Западно-Казахстанский государственный университет им. М. Утемисова Факультет экономики и управления Кафедра экономической теории и бизнеса УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ Эконометрика по кредитной технологии обучения для студентов специальностей менеджмент, экономика, финансы, государственное и местное управление, учет и аудит Курс – 1, 2 Семестр – 2,4 Количество кредитов - 2 Лекции – 15 часов Лабораторные работы– 15 часов СРСП – 30 часов СРС – 30 часов Экзамен – 4-м семестре Всего – 90 часов Уральск, 2015 г. Учебно-методический комплекс дисциплины (УМКД) составлен: на основании ГОСО РК и типовой учебной программы «Эконометрика», разработанной д.э.н., профессором Р.У. Рахметовой и д.э.н., профессором Б.М. Мухамедиевым, Казахский национальный Университет им. Аль-Фараби и Казахский экономический университет им. Т. Рыскулова Утвержден на заседании кафедры экономической теории и бизнеса_______________________ Протокол № _1_ от «10__»_ 09 ___ 2015 г. Зав. кафедрой ______________ Утвержден на заседании учебно-методического совета института экономики и управления _________________ Протокол № _1_ от «_15_»_ 09 _ 2015 г. Председатель УМС института ______________ __ _ 1.Учебно-методический комплекс дисциплины (УМКД) составлен: на основании ГОСО РК и типовой учебной программы «Эконометрика», разработанной д.э.н., профессором Р.У. Рахметовой и д.э.н., профессором Б.М. Мухамедиевым, Казахский национальный Университет им. Аль-Фараби и Казахский экономический университет им. Т. Рыскулова 2. Программа обучения по дисциплине – SYLLABUS Данные о преподавателе Садыкова Г.А. – ст. преподаватель Офис: кафедра экономической теории Полный адрес пр.Достык 218/1 Рабочий телефон 53-58-46 Данные о дисциплине Эконометрика Семестр состоит из 15 учебных недель и 2 недель сессии. В неделю предполагается 2 кредит-часа. Каждый кредит-час состоит из одного контактного часа (лекция) и двух часов самостоятельной работы обучаемых (СРО) под руководством преподавателя (СРСП) и без него (СРС). Распределение кредитов на неделю: Время Занятия Время Занятия проведения СРО Проведения Контактный час 1(лекция) 50 мин. СРСП, СРС 50 + 50 мин. Контактный час 2 (лабораторная работа) 50 мин. СРСП, СРС 50 + 50 мин. Количество кредитов – 2 Место проведения: корпус № 2 по расписанию Выписка из учебного плана: Курс Семестр Кредиты Лекции Лабораторные СРСП СРС Всего Форма работы контроля 2 4 2 15 15 30 30 90 экзамен Введение Цель курса: использование и реализация методов эконометрического моделирования в практике экономического анализа и прогнозирования микро- и макроэкономических процессов. Задачи курса: построение моделей специфического типа (эконометрических моделей), описывающих взаимообусловленное развитие социально-экономических процессов на основе информации, отражающей распределение их уровней во времени или в пространстве однородных объектов, использовании этих моделей в анализе и прогнозировании общих закономерностей и конкретных количественных характеристик рассматриваемых процессов, определении управляющих воздействий. Пререквизиты. Для изучения курса необходимо знание следующих дисциплин: экономическая теория, математика, информатика, статистика. Постреквизиты. Знания, полученные при изучении данного курса будут использоваться в микроэкономике, макроэкономике, прогнозировании экономических процессов. При изучении предмета студент должен знать: - виды экономических данных; - методы сбора и анализа данных; - законы распределения данных; - методов выдвижения статистических гипотез; - пути поиска адекватных моделей. должен уметь: - работать со статистическими таблицами; - оценивать численные параметры моделей; - проводить идентификацию построенной модели; - работать с пакетом статистических программ; - доказывать значимость разработанных моделей. Методология обучения: Обучение проводится в основном в виде лекций и практических занятий, на которых отражается содержание основного учебного материала, и закрепляются практические навыки и полученные представления. Контроль знаний студентов будет осуществляться в виде проверки выполнения домашних заданий посредством решения задач, контрольных работ, тестов, устного опроса, индивидуальных семестровых заданий, рефератов и их защиты. Неделя 1 Кредит час 1 Лекция №1 Тема: Предмет эконометрики. Сведения из теории вероятностей и математической статистики Содержание лекции. 1. Определение эконометрики. История развития эконометрики. 2. Особенности эконометрического метода. Этапы эконометрического эксперимента. 3. Определение случайной величины. Числовые характеристики случайной величины. Литература: [1] стр 7-25, [4] стр 6-8 ,[4] стр17-23, [3] стр3-13, [5]стр5-17, [10]стр237-253 Содержание СРСП: 1. Типы данных в эконометрическом исследовании. 2. Виды эконометрических моделей. 3. Закон распределения случайной величины. 4. Выборочные числовые характеристики Литература: [12] стр7-10, [13] стр13-20,[4] стр17-23, [3] стр3-13, [5]стр5-17, [10]стр237-253 Содержание СРС: 1. Эконометрический эксперимент. 2. Результаты эконометрического эксперимента Литература: [4] стр8-16 Кредит час 2 Лабораторная работа № 1 Тема: Сведения из теории вероятностей и математической статистики Содержание занятия. 1. Построение закона распределения случайной величины. 2. Расчет числовых характеристик случайной величины. 3. Расчет выборочных числовых характеристик случайной величины. Литература:[4] стр17-23, [3] стр3-13, [5]стр5-17, [10]стр237-253 Содержание СРСП: Решение задач №1.1-1.5 [5] стр39 Литература: [5] стр39 Содержание СРС: Решение задач №5 [3] стр8, 1.6 [5] стр40 Литература: [5] стр40 Неделя 2 Кредит час 1 Лекция №2 Тема: Сведения из теории вероятностей и математической статистики Содержание лекции. 1. Основные законы распределения случайных величин (Биномиальное распределение, распределение Пуассона, нормальное распределение, показательное распределение, равномерное распределение) 2.Статистические оценки и доверительные интервалы. Литература: [5] стр24-34, [4] стр23-28, ] стр14-28, [4] стр28-33, [10] стр273-278 Содержание СРСП: Решение задач №1.8-1.12 [5] стр40 Литература: [5] стр40 Содержание СРС: Решение задач №1-3 [10] стр284-285 Литература: [10] стр284-285 Кредит час 2 Лабораторная работа № 2 Тема: Сведения из теории вероятностей и математической статистики Содержание занятия 1. Применение основных законов распределения случайных величин 2. Расчет точечных и интервальных оценок случайных величин Литература: [3] стр14-28, [4] стр28-33, [10] стр273-278 Содержание СРСП: Решение задач №14-16 [3] стр28 Литература: [3] стр28 Содержание СРС: Решение задач №5-8 [10] стр264 Литература: [10] стр264 Неделя 3 Кредит час 1 Лекция №3 Тема: Проверка статистических гипотез Содержание лекции. 1.Понятие статистической гипотезы и принципы проверки статистических гипотез. 2.Основные законы при проверке статистических гипотез. Литература: [4] стр 34-39, [10] стр 293-298 Содержание СРСП: Решение задач №1,2 [10] стр38 Литература: [10] стр 38 Содержание СРС: Проверка биномиальных гипотез Литература: [10] стр 298-304 Кредит час 2 Лабораторная работа №3 Тема: Проверка статистических гипотез Содержание занятия. Применение законов распределения случайных величин при проверке статистических гипотез (распределение Стьюдента, χ 2 -распределение, распределение Фишера) Литература: [4] стр39-50, [10] стр 304-307 Содержание СРСП: Решение задач №3-5 [10] стр308 Литература: [10] стр308 Содержание СРС: Решение задач №1.18-1.20 [5] стр41 Литература: [5] стр41 Неделя 4 Кредит час 1 Лекция №4 Тема: Парная линейная регрессия и корреляция. Содержание лекции. 1.Спецификация парной регрессионной модели. 2. Порядок оценки параметров парной регрессии по методу наименьших квадратов. Литература: [1] стр34-48, [3] стр53-66 [5] стр141-147, [11] стр3-6 Содержание СРСП: 1.Виды зависимостей между экономическими явлениями и процессами. 2.Задачи №2.1-2.2 [3] стр66-67 Литература: [5] стр137-138, [3] стр66-67 Содержание СРС: 1. Регрессия. Виды регрессий. 2. Корреляция. Виды корреляций. 3. Задачи корреляционного и регрессионного анализа. Литература: [5] стр138-140 Кредит час 2 Лабораторная работа № 4 Тема: Парная линейная регрессия и корреляция. Содержание занятия. 1. Расчет параметров парной регрессии по методу наименьших квадратов. 2. Расчет линейного коэффициента корреляции и коэффициента детерминации. Литература: [1] стр41-48, [3] стр 55-64, [5] стр141-147, [11] стр3-6 Содержание СРСП: Решение задач №1-2 [10] стр291-292 Литература: [10] стр291-292 Содержание СРС: Решение задач №2.3-2.4 [3] стр67 Литература: [3] стр67 Неделя 5 Кредит час 1 Лекция №5 Тема: Парная линейная регрессия и корреляция. Содержание лекции. 1. Дисперсионный анализ результатов регрессии. 2. Статистическая оценка значимости уравнения и параметров уравнения линейной регрессии. Литература: [1] стр48-57, [2] стр6-9, [3] стр89-114, [11] стр7-11 Содержание СРСП: Решение задач № 4,15 [2] стр35 Литература: [2] стр35, [3] стр100 Содержание СРС: Решение задач № 3.11-3.12 [3] стр101-102 Литература: [3] стр101-102 Кредит час 2 Лабораторная работа № 5 Тема: Парная линейная регрессия и корреляция. Содержание занятия: 1. Дисперсионный анализ результатов регрессии. 2. Статистическая оценка значимости уравнения и параметров уравнения линейной регрессии. 3.Оценка качества построенной модели с помощью средней ошибки аппроксимации 4.Использование статистической функции ЛИНЕЙН и программы анализ данных для определения параметров регрессии. Литература: [1] стр48-57, [2] стр6-9, [3] стр89-114, [11] стр7-11 Содержание СРСП: Решение задачи №3.9 [3] стр100 Литература: [2] стр35, [3] стр100 Содержание СРС: Решение задач № 3.13-3.14 [3] стр101-102 Литература: [3] стр101-102 Неделя 6 Кредит час 1 Лекция №6 Тема: Модель множественной линейной регрессии. Содержание лекции. 1. Отбор факторов при построении множественной регрессии. 2. Методы построения уравнения множественной регрессии. Выбор формы уравнения регрессии 3. Оценка параметров уравнения множественной регрессии методом наименьших квадратов. Литература: [1] стр90-105, [3] стр134-140, 155-159,[5] стр148-157 Содержание СРСП: Решение задач №5.2-5.3 [3] стр141 Литература: [3] стр141 Содержание СРС: Решение задач №1,2 [2] стр79 Литература: [2] стр79 Кредит час 2 Лабораторная работа №6 Тема: Модель множественной линейной регрессии. Содержание занятия: 1.Оценка параметров уравнения множественной регрессии методом наименьших квадратов. 2. Решение задачи № 6[2] стр82 Литература: [1] стр105-109, 112-120, [4] стр81-84 Содержание СРСП: Решение задачи № 7 [2] стр82 Литература: [1] стр105-109, 112-120, [4] стр81-84 Содержание СРС: Решение задач №13,14 [2] стр86 Литература: [1] стр105-109, 112-120, [4] стр81-84 Неделя 7 Кредит час 1 Лекция №7 Тема: Мультиколлинеарность. Фиктивные переменные. Содержание лекции. 1. Явление мультиколлинеарности. Последствия мультиколлинеарности для оценок коэффициентов регрессии. 2. Введение фиктивных переменных в уравнение множественной регрессии. 3. Частная корреляция модели множественной регрессии. Литература: [1] стр109-112, 141-154, [3] стр262-282 Содержание СРСП: Решение задач №5-6 [2] стр81-82 Литература: [1] стр109-112, 121-129 Содержание СРС: Решение задач №15-16 [2] стр87-88 Литература: [1] стр109-112, 121-129 Кредит час 2 Лабораторная работа №7 Тема: Мультиколлинеарность. Фиктивные переменные. Содержание занятия. 1. Введение фиктивных переменных в уравнение множественной регрессии. 2. Расчет частных коэффициентов корреляции. Литература: [1] стр155-169, [3] стр200-216, стр262-282 Содержание СРСП: Решение задач №7.1-7.2 [3] стр209-210, №18,19 пункт 4 [2] стр89 Литература: [1] стр155-169, [3] стр200-216, [2] стр89 Содержание СРС: Решение задач №7.3-7.4 [3] стр215 Литература: [1] стр155-169, [3] стр200-216 Неделя №8 Кредит час 1 Лекция №8 Тема: Статистическая значимость коэффициентов линейной регрессии. Содержание лекции. 1. Оценка практической значимости уравнения регрессии. Скорректированный коэффициент детерминации. 2. Оценка значимости уравнения множественной регрессии по F-критерию Фишера. 3. Оценка значимости коэффициентов регрессии. Литература: [1] стр105-141, [3] стр159-163, [4]стр81-86 Содержание СРСП: Решение задач №18,19 пункт 4 [2] стр89 Литература: [1] стр129-141, [3] стр159-163, [4]стр85-86 Содержание СРС: Решение задачи №12 [2] стр83 Литература: [1] стр129-141, [3] стр159-163, [4]стр85-86 Кредит час 2 Лабораторная работа №8 Тема: Статистическая значимость коэффициентов линейной регрессии. Содержание занятия: 1. Оценка практической значимости уравнения регрессии. Скорректированный коэффициент детерминации. 2. Оценка значимости уравнения множественной регрессии по F-критерию Фишера. 3. Оценка значимости коэффициентов регрессии. 4. Решение задач №15-16 [2] стр87 Литература: [1] стр129-141, [3] стр159-163, [4]стр85-86 Содержание СРСП: Решение задач №13-14 [2] стр87 Литература: [1] стр129-141, [3] стр159-163, [4]стр85-86 Содержание СРС: Решение задач №12 [2] стр83 Литература: [1] стр129-141, [3] стр159-163, [4]стр85-86 Неделя №9 Кредит час 1 Лекция № 9 Тема: Нелинейные эконометрические модели. Содержание лекции. 1. Классификация нелинейных регрессионных моделей. 2. Порядок оценки параметров нелинейной регрессии. Преобразование переменных. 3. Коэффициенты эластичности 4. Корреляция для нелинейной регрессии. 5. Оценивание производственных функций. Литература: [1] стр62-87, [3] стр115-129, [4] стр77-81 Содержание СРСП: Решение задачи №3 [2] стр30-34 Литература: [2] стр30-34 Содержание СРС: Решение задачи №10 [2] стр33 Литература: [2] стр33 Кредит час 2 Лабораторная работа №9 Тема: Нелинейные эконометрические модели. Содержание занятия: 1. Определение параметров нелинейной регрессии. 2. Оценка качества построенной модели нелинейной регрессии. Литература: [1] стр62-87, [3] стр115-129, [4] стр77-81 Содержание СРСП: Решение задачи №8 [2] стр30-34 Литература: [2] стр30-34 Содержание СРС: Решение задачи №10 [2] стр33 Литература: [2] стр33 Неделя 10 Кредит час 1 Лекция №10 Тема: Гетероскедастичность. Содержание лекции. 1. Причины возникновения и последствия гетероскедастичности. 2. Тесты для оценки гетероскедастичности. Литература: [1] стр141-169, [3] стр200-216, стр262-282 Содержание СРСП: Решение задач №9.1-9.3 [3] стр269 Литература: [1] стр141-154, [3] стр262-282 Содержание СРС: Решение задачи №30 [2] стр105 Литература: [1] стр141-154, [3] стр262-282 Кредит час 2 Лабораторная работа № 10 Тема: Гетероскедастичность. Содержание занятия. 1. Причины возникновения и последствия гетероскедастичности. 2. Применение тестов для оценки гетероскедастичности. Литература: [1] стр155-169, [3] стр200-216, стр262-282 Содержание СРСП: Решение задач №7.1-7.2 [3] стр209-210 Литература: [1] стр155-169, [3] стр200-216 Содержание СРС: Решение задач №7.3-7.4 [3] стр215 Литература: [1] стр155-169, [3] стр200-216 Неделя 11 Кредит час 1 Лекция №11 Тема: Динамический ряд. Содержание лекции. 1. Основные элементы временных рядов. Виды моделей временного ряда. 2. Автокорреляция уровней временного ряда. 3. Аналитическое выравнивание временного ряда. Основные виды трендов. Литература: [1] стр225-233, [2] стр137-138, [8] стр184-187 Содержание СРСП: Решение задачи №4 [2] стр164 Литература: [1] стр225-233, [2] стр137-138, [8] стр184-187 Содержание СРС: Решение задачи №5 [2] стр163 Литература: [1] стр225-233, [2] стр137-138, [8] стр184-187 Кредит час 2 Лабораторная работа № 11 Тема: Динамический ряд. Содержание занятия. 1. Расчет автокорреляции уровней временного ряда. 2. Расчет параметров трендов. Литература: [1] стр234-239,[2] стр138-139 Содержание СРСП: Решение задачи №3 [2] стр164 Литература: [1] стр234-239,[2] стр138-139,164 Содержание СРС: Решение задачи №1 [2] стр164 Литература: [1] стр234-239,[2] стр138-139 Неделя 12 Кредит час 1 Лекции №12 Тема: Динамический ряд. Содержание лекции. 1.Аддитивная и мультипликативная модели временного ряда. 2.Построение аддитивной и мультипликативной моделей временного ряда. Литература: [1] стр239-255,[2] стр137 Содержание СРСП: Решение задачи №7 [2] стр166-167 Литература: [1] стр239-255,[2] стр137 Содержание СРС: Решение задачи №10 [2] стр168 Литература: [1] стр239-255,[2] стр137 Кредит час 2 Лабораторная работа №12 Тема: Динамический ряд. Содержание занятия. 1.Построение аддитивной и мультипликативной моделей временного ряда. 2.Прогнозирование по аддитивной и мультипликативной моделям. Литература: [1] стр239-255,[2] стр137 Содержание СРСП: Решение задачи №7 [2] стр166-167 Литература: [1] стр239-255,[2] стр137 Содержание СРС: Решение задачи №10 [2] стр168 Литература: [1] стр239-255,[2] стр137 Неделя 13 Кредит час 1 Лекции №13 Тема: Динамический ряд. Содержание лекции. 1. Специфика статистической оценки взаимосвязи двух временных рядов. 2. Методы исключения тенденции. 3. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона. Литература: [1] стр263-278, [2] стр139-140 Содержание СРСП: Решение задачи №18 [2] стр173 Литература: [1] стр263-278, [2] стр139-140 Содержание СРС: Решение задачи №17 [2] стр172 Литература: [1] стр263-278, [2] стр139-140 Кредит час 2 Лабораторная работа № 13 Тема: Динамический ряд. Содержание занятия. 1. Применение методов исключения тенденции. 2. Автокорреляция в остатках. Расчет критерия Дарбина-Уотсона. Литература: [1] стр263-278, [2] стр139-140 Содержание СРСП: Решение задачи №24 [2] стр177 Литература: [1] стр263-278, [2] стр139-140 Содержание СРС: Неделя 14 Кредит час 1. Лекция № 14 Тема: Система одновременных уравнений Содержание лекции. 1. Виды систем уравнений эконометрических моделей. 2. Структурная и приведенная формы моделей. 3. Проблема идентификации. Виды структурных моделей с позиции идентифицируемости. Литература: [1] стр177-185, [3] стр322-326, [8] стр302-318 Содержание СРСП: Решение задач №28,29 [2] стр133, №11.2-11.3 [3] стр326 Литература: [3] стр322-326, [8] стр302-318 Содержание СРС: Решение задачи 26 [2] стр131 Литература: [3] стр322-326, [8] стр302-318 Кредит час 2 Лабораторная работа №14 Тема: Система одновременных уравнений Содержание занятия. 1. Определение параметров структурной модели на основе приведенной формы модели 2. Проверка структурной модели на идентификацию. Литература: [1] стр185-193, [3] стр332-337, [2] стр108-110 Содержание СРСП: Решение задачи №1-3 [2] стр122 Литература: [1] стр185-193, [3] стр332-337, [2] стр108-110 Содержание СРС: Решение задач №4-5 [2] стр123 Литература: [1] стр185-193, [3] стр332-337, [2] стр108-110 Неделя 15 Кредит час 1 Лекция № 15 Тема: Система одновременных уравнений Содержание лекции. 1. Методы оценивания коэффициентов структурной модели. 2. Сущность косвенного МНК и двухшагового МНК. Литература: [1] стр193-204, [2] стр113-118, [8] стр318-330 Содержание СРСП: Решение задачи №31 [2] стр134 Литература: [1] стр193-199, [2] стр115-118, [8] стр318-330 Содержание СРС: Решение задачи №26 [2] стр131 Литература: [1] стр193-199, [2] стр115-118, [8] стр318-330 Кредит час 2 Лабораторная работа №15 Тема: Система одновременных уравнений Содержание занятия. 1. Применение косвенного метода наименьших квадратов. 2. Применение ДМНК к простейшей сверхидентифицируемой модели. Литература: [1] стр200-204,[2] стр113-115, [8] стр30-341 Содержание СРСП: Решение задач №28, 34 [2] стр136 Литература: [1] стр200-204,[2] стр113-115, [8] стр30-341 Содержание СРС: Написание реферата на выбранную тему Литература: [1] -[23] 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. Список литературы "Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 "Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 Бережная Е.В., Бережной В.И. "Математические методы моделирования экономических систем" М: Финансы и статистика, 2003 Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. "Эконометрика. Начальный курс" М: Дело, 1998 Замков О.О., Черемных Ю.А., Толстопятенко А.В., "Математические методы в экономике" М: Дело и сервис, 1999 Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. "Эконометрика" М: Экзамен, 2003 Красс М.С., Чупрынов Б.П. "Основы математики и ее приложения в экономическом образовании" М: Дело, 2002 Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. "Математические методы и модели в управлении", М: Дело, 2000 Дорохина Е.Ю. Сборник задач по эконометрике, М: Экзамен, 2003г Афанасьев В.Н. «Эконометрика» М: Финансы и статистика, 2005 г Черемухина О.В. «Сборник задач по эконометрике» Уральск, 2007 Ежеманская С.Н. «Эконометрика», Ростов-на-Дону «Феникс», 2003г 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. Кремер Н.Ш., Бутко Б.А. «Эконометрика» М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002г. Кулинич Е.И. «Эконометрия» М.: Финансы и статистика, 1999г Айвазян С.А., Мхитрян В.С. «Прикладная статистика и эконометрика» М.:ЮНИТИ, 1998 Нименья И.Н. «Эконометрика» СПб: Издательский дом «Нева», 2003г Кремер Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика» М.: ЮНИТИ, 2000г Джонстон Дж. «Эконометрические методы» М.: Статистика, 1980 Уотшем Т. Паррамоу К. Количественные методы в финансах -М.: ЮНИТИ,1999 Федосеев В.В. ЭММ и прикладные модели -М ЮНИТИ.1999 Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика -М.: ЮНИТИ 2000 3.График выполнения и сдачи заданий по дисциплине № п/ п Вид работ Цель и содержание задания Рекомендуемая литература 1 Посещение лекции Выполнение СРСП активность Рекомендуемый список Выполнение практически х работ Реферат Проверка решение ситуационных задач Проверка теоретической подготовки по изученному материалу Активизация самостоятельности у студентов, а также усвоение терминологии Проверка теоретической подготовки по изученному материалу 2 3 4 5 Индивидуаль ный задание 6 Контрольная работа Продолжит ельность выполнени я Согласно расписанию Согласно графика СРСП Проверка теоретической подготовки Балл ы Форма контроля 100 100 Устный опрос или конспект Устный опрос, проверка конспектов Письменная работа по вариантам //-//-//-//-//-//-//-//-//- Согласно графика 100 //-//-//-//-//-//-//-//-//- 8-15 неделя 100 -//-//-//-//-//-//-//-//-//- 8-15 100 Устный ответ //-//-//-//-//-//-//-//-//- 8-15 неделя 100 Письменная работа по вариантам 4. Карта учебно-методической обеспеченности дисциплины № п/п Наименование литературы 1 1 2 "Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 "Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 Бережная Е.В., Бережной В.