МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ЦЕНТР ПЕРЕПОДГОТОВКИ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ РАБОТНИКОВ НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ХОРЕЗМСКОЙ ОБЛАСТИ «допускаю к защите» Директор центра ___________ Ю.Р.Саидов «___»___________2020 год ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА на тему : ,,Методика обучения темы «Прогрессии»” Слушателя группы « Учителя математики» Ни Ирины Тимофеевны Заведующий кафедры: _________ О.С. Кулимов Научный руководитель: _________А.Бабаджанов Слушатель: _________ Ни И.Т Ургенч – 2020 год 1 Annotatsiya Ushbu malakaviy ish “ “Progressiyalar” mavzusini o’qitish metodikasi” deb nomlanadi. Ushbu malakaviy ish kirish qismi, asosiy 2 ta bobni, xulosa, foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat. Malakaviy ishda “Progressiyalar” mavzusini o’qitish metodikasi haqida to‘la to‘xtalib o‘tilgan. “Progressiyalar” mavzusini o’qitish metodikasi doir misollar yechish usullari haqida ma’lumotlar keltirilgan. 2 Содержание Введение…………………………………………………………………………...4 Глава I. Изучение прогрессий как методико-математическая проблема 1.1.Методический анализ темы «Прогрессии»………………………………….6 1.2.Методика изучения арифметической и геометрической прогрессий Затруднения и типичные ошибки учащихся…………………………………….9 Глава II. Некоторые методические материалы по теме «Прогрессии» 2.1.Активизация учебно-познавательной деятельности школьников на основе использования циклов задач при изучении прогрессий………………………17 2.2.Подборка нестандартных задач по теме «Прогрессии». Их решение и рекомендации по использованию в учебном процессе……………………….22 Заключение……………………………………………………………………….31 Список литературы………………………………………………………………32 3 Введение «Математика — основа всех точных наук. Ребенок, хорошо знающий математику, будет расти благоразумным, сможет успешно работать в любой сфере» Ш.М.Мирзиёев В современном Узбекистане «математика определена одним из приоритетным направлений развития науки», уделяется огромное внимание повышению качества образования. В каждом районе открываются специализированные школы с углубленным изучением математики, внедряется Национальная система сертификации по оценке уровня знаний по математике для абитуриентов и учителей математики, образован Фонд поддержки развития математики и математического образования, учреждена Международная премия Президента Республики Узбекистан имени Мухаммада аль-Хорезми в целях награждения ученых , предложивших оптимальное решение конкретных проблем на основе исследований в области математики. «Невозможно ускорить развитие математики вчерашней методикой преподавания….Методология должна быть такой , чтобы она пробуждала у детей любовь к математике . Учащиеся должны понимать , что эта наука нужна в жизни , в каждой сфере» отметил Президент Ш.Мирзиёев на встрече с молодыми учёными на открытии нового здания Института Математики в Ташкенте. Моя курсовая работа посвящена методам обучения тем , посвященных «Прогрессии» в современной общеобразовательной школе. Латинское слово «Прогрессия» в переводе на русский язык означает движение вперед. Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. Например, возводя последовательные целые числа в квадрат, получаем последовательность 1, 4, 9, 16, 25 и т.д. Следуя этому закону, можно неограниченно ее продолжить. 4 Числа, составляющие эту последовательность, называются ее членами. В настоящее время термин прогрессия в этом широком смысле не употребляется. Вместо этого говорят просто последовательность. Но два простых и важных частных вида прогрессий - арифметическая и геометрическая - сохранили свое прежнее название. В своей работе я обращаюсь к анализу содержания и методики изучения прогрессий. Геометрическая и арифметическая прогрессии играют очень важную роль не только в школьном курсе алгебры . Важность этого на первый взгляд небольшого раздела школьного курса заключается в его чрезвычайно широких областях применения в жизни. Например , в химии , при повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химических реакций растёт по геометрической прогрессии. Данная курсовая работа состоит из двух глав: теоретической (Изучение прогрессий как методико - математическая проблема) и практической (Некоторые методические материалы по теме «Прогрессии»). Цель данной работы состоит в анализе методико-математических проблем изучения прогрессий в школе и разработке некоторых методических материалов по теме. Реализация поставленной цели потребовала решения ряда конкретных задач. 1. Выполнить методический анализ темы в учебнике алгебры основной школы. 2. Систематизировать известные методические подходы к изучению прогрессий. 3. Разработать некоторые методические материалы по теме «Прогрессии». 5 Глава I . Изучение прогрессий как методико-математическая проблема 1.1 Методический анализ темы «Прогрессии». В учебнике, «Алгебра 9класс», Ш.