Дифракция Френеля и Фраунгофера

Кузьмичев Сергей Дмитриевич
1
Содержание лекции №4
1. Постановка задачи о дифракции.
2. Границы применимости геометрической оптики. Волновой
параметр. Дифракционные явления при различных
значениях волнового параметра.
3. Принцип Гюйгенса-Френеля.
4. Дифракция Френеля на круглом отверстии. Зоны Френеля.
Зонная пластинка.
5. Дифракция Френеля на диске. Пятно Пуассона.
6. Линза.
Постановка задачи о дифракции
Дифракция волн — совокупность явлений, в которых
проявляются отклонения от законов геометрической
оптики при распространении волн в неоднородных средах
(например, при наличии препятствий). Она представляет
собой универсальное волновое явление и характеризуется
одними и теми же законами при наблюдении волновых полей
разной природы.
Постановка задачи о дифракции
•
•
•
•
•
Падающая волна
Экран с отверстием
Плоскость наблюдения
Граничные условия
Метод расчёта искомого
поля
Приближенные граничные условия Кирхгофа
 fS  x, y, z  0  в точках,

 принадлежащих отверстию;
f  x, y, z  0   
 0 в точках, закрытых непрозрачной
 частью тонкого экрана
При условии
наблюдается
b λ, z λ
удовлетворительно согласие с экспериментом
t  x, y 
f  x, y, z  0   f S  x, y, z  0   t  x, y 
- функция пропускания
Волновой параметр
λ, b, z
- длина волны, характерный размер препятствия,
расстояние до плоскости наблюдения
λz
p
b
p 1
p 1
p 1
- волновой параметр
- область геометрической оптики
- область дифракции Фраунгофера
- область дифракции Френеля
Принцип Гюйгенса-Френеля
 Каждую малую площадку на
плоскости экрана (или волновой
поверхности) можно рассматривать
как источник вторичной волны.
 Вторичные волны когерентны.
 Поле в любой точке наблюдения
есть результат интерференции
этих вторичных волн.
Принцип Гюйгенса-Френеля
(математическая формулировка)
f  P   K 0   a0  x, y   e
S
iφ0  x , y 
ikR
e

 cos α  dS
R
Круглое отверстие в непрозрачном экране
(поле на оси)
- экран освещается плоской нормально
падающей волной с амплитудой a0
- радиус отверстия ρ0 много меньше
расстояния z до точки наблюдения
- точка наблюдения находится на оси
отверстия
cos α  1, 1 / R  1 / z
f  P   K 0   a0  x, y   e
S
iφ0  x , y 
ikR
e
a0 ikR

 cos α  dS  K 0   e  dS
R
z S
Круглое отверстие в непрозрачном экране

R z ρ
2
2

1/ 2

 z 1 ρ / z
2
ρ
z
, ρ
2z
dS  2πρdρ
2

1/ 2
2
a0 ikR
a0  e
f  P   K 0   e  dS K 0 
z S
z
ikz
e
S
z
k 2
i ρ
2z
 2πρdρ

Круглое отверстие в непрозрачном экране
ρ  ξ , dξ  2 ρdρ
2
a0  e
f  P   K0 
z
a0 λ  e
f  P   K0 
i
ikz
ikz
π e
i
k
ξ
2z
dξ
0

e

k 2
ρ
ρ0  2π, z1 
, f  z1   0 !!!
2 z1
2λ
2
0
ρ02
k 2
i ρ0
2z

 1

Зоны Френеля
 Круглое отверстие в непрозрачном экране
 Точечный источник на оси
 Точка наблюдения на оси
L1  a  b,
ρ
a,b
2
2
ρ
ρ
L2  a 2  ρ 2  b 2  ρ 2  a  b 

2a 2b
ρ
ρ
ρ 1 1
Δ  L2  L1 


 

2a 2b 2  a b 
2
2
2
Круглое отверстие в непрозрачном экране
(точечный источник на оси)
ρ
ρ
ρ 1 1
Δ  L2  L1 


 

2a 2b 2  a b 
2
λ
ρm  1 1 
Δm  m  , Δ 
 

2
2 a b
2
λab
ρm  m
ab
ρm
- радиус m-ой зоны Френеля
Кольцевые зоны расположены в
плоскости экрана
2
2
Круглое отверстие в непрозрачном экране
(точечный источник на оси)
λab
ρm  m
ab
Sодной зоны  πρ
2
m 1
πλab
 πρ 
 const
ab
2
m
Круглое отверстие в непрозрачном экране
(точечный источник на оси)
λab
ρm  m
ab
a
(плоская волна)
rm  mλb
Sодной зоны  πλb  const
Круглое отверстие в непрозрачном экране
(точечный источник на оси)
Число открытых зон Френеля
2
ρ0   a  b 
Sотв
N