И. "Математические методы моделирования экономических систем" М: Финансы и статистика, 2003 Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. "Эконометрика. Начальный курс" М: Дело, 1998 2 3 4 6 В библиотеке 3 3 на кафедре 4 - Наличие обеспеченности студентов (%) 5 2,6 Электронная версия 6 - Примечания 7 Читальный зал №5 6 - 5,1 - Читальный зал №5 6 - 5,1 - Читальный зал №5 5 - 4,3 - Читальный зал №5 8 - 6,8 - Читальный зал №5 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 Замков О.О., Черемных Ю.А., Толстопятенко А.В., "Математические методы в экономике" М: Дело и сервис, 1999 Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. "Эконометрика" М: Экзамен, 2003 Красс М.С., Чупрынов Б.П. "Основы математики и ее приложения в экономическом образовании" М: Дело, 2002 Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. "Математические методы и модели в управлении", М: Дело, 2000 Черемухина О.В. «Парная регрессионная модель» методические указания по дисциплине «Эконометрика», Уральск , 2004 Ежеманская С.Н. «Эконометрика», Ростов-на-Дону «Феникс», 2003г Кремер Н.Ш., Бутко Б.А. «Эконометрика» М.: ЮНИТИ-ДАНА, -2002г. Нименья И.Н. «Эконометрика» СПб: Издательский дом «Нева», 2003г Дорохина Е.Ю. Сборник задач по эконометрике, М: Экзамен, 2003г Афанасьев В.Н. «Эконометрика» М: Финансы и статистика, 2005 г Черемухина О.В. «Сборник задач по эконометрике» Уральск, 2007 1 - 0,8 - Читальный зал №5 3 - 2,6 - Читальный зал №5 2 - 1,7 - Читальный зал №5 2 - 1,7 - Читальный зал №5 10 15 21,3 - Читальный зал №5 3 - 2,6 - Читальный зал №5 2 - 1,7 - Читальный зал №5 5 - 4,3 - Читальный зал №5 2 1,7 Читальный зал №5 3 2,6 Читальный зал №5 17,1 Читальный зал №5 5 20 5. Лекционный комплекс: Лекция №1 Тема: Предмет эконометрики. Сведения из теории вероятностей и математической статистики Содержание лекции. 1. Определение эконометрики. История развития эконометрики. 2. Особенности эконометрического метода. Этапы эконометрического эксперимента. 3. Определение случайной величины. Числовые характеристики случайной величины. Цель: Дать общую характеристику предмету «эконометрика», сведения из истории развития эконометрики. 1. Определение эконометрики. История развития эконометрики. На современном этапе экономического развития - деятельность в любой сфере (управлении, финансово-кредитной сфере, маркетинге, учете, аудите) требует от специалиста умения применить современные методы работы, знания достижений мировой экономической мысли, понимания научного языка. Большинство новых методов основано на эконометрических моделях, концепциях, приемах. Без глубоких знаний экономики научиться их использовать невозможно. Хорошая эконометрическая подготовка необходима также и для чтения современной экономической литературы. Известный экономист Цви Гриллихес (1929-1999г.) писал: « Эконометрика является одновременно нашим телескопом и нашим микроскопом для изучения окружающего экономического мира». Эконометрика – быстроразвивающаяся отрасль науки, цель которой состоит в том, чтобы придать количественные меры экономическим отношениям. Эконометрика входит в комплекс дисциплин «Экономико-математические методы». Ёе предметом является количественное выражение взаимосвязей и зависимостей экономических явлений и процессов, закономерностей экономики. Слово «эконометрика» представляет собой комбинацию двух слов: «экономика» и «метрика» (от греческого «метрон»- измерять), выражая таким образом, специфику, содержание эконометрики как науки: количественное выражение тех связей и соотношений, которые раскрыты и обоснованны экономической теорией. Джеймс Лайтхилл (англ. математик и экономист) коротко раскрывает термин: «Эконометрика – это статистико-математический анализ экономических отношений».Термин «эконометрика» был впервые введен бухгалтером П. Цьемпой (Австро-Венгрия, 1910 г.) («эконометрия» - у Цьемпы). Это новое научное направление возникло на стыке трех наук: экономической теории, статистики и математики. На дальнейшее развитие эконометрики большое воздействие оказывают новые информационные технологии. 29 декабря 1930 г. по инициативе И. Фишера, Р.Фицера, Я. Тинбергена и др. на заседании Американской ассоциации развития науки было создано эконометрическое общество, на котором новой науке дали название – «эконометрика». В 1941 году появился первый учебник по эконометрике, который был создан Я.Тинбергеном. 2. Особенности эконометрического метода. Этапы эконометрического эксперимента. Многие эконометрические модели строятся, таким образом, когда наблюдаемые значения величины Y зависят линейным или более сложным образом от значений многих других наблюдаемых величин: Y=а1х1+а2х2+…+е , где е – остаток, устраняющий разность между Y наблюдавшемся и полученным по набору xi расчетным образом. Основная задача эконометрического анализа заключается в отыскании значений коэффициентов а, обеспечивающих наименьшую величину е, а, следовательно, наилучшую точность прогноза. Этапы эконометрического эксперимента: 1-й этап - постановочный: формируется цель исследования, набор участвующих в модели экономических переменных. 2-й этап – априорный: проводится анализ сущности изучаемого объекта, формирование и формализация априорной (известной до начала моделирования) информации. 3-й этап – параметризация: осуществляется непосредственно моделирование, т.е. выбор общего вида модели, выявление входящих в нее связей. 4-й этап информационный: осуществляется сбор необходимой статистической информации – наблюдаемых значений экономических переменных. 5-й этап – идентификация модели: осуществляется статистический анализ модели и оценка ее параметров. 6-й этап – верификация модели: проводится проверка истинности, адекватности модели. 3. Определение случайной величины. Числовые характеристики случайной величины. Случайной величиной называют величину, которая в результате испытания (наблюдения) принимает то или иное значение заранее не известное и зависящее от случайных обстоятельств. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретной называют такую случайную величину, которая принимает отдельные изолированные значения с определенными вероятностями (такая случайная величина имеет счетное количество значений). Непрерывной называют такую случайную величину, которая может принимать любое значение из некоторого конечного или бесконечного числового промежутка (т.е. количество возможных значений непрерывной случайной величины несчетно). Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями: X = x1 , x 2 ,...x n . Для любой p , p ,... p n 1 2 дискретной случайной величины n ∑p i = 1. i =1 Для описания случайных величин часто используются их числовые характеристики – числа, в сжатой форме выражающие наиболее существенные черты распределения случайной величины. Первая характеристика – математическое ожидание или среднее значение, принимаемое случайной величиной в больших сериях испытаний. Математическим ожиданием М(Х) называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятностями: n M ( X ) = ∑ xi pi Свойства математического ожидания: i =1 1) M (C ) = C ; 2) M (CX ) = CM ( X ); 3) M ( X ± Y ) = M ( X ) ± M (Y ); 4) M ( X ⋅ Y ) = M ( X ) ⋅ M (Y ); 5) M ( X ± C ) = M ( X ) ± C ; 6) M ( X − a ) = 0, где a = M ( X ) Вторая характеристика случайной величины – дисперсия (степень отклонения случайной величины от ее математического ожидания). Дисперсия определяется как математическое ожидание квадрата разности между величиной х и n ее средним: D ( x ) = x 2 p − M ( X ) 2 . Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. ∑ i i i =1 Поэтому в качестве показателя рассеяния используют величину D( X ) . Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии: Свойства дисперсии: 1) D(C ) = 0; 2) D(CX ) = C 2 ⋅ D( X ); 3) D( X + Y ) = D( X ) ⋅ D(Y ); 4) D( X + C ) = D( X ). Вопросы для самоконтроля: 1. Дайте определение «эконометрики». Что изучает дисциплина «эконометрика»? 2. История возникновения и развития эконометрики. 3. В чем заключаются особенности эконометрического метода. 4. Перечислите этапы эконометрического эксперимента и охарактеризуйте их. 5. Понятие случайной величины. Виды случайных величин. 6. Основные числовые характеристики случайных величин. 7. Как рассчитываются основные числовые характеристики случайных величин 8. Понятие закона распределения случайных величин. 9. Понятие функции распределения. Свойства функции распределения. Рекомендуемая литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5. Ежеманская С.Н. «Эконометрика», Ростов-на-Дону «Феникс», 2003г σ x = D( X ) . 6. Кремер Н.Ш., Бутко Б.А. «Эконометрика» М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002г. Лекция №2 Тема: Сведения из теории вероятностей и математической статистики Содержание лекции. 1. Основные законы распределения случайных величин 2.Статистические оценки и доверительные интервалы. Цель: Дать основные понятия теории вероятности и математической статистики, а также формулы их расчета. 1.Основные законы распределения случайных величин. Большинство случайных величин подчиняется определенному закону распределения, зная который можно предвидеть вероятности попадания случайной величины в определенные интервалы. Законов распределения много. Рассмотрим лишь некоторые из них. 1)Биномиальное распределение – это распределение числа Х появления события А. Вероятность наступления события А в каждом испытании равна p, а вероятность его отсутствия q=1-p. В каждом испытании возможны два исхода: наступление или ненаступление события А. Ряд распределения числа появления события А определяется формулой Бернулли: P ( X = m) = C nm p m q n − m , где m - число появления события А. Характер биномиального распределения определяется двумя параметрами: р и п. Числовые характеристики биномиального распределения случайной величины Х: 1) математическое ожидание: М ( Х ) = п ⋅ р 2) дисперсия: D ( Х ) = п ⋅ р ⋅ q Мастер функций fx пакета Excel среди статистических функций содержит функции f(x) и F(x) случайной величины Х, имеющей биномиальное распределение с параметрами т, п и р. f(x)=БИНОМРАСП ( т; п; р; 0) и F(x)=БИНОМРАСП ( т; п; р; 1). 2)Распределение Пуассона является предельным случаем биномиального распределения. Предположим, что в биномиальном распределении p → 0 и n → ∞ так, что n ⋅ p → M ( X ) = a > 0 . Тогда плотность вероятности a m −a биномиального распределения принимает вид: P ( X = m) = e , m = 0, 1, 2, ... , что и является распределением m! Пуассона. Это распределение зависит от одного параметра – математического ожидания. Примеры случайных величин, имеющих распределение Пуассона: число автомашин, которые будут обслужены автозаправочной станцией; число бракованных изделий в готовой продукции. Числовые характеристики распределения случайной величины Пуассона 1) математическое ожидание: М ( Х ) = а ; 2) дисперсия: D ( Х ) = а . Мастер функций fx пакета Excel среди статистических функций содержит функцию ПУАССОН (х; а; 0), которая позволяет вычислить вероятность заданного числа появления события х при заданном значении среднего. 3) В экономике особое место занимает нормальный закон распределения случайной величины (закон распределения Гаусса). Нормальное распределение характеризуется тем, что крайние значения признака в нем встречаются достаточно редко, а значения близкие к средней величине – достаточно часто. Плотность нормального распределения определяется по формуле: f ( x) = − ( x − mx )2 1 σ x 2π 2σ x2 e . Параметр распределенной по нормальному закону, а параметр m x определяет положение центра рассеивания случайной величины, σx характеризует меру ее рассеяния относительно центра. Числовые характеристики нормального распределения случайной величины Х: 1) математическое ожидание: М ( Х ) = а 2) дисперсия: D ( Х ) = σ . 2.Статистические оценки и доверительные интервалы. 2 Оценкой θ n* параметра θ называют всякую функцию результатов наблюдений над случайной величиной Х, с помощью которой судят о значениях параметра θ . Процесс нахождения оценок по определенному правилу (формуле) называется оцениванием. Цель любого оценивания – получение наиболее точного значения оцениваемой характеристики. Различают два вида оценок – точечные и интервальные. Точечной оценкой этого параметра, полученное по выборке объема п. Пусть Величина θ * −θ θ- θ* параметра θ оцениваемый параметр, а называется числовое значение θ*- его статистическая оценка. называется точностью оценки. Чем меньше эта величина, тем лучше, тем точнее определен неизвестный параметр. Свойства точечной оценки: 1) Оценка θ* оцениваемому параметру: называется несмещенной оценкой параметра θ, если ее математическое ожидание равно М (θ ) = θ . В противном случае оценка называется смещенной. * 2) Несмещенная оценка θ * параметра θ называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра θ, вычисленных по выборкам одного и того же объема п, т.е D(θ ) = Dmin . * 3) Оценка параметру при θ * параметра θ называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому п → ∞ , т.е. для любого δ > 0 при п → ∞ P ( θ * − θ < δ ) → 1 . При проведении оценивания на начальном этапе в качестве оценки той или иной числовой характеристики (М(х), D(х)) берется выборочная числовая характеристика. Затем, исследуя эту оценку, её уточнят таким образом, чтобы она удовлетворяла описанным выше свойствам. Доказано, что выборочное среднее является несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания (М(х)). Выборочная дисперсия является смещенной оценкой дисперсии (D(х)) и в n качестве оценки дисперсии (D(х)) следует брать исправленную дисперсию: s 2 = n Dв = 1 ∑ пi ( xi − xв ) 2 n −1 п − 1 i =1 2 Исправленная дисперсия s является несмещенной и состоятельной оценкой дисперсии (D(х)). При n>30 различия между выборочной и исправленной дисперсиями практически незначимо. Поэтому при большом объеме выборки ту и другую оценки можно считать несмещенными. Точечная оценка может быть дополнена интервальной оценкой – интервалом (θ 1 ;θ 2 ) , внутри которого с наперед заданной вероятностью γ находится точное значение оцениваемого параметра θ . Задачу определения такого интервала называют интервальным оцениванием, сам интервал – доверительным интервалом, а γ - доверительной вероятностью или надежностью. Для определения доверительного интервала выбирают число α = 1− γ , и находят два числа P(θ1 < θ < θ 2 ) = 1 − α = γ . Полученный интервал (θ − δ ;θ + δ ) , накрывающий неизвестный вероятностью 1 − α и является интервальной оценкой θ . что * θ1 θ 2 таких, параметр θ с и Вопросы для самоконтроля: 1. Какие законы распределения случайных величин вы знаете? 2. Запишите нормальный закон распределения случайной величины. 3. Статистические оценки параметров распределения. 4. Свойства точечной оценки 5. Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности Рекомендуемая литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5. Ежеманская С.Н. «Эконометрика», Ростов-на-Дону «Феникс», 2003г 6. Кремер Н.Ш., Бутко Б.А. «Эконометрика» М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002г. Лекция №3 Тема: Проверка статистических гипотез Содержание лекции. 1.Понятие статистической гипотезы и принципы проверки статистических гипотез. 2.Основные законы распределения при проверке статистических гипотез. Цель: Дать понятие и принципы проверки статистической гипотезы, а также применение законов распределения при проверке статистических гипотез. 1.Понятие статистической гипотезы и принципы проверки статистических гипотез. Предположение о том, что рассматриваемая случайная величина подчиняется определенному закону распределения, называется статистической гипотезой. Процедура сопоставления высказанной гипотезы выборочным данным называется проверкой гипотезы. Оценка соответствия интересующей экспериментатора статистической гипотезы опытным данным производится путем применения определенного правила, зависящего от характера выдвинутой гипотезы и называемого статистическим критерием. Статистический критерий представляет собой стандартный прием соответствия выдвинутой гипотезы опытным данным. Пусть имеется величина х0 – одно из возможных значений некоторой случайной величины Х. Выдвигаем гипотезу Н0 о том, что случайная величина Х распределена по закону, характеризуемому заданной функцией плотности вероятности ϕ 0 ( x ) . Гипотеза Н0 – нуль-гипотеза (проверяемая гипотеза). Введем альтернативную гипотезу Н1, содержание которой состоит в том, что рассматриваемая случайная величина Х подчиняется закону распределения, описываемому функцией плотности вероятности ϕ1 ( x) . Гипотеза Н1 – является истинной, если нуль гипотеза неверна. Требуется на основании величины х0 решить, какой из гипотез - Н0 или Н1 – следует отдать предпочтение. Разделим область всех возможных значений рассматриваемой случайной величины на две области: область R0 , соответствующую гипотезе Н0 и R1, отвечающую гипотезе Н1 (рис.1). Пусть точка x(R0/R1), разделяющая области R0 и R1 известна. Если x 0 < x ( R0 / R1 ) , то х0 попадет в область R0 и следует отдать предпочтение гипотезе Н0. Если же x0 > x( R0 / R1 ) , то х0 оказывается в области R1 альтернативной гипотезы Н1 и нуль-гипотеза должна быть отброшена. Критерий оценки статистической гипотезы проще получить, если предположить, что проверяемая гипотеза Н0 верна, т.е. рассматриваемая случайная величина действительно распределена по закону, задаваемого функцией ϕ 0 ( x ) , и рассмотреть область, в которой оказалось наблюдаемое значение х0. Искомый статистический критерий оценки гипотезы Н0 состоит в сравнении х0 с численной величиной х β . Если (в предположении правостороннего критерия) х 0 > x β для β , то х0 попадает в критическую область рассматриваемой функции распределения и нульН0 должна быть отброшена. Если же х 0 < x β , то х0 лежит вне критической области и гипотеза Н0 может быть выбранного уровня значимости гипотеза принята. 2.Основные законы распределения при проверке статистических гипотез. Рассмотрим законы распределения случайных величин, используемые при проверке статистических гипотез. 1. Пусть Хi – i=1, 2,… n - независимые нормально распределенные случайные величины с математическим ожиданиями mi и средними квадратическими отклонениями σ i соответственно. Тогда случайные величины Ui = X i − mi σi распределение. , i = 1,2,....n являются независимыми случайными величинами, имеющими стандартное нормальное Случайная величина n χ 2 = ∑ U i2 = U 12 + U 22 + .... + U n2 . имеет χ2- распределение с f степенями свободы, если Число степеней свободы f исследуемой случайной величины определяется числом i =1 случайных величин, ее составляющих, уменьшенным на число линейных связей между ними. Число степеней свободы случайной величины, которые в свою очередь связаны m линейными уравнениями определяется числом f=n-m. 2. Пусть случайная величина U∼N(0,1) , случайная величина V – независимая от U величина, распределенная по закону χ2 с f степенями свободы. Тогда величина t= U имеет распределение Стьюдента (t-распределение). V/f Распределение Стьюдента применяется для нахождения интервальных оценок, а также при проверке статистических гипотез. 2 3. Пусть V и W – независимые случайные величины, распределенные по закону χ со степенями свободы f1 и f2 соответственно. Тогда величина F= V / f1 имеет распределение Фишера со степенями свободы f1 и f2 . Распределение W / f2 Фишера используется при проверке статистических гипотез, в дисперсионном и регрессионном анализах. Вопросы для самоконтроля: 1. Понятие и принципы проверки статистической гипотезы 2. Какие могут возникнуть ошибки при проверке статистических гипотез 3. В чем заключается статистический критерий оценки нулевой гипотезы? 4. Законы распределения случайных величин при проверке статистических гипотез. Рекомендуемая литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5.Бережная Е.В., Бережной В.И. "Математические методы моделирования экономических систем" М: Финансы и статистика, 2003 6.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. "Эконометрика. Начальный курс" М: Дело, 1998 Лекция №4 Тема: Парная линейная регрессия и корреляция. Содержание лекции. 1.Спецификация парной регрессионной модели. 2. Оценка параметров парной регрессии по методу наименьших квадратов. Цель: Дать понятие спецификации парной регрессионной модели и порядок оценки параметров парной регрессии методом наименьших квадратов. 1. Спецификация парной регрессионной модели В зависимости от количества факторов, включенных в уравнение регрессии, принято различать простую (парную) и множественную регрессии. Простая регрессия представляет собой регрессию между двумя переменными y и x, т.е. модель вида y = f(x), где у – зависимая переменная (результативный признак); х – независимая или объясняющая, переменная, (признак – фактор). Строится простая (парная) регрессия в случае, когда среди факторов, влияющих на результативный показатель, есть явно доминирующий фактор. Рассмотрим простейшую линейную модель парной регрессии: y = a+bx+ε Величина y, рассматриваемая как зависимая переменная, состоит из двух составляющих: неслучайной составляющей а+bх и случайного члена ε. Случайная величина ε называется также возмущением. Она включает влияние не учтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения. Причин существования случайной составляющей несколько: 1. Не включение объясняющих переменных. Соотношение между y и x является упрощением. В действительности существуют и другие факторы, влияющие на y, которые не учтены в уравнении. Влияние этих факторов приводит к тому, что наблюдаемые точки лежат вне прямой у = а+bх. Часто встречаются факторы, которых следовало бы включить в регрессионное уравнение, но невозможно этого сделать в силу их количественной неизмеримости. Возможно, что существуют также и другие факторы, которые оказывают такое слабое влияние, что их в отдельности не целесообразно учитывать, а совокупное их влияние может быть уже существенным. Кроме того, могут быть факторы, которые являются существенными, но которые из-за отсутствия опыта таковыми не считаются. Совокупность всех этих составляющих и обозначено в уравнении через ε. 2. Агрегирование переменных. Рассматриваемая зависимость y = a+bx+ε – это попытка объединить вместе некоторое число микроэкономических соотношений. Так как отдельные соотношения, имеют разные параметры, попытка объединить их является аппроксимацией. Наблюдаемое расхождение приписывается наличию случайного члена ε. 3. Выборочный характер исходных данных. Поскольку исследователи чаще всего имеет дело с выборочными данными при установлении связи между у и х, то возможны ошибки и в силу неоднородности данных в исходной статистической совокупности. Для получения хорошего результата обычно исключают из совокупности наблюдения с аномальными значениями исследуемых признаков. И в этом случае результаты регрессии представляют собой выборочные характеристики. 