modeli-haoticheskoy-dinamiki-chast-9-fraktalnye-invarianty

Вестник технологического университета. 2015. Т.18, №10
УДК 519.673
В. Х. Федотов, Н. И. Кольцов
МОДЕЛИ ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ. ЧАСТЬ 9. ФРАКТАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
Ключевые слова: дискретные динамические системы, временные ряды, фрактальные размерности, истинный хаос.
Рассчитаны обобщенные фрактальные размерности Реньи (Хаусдорфова, информационная и др.) для хаотических и нехаотических дискретных динамических систем по наблюдаемым временным рядам. Показано, что
по фрактальным характеристикам эти системы практически неотличимы и являются инвариантами.
Keywords: discrete dynamical systems, time series, fractals dimensions, true chaos.
The calculated generalized fractal dimension Renyi (Hausdorff, information, and other) for the chaotic and nonchaotic
discrete dynamical systems on the observed time series. It is shown that the fractal characteristics of these systems virtually indistinguishable and are invariants.
Введение
щении (не строго самоподобны), но близки друг к
другу статистически. В той же работе [1] использовано еще одно интуитивное (но важное) понятие
эффективной размерности для того, чтобы выразить
соотношение между математическими множествами
и физическими объектами. В природе все физические объекты трехмерны, однако абстрактные модели допускают двумерные (плоскость), одномерные
(линия) и даже нульмерные (точка) объекты. Позже
Мандельброт использовал и менее строгие определения, например «…фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле
подобны целому» [3]. Современное изложение теории фракталов можно найти в [4-11] и др.
В работе [1] также впервые применен термин «фрактальная» эволюция, подчеркивающий
связь между странными и фрактальными аттракторами. Представляет интерес рассмотреть взаимосвязи между хаотическими и фрактальными свойствами аттракторов для обнаруженных нами недавно
малоразмерных хаотических моделей [12-19] и
сравнить их с известными хаотическими и нехаотическими моделями. В этих работах [12-19] исследованы различные критерии хаоса (неустойчивость,
показатели Ляпунова, энтропия Колмогорова и др.)
и приведены модели, демонстрирующие хаос при
численном исследовании. Ниже рассчитаны оценки
фрактальных характеристик (обобщенные размерности Реньи различного порядка и показатели самоподобия Херста), найденные различными методами
по временным рядам для простых хаотических и
нехаотических моделей. Эти оценки использованы
для количественного и качественного сравнительного анализа с целью установления фрактальных инвариантов моделей, характеризующихся различным
динамическим поведением.
Хаотическая динамика ассоциируется с теорией фракталов, которая развивалась параллельно
теории странных аттракторов (турбулентности). В
классическом эссе «Фрактальная геометрия природы» (1977) [1] Б. Мандельброт писал: «… многие
формы Природы настолько неправильны и фрагментированы, что в сравнении с евклидовыми фигурами, … демонстрируют совершенно иной уровень
сложности. Количество различных масштабов длины в естественных формах можно считать бесконечным…. Существование таких феноменов … побуждает заняться подробным изучением тех из
форм, которые Евклид отложил в сторону из-за их
бесформенности…». Этой прелюдией начинается
описание новой, фрактальной геометрии Природы,
основы которой были изложены в его более ранних
работах 50х гг. и эссе «Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность» (1975) [2]. «Эта
геометрия способна описать многие из неправильных и фрагментированных форм (фракталов) в окружающем нас мире …. Подавляющее число объектов окружающей нас Вселенной … не являются
гладкими, напротив, порой они отличаются весьма
высокой шероховатостью. Использование масштабно-инвариантных фракталов для моделирования
природных объектов, по сути своей, парадоксально.
Такие фракталы не меняются при линейных преобразованиях, тогда когда соответствующие им природные модели … отличаются высокой степенью
нелинейности». Примеры фракталов  множество
Мандельброта, Канторова пыль, снежинки Коха,
кривая Гильберта, броуновское движение, облака,
скопления звезд и др. [1-11].
