Элементы комбинаторики Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский означает – «соединять». Комбинаторика раздел математики, изучающий вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Комбинаторика занимается различного рода соединениями, которые можно образовать из элементов некоторого конечного множества. Комбинаторика - важный раздел математики, необходимый представителям самых разных специальностей. С комбинаторными задачами встречаются физики, химики, биологи, лингвисты, криптографы и др. Комбинаторные методы лежат в основе решения многих задач теории вероятностей и ее приложений. Комбинаторные соединения — это различные комбинации из каких-либо элементов. Факториал числа — это произведение всех натуральных чисел до этого числа включительно. Обозначается с восклицательным знаком (!) после числа. n! = 1 · 2 · 3 · 4 · … · (n-2) · (n-1) · n Пример: 3!=1*2*3=6 5!=1*2*3*4*5=120 0! =1 1!=1 Значения факториалов от 0 до 10. 0! = 1 1! = 1 2! = 1 · 2 = 2 3! = 1 · 2 · 3 = 6 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720 7! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 5040 8! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 40320 9! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 = 362880 10! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 = 3628800 Типы соединений: Перестановки Размещения Сочетания Схемы выбора элементов: Без повторений С повторениям Задача Сколькими способами могут три человека встать в очередь к театральной кассе? Решение: Существует 3 места, которые должны занять 3 человека. На первое место может стать любой из 3 человек, т.е. способов занять первое место – 3. После того, как один человек стал на первое место, осталось 2 места и 2 человека, которые могут быть на них размещены, т.е. способов занять второе место – 2. Аналогично для третьего места – 1 человек – 1 способ. Получаем произведение 3*2*1. Такое произведение обозначается как 3! (читается три факториал) и называется перестановкой P3. ПЕРЕСТАНОВКИ без повторений — комбинаторные соединения, которые могут отличаться друг от друга лишь порядком входящих в них элементов Пример: Даны элементы 1,2,3 Все перестановки: (1,2,3) (2,1,3) (3,1,2) (1,3,2) (2,3,1) (3,2,1) Количество перестановок без повторений определяют по формуле: Pn=n!, где n – количество элементов Пример: Даны элементы 1,2,3 n=3 Р3=3!=1*2*3=6 с повторениями — комбинаторные соединения, которые могут отличаться друг от друга лишь порядком входящих в них элементов, при чем среди образующих элементов имеются одинаковые Пример: Даны элементы 5,3,3 Все перестановки: (5,3,3) (3,5,3) (3,3,5) Количество перестановок с повторениями определяют по n! формуле: Pn,m1,m2 …= , m1 ! m 2 !... где n – общее количество элементов mi – количество элементов каждого вида Пример: Даны элементы 5,3,3 n=3 , m1=1, m2=2 ,Р3,1,2= 3! =6/2=3 1!2! Задача 1. Сколько четырёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 1,2,3,4, если каждая цифра входит в число только один раз? Решение: n=4, перестановки без повторений Pn = 4! = 1*2*3*4 = 24 Задача 2. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней она даёт сыну по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано? Всего фруктов 5: n=5, перестановки с повторением Яблок – 2: m1=2 Груш – 3: m2=3 Решение: Pn = 5!/(2!*3!) = (1*2*3*4*5)/(1*2*1*2*3) = =20/2=10 Задание для самостоятельного решения с использованием формул перестановок (с повторением и без повторения) смотрим в прилагаемом pdf-файле. При выполнении задания учитывается: - аккуратность выполнения - своевременность выполнения - правильность выполнения