4. Неправильная функциональная спецификация. Функциональное соотношение между у и х математически может быть определено неправильно. Например, истинная зависимость может не являться линейной, а быть более сложной. Следует стремиться избегать возникновения этой проблемы, используя подходящую математическую формулу, но любая формула является лишь приближением истинной связи у и х и существующее расхождение вносит вклад в остаточный член. 5. Возможные ошибки измерения. Например, в исследованиях спроса и потребления в качестве объясняющей переменной широко используется «доход на душу населения». Вместе с тем статистическое измерение величины дохода сопряжено с рядом трудностей и не лишено возможных ошибок, например, в результате наличия сокрытых доходов. Исследуя в качестве результативного признака данный показатель, мы должны быть уверены, что данные величины адекватны реальной действительности. В парной регрессии выбор вида математической функции yх=f(x), может быть осуществлен графическим, аналитическим, экспериментальным методами. 2. Оценка параметров парной регрессионной модели методом наименьших квадратов. Парная регрессия – уравнение связи двух переменных у и х: y = fˆ ( x ) , где у – зависимая переменная (результативный признак); х – независимая, объясняющая переменная (признак-фактор). Линейная регрессия имеет следующий вид: y = a + b ⋅ x + ε . Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров используют метод наименьших квадратов. МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических ( у − у€х ) 2 → min . Система нормальных уравнений имеет следующий вид: na + b∑ x = ∑ y у̂ х минимальна, т.е. 2 a ∑ x + b∑ x = ∑ xy ∑ Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы: b = yx − y ⋅ x x2 − x2 ; a = y −b⋅ x Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. Для линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент парной корреляции: σx x2 − x2 ryx = b σy =b y2 − y2 Линейный коэффициент корреляции должен находиться в границах от –1 до 1. Если значение показателя близко к 1, то это означает о наличие тесной связи между признаками. Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается коэффициент детерминации ryx2 - квадрат линейного коэффициента корреляции. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака у, объясняемую регрессией в общей дисперсии результативного признака. Вопросы для самоконтроля: 1. В чем заключается спецификация парной регрессионной модели. 2. Причины существования случайной составляющей в парной регрессионной модели. 3. Методы выбора вида математической функции в парной регрессии. 4. Как оцениваются параметры парной регрессионной модели? 5. Как записывается система нормальных уравнений по методу наименьших квадратов? 6. Как рассчитывается линейный коэффициент корреляции? Свойства линейного коэффициента корреляции. 7.Что характеризует коэффициент детерминации? Рекомендуемая литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5. Ежеманская С.Н. «Эконометрика», Ростов-на-Дону «Феникс», 2003г 6. Кремер Н.Ш., Бутко Б.А. «Эконометрика» М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002г. Лекция № 5 Тема: Парная регрессионная модель. Содержание лекции. 1. Дисперсионный анализ результатов регрессии. 2. Статистическая оценка значимости уравнения и параметров уравнения линейной регрессии. 3.Относительная ошибка аппроксимации. Оценка качества построенной модели с помощью средней ошибки аппроксимации. Цель: Дать порядок проведения дисперсионного анализа и статистической оценки значимости уравнения и параметров парной регрессии. 1. Дисперсионный анализ результатов регрессии. После того как построено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных ее параметров. Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится с помощью F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэффициент регрессии равен нулю, и, следовательно, фактор х не оказывает влияния на результат у. Непосредственному расчету F-критерия предшествует анализ дисперсии. Центральное место в нем занимает разложение общей суммы квадратов отклонений переменной у от среднего значения у на две части – «объясненную» и «необъясненную» ∑ ( у − у) 2 = ∑ ( у€х − у ) 2 + ∑ ( у − у€х ) 2 . Если сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, будет больше остаточной суммы квадратов, то уравнение регрессии статистически значимо и фактор х оказывает существенное воздействие на результат у. С F-критерием тесно связана характеристика, называемая числом степеней свободы, которая применительно к исследуемой проблеме показывает, сколько независимых отклонений из n-возможных требуется для образования данной суммы квадратов. Существует равенство между числом степеней свободы общей, факторной и остаточной суммы квадратов. Число степеней свободы для факторной суммы квадратов равно 1, для общей суммы квадратов равно (n-1), для остаточной суммы квадратов составляет (n-2). Разделив каждую сумму квадратов на соответствующее ей число степеней свободы, получаем дисперсию на одну степень свободы: ∑ ( у − у ) 2 D = ∑ ( у€х − у ) 2 D = ∑ ( у − у€х ) 2 Dобщ = ост факт п −1 п−2 1 Сопоставляя факторную и остаточную дисперсию на одну степень свободы, получим величину F- отношения (F критерий): F = Dфакт , где F - критерий для проверки нулевой гипотезы H0: Dфакт = Dост. Т.е. если нулевая гипотеза Dост справедлива, то факторная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Это дает основание считать, что влияние объясняющей переменной х модели несущественно, а, следовательно, общее качество модели невысоко. Английским статистиком Снедекором разработаны таблицы критических значений F – отношений при разных уровнях существенности нулевой гипотезы и различном числе степеней свободы. Табличное значение F – критерия – это максимальная величина отношения дисперсии, которая может иметь место при случайном их расхождении для данного об отсутствии связи признаков уровня вероятности наличия нулевой гипотезы. Если Fфакт > Fтабл, то нулевая гипотеза отклоняется и делается вывод о существенности этой связи. Если Fфакт < Fтабл, то H0 не отклоняется и уравнение регрессии считается статистически незначимым. 2. Статистическая оценка значимости уравнения и параметров уравнения линейной регрессии. F-тест – оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезы Н0 о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера. Fфакт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы: Fфакт = ∑ ( у − у) ∑ ( y − y) 2 2 /m /( n − m − 1) = rxy2 1 − rxy2 ( n − 2) где n - число единиц по совокупности; m-число параметров при переменных х. Fтабл – это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α . Уровень значимости α - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно α принимается равной 0,05 или 0,01. Если Fтабл < Fфакт, то Н0 - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается статистическая значимость и надежность. Если Fтабл > Fфакт, то гипотеза Н0 принимается и признается статистическая незначимость и ненадежность уравнения регрессии. Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t–критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н0 о случайной природе формирования показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной стандартной ошибки: t = b ; t = a ; t = r . b a r mb ma mr Стандартные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам: mb = Если 2 S ост ∑ х 2 ; m = 1 − rxy2 2 ; m = S a ост r п ⋅σ х n−2 ∑ (х − х)2 Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t – статистики, принимаем и отвергаем гипотезу Н0. tтабл < tфакт то Н0 отклоняется, т.е. a, b, r не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если tтабл > tфакт, то гипотеза Н0 принимается и признается случайная природа формирования a, b, r. Для расчета доверительных интервалов определяются предельные ошибки ∆ для каждого показателя: ∆ а = t табл m a ; ∆ b = t табл mb . Доверительные интервалы рассчитываются следующим образом: γ а = а ± ∆ а ; γ b = b ± ∆ b 3.Относительная ошибка аппроксимации. Оценка качества построенной модели с помощью средней ошибки аппроксимации. Величина отклонений фактических и расчетных значений результативного признака ( у − у€х ) по каждому наблюдению представляет собой ошибку аппроксимации. Поскольку ( у − уˆ х ) может быть как величиной положительной, так и отрицательной, то ошибки аппроксимации для каждого наблюдения принято определять в процентах по модулю. Отклонения ( у − уˆ х ) можно рассматривать как абсолютную ошибку аппроксимации, а Ai = y − y€x ⋅ 100% y - как относительную ошибку аппроксимации. Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, у − уˆ х определяют среднюю ошибку аппроксимации как среднюю арифметическую простую: А = 1 ⋅ 100 . ∑ п у Допустимый предел значений средней ошибки аппроксимации не более 8-10%. Вопросы для самоконтроля: 1.В чем заключается дисперсионный анализ парной регрессии? 2. С помощью какого показателя проводится статистическая оценка значимости уравнения парной регрессии? 3. В каком случае уравнение парной регрессии является статистически значимым? 4. С помощью какого показателя проводится статистическая оценка значимости параметров уравнения парной регрессии? 5. Как определяются стандартные ошибки параметров уравнения парной регрессии? 6. Как строятся доверительные интервалы параметров уравнения парной регрессии? 7. Как проводится статистическая оценка значимости линейного коэффициента корреляции? 8.С какой целью определяется средняя ошибка аппроксимации? 9. Как рассчитывается относительная ошибка аппроксимации? Лекции №6 Тема: Модель множественной линейной регрессии. Содержание лекции. 1.Формулировка модели множественной регрессии. 2. Методы построения уравнения множественной регрессии. 3.Оценка параметров уравнения множественной регрессии методом наименьших квадратов. Интерпретация коэффициентов, полученных по методу наименьших квадратов. Цель: Дать спецификацию модели множественной регрессии, порядок отбора факторов, а также формы построения уравнения множественной регрессии. Дать методы оценки параметров уравнения множественной регрессии. 1.Формулировка модели множественной регрессии. Множественная регрессия – уравнение связи с несколькими независимыми переменными: у = f ( x1 , х 2 ,...х р ) , где у - зависимая переменная (результативный признак), x1 , х 2 ,...х р - независимые переменные (факторы). Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель. Спецификация модели включает в себя два круга вопросов: отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии. Факторы, включаемые во множественную регрессию должны отвечать следующим требованиям: 1)Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, то ему нужно придать количественную определенность. 2) Каждый фактор должен быть достаточно тесно связан с результатом, т.е. коэффициент парной линейной корреляции между фактором и результатом должен существенно отличаться от нуля. 3) Факторы не должны сильно коррелировать друг с другом, тем более находиться в строгой функциональной связи (т.е. они не должны быть интеркоррелированы). Коэффициенты интеркорреляции (т.е. корреляции между объясняющими переменными) позволяют исключать из модели дублирующие факторы. Считается, что две переменные коллинеарны, т.е. находятся между собой в линейной зависимости, если rx x ≥ 0,7 . Если факторы коллинеарны, то они дублируют друг друга и один из них рекомендуется i j исключить из регрессии. Предпочтение при этом отдается фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами. Методы построения уравнения множественной регрессии: 1) метод исключения (отсев факторов из полного его набора); 2) метод включения (дополнительное введение фактора); 3) шаговый регрессионный анализ (исключение ранее введенного фактора). При отборе факторов большую роль играют показатели частной корреляции, оценивающие в чистом виде тесноту связи с результатом. При отборе факторов рекомендуется пользоваться следующим правилом: число включаемых факторов обычно в 6-7 раз меньше объема совокупности, по которой строится регрессия. 2. Методы построения уравнения множественной регрессии. Выбор формы уравнения регрессии. Как и в парной зависимости, возможны различные виды уравнений множественной регрессии: линейные и нелинейные. Наиболее широко используются линейная и степенная функции. В линейной множественной регрессии y€x = a + b1 x1 + b2 x 2 + ... + b p x p параметры при переменных х называются коэффициентами «чистой» регрессии. Они характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизменном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне. Например, зависимость расходов на продукты питания по совокупности семей характеризуется следующим уравнением: у€х = 0,5 + 0,35 х1 + 0,73 х 2 , где у – расходы семьи за месяц на продукты питания, тыс. д.ед.; х1 – месячный доход на одного члена семьи, тыс. д.ед.; х2- размер семьи, человек. Анализ уравнения: с ростом дохода на одного члена семьи на 1 тыс. д.ед. расходы на питание в среднем возрастут на 350 д.ед., при том же среднем размере семьи. Увеличение размера семьи предполагает дополнительный рост расходов на питание на 730 д.ед. Параметр а экономической интерпретации не подлежит. 3.Оценка параметров уравнения множественной регрессии методом наименьших квадратов. Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют метод наименьших квадратов. Строится ∑ у = па + b1 ∑ x1 + b2 ∑ x 2 + ... + b p ∑ x p следующая система нормальных уравнений: ∑ yx1 = a ∑ x1 + b1 ∑ x12 + b2 ∑ x1 x 2 + ... + b p ∑ x p x1 ......................................................................................... yx = a x + b ∑ p 1 ∑ x1 x p + b2 ∑ x 2 x p + ... + b p ∑ x 2p ∑ p Ее решение может быть осуществлено методом определителей. В линейной множественной регрессии y€x = a + b1 x1 + b2 x 2 + ... + b p x p параметры при переменных х называются коэффициентами «чистой» регрессии. Они характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизменном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне. Возможен и другой подход к определению параметров множественной регрессии, когда на основе матрицы парных коэффициентов корреляции строится уравнение регрессии в стандартизованном масштабе: t y = β 1t x1 + β 2 t x 2 + ... + β p t x p + ε , где t y = y−y σy , t xi = xi − xi σx - стандартизованные переменные; i β i - стандартизованные коэффициенты регрессии. β -коэффициенты показывают, на сколько сигм изменится в среднем результат, если соответствующий фактор хi изменится на одну сигму при неизменном среднем уровне других факторов. Стандартизованные коэффициенты регрессии сравнимы между собой. Сравнивая, их друг с другом, можно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат (коэффициенты «чистой регрессии» несравнимы между собой). Вопросы для самоконтроля: 1.В чем заключается спецификация модели множественной регрессии? 2. Как проводится отбор факторов при построении множественной регрессии? 3. Какие основные формы уравнений множественной регрессии можно построить? 4. Что характеризуют коэффициенты «чистой» регрессии? 5. Что характеризуют коэффициенты эластичности во множественной регрессии? 6.Способы построения уравнения множественной линейной регрессии? 7. Что показывают стандартизованные коэффициенты регрессии? Рекомендуемая литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5.Бережная Е.В., Бережной В.И. "Математические методы моделирования экономических систем" М: Финансы и статистика, 2003 6.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. "Эконометрика. Начальный курс" М: Дело, 1998 Лекция №7 Тема: Мультиколлинеарность. Фиктивные переменные. Содержание лекции. 1. Явление мультиколлинеарности. Последствия мультиколлинеарности для оценок коэффициентов регрессии. 2. Введение фиктивных переменных в уравнение множественной регрессии. 3. Частная корреляция модели множественной регрессии. Цель: Дать понятие явлению мультиколлинеарности, фиктивных переменных и порядок их введения в модель множественной регрессии. Дать порядок построения частных уравнений регрессий, формулы расчета и сущность частных и средних коэффициентов эластичности и средних коэффициентов корреляции. 1. Явление мультиколлинеарности. Последствия мультиколлинеарности для оценок коэффициентов регрессии. При построении модели множественной регрессии может возникнуть проблема мультиколлинеарности факторов – это когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимостью, т. е. имеет место совокупное воздействие факторов друг на друга. Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами. Если бы факторы не коррелировали между собой, то матрица парных коэффициентов корреляции между факторами была бы единичной матрицей, поскольку бы все недиагональные элементы rxi x j были бы равны нулю. Так, для включающего три объясняющих переменных уравнения y€x = a + b1 x1 + b2 x 2 + b3 x3 матрица коэффициентов корреляции между факторами имела бы определитель равный единице. rx1 x1 rx2 x1 rx3 x1 1 0 0 Det R = rx1 x2 rx2 x2 rx3 x2 = 0 1 0 = 1 rx1 x3 rx2 x3 rx3 x3 0 0 1 Если же, наоборот, между факторами существует полная линейная зависимость и все коэффициенты корреляции равны единице, то определитель такой матрицы равен нулю. Чем ближе к нулю определитель матрицы межфакторной связи, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. И, наоборот, чем ближе к единице определитель матрицы межфакторной корреляции, тем меньше мультиколлинеарность факторов. Если имеет место мультиколлинеарность, то в модель следует включать не все факторы, а только те, которые в меньшей степени ответственны за мультиколлинеарность. В наибольшей степени ответственным за мультиколлинеарность будет тот признак, который теснее связан с другими факторами модели (имеет место более высокие по модулю значения коэффициентов парной линейной корреляции). 2. Введение фиктивных переменных в уравнение множественной регрессии. Если до сих пор в качестве факторов мы рассматривали только экономические переменные, принимающие количественные значения, то возможно, может оказаться необходимым включить в модель фактор, имеющий два или более качественных уровней. Например, такие атрибутивные признаки как профессия, пол, образование, климатические условия и т.д. имеют несколько качественных уровня. Чтобы ввести такие переменные в модель необходимо их преобразовать в количественные переменные. Переменные такой конструкции называются фиктивными. Рассмотрим пример. Предположим, что по группе лиц мужского и женского пола изучается линейная зависимость потребления кофе от цены. В общем виде данное уравнение имеет вид: y = a + b ⋅ x + ε , где y - количество потребляемого кофе, x - цена. Аналогичные уравнения могут быть найдены отдельно для лиц мужского пола: y1 = a1 + b1 ⋅ x1 + ε ; женского пола: y 2 = a 2 + b2 ⋅ x 2 + ε . Различия в потреблении кофе проявятся в различии средних у1 иу2. Вместе с тем сила влияния х на у может быть одинаковой, т.е. b1 ≈ b2 ≈ b . В этом случае можно ввести общее уравнение регрессии с включением в него фактора «пол» в виде фиктивной переменной: y = a1 z1 + a 2 z 2 + bx + ε где z1, z2 – фиктивные переменные. 1 − мужской пол 1 − женский пол z1 = z2 = 0 − женский пол 0 − мужской пол Рассмотренная модель с фиктивными переменными, выступающими как факторы, обладает наибольшими прогностическими возможностями. Однако на практике может возникнуть необходимость построения модели, в которой фиктивная переменная должна играть роль результата. Подобного рода модели применяются в социологии, при обработке данных социологических опросов. В качестве у - рассматриваются ответы на вопросы, данные в альтернативной форме: «да» или «нет», т.е. зависимая переменная у, имеет два значения 1 - («да») и 0 - («нет»). 3. Частная корреляция модели множественной регрессии. На основе линейного уравнения множественной регрессии y€x = a + b1 x1 + b2 x 2 + ... + b p x p могут быть найдены у х1⋅ х 2, х 3,.... х р = f ( x1 ) y = f (x 2 ) частные уравнения регрессии: x 2⋅ x1. x 3,... x p ............................ y ( ) x p ⋅ x1, x 2,.... x p −1 = f x p т.е. уравнения регрессии, которые связывают результативный признак с соответствующими факторами хi при закреплении других учитываемых во множественной регрессии факторов на среднем уровне. В случае линейной регрессии частные уравнения имеют следующий вид: у€х1⋅ х 2, х 3,.... х р = а + b1 x1 + b2 x 2 + b3 x3 + ... + b p x p y€x 2⋅x1. x 3,... x p = a + b1 x1 + b2 x 2 + b3 x3 + ... + b p x p ............................................................... y€ x p ⋅ x1, x 2,.... x p −1 = a + b1 x1 + b2 x 2 + b3 x3 + ... + b p x p Частные уравнения регрессии характеризуют изолированное влияние фактора на результат, ибо другие факторы закреплены на низменном уровне. Эффекты влияния других факторов присоединены в них к свободному члену уравнения множественной регрессии (Аi).Это позволяет на основе частных уравнений регрессии определять частные коэффициенты эластичности Э ухi = bi xi y€xi ⋅x1 , x2 ... xi −1 , xi +1 ... x p . Средние коэффициенты эластичности для линейной множественной регрессии рассчитываются по формуле: Э ухi = bi xi . Средние показатели эластичности показывают, на сколько процентов изменится y в среднем результат с изменением соответствующего фактора на один процент при неизменном действии других факторов. Средние показатели эластичности можно сравнивать друг с другом и соответственно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат Частные коэффициенты (или индексы) корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов, включенных в уравнение регрессии. Величина, рассчитываемая формулой: ryx 2 − ryx1 ⋅ rx1x 2 ryx 2⋅ x1 = (1 − ryx2 1 )(1 − rx21x 2 ) называется индексом частной корреляции для фактора х2: Аналогично определяется индекс частной корреляции для фактора x1. ryx1⋅ x 2 = ryx1 − ryx 2 ⋅ rx1x 2 (1 − ryx2 2 )(1 − rx21x 2 ) Вопросы для самоконтроля: 1. Что такое мультиколлинеарность факторов и как её определить и устранить? 