Задание 18

Задание 18. Числовая плоскость
1. Для какого наибольшего целого числа А формула
((x ≤ 9) →(x ⋅ x ≤ A)) ⋀ ((y ⋅ y ≤ A) → (y ≤ 9))
тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых целых
неотрицательных x и y?
Решение.
Раскроем импликацию по правилу A → B = ¬A + B
Переменные не связаны между собой, поэтому необходимо и
достаточно, чтобы:
 решениями первой совокупности были все неотрицательные х,
 решениями второй совокупности были все неотрицательные y.
х > 9 , x2  A
Решение неравенства х > 9 : числа 10, 11, 12, ...
Не покрыт интервал 0..9
Чтобы совокупность выполнялась для всех целых неотрицательных
чисел, числа 0, 1, 2, ... 9 должны быть решениями неравенства .
Значит, максимальное х будет покрыто в результате неравенства: x2  A
92  A, А81
Самостоятельно для 2 совокупности неравенств
Получим: 102>A, A < 100
81  A < 100
Искомое наибольшее целое значение параметра равно 99.
Ответ: 99
2. Сколько существует целых значений числа A, при которых формула
((x < A) → (x2 < 81)) ∧ ((y2 ≤ 36) → (y ≤ A))
тождественно истинна при любых целых неотрицательных x и y?
Решение.
Раскроем импликацию по правилу A → B = ¬A + B
будет иметь решения для любых целых неотрицательных чисел.
Переменные не связаны между собой, поэтому необходимо и
достаточно, чтобы:
 решениями первой совокупности были все неотрицательные х,
 решениями второй совокупности были все неотрицательные y.
х2 < 81 , x A
Решениями неравенства х2 < 81 являются числа из отрезка [0; 8].
Не покрыто множество [9; )
Значит, здесь будет выполняться 2 неравенство
Чтобы совокупность выполнялась для всех целых неотрицательных
чисел, числа из этого множества должны быть решениями. Значит,
Любое число [0; 9] (9 включаем, тк неравенство x A нестрогое!) может быть
значение параметра А.
Самостоятельно, для 2й системы неравенств.
Получим: А любое число из интервала [6; )
Найдем пересечение этих интервалов: [0; 9]  [6; ) = [6 ; 9].
Возможных решений 4: это 6,7,8,9.
Ответ: 4
3. На числовой прямой задан отрезок A. Известно, что формула
((x ∈ A) → (x2 ≤ 81)) ∧ ((y2 ≤ 36) → (y ∈ A))
тождественно истинна при любых вещественных x и y. Какую
наименьшую длину может иметь отрезок A?
Решение.
Раскроем импликацию по правилу A → B = ¬A + B
будет иметь решения для любых вещественных чисел.
Переменные не связаны между собой, поэтому необходимо и
достаточно, чтобы:
 решениями первой совокупности были все неотрицательные х,
 решениями второй совокупности были все неотрицательные y.
Модуль числа!
Решениями неравенства x2 ≤ 81 являются все числа из отрезка [−9; 9].
Чтобы совокупность выполнялась для всех вещественных чисел, числа x, не
лежащие на указанном отрезке, должны принадлежать отрезку A.
Следовательно, отрезок A не должен выходить за пределы отрезка [−9; 9].
Аналогично, решениями неравенства y2 ≤ 36
являются числа из множества ((- ; -6)  ( 6; +))
Чтобы совокупность выполнялась для всех вещественных чисел,
числа x, не лежащие на указанных лучах, должны лежать на отрезке A.
Таким образом, минимальным отрезком из [−9; 9] и [−6; 6] будет отрезок
[−6; 6].
Найдем его длину: 6 – (- 6 ) = 12
Наименьшая длина отрезка A может быть равна 12.
О т в е т : 12.
Самостоятельный разбор.
1. На числовой прямой задан отрезок A. Известно, что формула
((x ∈ A) → (x2 ≤ 100)) ∧ ((x2 ≤ 64) → (x ∈ A))
тождественно истинна при любом вещественном x. Какую наибольшую
длину может иметь отрезок A?
Ответ: 20
2. Сколько существует целых значений числа A, при которых формула
((x < 5) → (x2 < A)) /\ ((y2 ≤ A) → (y ≤ 5))
тождественно истинна при любых целых неотрицательных x и y?
Ответ: 19
3. Сколько существует целых значений числа A, при которых формула
((x < 6) → (x2 < A)) ∧ ((y2 ≤ A) → (y ≤ 6))
тождественно истинна при любых целых неотрицательных x и y?
Ответ: 23
4. Для какого наименьшего целого значения числа A выражение
(x +2y < A)  (y > x)  (x > y )
тождественно истинно при любых целых неотрицательных x и y?
Ответ: 91
Множества
1. На числовой прямой даны два отрезка: P = [37; 60] и Q = [40; 77].
Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что выражение
(x ∈ P) → (((x ∈ Q) ∧ ¬(x ∈ A)) → ¬(x ∈ P)) истинно при любом значении
переменной х.
Обозначим: P = (x ∈ P), Q = (x ∈ Q), A = (x ∈ A).
Перепишем логическое выражение и применим правила (импликация,
закон де Моргана). Получим P (Q⋅(A  P) = P + (Q ⋅A P) =
=P + Q + A+ P = A +P + Q
Отрезок [40; 60], его длина = 20.
Ответ: 20