины дуги кривой
В некоторых случаях, при решении инженерных (и не только) задач
возникает необходимость нахождения длины дуги некоторой кривой. И здесь
опять приходит на помощь интеграл.
Длина дуги АВ — это предел, к которому стремится длина ломаной
линии, вписанной в эту дугу, если число звеньев ломаной неограниченно
возрастает, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю. [3]
Покажем, что если функция � = � �
и ее производная �' = �' (�)
непрерывны на отрезке [a; b], то кривая АВ имеет длину, равную
5
�=
Применим метод сумм:
y
�
�
y = f(x)
M1
∆��
A
x0=a x1
x2
xi-1
��
Mi
Mi - 1
M0
O
2
1 + �' �
Mn-1
∆�� ∆��
ci
B
Mn
b= xn x
xi
Рис. 5
1)
Точками �0 = �, …, �� = � �0 < �1 < … < �� разобьем отрезок [a;b]
на n частей (см. рис. 5). Пусть этим точкам соответствуют точки �0 =
�, �1 , … , �� = � на кривой AB. Проведем хорды �0 �1 , �1 �2 , …, ��−1 �� ,
длины которых обозначим соответственно через ∆�1 , ∆�2 , … , ∆�� . Получим
ломаную�0 �1 �2 … ��−1 �� , длина которой равна �� = ∆�1 + ∆�2 + … + ∆�� =
�
∆�� .
�=1
2)
Длину хорды (или звена ломаной) ∆�� можно найти по теореме
Пифагора из треугольника с катетами ∆�� и ∆�� :
∆�� = ∆�� 2 + ∆�� 2 , где ∆�� = �� − ��−1 , ∆�� = � ∆�� − � ��−1 .
По теореме Лагранжа имеем (при � → ∞)[2]:
�� =
�
∆��
�=1
� = ���
���∆�� →0
=
�
�=1
�
∆��
�=1
2
1 + �' ��
=
�
�=1
∗ ∆�� , где �� ∈ ��−1 ; �� и поэтому
1 + �' ��
2
∗ ∆�� =
�
�
1 + �' �
2
��.
2.5. Формула для нахождения объема тела вращения
Телом вращения вокруг оси Ох называется фигура, полученная от
вращения вокруг оси Oxкриволинейной трапеции, ограниченной графиком
непрерывной на отрезке [a;b] кривой � = � � и прямыми y=0, x=a и x=b (см.
рис.6).
Объем тела вращения вокруг оси Ox определяется по формуле:
�
�� = � � �2 ��
y
y
d
a
b
O
x
c
O
Рис. 6
Рис. 7
6
x
Телом вращения вокруг оси Oy называется фигура, полученная от
вращения вокруг оси Oy криволинейной трапеции, ограниченной графиком
непрерывной на отрезке [a;b] кривой � = � � и прямыми x=0, y=c и y=d (см.
рис.7).
Объем тела вращения вокруг оси Oy определяется по формуле:
�
�� = � � �2 ��
3. Практическое применение
3.1. Примеры нахождения определённых интегралов
1 3
�
� + 2�2 + + 1 �� =
1.
0
13
0
2∙13
��� +
−
3
2∙03
3
2.
+
3.
4.
1
1�
2�2 �� 0 ��
0
2
12
02
4
−
2
+
+1−0=
8
1
1��
0
=
�4/3 1
|
4/3 0
+
2�3 1
|
3 0
+
�2 1
|
4 0
+ �|10 =
14/3
4/3
−
04/3
4/3
+
4
3
�/2
cos 2� �/2
cos 0
cos �
sin
2�
��
=−
|
=−
+
= 1.
0
0
2
2
2
2 ��
1
�
1
2
1
−2
1 �
1 −�
�
= 2 ����� |2−2 = ����� − ����� = ∙ − ∙ =
−2 4+�2
2
2
2
2
2
2 4
2 4
4
��2 �
��2
� �� = �� |��2
− �0 = 2 − 1 = 1.
0 =�
0
� ���
�
(���)2 �
(���)2
(��1)2
12
02
1
��
=
���
�(���)
=
|
=
−
=
−
= .
1
1 �
1
2
2
2
2
2
2
.
5.
3.2. Примеры нахождения площади криволинейной трапеции, площадей
плоских фигур
Для построения графиков использовались возможности пакета Wolfram
Mathematica.