2. Какие переменные называются фиктивными? 3.Как вводятся фиктивные переменные в модель множественной регрессии? 4.Что показывают и как строятся частные уравнения регрессии? 5. Что характеризуют средние и частные показатели эластичности? 6. Как рассчитываются средние и частные показатели эластичности? 7. Что характеризуют частные коэффициенты корреляции? 8. Как рассчитываются частные коэффициенты корреляции? Рекомендуемая литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5. Ежеманская С.Н. «Эконометрика», Ростов-на-Дону «Феникс», 2003г 6. Кремер Н.Ш., Бутко Б.А. «Эконометрика» М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002г. Лекция №8 Тема: Статистическая значимость коэффициентов линейной регрессии. Содержание лекции. 1. Оценка практической значимости уравнения регрессии. Скорректированный коэффициент детерминации. 2. Оценка значимости уравнения множественной регрессии по F-критерию Фишера. 3. Оценка значимости коэффициентов регрессии. Цель: Дать порядок проведения оценки практической значимости уравнения регрессии, статистической оценки значимости уравнения и параметров множественной регрессии. 1. Оценка практической значимости уравнения регрессии Практическая значимость множественной регрессии оценивается с помощью индекса множественной корреляции. Индекса множественной корреляции оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат и определяется следующим образом: R yx1x2 ... x p = 1 − 2 σ ост σ у2 . Границы его изменения от 0 до 1. Чем ближе его значение к 1, тем теснее связь результативного признака со всем набором исследуемых факторов. Для расчета индекса множественной корреляции можно воспользоваться и другой формулой: R yx1x2 ... x p = 1 − где ∑ (у − у€ ∑ (у − у) ) 2 х1 х2 ... х р 2 у - фактические значения результативного показателя; - значения результативного показателя, рассчитанные по уравнению регрессии; - среднее значение результативного показателя. Индекс множественной корреляции для уравнения в стандартизованном масштабе можно определить следующим образом: R yx1 x2 ... x p = ∑ β i ryxi где β i - стандартизованные коэффициенты регрессии; ryxi - парные коэффициенты корреляции между результативным признаком и соответствующим фактором х. Скорректированный индекс множественной детерминации содержит поправку на число степеней свободы и рассчитывается по формуле: R€2 = 1 − (1 − R 2 ) (n − 1) ( n − m − 1) 2.Оценка значимости уравнения множественной регрессии по F-критерию Фишера. Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью F-критерия Фишера: R2 n − m −1 . F= ⋅ 1− R2 m Если Fтабл < Fфакт, то Н0 - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается статистическая значимость и надежность. Если Fтабл > Fфакт, то гипотеза Н0 принимается и признается статистическая незначимость и ненадежность уравнения регрессии. Во множественной регрессии оценивается значимость не только уравнения в целом, но и фактора, дополнительно включенного в регрессионную модель. Необходимость такой оценки связана с тем, что не каждый фактор, вошедший в модель, может существенно увеличивать долю объясненной вариации результативного признака. Кроме того, при наличии в модели нескольких факторов они могут вводиться в модель в разной последовательности. Мерой для оценки включения фактора в модель служит частный F– критерий, т. е. Fxi . В общем виде для фактора xi частный F– критерий определяется как: Fx = i R yx2 1 ... xi ... x p − R yx2 1 ... xi −1 xi +1 ... x p n − m − 1 ⋅ 1 1 − R yx2 1 ... xi ... x p Фактическое значение частного F– критерия сравнивается с табличным при 5% или 1% уровне значимости и числе степеней свободы 1 и n-m-1. Если фактическое значение Fxi превышает табличное, то дополнительное включение фактора в модель статистически оправдано и коэффициент чистой регрессии bi при факторе xi статистически значим. Если же фактическое значение Fxi меньше табличного, то дополнительное включение в модель фактора xi не увеличивает существенно долю объясненной вариации признака y, следовательно, нецелесообразно его включение в модель, коэффициент регрессии при данном факторе в этом случае статистически незначим. 3. Оценка значимости коэффициентов регрессии. Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии с помощью t– критерия Стьюдента сводится к вычислению значения: t = bi = F bi xi mbi Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t – статистики, принимаем и отвергаем гипотезу Н0. Если tтабл < tфакт то Н0 отклоняется, т.е. a, b, r не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если tтабл > tфакт, то гипотеза Н0 принимается и признается случайная природа формирования a, b, r. Вопросы для самоконтроля: 1. Как рассчитывается индекс множественной корреляции? 2. С какой целью и каким образом рассчитывается скорректированный индекс множественной корреляции? 3. Как определяется индекс множественной корреляции для уравнения в стандартизованном масштабе? 4.Как рассчитывается F-критерий Фишера для уравнения множественной регрессии? 5.С какой целью рассчитывается частный F-критерий Фишера? 6. Как проводится оценка значимости параметров уравнения множественной регрессии? Рекомендуемая литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5.Бережная Е.В., Бережной В.И. "Математические методы моделирования экономических систем" М: Финансы и статистика, 2003 6.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. "Эконометрика. Начальный курс" М: Дело, 1998 Лекция № 9 Тема: Нелинейные эконометрические модели. Содержание лекции. 1. Классификация нелинейных регрессионных моделей. 2. Порядок оценки параметров нелинейной регрессии. Преобразование переменных. 3. Коэффициенты эластичности 4. Корреляция для нелинейной регрессии. 5. Оценивание производственных функций. Цель: Дать виды моделей нелинейноых регрессий, методы оценки параметров нелинейной регрессии, понятие коэффициента эластичности и формулы их расчета для основных моделей нелинейных регрессий. 1. Классификация нелинейных регрессионных моделей. В случае, когда между экономическими явлениями существует нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных эконометрических моделей. Различают два класса нелинейной регрессии: а) регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам; в) регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам. К первому классу моделей относятся следующие функции: 1) полиномы разных степеней y = a + bx + cx 2 + ε , y = a + bx + cx 2 + dx 3 + ε и т.д. 2) равносторонняя гипербола y = a + b +ε . x Ко второму классу моделей относятся: y = a ⋅ xb ⋅ ε x 2) показательная y = a ⋅ b ⋅ ε a +bx 3) экспоненциальная y = e ⋅ε 1) степенная 2. Порядок оценки параметров нелинейной регрессии. Оценка параметров нелинейной регрессии производится методом наименьших квадратов, предварительно модель следует привести к линейному виду. Например, в равносторонней гиперболе вида y€x = a + b 1 заменив на z получим x x линейное уравнение регрессии y€ = a + bz , оценка параметров которого может быть дана МНК. Система нормальных 1 ∑ y = na + b∑ x уравнений составит: ∑ y = a ∑ 1 + b ∑ 1 x x x2 y = a + bx + cx 2 + ε приводится к линейному виду путем замены х через х1, а х2 через х2. Тогда получим двухфакторное уравнение линейной регрессии: y = a + bx1 + cx2 + ε . Для оценки параметров параболы Парабола второго порядка второго порядка по методу наименьших квадратов строится система нормальных уравнений: ∑ у = п ⋅ а + b ∑ x + c ∑ x 2 2 3 ∑ yx = a ∑ x + b∑ x + c ∑ x 2 2 3 4 ∑ yx = a ∑ x + b ∑ x + c ∑ x Решение её возможно методом определителей: a = ∆a ; b = ∆b ; c = ∆c , где ∆ - определитель системы; ∆a, ∆b, ∆c ∆ ∆ ∆ частные определители для каждого из параметров. 3. Коэффициенты эластичности В степенной функции y = a ⋅ x ⋅ ε параметр b является коэффициентом эластичности. Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1%. Например, если зависимость b спроса от цены характеризуется уравнением вида: у€х = 105,56 ⋅ х снижается в среднем на 1,12%. −1,12 то, следовательно, с увеличением цены на 1% спрос Формула для расчета коэффициента эластичности имеет вид: Э = f ′( x) x , где f ′(x ) - первая производная, y характеризующая соотношение приростов результата и фактора для соответствующей формы связи. Формулы расчета коэффициентов эластичности для наиболее распространенных типов уравнений регрессий: Первая производная, у ′ Вид функции, у Линейная у = а + b ⋅ x + ε Парабола второго y = a + bx + cx 2 + ε b +ε x b Степенная y = a ⋅ x ⋅ ε 1 Обратная у = а +b⋅x +ε Гипербола y = a + b порядка b + 2⋅c⋅ x −b x2 a ⋅ b ⋅ x b −1 −b (a + b ⋅ x) 2 Коэффициент эластичности, х у b⋅ x Э= a +b⋅ x (b + 2 ⋅ c ⋅ x ) ⋅ x Э= a + b ⋅ x + c ⋅ x2 −b Э= a⋅x+b Э=b Э = у′ Э= −b⋅x a +b⋅ x В силу того, что коэффициент эластичности для линейной функции не является величиной постоянной, а зависит от соответствующего значения х, то обычно рассчитывается средний показатель эластичности по формуле: 4. Корреляция для нелинейной регрессии. Уравнение нелинейной регрессии дополняется индексом корреляции: Э = b⋅ x . y R xy = 1 − 2 σ ост , где σ у2 2 σ у2 - общая дисперсия результативного признака у; σ ост - остаточная дисперсия. Величина данного показателя находится в границах 0 ≤ R ≤ 1 . Чем ближе к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно найденное уравнение регрессии. 2 Оценка значимости уравнения нелинейной регрессии проводится с помощью F-критерия Фишера: F = R ⋅ n − m − 1 , 1− R2 где m 2 R - индекс детерминации, n- число наблюдений, m – число параметров при переменных х. Если Fфакт > Fтабл , то признается статистическая значимость и надежность уравнения регрессии. Если Fфакт < Fтабл , то признается статистическая незначимость и ненадежность уравнения регрессии. 5. Оценивание производственных функций. Производственная функция представляет собой математическую модель, характеризующую зависимость объёма выпускаемой продукции от факторов производства. При этом модель может быть построена как для отдельной фирмы и отрасли, так и для всей национальной экономики. Рассмотрим производственную функцию, включающую два фактора производственную функцию, включающую два фактора производства: затраты капитала К и трудовой затраты L,определяющие объём выпуска Q. Тогда можно записать: Q=f(K,L). Рассмотрим производственную функцию Кобба-Дугласа, которая для двух факторов производства имеет вид: Q = A ⋅ K α ⋅ Lβ , где A, α , β - параметры модели. Величина А зависит от единиц измерения Q, K, L, а также от эффективности производственного процесса. При фиксированных значениях K и L функции, характеризующейся большей величиной параметра А, соответствует большее значение Q, следовательно, и производственный процесс, описываемый такой функцией, более эффективен. Параметры α и β называют коэффициентами эластичности. Они показывают, на сколько процентов в среднем изменится Q, если αи β увеличить соответственно на 1%. Можно предположить, что обе величины α и β находятся между нулем и единицей. Они должны быть положительными, так как увеличение затрат производственных факторов должно вызвать рост объема выпуска. Скорее всего, они будут меньше единицы, так как разумно предположить, что рост объема выпуска происходит медленнее, чем рост производственных затрат, если другие факторы остаются постоянными. Вопросы для самоконтроля: 1. Какие виды моделей относятся к регрессиям, нелинейным по оцениваемым параметрам, включенных в анализ объясняющих переменных, но линейным по оцениваемым параметрам? 2. Какие виды моделей относятся к регрессиям, нелинейным по оцениваемым параметрам? 3. Как определяются параметры моделей нелинейных регрессий? 4. Что показывает средний коэффициент эластичности? 5.Как рассчитываются средние коэффициенты эластичности для наиболее распространенных типов уравнений регрессий? 6. Как рассчитывается индекс корреляции, и что он означает? 7. С помощью какого показателя проверяется качество построенного уравнения нелинейной регрессии? Рекомендуемая литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5. Ежеманская С.Н. «Эконометрика», Ростов-на-Дону «Феникс», 2003г 6. Кремер Н.Ш., Бутко Б.А. «Эконометрика» М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002г. Лекция № 10 Тема: Гетероскедастичность Содержание лекции. 1. Причины возникновения и последствия гетероскедастичности. 2. Тесты для оценки гетероскедастичности. Цель: Дать понятия гомоскедастичности и гетероскедастичности остатков, а также характеристику тестов для оценки гетероскедастичности. 1. Причины возникновения и последствия гетероскедастичности. При построении модели, например, линейного вида y€x = a + b1 x1 + b2 x 2 + ... + b p x p случайная величина ε представляет собой ненаблюдаемую величину. Для разных спецификаций модели разности ( у − у€х ) между теоретическими и фактическими значениями могут меняться. В задачу регрессионного анализа входит не только построение самой модели, но и исследование случайных отклонений εi т.е. остаточных величин. После построения уравнения регрессии проводится проверка наличия у оценок εi некоторых свойств. Эти свойства оценок, полученных МНК, имеют очень важное практическое значение в использовании результатов регрессии и корреляции. Коэффициенты регрессии bi, найденные на основе системы нормальных уравнений и представляющие собой выборочные оценки характеристики силы связи, должны обладать свойством несмещености. Несмещенность оценки означает, что математическое ожидание остатков равно нулю. Это означает, что найденный параметр регрессии bi, можно рассматривать как среднее значение возможных значений коэффициентов регрессии с несмещенными оценками остатков. Для практических целей важны, не только несмещенность, но и эффективность оценок. Оценки считаются эффективными, если они характеризуются наименьшей дисперсией. Для того, чтобы доверительные интервалы параметров регрессии были реальными, необходимо, чтобы оценки были состоятельными. Состоятельность оценок характеризует увеличение их точности с увеличением объема выборки. Исследования остатков εi предполагают проверку наличия следующих пяти предпосылок МНК: -случайный характер остатков; - нулевая средняя величина остатков, не зависящая от хi; - гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения εi одинакова для всех значений х; -отсутствие автокорреляции остатков. Значения остатков εi распределены независимо друг от друга; - остатки подчиняются нормальному распределению. В соответствии с третьей предпосылкой МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это значит, что для каждого значения фактора хj остатки εi имеют одинаковую дисперсию. Если это условие применения МНК не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреляции ошибок рекомендуется традиционный МНК заменять обобщенным МНК. 2. Тесты для оценки гетероскедастичности. Для установления явления гетероскедастичности существуют ряд тестов: 1)тест Голдфелда-Кванта; 2) тест ранговой корреляции Спирмена; 3) тест Уайта; 4) тест Глезера; 5) тест Парка. Наиболее популярным является тест Голдфелда-Кванта. Данный тест используется для проверки следующего типа гетероскедастичности: когда среднее квадратическое отклонение случайной составляющей σ i = σ (ε i ) пропорционально значению признака-фактора хi в том наблюдении, т.е. σ i2 = σ 2 ⋅ x i2 , i = 1, 2,...., n . Тест Голдфелда-Кванта состоит в следующем: 1)упорядочение п наблюдений по мере возрастания переменной х; 2) исключение из рассмотрения С центральных наблюдений; при этом (п-С):2>р, где р – число оцениваемых параметров; 3) разделение совокупности из (п-С) наблюдений на две группы соответственно с малыми и большими значениями фактора х и определение по каждой из групп уравнений регрессий; 4) определение остаточной суммы квадратов для первой S1 и для второй S2 групп и нахождения их отношения R=S1:S2 (или R=S2:S1, в числителе должна быть наибольшая из сумм квадратов отклонений). При выполнении нулевой гипотезы о гомоскедастичности отношение R будет удовлетворять F-критерию со степенями свободы ((п-С-2р):2) для каждой остаточной суммы квадратов. Чем больше величина R превышает табличное значение F-критерия, тем больше нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин (если Fтабл > Fкр, то гетероскедастичность имеет место). Вопросы для самоконтроля: 1. Что такое гомоскедастичность и гетероскедастичность остатков? 2. Какие тесты применяются ля оценки гетероскедастичности? Рекомендуемая литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5. Ежеманская С.Н. «Эконометрика», Ростов-на-Дону «Феникс», 2003г 6. Кремер Н.Ш., Бутко Б.А. «Эконометрика» М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002г. Лекция №11 Тема: Динамический ряд. Содержание лекции. 1. Основные элементы временных рядов. Виды моделей временного ряда. 2. Автокорреляция уровней временного ряда. 3. Аналитическое выравнивание временного ряда. Основные виды трендов. Цель: Дать понятие временного ряда, основные элементы временного ряда, порядок построения автокорреляционной функции временного ряда; понятие аналитического выравнивания временного ряда, виды функций для построения трендов. 1. Основные элементы временных рядов. Виды моделей временного ряда. Эконометрическую модель можно построить, используя два типа исходных данных: 1 данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент (период) времени; 2 данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов (периодов) времени. Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными моделями. Модели, построенные на основе второго типа данных, называются моделями временных рядов. Временный ряд - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы: факторы, формирующую тенденцию ряда; 1 факторы, формирующие циклические колебания ряда 2 случайные факторы При различных сочетаниях в изучаемом процессе этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать различные формы. Во-первых, большинство временных рядов экономических показателей имеют, тенденцию характеризующую совокупное, долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию. Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени года. Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты. В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда - выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов. 2. Автокорреляция уровней временного ряда. При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Одна из рабочих формул для расчета коэффициента корреляции имеет вид: r xy = ∑ (x ∑ (x j − x ) * ( y − y) j − x) * ∑ ( y j − y) 2 j 2 В качестве переменной х мы рассмотрим ряд y2, y3,…, y8; в качестве переменной y - ряд y1, y2,… y7. Тогда приведенная n выше формула примет вид: где y1 = n r 1 = Σ ( yt − y1 ) ∗ ( yt −1 − y 2 ) t =2 Σ (y n t =2 ) 2 t n ( − y1 * ∑ y t −1 − y 2 ∑y n t t =2 n −1 ; y2 = ∑y t −1 t =2 n −1 ) 2 t =2 Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда t и t-1. Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляций, уменьшается. Некоторые авторы считают целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило максимальный лаг должен быть не больше (n/4). Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой. Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а, следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда. 3. Аналитическое выравнивание временного ряда. Основные виды трендов. Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда. Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функции. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции: 1 yˆ t = a + b ∗ t ; линейный тренд: форме степенной 2 2.гипербола: функции yˆ t = a ∗ t ; b 1 yˆ t = a + b / t ; 3.экспоненциальный тренд: yˆ t = e a +b∗t ; 4.тренд в 5.парабола второго и более высоких порядков yˆ t = a + b1 ∗ t ;+b2 ∗ t + bk ∗ t Существуют несколько способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространенных способов относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчет некоторых основных показателей динамики. В этих же целях же можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровнем ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни yt и yt-1 тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов. Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем k перебора основных форм трендов, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации выбора уравнения тренда с максимальным значением коэффициента детерминации. Вопросы для самоконтроля: R2 и 1.Какие типы данных используются при построении эконометрических моделей? 2. Структура временного ряда. 3. Дайте определение автокорреляции уровней временного ряда. 4. Как рассчитывается коэффициент автокорреляции уровней временного ряда. 5. С какой целью строится коррелограмма? 6.Что называется аналитическим выравниванием временного ряда? 7. Какие виды трендов существуют? 8. Как определить параметры трендов с помощью анализа данных Excel? Рекомендуемая литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5. Ежеманская С.Н. «Эконометрика», Ростов-на-Дону «Феникс», 2003г 6. Кремер Н.Ш., Бутко Б.А. «Эконометрика» М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002г. Лекция №12 Тема: Динамический ряд. Содержание лекции. 1.Аддитивная и мультипликативная модели временного ряда. Этапы построения моделей. 2.Построение аддитивной и мультипликативной моделей временного ряда. Цель: Дать порядок построения аддитивной и мультипликативной моделей временного ряда и определения прогнозного значения по построенной модели. 1.Аддитивная и мультипликативная модели временного ряда. Этапы построения моделей. Существуют несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания. Простейший подход - расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда. Общий вид аддитивной модели следующий:Y= T+S+E Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (Т), сезонной (S) и случайной (Е) компонент. Общий вид мультипликативной модели следующий:Y= T*S*E Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой (Т), сезонной (S) и случайной (Е) компонент. Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T,S и E для каждого уровня ряда. Процесс построения модели включает в себя следующие шаги. 1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней. 2. Расчет значений сезонной компоненты S. 3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (T+E) в аддитивной или (T*E) в мультипликативной модели. 