Лабораторная работа 1 2019

Лабораторная работа № 1
Методы одномерного поиска
Цель работы
Ознакомиться с методами одномерного поиска [3,12], используемыми
в многомерных методах минимизации функций n переменных. Сравнить
различные алгоритмы по эффективности на тестовых примерах.
Методические указания
1. Общая схема методов поиска минимума на отрезке
Пусть функция f ( x) унимодальна на отрезке [a0 , b0 ] . Необходимо
найти точку минимума функции на этом отрезке с заданной точностью  .
Все методы одномерного поиска базируются на последовательном
уменьшении интервала, содержащего точку минимума.
Возьмем внутри отрезка [a0 , b0 ] две точки x1 и x2 : a0  x1  x2  b0 ,
и вычислим значения функции в этих точках. Из свойства унимодальности
функции можно сделать вывод о том, что минимум расположен либо на
отрезке [ a0 , x2 ] , либо на отрезке [ x1 , b0 ] . Действительно, если f ( x1 )  f ( x2 ) ,
то минимум не может находиться на отрезке [ x2 , b0 ] , а если f ( x1 )  f ( x2 ) , то
минимум не может находиться на отрезке [a`0 , x1 ] . Если же f ( x1 )  f ( x2 ) , то
минимум находится на интервале [ x1 , x2 ] .
Алгоритм заканчивается, когда длина интервала, содержащего
минимум, становится меньше  . Различные методы одномерного поиска
отличаются выбором точек x1 , x2 . Об эффективности алгоритмов можно
судить по числу вычислений функции, необходимому для достижения
заданной точности.
2. Метод дихотомии (деления отрезка пополам)
Точки x1 , x2 выбираются на расстоянии    от середины отрезка:
x1  (ai  bi  ) / 2,
x2  (ai  bi  ) / 2
(1)
За одну итерацию интервал неопределенности уменьшается примерно в два
(b  a )
раза (рис. 1). За n итераций длина интервала будет примерно равна 0 n 0 .
2
ln  (b0  a0 )  
Для достижения точности  потребуется n 
итераций. На
ln 2
каждой итерации минимизируемая функция вычисляется дважды.
Рис. 1. Метод дихотомии
2. Метод золотого сечения
Точки x1 , x2 находятся симметрично относительно середины отрезка
[a0 , b0 ] и делят его в пропорции золотого сечения, когда длина всего отрезка
относится к длине большей его части также, как длина большей части
относится к длине меньшей части:
b0  a0 b0  x1
b  a0 x2  a0
и 0
.


b0  x1 x1  a0
x2  a0 b0  x2
Отсюда
(3  5)
(bi  ai )  ai  0.381966011  (bi  ai ),
2
( 5  1)
x2  ai 
(bi  ai )  ai  0.618003399  (bi  ai ) 
2
 bi  0.381966011 (bi  ai ).
x1  ai 
(2)
5 1
 1.618...
2
раз, но на следующей итерации мы будем вычислять функцию только один
x x
b  x2
раз, так как по свойству золотого сечения 2 1  0.381... и
 0.618....
b  x1
b  x1
ln((b0  a0 ) )
(рис. 2). Для достижения точности  потребуется n 
итераций.
5 1
ln
2
Неточное задание величины
5 на ЭВМ уже при достаточно
небольшом количестве итераций может приводить к погрешностям и потере
точки минимума, так как она выпадает из интервала неопределенности.
Поэтому, вообще говоря, при реализации алгоритма возможность такой
ситуации должна быть предусмотрена.
За одну итерацию интервал неопределенности уменьшается в
Рис. 2. Метод золотого сечения
3. Метод Фибоначчи
Числа Фибоначчи определяются соотношениями:
Fn2  Fn1  Fn , n  1,2,3..., F1  F2 =1.
С помощью индукции можно показать, что
представимо в виде (формула Бинэ):

 
n -е число Фибоначчи

n
n
Fn   (1  5) / 2  (1  5) / 2  / 5, n  1,2,...


Из этой формулы видно, что при больших n :