А. Алимова 2017г. и др., учебный материал посвящённый прогрессии дан в IV главе с 150 по 185 страницы организован в основном индуктивно с отдельными элементами дедуктивности. Индуктивность выражается в том, что каждый новый факт вводится чаще всего путём рассмотрения конкретных примеров. Как мы и видим на с. 153, 154 [7] сначала рассматривают определённую последовательность, затем находят закономерность и только потом дают определение. Дедуктивность выражается в том, что отдельные свойства понятий доказываются. Дедукция (от лат. deductio - выведение), так и на с.156 выводят формулу n го члена арифметической прогрессии. В IV главе «Числовые последовательности. Прогрессии.» вводятся понятия «члены последовательности», «n-ый член последовательности», «арифметическая прогрессия», «разность арифметической прогрессии», «геометрическая прогрессия», «знаменатель геометрической прогрессии», «сумма бесконечной геометрической прогрессии». Явно определены такие понятия как «арифметическая прогрессия» и «геометрическая прогрессия». Проведем анализ определения: Термин - арифметическая прогрессия. Род- последовательность. Видовые отличия - каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом (или в таком виде: an+1 = an+d где a1 и d заданы, n -любое натуральное), Это определение рекурсивное, так как в видовых отличиях указаны действия 6 получения последующего члена, если известен предыдущий. Видовые отличия можно расписать подробнее: второй член равен сумме первого и какого-то числа, третий равен второму, сложенному с этим же числом, и т.д. Понятия «разность арифметической прогрессии» вытекает из определения «арифметическая прогрессия», аналогично «знаменатель геометрической прогрессии» из определения «геометрическая прогрессия». Определение «сумма бесконечной геометрической прогрессии» описывается на основе анализа конкретной задачи Ядерный материал - формирование преставлений о понятии числовой последовательности, арифметической и геометрической прогрессиях как частных случаях числовых последовательностей; о трех способах задания последовательности: аналитическом, словесном и рекуррентном; Учебные задачи - изучить определение арифметической и геометрической прогрессии; вывести формулы n-го члена; уметь применять ранее изученный материал о последовательностях; уметь выстраивать логическую цепочку доказательств, аргументировать способ решения. Основные методы обучения – индуктивный по логике, по источникам – беседа и упражнения, по степени самостоятельности – репродуктивный, по управлению – показ образцов учителем и работа с книгой. Средства обучения –печатные (учебники и учебные пособия, рабочие тетради, раздаточный материал), наглядные плоскостные (плакаты, иллюстрации настенные, магнитные доски) и аудиовизуальные (слайды). Приемы работы – показ учителем на доске образцов решения (преобразования), заполнение таблицы для сравнения арифметической и геометрической прогрессий, самостоятельная работа. Проведём анализ задачного материала IV главы. Основные методы решения задач на прогрессии (в том числе с помощью систем уравнений). 1. Все данные выражаются через первый член и разность (знаменатель) прогрессии и далее решается система уравнений. 7 2. Более короткие решения получаются при использовании формулы для выражения аn через равностоящие члены, т.е. аn-s и an+s. Данная глава состоит из 6 параграфов. Первый параграф «§28.Числовые последовательности» содержит 10 заданий обязательного уровня. (№№349358). Второй параграф «§29.Арифметическая прогрессия» содержит 12 заданий обязательного уровня (№№359-370) и 3задачи повышенной сложности(№№371-373). Третий параграф «§30 Сумма n первых членов арифметической прогрессии» содержит 6 заданий обязательного уровня (№№374-379) и 9 задач повышенной сложности(№№380-388). Четвёртый параграф «§31 обязательного Геометрическая уровня прогрессия» (№№389-395) и содержит 5 задач 7 заданий повышенной сложности(№№396-400). Пятый параграф «§32 Сумма n первых членов геометрической прогрессии» содержит 6 заданий обязательного уровня (№№401-406) и 5 задач повышенной сложности(№№407-411). Шестой параграф «§33 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия» содержит 4 задания обязательного уровня (№№412-415) и 7 задач повышенной сложности(№№416-422). Дополнительные упражнения к главе IV содержат 29 задачи (№№423451). Выделим задачи на доказательства №№ 434,440,446,447. В конце раздела даются тестовые задания (19 вопросов) и практические, межпредметные задачи . 8 1.2 Методика изучения арифметической и геометрической прогрессий . Затруднения и типичные ошибки учащихся. Методика – это описание порядка выполнения, какой либо работы, набор ли последовательность правил, действий. Учащиеся знакомятся с прогрессиями в курсе алгебры девятого класса в разделе «Числовые последовательности.Прогрессии.» На этот раздел по программе общеобразовательных классов отводится 22 часа.Основная цель этого раздела – дать понятие об арифметической и геометрической прогрессиях как числовых последовательностях особого вида. На первом уроке темы необходимо разъяснить смысл понятий числовая последовательность, n - й член последовательности, выработать умение использовать индексные обозначения. Если каждому натуральному числу n от 1 до N поставлено в соответствие число аn , то говорят что задана числовая последовательность а1, а2, а3,…..аN . В математике также изучают бесконечные числовые последовательности а1, а2, а3,…..