Строгого определения фракталов нет. В работе [1] Мандельброт определил фрактал, как объект размерность (Хаусдорфа) которого больше топологической (обычной, естественной, интуитивной). В названии работы [2] Мандельброт выделил
три основных качества фракталов  самоподобная
форма (масштабная инвариантность, скейлинг), наличие элементов случайности (истинного хаоса) и
необычная размерность (шероховатость, извилистость). Эти свойства не всегда следует понимать
буквально. Например, разные участки броуновского
движения не совмещаются друг с другом при сме-
Результаты и их обсуждение
Модели эволюции различных процессов
природы часто описываются одинаковыми или
очень похожими (подобными, фрактальными) системами обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)
x t = g(w,x),
(1)
где x=(x1,x2,...,xD) – вектор фазовых переменных, D
 размерность фазового пространства, т.е. обычная
(топологическая) размерность, которая всегда явля193
Вестник технологического университета. 2015. Т.18, №10
ется целым числом); t  время (непрерывное); g 
вектор-функция эволюции, не обязательно гладкая
(вещественная или комплексная, как рассматривал
Мандельброт); x0  вектор начальных условий
(н.у.); w>0 – вектор параметров. Решения таких систем, при попадании в области неустойчивости (репеллер), могут притягиваться к аттракторам различной формы (бабочки, воронки, галактики и др.),
расположенным в ограниченном объеме фазового
пространства, и могут оставаться там как угодно
долго (на больших временах). Рождение странных
аттракторов в моделях вида (1) связано с размерностью фазового пространства и возможно только при
D3 (для гладкой эволюции) [12,13, 20] и D2 (для
сингулярной эволюции) [14, 21]. Во многих случаях
эти аттракторы демонстрируют различные фрактальные свойства – самоподобие, удвоение периода
и др. Распространенным примером самоподобия
является итерация. В общей форме запись итерационного процесса как раз совпадает с записью рекурсивного отображения, включающего зависимости от
различных параметров. Итерационный процесс, соответствующий модели (1), приближенно может
быть описан множеством различных дискретных
отображений
xn+1 = f(h,w,xn),
(2)
где n=0,1,2,…,N – номер итерации (дискретное
время); N – число точек временного ряда; h>0 –
вектор шагов дискретизации по различным фазовым
переменным. Аттракторы моделей вида (2), в отличие от (1), способны демонстрировать сколь угодно
сложную (хаотическую, фрактальную) динамику
при минимальной размерности D1, а их функции
эволюции могут быть предельно и удивительно простыми [4-21 и др.].
На практике, как правило, для исследования
доступны только измеренные экспериментально (в
определенные моменты времени) или рассчитанные
наборы статистических данных (временные ряды,
time series), удовлетворяющих моделям (1)-(2), истинная размерность которых неизвестна
xнабл = (x0, x1, x2, …, xN).
(3)
Эти ряды можно исследовать в одномерном (1D)
или многомерном (2D) фазовом пространстве. В
работе [19] для простых хаотических моделей, представленных временными рядами с топологической
размерностью D=1, даны оценки нижней границы
корреляционной размерности DС через корреляционный интеграл. Эти оценки принимали дробные
значения порядка 1.03-1.13, которые больше их топологической размерности, что позволяет считать
их фракталы. Учитывая, что размерность DС является только одной из множества фрактальных характеристик, рассмотрим и другие характеристики
фракталов. Наиболее полно они описываются бесконечным набором (спектром) обобщенных размерностей Реньи, включающим и корреляционную размерность как частный случай. Оценим главные
фрактальные характеристики простых хаотических
и нехаотических моделей, используя различные методы, и сопоставим их с характеристиками хаотичности.
Основная идея измерения «размеров» фракталов основана на приближенном методе оценки
объемов криволинейных тел с помощью разбивки
фазового пространства на «гиперкубики» соответствующей размерности («квадратура» круга). Число
таких кубиков M=1/D при уменьшении их линейного размера 0. Заменяя приближенно топологическую размерность D на фрактальную DF и
логарифмируя это соотношение (по любому основанию) приходим к грубому определению фрактальной размерности множества (емкости)
DF  lnM()/ln(1/),
(4)
которое близко к приведенному ниже определению
размерности Хаусдорфа в виде (6). Фрактальная
размерность является мерой плотности заполнения
фазового пространства. Ее величина зависит от извилистости (шероховатости) исследуемого объекта
и размерности фазового пространства. Для гладких
объектов и обычного пространства она, очевидно,
принимает целые значения. Для негладких объектов
в одномерном пространстве их размерность может
изменяться от 0 до 1, в двумерном – от 0 до 2 и т.д.