4. Аналитическое выравнивание уровней (Т+Е) или (Т*Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда. 5. Расчет, полученных по модели значений (T+S) или (T * S). 6. Расчет абсолютных и /или относительных ошибок. 2.Построение аддитивной и мультипликативной моделей временного ряда. Пример. Пусть имеются поквартальные данные о прибыли компании за 3 года. Год Квартал I II III IV 1 72 100 90 64 2 70 92 80 58 3 62 80 68 48 Построить мультипликативную модель временного ряда. Для построения мультипликативной модели временного ряда необходимо: 1) Провести выравнивание временного ряда методом скользящей средней. 2) Найти оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (графа 6). Расчет оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели № Прибыль, Скользящая Центрированная Оценка сезонной квартала, Yt средняя за 4 скользящая компоненты t квартала средняя 1 72 2 100 81,5 3 90 81,0 81,25 1,108 79,0 80,00 0,800 4 64 5 70 76,5 77,75 0,900 75,75 1,215 6 92 75,0 7 80 73,0 74,00 1,081 8 58 70,0 71,50 0,811 68,50 0,905 9 62 67,0 10 11 12 80 64,5 65,75 1,217 68 48 Найденные оценки используются для расчета сезонной компоненты S. Для этого находятся средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты Si. Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле (в примере равно 4). Расчет сезонной компоненты Показатели Год № квартала I II III IV 1 1,108 0,800 2 0,900 1,215 1,081 0,811 3 0,905 1,217 Итого за квартал 1,805 2,432 2,189 1,611 Средняя оценка сезонной 0,9025 1,216 1,0945 0,8055 компоненты Скорректированная сезонная 0,8983 1,2104 1,0895 0,8018 компонента, Si Имеем: 0,9025+1,216+1,0945+0,8055=4,0185. Определим корректирующий коэффициент: k=4:4,0185=0,9954. Определим скорректированные значения сезонной компоненты, умножив её средние оценки на корректирующий коэффициент S i = S i ⋅ k 3) Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Получим величины T*E=Yt/Si, которые содержат только тенденцию и случайную компоненту. Расчет выравненных значений Т и ошибок в мультипликативной модели t Yt Si T*E=Yt/Si T T*S E=Yt-(T*S) E2 -4,306 18,545 80,15 94,94 0,943 1 72 0,8983 82,87 0,996 -0,304 0,092 2 100 1,2104 82,62 1,022 1,977 3,908 90 1,0895 82,61 80,79 3 0,784 0,8018 79,92 78,71 1,014 0,886 4 64 76,64 1,016 1,155 1,334 5 70 0,8983 77,92 1,019 1,749 3,062 1,2104 76,01 74,56 6 92 1,026 1,054 73,43 72,48 1,013 7 80 1,0895 2,390 70,41 1,027 1,546 8 58 0,8018 72,34 1,010 0,617 0,381 9 62 0,8983 69,02 68,33 -0,195 0,038 80 0,2104 66,09 66,25 0,997 10 62,41 64,17 0,972 -1,923 3,698 11 68 1,0895 62,10 0,964 -1,793 3,217 48 0,8018 59,86 12 4) Определить компоненту Т. Для этого рассчитываются параметры линейного тренда, используя уровни (Т*Е). Уравнение тренда имеет следующий вид: Т=87,022-2,076t. Подставляя в это уравнение значения t=1,2,…12 найти уровни Т для каждого момента времени. 5) Найти уровни временного ряда, умножив уровни Т на значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов. 6) Расчет ошибки в мультипликативной модели производится по формуле E=Yt-(T*S) (графа 7). Пусть необходимо дать прогноз прибыли в течение первого полугодия следующего года. Прогнозное значение Ft уровня временного ряда в мультипликативной модели есть произведение трендовой и сезонной компоненты. Для определения трендовой компоненты следует воспользоваться уравнением тренда Т=87,022-2,076t. Т13=87,022-2,076*13=60,034. Т14=87,022-2,076*14=57,958. Значения сезонной компоненты S1=0,8983; S2=1,2104. F13= Т13* S1=60,034*0,8983=53,928 F14= Т14* S2=57,958*1,2104=70,152 Прогноз ожидаемой прибыли компании на первое полугодие составит: 53,928+70,152=124,080 тыс. у.ед. Вопросы для самоконтроля: 1. Какая модель временного ряда называется аддитивной? 2. Какая модель временного ряда называется мультипликативной? 3. Перечислить этапы построения аддитивной и мультипликативной моделей временного ряда? 4.Как рассчитывается скорректированная сезонная компонента в мультипликативной модели временного ряда? 5. Как рассчитывается прогнозное значение по мультипликативной модели временного ряда? Рекомендуемая литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5.Бережная Е.В., Бережной В.И. "Математические методы моделирования экономических систем" М: Финансы и статистика, 2003 6.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. "Эконометрика. Начальный курс" М: Дело, 1998 Лекция №13 Тема: Динамический ряд. Содержание лекции. 1. Специфика статистической оценки взаимосвязи двух временных рядов. 2. Методы исключения тенденции. 3. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона. Цель: Дать специфику статистической оценки взаимосвязи двух временных рядов, характеристику методам исключения тенденции во временных рядах и определении автокорреляции в остатках. 1. Специфика статистической оценки взаимосвязи двух временных рядов. Рассмотрим, как сказывается наличие тенденции, циклической и случайной компонент на результатах корреляционно-регрессионного анализа временных рядов данных. Предварительный этап такого анализа заключается в выявлении структуры временных рядов. Если было выявлено, что временные ряды содержат сезонные колебания, то в дальнейшем необходимо устранить сезонную компоненту, поскольку её наличие приведет к завышению истинных показателей силы и тесноты связи изучаемых временных рядов в случае, если оба ряда содержат циклические колебания одинаковой периодичности, либо к занижению этих показателей в случае, если сезонные колебания содержат только один из рядов или периодичность колебаний в рассматриваемых временных рядах различна. Устранение сезонной компоненты можно проводить при помощи построения аддитивной и мультипликативной модели. В дальнейшем пусть временные ряды не содержат периодических колебаний. Допустим, изучается зависимость между рядами х и у. Для количественной характеристики этой зависимости используется линейный коэффициент корреляции. Если временные ряды имеют тенденцию, то коэффициент автокорреляции будет высоким. Высокий коэффициент автокорреляции есть результат того, что х и у зависят то времени, или имеют тенденцию. При этом одинаковую или противоположную тенденцию могут иметь ряды, совершенно не связанные друг с другом причинноследственной зависимостью. Для того чтобы получить коэффициенты корреляции, характеризующие причинно-следственную связь между изучаемыми рядами, следует избавиться от ложной корреляции, вызванной наличием тенденции в каждом ряде. Это осуществляют с помощью одного из методов исключения тенденции. 2. Методы исключения тенденции. Сущность всех методов исключения тенденции заключается в том, чтобы устранить или зафиксировать воздействие фактора времени на формирование уровней ряда. Основные методы исключения тенденции можно разделить на две группы: 1) методы, основанные на преобразовании уровней исходного ряда в новые переменные, не содержащие тенденции. Полученные переменные используются далее для анализа взаимосвязи временных рядов. Эти методы предполагают непосредственное устранение трендовой компоненты Т из каждого уровня временного ряда. Два основных метода в данной группе - это метод последовательных разностей и метод отклонений от трендов; 2) методы, основанные на изучении взаимосвязи исходных временных рядов при элиминировании воздействия фактора времени на зависимую и независимую переменные модели. В первую очередь это метод включения в модель регрессии по временным рядам фактора времени. Метод отклонений от тренда предполагает вычисление трендовых значений для каждого временного ряда модели, например у€t и x€t , и расчет отклонений от трендов: y t − у€t и xt − x€t . Для дальнейшего анализа используют не исходные данные, а отклонения от тренда. Метод последовательных разностей заключается в следующем: если ряд содержит линейный тренд, тогда исходные данные заменяются первыми разностями: ∆ t = y t − y t −1 = b + (ε t − ε t −1 ) ; если параболический тренд – вторыми разностями: ∆ t = ∆ t − ∆ t −1 = 2 ⋅ b2 + (ε t − 2 ⋅ ε t −1 + ε t − 2 ) . В случае экспоненциального и степенного тренда 2 метод последовательных разностей применяется к логарифмам исходных данных. Модель, включающая фактор времени, имеет вид у t = a + b1 ⋅ xt + b2 ⋅ t + ε t . Параметры модели а и b модели определяются обычным МНК. 3.Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона. Автокорреляция в остатках - корреляционная зависимость между значениями остатков εt за текущий и предыдущие моменты времени. Для определения автокорреляции остатков используют критерий Дарбина-Уотсона и расчет n величины: d= ∑ (ε t − ε t −1 ) 2 t =2 n ∑ε , 0≤d ≤4 . Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется по формуле: 2 t t =1 n r1ε = ∑ε t ⋅ ε t −1 t =2 n ∑ε , − 1 ≤ r1ε ≤ 1 . Критерий Дарбина-Уотсона и коэффициент автокорреляции остатков первого порядка связаны 2 t t =1 соотношением: d ≈ 2(1 − r1ε ) . Вопросы для самоконтроля: 1.Какие существуют методы исключения тенденции во временном ряде? 2. Охарактеризовать метод последовательных разностей? 3. Как рассчитывается коэффициент автокорреляции? Рекомендуемая литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5. Ежеманская С.Н. «Эконометрика», Ростов-на-Дону «Феникс», 2003г 6. Кремер Н.Ш., Бутко Б.А. «Эконометрика» М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002г. Лекция № 14 Тема: Система одновременных уравнений Содержание лекции. 1. Виды систем уравнений эконометрических моделей. 2. Структурная и приведенная формы моделей. 3. Проблема идентификации. Виды структурных моделей с позиции идентифицируемости. Цель: Дать основные виды систем уравнений эконометрических моделей, а характеристику структурной и приведенной формам моделей, понятие идентификации, классификацию моделей с позиции идентифицируемости. 1. Виды систем уравнений эконометрических моделей. Отдельно взятое уравнение множественной регрессии не может характеризовать истинные влияния отдельных признаков на вариацию результирующей переменной. Именно поэтому важное место заняла проблема описания связей между переменными системы так называемых одновременных уравнений, называемых также структурными уравнениями. Например, если изучается модель спроса как соотношение цен и количества потребляемых товаров, то одновременно для прогнозирования спроса необходима модель предложения товаров, в которой рассматривается также взаимосвязь между количеством и ценой предлагаемых благ. Это позволяет достичь равновесия между спросом и предложением. Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному. Возможна система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная (у) рассматривается как функция одного и того же набора факторов (х): y1 = a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1m x m + ε 1 y = a x + a x + ... + a x + ε 2 21 1 22 2 2m m 2 .......... .......... .......... .......... .......... .. y n = a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + a nm x m + ε n Каждое уравнение системы независимых уравнений можно рассматриваться самостоятельно. Для нахождения его параметров используется метод наименьших квадратов. Однако, если зависимая переменная выступает в виде фактора х в другом уравнении, то исследователь может строить модель в виде системы рекурсивных уравнений: y1 = a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1m x m + ε 1 y = b y + a x + a x ... + a x + ε 21 1 21 1 22 2 2m m 2 2 y 3 = b31 y1 + b32 y 2 + a 31 x1 + a 32 x 2 + ... + a 3m x m + ε 3 ..................................................................... y n = bn1 y1 + bn 2 y 2 + ... + bnn−1 y n −1 + a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + a nm x m + ε n В данной системе зависимая переменная у включает в каждое уравнение в качестве факторов все зависимые переменные предшествующих уравнений наряду с набором собственно факторов х. Каждое уравнение также может рассматриваться самостоятельно, и его параметры определяются методом наименьших квадратов. Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях получила система взаимозависимых уравнений. В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях – в правую часть системы. y1 = b12 y 2 + b13 y 3 + ... + b1n y n + a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x1n + ε 1 y = b y + b y + ... + b y + a x + a x + ... + a x + ε 2 21 1 23 3 2n n 21 1 22 2 2n 2n 2 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... y n = bn1 y1 + bn 2 y 2 + ... + bnn −1 y n −1 + a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + a nm x m + ε n Система взаимозависимых уравнений получила название системы совместных, одновременных уравнений. Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные (у) одновременно рассматриваются как зависимые переменные в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений называется также структурной формой модели. В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный метод наименьших квадратов не применим. 2. Структурная и приведенная формы модели. Система совместных, одновременных уравнений обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные. Эндогенные переменные обозначены в приведенной ранее системы одновременных уравнений как у. Это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе. Экзогенные переменные обозначаются обычно как х. Это предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них. Простейшая структурная форма модели имеет вид: у1 = b12 y 2 + a11 x1 + ε y 2 = b21 y1 + a22 x2 + ε где у - эндогенные переменные х - экзогенные переменные Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Структурная форма модели в правой части содержит при эндогенных и экзогенных переменных коэффициенты bi и a j ( bi -коэффициент при эндогенной переменной, a j - коэффициент при экзогенной переменной), которые называются структурными коэффициентами модели. Все переменные в модели выражены в отклонениях от среднего уровня, т. е. под х подразумевается х − х , а под у – соответственно у − у . Поэтому свободный член в каждом уравнении отсутствует. Использование метода наименьших квадратов для оценивания структурных коэффициентов модели дает смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели. Приведенная форма модели представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных. у ˆ 1 = δ 11 х1 + δ 12 х 2 + ... + δ 1m x m y = δ x + δ x + ... + δ x ˆ2 21 1 22 2 2m m .......... .......... .......... .......... ..... yˆ n = δ n1 x1 + δ n 2 x 2 + ... + δ nm x m где δ ij - коэффициенты приведенной формы модели. 3. Проблема идентификации. Виды структурных моделей с позиции идентифицируемости. При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация – это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели. Структурная модель в полном виде, состоящая в каждом уравнении системы из n эндогенных и m экзогенных переменных, содержит n*(n-1+m) параметров. Приведенная форма модели должна содержить n*m параметров. С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида: 1) идентифицируемые; 2) неидентифицируемые; 3) сверхидентифицируемые. Модель идентифицируема, если все структурные её коэффициенты определяются однозначно, по коэффициентам приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты модели оцениваются через параметры приведенной формы модели и модель идентифицируема. Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели. Структурная модель, содержащая n эндогенных и m экзогенных предопределенных переменных в каждом уравнении системы, всегда неидентифицируема. Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы модели получить два и более значений одного структурного коэффициента. Выполнение условия идентифицируемости модели проверяется для каждого уравнения системы. Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных отсутствующих в данном уравнении системы, но присутствующих в системе, было бы равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного. Если обозначить число эндогенных переменных в j-м уравнении системы через H, а число экзогенных переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение – через D, то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила: D+1=H - уравнение идентифицируемо; D+1<H - уравнение неидентифицируемо; D+1>H - уравнение сверхдентифицируемо. Для оценки параметров структурной модели система должна быть идентифицируема или сверхидентифицируема. Рассмотренное счетное правило отражает необходимое, но недостаточное условие идентификации. Более точно условия идентификации определяются, если накладывать ограничения на коэффициенты матриц параметров структурной модели. Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного. Вопросы для самоконтроля: 1. Как строится система независимых уравнений? 2. Как строится система рекурсивных уравнений? 3. Как строится система взаимозависимых уравнений? 4. Какие переменные называются эндогенными и экзогенными? 5. Как строится приведенная форма модели? 6. Каким методом оцениваются параметры приведенной формы модели? 7. Что такое идентификация? 8. Какие существуют виды моделей с позиции идентифицируемости? 9. Как формулируется счетное правило идентифицируемости уравнения? Рекомендуемая литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5.Бережная Е.В., Бережной В.И. "Математические методы моделирования экономических систем" М: Финансы и статистика, 2003 6.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. "Эконометрика. Начальный курс" М: Дело, 1998 Лекция № 15 Тема: Система одновременных уравнений Содержание лекции. 1. Методы оценивания коэффициентов структурной модели. 2. Применение косвенного метода наименьших квадратов. 3. Применение ДМНК к простейшей сверхидентифицируемой модели. Цель: Дать характеристику основным методам оценивания коэффициентов структурной модели. 1. Методы оценивания коэффициентов структурной модели. Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами, в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение получили следующие методы оценивания коэффициентов структурной модели: 1) косвенный МНК; 2) двухшаговый МНК; 3) трехшаговый МНК; 4) метод максимального правдоподобия с полной информацией; 5) метод максимального правдоподобия при ограниченной информации. Косвенный МНК применяется для идентифицируемой системы одновременных уравнений, а двухшаговый МНК используется для оценки коэффициентов сверхидентифицируемой модели. Метод максимального правдоподобия рассматривается как наиболее общий метод оценивания, результаты которого при нормальном распределении признаков совпадают м МНК. Однако при большом числе уравнений системы этот метод приводит к достаточно сложным вычислительным процедурам. Поэтому в качестве модификации используется метод максимального правдоподобия при ограниченной информации. В данном методе сняты ограничения на параметры, связанные с функционированием системы в целом. Это делает решение более простым, но трудоемкость вычислений остается достаточно высокой. 2. Применение косвенного метода наименьших квадратов. Процедура применения КМНК предполагает выполнение следующих этапов работы: Структурная модель преобразовывается в приведенную форму модели. Для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты. Коэффициенты приведенной формы модели трансформируются в параметры структурной модели. 3. Применение ДМНК к простейшей сверхидентифицируемой модели. Если система сверхидентифицируема, то КМНК не используется, т.к. он не дает однозначных оценок для параметров структурной модели. В этом случае могут использоваться разные методы оценивания, среди которых наиболее распространенный и простым является двухшаговый метод наименьших квадратов. Основная идея ДМНК – на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащиеся в правой части уравнения. Далее, подставив их вместо фактических значений можно применить обычный МНК к структурной форме. Метод получил название двухшагового МНК, т.к. дважды используется МНК: на первом шаге при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной и на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов модели по данным теоретических (расчетных) значений эндогенных переменных. Сверхидентифицируемая структурная модель может двух типов: 1) все уравнения системы сверхидентифицируемы; 2) система содержит сверхидентифицируемые и идентифицируемые уравнения. Если все уравнения системы Сверхидентифицируемые, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений. Вопросы для самоконтроля: 1.Какие существуют методы для оценивания коэффициентов структурной модели? 2. В каком случае применяется косвенный метод наименьших квадратов? 3. Основные этапы применения косвенного МНК. 4. В каком случае применяется двухшаговый метод наименьших квадратов? 5. Основные этапы применения двухшагового МНК. Рекомендуемая литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5.Бережная Е.В., Бережной В.И. "Математические методы моделирования экономических систем" М: Финансы и статистика, 2003 6.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. "Эконометрика. Начальный курс" М: Дело, 1998 6.Планы семинарских (практических) занятий 1. Лабораторная работа № 1 Тема: Сведения из теории вероятностей и математической статистики Содержание занятия. 1. Построение закона распределения случайной величины. 2. Расчет числовых характеристик случайной величины. 3. Расчет выборочных числовых характеристик случайной величины. Литература:[4] стр17-23, [3] стр3-13, [5]стр5-17, [10]стр237-253 2. Лабораторная работа № 2 Тема: Сведения из теории вероятностей и математической статистики Содержание занятия 1. Применение основных законов распределения случайных величин 2. Расчет точечных и интервальных оценок случайных величин Литература: [3] стр14-28, [4] стр28-33, [10] стр273-278 Содержание СРСП: Решение задач №14-16 [3] стр28 Литература: [3] стр28 Лабораторная работа №3 Тема: Проверка статистических гипотез Содержание занятия. Применение законов распределения случайных величин при проверке статистических гипотез (распределение Стьюдента, χ 2 -распределение, распределение Фишера) Литература: [4] стр39-50, [10] стр 304-307 Содержание СРСП: Решение задач №3-5 [10] стр308 Литература: [10] стр308 Лабораторная работа № 4 Тема: Парная линейная регрессия и корреляция. Содержание занятия. 1. Расчет параметров парной регрессии по методу наименьших квадратов. 