аn ,….. Число а1 называют первым членом последовательности , а2 – вторым членом последовательности и так далее, число аn называют n-ым членом последовательности , а натуральное число n его номером. Например , в последовательности квадратов натуральных чисел 1,4,9,16,25,…n2, (n+1)2,…. а1=1- первый член последовательности;аn= n2 n й член последовательности. Часто последовательность можно задать формулой его n-го члена . Например, формулой аn=2n+3 (n=1,2,3,..) задана последовательность 5,7,9.11,13,… Пример 1 Решение : 1) аn=n2+4n-n-4=n2+3n-4 следовательно n2+3n-4=150 или n2+3n-154=0 Решая это квадратное уравнение находим n1=11 n2=-14 9 так как n - натуральное число то Ответ : n=11 Пример 2. Выпишите несколько первых членов последовательности натуральных чисел, кратных 3. Укажите ее первый, пятый, десятый, сотый и п-й члены. Решение: Формула общего члена данной последовательности имеет вид: a n 3n , где п – натуральные числа. Значит, a1 3 , a5 15 , a10 30 , а100 =300 а п-й член указан ранее. Ответ: 3, 15, 30,300, 3n . Пример 3. Вычислите второй, третий, четвертый и пятый члены последовательности bn , если известно, что первый член равен 10, а каждый следующий на 3 больше предыдущего, т.е. b1 10 и bn 1 bn 3 . Учитывая данные условия, получаем: b2 13 , b3 16 , b4 19 , b5 22 . Ответ: 13, 16, 19, 22. Далее вводим понятия арифметической прогрессии , приведя примеры , определение и свойство : Выводим формулу n-го члена : Которая используется для решения как прямых, так и обратных задач, причем арифметическая прогрессия может быть задана разными способами (перечислением своих, членов, первым членом и разностью, любыми двумя членами), при выводе и использовании формулы суммы п первых членов, при решении задач, где предварительно требуется доказать, что заданная последовательность чисел является арифметической прогрессией, а затем уже найти недостающие члены прогрессии или сумму заданных чисел и т.д. Пример 4 Содержит ли арифметическая прогрессия 2; 9;,.. число 156? Решение: Сначала в процессе диалога выясняется идеи решения, которая позволяет составить план ответа на вопрос задачи. Как на языке последовательности сказать иначе, что последовательность 10 содержит (или не содержит) какое-то число? Это значит, что число является (или не является) членом последовательности. Чем определяется место члена последовательности? Номером члена последовательности Каким числом является номер? Натуральным. Итак, если нам удастся определить номер числа 156 в арифметической прогрессии, то как мы ответим на вопрос задачи? Прогрессия содержит число 156. Что известно об арифметической прогрессии и достаточно ли этих данных для ответа на этот вопрос? В прогрессии известны первый и второй члены, значит, прогрессия задана полностью, поэтому данных достаточно, Что позволит найти номер члена прогрессии? Формула п-го члена (записывается на доске, и анализируются известные величины). В ней известны п-й член и первый, разностъ прогрессии можем найти по условию задачи. Значит, сможем найти число п. Составляется план решения и вписывается решение. Найдем для данной арифметической прогрессии разность d 1. по формуле a2-a1=d, то есть d=9-2=7. Запишем формулу n-го члена арифметической прогрессии: 2. an= a1+d(n-1) Подставим в эту формулу значения a1 и d, а вместо an данное 3. число 156, получим уравнение: 156=2+7(n-1) Решим полученное уравнение относительно ней местного п. 4. 156=2+7n-7 7n=161 n=23. 5. Так как n = 23, является натуральным числом, то делаем вывод, что 11 данная арифметическая прогрессия содержит число 156, оно будет 23-м членом этой прогрессии. Ответ: число 156 является членом данной арифметической прогрессии. Несколько сложнее обстоит дело с геометрической прогрессией. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии, , характер поведения геометрической прогрессии в зависимости от значений q следует разобрать с учащимися более детально, например, по такому плану: 1) Пусть q > 1, тогда члены геометрической прогрессии таковы, что их значения имеют один и тот же знак и возрастают по модулю. Пример 5. 1, 3, 9, 27, 81, ... (т. е. a1 1 , q = 3), или – 2, – 8, – 32, ... (т. е. a1 2, q 4 ). 2) Если 0 q 1 , то члены геометрической прогрессии таковы, что их значения имеют один и тот же знак и убывают по модулю. Пример 6. 2, 1 1 1 1 1 1 , , , ... т.е. a1 2, q , или 1, , , ... 4 2 8 32 5 25 1 т.е. a1 1, q . 5 3) Пусть q 1, тогда члены геометрической прогрессии принимают знакочередующиеся значения, возрастающие по модулю, Пример 7. – 3, 6, – 12, 24, ... a1 3, q 2 . 4) Если 1 q 0 , то члены геометрической прогрессии принимают знакочередующиеся значения, убывающие по модулю. 12 1 1 1 Пример 8. – 8, 1, , , ... т.е. a1 8, q . 8 64 8 5) При q = 1 все члены геометрической прогрессии одинаковы, т. е. b1 , b1 , ..., b1 , ... , а при q 1 все члены геометрической прогрессии отличаются друг от друга лишь знаками, т.е. b1 , b1 , b1 , b1 , ... [17]. Остановимся теперь на выводе формулы общего члена прогрессии. Опыт работы преподавателей показывает, что вывод формул общего члена арифметической и геометрической прогрессий не вызывает затруднений у учащихся, поэтому в классе работу по выводу формул общего члена арифметической и геометрической прогрессий можно провести на урокелекции по введению и самостоятельному приобретению новых знаний «Сравнение арифметической и геометрической прогрессий» самостоятельно по вариантам, а затем сделать вывод и записать формулы an a1 d n 1 и bn b1 q n1 . На этом характеристическим же уроке свойствам учитель прогрессий подводит с учащихся помощью к заданий, предлагаемых ученикам последовательно. 1) Найти среднее арифметическое (геометрическое) чисел 2 и 8. Записать найденное число с данными в порядке возрастания. Образуют ли эти числа арифметическую (геометрическую) прогрессию? 