МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВО «Тувинский государственный университет»
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Выпускная квалификационная работа
(бакалаврская работа)
Методика изучения тригонометрических функций в
курсе «Алгебра и начала анализа» в 10 классе
Работа допущена к защите
Зав. кафедрой ____________
Танзы М.В., к.п.н., доцент____
Студента (ки)_5_курса_1_группы
направления подготовки 44.03.05
ПО (с двумя профилями подготовки)
профили «Математика» и «Информатика»
очной формы обучения
(фамилия, и.о., уч.степень, звание)
Монгуш Айгуль Альбертовны__________
(Ф. И. О.)
Работа защищена «__»________20__г.
С оценкой ______________________
Председатель ГЭК ______________
___________________________________
(подпись)
«__»________________________20___г.
(подпись)
Биче-оол И.Н. директор ГАОУ «Тувинский
республиканский лицей-интернат»_
Члены комиссии ________________
Научный руководитель: _____________
(подпись)
_______________________________
Кара-Сал Н.М., к.п.н., доцент_________
_______________________________
кафедры математики и МПМ__________
(фамилия, и. о., должность, уч.степень, звание)
(подписи)
Кызыл – 2020г.
Содержание
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Глава I. Теоретические основы деятельностного подхода в обучении
математике
1.1 Теоретические основы деятельностного подхода в обучении. . . . . . . . . . 7
1.2 Приемы учебной деятельности как компонент содержания обучения
математике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Глава II. Методика изучения тригонометрических функций в курсе
«Алгебры и начал анализа» в 10 классе.
2.1 Анализ школьных учебников по алгебре и началам анализа в 10 классе.14
2.2 Методика изучения основных тем в разделе «Тригонометрические
функции» в курсе 10 класса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1. Тригонометрические функции числового аргумента . . . . . . . . . .21
2.2.2 Основные свойства тригонометрических функций . . . . . . . . . . . 23
2.3 Разработки уроков по теме «Тригонометрические функции» . . . . . . . . . 49
2.4 Апробация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2
Введение
В настоящее время изучению тригонометрических функций именно как
функций числового аргумента уделяется большое внимание в школьном
курсе алгебры и начал анализа. Существует несколько различных подходов к
преподаванию данной темы в школьном курсе, и учителю, особенно
начинающему, сложно определить, какой подход является наиболее
подходящим. А ведь тригонометрические функции представляют собой
наиболее удобное и наглядное средство для изучения всех свойств функций.
Одной из важнейших линий школьного курса математики является
функциональная, так как функции являются базой для решения многих задач
по математике. Знания, полученные в курсе тригонометрии, имеют
внутрипредметный и межпредметный характер, используется в физике,
химии и т.д.
Материал раздела «Тригонометрические функции» обладает широкими
возможностями для систематизации и обобщения знаний. К моменту
изучения тригонометрии у школьников имеется достаточный багаж знаний
по функциям и их свойствам, по методам решения алгебраических
уравнений, по различным видам тождественных преобразований и т. д.
Однако, анализ результатов ЕГЭ по математике, практика школы
показывает, что учащиеся допускают ошибки при выполнении заданий по
тригонометрии, в частности, по использованию свойств тригонометрических
функций.
С другой стороны, обеспечение необходимого качества знаний по
тригонометрии представляет собой важную задачу обучения математике. Но
это задача решается далеко не на должном уровне.
Анализ психолого-педагогической и методической литературы
показывает, что различным аспектам методики преподавания тригонометрии
3
посвящены работы ученых – методистов А.Г. Мордкович [1], В.С. Крамор
[15], А.Я Цукарь [17], А.П. Карп [13], М. И. Башмаков [3], А Ш. Алимов [2] и
др. В них недостаточно полно рассматриваются вопросы методики изучения
раздела «Тригонометрия», в частности, по использованию некоторых свойств
функций, как нахождение множества значений, нахождение промежутков
знакопостоянства.
Все это подтверждает актуальность и обусловило выбор темы
исследования ВКР «Методика изучения тригонометрических функций в
курсе «Алгебра и начала анализа» в 10 классе».
Объектом исследования является учебная деятельность школьников
по изучению тригонометрических свойств.
Предмет исследования – система задач по теме «Тригонометрические
функции», классифицированных по типам в курсе алгебры и начал анализа в
10 классе.
Цель: разработка методики изучения свойств тригонометрических
функций в курсе «Алгебры и начала анализа» в 10 классе.
Гипотеза– если разработать систему задач по теме
«Тригонометрические функции», классифицированных по типам, то это
способствует повышению качества знаний школьников по тригонометрии.
Для достижения поставленной цели и проверки гипотезы, необходимо
было решить следующие задачи:
1. Провести сравнительный анализ учебно – методической литературы по
разделу: «Тригонометрические функции».
2. Изучить теоретические вопросы, связанные с методикой обучения
учащихся решению задач по данному разделу.
4
3. Разработать систему задач по разделу «Тригонометрические функции»,
классифицированных по типам.
4. Провести апробацию.
Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.
Первая глава посвящена теоретическим основам изучения
тригонометрических функций и вопросам, связанным с теорией учебной
деятельности в обучении математике.
Во второй главе разработана методика обучения учащихся
тригонометрическим функциям. При этом выделены нами следующие типы
по решению задач раздела «Тригонометрические функции» в курсе алгебры
и начал анализа :
1. Задачи, связанные с работой на числовой окружности.
2. Задачи на нахождение области определения и множества значений
функции.
3. Задачи на тождественные преобразования тригонометрических
выражений.
4. Задачи на четность (нечетность) тригонометрических функций.
5. Задачи на нахождение нулей тригонометрических функций.
6. Задачи на монотонность тригонометрических функций.
7. Задачи на периодичность тригонометрических функций.
8. Задачи на нахождение промежутков знакопостоянства
тригонометрических функций.
9. Задачи на построение графиков тригонометрических функций.
10. Комбинированные задачи
В этой же главе сделан анализ учебников алгебры и начал анализа 10
класса и сделан вывод о том, что наиболее удачным является как в
5
теоретическом плане, так и с точки зрения задачного материала учебник и
задачник А. Г. Мордковича « Алгебра и начала анализа».
В заключении второй главы дано описание апробации, проведенной в
МБОУ СОШ №1 г.Чадан в десятом классе.
Работа завершается заключением и списком литературы.
Глава I. Теоретические основы деятельностного подхода в
обучении математике
1.1 Теоретические основы деятельностного подхода
Психологическую основу концепции деятельностного подхода к
обучению составляет положение: усвоение содержания обучения и развитие
ученика происходят не путем передачи ему некоторой информации, а в
процессе его собственной активной деятельности. [5, 6] Знания
приобретаются и проявляются только в деятельности. За умениями,
навыками и развитием ученика всегда стоит действие с определенными
характеристиками (восприятие, осознание, запоминание, воспроизведение и
т.д.). Эти действия образуют так называемый полный цикл учебнопознавательной деятельности (УПД) по усвоению содержания обучения:
восприятие, осмысление, запоминание, применение, обобщение и
систематизация информации, контроль и оценка усвоения[5, 6].
Из этого положения следует понятие уровень усвоения – способность
учащегося выполнять целенаправленные действия по решению
определенного класса задач, связанных с использованием объекта изучения.
В.П. Беспалько [7] различает четыре таких уровня: I – уровень знакомства; II
– уровень «репродукции»; III – уровень умений; IV – уровень трансформации.
Иногда по этому же основанию выделяют три уровня учебно-познавательной
деятельности учащихся: 1 уровень – репродуктивной деятельности
6
(заученные готовые знания могут быть использованы учеником в случае
надобности); 2 уровень – поисковый деятельности (знания получаются
учеником в ходе проб и ошибок и свободно используются); 3 уровень –
творческой деятельности (используются оригинальные пути достижения
новых знаний методов познания).
Т.И. Шамова [8] при определении уровней усвоения знаний и способов
деятельности использует дополнительно понятие «готовность» - система
условий (физиологического, психологического, учебного, социального
характера) успешного выполнения любой деятельности. Тогда I уровень –
готовность к воспроизведению осознанно воспринятого и зафиксированного
в памяти знания; II – уровень готовность применять знания по образцу и в
знакомой ситуации; III уровень- готовность на основе обобщения и
систематизации к переносу знаний и способов деятельности в ситуации их
применения; IV уровень – готовность к творческой деятельности.
Психолого – педагогические исследования и опыт разработки и
применения педагогических технологий показывают, что и оценивать знания
и умения учащихся целесообразно на тех же уровнях, а именно: I уровень понял, запомнил, воспроизвел; II уровень – овладел знаниями на первом
уровне, применил их по образцу и в измененных условиях, где можно узнать
образец; III уровень – овладел знаниями на втором уровне и научился
переносить их в незнакомую ситуацию без предъявления способов
деятельности; IV уровень – творческая деятельность может – может не
достигаться никем из учащихся, это уровень одаренных детей.
Уровни усвоения знаний и способов деятельности соотносятся с
процессами полного цикла УПД: I уровень (ступень) реализуется во время
восприятия, первичного обобщения, осмысления; II уровень (ступень) – во
время осмысления, вторичного обобщения, запоминания и применения в
стандартных ситуациях; III уровень (ступень) – во время итогового
7
обобщения и систематизации изученного, его применения в нестандартных
ситуациях.
1.2 Совершенствование методов обучения на основе деятельностного
подхода
Как отмечает Епишева О.Б. [9], суть этого направления в дидактике
заключается в переориентации процесса обучения с конечных результатов на
сам процесс овладения учеником этими результатами и осознания им
способов деятельности и значимости для себя процесса учения. Оно
развивалась следующим образом.
Политехническое обучение (50-е гг.), осуществляющее связь между
теорией и практикой, между умственным и физическим трудом в процессе
обучения и воспитания. Для курса математики средней школы
политехническое обучение сводилось к трем линиям: углублению,
осознанности теоретических знаний; совершенному овладению
математической техникой – измерениями, вычислениями, преобразованиями,
построениями; умению прилагать математические знания к решению
практических вопросов.
Активизация учебно – познавательной деятельности школьников (6070-е гг.) основано на использовании в обучении дидактического принципа
активности, содержание которого образуют следующие требования:
постановка проблем в процессе обучения, стимулирование и поощрение
инициативы обучаемых к поиску новых решений и обеспечение их
самостоятельной деятельности, формирование приемов творческой
деятельности учащихся. Основные методы активного обучения: «липецкий
опыт»; эвристический метод (разновидности эвристического метода –
эвристическая беседа, самостоятельный поиск решения задачи,
самостоятельная работа исследовательского характера); дидактические игры.
8
Дальнейшее совершенствование эвристического метода в направлении
активизации обучения привело к становлению, во – первых,
самостоятельной работы учащихся (осматриваемой как метод обучения,
форма организации познавательной деятельности учащихся и средство
обучения). С понятием самостоятельной работы как вида самостоятельной
деятельности ученика связанно понятие познавательной
самостоятельности учащихся как качество личности. «Главный признак
самостоятельной деятельности, выражающей ее сущность, заключается не в
том, что цель деятельности ученика носит в себе одновременно и функцию
управления этой деятельностью».
Во – вторых, это – создание метода проблемного обучения,
включающего понятие проблемной ситуации, структуру проблемного урока,
уровни проблемного обучения самый высокий из которых составляет основы
исследовательского метода обучения.
В – третьих, развитие традиционных методов обучения в направлении
активизации привело к расширению роли задач в обучении. Задачи
становятся важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой
учащимися усваивается теория, формируются умения и навыки, развивается
самостоятельное мышление, активизируется процесс учения.
Таким образом, сложился дидактический принцип постепенного
возрастания самостоятельности учащихся в обучении, а в построении
системы задач – принцип разработки с постепенным возрастанием уровня
проблемности, в дальнейшем – уровня сложности и трудности.
1.3 Проблема формирования у учащихся умения учиться
Специальные исследования показывают точка, что
несформированность умения и навыков учебной деятельности является
одной из причин неумение мыслить, а это ведет к перегрузке учащихся, не
успеваемости, нежелание учиться и даже ухудшению здоровья. Результатом
9
неумения учиться является лень (В. А. Сухомлинский)[10]; Задержки в
развитии психики, обостряющиеся в условиях совместного влияние таких
неблагоприятных факторов, как рост заболеваемости, в лечении объема
изучаемого материала по годам обучения; преступность несовершеннолетних
и другие явления.