2. Расчет линейного коэффициента корреляции и коэффициента детерминации. Литература: [1] стр41-48, [3] стр 55-64, [5] стр141-147, [11] стр3-6 Содержание СРСП: Решение задач №1-2 [10] стр291-292 Литература: [10] стр291-292 Лабораторная работа № 5 Тема: Парная линейная регрессия и корреляция. Содержание занятия: 1. Дисперсионный анализ результатов регрессии. 2. Статистическая оценка значимости уравнения и параметров уравнения линейной регрессии. 3.Оценка качества построенной модели с помощью средней ошибки аппроксимации 4.Использование статистической функции ЛИНЕЙН и программы анализ данных для определения параметров регрессии. Литература: [1] стр48-57, [2] стр6-9, [3] стр89-114, [11] стр7-11 Содержание СРСП: Решение задачи №3.9 [3] стр100 Литература: [2] стр35, [3] стр100 Лабораторная работа №6 Тема: Модель множественной линейной регрессии. Содержание занятия: 1.Оценка параметров уравнения множественной регрессии методом наименьших квадратов. 2. Решение задачи № 6[2] стр82 Литература: [1] стр105-109, 112-120, [4] стр81-84 Содержание СРСП: Решение задачи № 7 [2] стр82 Литература: [1] стр105-109, 112-120, [4] стр81-84 Лабораторная работа №7 Тема: Мультиколлинеарность. Фиктивные переменные. Содержание занятия. 1. Введение фиктивных переменных в уравнение множественной регрессии. 2. Расчет частных коэффициентов корреляции. Литература: [1] стр155-169, [3] стр200-216, стр262-282 Содержание СРСП: Решение задач №7.1-7.2 [3] стр209-210, №18,19 пункт 4 [2] стр89 Литература: [1] стр155-169, [3] стр200-216, [2] стр89 Лабораторная работа №8 Тема: Статистическая значимость коэффициентов линейной регрессии. Содержание занятия: 1. Оценка практической значимости уравнения регрессии. Скорректированный коэффициент детерминации. 2. Оценка значимости уравнения множественной регрессии по F-критерию Фишера. 3. Оценка значимости коэффициентов регрессии. 4. Решение задач №15-16 [2] стр87 Литература: [1] стр129-141, [3] стр159-163, [4]стр85-86 Лабораторная работа №9 Тема: Нелинейные эконометрические модели. Содержание занятия: 1. Определение параметров нелинейной регрессии. 2. Оценка качества построенной модели нелинейной регрессии. Литература: [1] стр62-87, [3] стр115-129, [4] стр77-81 Лабораторная работа № 10 Тема: Гетероскедастичность. Содержание занятия. 1. Причины возникновения и последствия гетероскедастичности. 2. Применение тестов для оценки гетероскедастичности. Литература: [1] стр155-169, [3] стр200-216, стр262-282 Лабораторная работа № 11 Тема: Динамический ряд. Содержание занятия. 1. Расчет автокорреляции уровней временного ряда. 2. Расчет параметров трендов. Литература: [1] стр234-239,[2] стр138-139 Лабораторная работа №12 Тема: Динамический ряд. Содержание занятия. 1.Построение аддитивной и мультипликативной моделей временного ряда. 2.Прогнозирование по аддитивной и мультипликативной моделям. Литература: [1] стр239-255,[2] стр137 Лабораторная работа № 13 Тема: Динамический ряд. Содержание занятия. 1. Применение методов исключения тенденции. 2. Автокорреляция в остатках. Расчет критерия Дарбина-Уотсона. Литература: [1] стр263-278, [2] стр139-140 Лабораторная работа №14 Тема: Система одновременных уравнений Содержание занятия. 1. Определение параметров структурной модели на основе приведенной формы модели 2. Проверка структурной модели на идентификацию. Литература: [1] стр185-193, [3] стр332-337, [2] стр108-110 Лабораторная работа №15 Тема: Система одновременных уравнений Содержание занятия. 1. Применение косвенного метода наименьших квадратов. 2. Применение ДМНК к простейшей сверхидентифицируемой модели. Литература: [1] стр200-204,[2] стр113-115, [8] стр30-341 7. Методические указания по изучению дисциплины Методические указания по проведения СРСП Неделя 1 СРСП 1 Тема: Предмет эконометрики. Сведения из теории вероятностей и математической статистики Цель: Проверить уровень знаний студентов по основам эконометрики Форма проведения: выступления с минидокладами Задание № 1. Ответьте на вопросы: 1.Типы данных в эконометрическом исследовании. 2.Виды эконометрических моделей. 3.Закон распределения случайной величины. 4.Выборочные числовые характеристики Задание №2. Выполните тест: d) формулировка задачи, решение задачи на ЭВМ, 1. Дайте определение эконометрики. внедрение решения. a) эконометрика- это статистико-математический анализ e) построение модели, графическое решение модели, экономических отношений; анализ полученного решения. b) эконометрика - это взаимосвязь экономических 5. Кто являются основателями науки " эконометрика"? процессов и явлений; a) В. Петти, Г. Кинг; c) эконометрика - это анализ экономических явлений и b) И. Фришер, Р. Фриш, Я. Тинберген; процессов; c) Э. Маленво, Дж. Латхилл; d) эконометрика - это аналитический анализ d) Р. Беннини, К. Жюгляр; экономических отношений; e) Ф.Гальтон, П.Цьемпа e) эконометрика - это качественный анализ 6. Какие основные классы моделей используются в экономических отношений; эконометрических исследованиях? 2. В чем заключается основная задача эконометрического a) временные модели, тренды, модели авторегрессии; анализа? b) модели временных рядов, регрессионные модели с a) в отыскании фактических значений результативного одним уравнением, системы одновременных уравнений; признака; c) стационарные модели, регрессионные модели; b) в отыскании случайной величины е; d) пространственные модели, временные модели; c) в построении уравнения парной или множественной e) линейные модели, нелинейные, временные регрессии; 7.В каком этапе построения эконометрической модели d) в отыскании значений коэффициентов формируется цель исследования, набор участвующих в эконометрической модели, обеспечивающих модели экономических переменных? наименьшую величину е. a) В постановочном e) в построении системы одновременных уравнений. b) В априорном 3. Что является основой эконометрических методов? c) В параметризации модели a) статистическое наблюдение; d) В идентификации модели b) теория вероятностей; e) В верификации модели c) экономическая модель; 8. В каком этапе построения эконометрической модели d) уравнение регрессии. осуществляется выбор общего вида модели, выявление e) результаты хозяйственной деятельности входящих в нее связей? 4. Какие основные этапы включает эконометрический a) В параметризации эксперимент? b) В априорном a) постановка задачи, построение модели, c) В постановочном аналитическое решение, проверка модели; d) В информационном b) формулировка задачи, построение модели, решение e) В верификации модели модели на ЭВМ, анализ полученного решения; c) постановочный, априорный, параметризация, информационный, идентификация модели, верификация модели; Методические рекомендации: Составить письменный конспект (минидоклад) по вопросам (задание № 1) и выступить на СРСП, согласно плану. Ответить на тестовые задания в конце занятия для закрепления материала. Литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 3.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 4.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. "Эконометрика. Начальный курс" М: Дело, 1998 СРСП 2 Тема: Сведения из теории вероятностей и математической статистики Цель: Проверить уровень знаний студентов в умении строить закон распределения случайных величин и находить числовые характеристики. Форма проведения: решение задач Задание № 1. Решите следующие задачи: №1Предприниматель размышляет над тем, куда лучше вложить деньги – в киоск для торговли мороженым или в палатку для торговли хлебобулочными изделиями. Вложение средств в киоск с вероятностью 0,5 обеспечит годовую прибыль 5 тыс. долларов, с вероятностью 0,2 – 10 тыс. долларов и с вероятностью 0,3 – 3 тыс. долларов. Для палатки прогноз таков: 5,5 тыс. долларов с вероятностью 0,6; 5 тыс. долларов с вероятностью 0,3 и 6,5 тыс. долларов с вероятностью 0,1. В каком случае математическое ожидание годового дохода больше? №2 Найти математическое ожидание и дисперсию случайно величины Z=8X-5Y+7, если даны M(X)=3, M(Y)=2, D(X)=1,5, D(Y)=1 и известно, что X и Y независимые величины. №3 Вероятностный прогноз для величины Х – процентного изменения стоимости акций по отношению к их текущему курсу в течение шести месяцев – дан в виде закона распределения: Хi 0 5 10 15 20 25 30 Pi 0 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 Найти функцию распределения процентного изменения стоимости акций и построить её график №4 Выборочная совокупность задана таблицей распределения. Найти выборочные числовые характеристики. xi 1 2 3 4 ni 20 15 10 5 Задание №2. Выполните тест: 1. Какие виды случайных величин вы знаете? 4. Какие основные числовые характеристики случайной a) Стандартные и нестандартные величины вы знаете? b) Непрерывные и периодические a) дисперсия, стандартное отклонение; c) Дискретные и непрерывные b) математическое ожидание, стандартное отклонение; d) Выборочные и дискретные c) математическое ожидание, дисперсия; e) Статистические и математические d) выборочная дисперсия, среднеквадратическое 2. Какая случайная величина называется дискретной? отклонение; a) если в результате испытания она может принять e) выборочная средняя, математическое ожидание. значение из счетного множества возможных 5. Какое число называется средним математическим числовых значений; ожиданием? b) если в результате испытания случайная величина a) среднеарифметическое значение случайных величин; может принять непрерывное значение из некоторого b) среднегеометрическое значение случайных величин; диапазона; c) число, принимаемое случайной величиной в больших c) если в результате испытания случайная величина сериях испытаний; может принять бесконечное число значений; d) число, определяемое как частное от деления суммы d) если в результате испытания случайная величина значений случайных величин на число наблюдений может принять заранее известное значение из числа e) выборочное среднее значение случайной величины. возможных значений; 6. Дайте определение дисперсии. e) если в результате испытания случайная величина a) дисперсия - это квадратный корень из может принять значение из непрерывного диапазона. среднеквадратического отклонения; 3. Как записывается основное свойство функции b) дисперсия - это степень отклонения случайной распределения случайной величины Х? величины от ее математического ожидания; c) дисперсия - это разность между математическим a) − 1 ≤ F ( x ) ≤ 1 ожиданием и значением случайной величины; b) F ( x ) ≥ 0 d) дисперсия - это произведение квадрата значения c) 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 случайной величины на ее вероятность e) дисперсия - это сумма случайной величины и ее d) F ( x ) ≤ 0 вероятности e) − 1 ≤ F ( x ) ≤ 0 Методические рекомендации: Выполнить задания в соответствии с условием (задание № 1). Ответить на тестовые задания в конце занятия для закрепления материала. Литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5.Бережная Е.В., Бережной В.И. "Математические методы моделирования экономических систем" М: Финансы и статистика, 2003 Неделя 2 СРСП 3 Тема: Сведения из теории вероятностей и математической статистики Цель: Проверить уровень знаний студентов в умении применять основные законы распределения случайных величин. Форма проведения: решение задач Задание № 1.Решите следующие задачи: №1 Автобусы пребывают на остановку через 5 минут. Какова вероятность того, что время ожидания автобуса не превысит 4 минуты? №2 Техническая система состоит из пяти независимо друг от друга функционирующих узлов. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение числа отказа узлов, если вероятность отказа любого из них равна 0,2 (биномиальное распределение). №3 На базу отправлено 10000 изделий. Вероятность того, что изделие в пути получит повреждение, равна 0,0003. Найти вероятность того, что на базу прибудут 4 поврежденных изделия. №4 Объем продаж товара в течение месяца есть случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения с параметрами х =500 и σ х = 120 д.ед. Определите вероятность продажи товара в течение одного месяца на сумму от 480до 600 д.ед. Задание №2. Выполните тест: 1. Какими параметрами характеризуется биномиальное распределение случайных величин? a) Количеством испытаний п и вероятностью наступления события А – р b) Математическим ожиданием М(Х) и дисперсией D(Х) c) Параметром λ и вероятностью наступления события А –р d) Вероятностью наступления события А – р и вероятностью ненаступления события А – q e) Среднеквадратическим отклонением σ х и математическим ожиданием М(Х) 2. Каким параметром характеризуется закон распределения Пуассона? a) случайной величиной у; b) дисперсией D(X); c) средним значением М(Х); d) среднеквадратическим отклонением σ ; e) случайной величиной х. 3. Какими параметрами характеризуется закон распределения Фишера? a) b) f1 ; числами степеней свободы f 1 и f 2 ; числом степеней свободы c) генеральными дисперсиями d) дисперсией σ1и σ 2; s ( x ) и среднеквадратическим отклонением 2 σ x; e) числом наблюдений п. 4. Какие необходимо знать параметры, чтобы задать нормальное распределение случайной величины? a) x, σ с) М ( Х ), σ d ) D( X ), σ е) D ( X ), х 5. Как записывается показательное распределение случайной величины Х? a) f (x ) = λ ⋅ l b) f ( x ) = λ ⋅ σ x l −λ f ( x) = λ ⋅ l − λ ⋅x λ ⋅x d) f ( x ) = l − l⋅ x e) f ( x ) = λ c) Методические рекомендации: Выполнить задания в соответствии с условием (задание № 1). Ответить на тестовые задания в конце занятия для закрепления материала. Литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Бережная Е.В., Бережной В.И. "Математические методы моделирования экономических систем" М: Финансы и статистика, 2003 СРСП 4 Тема: Сведения из теории вероятностей и математической статистики Цель: Проверить уровень знаний студентов в умении строить доверительные интервалы. Форма проведения: решение задач Задание № 1. Решите следующие задачи: №1 Производительность труда рабочих некоторого цеха является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 90 кг за смену и стандартным отклонением 15 кг за смену. Вычислите долю рабочих, производительность которых: 1) лежит в промежутке от 80 до 110 кг за смену; 2) превышает 110 кг за смену; 3) не менее 80 кг; 4) какой следует установить норму дневной выработки, чтобы 90% рабочих её выполнили. №2 Произведена выборка объема п=1000 штук. 120 из них оказались бракованными. Найти доверительный интервал доли бракованных изделий в генеральной совокупности для доверительной вероятности р=99% №3 Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность работы лампы из выборки оказалась равной 1000 ч. Найти 95% доверительный интервал для средней продолжительности работы лампы, случайно выбранной из всей партии, если время работы является нормально распределенной случайной величиной со стандартным отклонением 40 ч. Задание №2. Выполните тест: e) Статистическая оценка должна быть смещенной и не 1. Какие виды оценок существуют? иметь систематической ошибки. a) Эффективные и неэффективные 3. Какая статистическая оценка называется несмещенной? b) Точечные и интервальные a) Если она имеет наименьшую дисперсию: c) Несмещенные и смещенные d) Состоятельные и несостоятельные D(θ * ) = Dmin e) Доверительные и вероятностные b) Если её математическое ожидание равно оцениваемому 2. Какими свойствами должна обладать статистическая * параметру: М (θ ) = θ оценка? a) Статистическая оценка должна быть смещенной и c) Оценка, которая дает точное значение для большой точной. * выборки: P θ − θ < δ → 1 b) Статистическая оценка должна быть несмещенной, эффективной и состоятельной. d) Если она имеет наименьшее математическое ожидание: c) Статистическая оценка должна иметь наименьшую M (θ * ) = M min дисперсию. e) Если ее дисперсия равна оцениваемому параметру: d) Статистическая оценка не должна иметь D (θ * ) = θ систематической ошибки и иметь наименьшую дисперсию. 4. Какая оценка называется интервальной? ( ) a) Числовое значение параметра θ , полученное по выборке объема п. b) Функция результатов наблюдения над случайной величиной Х, с помощью которой судят о значениях параметра θ . c) Интервал (θ1 , θ 2 ) внутри, которого с наперед заданной вероятностью γ находится точное значение a) Числовое значение параметра θ , полученное по выборке объема п. b) Интервал (θ1 , θ 2 ) внутри, которого с наперед заданной вероятностью γ находится точное значение оцениваемого параметра θ c) Функция результатов наблюдения над случайной величиной Х, с помощью которой судят о значениях параметра θ . d) Интервал, в котором находится оцениваемый параметр θ. оцениваемого параметра θ d) Интервал, в котором находится оцениваемый параметр θ. 5. Какая оценка называется точечной? Методические рекомендации: Выполнить задания в соответствии с условием (задание № 1). Ответить на тестовые задания в конце занятия для закрепления материала. Литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5.Бережная Е.В., Бережной В.И. "Математические методы моделирования экономических систем" М: Финансы и статистика, 2003 Неделя 3 СРСП 5 Тема: Проверка статистических гипотез Цель: Проверить уровень знаний студентов в умении применять основные законы распределения при проверке статистических гипотез Форма проведения: решение задач Задание № 1. Решите следующие задачи: №1 Игральный кубик бросили 60 раз, при этом числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 выпали соответственно 12, 9, 13, 11, 8, 7 раз. Можно ли на 5% уровне значимости отвергнуть гипотезу о симметричности кубика? №2 Трое рабочих работают на трех одинаковых станках. В конце смены первый рабочий изготовил 60 деталей, второй – 80, третий – 100 деталей. Можно ли на уровне значимости α = 0,05 принять гипотезу о том, что производительности труда первых двух рабочих равны между собой и в 2 раза меньше производительности третьего рабочего? №3 Станок, работающий со стандартным отклонением σ = 0,5 мм, производит детали средней длины а=20 мм. В случайной выборке объема п=16 деталей средняя длина Х = 19,8 мм. Правильно ли настроен станок? Доверительная вероятность р=99%. №4 Производитель утверждает, что средний вес плитки шоколада не меньше а=50 гр. Инспектор отобрал 10 плиток шоколада и взвесил. Их вес оказался 49, 50, 51, 52, 48, 47, 49, 52 48, 51г соответственно. Не противоречит ли это утверждение производителя? Предполагается, что вес плитки шоколада распределен нормально. Доверительная вероятность р=95%. Задание №2. Выполните тест: 1. Дайте определение статистической гипотезы. c) процесс сравнения истинной гипотезы со a) предположение о том, что случайная величина значениями случайных величин называется подчиняется определенному закону распределения, проверкой гипотезы; называется статистической гипотезой; d) процесс сопоставления нуль-гипотезы с b) предположение о том, что случайная величина теоретическими значениями результативного подчиняется закону распределения Фишера (Fпризнака называется проверкой гипотезы критерий), называется статистической гипотезой; e) процесс сравнения истинной гипотезы с c) предположение о том, что случайная величина результативными значениями случайных величин подчиняется закону распределения Стьюдента (tназывается проверкой гипотезы; тест), называется статистической гипотезой; 3. Какая оценка называется статистической? d) предположение о том, что случайная величина a) статистической оценкой неизвестного параметра подчиняется закону распределения Гаусса, теоретического распределения называют функцию от называется статистической гипотезой наблюдаемых случайных величин; e) предположение о том, что случайная величина b) статистической оценкой неизвестного параметра подчиняется биномиальному закону распределения, теоретического распределения называют оценку, у называется статистической гипотезой которой математическое ожидание равно нулю; 2. Что называется проверкой гипотезы? c) статистической оценкой неизвестного параметра a) процедура сопоставления случайных величин теоретического распределения называют оценку, называется проверкой гипотезы; которая имеет наименьшую дисперсию; b) проверка гипотезы - это процедура сопоставления d) статистической оценкой неизвестного параметра высказанной гипотезы с выборочными данными; теоретического распределения называют оценку, которая стремится по вероятности к оцениваемому параметру; e) статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют оценку, которая имеет наименьшее математическое ожидание. 4. Что называется уровнем значимости при проверке статистических гипотез? a) вероятность попадания случайной величиной в область R 0 , соответствующую нуль - гипотезе; b) вероятность попадания случайной величиной в область R1 , соответствующую истинной гипотезе; c) значение, определяемое при сравнении нуль гипотезы и истинной гипотезы d) вероятность попадания случайной величины в критическую область e) значение определяемое при сравнении выдвинутой гипотезы с табличными значениями 5. Какой интервал называется доверительным? a) интервал, который позволяет установить точность оценки; b) интервал, который позволяет установить надежность оценки; c) интервал θ * − δ ; θ * + δ , который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью γ ; ( ) d) интервал, который удовлетворяет неравенству θ −θ * > δ ; e) интервал, вероятность которого равна надежности оценки γ . 6. Каким образом записывается n a ) χ = ∑U 2 mi2 b) χ = ∑ i =1 npi i =1 c) χ 2 = ∑ (1 − U i ) 2 i =1 n е) χ 2 = ∑ (U i ) r 2 2 i r χ 2 -распределение? n (1 − U i )2 i −1 npi d )χ = ∑ 2 2 npi 7. Какие ошибки могут возникнуть при проверке статистических гипотез? a) Ошибки спецификации модели. b) Систематические ошибки. c) Ошибки измерений. d) Ошибка первого рода, ошибка второго рода. e) Ошибки выборки. 8. В чем состоит ошибка первого рода при проверке статистических гипотез? a) В том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза. b) В том, что будет принята нулевая гипотеза, в то время как в действительности верна альтернативная гипотеза. c) В том, что альтернативная гипотеза будет исправлена. d) В том, что правильная гипотеза будет исправлена. i −1 Методические рекомендации: Выполнить задания в соответствии с условием (задание № 1). Ответить на тестовые задания в конце занятия для закрепления материала. Литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Бережная Е.В., Бережной В.И. "Математические методы моделирования экономических систем" М: Финансы и статистика, 2003 5. Ежеманская С.Н. «Эконометрика», Ростов-на-Дону «Феникс», 2003г 6. Кремер Н.Ш., Бутко Б.