2) Справедлива ли эта зависимость для трех последовательных членов рассматриваемых последовательностей? а) a2 a1 a 3 (для арифметической прогрессии); 2 б) b22 b1 b3 (для геометрической прогрессии). 3) Доказать, что для членов прогрессий справедлива закономерность: а) an 1 б) an a n 2 (для арифметической прогрессии); 2 bn 1 bn 2 2 , bn1 bn bn2 (для геометрической прогрессии). bn bn 1 Вывод суммы первых n членов арифметической или геометрической 13 прогрессий способом, предложенным в учебнике , не вызывает у учащихся затруднений, но чтобы эта работа заинтересовала учащихся, им можно рассказать предание о маленьком Карле Гауссе, будущем немецком короле математики, решившим в десятилетнем возрасте очень быстро задачу о нахождении суммы первых ста натуральных чисел, а затем поставить перед учениками проблему: «Как смог найти сумму ста натуральных чисел десятилетний мальчик?». Далее необходимо отметить, что с помощью рассуждений, аналогичных проведенным при решении выше указанной проблемы, можно найти сумму первых членов любой арифметической прогрессии. После этого следует приступить к выводу формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии. Для хорошо успевающего по математике класса эту работу можно дать в форме задачи, а затем обсудить полученные результаты в виде двух вариантов формулы и сделать вывод. При изучении формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии сначала можно рассказать древнюю индийскую легенду об изобретателе шахмат Сете, затем рекомендуется поставить проблему перед учащимися следующего содержания: «Сколько зерен должен был получить Сета за свое изобретение?» Дальнейшая работа по выводу формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии проводится аналогично работе с формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии.[14] Необходимым условием приобретения умений решать задачи и примеры с прогрессиями является знание всех формул из этой темы и наличие навыков их преобразования. Поэтому на практике необходимо уделять особое внимание приемам, позволяющим повышать эффективность усвоения учащимися формул и выражать из них неизвестные величины. Основные недостатки подготовки учащихся по блоку «Последовательности и прогрессии». -учащиеся не владеют индексными обозначениями, -не могут перевести на естественный язык рекуррентное соотношение. 14 Они усваивают тему формально, не овладевая, ее общеобразовательной составляющей. При этом одним из результатов изучения темы должно быть понимание того, что, зная первый член последовательности, можно по известному правилу найти второй член; зная второй член, можно точно также найти третий и т.д., и чтобы найти, например, a30, придется последовательно вычислять все предыдущие члены со 2 по 29-й включительно. Кроме того, такие формулы важно уметь «читать». Пусть, например, последовательность (an) задана с помощью рекуррентной формулы: а1 = 1, аn+1 = 2an + 1. Данная рекуррентная формула указывает такой способ вычисления членов последовательности: чтобы получить следующий член, нужно предыдущий член умножить на 2 и к результату прибавить 1: а2 = 2а1 + 1= 2 * 1 + 1= 3 а3 = 2а2 + 1= 2 * 3+ 1 = 7 и т.д. Вообще, если предложенa рекуррентная формула, то количество справившихся с заданием учеников меньше ожидаемого, хотя решение таких заданий всегда сводится к простому вычислению по приведенной формуле нескольких членов прогрессии. Вот один из примеров такого задания: Последовательность задана условиями: x1 = 5, x n+1 = Именно рекуррентным способом 1 . Найдите x6. x определяются арифметическая и геометрическая прогрессии. Возможно, поэтому учащихся затрудняют базовые, основополагающие задания на распознание арифметической и геометрической прогрессий последовательностей: при разных способах задания перечислением первых нескольких членов, рекуррентной формулой, формулой n-го члена (от 20 до 30% учащихся не справляются с заданиями такого рода). 15 Одна из причин возникающих пробелов – рекуррентные формулы рассматриваются мимоходом и достаточно формально, они не осознаются школьниками как символическая запись вычислительного алгоритма. У учащихся стабильно возникают трудности в тех случаях, когда от них требуется перейти с одного математического языка на другой или речь идет о некоторой интерпретации. Большие трудности вызывает задача, связанная с пониманием представления членов арифметической прогрессии точками на координатной плоскости. Например: Члены последовательности можно изображать точками на координатной плоскости. Для этого по горизонтальной оси откладывают номер члена, а по вертикальной – соответствующий член последовательности. На рисунке изображены точками первые семь членов арифметической прогрессии (аn). Найдите а1 и d. Одной из причин возникающих трудностей является узкий отбор учебного материала, состоящего преимущественно из стандартных задач. В результате учащиеся не осознают сущностные аспекты содержания данного вопроса, затруднен перенос задания на аналогичную, но все же новую ситуацию. Учащиеся ориентируются не на основополагающие отношения, а на внешние ситуативные. 16 существенные, Глава II Некоторые методические материалы по теме «Прогрессии» 2.1Активизация учебно-познавательной деятельности школьников на основе использования циклов задач при изучении прогрессий. Вот некоторые приёмы, которые можно использовать для вовлечения учащихся в процесс решения задач и поддержания к нему интереса. Приём 1. Эстафета. Он подразумевает предоставление учащимся ряда взаимосвязанных задач, в результате решения которых один итоговый ответ. Нельзя перейти к следующей задаче, не решив предыдущую. Такой метод решения задач не только активизирует ребят, но и мобилизует их, так как нужно получить правильный ответ, решив серию задач.