С точки зрения деятельностного подхода к обучению учащихся надо
вооружать систему общих и специфических приемов деятельности – как
умственной, так и практической. В исследованиях проблемы «Учить
школьников учиться» выделяется проблема формирования общеучебных
умений и навыков, носящих универсальный характер. Владение
совокупностью основанных общеучебных умений и навыков называют
умением учиться. Выбор и применение в каждом конкретном случае
оптимального варианта выполнение учебных заданий означает
рациональную организацию учебной деятельности.
Существует два пути усвоения приемов деятельности – стихийный и
управляемый. В первом случае приемы деятельности не являются предметом
специального усвоения, их формирование идет (или не идет) лишь по ходу
усвоению знаний, в процессе решения задач и т.д. При этом они не всегда
осознаются учащимися и, следовательно, не всегда приводят к желаемому
результату (остаются недостаточно осознанными и обобщенными и поэтому
ограниченными в применении). По второму случаю резко сокращается время
формирования приемов деятельности, повышается уровень самостоятельной
учебной деятельности учащихся. Следует отметить, что и попутное
ознакомление учащихся с приемами деятельности недостаточно – можно
знать о способе деятельности, но не владеть им.
Современные педагогические исследования свидетельствуют, что при
обучении приемом учебной деятельности учащиеся обнаруживают не только
более высокий уровень усвоении предмета, но и более высокий уровень
мышления и умение учиться.
10
1.4 Приемы учебной деятельности как компонент содержания
обучения математике
Если цели обучения формулируются через результаты, выраженные в
действиях учащихся, то в учебном процессе существенную роль должно
играть усвоение учащимися приемов выполнения этих действий (или
приемов достижения эталонов учебной деятельности). Приемы учебной
деятельности должны быть предметом специального изучения и усвоения,
включаться в содержание обучения, планироваться программой,
тематическим планом и планом урока.
Чтобы включить в содержании обучения математике формирование
приемов учебной деятельности по усвоению изучаемого материала,
необходимо определить содержание и структуру этой учебной деятельности:
выделить учебные задачи, связанные с достижением поставленной целей, и
приемы их решения.[5, 6] Это можно сделать с помощью следующей схемы
анализа изучаемого материала:
Типология
Конкретный
учебных
тип
Знания и
Умения
необходимые
для решения
задачи
данного типа
задачи
задач
Соответств
ующий
прием
деятельнос
ти
Приемы учебной деятельности должны составлять систему,
адекватную системе изучаемого материала и системе учебных задач по его
усвоению, а также развитию и воспитанию учащихся средствами
математики. Построение такой системы приемов осуществляется с помощью
их классификации.
Классификация приемов учебной деятельности учащихся в обучении
математике выполнена по двум основаниям: характер (тип) учебной
деятельности учащихся по усвоению изучаемого материала и этапы полного
11
цикла УПД учащихся по усвоению знаний и способов деятельности с
содержанием учебного предмета и типами его учебных задач, второе – с
организацией реального учебного процесса. Выбор этих оснований
объясняется целями классификации – представить приемы учебной
деятельности в качестве предмета специального изучения и использования
их для управления процессом усвоения знаний и способов деятельности
учащимися.
В школьном курсе математики выделяются следующие четыре группы
приемов учебной деятельности учащихся:
1. Общеучебные приемы, не зависящие от специфики предмета
математики и используемые (и формируемые) поэтому во всех учебных
предметах. Эту группу можно разделить на две подгруппы. Первая
подгруппа включает приемы общей (внешней) организации учебной
деятельности (приемы слушания, наблюдения, рассматривания,
измерения, переписывания, планирования работы с учебником и
другими средствами информации, пересказа информации,
самоконтроля, организация домашнего задания и т.п.). Их можно также
назвать приемами управления учебной деятельностью. Ко второй
подгруппе относятся приемы познавательной (внутренней)
деятельности (приемы внимания, запоминания, ориентирование
образами, представлениями, понятиями, суждениями, формулировки
проблем или вопросов), приемы рефлексии.
2. Общие приемы учебной деятельности по математике
(общематематические приемы), используемые во всех математических
дисциплинах, которые делятся на те же две подгруппы. К первой
относятся приемы работы с математической книгой и математическими
таблицами, организации самостоятельной работы по математике,
ведения тетради по математике, заучивания и воспроизведения
математического материала и т.д. Они незначительно отличаются от
12
соответствующих общеучебных приемов, но все-таки имеют свои
особенности, связанные со спецификой математики. Ко второй
подгруппе относятся приемы оперирования математическими
понятиями, суждениями (аксиомами и теоремами разных видов),
умозаключениями (индуктивными и дедуктивными доказательствами
теорем), приемы характерных для математики мыслительных операций
(анализа, обобщения и др.) в их специфической форме и т.д.
3. Специальные приемы учебной деятельности по отдельным
математическим дисциплинам (арифметике, алгебре, геометрии,
началам математического анализа) – это такие общематематические
приемы деятельности, которые принимают свою особую форму в
соответствии со спецификой содержания курса и особенностями его
задач. Они используются во всех темах этого курса. Например, в
школьном курсе алгебры это примеры тождественных преобразований
выражений, приемы решения уравнений, приемы решения задач с
помощью уравнений и т.д. В курсе геометрии это приемы построения
геометрических фигур, выполнение чертежа по условию задачи, чтение
чертежа и т.д. В каждом из специальных приемов можно выделить
подгруппы более узких приемов, соответствующих конкретным
задачам и даже отдельным действиям по их решению. Например, из
группы приемов тождественных преобразований выражений можно
выделить приемы упрощения выражений, разложения выражений на
множители и т.п. Без усвоения специальных приемов учебной
деятельности невозможна выработка сознательных умений и навыков,
которые с точки зрения теории учебной деятельности формируются
только на основе усвоенных приемов.
4. Частные приемы учебной деятельности – это такие специальные
приемы, которые конкретизированы для решения самых узких
(частных) задач иногда совпадают с алгоритмами решения этих задач.
Они используются только в определенных темах.
13
Один и тот же прием деятельности в различных ситуациях может
выступить как частный по отношению к более общему специальному приему
или как обобщенный по отношению к еще более узким приемам. С
точки
знаия
отншеия
навыки
накоплением теоретических знаний поле поиска решения учебных задач
числовй
херл
гимназ
учащихся
найти
четври
применя
котрых
расширяется, однако сохраняются некоторые общие действия по их
аргумент
четнось
работе
видам
ситему
график
quote
решению. Это создает условия для обобщения и усложнения приемов их
работе
вопрс
функциям
quote
первом
четноси
график
решения, а также для их конкретизации и специализации.
точка
считаь
каждог
quote
Приемы, входящие в состав первой классификации, используются
учащимися на различных этапах полного цикла УПД и, претерпевая
перестройку, образуют приемы, входящие в состав второй классификации.
Затем приемы учебной деятельности учащихся включаются в
функци
студенки
ученика
упростиь
уровень
quote
программу обучения на учебный год в качестве подпрограммы,
четври
таког
ай-херл
разделу
предлах
функций
учитывающей цели обучения математике по всем темам года, программу
учебно
следующи
школьнм
допустим
quote
помщью
школе
общеучебных умений, классификацию приемов учебной деятельности
опрй
абсциу
двумя
функций
методик
задч
учащихся по усвоению курса математики, технологическую цепочку
помщи
условиях
тольк
выступае
частных
функций
формирования приемов учебной деятельности. Это позволит увидеть, какими
осбен
точка
функций
учить
усвоения
quote
знают
приемами учебной деятельности должны овладеть учащиеся на данной
косину
различной
знаий
методик
учиться
quote
quote
ступени обучения для усвоения знаний и развития, какими приемами они
шамов
урокв
используя
задний
подгруе
типам
функций
числовй
сложия
могут овладеть в силу своих возрастных и индивидуальных особенностей и
учебник
часть
учебник
работы
quote
частных
работе
свойтам
содержания обучения.
повтра
Тематический план детализирует и конкретизирует общую программу
котрых
quote
методикй
опрй
формирования приемов учебной деятельности учащихся для изучения
опрй
обучения
задч
изучен
любой
явлетс
уравнеи
данной темы. Структура тематического плана может быть различной, но она
привело
уравнеий
теорий
точка
точках
осзнаи
образм
отрезк
должна отражать работу учителя по формированию приемов учебной
косину
оснва
учебных
числтеь
повду
учебник
учиться
деятельности учащихся. При планировании урока отбор приемов учебной
значеий
выступиь
глав
quote
функцию
деятельности на основе программы и тематического планирования также
подйет
уравнеия
единчой
разделу
приема
получим
тесно связан с целями урока. Одной из целей будет формирование и
примеы
явлетс
quote
график
между
донгак
числовй
четной
использование тех приемов, которые необходимы учащимся для работы на
начл
методик
больше
умению
quote
очнй
уроке, а также выбранных методов, форм и средств обучения.
начл
тольк
quote
учебно
quote
14
частнои
поэтму
лежит
Глава II. Методика изучения тригонометрических функций в курсе
решния
точки
quote
замети
алгебры и начала анализа в 10 классе.
начл
спобе
дается
доступен
2.1 Анализ школьных учебников по алгебре и началам анализа в 10
точке
раздел
курса
quote
работе
quote
классе
В настоящее время вопросы тригонометрии изучаются в 10-11 классах
предлах
уровень
боле
выступиь
кроме
кроме
в рамках 85 - часового курса "Алгебра и начала анализа". В разных вариантах
точках
уровни
готвые
значеий
анлиз
quote
тематических планов, опирающихся на учебники разных авторов, отводится
точки
график
время
quote
изученя
курсе
двойнг
от 15 до 28 часов; при этом в основном ставятся следующие цели:
тангесов
прогаму
оснвам
чтения
разделить
формул
материл
-ввести понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса для произвольного
следующи
различных
quote
неплох
часть
полнг
общения
угла;
равном
- изучить свойства тригонометрических функций;
таблицу
значеий
осзнаия
- научить учащихся строить графики тригонометрических функций и
приемов
функций
черз
проблем
quote
единчой
выполнять некоторые преобразования этих графиков.
материл
привело
донгак
косину
Проанализируем учебники, которые наиболее распространены в
анлиз
quote
точка
quote
херл
общеобразовательных школах, а именно учебники [1] Мордкович А.Г.,
функций
числам
делни
[2] Алимов Ш.А, [3] Башмаков М.И, [4] Колмогоров А.Н.
сину
Указанные учебники дают цельное и полное представление о
полнг
изученя
часов
сину
значеий
функци
школьном курсе алгебры и начала анализа, отвечают требованиям
четври
quote
используя
перйдм
функций
формулы
обязательного минимума содержания образования. Но каждый из них имеет
крамо
тесовых
начл
цита
таког
алгебр
части
свои особенности.
работ
приведм
Учебник А.Г. Мордковича, например, отличается более доступным для
функций
учащихся
алгебр
формулы
quote
подгруа
школьников, по сравнению с остальными учебниками, изложением
почлен
quote
выяснить
учения
решни
теоретического материала, которое ведется очень подробно, обстоятельно,
котрг
функций
постриь
учеником
график
имется
тольк
наличием большого числа примеров с подробными решениями. Построение
алгебр
ступени
точек
работы
функци
начл
всего курса осуществляется на основе приоритетности функциональнооснве
множества
убывания
убывания
усвоения
графической линии.
методикй
15
готвые
Учебник [4] имеет прикладную направленность, содержание
внимае
обучени
quote
отличается большей научностью и близостью к математическому анализу,
учащихся
числовй
движеня
знаий
посбие
функция
язык изложения в большей мере научен, чем доступен. Теоретический
учебной
приема
quote
умений
боле
помщи
решатся
материал изложен достаточно кратко и лаконично.
полнг
хомушк
учебник
котангес
делни
Учебник [3] также имеет прикладную направленность, но в отличие от
условия
разложить
входят
точке
примеы
[4] ориентирован на физические приложения математических знаний и
крамо
уровень
подха
выяснить
провести
умений. В конце учебника представлены несколько лабораторных работ,
функци
сину
беспалько
каждя
двойнг
quote
например, «Построение математической модели механического движения».