В общем случае, в пространстве с топологической
размерностью D она принимает дробные значения
на отрезке [0,D]. При многократном вырезании частей объекта (створаживании, термин Мандельброта), фрактальная размерность уменьшается, а при
многократном наращивании увеличивается. Учитывая, что количество точек аттрактора Ni в каждом
кубике пропорционально вероятности Ni()~pi = lim
Ni/N, N, где Ni  число точке в i-м кубике, N 
общее число точек, приходим к понятию обобщенных размерностей.
Обобщенные размерности. Фрактальность
описывается бесконечным множеством (спектром)
обобщенных размерностей Реньи [22] порядка q:
Dq= lim 1/(q1) lnipiq / ln  Hq / ln,
i=1,2,...,M(), 0,
(5)
где Hq1/(1q) lnipiq – энтропия Реньи (обобщение
энтропии Шеннона); pi – вероятность (частота) попадания точки аттрактора внутрь i-го кубика; q 
параметр (вещественный). Распределение частот
определяет диапазон значений Dq и характеризует
пространственную неоднородность (анизотропность) аттрактора. У однородных (изотропных,
обычных) монофракталов распределение частот
равномерное и все размерности Реньи близки
D0D1D2…. независимо от объема выборки. У
неоднородных фракталов (мультифракталов) с ростом q размерность убывает D0D1D2…, причем не
обязательно строго и монотонно. При q0 определение (5) дает размерность Хаусдорфа, которая является нулевой, грубой оценкой размерности мультифрактала [23]
(6)
DF  D0 = lim lnM()/ln(1/), 0.
Эта размерность может быть дробной и больше топологической размерности DF>D (неравенство
Спилрайна [1]).
Показатель самоподобия и хаотичности.
Детерминированные процессы характеризуются
высоким уровнем самоподобия и «хорошей» (многоуровневой) памятью, т.е. способны сохранять ин194
Вестник технологического университета. 2015. Т.18, №10
формацию о своей структуре как угодно долго. Недетерминированные процессы сохраняют самоподобие только до определенного порога, что можно
видеть на их различных проекциях. После «пересечения» этого порога они теряют информацию о своей структуре (эффект забывания) и демонстрируют
свойства белого шума (броуновского движения, бессвязной пыли). Этот порог определяется показателем самоподобия Херста НF, являющимся мерой
статистической устойчивости масштабируемого
процесса (см., например, [1]). При 0<HF0.5 процесс считается менее самоподобным (не персистентным, не инерционным), т.е. более хаотичным.
При 0.5<HF<1 процесс считается более самоподобным и прогнозируемым (персистентным, инерционным), т.е. менее хаотичным. Например, природные
процессы склонны к инерционности HF0.5-0.7 [1].
Для временных рядов, т.е. в 2D-пространстве, показатель Херста связан с размерностью Хаусдорфа
инвариантным соотношением (законом сохранения)
[4]
HF +DF =2.
(7)
Формулы (6)-(7) позволяют рассчитать размерность
Хаусдорфа и показатель Херста, но требуют больших затрат вычислительных ресурсов. Основным
альтернативным методом оценки параметра Херста,
позволяющим сократить объем вычислений, является метод нормированного размаха или R/S-анализ
(см., например, [5])
HFln(R(n)/S(n))/lnn,
(8)
где R=maxOi–minOi – накопленный размах (разность между максимальным и минимальным накопленным отклонением от среднего). Накопленное
отклонение вычислялось с помощью функции
CUMSUM по формуле Oi=(xi–xсрендн). S - среднеквадратичное отклонение вычислялось с помощью
функции STD.
Негрубые размерности. Эти размерности
позволяют оценить неоднородность фрактала, т.е.
его мультифрактальные качества. При q1 определение (5), после раскрытия неопределенности, дает
информационную размерность [4-11]
(9)
DI = D1  lim ipi ln pi/ ln, 0.
где ipilnpi – информационная энтропия Шеннона.
