Решение задачи по определению давления в однородном пласте при прямолинейно-параллельной фильтрации газа

Вахитов Ришат, ГР-16-02, 3 вариант
Исходные данные
Задача 3.
Определить распределение давления в однородном пласте при
прямолинейно-параллельной фильтрации газа и построить график. Контурное
давление равно 6 МПа, а давление на галерее равно половине этой величины,
длина галереи 300 м, h = 10м, проницаемость пласта 400 мД, вязкость газа 0,018 мПа*с. Определить скорость фильтрации на галерее.
Дано:
Pk, Па
Pг, Па
L, м
h, м
k, м2
μ, Па*с
6*106
3*106
300
10
0,4*10-12
18*10-6
газа
прямолинейно-
Теоретическая часть
1)
Пласт
однородный,
фильтрация
–
параллельная. Будет рассмотрен случай одномерной установившейся
фильтрации: все параметры зависят только от одной координаты х. При
установившейся фильтрации жидкости траектории совпадают с линиями тока.
Данный по условию газ рассматривается как совершенный.
Уравнение (1) состояния совершенного газа (изотермический процесс):
𝑝
𝜌
=
𝑝атм 𝜌атм
Математическая модель для совершенного газа:
𝑑𝑖𝑣 𝜌𝑤
⃗⃗ = 0 − уравнение неразрывности
𝑘
𝜌𝑤
⃗⃗ = − 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑃 − уравнение движения
𝜇
в виде закона Дарси
{
где P – функция Лейбензона
Граничные условия:
x=0
p = pk
x=L
p = pг
2)
Воспользуемся
функцией
Лейбензона,
которая
позволяет
переходить от формул для фильтрации несжимаемой жидкости к формулам
для фильтрации газа (2):
𝑃 = ∫ 𝜌𝑑𝑝
Для получения функции Лейбензона для совершенного газа, выразим
значение плотности из уравнения (1) и подставим в уравнение (2), получим
(3):
𝜌атм
𝜌атм 𝑝2
𝑃 = ∫ 𝜌𝑑𝑝 = ∫
𝑝𝑑𝑝 =
+ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝑝атм
2𝑝атм
Функция Лейбензона для совершенного газа.
Для несжимаемой жидкости распределение давления:
𝑝𝑘 − 𝑝г
𝑝(𝑥) = 𝑝𝑘 −
𝑥
𝐿
Давление для несжимаемой жидкости аналогично с математической
точки зрения функции Лейбензона для совершенного газа, поэтому
распределение функции Лейбензона в пласте для совершенного газа имеет
следующий вид (4):
𝑃(𝑥) = 𝑃𝑘 −
𝑃𝑘 − 𝑃г
𝑥
𝐿
Для получения распределения давления в пласте при фильтрации
совершенного газа, можно подставить значение фунции Лейбензона из
уравнения (3) в уравнение (4), тогда получим (5):
𝑝(𝑥) = √𝑝𝑘2 −
𝑝𝑘2 − 𝑝г2
𝑥
𝐿
Распределение давления в пласте при фильтрации совершенного газа
По аналогии с несжимаемой жидкостью:
2
𝑤=
𝑘 (𝑝𝑘 − 𝑝г )
− скорость фильтрации
𝜇
𝐿
несжимаемой жидкости
Для совершенного газа:
𝜌𝑤 =
𝑘 (𝑃𝑘 − 𝑃г )
𝜇
𝐿
Уравнение (6):
𝑤=
𝑘 (𝑃𝑘 − 𝑃г )
𝜇
𝜌𝐿
Если подставить из уравнения (1) значение плотности в уравнение (6),
получим (7):
𝑤=
𝑘𝑝атм (𝑃𝑘 − 𝑃г )
𝜇
𝑝𝜌атм 𝐿
Подставив уравнение (3) в уравнение (7), получим (8):
𝜌атм 2
𝜌атм 2
𝑝
−
𝑝
2
(
𝑘
𝑘𝑝атм (𝑃𝑘 − 𝑃г ) 𝑘𝑝атм 2𝑝атм
2𝑝атм г ) 𝑘 (𝑝𝑘 − 𝑝г2 )
𝑤=
=
=
𝜇
𝑝𝜌атм 𝐿
𝜇
𝑝𝜌атм 𝐿
𝜇 2𝑝𝐿
𝑘 (𝑝𝑘2 − 𝑝г2 )
𝑤=
𝜇 2𝑝𝐿
Скорость фильтрации совершенного газа, где p в знаменателе – это
давление в точке пласта, в которой считается скорость фильтрации.
3)
Построение графика и расчет скорости фильтрации, используя
исходные данные
Определение скорости фильтрации совершенного газа:
𝑘 (𝑝𝑘2 − 𝑝г2 )
𝑤=
=
𝜇 2𝑝𝐿
2
=
2
0,4 ∗ 10−12 (м2 ) ∗ ((6 ∗ 106 (Па)) − (3 ∗ 106 (Па)) )
18 ∗ 10−6 (Па ∗ с) ∗ 2 ∗ 3 ∗ 106 (Па) ∗ 300(м)
3
= 3,33 ∗ 10−4 (м/с)
Ответ: скорость фильтрации w = 3,33*10-4 (м/с)
График представляет собой зависимость давления от координаты x и
был построен с шагом 100 м, давление в МПа.
𝑝(𝑥) =
√𝑝𝑘2
𝑝𝑘2 − 𝑝г2
−
𝑥
𝐿
Распределение давления в пласте при фильтрации совершенного газа
x
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
270
280
290
p(x), Мпа
6
5.9245253
5.8480766
5.7706152
5.6920998
5.6124861
5.5317267
5.4497706
5.3665631
5.2820451
5.1961524
5.1088159
5.0199602
4.929503
4.8373546
4.7434165
4.64758
4.5497253
4.4497191
4.347413
4.2426407
4.1352146
4.0249224
3.9115214
3.7947332
3.6742346
3.5496479
3.4205263
3.2863353
3.1464265
4
300
3
Таблица 1. Зависимость давления от координаты
Распределение давления при прямолинейно-параллельной
фильтрации совершенного газа
7
6
Давление, МПа
5
4
Контурное давление
3
Давление на галерее
2
1
0
0
50
100
150
200
250
300
350
Расстояние от контура, м
График 1. Распределение давления в пласте при фильтрации совершенного газа
5