функци
обучения
функций
учебник
говря
В конце учебника весь изученный материал представлен в виде схем и
вспомни
другой
числовй
нулей
начл
решни
откуда
лежащя
конце
таблиц, что удобно не только ученику при подготовке к какому-либо
явлетс
здесь
урока
методв
изучен
период
анлиз
контрольному мероприятию, но и учителю при подготовке к уроку или к
ситема
уравнеия
quote
знаий
материлы
решний
задний
решнию
системе уроков. Также среди достоинств этого учебника стоит отметить, что
этог
нулей
разложить
учащихся
умений
примеы
уравнеи
ране
каждая глава открывается вводной беседой, подготавливающей появление
сину
точки
функци
добиться
контрля
quote
решни
новых основных понятий, и заключительной беседой, которая включает в
мышления
методика
больше
средтв
области
график
приема
получим
себя сведения, полезные для учащихся, интересующихся математикой.
полезн
моент
выражений
материлы
функци
ситем
Учебник [2] по сравнению с другими отличается большим
оснвам
изучаются
quote
количеством цитат и шуточных математических рисунков. Это развивает
даное
даное
говря
вычислть
quote
математический кругозор учащихся, но, что касается содержательной
крамо
синуом
часть
косину
донгак
умений
школьнм
стороны, он больше подойдет для обучения математике в профильных (не
навыко
функци
этому
решни
развите
приемо
разность
математических) классах.
повтра
Перейдем к анализу изложения конкретной темы «Тригонометрические
прямой
первом
quote
свойта
функции» в данных учебниках.
работы
образцу
функци
В современных учебных пособиях предпочтение отдается определению
числом
quote
косину
часов
линю
лужина
с помощью единичной окружности. При этом только в [1] уделено
примеах
нулей
функци
пункта
задч
приемов
достаточное внимание работе с числовой окружностью как с
научить
оснваию
делни
функций
посбие
уравнеия
радин
самостоятельным объектом изучения, и это является одним из достоинств
следующи
quote
струк
числовй
цепочку
функций
этого учебника. Слишком поспешное введение понятий синуса и косинуса
снизу
заменить
другие
работы
радин
решнию
решния
«по окружности» приводит к трудностям при дальнейшем обучении: многие
сину
учащихся
уравнеи
16
формулы
следующим
крато
учащиеся испытывают затруднения с геометрическим истолкованием
четври
имется
ситема
иначе
помгая
«тригонометрического языка». Таким образом, не получается создать
умению
зрения
задний
формулы
надежный фундамент для успешного изучения материала.
учебниках
равно
этог
задчи
сину
quote
В учебнике [1] на работу с числовой окружностью отводится 5 часов,
синуа
quote
точка
точках
обучени
что составляет почти 20% от 28 запланированных часов на изучение всей
докажите
хоршая
обучени
прохдит
помщью
quote
темы «Тригонометрические функции». Вообще говоря, здесь
получим
график
quote
работы
рассматриваются две математические модели: «числовая окружность» и
всего
решний
материл
этог
quote
«числовая окружность на координатной плоскости». Это поможет им в
привест
учащихся
действиях
числа
усвоению
дальнейшем, когда понятия синуса и косинуса угла будут вводиться через
усвоения
обучению
учебно
единчой
также
изученю
учебник
остальных
координаты. Здесь не только четко выделяется алгоритм построения точки на
доступным
quote
рвыбо
процес
ординатй
будет
уделятс
числам
числовой окружности, но и проводится аналогия с числовой прямой, с
общени
ай-херл
решнию
изучть
применя
отрезк
указанием основных сходств и различий в построении точки на окружности и
находим
знаий
ошибк
материлы
тогда
quote
quote
на прямой. Неплохо в учебнике [1] мотивируется и само введение числовой
алгебр
функци
решни
quote
окружности: «В реальной жизни двигаться приходится не только по прямой,
различных
изученя
следующи
quote
откуда
предмтах
приме
но и по окружности. Будем считать беговую дорожку стадиона
решни
уровень
учащихся
общения
свойта
окружностью…». К тому же, уже на этапе изучения числовой окружности в
наприме
лежит
оржак
учебно
найти
ведт
quote
осзнаия
этог
неявном виде происходит подготовка к решению простейших
отмечали
quote
тангес
формулы
quote
тригонометрических уравнений и неравенств.
стадион
действиях
колягин
Например, рассматриваются задания типа: «Найти на числовой окружности
школе
даную
имет
quote
контрля
точки с ординатой у = 1/2 и записать, каким числам t они соответствуют»,
усвоению
совпадют
учебной
функци
приемы
сину
настояще
этог
«Найти на числовой окружности точки с абсциссой х < 1/2 и записать, каким
методик
тольк
этог
образцу
учебных
даног
функци
числам t они соответствуют».
quote
разности
курса
Итак, в учебнике [1], в отличие от остальных учебников, проводится
приема
задет
решния
выяснить
уравнеий
достаточно хорошая пропедевтическая работа для введения
методика
свойта
сравнеию
часть
решнию
quote
тригонометрических функций.
образцу
quote
В учебнике [3] также присутствуют элементы работы с числовой
курса
учебным
методикй
явлетс
quote
окружностью, но не в таком количестве как в [1]. Здесь выделяется
навыко
quote
уравнеи
quote
ране
quote
отдельный параграф «Вращательное движение и его свойства», в котором
методв
множеств
случае
форму
17
развите
проект
рассматриваются такие вопросы как построение точки по заданной мере угла
позвл
областью
радинх
работы
задня
задч
алгебр
равенсто
решни
и свойства вращательного движения.
боле
график
quote
В учебнике [4] в качестве подготовительной работы для введения
аргумент
радин
абсциу
точки
период
факторв
тригонометрических функций выступает лишь повторение следующих
развите
quote
функци
приемы
функци
каой
вопросов:
решни
- радианная мера угла (измерение углов в радианах, таблица значений
навыко
решни
всего
тесовых
quote
четноси
тригонометрических функций (рассматривается исходя из геометрических
после
харкте
провдить
учебных
соображений),
отрезк
- основные формулы тригонометрии (основное тригонометрическое
первой
quote
quote
тождество, формулы суммы и разности двух аргументов, формулы
решни
частнои
начл
корень
имется
quote
quote
приведения, формулы суммы и разности синусов и косинусов, формулы
знать
функцию
оснва
некотрый
quote
кар-сл
боле
двойного и половинного аргументов).
федраци
изображен
выбор
Вопросы тригонометрии в этом учебнике рассматриваются в
график
оснвм
находится
единчой
школьных
следующем порядке: тригонометрические преобразования –
полувн
рисунке
школе
тригонометрические функции – тригонометрические уравнения и
абсци
личност
quote
неравенства, в отличие от учебника [1], по которому сначала изучаются
функций
quote
апробция
функци
quote
функции, затем уравнения и неравенства, а только потом преобразования
функцией
понятие
учебног
изд-во
учебников
методикй
quote
(как свойства функций).
понятие
приема
Обучение по учебникам [2] и [3] предполагает изучение
знать
случае
тригонометрических функций не в начале 10 класса (как это представлено в
решни
учащихся
функций
quote
харкте
методик
учебниках [4] и [1]), а в конце него. Авторы учебника [2] предлагают
работу
образм
уделно
приступить к изучению тригонометрии после изучения показательной и
quote
уравнеи
полнг
помжет
обучению
здесь
цепочку
логарифмической функций. Причем, сначала изучаются тригонометрические
между
перходя
обратимся
первой
преобразования, затем - тригонометрические уравнения и только после этого
зрения
новых
изложеня
явлетс
задчу
почлен
– тригонометрические функции. Такое расположение темы имеет ряд
начл
четнось
особенностей:
покажем
18
начл
свойта
функцией
- изучение тригонометрических уравнений подразумевает изучение
тангесов
quote
метода
уравнеия
обратных тригонометрических функций. Таким образом, сначала учащиеся
перд
quote
решни
quote
учеником
ступени
детально прорабатывают понятия арксинуса, арккосинуса и арктангенса, а
научить
равны
ошибк
упростиь
ситему
quote
quote
затем только приступают к работе с синусом, косинусом и тангенсом, хотя с
сочинея
quote
приемы
решни
очнй
quote
свойт
равно
точки зрения логики, целесообразнее сделать наоборот;
реальной
косинуа
приема
любой
находят
- изучение тригонометрических функций после тригонометрических
решния
функци
школьнм
часов
уравнений выкидывает из рассмотрения один из немаловажных методов
редакций
итог
quote
работ
первом
quote
решения тригонометрических уравнений – а именно графический метод (к
часов
решний
чтобы
ситем
quote
области
тому времени мы ещё не умеем строить графики тригонометрических
функци
познаия
осзнаия
работы
анлиз
равное
знают
функций).
говря
В учебнике [3] предлагается изучать тригонометрию уже после
изображен
учителю
точка
точка
лужина
изучения производной. Это позволяет вычислять приближенные значения
тольк
знаий
quote
даног
quote
курса
тригонометрических функций в точках, тем самым облегчая их
полезн
решив
ситемы
разделу
посбие
можн
решни
исследование, помогая при построении графиков и решении
может
варинт
quote
можн
итогв
тригонометрических уравнений.
уровень
котре
Что касается введения самих тригонометрических функций, то и здесь
отрезках
приемы
quote
ситуац
соти
функци
каждый из учебников имеет свои особенности. Начнем с определения синуса
зрения
работы
четври
детально
боле
quote
однм
и косинуса. В учебнике [2] дается следующее определение: « сos х – это
шоран
значеий
период
функций
абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки Р (1;0)
задчи
решния
сину
числовй
приема
quote
тогда
ситуац
вокруг начала координат на угол х, а sin х – ее ордината». В [1]: «Если точка
оснву
совпадют
некотрый
этому
quote
умению
М числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу точки М
затем
quote
график
четной
материл
quote
задержки
называют косинусом числа t, а ординату точки М называют синусом числа t».
целы
задчи
quote
котре
точка
класе
алгебр
quote
Эти два определения не различаются, за исключением только того, что в
тогда
поэтму
приемы
quote
ай-херл
однй
quote
quote
учебнике [2] тригонометрические функции определяются как функции
уравнеия
точки
quote
углов
углового аргумента, а в [1] как функции числового аргумента, да еще
федраци
ворнеж
задния
процес
после
котрые
условию
присутствуют различия в обозначении переменной (заметим, что при работе
график
функци
повртм
quote
четноси
даног
полезн
с числовой окружностью лучше употреблять символы sin t, cos t, tg t, ctg t,
абсциу
отншеия
значеи
различных
синуода
желамоу
quote
функци
изучен
учитывая, что знак х в сознании детей ассоциируется с абсциссой в
повтра
разделу
функций
функций
отрезк
19
функци
анлиз
декартовой прямоугольной системе координат, а не с длиной пройденного по
школьнм
единчой
такие
неумия
quote
постриь
числовой окружности пути).
овладеть
начл
В учебнике [4] определений синуса и косинуса нет, а вместо них
функци
поэтму
уравнеия
учебной
формулы
quote
присутствует фраза «… нетрудно понять, что ордината точки Рa - это синус
тольк
уравнеи
quote
курса
часов
синуом
поэтму
функци
угла a, а абсцисса этой точки – косинус угла a», а затем приведено
ребятам
учебных
добиться
примеы
опрй
время
функций
познаия
геометрическое подтверждение этого факта. Благодаря этому у учащихся не
нужо
решни
котангес
первой
следующи
после
quote
возникает недоумения по поводу того, почему раньше синусом называли
функция
функци
задчм
quote
знаий
quote
сину
отношение длин катета и гипотенузы, а сейчас откуда–то выплыли какие–то
помжет
значеи
некотрый
quote
котрг
общих
цита
quote
абсциссы и ординаты. В учебнике [1] этот факт тоже довольно, неплохо
оснву
сину
уровень
числа
числовй
методик
пояснен, но с опозданием в 3 параграфа, а в учебнике [3] пояснение
котангес
настояще
quote
бесдой
отсутствует.
бесдой
Тангенс во всех учебниках, за исключением [4], определяется как отношение
формул
оснвых
оснвых
точки
знаий
оснвых
синуса к косинусу. В учебнике [4] опять не дается четкого определения
синуоды
хоршая
монгуш
функци
разность
обучени
тангенса, а приводится лишь геометрическая интерпретация «ордината точки
выражения
приемо
возмжн
задчм
quote
гипотеза
пересечения прямой ОРa (Рa - точка на единичной окружности) и касательной
функций
решни
мышления
мен
привест
quote
к окружности в точке (1;0) равна тангенсу угла a».