А. «Эконометрика» М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002г. СРСП 6 Тема: Проверка статистических гипотез Цель: проверить уровень знаний студентов в умении рассчитывать числовые характеристики случайных величин, строить функцию распределения и применять основные законы распределения случайных величин. Форма проведения: индивидуальная лабораторная работа №1 Решите следующие задачи: Вариант № 1 Задача 1.Дан ряд распределения случайной величины Х: Хi 1 3 4 5 7 Pi 0,05 0,10 0,30 0,50 0,05 Необходимо: 1) найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации; 2) определить функцию распределения F(x) и построить ее график; 3) найти вероятность попадания случайно величины в интервал [0,6). Задача 2. Объем продаж товара в течение месяца есть случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения с параметрами х =500 и σ х =120 д.ед. Определите вероятность продажи товара в течение одного месяца на сумму от 480 до 600 д.ед. Вариант № 2 Задача 1. Дан ряд распределения случайной величины Х: Хi 0 1 2 4 5 Pi 0,1 0,15 0,25 0,3 0,2 Необходимо: 1) найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации; 2) определить функцию распределения F(x) и построить ее график; 3) найти вероятность попадания случайной величины в интервал [1,6). Задача 2. Предприятие имеет 5 станков по производству камня работающих независимо дуг от друга. Вероятность отказа любого из них р=0,25. Определите параметры закона биномиального распределения случайной величины число отказов станков. Вариант № 3 Задача 1. Дан ряд распределения случайной величины Х: Хi 2 4 5 6 Pi 0,2 0,35 0,25 0,2 Необходимо: 1) найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации; 2) определить функцию распределения F(x) и построить ее график; 3) найти вероятность попадания случайной величины в интервал [0,5). Задача 2. Производительность труда рабочих некоторого цеха является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 90 кг за смену и стандартным отклонением 15 кг за смену. Вычислите долю рабочих, производительность которых лежит в промежутке от 80 до 110 кг. Вариант № 4 Задача 1. Дан ряд распределения случайной величины Х: Хi 0 2 4 6 Pi 0,1 0,2 0,4 0,3 Необходимо: 1) найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации; 2) определить функцию распределения F(x) и построить ее график; 3) найти вероятность попадания случайной величины в интервал [3,6). Задача 2. Объем продаж товара в течение месяца есть случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения с параметрами х =400 и σ х =100 д.ед. Определите вероятность продажи товара в течение одного месяца на сумму от 400 до 550 д.ед. Методические рекомендации: Индивидуальная лабораторная работа выполняется в отдельных тетрадях. Выполненная работа должна содержать условия задач, формулы, соответствующие расчеты. График функции распределения должен быть выполнен аккуратно, с помощью линейки, в увеличенном масштабе, иметь соответствующие надписи. Литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5. Ежеманская С.Н. «Эконометрика», Ростов-на-Дону «Феникс», 2003г 6. Кремер Н.Ш., Бутко Б.А. «Эконометрика» М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002г. Неделя №4 СРСП 7 Тема: Парная линейная регрессия и корреляция. Цель: Проверить уровень знаний студентов по вопросам спецификации парной регрессионной модели и задачам корреляционно-регрессионного анализа. Форма проведения: выступления с минидокладами Задание № 1. Ответьте на вопросы: 1.Виды зависимостей между экономическими явлениями и процессами. 2.Регрессия. Виды регрессий. 3.Корреляция. Виды корреляций. 4.Задачи корреляционного и регрессионного анализа. Задание № 2. Выполните тест: b) Коэффициент детерминации. 1. Какие виды зависимостей между переменными c) Аппроксимация. существуют? d) Ковариация. a) математическая, стохастическая; e) Дисперсия. b) вероятностная, корреляционная; 4. Что относится к ошибкам спецификации модели? c) функциональная, статистическая; a) Неоднородность исходных данных. d) регрессионная, математическая; b) Невозможность сбора полной исходной информации e) линейная, регрессионная для построения модели. 2. Что включает понятие «спецификация модели»? c) Использование множественной регрессионной модели a) Построение регрессионной модели методом вместо парной. наименьших квадратов. d) Неправильный выбор вида математической функции. b) Формулировку вида модели, исходя из 5. Что относится к ошибкам выборки при построении соответствующей теории связи между переменными. эконометрической модели? c) Отбор факторов для построения регрессионной модели. a) Неоднородность исходных данных. d) Использование множественной регрессионной модели b) Неправильный выбор вида математической функции. вместо парной. c) Невозможность сбора полной исходной информации 3.Какой показатель является абсолютной мерой для построения модели. взаимосвязи между переменными? a) Коэффициент корреляции. d) Использование множественной регрессионной модели вместо парной. Методические рекомендации: Составить письменный конспект (минидоклад) по вопросам (задание № 1) и выступить на СРСП, согласно плану. Ответить на тестовые задания в конце занятия для закрепления материала. Литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5.Бережная Е.В., Бережной В.И. "Математические методы моделирования экономических систем" М: Финансы и статистика, 2003 6.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. "Эконометрика. Начальный курс" М: Дело, 1998 СРСП 8 Тема: Парная линейная регрессия и корреляция. Цель: Проверить уровень знаний студентов в умении строить модель парной регрессии. Форма проведения: решение задач Задание № 1. Решите следующие задачи: №1 Торговое предприятие имеет сеть, состоящую из 12 магазинов, информация о деятельности которых представлена в таблице: № Годовой Торговая Среднее число магазина товарооборот, посетителей в день, площадь, тыс. тыс.чел. млн. тенге м2 0,24 8,25 1 19,76 10,24 2 38,09 0,31 3 40,95 0,55 9,31 41,08 0,48 11,01 4 0,78 8,54 5 56,29 0,98 7,51 68,51 6 12,36 75,01 0,94 7 1,21 10,81 8 89,05 9,89 9 91,13 1,29 13,72 91,26 1,12 10 99,84 1,29 12,27 11 1,49 13,92 12 108,55 Требуется: Построить диаграммы рассеяния годового товарооборота (у) в зависимости от торговой площади (х1) и среднего числа посетителей в день (х2) и определить форму связи между результирующим показателем (у) и каждым фактором (х1 и х2) №2 Фирма провела рекламную компанию. Через 10 недель фирма решила проанализировать эффективность этого вида рекламы, сопоставив недельные объемы продаж (у, тыс.тенге) с расходами на рекламу (х, тыс. тенге). Полагая, что между переменными х, у имеет место линейная зависимость, определить выборочное уравнение линейной регрессии. х 5 8 6 5 3 9 12 4 3 10 у 72 76 78 70 68 80 82 65 62 90 Найти ожидаемое значение еженедельного объема продаж у при расходах на рекламу х=5,5 тыс. тенге. Задание № 2. Выполните тест: 1. Методы представления математической функции в d) Связь между рассматриваемыми признаками слабая и парной регрессии. прямая a) графический, экспериментальный; e) Связь между рассматриваемыми признаками средняя и b) статистический, аналитический; обратная. c) экспериментальный, статистический, аналитический; 4.В чем заключается смысл параметра b в уравнении d) графический, аналитический, экспериментальный. парной линейной регрессии? e) линейный, графический a) величина параметра b показывает среднее изменение 2.В чём заключается суть линейного коэффициента результата с изменением фактора на единицу; корреляции? b) величина параметра b показывает среднее изменение a) оценивает параметр a; фактора-признака; b) оценивает меру влияния y на x; c) величина параметра b показывает среднее изменение c) оценивает параметр b; фактического значения y; d) оценивает тесноту связи между признаками; d) величина параметра b показывает среднее изменение e) оценивает меру влияния а на x; расчетных значений yx при изменении параметра a. 3. Величина линейного коэффициента корреляции e) величина параметра b показывает отклонение составила 0,92. Что это означает? расчетных значений yx от фактического значения y a) Связь между рассматриваемыми признаками очень 5. Что характеризует коэффициент детерминации? тесная и прямая. a) долю остаточной дисперсии в общей дисперсии результативного признака; b) Связь между рассматриваемыми признаками средняя и прямая. b) тесноту связи между факторами; c) величину отклонения факторных и расчетных c) Связь между рассматриваемыми признаками тесная и значений результативного признака; обратная. d) долю дисперси8 результат8вного призйака e) долю факторной дисперсии в общей дисперсии объясняемую регрессией в >бщей дисперсии результативного признака. результативного признака; Мет>дические рекомендациИ: Выполнить задания в соответствии с условием (задание № 1). Ответить на тестовые задания в конце занятия для закрепления материала. Литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5.Бережная Е.В., Бережной В.И. "Математические методы моделирования экономических систем" М: Финансы и статистика, 2003 СРСП 9 Тема: Парная линейная регрессия и корреляция. Цель: Проверить уровень знаний студентов в умении проверять статистическую значимость уравнения и параметров регрессии Форма проведения: решение задач Задание № 1. Решить следующие задачи: №1 Зависимость объема продаж (у, тыс.тенге) от расходов на рекламу (х, тыс. тенге) характеризуется по 12 предприятиям концерна следующим образом: у=10,6+0,6х σ х = 4,7 σ у = 3,4 Требуется: 1. Определить коэффициент корреляции. 2. Оценить значимость уравнения регрессии. 3. Определить стандартную ошибку коэффициента регрессии. 4. Оценить значимость коэффициента регрессии. №2 Пусть имеется следующая модель регрессии, характеризующая зависимость у от х: у=8-7х. Известно также, что rxy=0,5; n=20. Постройте доверительный интервал для коэффициента регрессии. Задание № 2 Выполните тест: 1.Как определятся параметр b для уравнения линейной 4. С помощью какого показателя определяется теснота регрессии? связи между признаками в парной линейной регрессии? a) Коэффициент детерминации yx − y ⋅ x a)b = b) Индекс детерминации n c) Линейный коэффициент корреляции b )b = y − a ⋅ x d) Индекс множественной корреляции c )b = y x − y ⋅ x e) Частный коэффициент корреляции 5. С помощью какого показателя определяется значимость yx − y ⋅ x уравнения регрессии? d )b = 2 x − x2 a) F-критерия Фишера b) t-критерия Стьюдента y⋅x е)b = 2 c) Ошибки аппроксимации 2 x −x d) Коэффициента корреляции 2. Величина коэффициента детерминации для e) Индекс корреляции построенного уравнения регрессии составила 0,87. Что 6. С помощью какого показателя определяется значимость это означает? параметров уравнения регрессии? a) Уравнением регрессии объясняется 13% дисперсии a) Ошибки аппроксимации результативного признака. b) Коэффициента корреляции b) Уравнением регрессии объясняется 0,87% дисперсии c) t-критерия Стьюдента результативного признака. d) Индекс корреляции c) Уравнением регрессии объясняется 87% дисперсии e) F-критерия Фишера результативного признака. 7. Что означает данное выражение Fфакт < F табл? d) На долю не учтенных в модели факторов приходится a) Уравнение регрессии статистически значимо и 87%. надежно e) На долю не учтенных в модели факторов приходится b) Параметры уравнения регрессии статистически 0,87%. значимы и надежны 3. На основе какого анализа проводится проверка c) Параметры уравнения регрессии статистически не значимости уравнения регрессии? значимы и не надежны a) Статистического анализа. d) Уравнение регрессии статистически не значимо и не b) Дисперсионного анализа. надежно c) Корреляционного анализа. e) Линейный коэффициент корреляции статистически d) Факторного анализа. незначим и не надежен e) Ковариационного анализа. Методические рекомендации: Выполнить задания в соответствии с условием (задание № 1). Ответить на тестовые задания в конце занятия для закрепления материала. Литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5.Бережная Е.В., Бережной В.И. "Математические методы моделирования экономических систем" М: Финансы и статистика, 2003 6.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. "Эконометрика. Начальный курс" М: Дело, 1998 СРСП 10 Тема: Парная линейная регрессия и корреляция. Цель: Проверить уровень знаний студентов в умении строить модель парной регрессии и анализировать полученные результаты. Форма проведения: выполнение индивидуального задания Задание № 1. Выполните индивидуальную лабораторную работу №2 на построение парной линейной регрессионной модели. 1. Постройте линейное уравнение парной регрессии у от х. 2. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации. 3. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество построенной модели. 4. Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессии. 5. Оцените статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью t–статистики Стьюдента и расчета доверительных интервалов каждого из показателей. Вариант № 1 Номер Прожиточный минимум, тыс. Среднемесячная зарплата, тыс. региона тенге, х тенге, у 1 15 25 2 18 30 3 25 45 4 13 27 5 20 35 6 40 75 7 23 54 8 25 60 9 30 85 10 20 70 11 33 42 12 24 55 13 10 27 14 14 40 15 22 30 Вариант № 2 Номер Среднедушевой прожиточный минимум Среднедневная заработная плата, региона в день одного трудоспособного, тенге, х тенге, у 1 230 530 400 2 190 250 340 3 4 210 370 520 5 300 6 350 670 270 480 7 690 8 410 9 250 380 170 360 10 11 190 400 470 12 270 Вариант № 3 Расходы на оплату жилья, Семья Доход семьи, тыс. д.ед., х тыс.д.ед., у 1 25 7 8 2 35 3 20 6 4 40 9 5 33 7 6 6 24 7 23 5 8 17 5 9 44 7 10 11 12 13 14 15 Вариант № 4 33 57 21 19 22 25 9 9 7 5 5 8 Расходы на питание, тыс.д.ед., у Семья Доход семьи, тыс. д.ед., х 1 28 8 2 35 13 3 42 15 4 50 19 5 33 14 6 24 12 7 15 6 8 23 10 9 44 16 10 54 19 11 27 9 12 33 12 13 25 8 14 40 15 Задание №2 Защитить выполненную индивидуальную лабораторную работу №2, ответив на следующие вопросы: 1. С помощью какого метода проводилась оценка параметров парной регрессии? 2. В чем заключается сущность метода наименьших квадратов? 3. С помощью какого показателя оценивается теснота связи между признаками? 4. Свойства линейного коэффициента корреляции? 5. Что характеризует коэффициент детерминации? 6. Порядок проведения дисперсионного анализа. 7. Как проводится статистическая оценка значимости уравнения регрессии? 8. Как проводится статистическая оценка значимости параметров уравнения регрессии и линейного коэффициента корреляции? 9. С какой целью рассчитывается средняя ошибка аппроксимации? 10.Как строятся доверительные интервалы? Методические рекомендации: Индивидуальное задание выполняется в отдельных тетрадях. Выполненное задание должно содержать исходные данные, расчетную таблицу, расчет указанных в задании показателей и анализ полученных результатов. Литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5.Бережная Е.В., Бережной В.И. "Математические методы моделирования экономических систем" М: Финансы и статистика, 2003 Неделя 6 СРСП 11 Тема: Модель множественной линейной регрессии. Цель: Проверить уровень знаний студентов в умении строить модель множественной линейной регрессии Форма проведения: решение задач Задание № 1. Решите следующую задачу: По 30 наблюдениям матрица парных коэффициентов корреляции оказалась следующей: у х1 х2 х3 у 1 х1 0,30 1 х2 0,60 0,10 1 х3 0,40 0,15 0,80 1 1. Постройте уравнение регрессии в стандартизованном виде и сделайте выводы. 2. Определите показатель множественной корреляции. 3. Оцените целесообразность включения переменной х1 в модель после введения в нее переменных х2 и х3. Задание № 2.Выполните тест: c) Коэффициент детерминации 1. С помощью какого показателя определяется теснота связи между признаками во множественной регрессии? d) Индекс множественной корреляции a) Индекс корреляции e) Частный коэффициент корреляции b) Линейный коэффициент корреляции 2. Какой показатель выражает размер изменения a) Факторы не должны быть интеркоррелированы результативного признака с изменением признакаb) Факторы не должны быть тесно связаны между собой фактора на единицу при неизменном значении других c) Факторы не должны находится в точной факторов? функциональной связи a) Частный коэффициент корреляции d) Факторы должны находится в обратной зависимости b) Линейный коэффициент корреляции e) Факторы должны находится в линейной зависимости c) Коэффициент чистой регрессии 5.В чем преимущество стандартизованных d) Коэффициент детерминации коэффициентов регрессии по сравнению с e) Средний коэффициент эластичности коэффициентами «чистой» регрессии? 3. С помощью каких показателей можно ранжировать a) Они показывают тесноту связи между результатом и факторы, участвующих во множественной регрессии? признаками a) Стандартизованных коэффициентов регрессии b) Они позволяют установить функциональную b) Коэффициентов чистой регрессии зависимость между признаками c) Средних квадратических отклонений c) С помощью них проводится отсев факторов d) Показателей парной корреляции d) По их значениям определяют мультиколлинеарность e) Индексов множественной корреляции факторов. 4. Какому требованию должны отвечать факторы, e) Сравнивая их, можно ранжировать факторы включаемые во множественную регрессию? Методические рекомендации: Выполнить задания в соответствии с условием (задание № 1). Ответить на тестовые задания в конце занятия для закрепления материала. Литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5.Бережная Е.В., Бережной В.И. "Математические методы моделирования экономических систем" М: Финансы и статистика, 2003 СРСП 12 Тема: Модель множественной линейной регрессии. Цель: Проверить уровень знаний студентов в умении строить модель множественной линейной регрессии и анализировать рассчитанные показатели. Форма проведения: выполнение индивидуальной лабораторной работы Задание № 1 Выполнить индивидуальную лабораторную работу №3 на построение множественной линейной регрессионной модели. 1.Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров. 2. Рассчитайте средние коэффициенты эластичности. 3. Определите парные коэффициенты корреляции 4. Определите стандартизованные коэффициенты регрессии и запишите уравнение регрессии в стандартизованном масштабе. 5. Сделайте вывод о силе связи результата и факторов. 6. Определите парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции. 7. Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера. Вариант № 1 Изучается зависимость основных (х1) и оборотных средств (х2) на величину валового дохода (у) торговых предприятий. Номер Валовой доход за год, Среднегодовая стоимость, млн. д.ед. предприятия млн. д.ед. Основных фондов Оборотных средств 1 203 118 105 56 2 63 28 3 45 27 54 50 63 4 113 28 5 121 56 6 108 102 50 116 54 7 110 8 106 124 42 9 105 114 36 10 230 154 106 11 160 115 88 46 12 105 98 Вариант № 2 Изучается влияние объемов производства продукции А – х1 и продукции В – х2 на величину потребления электроэнергии у (тыс. кВт в час) Номер Потребление Объем производства (тыс. единиц) предприятия электроэнергии, тыс. кВт продукции А продукции В в час 1 2500 450 40 2 1300 350 50 3 900 200 60 4 2400 150 80 200 420 100 5 180 120 6 1000 7 1500 210 40 8 800 290 50 9 750 320 80 10 650 460 60 11 580 500 30 80 12 850 310 Вариант № 3 Изучается зависимость основных (х1) и оборотных средств (х2) на величину валового дохода (у) торговых предприятий. Номер Валовой доход за год, Среднегодовая стоимость, млн. д.ед. предприятия млн. д.ед. Основных фондов Оборотных средств 1 180 120 85 2 105 75 56 3 145 95 54 4 115 50 63 120 56 28 5 50 6 110 72 7 110 86 54 8 150 105 62 9 90 75 36 10 140 94 66 95 88 11 160 90 58 46 12 Вариант № 4 Изучается влияние объемов производства продукции А – х1 и продукции В – х2 на величину потребления электроэнергии у (тыс. кВт в час) Номер Потребление Объем производства (тыс. единиц) предприятия электроэнергии, тыс. кВт продукции А продукции В в час 900 230 80 1 560 60 2 850 70 750 130 3 90 530 4 1000 450 35 5 450 60 6 1200 620 30 650 120 7 750 40 8 700 500 530 30 9 45 10 800 400 40 600 11 600 500 35 12 650 Задание №2 Защитить выполненную индивидуальную работу №3, ответив на следующие вопросы: 1. Какова основная цель построения уравнения множественной регрессии? 2. Что характеризуют коэффициенты «чистой» регрессии? 3. Что характеризуют стандартизованные коэффициенты регрессии? 4. В чем преимущество стандартизованных коэффициентов регрессии? 5. Что характеризуют средние коэффициенты эластичности? 6. Что характеризуют частные коэффициенты корреляции? 7. Что означает коллинеарность факторов и присутствует ли это явление в модели? 8. С какой целью рассчитывается F-критерий Фишера? 9. С какой целью рассчитывается множественный коэффициент корреляции? Методические рекомендации: Индивидуальное задание выполняется в отдельных тетрадях. Выполненное задание должно содержать исходные данные, расчет показателей, указанных в условии и анализ полученных результатов. Литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5.Бережная Е.В., Бережной В.И. "Математические методы моделирования экономических систем" М: Финансы и статистика, 2003 Неделя 7 СРСП 13 Тема: Мультиколлинеарность. Фиктивные переменные. Цель: Проверить уровень знаний студентов в умении строить модель множественной регрессии с фиктивными переменными Форма проведения: решение задач Задание № 1. Решить следующую задачу: 1.По данным о 20 рабочих цеха построить модель множественной регрессии: № у – заработная плата х1-возраст рабочего, х2 - пол рабочего за месяц, $ лет 1 300 29 Ж 2 400 40 М 3 300 36 Ж 4 320 32 Ж 5 200 23 М 6 350 45 М 7 350 38 Ж 8 400 40 М 9 380 50 М 10 400 47 М 11 380 28 Ж 12 250 30 М 13 350 25 И 14 200 48 М 15 400 30 Ж 16 220 40 М 17 320 40 М 18 390 38 М 19 360 29 Ж 20 260 25 М 2. Интерпретировать результаты регрессии. 3.Оценить качество построенного уравнения регрессии. Задание №2. Выполните тест: 1. Какие переменные называются фиктивными во е) F-критерия Фишера множественной регрессии? 3. Какой показатель выражает размер изменения a) переменные, сконструированные при наличии в модели результативного признака с изменением признакамультиколлинеарности факторов; фактора на единицу при неизменном значении других b) переменные, сконструированные на основе факторов? качественных факторов числовые переменные; a) Частный коэффициент корреляции c) числовые переменные, у которых дисперсия остатков b) Линейный коэффициент корреляции равна единице; c) Коэффициент детерминации d) переменные, сконструированные на основе d) Коэффициент чистой регрессии количественных факторов качественные переменные. е) Средний коэффициент эластичности е) переменные, у которых математическое ожидание 4.