1) � = 3� − �2 и � =− �
Найдем точки пересечения прямой и параболы:
3� − �2 =− � => �2 − 4� = 0 => �1 = 0, �2 = 4
S=
4
0
(3� − �2 − −� �� =
2 ∗ 42 −
3
4
0
4�2 �3
2
(4� − � ) �� =
−
2
3
4
64 32
= 32 −
=
(ед2 )
3
3
3
Пример 1)
Пример 2)
2) � = �2 − 2� + 2 и � = 2 + 4� − �2
Найдем точки пересечения парабол:
7
4
0
�3
= 2� −
3
4
0
=
�=
6�2
3
2 0
�2 − 2� + 2 = 2 + 4� − �2 => 2�2 − 6� = 0 => �1 = 0, �2 = 3
3
=
0
2 + 4� − �2 − �2 − 2� + 2
=− 2 ∗
3
33
3
�� =
+ 3 ∗ 32 =− 18 + 27 = 9 ед2
3
0
−2�2 + 6� �� =
−2�3
3
3) � = � и � + � = 4
Найдем точки пересечения гиперболы и прямой:
3
3 − 4� + �2
= 4 − � =>
= 0 ;� ≠ 0
�
�
� = 16 − 12 = 4
4±2
; �1 = 3; �2 = 1
�1,2 =
2
�=
3
1
4−�−
3
�
�� = 4� −
�2
2
− 3 ln x
3��1 = 8 − 4 − 3��3 = 4 − 3��3 (ед2)
Пример 3)
4) � =
S=
45
83
1
3
2
8 1
� 3 ��
1
=
4
� 3
4
3
3 4
= 4�
3
(ед )
5) � = �−� , � = 0, � = 1, � = 2
2
2
S = 1 �−� �� =− 1 �−x � −� = − �−�
д2)
=
4
1
9
1
= 4 ∗ 3 − 2 − 3��3 − 4 + 2 −
Пример 4)
�, � = 0, � = 1, � = 8
� �� =
3
++
8
1
2
1
8
3
=4 8
4
3
4
−1
3
3
= 4 ∗ 15 =
=− �−2 − − �−1 = �−1 − �−2 =
�−1
�2
(е
Пример 5)
�
�
6) � = ����, � = 0, � =− 2 , � =− 4
�
−
�4 ���� ��
−
�=
2
= ����
�
4
�
−
2
−
= sin −
�
4
Пример 6)
− sin −
�
=−
2
2
2
+1 =
2− 2
3.3. Примеры нахождения длины дуги кривой
2
(ед2)
�2 = �3
1)
Найти длину дуги полукубической параболы от начала координат до
точки (4;8)
3 1
�, = �2
2
�=
9
4
0
1
2
1+
9
2
3 1
�2 �� =
2
4
�) � 1 + � = ∗
4
4
9
1 =
8
27
9
4
3
2
4
0
(1+ �)3/2
10 10 − 1 (ед)
9
1 + 4 � �� =
4
0
=
8
4
0
9
1+ 4�
1+ ∗4
4
27
9
3
2
1
2
�� =
9
4
(1 +
0
9
4
− 1+4∗0
3
2
=
8
27
3
102 −
Пример 1)
Пример 2)
2)
Найти длину дуги кривой между точками eё пересечения с Ох:
1
� = 3 − � �, � = 0;
3
1
3 − � � = 0; �1 = 0; �2 = 3
3
3
1
3 � − �2
3
�, =
�,
�=
1
=2
2
=
3
0
3
0
2 �)
3
0
,
�−
=
1 −1
� +�−2
4
3
2
�
3
,
1
1
1 + �−1 + � − 2 �� =
4
2
�−1 + � + 2 �� =
= 2 3 (ед)
3
0
2
1
1 1 1 3 1 1 1 1 1
= �−2 − ∗ �2 = �−2 − �2
2
3 2
2
2
3
0
�+
4 + �−1 + � − 2 �� =
1
�
9
2
1
�� = 2
3
0
�+
1
�
�� =
1
2
(
2� �
3
+
3)
Длина дуги параболы � = �2 от � = 0 до � = 1
�' = 2�
1
1
� = 0 1 + 2� 2 �x = 0 1 + 4�2 �� =
�� =
�
���
�
2 1+4�
= 1 + 4�2 ∗ �
1 4�2 ��
0 1+4�2
1
0
5
2
1
0
1
0
1
0
4���
1+4�2
1 �∗4���
1
0− 0
1+4�2
1 1+4�2 −1
��
0
1+4�2
�� = ��
�� = �
�=
+
1 + 4� �� + �� 2 + 5 − ��1 = 5 −
2
2
1
0
1 � 2�
2 0 1+ 2� 2
1
2
1
= 5−
= 5−
1
0
1
1 + 4�2 �� =
2
1
= 5−
2
1+
4�2 ��
1
1
0
+ 2 ln 2 +
=
2
1
1 + 4�2 �� = 5 + ln 2 + 5
1
1 ��
0 1+4�2
1 + 4�2 �� + �� 2� + 1 + 4�2
Интеграл свелся к себе, получено уравнение:
1
1
1 + 4�2 �� = 5 − 0 1 + 4�2 �� + ln 2 + 5
5
= �� �� −
= 1 + 4 ∗ 12 ∗ 1 − 1 + 4 ∗ 02 ∗ 0 −
1 1+4�2
��
0 1+4�2
= 5−
1 + 4�2 �� +
5−
1
0
� = 1 + 4�2
1
∗ 8��� =
2
2