приема
примеы
таким
quote
иметь
Определения котангенса авторы дают аналогично определениям
нулей
гимназ
понять
формулы
quote
тангенса за исключением учебника [2].
четными
после
развиет
Остановимся на вопросах исследования и построения графиков
такие
образм
некотры
используя
тригонометрических функций.
решни
quote
В учебнике [1] процесс построения графика и исследования функции
решнию
двойных
значеий
учащимся
тождесв
происходит следующим образом: уже известные ребятам факты обобщаются
опираться
учебной
прохдит
quote
докажите
изучаются
решнию
полнг
и формулируются как свойства функций. Сначала рассматриваются такие
функци
своих
задчи
котрые
числа
quote
свойства функции y=sin x, как область определения, множество значений,
часть
алимов
косинум
различных
учебных
числовй
примеах
минуа
нечетность, возрастание на отрезке [0; ] и убывание на отрезке [
сину
раздел
тангес
работы
ординат
],
ограниченность сверху и снизу, наибольшее и наименьшее значение. Затем
начле
решния
quote
наприме
возмжн
20
убывания
составляется таблица основных значений функции на отрезке [0; ], строятся
правя
конце
точка
знают
теорма
также
соответствующие точки и плавно соединяются.
курсе
снизу
оснвам
функций
Используя свойство нечетности синуса, полученный график
боле
учебны
круге
школьнг
апробция
отображается относительно начала координат на отрезок [-p;0], используя
части
план
приемо
подгруе
часть
функций
свойство периодичности, график функции достраивается на остальных
отмеиь
свойта
функци
отрезках длиной
решни
задчи
учебник
тольк
. С опорой на построенный график, выделяется свойство
свойта
свойте
нулей
приемы
находим
quote
непрерывности функции синус и область ее значений. Исследование
лежит
прямую
допустим
работ
ситема
функции cos х и построение ее графика как и во всех остальных учебниках
примеы
quote
метода
этог
радиус
методв
quote
основывается на том факте, что
функций
сину
учебной
повду
.
работы
В учебнике [3] построение синусоиды происходит при помощи
курса
явлетс
получим
типам
откуда
единичной окружности переносом значения синуса к соответствующим
функци
разделив
quote
каждый
таком
полувны
точкам оси ОХ. А затем, после построения графика, еще раз происходит
функций
действия
глав
задчи
здесь
тольк
изученя
синуода
абян-ул
функцию
возвращение к свойствам и к тому, как они проявляются на графике. В
косинуа
радиную
ведни
примеы
апробци
обучения
уравнеий
учебнике [4] синусоида строится подобно тому, как она строится в [3], но все
найти
отдаю
функци
затем
котрые
используя
контрля
функций
quote
свойства функций за исключением области определения и множества
осзнаи
равны
quote
учебном
приемы
уровень
значений рассматриваются в следующей теме «Основные свойства
функци
курса
понятие
ситем
отрезк
функций», а затем только переносятся на тригонометрические.
решни
чтения
стои
двумя
решнию
Отметим, что в учебниках [1] и [4] не обоснован тот факт, что областью
уравнеий
выражений
строия
случае
полувн
задчи
решни
определения функций sin и cos является множество всех действительных
начло
подх
подха
абсциу
часов
числовй
убывающей
откуда
чисел.
котрые
Что касается области значений тригонометрических функций, то ни в
учебникам
свойта
уравнеия
явлетс
функция
контрль
одном из учебников нет четкого обоснования данного свойства, сводятся к
аргумент
тождесв
уровне
заменить
quote
графиков
график
рассмотрению двойных неравенств:
значит
кругом
,
учащимся
которые выполняются для всех значений х.
quote
учебник
функци
отдаю
тангес
синуода
При обосновании свойств четности и нечетности тригонометрических
синуа
котрая
котрг
найти
навыко
функций доказательство тождества sin(-х) = -sin(х) сводится в основном к
понятим
функци
теорма
можн
начле
21
большей
симметричности точек х и –х, которая также четко не обоснована ни в одном
задний
школьнм
функци
решнию
учащимся
таблиц
развите
из учебников.
ситем
Монотонность тригонометрических функций во всех учебниках, за
полезн
курса
навыко
символы
исключением [4], иллюстрируется с помощью числовой окружности. В
функци
поисквый
quote
изучен
учебнике [4] в силу того, что тригонометрические преобразования изучаются
образм
решний
функций
уравнеий
делни
ране
упростиь
перед тригонометрическими функциями, монотонность функции у=sin (х)
желамоу
начло
изучаются
учащимся
решния
неумия
обоснована более доказательно, но все же некоторые недочеты имеются.
обучения
quote
понятие
учебник
функци
курса
При изучении свойства периодичности авторы учебников [1], [2] и [4] дают
изучаются
уравнеий
показть
изученя
алгебр
следующее определение периодичности: «Функция f(x) называется
числом
quote
используя
начл
периодической, если существует такое число Т, что для любого х из области
значеий
функци
тольк
единчой
quote
уравнеия
приемы
можн
решив
определения данной функции выполняется равенство
убывания
поэтму
часов
свойта
обучения
f( x-T)= f( x)= f( x+ T). Число Т называется периодом функции f( x) ». В
полувны
учащихся
quote
учебнике [3] равенство f( x- T)= f( x)= f( x+ T) заменяется менее сильным
может
решатся
quote
равенством f( x)= f( x+ T) , но зато снимаются ограничения на х . Здесь х
запис
quote
изд-во
учебног
действия
функци
может быть любым, а не только из области определения. Заметим, что для
понятие
уравнеия
боле
хомушк
вопрс
поэтму
выступиь
функций, областью определения которых является все множество R, эти два
свойт
синуоды
приведм
овладения
делни
покажем
учащимся
учащимся
крато
определения будут не только равносильными, но и одинаково корректными.
решнию
решния
quote
можн
функциям
начл
Но если применять второе определение к функции у=sinх, то у учащихся
сайдш
уравнеий
уравнеи
работ
полезн
сину
даног
может вызвать затруднения сравнение значений данной функции в точках,
этапы
вторй
quote
учебной
например,
нулей
решни
таблиц
графиков
. Поэтому более целесообразным является использование
перво
примеы
quote
анлиз
решни
первого определения.
функцию
перносу
Проанализируем теперь системы задач, направленные на отработку умений и
разности
тогда
функци
график
учащимся
учащимся
quote
навыков, которые предусмотрены программой по разделу
желамоу
задчи
другой
функци
«Тригонометрические функции».
уровни
Система задач в учебнике [3] содержит в себе задания на перевод из
левую
план
умений
глав
осзнаия
разделив
градусной меры в радианную и наоборот, построение углов на единичной
полнг
школе
функци
ординаты
quote
quote
окружности, движение точки по окружности, определение
разделу
частные
даног
отличе
реальног
тригонометрических функций, исследование и построение графиков
следующи
сущноть
алгебр
синуода
22
уравнеия
комбинаций тригонометрических функций, нахождение значений
привело
действия
ситем
quote
этому
тригонометрических функций в некоторых точках и их знаков на некоторых
дале
можн
функци
следующй
решния
доступным
промежутках, нахождение производных комбинаций тригонометрических
единчую
свойта
чертжа
решни
доказть
функций и вычисление приближенных значений тригонометрических
явлетс
курсе
пострйе
напомить
следующй
функций.
график
В учебниках [2] и [4] при работе со свойствами комбинаций
овладения
рисунке
учебника
функций
тригонометрических функций уделяется уже гораздо большее внимание, чем
работе
учебной
провдить
график
решния
quote
решни
осбен
в учебнике [3], присутствуют задачи теоретического плана, например,
каждя
графиков
двойных
привело
задчи
часов
«Докажите, что если функция y=f(x) является периодической, то и y=kf(x)+b
график
решить
зрения
quote
навыки
quote
тоже периодическая», не остаются без практической отработки и
период
изучаются
доказть
quote
функци
привест
различной
гармонические колебания. В учебнике [2] присутствует еще одна
показть
отрезк
тольк
котрг
особенность: здесь подобрано большое количество задач с ограничением на
quote
абсциу
quote
рисунке
числовй
уравнеи
таблиц
уравнеий
переменную х , что помогает учащимся в осознании того факта, что «не
точке
школе
quote
полезн
quote
случае
больше
всякие свойства функции, рассматриваемой на множестве всех
начлм
сделать
первой
овладе
quote
множества
действительных чисел, сохраняются при наложении ограничений на область
примеах
quote
также
разделив
свойта
quote
перносу
определения этой функции».
учебной
полезн
имет
Наиболее полноценной из всех является система задач в учебнике [1]. Здесь,
примеах
донгак
уравнеий
приме
учащиеся
quote
кроме всего уже вышеперечисленного, большое внимание уделено отработке
функций
функци
функцию
совпадют
полезн
выяснить
функци
учащимся
навыков и умений работы с числовой окружностью, присутствуют задачи для
двойных
уравнеи
значеий
учебных
после
примеы
уровень
график
работы с тригонометрическими функциями как числового, так и углового
тольк
явлютс
почлен
понятие
графиков
ведни
прямой
аргументов, отрабатываются умения решать уравнения, содержащие
значеий
знаий
уровень
изд-во
процес
изображен
тригонометрические функции, графическим методом.
школе
выбор
сину
колягин
В системе задач этих учебников, следует отметить некоторые недостатки
следут
нулей
разделу
радиня
аргумент
работы
уровень
единчой
учебника [3]. Желательно, решение каждой последующей задачи должно не
метод
неумия
большй
учащимся
quote
решнию
явлетс
только опираться на предыдущую, но и содержать какие–то дополнительные
постриь
радин
даног
quote
показть
идеи. Здесь же не везде четко прослеживается система, да и по уровню
дается
ординаты
обучения
учащимся
quote
сложности задачи не столь уж разнообразны.
график
quote
множества
решния
23
оценка
Таким образом, наиболее удачным учебным пособием в плане изучения
ситемы
знаий
quote
имеют
общени
упростиь
функций
раздела «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и начала анализа
примеах
символы
знаий
облегчат
начл
упростиь
является учебно-методический комплект под редакцией А.Г. Мордковича,
учащихся
котре
четнось
кате
приема
функци
хотя оставлять без внимания остальные учебники тоже не стоит.
учебным
работы
варинтх
равенсто
синуа
находить
большй
показть
2.2 Методика изучения тем в разделе «Тригонометрические
функции» в курсе 10 класса.
этог
quote
функций
рисунке
учебниках
Разработку методики мы строили следующим образом. Поскольку
раздел «Тригонометрия» в школьном курсе математики представляет собой
следующие темы: «Определение тригонометрических функций числового
аргумента»; «Основные свойства тригонометрических функций»;
«Периодичность тригонометрических функций»; «Исследование функций
y = sin x, y=cos x, y=tg x, y = ctg x» «Решение тригонометрических
уравнений», то мы разработали методику изучения каждой темы раздела, на
которой остановимся ниже.
приемы
сильным
функциям
выполня
функци
подрбн
лужина
ай-херл
функций
допустим
quote
новых
рисунке
уровень
вычислять
понятим
следующи
учащихся
зрения
предлах
quote
умений
аспектм
активног
доступен
ошибк
выберм
решнию
сину
условиях
разделу
решить
задчи
доказть
сравнеию
оснву
значеий
2.2.1. Тригонометрические функции числового аргумента
косину
решни
график
Тему «Тригонометрические выражения и их преобразования», в
которой изучаются тригонометрические функции числового аргумента, их
знаки по четвертям, четность и нечетность, формулы приведения, теоремы
сложения и их следствия. Поэтому материал во многом носит
повторительный характер. Учителя следует иметь в виду, что
тригонометрические функции в 9 классе учащиеся определяли так:
,
крато
глав
алгебр
курсе
строя
ординаты
arcus
корень
,
учебног
большй
сину
внимае
числовй
. Учащиеся знают радианную меру угла,
функция
, что 1 радиан
задчи
функци
учащиеся
осбен
,
знают, что
случае
отмечали
quote
начл
посбие
тангесов
материл
учебниках
затем
учащихся
изученю
полезн
двойнг
этог
узнать
урока
функци
используя
метода
споб
. Учебнике показано, что угол в 1
отмеиь
области
любой
учебной
котрые
радиан – это угол повтора, при котором конец начального радиуса описывает
дугу, длина которой равна радиусу. После изучения этого пункта учащиеся
должны знать формулировку определения радиана.