На доске можно записать правильный конечный ответ, чтобы учащиеся могли сопоставить свой полученный результат с верным, а в случае разногласия сами постарались найти ошибку.[15] Пример1. 1. Найдите арифметическую прогрессию: 1, 3, 5, 7, 9, 11,… 1, 2, 4 8, 16,… 0, 1, 0, 1, 0, 1… 2. Найти разность данной арифметической прогрессии. 3. Определите какая прогрессия: возрастающая, убывающая или стационарная? 4. Вычислите 15 член арифметической прогрессии. 5. Найдите сумму 15-первых членов арифметической прогрессии. Пример 2. 1. Найдите геометрическую прогрессию: 1, 3, 5, 7, 9, 11,… 2, 6, 18… 0, 1, 0, 1, 0, 1… 17 2. Найдите знаменатель геометрической прогрессии. 3. Определите – это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия? 4. Найдите 10-ый член прогрессии? 5. найдите сумму 10-первых членов геометрической прогресии7 Приём 2. Самостоятельное решение задач. Решение задач способствует развитию мышления учащихся лишь в том случае, если каждый школьник решает задачу сам, прилагая для этого определённые усилия. Широко распространенное в практике обучение так называемое коллективное решение задач у доски на деле оборачивается тем, что большинство учащихся класса бездумно переписывают решение с доски. Для отработки умения решать задачи по данной теме ученикам для самостоятельного решения предлагается несколько задач. Причём учащиеся могут при решении пользоваться и учебником, и рабочей тетрадью.Уроки самостоятельного решения задач можно разнообразить: на доске написать подсказки к сложным задачам, или ответы к задачам, но расположить их хаотично.[15] Приём самостоятельного решения задач является наиболее эффективным и ведёт к повышению качества знаний учащихся. Например: 1 вариант 2 вариант 1. Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии (аn), если: А1 = 11 и а2 = 6 а1 = -5,6 и а2 = -4,8 2. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии (bn), если: b1 = -0,3 и b2 = -0,6 b1 = 2 и b2 = √3 3. Является ли число 100 членом арифметической прогрессии (аn), если: а1 = 10 и а2 =14? а1 = 7 и а2 = 12? 4. Найдите с1 , если (сn) – арифметческая прогрессия: с1 + с6 = 26, с1 + с5 = 20, с2 + с3 = 18. с2 + с3 = 17. Приём 3. Найдите ошибку. На данном приёме вырабатывается критичность мышления, развивается самоконтроль ученика и т.д. Использование подобных заданий на уроке 18 приучает ребят к внимательности, позволяет предупредить появление типичных ошибок, т.е. провести своеобразную профилактику ошибок. Известно, что прямое указание учащемуся на допущенную ошибку часто малоэффективно, даже если он эту ошибку исправил. Поэтому, если ученик при решении задачи у доски допустил ошибку, а одноклассники её не заметили, не нужно спешить указывать на её наличие. После того, как задача решена, нужно сообщить, что при решении была допущена ошибка и начинается совместный поиск ошибки. Учащимся приходится зачёркивать неверное решение, решать задачу заново.[15] Приём 4. Интересные задачи. Определённый круг физических задач способствуют развитию интереса. Не меньший интерес у учащихся вызывает решение задач с историческим содержанием (старинные задачи). Задача1: У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?[17] Решение: Людей всего 7, кошек 72 = 49, они съедают всего 73 = 343 мыши, которые съедают всего 74 = 2401 колосьев, из них вырастает 75 = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19 607 Задача2: Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 зерно, за вторую — 2 зерна, за третью — 4 зерна и т. д. Обрадованный царь посмеялся над Сетой и приказал выдать ему такую «скромную» награду. Стоит ли царю смеяться?[13] Решение: Начав с единицы, нужно сложить числа: 1,2,4,8 и т.д. Результат 63-го удвоения покажет, сколько причиталось изобретателю за 64-ю клетку доски. Мы без труда найдём всю сумму следуемых зерен, если удвоим последнее число и отнимем одну единицу. Значит, подсчёт сводится лишь к 19 перемножению 64 двоек: Для облегчения выкладок разделим эти 64 множителя на 6 групп по 10 двоек в каждой и одну последнюю группу из 4 двоек. Произведение 10 двоек равно 1024, а 4 двоек-16. значит искомый результат равен: 1024*1024*1024*1024*1024*1024*16=18 446 744 073 709 551 615 Такие задачи заставляют ребят думать, рассуждать, спорить и т.д., то есть активно развивают их мышление. Достаточно часто задачи на прогрессию встречаются и в геометрии, но суть их решения остается той же – записать нужную формулу и решить ее. Приведенные ниже примеры продемонстрируют вам это. Задача 3: Длины сторон AB, BC, AC треугольника ABC образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найти во сколько раз высота треугольника ABC, опущенная из вершины A на сторону BC, больше радиуса, вписанной в этот треугольник окружности.