При q2 получим корреляционную размерность [4]
DС =D2 = lim lnipi2i/ ln = lim lnСm(N,)/ ln, (10)
где lnipi2 – энтропия Реньи, Сm  корреляционный
интеграл. Нижняя оценка корреляционной размерности через Сm для простых моделей хаоса приведена нами в [19]. При q3 определение (5) дает
размерность
D3= 1/2 lim lnipi3/ ln
(11)
и т.д. В качестве бесконечной, предельной размерности q выбрано соотношение
D D11= 1/10 lim lnipi11/ ln.
(12)
Кроме негрубых, стандартных (положительных,
целочисленных) размерностей нами рассмотрены
нестандартные (дробные и отрицательные) значения
q, которые редко рассматриваются в литературе и
поэтому представляют интерес. Так, при q3/2 определение (5) дает D3/2=2lim lnipi3/2/ln. При q 1
из (5) следует D1= 1/2lim lnipi1/ln. Численный
анализ показал, что для рассмотренных ниже моделей эти нестандартные размерности не несут существенно новой информации, что свидетельствует об
их однородности.
Методика расчетов. Для расчетов фрактальных размерностей по формулам (5)-(7),(9)-(14)
была составлена программа HAUSDORF (RENUI). В
2D-пространстве плоскость (x,t) покрывалась квадратной решеткой, линейный размер  которой
уменьшался от 0.1 до 1/N. Для имитации масштабной инвариантности (скейлинга) расчеты проводились при разных объемах выборок N=1000-10000
точек для одинаковых значений  в 2D- и 1Dпространствах. Интервал =[0,N], независимо от
числа точек, рассматривался как один и тот же период наблюдений. Увеличение числа точек соответствовало увеличению частоты измерений за тот же
период времени, т.е. рассматривалось как эквивалент уменьшения сетки. При этом время расчета
достигало 10 и более часов при N1000 и 0.001.
Расчеты в 1D-пространстве отличались только тем,
что вместо плоскости (x,t) использовался отрезок
[xmin, xmax], что значительно уменьшало время расчетов. Вычислим, например, фрактальную размерность диагонали единичного квадрата (это обычная
линия) в 2D-пространстве при фиксированном
=1/100. При этом число занятых клеток остается
примерно постоянным M141. Тогда для N=1000 в
каждой из занятых клеток окажется по 7 точек и
DFlg141/lg100=1.07. Для N=10000 число занятых
клеток и размерность почти не изменятся, т.к. в каждой занятой клетке просто окажется в среднем в 10
раз больше точек. Вычислим размерность в 1Dпространстве. В этом случае диагональ квадрата
спроецируется в отрезок, состоящий из 100 подотрезков по 10 точек в среднем, откуда
DFlg100/lg100=1. Как видно, в обоих случаях,
размерность обычной линии близка к ее топологической размерности DFD=1. Это соответствует
максимальному уровню самоподобии HF1 и отсутствию хаоса. Метод R/S (формула (8)) был добавлен
в программу корреляционного анализа KORRAN,
описанную в нашей работе [19]. При этом для каждого промежуточного момента времени nN с шагом N/100 вычислялись среднее, стандартное отклонение, накопленное отклонение (сумма отклонений от среднего) и размах (как разность между максимальным и минимальным накопленным отклонением). Найденные значения R/S аппроксимировались линейной зависимостью, угловой коэффициент
которой считался показателем самоподобия. С помощью этих программ исследованы фрактальные
характеристики простых хаотических моделей, найденных нами (яма, гипербола и др. [12-19]), а также
известных ранее (логистик, пила и др. [1-11]) и нехаотических (линейная, синус и др.). Отметим, что
численный анализ в 1D-пространстве приведенных
ниже моделей показал близкие значения фрактальных размерностей DF0.9-1.0, т.е. не дал существенно новой информации об их хаотичности.
Пример 1.1 (стандартный ГПЧ). Генераторы псевдослучайных чисел (ГПЧ) вида [24]
195
Вестник технологического университета. 2015. Т.18, №10
не хаотичны. Вывод  хаос маловероятен, но не исключен.
Пример 1.5 (растущий синус xn=n sin(n)).
Найденные оценки показали значения DF=1.78,
HF=0.22. KORRAN дает близкие оценки DF2. Фазовые портреты – не хаотичны, рис. 2.1),2.2) Вывод
 хаос вероятен.
Примеры 1.6 (обычный синус xn=sin(n)).