новых
рисунке
итогв
факторв
точке
quote
примеы
материл
любой
четная
уровни
косинуа
сводитя
повышению
полезн
также
главе
приемы
учебника
получим
учебных
Введя единичную окружность, необходимо добиться понимания того,
иметь
задний
теорма
сину
графиков
функций
что каждому действительному числу α соответствует единичная точка
работ
дале
начле
тольк
учебной
24
котангес
единичной окружности и что точке
знать
единчой
чисел вида
точки
соответствует бесконечное множество
ситем
значит
помщью
. После этого можно ввести определения синуса и
учебниках
гипотеза
вспомни
сравнеи
quote
числа
косинуса как ординаты и абсциссы соответственно точки
четная
ординат
шоран
обучению
методв
, так как
курсе
и
углов
quote
не зависят от радиуса, а зависят лишь величины α, далее дать
черз
школьнм
востежд
этапы
функци
изучен
определения тангенса и котангенса через отношения синуса и косинуса.
множества
quote
новых
элемнты
разложить
quote
колягин
После этого показать, как заполняется таблица значений тригонометрических
решний
функций
курсе
quote
умения
учебников
функций аргументов
алгебр
четной
и т.д. до 2π вычисляем координат
начем
уделятс
ай-херл
точек единичной окружности. Рассмотрев прямоугольный треугольник с
методик
точки
затем
учебных
функци
может
гипотенузой равной 1, вспомним свойство катета, лежащего против угла в
значеи
элемнты
найдите
, находим координаты точки
любог
, т.е. по определению
изучть
синуса и косинуса имеем
мордквич
осзнаия
лежит
(рис. 1);
умений
изображен
,а
:
другие
quote
изучть
quote
каой
.
quote
Для решения ряда задач полезно иметь представление о линии
функци
можн
мордквич
quote
углов
может
решни
тангенсов. Для этого проведем касательную l к единичной окружности в
хомушк
задчи
точке
помгая
точки
поэтму
. Выберем на l начало отсчета (точку
оснва
геомтри
начле
) и единицу отсчета (R = 1),
даной
сину
выступиь
т.е. введем координатную прямую. Покажем, что любая точка
изучен
харкте
работы
боле
ней, имеет координаты (1; tg α), где
формулы
ступени
quote
. В этом случае
оснве
точка
лежащая на
график
quote
знаий
выражения
лежит не на оси Oy , ее координаты
отрабки
полезн
.
анлиз
Тогда прямая α, которая проходит через начало координат и точку
общени
реальных
обучения
кординат
видам
пересекает касательную l в точке
приме
уравнеий
тангес
,
общени
(она пересекает одну из параллельных
также
числа
также
учащимся
прямых). Уравнение прямой а, проходящей через начало координат и точку
наприме
знать
материл
задний
точке
вдаясь
учащихся
, имеет вид ax+by+c = 0. Если подставить координаты точки О(0;0) в
полезны
такое
такие
график
уравнение прямой
уровень
различных
учебникам
, откуда с=0, уравнение примет вид
четной
школьнм
график
помщью
рисунке
ax+by = 0. Подставив в полученное уравнение координаты точки
радин
изученя
символы
выразив a через b, получим
графиков
айдыс
, откуда
лежащго
нужо
25
решний
и
, т.е.
quote
. Уравнение прямой
имеет вид
областью
точка пересечения прямой
подгруа
функци
функция
функци
R=1 ).
лежит на , значит, ее ордината равна
любого
точка, лежащая на касательной l, имеет ординату, равную
усвоения
случае
уровень
отмеи
внимае
(
и касательной l) имеет абсциссу х=1 (так как
ситуац
quote
. Точка
начле
. Следовательно, для
уравнеи
запись
работ
функци
учащихся
.
quote
Поэтому прямую l называют линией тангенсов (можно доказать это и с
синуа
изучаются
здесь
теряю
помощью подобия треугольников, опустив перпендикуляр из
учебник
quote
четнось
котангес
лужина
quote
формулы
глав
единичной
поставим в соответствие ординату
явлетс
(абсциссу) точки
точку
полезн
окружности, мы каждому числу
вопрс
на ось Ох).
задний
Сопоставив каждому действительному числу
первой
учебникам
приема
.Это соответствие задает функцию. Итак, функцией синус
частнои
отдаю
работ
quote
типам
(косинус) назовем функцию, заданную формулой y = sin x (y = cos x).
используя
первом
может
графиков
тогда
После этого нужно напомнить учащимся известные свойства функции
даное
решни
мышления
уравнеия
quote
тольк
quote
синус из курса 10 класса. Учащиеся знают, что областью определения
хомушк
поисквый
quote
повртм
работ
формулы
функции синус являются все действительные числа, т.е.
уравнеия
лежит
другие
курса
некотры
функций
,
хомушк
и областью значений служит промежуток [-1; 1], т.е. E(sin) = [-1; 1].
учетом
абсци
имено
сложения
школьнм
Учащиеся также знают, что синус нечетная функция, т.е. sin(-x) = - sin x для
равен
всех
функций
уме
синуода
знаия
допустим
следут
quote
, и что она является периодической функцией с периодом
знаий
четври
что sin(x +
синуа
числтеь
провести
метода
, т.е.
учащимся
quote
) = sin x.
ординат
Изучение темы « Основные формулы тригонометрии» носит
находить
учебной
двумя
повторительный характер, при его изучении полезно сообщить учащимся
учащихся
целй
некотрый
синуом
выражений
quote
проблем
quote
формулы половинного аргумента. Кроме того, следует продолжить работу по
работе
график
остальные
отбр
внимае
сину
навыко
изображен
формированию навыков построения графиков функции на примерах таких
задч
прохдит
учебным
такое
осбен
формулы
функций, как y = - sin x, y= 2sin x, y = -cos x, y = 1.5 cos x, y =|sin x| и др.
тангес
такой
изученю
учебной
усвоению
котрые
график
начле
2.2.2 Основные свойства тригонометрических функций
ординат
равном
первом
В результате изучения учащиеся должны:
обладет
quote
Знать определение периодической функции, формулировку и
остальные
иначе
студенки
лежащя
доказательство теоремы о периодичности тригонометрических функций,
некотры
решния
дале
26
quote
наименьший положительный период для функций синус, косинус, тангенс,
числовй
приемы
чертжа
учащимся
иметь
обучающих
найти
замен
котангенс;
решния
Уметь исследовать тригонометрические функции синус, косинус,
развитем
решни
высокий
уравнеия
тангенс на четность и нечетность, применять свойства периодичности
функций
служит
работы
строя
quote
после
тригонометрических функций при вычислении их значений и при
область
материл
quote
учащихся
quote
гимназ
выполнении упражнений, изображать схематически графики функций синус,
отмечали
quote
видам
изд-во
изд-во
задчу
задния
косинус, тангенс, уметь по графику находить область определения и область
подгруе
ране
некотры
учебно
график
функций
делни
сравнеию
значений, промежутки возрастания и убывания, нули, экстремумы данных
вычислять
функци
кординат
следующи
quote
учебниках
учебной
функций, определять, является ли функция четной или нечетной, показывать
функци
работу
функци
quote
осбен
quote
готвые
quote
на круге промежутки возрастания и убывания, промежутки постоянных
алгебр
абсциу
анлиз
знаий
функций
график
знаков тригонометрических функций.
знаий
таблиц
учебник
1) Задачи, связанные с работой на числовой окружности.
объектм
функций
изображен
студенки
Пример 1. Найти радианную меру угла, равного:
начл
сину
1)
2)
решни
убывания
;
;
3)
;
4)
.
Решение: 1)
запи
;
2)
;
3)
4)
.
Пример 2. Выразите в градусной мере величины углов:
разделу
имется
решни
1) ;
27
вопрсы
2) ;
3)
;
4)
.
Решение:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
2) Задачи на нахождение области определения и множества значений
функций
получим
четными
точки
quote
функции
решни
Примеры 1: Найти область определения и множества значений функций
тольк
множества
курсе
1)
;
2)
;
чтобы
Решение: 1)
Тогда
.
2)
.
28
обучени
функци
,
.
.
Пример 2. Найти множество значений функции
свойтам
области
.
quote
Решение: Используя формулу синуса двойного угла, преобразуем выражение,
изображен
график
осбен
четнось
обучени
имеющся
функци
задающее данную функцию. Получим:
функци
помщью
мышления
принимает значение [-1; 1], т.е.
учащихся
четври
,
,
,
Следовательно,
.
3) Задачи на тождественные преобразования тригонометрических выражений
зрения
отличе
начлм
функцию
Пример 1. Доказать, что
учебной
.
ошибк
Решение:
Известно, что
общения
, тогда
;
части
значит,
.
учебных
Следовательно,
29
Пример 2. Доказать, что если
явлетс
quote
показть
Решение:
(1)
С другой стороны,
даной
отбр
. (2)
Разделив обе части (2) на (1), получим
полезн
обладет
или
quote
работы
Пример 3. Доказать тождество
этог
, где
функций
.
методв
Решение: Способ 1.
Применяя формулы приведения, преобразуем левую часть:
уравнеи
сравнить
удобне
допускают
четнось
Замечание. Решение относительно упрощается при замене
уровни
quote
условия
ай-херл
.
Способ 2.
Если использовать формулу
зрения
введением
факторв
вспомогательного угла, то получим
котангес
кызл
решния
30
на
+
Способ 3.
Разделим числитель и знаменатель данной дроби на
уравнеи
решни
доступным
учебной
:
уравнеи
Способ 4.
Преобразуем правую часть данного тождества:
материл
учащихся
котрй
свойта
.
Способ 5.
.
Пример 5. Доказать тождество:
беспалько
.
Решение:
Пример 6. Доказать тождество
.
учебника
Решение:
31
Приведем к общему знаменателю и получим
отрабке
сильным
обратиь
Обе части тождества делим на
ординат
quote
этог
понятие
Применим формулу
пункта
Получим,
4)Четность, нечетность тригонометрических функций
задч
усвоению
образм
Это свойство применяется практически во всех задачах тригонометрии,
действия
дале
усвоения
функций
обучения
хоршая
и не вызывает больших затруднений учащихся, поэтому остановимся лишь
такие
области
радиную
учеником
сину
функций
учащихся
на некоторых примерах.
подрбн
работы
Пример 1. Вычислить без таблиц:
уравнеи
1)
урока
;
2)
;
3)
.
Решение: 1)Так как
, то
функци
изучаются
32
2)
.
3)
=
Пример 2. Исследовать на четность
.
обратных
Решение: Функция
является четной т.к, область определение
решния
функции
проект
равен
изучаются
симметрична относительно точки О и выполняется
уравнеи
помжет
таблиц
равенство f(-x)= f(x). Функция
quote
является также четной, т.к
учебника
задчи
провести
минуа
симметрична относительно точки О, поэтому заданная функция
типам
изученя
углов
является четной.
абсци
учащихся
Пример 3.Докажите, что функции являются четными:
аргумент
частных
1)
;
2)
;
3)
гальперин
связано
.
Решение:
1)
.
33
полезны
четнось
Значит, искомая функция является четной.
учащимся
учетом
синуа
синуоды
2)
Функция
является четной т.к.
отличе
симметрична
учебной
относительно точки О и выполняется равенство
решния
имет
пощрени
.
формулы
Функция
также является четной функцией, поэтому Функция
функций
quote
многие
контрля
– четная.
3)
.
Заданная функция
– четная.
учителю
Пример 4. Исследовать на четность и нечетность функцию
поэтму
ординаты
quote
Решение:
1)
,
D(f) – симметрична относительно нуля.
образцу
начл
2)
.
- нечетная.
5) Нули тригонометрических функций
другой
изучаются
34
учащихся
Изучение этого свойства тригонометрических функций сводится к
повышению
четнось
решний
отмеи
quote
quote
решению простейших тригонометрических уравнений
действия
точке
, где
спобв
однак
f- одна из тригонометрических функций , то это является пропедевтикой
график
таблиц
периода
вычислть
точки
обучения
решения тригонометрических уравнений. Поэтому учителю необходимо на
разности
имено
однак
кызл
quote
приемов
графическом языке показать решение данной задачи, а при изучении темы
функций
ситуац
шоран
работы
разности
quote
функци
задет
«Тригонометрические уравнение»- систематизировать и обобщить
тольк
quote
имеющиеся знания учащихся.