[14] Решение. Рассмотрим треугольник ABC и проведем в нем высоту A a+2d a h B C a+d Зная, что стороны AB, BC, AC треугольника ABC образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию, введем следующие обозначения. Пусть AB = a, тогда BC = a + d, а AC = a + 2d. Здесь d – это разность арифметической прогрессии. Теперь запишем формулы для вычисления площади треугольника. Итак, во-первых, SABC можно вычислить с помощью высоты, проведенной из вершины A к стороне BC. Имеем: 20 SABC = 1/2 AH · BC = 1/2 · h · (a + d). Во-вторых, площадь треугольника можно вычислить с помощью полупериметра и радиуса вписанной в этот треугольник окружности: SABC = p · r = (AB + BC + CA)/2 · r = (a + a + d + a + 2d)/2 · r = (3a + 3d) · r = = 3(a + d)/2 · r. Полученные для площади треугольника ABC выражения можно приравнять. Будем иметь: ½ · h · (a + d) = 3(a + d)/2 · r. Левую и правую части полученного уравнения можно сократить на (a + d) ≠ 0. 1/2 h = 3/2 r. Выразим h: h = 3 r. Таким образом, мы получили, что высота треугольника в три раза больше радиуса вписанной в этот треугольник окружности. Ответ: 3.[14] Задача 4: В окружность радиусом √3 вписан правильный треугольник, в треугольник вписана окружность, в окружность снова вписан правильный треугольник и т.д. Найти сумму периметров всех треугольников.[14] Решение: 1) Так как радиус вписанной в правильный треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной около этого треугольника окружности, то радиус окружности, описанной коло треугольника A1A2A3 (R1 = √3) в два раза больше радиуса окружности, описанной около треугольника B1B2B3 (R2 = R1/2). Он же, в свою очередь, в два раза больше радиуса окружности, описанной около треугольника C1C2C3 (R3 = R2/2 = R1/4) и т. д. (Rn = R1/2n - 1) 21 Выразим стороны правильных треугольников через радиусы описанных около них окружностей по формуле a3 = R√3. Тогда имеем: A1A2 = R1√3; B1B2 = R2√3 = R1√3/2; C1C2 = R3√3 = R1√3/4 и т. д. Периметры соответствующих треугольников равны: PA1A2A3 = 3R1√3; PB1B2B3 = 3R1√3/2; PC1C2C3 = 3R1√3/4 и т. д. Сумма периметров треугольников (3R1√3 + 3R1√3/2 + 3R1√3/4 + …) представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = 1/2 и первым членом a1 = 3R1√3 = 3 · √3 · √3 = 9. С помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии S = a1/(1 – q) находим, что PA1A2A3 + PB1B2B3 + PC1C2C3 + … = 9/(1 – 1/2) = 18. Ответ: 18.[14] Задача 5: Числа градусов, внутренних углах содержащихся в последовательных некоторого многоугольника, составляют прогрессию, разность которой 10; наименьший угол этого многоугольника 100°. Сколько в многоугольнике сторон? Решение. Sn=(2a1+d(n-1))∙n:2= =(200+10(n-1))∙n:2=5n2+85n. Сумма внутренних углов многоугольника находится по формуле, известной из геометрии: (n-2)·180. 5n2+95n= 180n-360; 5n2-85n+360=0; n2-17n+72=0; n=8, n=9. Ответ: Существует два многоугольника, удовлетворяющие условию задачи. 22 2.2 Подборка нестандартных задач по теме «Прогрессии». Их решение и рекомендации по использованию в учебном процессе. Нестандартные – это задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил и понятий, определяющих точную программу их решения. Универсального метода, позволяющего решить любую нестандартную задачу, нет, так как эти задачи неповторимы.[12] Особый интерес проявляют учащиеся к задачам на последовательности, к комбинаторным задачам – ко всему тому, где им посильны индуктивные обобщения. При этом обычно проявляется мышления школьников. Об этом удивительная подвижность говорится во многих высказываниях учителей, опубликованных на страницах журнала «Математика в школе». Главными целями обучения решению нестандартных задач является: обеспечение в ходе урока закрепления основных понятий по теме «Прогрессия»; развитие нестандартного мышления; умения анализировать, сравнивать, обобщать, способствовать развитию творческой интуиции учащихся; воспитание общей математической культуры, заинтересованность в изучении курса; формирование жизненной, коммуникативной компетентности. Поэтому школьников следует учить решению таких задач на факультативных занятиях. Осуществить такое обучение легче всего с помощью целой подборки заданий. №1 Упростить выражение: -(-(-(…-(-1)…))), в котором содержится 200 пар скобок.[1] Ответ:-1. Если решение задачи вызвало затруднение, то рассмотрите предварительно числа: -(-1)=…, -(-(-1))=…, …………….., Можно подметить закономерность и сделать вывод: если данное выражение имеет нечётное количество пар скобок, то оно будет иметь знак плюс, если же наоборот – знак минус. 23 Уместно сообщить школьникам, что такой подход использовали нередко к решению задач многие математики, и в частности один из крупнейших математиков мира – Леонард Эйлер (1707-1783). Он пишет: «…свойства чисел, известных сегодня, по большей части были открыты путём наблюдений и открыты задолго до того, как их истинность была подтверждена строгими доказательствами. Имеется даже много свойств чисел, с которыми мы хорошо знакомы, но которые мы еще не в состоянии доказать, только наблюдения и привели к их познанию».[1] №2 Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. руб., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 коп., во второй-2 коп., в третий-4 коп., в четвертый-8 коп. и т. д. в течении 30 дней. Сколько денег получил богач и сколько отдал? Кто выиграл от этой сделки? Решение: Считают “мужик” и “купец” “Мужик” заплатил: S30 = 100 000• 30 = 3 000 000 (рублей). “Купец” заплатил: 1; 2; 4;… q=2/1=2. S30 =1• (230 – 1):(2-1)= 230 -1= =1 073 741 824 -1 =1 073 741 823 (коп.) т.е. 10 738 418 руб.23коп №3 Два почтальона А и В находятся в 59 км друг от друга. Утром они отправляются навстречу друг другу. Почтальон А за два часа проходит 7 км, почтальон В проходит 8 км за 3 часа, причем он выходит на 1 час позднее, чем А. Сколько километров пройдет А до встречи с В?