Размерность Хаусдорфа растт DF1.51.9, самоподобие падает HF0.5-0.1. KORRAN дает DF=1.99.
Фазовые портреты – не хаотичны (рис. 2.3, 2.4). Вывод  хаос вероятен.
xn+1= (axn+b) mod m
(13)
являются разновидностями отображений вида (2),
удовлетворяют статистическим тестам случайности,
но не являются истинным хаосом. Стандартная
функция RAND [25] с равномерным распределением
является примером такого отображения. Исследуем
его фрактальные характеристики. Оценки обобщенных размерностей программой HAUSDORF в 2Dразмерности показали, что с ростом масштаба размерность Хаусдорфа растет DF=1.51.9, а показатель самоподобия падает Hf=2DF0.50.1. Это
свидетельствует в пользу хаоса, но противоречит
теории [24]. Программа KORRAN (метод R/S) свидетельствует в пользу хаоса HF0.44, но не слишком
уверенно. Фазовые портреты с ростом времени запаздывания тоже становятся все более хаотичными
(рис. 1). Вывод – хаос очень вероятен.
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0
100
100
80
80
60
60
40
40
20
20
0
0
-20
-20
-40
-40
-60
-60
-80
-80
-100
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
1) Зависимость xn(xn+1)
1) Dependence xn(xn+1)
-100
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
2) Зависимость xn1(xn+1)
2) Dependence xn1(xn+1)
0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0
1
1) Зависимость xn(xn+1)
1) Dependence xn(xn+1)
0
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2) Зависимость xn1(xn+1)
2) Dependence xn1(xn+1)
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-0.8
-0.8
0.1
0
0.1
-1
-1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
3) Зависимость xn(xn+1)
3) Dependence xn(xn+1)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
4) Зависимость xn1(xn+1)
4) Dependence xn1(xn+1)
Рис. 2  Фазовые портреты растущего (1-2) и
обычного (3-4) синусов
0.1
0
-0.8
1
3) Зависимость xn2(xn+1) 4) Зависимость xn3(xn+1)
3) Dependence xn-2(xn+1)
4) Dependence xn-3(xn+1)
Пример 2.1 (иррациональность 2). Десятичные разряды иррациональных чисел образуют
бесконечные непериодические последовательности,
принимающие десять различных состояний (натуральные числа от 0 до 9), но демонстрирующие многие признаки истинного хаоса. Нами исследован
временной ряд длиной 2048 знаков, составленный из
десятичных разрядов числа 2. Найденные оценки
показывают, что размерность Хаусдорфа растет
DF1.31.5, а показатель самоподобия падает
HF0.70.5. KORRAN дает оценку HF0.57. Фазовые портреты – хаотичны (см. рис. 3). Вывод 
хаос возможен.
Пример 2.2 (иррациональность, отклонения). Для повышения достоверности анализа были
проведены расчеты для временного ряда, пересчитанного на накопленное отклонение от среднего. В
этом случае размерность Хаусдорфа была близка к
расчетам по абсолютным значениям. Однако, результаты R/S-анализа существенно и более уверенно показывают отсутствие хаоса HF1.0 (было 0.57).
Однако, фазовые портреты, напротив  стали более
структурированными (рис. 3). Вывод  хаос
возможен.
Рис. 1  Фазовые портреты ГПЧ при N=100 и
разном времени запаздывания
Пример 1.2 (средний ГПЧ). Для повышения
достоверности были проведены расчеты фрактальных характеристик для отображения (13) с другими
параметрами, которые не полностью удовлетворяют
статистическим тестам случайности a=1011, b=0,
m=1234567, x1=1/3. Оценки программы HAUSDORF
в 2D-размерности оказались аналогичны хорошему
ГПЧ. Фазовые портреты – хаотичны. Однако программа KORRAN увереннее показывает хаос
HF=0.12. Вывод – хаос вероятен.
Пример 1.3 (слабый ГПЧ). Для большей
достоверности проводились расчеты отображения
(13) с параметрами, не удовлетворяющими статистическим тестам a=23, b=0, m=9, x1=1/3. Оценки
программы HAUSDORF и в этом случае почти не
отличались от хорошего и среднего ГПЧ. KORRAN
показывает значения на границе хаоса HF=0.56. Фазовые портреты – хаотичны. Вывод – хаос очень
вероятен.
