10

Вариант 15
Задание 10
По подставленной в задании 5 выборке проверить гипотезу о
соответствии эмпирического закона распределения нормальному. Уровень
значимости выбрать 𝛼 = 0,1.
Решение
При решении задания 5 мы построили интервальный вариационный
ряд частот (см. таблицу 5.3):
В силу того, что область значений нормальной случайной величины
(−∞; +∞), то расширим первый и последний интервалы слева до −∞ и
справа до +∞ соответственно.
№
(𝛼𝑖−1 ; 𝛼𝑖 )
𝑛𝑖
1
2
3
4
5
6
7
(24,75;
28,75)
(28,75;
32,75)
(32,75;
36,75)
(36,75;
40,75)
(40,75;
44,75)
(44,75;
48,75)
(48,75;
52,75)
4
7
24
26
16
2
1
Σ
80
При решении задания 7 мы нашли эмпирическое среднее 𝑚𝑥∗ ≈
37,25375 и исправленное среднее квадратическое отклонение 𝑆𝑥 ≈ 4,67.
Введем обозначение 𝑧𝑖 =
𝑎𝑖 −𝑚𝑥∗
𝑆𝑥
, тогда, используя формулу (1.36) и
таблицу А.1 стандартного нормального распределения, вычислим
гипотетические вероятности попадания в интервалы 𝑝𝑖 = (𝛼𝑖−1 ; 𝛼𝑖 ).
𝑖
𝛼𝑖−1
𝛼𝑖
𝑧𝑖−1
𝑧𝑖
𝐹(𝑧𝑖−1 )
𝐹(𝑧𝑖 )
𝑝𝑖
1
−∞
28,75
−∞
-1,82
0,000
0,0344
0,0344
2
28,75
32,75
-1,82
-0,96
0,0344
0,1685
0,1341
3
32,75
36,75
-0,96
-0,11
0,1685
0,4562
0,2877
4
36,75
40,75
-0,11
0,75
0,4562
0,7734
0,3172
5
40,75
44,75
0,75
1,6
0,7734
0,9452
0,1718
6
44,75
48,75
1,6
2,46
0,9452
0,9931
0,0479
7
+∞
48,75
+∞
2,46
0,9931
1,000
0,0069
Вычислим гипотетические частоты интервалов
𝑖
𝛼𝑖−1 ; 𝛼𝑖 )
1
(−∞; 28,75)
4
0,0344
2,752
2
(28,75; 32,75)
7
0,1341
10,728
3
(32,75; 36,75)
24
0,2877
23,016
4
(36,75; 40,75)
26
0,3172
25,376
5
(40,75; 44,75)
16
0,1718
13,744
6
(44,75; 48,75)
2
0,0479
3,832
7
(48,75; +∞)
1
0,0069
0,552
𝑛𝑖
𝑝𝑖
𝑛𝑝𝑖
Так как гипотетическая частота первого интервала 𝑛𝑝1 = 2,752 < 5,
объединим его со вторым. Так как гипотетическая частота шестого
интервала 𝑛𝑝1 = 3,832 < 5, объединим его с пятым. Так как гипотетическая
частота седьмого интервала 𝑛𝑝7 = 0,552 < 5, объединим его с пятым. После
чего вычислим статистику критерия, для этого составим следующую
таблицу:
i
1
2
3
4
(ai-1; ai)
(-…; 32,75)
(32,75; 36,75)
(36,75; 40,75)
(40,65; +...)
Сумма
ni
pi
npi
ni-npi
(ni-npi)^2
((ni-npi)^2)/npi
11 0,1685 13,48
-2,48
6,1504
0,456261128
24 0,2877 23,016
0,984
0,968256
0,042068822
26 0,3172 25,376
0,624
0,389376
0,015344262
19 0,2266 18,128
0,872
0,760384
0,041945278
80
0,55561949
С учетом того, что количество интервалов разбиения 𝑚 = 4, число
оцененных по выборке параметров 𝑠 = 2, то число степеней свободы
статистики равно 𝑚 − 𝑠 − 1 = 4 − 2 − 1 = 1. По таблице Г.1 найдем
критическое значение
2
𝑋крит
= ℎ1−0.1 (1) = ℎ0.9 (1) = 2,7055
В силу того, что
2
𝑋 2 < 𝑋крит
,
то гипотеза 𝐻0 принимается, т.е. с вероятностью 0,9 можно считать, что
выборка изъята из нормального распределения.