+ 4 ln 2 + 5 (ед)
3.4. Примеры вычисления объемов тел вращения
1)
Объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры,
ограниченной линиями: � = �, � = 1, � = 4, � = 0
4
4
4
�2
16
1
� 15�
2
� �� = �
��� = �
�=�
= � − � = 8� − =
(ед3 )
2
2
2
2
2
1
1
1
10
�2 = 2�, �2 = � вокруг оси Ох
2)
Точки пересечения:
�2 = 2�
2 2
2 => (� ) = 2�
�=�
3
4
� − 2� = 0 = > � �3 − 2 = 0 = > � = 0, � = 2
� = �2 − �1 = �
�5
5
3
0
2
=�
3
2
3
0
2
2
−
3
2
2� �� − �
2
5
5
=�
3
3
0
2
8−
3
2 2
�
32
5
�� = �
=
3
3
0
3
2
8� 5− 4
5
2� − �4 �� = � �2 −
(ед3 )
4. Заключение
В данной работе были изучены геометрические приложения
определенного интеграла. Определенный интеграл может быть использован для
вычисления площадей фигур, длин дуг, объемов тел вращения. В ходе
теоретической части работы был проведен обзор литературы и
информационного материала, посвященного неопределенным и определенным
интегралам. Были рассмотрены понятия неопределенного интеграла,
определенного интеграла, их свойства, методы вычисления, такие как замена
переменной, интегрирование по частям. Были получены формулы для
нахождения площадей фигур, длин дуг и объемов тел вращения.
В практической части работы самостоятельно был вычислен ряд
определенных интегралов. Были получены их геометрические интерпретации.
11
Для построения наглядных графиков использовались возможности пакета
Wolfram Mathematica.
Результаты, полученные в ходе выполнения работы «Геометрическое
приложение определенного интеграла» могут быть использованы при решении
физических, биологических и экономических задач, т.к. они являются
математической моделью, применяемой в различных сферах.
Применяемая для построения графиков программа Wolfram Mathematica
открывает широкие возможности для исследования физических и природных
процессов, когда они иллюстрируются графиками функций.
5. Список использованной литературы
1) Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
Том 2.– Москва.: Физматлит, 2001.
2) Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс. 4-е
издание. – Москва.: Айрис Пресс, 2006.
3) Зорич В.А. Математический анализ. Часть I. – Москва.: МЦНМО, 2012.
4) Ефимов А.В., Демидович Б.П. Сборник задач по математике для втузов.–
Москва.: Наука, 1981.
5) Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.
– Москва.: МГУ, 1998.
6) Ананченко К.О. Учебник Алгебра 11 класс. – Минск.: Народная асвета, 1998.
7) Сивашинский И.Х. Элементарные функции и графики. – Москва.: Наука,
1978.
8) Поддубная О.Н. Сборник задач и упражнений по высшей математике. –
Минск.: БГЭУ, 2014.
9) S. Wolfram. An Elementary Introduction to the Wolfram Language: Wolfram
Media, Inc., 2015.
12