Пример 1.4 (затухающий синус xn=sin(n)/n).
Размерность остается на уровне DF1.0, HF1.0.
KORRAN показывает DF=0.5. Фазовые портреты –
196
Вестник технологического университета. 2015. Т.18, №10
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
KORRAN дает HF=1.0. Фазовые портреты – не хаотичны. Вывод – хаос не исключен, но маловероятен,
что не согласуется с [19].
Пример 5. (Логистик). Это отображение
(16)
xn+1= 1xn2. =2
считается хаотическим [4,5]. Для него DF1.51.9
растет, а HF0.50.1 падает. KORRAN показывает
значения
HF=0.58.
Литературные
данные
DF=0.50.005 [26]. Фазовые портреты – хаотичны
(наблюдается эффект забывания). Двумерная версия
этой модели (отображение Хенона)
xn+1=1–
aхn2+bуn, уn+1=хn, a=1.4; b=0.3 показала близкие
оценки. Вывод – хаос очень вероятен.
Пример 6. (Пила или сдвиг Бернулли). Это
хаотическое отображение задается формулой [7-10]
xn+1=2xn mod 1.
(17)
Для отображения «Пилы» все оценки также были
аналогичны логистическому отображению. Двумерная версия этой модели (отображение пекаря)
xn+1=2xn mod 1, yn+1=ayn при x[0,1/2] или yn+1=
½+ayn при x[1/2,1] показала близкие оценки. Отметим, что для отображения пекаря известен аналитический расчет [4]. В направлении х аттрактор одномерен и имеет показатель подобия 2. В направлении у аттрактор самоподобен с показателем a<1,
что с учетом (6) дает M(a)/M(a2)=2/4=1/2=aD и
Dy=ln(1/2)/lna и DF=1+Dy=1+ln2/lna=1.5 для
a=1/4 или DF=2.0 для a=1/2. Вывод – хаос очень
вероятен.
Пример 7 (отображение «Тент») является
хаотическим [7-10]
(18)
xn+1 = min(xn,1xn).
Для него все оценки тоже близки к логистику. При
этом KORRAN показывает очень низкое самоподобие HF=0.03. Фазовые портреты аналогичны рис. 4.
Вывод – хаос очень вероятен
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1) Зависимость xn(xn+1)
1) Dependence xn(xn+1)
30
0
0
2
3
4
5
6
7
8
9
2) Зависимость xn1(xn+1)
2) Dependence xn1(xn+1)
30
20
20
10
10
0
0
-10
-10
-20
-20
-30
-30
1
-20
-10
0
10
20
30
3) Зависимость xn(xn+1)
3) Dependence xn(xn+1)
-30
-30
-20
-10
0
10
20
30
4) Зависимость xn1(xn+1)
4) Dependence xn1(xn+1)
Рис. 3  Фазовые портреты числа 2 (1-2) и его
накопленных отклонений (3-4)
Пример 3 (Отображение «Яма»). Это простейшее кусочно-линейное хаотическое отображение, найденное и описанное в работах [18-19], задается соотношением
xn+1=xn1  axn1, a==1.5, b=1, x0=0. (14)
Найденные оценки показывают, что для отображения «Яма» размерность Хаусдорфа растет
DF1.51.9, а показатель самоподобия падает
HF0.50.1. KORRAN дает HF=0.42. Фазовые
портреты – ближе к хаотичным (наблюдается эффект забывания) (рис. 4). Вывод – хаос есть.
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
-1
-1
1) Зависимость xn(xn+1)
1) Dependence xn(xn+1)
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-0.5
0
0.5
3) Зависимость xn-2(xn+1)
3) Dependence xn-2(xn+1)
-0.5
0
Результаты проведенного анализа и оценки
фрактальных характеристик (обобщенных размерностей Реньи Dq и показателя самоподобия HF) при
представлении исходных данных в виде различных
временных рядов приведены в табл. 1.
Как видно, оценки фрактальных характеристик нехаотических 1-6 и хаотических 7-13 моделей
отличаются, причем не всегда согласуются с результатами R/S-анализа (HF) и литературными данными.