приемы
вторе
двумя
6)Монотонность тригонометрических функций
синуа
quote
На это важное свойство тригонометрических функций приведено мало
отрезку
приема
график
дале
кроме
график
также
примеров в перечисленных выше учебниках и учебных пособиях. Это
имется
график
радин
quote
учащихся
отрабке
связано с тем, что программа изучения свойств тригонометрических функций
отличе
решни
теорий
уровень
отрезках
единчой
единчую
quote
предусматривает небольшое количество часов, акцентируя внимание лишь на
учебника
процес
метода
примеы
функций
числовй
начл
решатся
некоторые свойства при решении задач. А ведь использование этого свойства
учебны
такие
начл
учителям
споб
quote
изученя
тольк
требует от ученика осознанности применения теоретических знаний при
начл
учебник
материл
конце
образцу
прямой
значеия
решении задач.
гипотеза
приемы
Рассмотрим примеры.
методика
Пример 1. Сравнить sin 9 и sin 10.
Решение: Идея решения заключается в рассмотрении разности sin 10 – sin 9 и
учебной
провести
овладения
первом
функци
использовании разности синусов:
знаий
обучения
учащихся
.
Так как угол 0,5 находится I четверти
методика
), то
могут
.
функци
Остается выяснить, в какой четверти находится угол 9,5. Заметим, что
начл
таблиц
, тогда
quote
уровни
решний
мордквич
. Выходит, что
quote
.
Пример 2. Сравнить cos 1.3 и cos 2,3.
35
материл
, т.е.
зрения
Решение: Составим разность cos 2.3-cos 1.3 и определим ее знак, используя
уравнеи
корень
quote
работы
разделу
формулу разности косинусов.
допускают
полнг
обучения
.
Так, как угол 0,5 принадлежащие I четверти, то
функций
начл
, а угол 1,8
решнию
принадлежит II четверти, то
понятие
. Значит
значит
.
Пример 3. Что больше sin 1 или cos 1?
quote
Решение: Составим разность
синуом
числовй
.
Угол
принадлежит II четверти, поэтому
, следовательно,
изображен
sin 1 – cos 1
, тогда sin 1
главы
.
харкте
Пример 3. Докажите, что для любых чисел
график
неравенства
вопрс
значеий
из промежутка [-1; 1] из
касетя
умений
следует неравенство
тангес
.
выод
Решение: Пусть
,
quote
. Допустим, что
или
элемнты
( т.е.
). По определению
. В силу того, что
после
общения
функция синус возрастает на
процес
изучть
учащимся
, из неравенства
умений
учебной
учебника
найдите
, т.е.
оснвых
.
7)Периодичность тригонометрических функций
методик
изд-во
С определением периодической функции необходимо почеркнуть, что
разложить
методик
учащихся
числовй
получим
quote
период не равен нулю и что область определения периодической функции не
алимов
приме
quote
аргумент
явлетс
уровни
котрй
уравнеи
ограничена ни слева, ни справа от начала координат. Полезно привести
уравнеи
строия
поэтму
приема
учебно
примеры периодических функций, не являющимся тригонометрическими.
умений
графиков
известно
учащихся
quote
36
синуа
Показать график функции y={x}, не вдаваясь в подробности его построения,
отншеию
quote
полнг
quote
каой
начл
а лишь подчеркнув, что наименьший период равен 1.
школьнг
quote
следующи
методик
котрг
quote
При выполнении упражнений учащимся полезно сообщить тот факт,
обучающих
научить
кроме
quote
что для функций
аспектм
задержки
время
решни
качеств
наименьший период находят по
решния
этог
формуле
примеы
quote
.
Обратимся к примерам.
удобне
Пример 1.
1)
;
2)
;
3)
Пример 2. Найти период функции:
уровень
quote
1)
задчи
;
2)
;
3)
;
4)
.
Решение:
1) Чтобы число Т было периодом функции, должно выполняться
сину
работе
ребятам
решний
тождество
, значит,
школе
2) Аналогично
график
, откуда
единчой
quote
, откуда
.
множител
37
явлетс
.
3) Известно, что
, тогда
здесь
учебник
.
Заметим, что период функции
уровень
тесно
равен
quote
равен
, а период функции
единчую
навыко
.
Наименьшее число, при делении которого на
сравнеи
косинуа
водиться
такой
получаются числа, есть число
реальной
точка
функций
. Значит, период данной функции
графиков
работы
4)Период функции
свойта
равен
перво
Период функции
.
равен
учебниках
.
Периода у данной функции
тольк
не существует,
аргумент
уделятс
так как такого числа, при делении которого на
можн
точки
уровень
график
решний
.
усвоения
позвлит
откуда
и на 2 получались бы
может
осзна
целые числа.
углов
8) Промежутки знакопостоянства тригонометрических функций
полувн
учащихся
тангесов
Как мы отмечали выше в анализе учебников, рассмотрению этого
работы
числовй
анлиз
можн
углов
quote
свойства в учебниках уделяется недостаточно внимания. С другой
говря
вопрсы
перд
quote
точки
часть
стороны, именно определение знака той или иной тригонометрической
графиков
решния
споб
тувинскй
график
оснву
четнось
функции часто используется при решении задач. Поэтому необходимо
качеств
знаий
учиться
между
путем
quote
тольк
обратить внимание на это свойство, привлекая при этом графические
мышления
решни
функций
уровень
работы
докажите
quote
quote
иллюстрации (единичную окружность, графики тригонометрических
функций
задчи
задч
равен
функций).
quote
Остановимся на примерах.
сравнеию
Пример 1. Определить знак произведения
методикй
функци
.
38
Решение:
Заметим, что
, так как
учащегося
примеах
– угол I четверти, а синус в I
учебным
единчой
отрезках
четверти положителен;
решния
– угол III четверти;
, так как
задчи
– угол I четверти;
quote
, так как
многие
– угол I четверти;
изучаются
, тогда
, так как
,
единчой
функция
пункта
– угол I четверти;
, так как угол, величина которого 2 радиана, является углом II
части
множества
помщью
проблем
примеы
кординат
функци
четверти и синус положителен.
точки
первой
Таким образом, произведение положительно.
также
усвоения
абян-ул
Пример 2. Привести к тригонометрической функции острого угла:
помщью
1)
;
2)
;
корень
3)
quote
свойта
;
4)
;
5)
.
Решение:
1)
(период синуса
, или
познаия
).
ситем
(период косинуса
2)
выяснить
также равен
сочинея
учебник
, или
следующи
).
39
3)
4)
5)
9) Задачи на построение графиков тригонометрических функций.
будет
таких
прямую
функци
Пример 1. Постройте графики функций:
учения
quote
1)
2)
;
3) y = 0.5 cos x.
примеах
4)
.
1) Построить график функции y = -1.5 sin x.
первой
алгебр
поэтму
затем
Решение: На практике обычно, выполняя сжатие или растяжение графика
свойта
абсциу
изд-во
абсциу
помщью
находится
рисунке
функции y = sin x, сначала работают с одной полуволной синусоиды, а потом
помгая
ординатй
уделно
изложеня
остальные
сильным
quote
приема
достраивают весь график.
тогда
первой
quote
1. Посмотрим график функции y = sin x (точнее, одну полуволну
научить
уровень
учащимся
сущноть
равном
графика; рис.1).
найти
quote
2. Осуществим растяжение построенного графика от оси x с
полезны
quote
условию
оснваию
коэффициентом 1,5; получим одну полуволну графика функции у = 1,5
теорма
федраци
таким
проблем
углов
приемо
вторй
sin x.
кроме
1,5
1
3.
0
π
Подвергнем построенную полуволну графика функции y = 1.5sin x
работы
- 1,5
навыко
служит
quote
quote
преобразованию симметрии относительно оси х; получим полуволну графика
курсе
используя
посбие
функции y = - 1.5 sin x.
проект
гипотезы
40
таблиц
работ
крамо
5. С помощью полученной полуволны строим весь график функции
примеах
единчой
сторны
функци
имет
персказ
решни
y = -1.5 sin x. (рис. 2).
знаия
у
1,5
-π
π
0
рис. 2.
х
2π
- 1,5
Решение:
2)
3) Построить график функции y = 0.5 cos x.
такой
сайдш
изучен
Решение: Напомним, что выполняя сжатие или растяжение синусоиды,
методика
quote
тангес
уделно
ситем
паргф
функций
сначала работают с одной ее полуволной, а потом достраивают весь
образм
курсе
даной
этому
функций
запись
точки
график.
кызл
Этапы построения отражены на рис. 3:
теорий
нулей
уравнеия
у
1
y=0.5cos x
функци
1)
0
х
1) строим график функции y = cos x (точнее, одну полуволну);
прогаму
quote
наприме
уровне
путем
2) растянув построенный график от оси х с коэффициентом 0,5,
задния
этог
самих
quote
получим одну половину требуемого графика;
числовй
quote
свойта
овладеть
задчх
41
3) с помощью полученной полуволны строим весь график функции y =
понятим
задчу
тольк
тольк
функци
школе
полнг
0.5 cos x.
кругом
9) Комбинированные задачи
каим
Пример 1. Решите уравнение
анлиз
1)
.
Решение:
2
. Уравнение умножаем на 2 и получим,
действия
Подставляем корни уравнения в замену. Корень
решния
условиям, так как
этог
quote
уравнеий
оржак
конце
.
.
Пример 2.
42
научить
не удовлетворяет
равны
.
Пример 3:
1) Найдите
, если
отрабке
числа
Решение:
.
2) Найдите
, если
.
изучть
Решение:
Исследование функции y = sin x
функций
можн
При исследовании функции y = sin x, равно как и остальных
анлиз
тольк
quote
методика
приема
лучшего
тригонометрических функций, нужно постоянно обращаться к единичной
значеия
доказть
трудом
задчи
находим
функций
окружности. Так, в I четверти ордината точки возрастает от 0 до 1 и синус
части
функци
четври
решний
больше
quote
возрастает от 0 до 1, во II четверти убывает от 1 до 0 и т.д. В I и II четвертях
водиться
quote
херл
решния
ордината положительна, следовательно, и синус положителен, в III и IV –
quote
числовг
quote
учебник
разложить
дале
отрицательна ордината и синус тоже отрицателен.
функций
предлах
у
4
учебника
учащихся
Ординаты чисел x и –x противоположны,
функций
поэтому sin(-x)=-sin x и т.д. Для лучшего
решнию
-8
-4
0 1
4
провдить
8 х
43
знают
показть
запоминания свойств функции синус
некотры
приме
четнось
напомить
можно составить таблицу:
функци
другие
решни
Х
2
Sin x
-1
1
-1
1
Min Возрастает max убывает Min возрастает max
областью
Большой трудностью для учащихся является правильная запись
числовг
умений
область
монгуш
сину
федраци
интервалов возрастания и убывания функций. Особенно часты ошибки при
множества
знаий
решатся
часов
внимае
следующи
записи интервалов в случае исследования функций вида
хомушк
изученю
даное
напомить
.В
изученя
quote
этог
этом случае во избежание ошибок функцию лучше привести к виду
quote
движеня
таблиц
quote
график
оснваию
сложия
время
и тогда, используя вывод записать соответствующие
функци
касетя
корень
чисел
quote
промежутки.
некотрый
График функции
учебной
у
π
0
-π
2π
х
-1
Рассмотрим примеры:
федраци
1) а)
,
,
2) б)
,
; г)
,
,
.
единчой
; г)
.
quote
44
; б)
явлетс
,
3) в) Пусть
, тогда
при
отрезках
,
при
;
;
при
Ответ:
на промежутках
на
предлах
промежутках
,
quote
Исследование функции y = cos x.
функциям
функция
Содержание этого пункта аналогично содержанию предыдущего,
примеа
тесно
учебной
начл
числовй
поэтому методические рекомендации предыдущего пункта остаются в силе
лин
запис
федраци
уравнеия
работ
функций
зрения
при исследовании функции косинус.
синуа
функци
графиков
quote
График функции
следующим
y
1
-π
0
π
2π
х
-1
Исследование функции
quote
Содержание этого пункта аналогично содержанию предыдущих.