[17] Решение. Скорость А: 7/2 км/ч, скорость В: 8/3 км/ч, скорость сближения 7/2+8/3=(21+16)/6=37/6(км/ч) 24 за 1 час А проходит 3.5 км, до выхода В он пройдет 3,5км, значит,останется пройти 59-3,5=55,5 км. Время В до встречи: 55,5/37/6=9(ч) Следовательно, А до встречи с В будет идти 10 часов. №4 В поселке 16 000 жителей. Приезжий в 8.00 рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Во сколько эта новость станет известна половине посёлка? Решение. Итак, в 8. 15 утра новость была известна только четверым: приезжему и трём местным жителям. Узнав эту новость, каждый из трёх граждан поспешил рассказать её трём другим. Это потребовало также четверти часа. Значит, спустя полчаса после прибытия новости в город о ней узнали уже 4+3·3=13 человек. Каждый из девяти вновь узнавших поделился в ближайшие четверть часа с тремя другими гражданами, так что к 8.45 утра новость стала известна 13+9·3= 40 гражданам. Если слух распространяется по посёлку и далее таким способом, то есть каждый узнавший эту новость успевает в ближайшие четверть часа передать её трём согражданам, то осведомление посёлка будет происходить по следующему расписанию: в 9.00 новость узнают 40+27 ·3=121 (человек); 9.15 121+81 ·3 =364 (человек); 9.30 364+243 ·3=1093 (человек); 9.45 1093+729 ·3=3280 (человек); 10.00 3280 + 2187 ·3 =9841(человек). Эту задачу можно решить по-другому, используя формулу сумму n первых членов геометрической прогрессии. В данном случае: q = 3, b1 = 1, Sn = 8000, n –неизвестно. Подставляя известные числа в формулу, получим: 1 3n 1 8000; 3 1 3n 16003; 25 Чтобы найти n , заметим, что 36 = 729, 32 =9, 38 = 36· 32= 729 · 9=6561, 39=19683. Значит, n должно быть не меньше 9. При n = 9 имеем: b1 q 9 1 1 39 1 19683 1 Sn 9841 8000 q 1 3 1 2 Значит, на 9-ом шаге более половины жителей города будут знать новость. Легко подсчитать, что это произойдёт в 10.00 утра. №5 Три числа составляют арифметическую прогрессию. Найдите эти числа, если их сумма равна 27, а при уменьшении первого числа на 1, уменьшении второго на 3 и при увеличении третьего на 3, получили геометрическую прогрессию. Решение: a 1 a2 a3 27; a2 3 a2 3 q . a 1 a 3 1 2 a1 a1 d a1 2d 27; a1 d 3 a1 2d 3 a 1 a d 3 . 1 1 a1 9 d 6 d 12 8 d 6 Если d=6, то а1=3, а2=9,а3=15. a1 9 d , (8 d )( d 12) 36; a1 9 d , 2 d 4d 60 0. a1 9 d , d1 10, d 6; 2 d 10, d 6, или a 19 ; a 3. Если d=-10, то а1=19, а2=9,а3=-1. Тогда, если арифметическая прогрессия 3, 9, 15, то геометрическая прогрессия 2, 6, 18. Если арифметическая прогрессия геометрическая прогрессия 18, 6, 2. Ответ: 3, 9,15 или 19, 9, -1. 26 19, 9, -1, то №6 В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков? Решение. Составим математическую модель задачи. Система штрафных очков составляет арифметическую прогрессию, первый член которой равен 1, а разность – 0,5. Сумма первых n членов ( количество промахов) равно 7. Найдем число промахов - n. 2 1 0,5(n 1) 2a1 d (n 1) 7 n; Sn n. 2 2 14 (2 0,5п 0,5)п; Число промахов –4 В цель стрелок попал 21 раз. №7 14 1,5п 0,5п 2 ; п 2 3п 28 0; п 7, п 4; п 0 Еще одна задача интересна в исторической связи и носит имя "задачи о семи старухах". Старухи направляются в Рим, каждая имеет 7 мулов, каждый мул тащит 7 мешков, в каждом мешке находится 7 хлебов, у каждого хлеба лежит 7 ножей, каждый нож нарежет 7 кусков хлеба. Чему равно общее число всего перечисленного? Решение: 7, 49, 343, 2401, 16807, 117649 –это геометрическая прогрессия, первый член b1= 7 и знаменатель прогрессии q=7. bn= b1 q n-1. b6= 7 ·76-1= 7 ·75= 76= 117649. Sn =(b1(q n -1))/(q-1); 27 S6 = (7(7 6 -1))/(7-1) = (7(117649 -1))/6= =7 ·117648:6=137256. №8 Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток. Решение. В сутках 1440 минут, каждые двадцать минут появляется новое поколение - за сутки 72 поколения. По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, у которой b1=1, q=2, n=72, находим, что S72=272-1= 4 722 366 482 869 645 213 696 - 1= = 4 722 366 482 869 645 213 695. Всего бактерий 4 септиллиона 722 сектиллиона366 квинтиллионов 482 квадриллионов 869 триллиона 645 миллиарда 709 миллионов 213 тысяча 695 Данные задачи способствуют формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, перенося знания в новую ситуацию. Вот некоторые интересные факты которые можно дать на уроке : * “Потомство пары мух съест мёртвую лошадь также скоро как лев”. Карл Линней Девятое поколение одной пары мух наполнило бы куб,сторона которого равна 140 км, или же составило бы нить, которой можно опоясать земной шар 40 млрд. раз. * “Потомство одного одуванчика за 10 лет может пространство в 15 раз больше суши земного шара”. К. А. Тимирязев 28 покрыть * Всего за пять поколений, то есть за 1 – 1,5 летних месяцев, дна единственная тля может оставить более 300 млн.потомков, а за год её потомство способно будет покрыть поверхность земного шара слоем толщиной почти в 1 метр. Примеры технических задач: После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нём воздуха. Определите давление воздуха внутри сосуда, после 6 движений поршня, если первоначально давление было 760 мм.рт.ст. Тело в первую секунду движения прошло 7 м, а за каждую следующую секунду – на 3 м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние тело прошло за восьмую секунду? Деление ядер урана происходит с помощью нейронов. Нейтрон, ударяя по ядру урана раскалывает его на две части. Получается два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывают их еще на 4 части и т.