Например, для логистического отображения (Хенона), по данным [26] DF=1.26,что соответствует высокому показателю самоподобия, но не соответствует хаосу. По нашим оценкам (см. строку 11 табл. 1)
величина DF1.5-1.9, что не исключает хаоса. С другой стороны, фрактальные характеристики среднего
ГПЧ (строка 2 табл. 1) демонстрирует все свойства
хаоса, что противоречит теории [24]. Кроме того,
оценки фрактальных характеристик могут зависеть
от способа представления моделей в виде различных
временных рядов, что снижает их ценность как критериев хаотичности. Это иллюстрируют, например,
строки 7-8 табл. 1, показывающие влияние двух разных представлений иррационального числа 2 на
его хаотические свойства. Отметим также, что для
0.5
2) Зависимость xn1(xn+1)
2) Dependence xn1(xn+1)
0.5
-1
-1
Заключение
-1
-1
-0.5
0
0.5
4) Зависимость xn3(xn+1)
4) Dependence xn3(xn+1)
Рис. 4  Фазовые портреты отображения «Яма»
при N=100 и разном времени запаздывания
Пример 4 (Гипербола). Это нелинейное сингулярное отображение, описанное в [16-19]
xn+1= xn+/(1/2xn), =0.001, x0=0, (15)
демонстрирует хаос. Найденные оценки показывают, что для отображения «Гипербола» размерность
Хаусдорфа остается примерно постоянной DF1.41.5, а показатель самоподобия HF0.5-0.6.
197
Вестник технологического университета. 2015. Т.18, №10
Таблица 1 – Оценки фрактальных показателей простых динамических моделей1)
1)
№
Модель
1
Стандартный ГПЧ
2
Средний ГПЧ
Слабый ГПЧ
3
Затухающий синус
4
Растущий синус
5
Обычный синус
6
7
Иррациональность 2
8 Иррациональность 2 (откл)
9
Яма
10
Гипербола
11
Логистик
12
Пила
13
Тент
D0=DF
1.5/1.9
1.5/1.9
1.5/1.9
1.1/1.0
1.8/1.8
1.5/1.9
1.3/1.5
1.3/1.5
1.5/1.9
1.3/1.4
1.5/1.9
1.5/1.9
1.3/1.9
D1=DI
1.5/1.9
1.5/1.9
1.5/1.9
1.1/1.0
1.7/1.7
1.5/1.9
1.3/1.5
1.3/1.4
1.5/1.9
1.3/1.3
1.5/1.8
1.5/1.9
1.2/1.9
D3/2
1.5/1.9
1.5/1.9
1.5/1.9
1.0/1.0
1.7/1.7
1.5/1.8
1.3/1.4
1.2/1.4
1.5/1.9
1.3/1.3
1.5/1.8
1.5/1.9
1.2/1.9
D2=DC
1.9/1.9
1.9/1.9
1.8/1.9
1.0/1.0
1.6/1.6
1.9/1.8
1.4/1.4
1.3/1.4
1.9/1.9
1.3/1.3
1.5/1.8
1.9/1.9
1.1/1.9
D3
1.8/1.9
-/1.9
1.8/1.9
1.0/1.0
1.5/1.5
-/1.8
1.4/1.4
1.3/1.4
1.8/1.9
1.2/1.2
1.8/1.7
1.8/1.9
1.1/1.9
D4
HF
D
-/1.9
0.44
-/1.9
0.12
-/1.9
0.56
1.0/1.0
0.50
1.4/1.4 1.2/1.2 0.01
-/1.7
0.01
-/1.4
0.57
1.3/1.4 -/1.3 1.00
-/1.8 -/1.6 0.42
1.2/1.2 -/1.1 1.00
1.6/1.7 1.5/1.5 0.58
1.6/1.9
-/0.52
1.1/1.9 -/1.6 0.03
Хаос2)
+/
+/+
+/
/
+/
+/
/
/
+/+
/
+/
+/
+/
Записи в виде дроби соответствуют двум значениям N=1000/10000. 2) Знак «+» означает, что модель может считаться хаотичной с точки зрения фрактальных оценок. Знак «» означает, что хаотичность модели нельзя однозначно оценить на основе
фрактальных оценок. Знак «» означает, что хаотичность отсутствует.
10. С.П. Кузнецов, Динамический хаос. М., Физматлит,
2006, 356 с.