Sодной зоны
λab
a
ρ
N
πλb
2
0
a  1 м, b  1 м, λ  500 нм, m  1
λab
ρ1 
 0 , 5 мм
ab
Круглое отверстие в непрозрачном экране
(точечный источник на оси)
ikR
e
iφ0  x , y 
f  P   K 0   a0  x, y   e

 cos α  dS
R
S
C
iφ0  x , y 
ik
a0  x, y  e

e
2
2
a ρ
ikR
ik b 2  ρ 2
a 2  ρ2
e
e

2
2
R
b ρ
b
cos α 
, dS  2πρdρ
2
2
b ρ
Круглое отверстие в непрозрачном экране
(точечный источник на оси)
Вклад одной зоны с номером m в поле в точке наблюдения
Am  P  
ρm

e
K 0C
ik

a 2  ρ2  b 2  ρ2

b
a 2  ρ2  b 2  ρ2
ρm 1
ρm
K m C ik  a  b 
Am  P  
e
e

ab
ρm 1
ik  a  b 
K mC  e
Am  P  
ab
kρ 2  1 1 
i
 

2 a b
2π 

e
ik 

b 2  ρ2
 2πρdρ
 2πρdρ, a,b
2
kρm
1 1
i
 

2 a b
e
2
kρm
1  1 1 
i
 

2 a b
ρ




Круглое отверстие в непрозрачном экране
(точечный источник на оси)
ik  a  b 
K mC  e
Am  P  
ab
2π 

e
ik 

2
kρm
1 1
i
 

2 a b
e
2
kρm
1  1 1 
i
 

2 a b




ρ 1 1
λ ρ 1 1
λ
2π
 m ,
    m  1 , k 


2 a b
2 2 a b
2
λ
2
m
2
m 1
ik  a  b 
K mC  e
Am  P  
ab
ik  a  b 
λk
i


2π
K mC  e
4π
m
2

e

  1
1  e  
ik
ab
ik


Am  P    Am 1  P 
im
λk
2
Круглое отверстие в непрозрачном экране
(точечный источник на оси)
ik  a  b 
K mC  e
4π
m
Am  P  

  1  ,
ab
ik
K m  K m 1 , K m  K m 1 , Am 1   Am , Am 1  Am
AΣ  P    Am  P 
m
1
AΣ  P   A1 ,
2
ik  a  b 
C e
AΣ  P  
ab
ik  a  b 
1 K1C  e
 
2
ab
ik
k
K1  

e
2π 2π
i
π
2
4π

  1
ik
Векторная диаграмма
1
A0  P   A1  P 
2
Картина дифракции Френеля на круглом
отверстии при разном числе открытых зон
Зонные пластинки
I0  A
2
0
- интенсивность света в
точке наблюдения в отсутствии
препятствий
I1  A   2 A0   4 I 0 - интенсивность света в точке наблюдения
2
2
1
для отверстия, открывающего одну первую зону Френеля
I n   nA1    2nA0   4n I 0
2
2
2
- интенсивность
n
наблюдения для пластинки, открывающей
зон Френеля
света в точке
первых нечётных
Пятно Пуассона
Пятно Пуассона — это яркое пятно, возникающее в области
геометрической тени за непрозрачным диском, освещённым
направленным пучком света. Это явление стало одним из веских
подтверждений волновой теории света.
Можно ли увидеть пятно Пуассона от Луны?
RЛ  RM  Mλb ,
RЛ  1737 км, b  360000 км,
RM 1 
λ  0 , 5 мкм, a
 M  1 λb ,
R R
λb
4
ΔR  RM 1  RM 

 10 м
RM 1  RM DЛ
h  100 м ΔR  невозможно увидеть
2
M 1
2
M
b
Линза и дифракция Френеля
 Линза уравнивает фазы волн, сходящихся в её фокус
 Спираль Френеля «разворачивается» в прямую линию
 Векторная диаграмма – прямая линия
Rлинзы  mλF ,
Вклад одной зоны  πA0
Вклад m первых открытых зон 
I  πD 


I 0  4 λF 
2
л
2
1
πD
mπA0 
A0
4 λF
2
л