д. — это геометрическая прогрессия. При повышении скорость температуры химической реакции в арифметической вырастает в прогрессии геометрической прогрессии. Возведение многоэтажного здания — пример арифметической прогрессии. Каждый раз высота здания увеличивается на 3 метра. Вписанные друг в друга правильные треугольники — это геометрическая прогрессия. Денежные вклады под проценты — это пример геометрической последовательности. Зная формулы суммы членов геометрической последовательности, можно подсчитывать сумму на вкладе. 29 Равноускоренное движение — арифметическая прогрессия, т.к. за каждые промежутки времени тело увеличивает скорость в одинаковое число раз. О финансовых пирамидах Разберёмся в механизмах этих организаций. Организатор начинает вовлекать в свою организацию и говорит, что, если внести указанную плату по указанным адресам по 1 рублю, а затем заплатить ещё по 5 таким же адресам, вычеркнув первый адрес и дописав свой последним, то через некоторое время вы получите уйму денег. Хотя желающих разбогатеть по щучьему веленью немало, но в выигрыше оказываются только учредители такой игры. Решение. Дело в том, что число участников увеличивается в 5 раз с каждым кругом. Если пятёрка устроителей подпишет, допустим, 120 человек со своими адресами, то в первом круге участвуют 120 человек, во втором – 600, в третьем – 3 000, …, в десятом – 234 375 000 человек; это намного больше населения страны. Так что участник, включившийся в восьмом или девятом круге, уже ничего не получит. 30 Заключение В процессе написания курсовой работы была достигнута цель, а именно: анализ методико-математических проблем изучения прогрессий в школе и разработка некоторых методических материалов по теме «Прогрессии». Для достижения цели работы были решены следующие задачи, заявленные во введении: В 1 пункте I главы привела методический анализ темы «Прогрессии», проанализировала определение «арифметическая прогрессия», так же проанализировала задачный материал IV главы в [7]. Во 2 пункте I главы представлена методика изучения арифметической и геометрической прогрессий. В пункте были рассмотрены способы решения задач данной темы, приведены затруднения и типичные ошибки учащихся. Во II главе представлены некоторые методические материалы по теме «Прогрессии», рассмотрены нестандартные задачи и их решения, приведены примеры задач из серии «Прогрессии в жизни и быту». Хочется отметить, что тема работы полезна и очень актуальна так как, прогрессии играют большую и важную роль не только в школьном курсе алгебры, но и в дальнейшем обучении в высших учебных заведениях. Таким образом, ознакомившись с проблемой изучения темы «Прогрессии» в основной школе, важно отметить, что задачи на прогрессии, широко используемые как в различных областях науки, так и в реальной жизни, имеют большое практическое значение. Поэтому необходимо построить процесс изучения данной темы таким образом, чтобы добиться высокого уровня знаний, умений и навыков учащихся, столь необходимых для дальнейшего успешного обучения учащихся не только по математике, но и по другим школьным предметам. 31 Список литературы 1. Постановление Президента Республики Узбекистан «О мерах по повышению качества образования и развитию научных исследований в области математики» ; «Учитель Узбекистана» от 08.05.2020г 2. Гиршович В.С. Виды самостоятельных работ // Математика в школе: научно – теоретический и методический журнал. 1998.№3.- М.: ООО Школьная Пресса.-С.-37-40. 3. Инютина Е.В., Симонова А.С. Геометрическая прогрессия в экономике // Математика в школе: научно – теоретический и методический журнал. 2001 №5. – М.: ООО Школьная пресса. – С. 18-21 4. Клетнюк С.В. Нестандартные формы закрепления знаний //// Математика в школе: научно – теоретический и методический журнал. 1993. – М.: ООО Школьная пресса. – С. -28-29 5. Кудрявцев С.В. арифметическая прямолинейное движение//// теоретический и прогрессия Математика методический в равноускоренное школе: научно – журнал. 1976 №1. – М.: ООО Школьная пресса. – С. -46-48 6. Лускина М.Г. Из опыта изучения темы «прогрессия» // // Математика в школе: научно – теоретический и методический журнал. 1973 №1. – М.: ООО Школьная пресса. – С. -31-34 7. Ш.А. Алимов, А.Р. Халмухамедов,М.А. Мирзаахмедов. –АЛГЕБРА. Учебник для 9 классов общеобразовательных школ – Издание четвёртое, переработанное. «O’QITUVCHI», ТАШКЕНТ-2019. – 242с. 8. Окунев А.А. Подготовка к уроку // Математика в школе: научно – теоретический и методический журнал. 1991 №1. – М.: ООО Школьная пресса. – С. -8. 9. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. – М.: Наука, 1976.-200с. 10.Перельман Я.И. Живая математика. Математические рассказы и головоломки. – М.: Издательство Русанова, 1994.-200с. 32 11.Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие 10кл. ср.шк. – М.: Просвещение. 1989.-352с. 12.http://festival.1september.ru/articles/312105/ 13.http://school10-kush.narod.ru/interes/shah.html 14.http://www.tutoronline.ru/blog/nov_2011/progressija-v-geometricheskihzadachah.aspx 15.http://74438s020.edusite.ru/DswMedia/aktivizaciyauchebno-poznovatelnoydeyatel-nostipriresheniizadachpofizikemixaylovoydm.pdf 16.http://revolution.allbest.ru/pedagogics/00389145 17.http://komdm.ucoz.ru/publ/1-1-0-5 33