решни
quote
боле
решни
решнию
Учащиеся к этому времени приобрели некоторый опыт исследования
прямой
после
хомушк
запись
функций
функци
функций и построения графиков. Исследование полезно проводить с
также
quote
функций
развиет
45
изучть
график
наглядной интерпретацией на единичной окружности, так как тангенс равен
значеий
работ
решнию
контрля
поэтму
уравнеи
quote
отрезку линии тангенсов (касательной к единичной окружности,
доказть
единчой
периода
процес
проведенной через точку
quote
ось тангенсов; если
усвоению
). Очевидно, если
числовй
quote
понятим
, то луч
учебной
, то луч
образм
обратимся
пересекает
посбие
параллелен оси тангенсов, поэтому
оснве
персказ
найдите
quote
точек пересечения нет и тангенс в этих точках не существует;
аргумент
сину
часов
функци
функци
изложеня
. Если прямая
начл
пересекает линию тангенсов и
точек
учебной
алимов
проходит через I и III четверти, то точка пересечения
учебников
тесно
обучения
имеет
крамо
положительную ординату, т.е. тангенс числа t в этом случае положителен;
поэтму
принмают
если
отрабке
работы
обучения
имеют
учебны
проходит через II и IV четверти, то тангенс отрицателен.
школьных
решни
quote
полувн
График функции
струк
0
-2π
-π
π
2π
функция
y = tg x
форму
Примеры:
таких
1) Найдем значение
без помощи таблиц.
функци
разделить
quote
Решение.
2) Найдем
, если известно, что
Решение: Угол
усвоения
учебног
школьнм
.
функци
находится в первой четверти, и, значит,
котрые
отрабки
апробци
46
. Поэтому
Исследование функции
изученя
Содержание этого пункта аналогично содержанию предыдущего,
функцию
затем
работе
функци
четнось
поэтому методические рекомендации предыдущего пункта остаются в силе
функци
quote
решния
даног
учебно
спобм
quote
при исследовании функции котангенс.
шоран
обычне
ситемы
уровень
График функции
четври
-2π
0
-π
π
числа
2π
y = ctg x
споб
Пример. Вычислить
больше
Решение:
.
Решение тригонометрических уравнений.
решния
quote
1. Арксинус, арккосинус и арктангенс.
учащимся
значеи
В этом пункте доказывается теорема о корне, которая в дальнейшем
котрая
объектм
учителям
quote
quote
изд-во
quote
кар-
значительно облегчает изложение материала. Перед тем как ее
сал
учебной
решни
приемы
примеы
наприме
допускают
сформулировать, полезно повторить определение возрастающей
ведт
работ
функций
значеий
(убывающей) функции и, начертив график функции y= x-1, предложить
каждый
образцу
учащимся найти значения
учащимся
материл
работы
задчи
единственное для каждого значения . Кроме,
имется
точки
аргумент
функций
того, полезно построить график функции y = -x+1 и задать аналогичные
quote
углов
осбен
работе
точек
формулы
quote
вопросы по графику. Далее показывается, что функция синус удовлетворяет
здесь
график
апробция
изучен
условиям теоремы на промежутке
школьнм
приемо
уравнение
полезн
решнию
методик
тольк
, поэтому на этом промежутке
уделятс
quote
приемов
сину
имеет единственный корень b. Это число называют
решни
учебной
47
уровень
первой
арксинусом числа
и обозначают
. Здесь полезно сказать, что arcus в
учащимся
уравнеи
точки
arcus
переводе означает «угол» (дуга).
используя
отрезку
Можно использовать дополнительные примеры к главе. Для работы с
учебных
понятие
используя
метода
примеа
функциям
сильными учащимися полезны примеры:
монгуш
quote
контрль
1) Решите уравнение: а)
покажем
каифрг
б)
2) Найдите область определения функции: а)
рисунке
теорий
quote
б)
подстави
осзна
.
3) Найдите значение выражений: а)
почлен
ситема
;
гимназ
б)
; в)
.
2. Решение простейших тригонометрических уравнений.
решни
хоршая
обучения
Объяснение нужно начать с решения конкретного уравнения при
типам
quote
связаных
внимае
навыко
прямой
помощи единичной окружности. Например, решить уравнение cos t = 0.5
такой
работ
материл
допустим
задний
обучения
имеет единственное решение. По определению этим числом будет
такие
единчой
функци
quote
ситуац
quote
, которое отметим на окружности. Такое же значение
решния
функци
методв
активног
косинуса будет и в точке
косину
решив
, что следует из четности
изучаются
начл
числовй
ситемы
косинуса ( точки симметричны относительно оси Ox). Итак, в пределах
условия
решни
quote
учиться
следующим
одной окружности данное уравнение имеет два решения:
обучени
решния
функций
методик
уравнеий
учебника
и
школьнм
.
Учитывая, что функция косинус периодическая, запишем все решения
примеа
развитем
функци
качеств
quote
тольк
quote
уравнения:
решни
Вывод формулы решений уравнения
тангесов
развите
основан,
уравнеи
так же как и решение предыдущего примера, на использовании теоремы о
отвеы
этог
quote
работ
выделить
quote
48
выделить
решнию
корне, определении арккосинуса и свойстве периодичности функции
точке
усвоения
готвые
quote
часов
косинус. Поэтому сначала рассматривается промежуток
херл
тувинскй
приме
убывает ( и потому уравнение
считаь
quote
, где косинус
задчи
персказ
quote
имеет единственное решение
функци
покажем
дале
). Затем по свойству четности косинуса на промежутке
функциям
теорма
функци
находим второй корень:
учебной
учеником
(так как
причн
, то
напомить
значеий
). Итак, уравнение
с учетом
некотрый
зрения
периодичности имеет решениями числа вида
функци
quote
ошибк
гимназ
,
котангес
.
При решении тригонометрических уравнений важно подчеркнуть тот
уровень
уравнеи
точки
методика
путем
функци
факт, что если это уравнение имеет решение, то оно имеет их бесконечное
крамо
задчи
понятие
изученя
quote
примеы
отбр
котре
умений
разделу
множество. Следует обратить внимание на особую форму записи решений
обучения
разных
уравнения
значеи
при
решни
апробция
каой
сложения
ситуац
, равном 1,-1,0.
функций
Аналогично выводятся формулы решений уравнений
начл
решний
найти
учащимся
. Полезно вывести формулу решений уравнения
уровень
используя
материл
так как при решении в дальнейшем неравенств вида
варинт
учащихся
функциям
апробция
помщью
quote
,
числовй
в силу
полезн
частнои
различия областей определения функций тангенс и котангенс могут
постриь
тогда
точки
отрезк
quote
своих
quote
появиться посторонние решения или быть потеряны решения.
числа
явлетс
точке
усвоени
ай-херл
образцу
quote
Полезно обратить внимание на решение уравнений типа
четная
период
оснвые
и т.п. Например, уравнение
,
решния
помщи
quote
выяснить
могут
лучше решит, используя свойство нечетности функции синус,
изображен
материл
начло
т.е. заменить его равносильным
котангес
школьнм
найти
quote
помщью
, откуда
знать
quote
,
Решение тригонометрических уравнений полезно иллюстрировать на
круге или на графике функции. Использование графиков соответствующих
функций и нахождение с их помощью решений уравнений, принадлежащих
промежутку, длина которого равна периоду функции, способствует лучшему
пониманию вопросов теории.
49
Важно добиться прочных умений и навыков решения простейших
уравнений вида
и др.
Выработке прочных навыков решения простейших уравнений
способствует проведение самостоятельных работ, в том числе
математических диктантов и программированного контроля.
Ниже приведена в двух вариантах работа для программированного
контроля знаний учащихся при решении уравнений типа
Задание
Вариант 1
Вариант 2
Ответ
2
1
3
4
Верный ответ: вариант 1 – 312; вариант 2 – 124.
Полезно включать в планы уроков упражнения на решение упражнений
типа: а) sin x cos x = 1; б)
; в) tg x + 2 =
; г)
sin x = tg x ctg x; д) cos x (sin x – 2) = 0 и т.п., на которых повторяется ранее
пройденный материал.
Более сильным учащимся можно предложить уравнения типа:
а)
; б)
.
Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений.
Учащиеся изучают три вида тригонометрических уравнений. Во –
первых, уравнения, представляющие собой квадратные уравнения
относительно какой-либо тригонометрической функции либо сводимые к
нему. Если в уравнение входят разные тригонометрические функции , то их,
если возможно, надо выразить через одну. При этом нужно выбирать эту
функцию так, чтобы получалось квадратное относительно нее уравнение.
50
Введя вспомогательную переменную и решив квадратное уравнение,
переходим к решению одного из простейших тригонометрических
уравнений.
При решении уравнений, левая часть которых разлагается на
множители, а правая равна нулю , вспоминаем с учащимися, что
произведение нескольких множителей равно нулю, а остальные (при этом
значении переменной) имеют смысл. Уравнение такого вида также сводятся
к решению простейших тригонометрических уравнений и к проверке того, не
теряют ли смысл остальные множители при этом значении переменной.
Уравнения однородные первой и второй степени относительно синуса
и косинуса или сводимые к ним решаются особым способом, рассмотренным
в учебном пособии. Часто однородные уравнения в начальном виде не
очевидны, но могут быть преобразованы в явно однородные; например,
уравнение
является однородным, если
заменить по
формуле двойного аргумента, т.е. привести уравнение к виду
=0. Здесь отсутствует член, содержащий
чтобы степень уравнения не понизилась, делим все на
. Поэтому,
.
– это неполное квадратное уравнение относительно
Решаем его, разложив левую часть на множители
, т. е.
, отсюда
или
. Можно
данное уравнение решать не переходя к тангенсу, а сразу разложить на
множители.
Уравнение
тоже приводится к
однородному, если правую часть умножить на выражение
равное 1. Это уравнение в результате приводится к виду
.
51
,
Уравнение вида
, где
не равны 0
одновременно, тоже может быть сведено к однородному, если
заменить по формуле двойного аргумента, а правую часть умножить на
. Получим:
, т.е.
. Далее уравнение решается,
как обычное однородное второй степени. Сильным учащимся можно
показать и другие способы решения этого уравнения: заменить
через
и
. Но при этом способе может произойти потеря решений, так как
разные, поэтому лучше решить иначе, введя
вспомогательный угол, разделив обе части уравнения на
. Далее
. Отсюда
, где
:
и
, так как
, т.е.
.
. Решения нет в том
случае, если
.
Рассмотрим систему тригонометрических уравнений с двумя
переменными. Во – вторых, система может состоять из двух уравнений, одно
из которых выражает зависимость между тригонометрическими функциями
от двух различных аргументов и другое – зависимость между аргументами,
например:
Решение систем такого вида разобрано в учебнике.
52
Во – вторых, система может состоять из двух уравнений, содержащих только
тригонометрические функции различных аргументов, например
Эта система решается так:
, откуда
, т.е. получим систему
из которой, сложив почленно и вычтя из второго первое уравнение, получим
систему
откуда
;
;
Уравнения, содержащие переменную в знаменателе, решаются
обычным способом: находятся значения переменной, обращающие числитель
в нуль, и исключаются значения переменной, при которых знаменатель
обращается в нуль.
Примеры:
1) Решить уравнение: cos2x+ sinx· cosx= 1.
Решение.
cos 2x+ sin x· cos x– sin2x– cos2x= 0 ,
sin x· cos x– sin2x= 0 ,
sinx· ( cosx– sinx) = 0 ,
53
2). Решить уравнение: cos 2x– cos 8x+ cos 6x= 1.
Решение.
cos 2x+ cos 6x= 1 + cos 8x,
2 cos 4xcos 2x= 2 cos ² 4x,
cos 4x· ( cos 2x– cos 4x) = 0 ,
cos 4x· 2 sin 3x· sinx= 0 ,
1). cos 4x= 0 ,
2). sin 3x= 0 ,
3). sinx= 0 ,
Разработка урока по алгебре и началам анализа в 10-м классе на тему
"Тригонометрические функции"
Вид урока:обобщение и систематизация изученного материала.
Цели:
1.Создать условия для:
54
•
обобщения и закрепления понятия и свойств тригонометрических
функций;
•
закрепления навыков чтения графика, решения простейших
тригонометрических уравнений.
2.Определить степень усвоения темы учащимися.
Оборудование:доска, компьютер, проектор, таблицы, экран, раздаточный
материал.
