В.В. Лакшина, А.М. Силаев ФРАКТАЛЫ В МОДЕЛИРОВАНИИ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

В.В. Лакшина, А.М. Силаев
ФРАКТАЛЫ В МОДЕЛИРОВАНИИ ФИНАНСОВЫХ
ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
Поведение
финансовых
рынков
весьма
трудно
поддается
прогнозированию. В связи с этим возникает необходимость построения
новых моделей описания ценообразования финансовых активов, основанных,
прежде всего, на эмпирически выявленных свойствах.
Фракталы – это эффективный инструмент для построения финансовых
моделей и количественной оценки свойств финансовых рядов, потому что
свойства, присущие финансовым рядам, естественным образом вытекают из
самой природы фракталов, а не введены в модель искусственно. К тому же
фракталы присутствуют во многих природных явлениях, что подтверждено в
работе примерами из геологии, гидрологии и экономики.
Целью
работы
является
установление
соответствия
между
эмпирическими фактами финансовых рядов и определенными типами
фракталов. В 1987 г. французский математик Б. Мандельброт ввел понятие
«фрактал». Общепринятого значения этого слова нет, по нестрогому
определению Мандельброта: «Фрактал – структура, состоящая из частей,
которые в каком-то смысле подобны целому»1.
Приведённое определение отражает важный отличительный признак
фрактальных объектов, а именно свойство масштабной инвариантности, т.е.
степень их неправильности или фрагментации неизменна во всех масштабах.
Другими словами, при изменении масштаба наблюдатель видит ту же самую
картину, что и вначале (для регулярных фракталов), или статистически
подобную
исходной
(для
случайных).
Существует
множество
разновидностей фракталов, применяемых в различных отраслях знаний, но
экономистов интересуют, прежде всего, фракталы, которые моделируют
движение цены.
Основной характеристикой фракталов является хаусдорфова
размерность, которая в отличие от топологической может быть дробной.
Существует несколько способов её измерить. Приведём способ,
применявшийся при измерении длины береговых линий. Он заключается в
измерении длины линии L при различных масштабах  и построении
полученных точек в логарифмических осях. Если график есть прямая, то
объект – фрактал с размерностью d , равной разности единицы и наклона
этой линии:
log L
.
d  1  lim
0 log 
Убедимся теперь, что финансовые временные ряды действительно
являются фракталами и посчитаем их размерность.
Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. – М.: Институт компьютерных исследований, 2002. –
656 с.
1
В качестве примера была взята цена акций компании Аэрофлот
за 2008–2011 гг. Строились графики движения цен в зависимости от времени
для разных временных масштабов и вычислялась длина получившихся линий
L.
Результаты для цены акций компании Аэрофлот сведены в табл. 1.
Таблица 1
Цена акций компании Аэрофлот за 2008–2011 гг.
Масштаб 
5 мин = 1*5 мин
10 мин = 2*5 мин
15 мин = 3*5 мин
30 мин = 6*5 мин
1 час = 12*5 мин
1 день = 288*5 мин
1 неделя = 2016*5 мин
1 месяц = 8640*5 мин
Количество значений
58560
33245
22597
11862
6323
728
152
36
Длина, L
60548,42
34775,13
23860,41
12850,49
7178,02
1108,98
389,84
223,11
Построим график зависимости длины от масштаба в логарифмических
осях:
5
10
4
Length
10
3
10
2
10
10 min
30 min 1 hour
1 day
1 week
1 month
Time scale
Рис. 1. Длина финансового ряда для цены акций компании Аэрофлот
за 2008–2011 гг. в зависимости от временного масштаба
Полученные точки аппроксимируются прямой с наклоном -0.6188
(коэффициент детерминации 99%). Таким образом, хаусдорфова размерность
данного финансового ряда равна 1.6188.
Итак, мы убедились на примере, что рассматриваемые финансовые
ряды являются фракталами.
Хаусдорфова размерность необходима для вычисления показателя Херста
H:
H = 2 – d,
где d – фрактальная размерность.
Показатель H носит имя Гарольда Эдвина Херста (1880–1978),
английского гидролога, работавшего над измерением зависимости между
разливами рек в течение длительных периодов времени. Мандельброт
выделяет три типа фракталов в зависимости от поведения показателя H:
 мультифрактал: Н является функцией времени, которая носит имя
Гёльдера;
 унифрактал: неизменность Н;
 мезофрактал: промежуточный случай.
Известно, что финансовые временные ряды характеризуются так
называемыми эмпирическими фактами:
 тяжёлые хвосты и островершинность в распределении доходностей;
 эффект дальних корреляций для квадратов доходностей;
 кластеризация выбросов.
Каждый из вышеуказанных типов фракталов реализует ту или иную
закономерность финансовых рядов (рис. 2).
Рис. 2. Соответствие между эмпирическими фактами и типом фрактала
Поясним эту схему на примере мезофрактала. Частным случаем
мезофрактала является процесс Леви. Это случайный процесс, в котором
приращения независимы и распределены по степенному закону с
показателем h. Это означает, наличие больших выбросов, или резких,
скачкообразных изменений цен, и их значимость в сравнении с малыми
изменениями – по сути, речь идёт о тяжёлых хвостах. На рис. 3 показана
реализация, а на рис. 4 гистограмма логарифмических доходностей процесса
Леви. Коэффициент эксцесса равен 21.32, т.е. плотность вероятности
доходности негауссова и характеризуется острой вершиной и тяжелыми
хвостами.
80
60
40
20
0
0
200
400
600
800
1000
Рис. 3. Процесс Леви с показателем H  1,77
14
12
10
8
6
4
2
0
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Рис. 4. Гистограмма логарифмической доходности процесса Леви
Для сравнения приведём гистограмму логарифмической дневной
доходности акций Coca-Cola за 1962–2010 гг. (рис. 5).
35
30
25
20
15
10
5
0
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Рис. 5. Гистограмма логарифмической дневной доходности
акций Coca-Cola за 1962–2010 гг.
Зададимся теперь вопросом: каким образом можно интерпретировать
полученные размерности или, другими словами, что мы можем узнать о
финансовом инструменте, посчитав его размерность?
Размерность ряда для цен акций компании Аэрофлот равна d = 1.6188.
Полученный в логарифмических осях график представляет собой прямую, её
наклон постоянен, поэтому это унифрактал, показатель Херста
H AFLT  2  d  0.3812 .
Это означает, что данный финансовый инструмент характеризуется
сильной антиперсистентностью, т. е. уменьшение в прошлом говорит об
увеличении в будущем и наоборот.
С помощью мезофракталов можно оценить уровень риска того или
иного инструмента путем аппроксимации гистограммы модулей приращений
доходности степенным распределением с показателем h (см. выше). Для
рассматриваемого примера получим hAFLT = 0.09032, что означает большее
количество значительных выбросов и, как следствие, высокий уровень риска.
В работе рассмотрено понятие фракталов и их количественная
характеристика – хаусдорфова размерность. Четырём основным
эмпирическим свойствам финансовых рядов поставлен в соответствие
определенный тип фрактала. Вычислена фрактальная размерность для
финансового временного ряда. На основании вычисленной размерности
выявлены и количественно оценены такие свойства финансовых рядов, как
уровень риска и эффект дальних корреляций.
Тот факт, что финансовые ряды являются фракталами, позволяет
использовать концепцию фрактальной геометрии в фундаментальных
исследованиях
по
выявлению
глубинных
закономерностей
функционирования финансовых рынков в целом, что, несомненно, является
стимулом к дальнейшим изысканиям по данной теме.