Тема: Операторный метод анализа переходных процессов Учебные вопросы 1 Преобразование Лапласа и его свойства. 2 Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме. Операторная схема замещения. 3 Алгоритм анализа переходных процессов операторным методом. 4 Определение оригинала по его изображению. Теорема разложения. Недостатки классического м етода 1) ограниченность прим енения, используется в основном в тех случаях , к огда исследуем ая цепь им еет невы сок ий порядок слож ности, а внеш нее воздействие на нее после к ом м утации является гарм оническ ой ф унк цией врем ени либо постоянно; 2) гром оздк ость при анализе перех одны х процессов цепей более второго порядк а, так к ак нах ож дение свободной составляю щ ей и постоянны х интегрирований требует реш ение алгебраическ их уравнений вы сок ого порядк а. Сущность операторного метода Расчет перех одного процесса переносится из области ф унк ций действительной перем енной (врем ени t) в область ф унк ций к ом плек сного перем енного . При этом операции диф ф еренцирования и интегрирования ф унк ций врем ени зам еняю тся соответствую щ им и операциям и ум нож ения и деления ф унк ций к ом плек сного перем енного на оператор p. Это сущ ественно упрощ ает расчет, так к ак сводит систем у диф ф еренциальны х уравнений к систем е алгебраическ ой. Этапы развития операторного м етода 1. М атем атическ ое обоснование операторного м етода впервы е дано в 1862г. русск им м атем атик ом М .Е.Ващ енк оЗах арченк о, к оторы й пок азал возм ож ность прим енения сим волическ ого (операторного) исчисления к интегрированию диф ф еренциальны х уравнений на основе прям ого преобразования Лапласа Этапы развития операторного м етода 2. В к онце X I X в. английск ие инж енеры -элек трик и О.Х эвисайд и Д.Карсон успеш но прим енили и развили сим волическ ий м етод реш ения диф ф еренциальны х уравнений для расчета перех одны х процессов в элек трическ их цепях Преобразования Лапласа Прям ое преобразование Лапласа где f(t) – ограниченная ф унк ция действительного перем енного t, определенная при (при t < 0; f(t) = 0) . Обратное преобразование Лапласа определяю т из реш ения уравнения: Условны е обозначения соответствия оригинала и изображ ения: Функция оригинал f(t) Выражение функции t Вид функции Изображение функции F(p) Свойства преобразования Лапласа 1. Теорем а о слож ении или линейность преобразования 2. Теорем а о диф ф еренцировании Свойства преобразования Лапласа 3. Теорем а об интегрировании 4. Теорем а запазды вания Изображ ение напряж ения на резистивном элем енте Ur(t) = r i(t) Операторная сх ем а зам ещ ения Ur(p) = r I (p) Зак он Ом а в операторной ф орм е для резистивного элем ента Изображ ение напряж ения на индук тивном элем енте Операторная сх ем а зам ещ ения U L (p) = - L i(0) + pLI (p) где i(0) = i(0-) = i(0+) – ток в индук тивном элем енте в м ом ент к ом м утации t = 0, учиты ваю щ ий начальны е условия (согласно первого зак она к ом м утации). Изображ ение напряж ения на ём к остном элем енте Операторная сх ем а зам ещ ения где Uc(0) = Uc(0-) = Uc(0+) – напряж ение на ем к остном элем енте, соответствую щ ее начальном у условию (согласно второго зак она к ом м утации). Закон Ом а в операторной ф орм е для последовательной цепи Законы Кирх гоф а в операторной ф орм е Первы й зак он Кирх гоф а в операторной форме: Он гласит: алгебраическ ая сум м а операторны х ток ов в лю бом узле цепи равна нулю . Второй зак он Кирх гоф а в операторной форме: Он гласит: алгебраическ ая сум м а операторны х падений напряж ений на всех участк ах зам к нутого к онтура равна алгебраическ ой сум м е операторны х ЭДС, вк лю ченны х в этот к онтур. Операторная сх ем а зам ещ ения При составлении эк вивалентны х операторны х сх ем источник и ток а и напряж ений i(t) и U(t) зам еняю тся соответствую щ им и изображ ениям и I (p) и U(p), индук тивность L зам еняется на Lp, а ем к ость C – на 1/ Cp при нулевы х начальны х условиях . Если начальны е условия ненулевы е, то последовательно с Lp добавляется источник напряж ения Li(0), а с C – источник напряж ения –Uc(0)p Алгоритм анализа переходных процессов операторным методом 1. И зображ ается исх одная расчетная сх ем а зам ещ ения цепи и определяю тся начальны е условия к ом м утации. 2. Все известны е элек трическ ие величины и парам етры изображ аю тся в операторной ф орм е (слож ны е ф унк ции – с пом ощ ью таблиц оригиналов и изображ ений) и осущ ествляется перех од к операторной сх ем е зам ещ ения цепи. Алгоритм анализа переходных процессов операторным методом 3. На основе зак онов Ом а, Кирх гоф а в операторной ф орм е в соответствии с вы бранны м м етодом расчета цепи после ее к ом м утации составляется систем а операторны х уравнений с учетом начальны х условий, к оторая реш ается относительно изображ ений иск ом ы х перех одны х ток ов и напряж ений. 4. Полученны е изображ ения иск ом ы х перех одны х ток ов и напряж ений преобразую тся либо к табличны м , либо к виду, удобном у для прим енения теорем ы разлож ения, и определяю тся оригиналы (перех одны е ток и и напряж ения). 5. Производится анализ х арак тера перех одного процесса. Способы перех ода к оригиналам Способы перех ода к оригиналам С пом ощ ью таблиц оригиналов и изображ ений С пом ощ ью обратного преобразования Лапласа На основе теорем ы разлож ения Теорем а разлож ения Теорем а разлож ения ф орм улируется следую щ им образом . Если изображ ение иск ом ой ф унк ции м ож но представить в виде рациональной дроби где м ногочлены F1(p) и F2(p) общ их к орней не им ею т; ak и bk – действительны е числа, Теорем а разлож ения (продолж ение) то F(p) м ож но разлож ить на ряд слагаем ы х , к аж дом у из к оторы х соответствует табличны й интеграл где p1,p2,...,pn – корни х арактеристического уравнения F2(p) = 0; F1(p1),F1(p2),… ,F1(pn) – значения м ногочлена числителя при соответствую щ их корнях p1,p2,… ,pn х арактеристического уравнения; - значения производны х м ногочлена знам енателя при соответствую щ их корнях p1,p2,… ,pn х арактеристического уравнения. Алгоритм прим енения теорем ы разлож ения 1. Изображ ение иск ом ой ф унк ции представить в виде рациональной дроби. 2. Составить х арак теристическ ое уравнение знам енателя и определить его к орни p1,p2,… ,pn. 3. Определить значения м ногочлена числителя при к аж дом из к орней х арак теристическ ого уравнения. 4. Определить в общ ем виде производную м ногочлена знам енателя и ее значения при к аж дом из к орней х арак теристическ ого уравнения. 5. По теорем е разлож ения записать оригинал (иск ом ую ф унк цию ). Прим ер . Пусть задано изображ ение в виде Необх одим о найти его оригинал. Реш ение. Обозначим F1(p) = p +2; F2(p) = p(p2 + 5p +4). Найдем к орни х арак теристического уравнения F2(p) = p(p2 + 5p +4) = 0. p1 = 0; p2 = - 1; p3 = - 4. При этом F1(p1) = 2; F1(p2) = 1; F1(p3) = - 2. Определим производную Отсю да Ок ончательно получим :