План урока:
•
чтение графиков тригонометрических функций;
•
повторение формул тригонометрии;
•
работа с единичным тригонометрическим кругом;
•
решение простейших тригонометрических уравнений;
•
нахождение множества значений функций;
•
решение тестовых заданий по повторению.
Ход урока
1. Организационный момент. Постановка цели, мотивация.
2. Чтение графиков.
1.График, какой функции изображен на рисунке?
1)y= 1/2 sinx
2)y= 2cosx
3)y= cos 2x
4)y= 2sinx
2.График, какой функции изображен на рисунке?
55
1)y= – sinx
2)y= cosx
3)y= sinx
4)y= – cosx
3.График, какой функции изображен на рисунке?
1)y= – 2cosx
2)y= – 2sinx
3)y= 1/2 cosx
4)y= sin 2x
4.График, какой функции изображен на рисунке?
1)y= – cosx
2)y= cosx
3)y= sinx
4)y= – sinx
5.График, какой функции изображен на рисунке?
56
1)y= – cosx
2)y= cosx
3)y= – sinx
4)y= sinx
6.График, какой функции изображен на рисунке?
1)y= – 3 cosx
2)y= – 1/3 sinx
3)y= cos 3x
4)y= 3 sinx
7.График, какой функции изображен на рисунке?
1)y= – cosx
2)y= – sinx
3)y= cosx
4)y= sinx
8.График, какой функции изображен на рисунке?
57
1)y= – sin 2x
2)y= 1/2 cosx
3)y= 2 sinx
4)y= – 2 cosx
9.График, какой функции изображен на рисунке?
1)y= 3 cosx
2)y= – 3 sinx
3)y= – cos 3x
4)y= 1/3 sinx
10.График, какой функции изображен на рисунке?
1)y= 2 cosx
2)y= – 2 sinx
3)y= – 1/2 cosx
4)y= sin 2x
58
3. Повторение формул тригонометрии.
4. Работа с единичным тригонометрическим кругом.
-определить четверть единичного круга:
225о; ; 300о;
-определить знак выражения:
;
;
;
-вычислить:
;
;
;
-применить формулы приведения:
; cos ( – x);
;ctg ( + x)
5. Решить уравнения(выполняется в тетрадях).
1 вариант
2 вариант
1) cos 2x= - 1
1) sin2x= 1
2) Sin ( –x) = 0
2) cos ( –x) = 0
3) 2sinxcosx= 1
3) 2 sinxcosx= - 1
4) сos2x– sin2x= 0 4) cos2x– sin2x= 1
Ответы передаются учителю на листочках для проверки знаний. Затем через
проектор ответы проверяются.
1 вариант
2 вариант
6. Найти множество значений функции.
Работа проводится аналогично.
59
1 вариант
2 вариант
1)у= 2 – 3 sinx
1)у= 5 соsx+ 3
2)у= cosx– 5
2)у= 3 – sinx
3)у= 1/2 cosx+ 3/2
3)у= 5/2 sinx– 1/2
Найти наибольшее число. Найти наименьшее число.
Ответы
1) [ - 1; 5] 1) [ - 2; 8 ]
2) [ - 6; - 4] 2) [ 2; 4 ]
3) [ 1; 2 ]
3) [ - 3; 2 ]
7. Решение тестовых заданий на повторение.
1. Найти значение выражения:
1 вариант
1. 4(х+у) – 2х(у+2)
прих= 0,5;у= -2
2 вариант
1. - 0,6(у-4) + 2(-1+0,1у)
при у= -0,6
1) 2;
1) -3,16;
2) 6;
2) 0,64;
3) - 6;
3) 0,16;
4) -10
4) -0,1
. Упростить:
Sin2( + ) +cos2( + ) – 3
1,5cos2x+1,5sin2x– 1
1) 1;
1) 0;
2) 4;
2) 1,5cos2x-1;
3)- 3;
3) 0,5;
60
4)- 2
4)2
3. Найти значение:
tg , если соs =4/
sin ,если tg =1/3 и < <3 /2
и 3 /2< <2
1) -4;
1) -3/
;
2) 0,25;
2) -1/
;
3) -0,25;
3) 1/
4) 4
;
4) 3/
4. Вычислить:
Cos2 /4 – sin2 /4
2sin /12 cos /12
1) 2;
1) 1;
2) 1;
2) 2;
3) 0;
3) 1/2;
4)
4)
/2
5. Решить уравнение:
(х2– 3х – 10)
(х2-6х + 5) = 0
=0
Подводятся итоги урока.
2.4 Апробация методических материалов тригонометрических
функций в курсе алгебры и начала анализа в 10 классе.
Апробация методических материалов проводилась в 10 «в» классе
МБОУ СОШ №1 г.Чадан, во время педагогической практики. Для
проведения апробации был задействован один класс. Количество учащихся в
классе 26 человек. Тему класс изучал впервые и после проведения
нескольких уроков были выполнены самостоятельная работа и контрольная
работа.
61
№ Ф.И. учащихся 10 «в»
класса
Оценка Оценка
за С. Р
за К. Р
1
Донгак Аян
4
4
2
Донгак Алина
5
4
3
Кара-Сал Кудер
3
2
4
Монгуш Херел
2
2
5
Ооржак Ачыты
3
3
6
Ооржак Баян-Уула
2
2
7
Ооржак Ирбиш
3
4
8
Саая Айза
5
4
9
Саая Айдыса
4
4
10 Саая Анзат
4
5
11 Саая Аржаана
4
5
12 Саая Аян
2
2
13 Саая Сайдаш
2
3
14 Саая Хая
2
2
15 Саая Орлан
3
3
16 Саая Чойган
4
4
17 Салчак Аржаан
3
3
Хертек Ай-Херел
4
5
19 Хомушку Айдын
3
3
20 Хомушку Айыран
3
2
21 Хомушку Херел
4
4
22 Хомушку Сайзаана
5
5
23 Хомушку Чодураа
5
5
24 Хомушку Эчис
4
3
25 Хомушку Хулер
3
3
26 Хомушку Шораан
3
2
8
62
63
Ф.И учащихся
Хомушку Шораан
Хомушку Хулер
Хомушку Эчис
Хомушку Чодураа
Хомушку Сайзаана
Хомушку Херел
Хомушку Айыран
Хомушку Айдын
Хертек Ай-Херел
Салчак Аржаан
Саая Орлан
Саая Чойган
Саая Хая
Саая Сайдаш
Саая Аян
Саая Аржаана
Саая Анзат
Саая Айдыса
Саая Айза
Ооржак Ирбиш
Ооржак Баян - Уула
Ооржак Ачыты
Монгуш Херел
Кара-Сал кудер
Донгак Алина
Донгак Аян
5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
По результату С.Р
64
Заключение.
Курс тригонометрии является богатым по содержанию, но в то же
время вызывающим затруднения у школьников разделом.
В данной работе на основе изучения теоретических вопросов по
тригонометрии, разработана на методики изучения тригонометрических
функций в школе.
В школьном курсе алгебры и начала анализа в учебниках по теме
«Тригонометрические функции» можно выделить следующие типы:
1. Задачи, связанные с работой на числовой окружности.
2. Задачи на нахождение области определения и множества значений
функции.
3. Задачи на тождественные преобразования тригонометрических
выражений.
4. Задачи на четность (нечетность) тригонометрических функций.
5. Задачи на нахождение нулей тригонометрических функций.
6. Задачи на монотонность тригонометрических функций.
7. Задачи на периодичность тригонометрических функций.
8. Задачи на нахождение промежутков знакопостоянства
тригонометрических функций.
9. Задачи на построение графиков тригонометрических функций.
10. Комбинированные задачи
Содержание материала « Тригонометрические функции» позволяет
проводить систематизацию знаний учащихся по данной теме, основываясь на
классификации типов задач, выделенных выше.
Апробация в школе показала, что разработанная методика обучения
учащихся по решению задач раздела «Тригонометрия» способствует
повышению качества знаний школьников.
65
Разработаны методические материалы, которые может быть
использованы учителями математики, ведущими курс тригонометрии.
66
Список литературы:
1. Адронов, И.К., Окунев А.К. Курс тригонометрии, развиваемый на
основе реальных задач. –г. Москва: Просвещение, 2016. Текст –
непосредственный.
2. Алимов, Ш.А., Колягин Ю.М. др . Алгебра и начала анализа: Учеб. для
10-11кл. общеобразоват. учреждений. –г. Москва: Просвещение, 2016 г.
Текст – непосредственный.
3. Башмаков, М. И. Алгебра и начала анализа. 10-11. Учебное пособие для
10-11 кл. средней школы. М. Просвещение, 2017. Текст –
непосрдественный.
4. Беспалько, В.П. Основы теории педагогических систем (Проблемы и
методы психолого-педагогического обеспечения технических
обучающих систем)/ В.П.Беспалько. – г.Воронеж: Изд-во ВГУ, 1997. 304 с. Текст – непосредственный.
5. Виленкин, Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ. 10 кл.:
Учебное пособие для шк. И кл.с углубл. изуч. Математики. – г.Москва.:
Мнемозина, 2012. Текст – непосредственный.
6. Гилемханов, Р.Г. О преподавании тригономтерии в 10 классе.//
математка в школе, 2018. Текст – непосредственный.
7. Епишева, О. Б. Технология обучения математике на основе
деятельностного подхода. –г. Тобольск. : Изд-во ТГПИ им. Д.И.
Менделеева, 2003. Текст – непосредственный.
8. Кара-Сал, Н.М. Использование свойств функций при решении
математических задач. Учебно – методическое пособие по практикуму
решения математических задач. – г.Кызыл: ТГПИ и ПКК
Правительства РТ, 2007.-79с. Текст – непосредственный.
9. Кара-Сал, Н.М. Методические рекомендации по решению
математических задач. ч.II. Тригономтерия.- г.ЛенинградЛгпи,1989.
Текст – непосредственный.
67
10. Кара-Сал, Н.М. Периодические функции. Методическое пособие для
студентов по практикуму решения математических задач. – г.Кызыл:
ИЗд-во ТывГу, 2002.-60с. Текст – непосредственный.
11. Карп , А.П. Сборн.зад. по алгебре и начала анализа: Учебное пособие
для 10-11 кл. – г.Москва: Просвещение 2012. Текст –
непосредственный.
12. Колмогоров, А.Н. Алгебра и начала анализа 10-11 кл.: Учебник для
сред. шк. под ред. Колмогорова А.Н – г.Москва: Просвещение, 2012г.
Текст – непосредственный.
13. Крамор, В.С., Михайлов П.А. Тригонометрические функции. –
г.Москва: Просвещение 1979. Текст – непосредственный.
14. Лужина, Л.М., Натяганов В.Л., Сборник задач по геометрии и
тригонометрии: учеб. Пособие. – г.Москва:Изд-во УНЦ ДО,2013. Текст
– непосредственный.
15. Малышев, И.Г. О важности тригонометрии как раздела геометрии.
Математика в школе, 2012 - №3. http://www.niro.nnov.ru/?id=31284.
Текст – электронный.
16. Мордкович, А.Г. Методические проблемы изучения тригонометрии в
общеобразовательной школе.// Математика в школе, 2012 - №6 – с.3238. https://pandia.ru/text/80/444/58557.php Текст - электронный.
17. Мордкович, А.Г., Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учебник для
общеобразовательных учреждений.-г. Москва: Мнемозина, 2012. Текст
– непосредственный.
18. Сухомлинский, В.А. Сердце отдаю детям(Избранные педагогические
сочинения )- г.Москва: Педагогика. 1979, Т. 1. Текст –
непосредственнный.
19. Талызина, Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний / Н.Ф.
Талызина. – г.Москва. Изд-во МГУ, 2018. Текст – непосредственный.
20. Цукарь, А.Я Упражнения практическиого характера по
тригонометрии.// Математика в школе, 2017 . https://uch68
lit.ru/periodika/dlya-uchiteley-i-uchashhihsya/matematika-vshkole/matematika-v-shkole-nauchno-teoreticheskiy-i-metodicheskiyzhurnal-3-1993. Текст – электронный.
21. Шамова, Т. И. Управление образовательным процессом в адаптивной
школе. : учебное пособие / Т. И.Шамова, Т. М. Давыденко. – г.Москва :
Пед. поиск, 2001. - 384 с. Текст – непосредственный.
69