n
Fn  (1  5) / 2 / 5, так что
числа Фибоначчи с увеличением n растут очень быстро.
На начальном интервале вычисляют точки
F
x1  a0  n (b0  a0 ),
Fn 2
F
x2  a0  n1 (b0  a0 ),
Fn2
(3)
где n выбирается исходя из точности и начальной длины интервала (см.
ниже соотношение (5)).
На k -м шаге метода будет получена тройка чисел ak , bk , xk ,
локализирующая минимум f ( x) , такая, что
 k  bk  ak  (b0  a0 )
Fnk 3
, 1  k  n, a1  a0 , b1  b0 ,
Fn2
а точка xk , ak  xk  bk , с вычисленным значением
f ( xk )  min f ( xi ) ,
1i k
совпадает с одной из точек
F
F
x1  ak  n  k 1 (bk  ak )  ak  n  k 1 (b0  a0 ),
Fn  k  3
Fn  2
F
F
x2  ak  n  k  2 (bk  ak )  ak  n  k  2 (b0  a0 ),
Fn  k  3
Fn  2
(4)
расположенных на отрезке  ak , bk  симметрично относительно его середины
(рис. 3). При k  n процесс заканчивается. В этом случае длина отрезка
 n  bn  an  (b0  a0 ) / Fn2 ,
а точки
x1  an 
F1
(b0  a0 ),
Fn 2
x2  an 
F2
(b0  a0 )
Fn 2
совпадают и делят отрезок пополам.
Рис. 3. Метод Фибоначчи
Следовательно
bn  an b0  a0

 .
2
Fn2
Отсюда можно выбрать n из условия
b0  a0
(5)
 Fn 2 .

С ростом n , из-за того, что Fn / Fn2 – бесконечная десятичная дробь,
происходит искажение метода. Поэтому на очередном шаге в качестве новой
точки берут из (4) наиболее удалённую от xk 1 на предыдущем шаге.
4. Поиск интервала, содержащего минимум функции
В рассмотренных методах требуется знать начальный отрезок,
содержащий точку минимума. Поиск отрезка на прямой заключатся в том,
что возрастающие по величине шаги осуществляются до тех пор, пока не
будет пройдена точка минимума функции, т.е. убывание функции сменится
на возрастание.
Например, интервал может быть выделен с помощью следующего
алгоритма. На первом шаге выбираем начальную точку x0 и определяем
направление убывания функции.
Шаг 1. Если f ( x0 )  f ( x0   ) , то полагаем: k=1, x1  x0   , h   .
Иначе, если f ( x0 )  f ( x0   ) , то x1  x0   , h   .
Шаг 2. Удваиваем h и вычисляем xk 1  xk  h .
Шаг 3. Если f ( xk )  f ( xk 1 ) , то полагаем k  k  1 и переходим к шагу
2. Иначе – поиск прекращаем, т.к. отрезок xk 1 , xk 1  содержит точку
минимума.
5. Поиск минимума функции n переменных в заданном направлении
Пусть требуется найти минимум функции n переменных f ( x ) , где
x  ( x1 , x2 ,..., xn ) , в направлении вектора s . Для этого нужно найти минимум
функции g ()  f ( x    s ) рассмотренными выше методами,  – величина
шага в заданном направлении.
Порядок выполнения работы
№
1
2
3*
Вид работы
Баллы
Реализовать методы дихотомии, золотого сечения,
исследовать их сходимость и провести сравнение
по числу вычислений функции для достижения
заданной точности  от 101 до 107 . Построить
6
график зависимости количества вычислений
минимизируемой функции от
десятичного
логарифма задаваемой точности  .
Реализовать
алгоритм
поиска
интервала,
содержащего минимум функции.
Реализовать метод Фибоначчи, сравнить его с
2
методами дихотомии и золотого сечения
*) Выполняется по желанию студентов
Варианты заданий
1. f  x   sin  x  , x    / 2, / 2.
2. f  x   cos  x  , x 0,  .
3. f  x    x  2  , x   2,20 .
2
4. f  x    x  15  5 , x   2,200 .
2
5. f  x    x  5 , x   10,15 .
4
6. f  x   e x , x  0,100 .
7. f  x   x 2  2 x  4 , x  10,20 .
8. f  x   x3  x , x  0,1 .
9. f  x   x5  x 2 , x  0,1 .
10. f  x    x / e x , x   0,3 .
11. f  x   x 4  x , x  0,1 .
12. f  x   x 4 / ln x , x 1.1, 1.5 .
Содержание отчета




Отчет должен содержать:
титульный лист;
цель работы;
задание;
таблицы с результатами исследований по каждому методу, где должны
быть отражены границы и длины интервалов на каждой итерации,
соотношение длины интервала на i  1 итерации к длине интервала на
i итерации, точки x1 и x2 и значения функции в них (по одной таблице
для каждого метода при точности  =107 ):
i
1
2
3
ai
bi
bi  ai
bi  ai
bi 1  ai 1
x1
x2
f ( x1 )
f ( x2 )
 график зависимости количества вычислений целевой функции от
логарифма задаваемой точности  (на одном графике построить
зависимости для разных методов);
 таблица, показывающая процесс поиска интервала, содержащего
минимум:
Интервал,
x
f
(
x
)
содержащий
i
i
i
минимум
1
2
3
 выводы по всем пунктам задания.
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
Метод дихотомии.
Метод золотого сечения.
Метод Фибоначчи.
Метод квадратичной интерполяции (метод парабол)
Алгоритм поиска интервала, содержащего минимум функции.