doc, 324 кб

Решения заданий по математике. Очный тур.
9 класс
1. Сумма корней некоторого квадратного уравнения равна 1, а сумма их
квадратов равна 2. Чему равна сумма их кубов?
Решение:




1
2
x3  y3   x  y   x 2  xy  y 2   x  y   3 x 2  y 2   x  y   ,

2
подставляя числовые значения, получаем x3  y 3  2,5 .
Ответ: 2,5 .
2. Решите в целых числах уравнение: 2 x 2  3xy  2 y 2  12 .
Решение: Воспользуемся тем, что 2 x2  3xy  2 y 2   2x  y  x  2 y  . Поэтому
 2x  y   a
x  2y 
- один из делителей числа 12 и a 1, 2, 3, 4, 6, 12 ,
12
. Таким образом имеем 12 систем:
a
 2 x  y  1,
не имеет целых решений;

x

2
y

12;

2 x  y  12,
x  5, y  2 ;

x

2
y

1;

 2 x  y  1,
2 x  y  12,
x  5, y  2 ;
не
имеет
целых
решений;


 x  2 y  12;
 x  2 y  1;
2 x  y  2,

 x  2 y  6;
x  2, y  2 ;
 2 x  y  6,
не имеет целых решений;

 x  2 y  2;
 2 x  y  2,
 2 x  y  6,
x  2, y  2 ; 
не имеет целых решений;

 x  2 y  6;
 x  2 y  2;
 2 x  y  3,

 x  2 y  4;
x  2, y  1 ;
 2 x  y  3,
x  2, y  1 ;

 x  2 y  4;
2 x  y  4,
не имеет целых решений;

x

2
y

3;

2 x  y  4,
не имеет целых решений.

 x  2 y  3;
Ответ:  2; 2  ,  2; 2  ,  2;1 ,  2; 1 ,  5; 2  ,  5; 2  .
3. Доказать, что площадь прямоугольного треугольника с острым углом
в 150 составляет восьмую часть квадрата гипотенузы.
Решение: Пусть
A
AC  b, BC  a, AB  c.
N
Проведем AM так, чтобы
BAM  150 , тогда
150
C
B
M
AMC  MAB  MBA  300 (внеш-
ний угол AMB ); AM  2 AC  2b (по свойству катета, лежащего против угла
в 300 ). Значит и MB  2b . Построим MN  AB , тогда MNB
1
MB NB
2b c
, или
, откуда ab  c 2 , и, так как S


AB BC
c 2a
4
S
ACB
ACB
ACB и
1
 ab , то
2
1
 c 2 . Что и требовалось доказать.
8
4. Найдите сумму коэффициентов многочлена, полученного после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых в выражении
x
2
 4x  2
2011
  7  5x  x2 
2012
.
Решение: Сумма коэффициентов многочлена, полученного после раскрытия
скобок и приведения подобных слагаемых в данном выражении получается
при x  1 .Значит, искомая сумма равна 1  4  2 
2011
  7  5  1
2012
 1 .
Ответ: -1.
5. Найдите значение выражения 1! 3  2! 4  3! 5  4! 6  ...  2010! 2012  2011!
(Факториал числа n!  1 2  3 ... n ).
Решение: Так как n! n  2  n! n  1  1  n! n  1  n!   n  1! n! , то
1! 3  2! 4  3! 5  4! 6  ...  2010! 2012  2011!  2! 1! 3! 2! 4! 3! 5! 4! ... 
2011! 2010! 2011!  1!  1.
Ответ: 1.
6. Отрезок АВ является диаметром некоторой окружности. Через его
концы А и В проведены две прямые, пересекающиеся в точке Е, лежащей вне окружности и пересекающие окружность по одну сторону от
прямой АВ в точках С и D соответственно. Найти радиус окружности,
если CAB  60  , EC = ED = a.
Решение: Так как AB - диаметр окружности, то ACB  90 . Так как около
четырёхугольника ABDC описана окружность, то
сумма противоположных углов CAB и CDB равна
180 . Отсюда следует, что CDB  180  60  120 , а,
значит, CDE  60 . Таким образом, CDE - правильный.
Рассмотрим CBE - прямоугольный, в нём
CEB  60 и CBE  30 , значит, CE 
1
BE , то есть BE  2a.
2
В  ABE ABE  ABC  CBE  30  30  60 . Таким образом,  ABE также
является правильным, значит, AB  BE  2R  2a , откуда R  a.
Ответ: R  a.