11. Г.А. Леонов Хаотическая динамика и классическая
теория устойчивости движения, Ижевск, ИКИ, 2006,
216 с.
12. В.Х. Федотов, Н.И. Кольцов, Вестник Казан. технол.
ун-та, 16, 13, 24-28 (2013).
13. В.Х. Федотов, Н.И. Кольцов, Там же, 16, 23, 10-12
(2013).
14. В.Х. Федотов, Н.И. Кольцов, Там же, 17, 12, 15-21
(2014).
15. В.Х. Федотов, Н.И. Кольцов, Там же, 17, 13, 24-28
(2014).
16. В.Х. Федотов, Н.И. Кольцов, Там же, 17, 14, 68-74
(2014).
17. В.Х. Федотов, Н.И. Кольцов, Там же, 18, 1, 288-293
(2015).
18. В.Х. Федотов, Н.И. Кольцов, Там же, 18, 1, 302-308
(2015).
19. В.Х. Федотов, Н.И. Кольцов, Там же, 18, 2, 330-335
(2015).
20. Странные аттракторы / Под ред. Я.Г. Синая, Л.П.
Шильникова. Л.: Мир, 1981, 253 с.
21. D.D. Dixon, F.W. Cummings, P.E. Kaus, Phys. Nonlinear
Phenom., 65, 109-116 (1993).
22. A. Renyi, On measures of information and entropy. Proc.
of the 4th Berkeley Symp. on Math., Statistics and Probability 1960, 547–561 (1961).
23. G. Hausdorff, Dimension und auberes. Mab, Math.
Ann. 79, 157-179 (1919).
24. Д.
Кнут,
Искусство
программирования. Получисленные алгоритмы. М., Мир, 1977, т. 2,
724 с.
25. В. Дьяконов, В. Круглов, Математические пакеты
расширения MATLAB. СПб, Питер. 2001. 592 с.
26. en.wikipedia.org/wiki/List_of_fractals_by_Hausdorff_dim
ension.
сингулярного отображения «Гипербола» (строка 10
табл.1) фрактальные оценки не согласуются с данными [19], где через энтропию Колмогорова показана его хаотичность. Таким образом, оценки фрактальных характеристик не позволяют однозначно
разделить хаотические и нехаотические системы,
т.е. эти системы являются фрактальными инвариантами. В заключение отметим, что фрактальность и
хаотичность – это различные по природе процессы.
Хаотические процессы отличает непредсказуемое
поведение, особенно на больших временах (в установившемся режиме). Фрактальные процессы самоподобны, заведомо предсказуемы и не могут считаться истинно хаотическими.
Литература
1. Б. Мандельброт, Фрактальная геометрия природы.
М., ИКИ, 2002, 656 с.
2. Б. Мандельброт, Фракталы и хаос. М.- Ижевск, НИЦ
«РиХД», 2009, 392 с.
3. Б. Мандельброт. Фракталы в физике. Самоаффинные
фрактальные множества. М., Мир, 1988,672 с.
4. Г. Шустер, Детерминированный хаос, М., Мир, 1988,
240 с.
5. Е. Федер, Фракталы. М., Мир, 1991, 254 с.
6. Х. О. Пайтген, П.Х. Рихтер, Красота фракталов. М.,
Мир, 1993, 178 с.
7. М. Шредер, Фракталы, хаос, степенные законы.
Ижевск, НИЦ «РиХД», 2001, 528 с.
8. С.В. Божокин, Д.А. Паршин, Фракталы и мультифракталы. Ижевск, НИЦ «РиХД», 2001, 128 с.
9. А.Д. Морозов, Введение в теорию фракталов. М.Ижевск, ИКИ, 2002, 160 с.
____________________________________________________
© В. Х. Федотов – канд. хим. наук, доц. каф. информационных систем ЧувГУ, fvh@inbox.ru; Н. И. Кольцов – д-р хим. наук,
проф. каф. физической химии и ВМС ЧувГУ, koltsovni@mail.ru.
© V. Kh. Fedotov - Ph.D., associate professor of information systems department, Chuvash State University, fvh@inbox.ru;
N. I. Koltsov – doctor of chemistry, professor, managing chair of physical chemistry and macromolecular compounds department,
Chuvash State University, koltsovni@mail.ru.
198