Какой существует метод для оценки параметров равно нулю. уравнения множественной регрессии? 2. С помощью какого показателя определяется значимость a) аналитический метод; параметров уравнения регрессии? b) метод наименьших квадратов; a) t-критерия Стьюдента c) косвенный метод; b) Ошибки аппроксимации d) экспериментальный метод. c) Коэффициента корреляции е) графический метод. d) Индекс корреляции Методические рекомендации: Построить модель множественной регрессии, включив фиктивные переменные (задание №1). Ответить на тестовые задания в конце занятия для закрепления материала. Литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. "Эконометрика. Начальный курс" М: Дело, 1998 5. Ежеманская С.Н. «Эконометрика», Ростов-на-Дону «Феникс», 2003г 6. Кремер Н.Ш., Бутко Б.А. «Эконометрика» М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002г. СРСП 14 Тема: Мультиколлинеарность. Фиктивные переменные. Цель: Проверить уровень знаний студентов в умении находить частные коэффициенты эластичности и частные коэффициенты корреляции и анализировать полученные результаты Форма проведения: решение задач Задание № 1. Решите следующую задачу: По 30 заводам, выпускающим продукцию А, изучается зависимость потребления электроэнергии у (тыс. кВт/ч) от производства продукции – х1 (тыс. ед.) и уровня механизации труда – х2 (%). Данные приведены в таблице: Признак Среднее значение Среднее квадратическое Парный коэффициент корреляции отклонение у 1000 27 ryx1=0,77 х1 420 45 ryx2=0,43 х2 41,5 18 rx1x2=0,77 1.Постройте уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабе. 2. Определите показатели частной и множественной корреляции. 3. Найдите частные коэффициенты эластичности и сравните их со стандартизованными коэффициентами регрессии. 4. Рассчитайте общий и частные F-критерии Фишера. Задание № 2. Выполните тест: a) Частный коэффициент корреляции 1.Что означает термин "мультиколлинеарность" факторов? b) Коэффициент детерминации a) это когда в уравнении парной регрессии два фактора c) Множественный коэффициент корреляции связаны нелинейной зависимостью; d) Коэффициент эластичности b) это когда в уравнении множественной регрессии e) Выборочная дисперсия 4. Какой коэффициент показывает на сколько процентов в более чем два фактора связаны между собой линейной зависимостью; среднем изменится значение результативного признака c) это когда в уравнении парной регрессии два фактора при изменении фактора х на 1 %? между собой связаны линейной зависимостью; a) Коэффициент чистой регрессии d) это когда более чем два фактора связаны нелинейной b) Средний коэффициент эластичности c) Частный коэффициент корреляции зависимостью. d) Линейный коэффициент корреляции e) это когда факторы находятся в обратной зависимости. 2. Что такое частный F-критерий? e) Коэффициент детерминации 5.Что означает коллинеарность факторов? a) это мера для оценки параметра а; a) это линейная зависимость факторов в уравнении b) это мера для оценки параметров bi уравнения множественной регрессии; регрессии; b) это нелинейная зависимость факторов в уравнении c) это мера для оценки включения фактора в множественной регрессии; модель; c) это обратная зависимость факторов в уравнении d) это мера для оценки исключения фактора из множественной регрессии; модели. d) это многофакторная зависимость в уравнении e) это мера для частного коэффициента корреляции множественной регрессии. 3. Какой показатель характеризует тесноту связи между e) это отсутствие влияния факторов в уравнении результатом и соответствующим фактором при множественной регрессии. устранении влияния других факторов включенных в регрессию? Методические рекомендации: Выполнить задание в соответствии с условием (задание №1). Ответить на тестовые задания в конце занятия для закрепления материала. Литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 Неделя 8 СРСП 15 -16 Тема: Статистическая значимость коэффициентов линейной регрессии. Цель: Проверить уровень знаний студентов в умении проводить статистическую оценку значимости множественной регрессии и анализировать полученные результаты Форма проведения: решение задач Задание № 1.Решите следующие задачи: №1 По 20 предприятиям легкой промышленности получена следующая информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции у (млн.тенге) от количества отработанных за год человеко-часов х1 (тыс. чел-ч) и среднегодовой стоимости производственного оборудования х2 (млн.тенге): Уравнение регрессии у=35+0,06х1+2,5х2 Множественный коэффициент корреляции 0,9 Сумма квадратов отклонений расчетных значений от 3000 фактических 1.Определите коэффициент детерминации 2. Составьте таблицу результатов дисперсионного анализа. 3. Проанализируйте полученные результаты регрессионного анализа №2 Зависимость потребления электроэнергии у (тыс. кВт/ч) от объемов производства продукции А – х1 (тыс. ед) и продукции В - х2 (тыс. ед) характеризуется следующим образом: Уравнение регрессии в стандартизованном масштабе t€ = 0,79t + 0,56t y x1 x2 Коэффициент детерминации 0,95 Коэффициент вариации у, Vy 27% Коэффициент вариации х1, Vx1 45% Коэффициент вариации х2, Vx2 40% 1. Сделайте выводы о силе влияния факторов на результат. 2. Учитывая значения коэффициентов вариации рассматриваемых признаков, определите частные коэффициенты эластичности, сделайте по ним выводы. 3. Оцените значимость уравнения регрессии, учитывая, что оно получено по 30 наблюдениям. Задание № 2. Выполните тест: 1. С помощью какого инструмента анализа данных в Excel σ2 можно определить значения парных коэффициентов a ) R yx1x 2... xp = 1 − ост корреляции во множественной регрессии? σ y2 a) Регрессия 2 b) Описательная статистика 1 − σ ост ) = b R c) Корреляция yx1 x 2... xp σ y2 d) Частная корреляция e) Линейная корреляция 2 c) Ryx1x 2.. xp = 1 − σ ост 2.Какой существует метод для оценки параметров уравнения множественной регрессии? σ2 d ) R yx1 x 2... xp = ост c) аналитический метод; σ y2 d) метод наименьших квадратов; c) косвенный метод; σ2 d) экспериментальный метод. е) R yx1x 2... xp = ост 2 е) графический метод. 1−σ y 3. Каким образом записывается уравнение множественной 5.Как определяется индекс множественной корреляции регрессии? для уравнения в стандартизованном масштабе? a) y = f (x ) b) y = f (x1 , x2 ,...x p ) a) R = ∑β xi ⋅ ryxi c) y = f (x12 , x22 ,...x p ) b) R = 1 − ∑ β xi ⋅ ryxi d)y = d ) R = ryx2 i − ∑ β xi ⋅ ryxi е) y = f (x1 , x2 ,...x p ) n f (x1 , x 2 ,...x p ) n−2 c) R = 1 − ∑ β xi ⋅ ryxi е) R = ∑ β xi ⋅ ryxi 4.Как определить индекс множественной корреляции? Методические рекомендации: Выполнить задание в соответствии с условием (задание №1). Ответить на тестовые задания в конце занятия для закрепления материала. Литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5.Бережная Е.В., Бережной В.И. "Математические методы моделирования экономических систем" М: Финансы и статистика, 2003 6.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. "Эконометрика. Начальный курс" М: Дело, 1998 Неделя 9 СРСП 17 Тема: Нелинейные эконометрические модели. Цель: Проверить уровень знаний студентов в умении строить нелинейных эконометрических моделей и проводить статистическую значимость уравнения регрессии. Форма проведения: решение задач Задание № 1.Решите следующие задачи: №1 По группе 10 заводов, производящих однородную продукцию, получено уравнение регрессии себестоимости единицы продукции у (тыс. тенге) от уровня технической оснащенности х (тыс. тенге): у = 20 + 700 . Доля остаточной дисперсии в х общей составила 0,19. Определите: 1.Коэффициент эластичности предполагая, что стоимость активных производственных фондов составляет 200 тыс. тенге. 2. Индекс корреляции. 3. F-критерий Фишера. Сделайте выводы. №2 Изучается зависимость материалоемкости продукции от размера предприятия по 10 однородным заводам. Материалоемкость продукции по заводам Показатель 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Потребление 9 6 5 4 3,7 3,6 3,5 6 7 3,5 материалов на единицу продукции, кг Выпуск продукции, 100 200 300 тыс. ед. 1. Найдите параметры уравнения у = a + b . 400 500 600 700 150 120 250 x 2. Оцените тесноту связи с помощью индекса корреляции. 3. Охарактеризуйте эластичность изменения материалоемкости продукции. 4. Сделайте вывод о значимости уравнения регрессии. Задание № 2. Выполните тест: 1. Что показывает коэффициент эластичности в 4.Как определяется F-критерий для параболы второй в степенной функции у€х = а ⋅ х ? a) На сколько единиц изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1 единицу. b) Во сколько раз изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1 единицу. c) Во сколько раз изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1% 2 степени у€х = а + bx + cx ? R2 n − 3 ⋅ 2 1− R2 2 R = ⋅ (n − 2) 1− R2 R2 n −1 ⋅ = 1− R2 m 1− R2 = ⋅ (n − 2) R2 1− R2 = ⋅ (n − 3) R2 a) F= b) F c) F d) На сколько % изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1%. e) На сколько единиц уменьшится в среднем результат, d) F если фактор увеличится на 1 единицу. 2. С помощью какого метода оцениваются параметры уравнений регрессии, нелинейных относительно e) F включенных в анализ объясняющих переменных? a) Экспериментального метода. 5.Как записывается производственная функция Коббаb) Корреляционного метода. Дугласа, включающая два фактора производства? c) Метода наименьших квадратов. α β a) Q = A ⋅ K ⋅ L d) Шагового регрессионного анализа. α e) Методом скользящей средней. b) Q = A ⋅ K 3. С помощью какого показателя определяется теснота α β c) Q = K ⋅ L связи между признаками в парной нелинейной регрессии? α −β a) Линейный коэффициент корреляции d) Q = A ⋅ K b) Коэффициент детерминации β −α e) Q = A ⋅ L c) Индекс множественной корреляции d) Частный коэффициент корреляции e) Индекс корреляции Методические рекомендации: Выполнить задания в соответствии с условием (задание № 1). Ответить на тестовые задания в конце занятия для закрепления материала. Литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. "Эконометрика. Начальный курс" М: Дело, 1998 СРСП 18 Тема: Нелинейные эконометрические модели. Цель: Проверить уровень знаний студентов в умении строить модель нелинейной регрессии и оценивать качество построенной модели Форма проведения: выполнение индивидуальной лабораторной работы Задание № 1 Выполнить индивидуальную лабораторную работу №4 на построение парной нелинейной регрессионной модели. 1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры равносторонней гиперболы. 2. Оценить построенную модель через среднюю ошибку аппроксимации Вариант № 1 Выпуск продукции, Затраты на производство, млн. Предприятие тыс. тенге, х тенге, у 1 20 80 2 10 40 3 40 120 4 30 100 5 50 150 6 20 70 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Вариант № 2 Район 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Вариант № 3 Район 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Вариант № 4 Район 30 20 40 10 50 20 10 20 40 110 60 130 40 160 90 50 80 130 Потребительские расходы на душу населения, тыс. тенге, у 46,1 52,4 29,8 35,1 62,4 58,4 42,5 27,7 32,1 57,3 57,8 49,7 86,3 Средняя заработная плата и выплаты социального характера, тыс. тенге, х 91,2 80,9 74,8 84,7 10,8 68,2 69,7 95,1 96,7 89,8 95,6 56,3 54,3 Потребительские расходы на душу населения, тыс. тенге, у 46,1 52,4 29,8 35,1 62,4 58,4 42,5 27,7 32,1 57,3 57,6 58,8 49,7 86,3 Денежные доходы на душу населения, тыс. тенге, х Потребительские расходы на душу населения, тыс. тенге, у 40,8 24,9 25,3 58,0 65,1 13,9 32,3 89,9 33,0 44,6 64,2 54,2 50,4 86,1 70,7 Денежные доходы на душу населения, тыс. тенге, х 63,2 73,8 51,5 64,0 94,2 88,8 70,4 60,3 43,9 98,5 73,5 76,0 83,0 10,9 1 52,4 2 37,1 3 45,3 4 75,6 99,7 5 6 21,7 7 48,6 95,6 8 9 59,5 10 69,4 11 93,7 76,1 12 76,7 13 14 94,5 86,3 15 Задание №2 Защитить выполненную индивидуальную работу №4, ответив на следующие вопросы: 1. Какие существуют виды моделей нелинейной регрессии? 2. Каким образом проводится линеаризации моделей нелинейной регрессии? 3. Каким методом оцениваются параметры моделей нелинейной регрессии? 4. С помощью какого показателя определяется теснота связи между признаками в нелинейной регрессии? 5. Как проводится статистическая оценка значимости уравнения нелинейной регрессии? 6. С помощью какого показателя оценивается качество построенного уравнения нелинейной регрессии? Методические рекомендации: Индивидуальное задание выполняется в отдельных тетрадях. Выполненное задание должно содержать исходные данные, расчетную таблицу, расчет указанных в задании показателей и анализ полученных результатов. Литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5. Ежеманская С.Н. «Эконометрика», Ростов-на-Дону «Феникс», 2003г 6. Кремер Н.Ш., Бутко Б.А. «Эконометрика» М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002г. Неделя №10 СРСП 19-20 Тема: Гетероскедастичность Цель: Проверить уровень знаний студентов в умении применять методы для оценки гетероскедастичности. Форма проведения: решение задач Задание № 1. Решите следующую задачу: Используя данные таблицы, исследователь оценил регрессионную зависимость выпуска продукции обрабатывающей промышленности на душу населения (М) от валового внутреннего продукта на душу населения в том же году (G) (в 2 долларах США) и получил следующую модель (в скобках приводятся стандартные ошибки): М€ = 74,2 + 0,27G; R = 0,69 (128,1) (0,05) Страна М G Страна М G Люксембург 1368 3108 Бельгия 849 2652 704 2429 Канада 778 3888 Нидерланды 853 3159 Норвегия 634 2881 Дания 2777 Португалия 215 718 Франция 1000 Испания 239 957 Германия 1331 3095 185 1091 Швеция 1025 4101 Греция Великобритания 609 2174 Ирландия 399 1331 1248 4799 Италия 554 1731 США Япония 679 1887 1.Изобразите диаграмму рассеяния, используя данные таблицы, и объясните, почему исследователь может подозревать наличие гетероскедастичности. 2. Исследователь оценивает две «частные» регрессии для шести стран с наименьшими значениями G и для шести стран с наибольшими значениями этого показателя. Сумма квадратов отклонений составляют 20,523 в первом случае и 313,842 – во втором. Выполните проверку на гетероскедастичность по критерию Голдфелда-Квандта. Задание №2. Выполните тест: 1. Что означает термин гомоскедастичность остатков? 3. Какой используется метод для оценки гетероскедастичности остатков? a) Дисперсия каждого отклонения ε i одинакова для всех a) Тест Чоу. значений х. b) Метод последовательных разностей. b) Математическое ожидание отклонения ε i одинаково c) Метод Гольфренда-Квандта. d) Метод отклонений от тренда. для всех значений х. 4. В каком случае применяется обобщенный метод c) Дисперсия каждого отклонения ε i различная для всех наименьших квадратов? значений х. a) Если случайные составляющие ε i не имеют d) Математическое ожидание отклонения ε i различное постоянной дисперсии или коррелированны между собой. для всех значений х. b) Если в модели присутствует явление 2. Что означает термин гетероскедастичность остатков? мультиколлинеарности. a) Это несоблюдение условия мультиколлинеарности c) Если модель является неидентифицируемой. факторов. d) Если математическое ожидание каждого отклонения ε i b) Это равенство дисперсий остатков. различное для значений хi c) Это равенство математических ожиданий остатков. d) Это несоблюдение условия гомоскедастичности остатков. Методические рекомендации: Применить метод для оценки гетероскедастичности к построенной модели (задание № 1). Ответить на тестовые задания в конце занятия для закрепления материала. Литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5. Ежеманская С.Н. «Эконометрика», Ростов-на-Дону «Феникс», 2003г 6. Кремер Н.Ш., Бутко Б.А. «Эконометрика» М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002г. Неделя 11 СРСП 21 Тема: Динамический ряд. Цель: Проверить уровень знаний студентов в умении строить автокорреляционную функцию, определять параметры трендов и анализировать полученные результаты Форма проведения: решение задач Задание № 1. Решить следующую задачу: Имеются следующие данные об уровне безработицы уt (%) за 8 месяцев: Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8 уt 8,8 8,6 8,4 8,1 7,9 7,6 7,4 7,0 1.Определите коэффициенты автокорреляции уровней этого ряда первого и второго порядка. 2. Обоснуйте выбор уравнения тренда и определите его параметры. 3. Интерпретируйте полученные результаты. Задание №2. Выполните тест: 1. С помощью какого метода определяются параметры d) Временной ряд трендов? e) Циклическая компонента a) Косвенный метод наименьших квадратов 4. Какая из моделей временных рядов является b) Двухшаговый метод наименьших квадратов экспоненциальным трендом? c) Метод наименьших квадратов a) y ˆ t = a + bt d) Метод определителей e) Графический метод b) y ˆt = a + b / t 2.Какой показатель является критерием отбора наилучшей b формы тренда? = at ˆ c) y t a) Скорректированный коэффициент детерминации b) Множественный индекс корреляции d) y ˆ t = a + b1t1 + b2 t 2 c) Автокорреляция остатков a + bt d) Коэффициент автокорреляции ˆt = e e) y e) Линейный коэффициент корреляции 5. Какая из моделей является степенным трендом? 3. Как называется график зависимости значений a + bt автокорреляционной функции временного ряда от a) yˆ t = at b b) yˆ t = a + bt c) yˆ t = e величины лага? d) yˆ t = a + b / t e) yˆ t = a + b1t1 + b2 t 2 a) Тренд b) Автокорреляция c) Коррелограмма Методические рекомендации: Построить автокорреляционную функцию временного ряда, определить параметры трендов и сделать анализ полученных результатов (задание № 1). Ответить на тестовые задания в конце занятия для закрепления материала. Литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Бережная Е.В., Бережной В.И. "Математические методы моделирования экономических систем" М: Финансы и статистика, 2003 5. Ежеманская С.Н. «Эконометрика», Ростов-на-Дону «Феникс», 2003г 6. Кремер Н.Ш., Бутко Б.А. «Эконометрика» М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002г. СРСП 22 Тема: Динамический ряд. Цель: Проверить уровень знаний студентов в умении строить модели временных рядов и трендов с помощью ППП Excel Форма проведения: выполнение индивидуальную работу Задание: Выполнить индивидуальную работу №5 на построение моделей временных рядов. Исходные данные для выполнения индивидуальной работы №5 необходимо взять из сборников статистических данных основных экономических показателей Республики Казахстан или Западно-Казахстанской области за ряд последовательных периодов времени (несколько лет, кварталов, месяцев). Необходимо: 1. Построить графики ряда динамики и трендов. 2. Рассчитать параметры уравнений трендов. 3. Выбрать наилучший вид тренда на основании графического изображения и значения коэффициента детерминации. Методические рекомендации: Индивидуальное задание следует оформить на бумаге формата А4. Выполненная работа должна содержать исходную информацию для построения трендов, построенные пять видов трендов, таблицу с результатами построенных трендов и анализ полученных результатов. Задание может быть дополнено построением автокорреляционной функции и коррелограммой. Литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Бережная Е.В., Бережной В.И. "Математические методы моделирования экономических систем" М: Финансы и статистика, 2003 Неделя 12 СРСП 23-24 Тема: Динамический ряд. Цель: Проверить студентов в умении строить аддитивную и мультипликативную модели временного ряда. Форма проведения: решение задач Задание № .Решить следующую задачу: Имеются поквартальные данные по розничному товарообороту: Номер Товарооборот, % к Номер Товарооборот, % к квартала предыдущему квартала предыдущему периоду периоду 1 100,0 11 98,8 2 93,9 12 101,9 3 95,6 13 113,1 4 101,8 14 98,4 5 107,8 15 97,3 6 96,6 16 102,1 7 95,7 17 97,6 8 98,2 18 83,7 9 104,0 19 84,3 10 99,0 20 88,4 1. Постройте график временного ряда. 2. Постройте аддитивную и мультипликативную модели временного ряда. 3. Оцените качество модели через показатели средней абсолютной ошибки и среднего относительного отклонения. Задание №2. Выполните тест: 1. Какая модель является аддитивной моделью d) Построение модели сводится к расчету случайной временного ряда? компоненты. a) Y=T*S*E e) Построение модели сводится к расчету циклической b) Y=T-S-E компоненты. c) Y=T+S+E 4. Охарактеризуйте параметры линейного тренда d) Y=(T+S)-E y€t = 739 + 29,3t , если y-объем выпуска товара, te) Y=(T+S)/E квартал. 2. Какая модель является мультипликативной моделью a) С каждым кварталом объем выпуска товара временного ряда? увеличивается на 29,3 единицы a) Y=T*S*E b) С каждым кварталом объем выпуска товара b) Y=T+S+E уменьшается на 29,3 единицы c) Y=T-S-E c) С каждым кварталом объем выпуска товара d) Y=(T+S)-E увеличивается в 29,3 раз e) Y=(T+S)/E d) С каждым кварталом объем выпуска товара 3. Какова цель построения аддитивной или уменьшается в29,3 раз мультипликативной модели временного ряда? e) С каждым кварталом объем выпуска товара a) Построение модели сводится к определению увеличивается на 29,3 % автокорреляционной зависимости между 5. Какая из моделей временных рядов является последовательными уровнями временного ряда. равносторонней гиперболой? b) Построение модели сводится к расчету коэффициента b автокорреляции уровня временного ряда. a) yˆ t = at b) yˆ t = a + b / t c) yˆ t = a + bt c) Построение модели сводится к расчету T, S и E для d) yˆ t = e a + bt e) yˆ t = a + b1t1 + b2 t 2 каждого уровня временного ряда. Методические рекомендации: Построить аддитивную и мультипликативную модели временного ряда (задание № 1). Ответить на тестовые задания в конце занятия для закрепления материала. Литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. "Эконометрика. Начальный курс" М: Дело, 1998 Неделя 13 СРСП 25-26 Тема: Динамический ряд. Цель: Проверить студентов в умении применять методы устранения тенденций во временных рядах и определять автокорреляцию остатков Форма проведения: решение задач Задание № 1. Решите следующие задачи: №1 В таблице приводятся данные о потреблении и личных доходах населения за 7 лет. Показатель 1999г 2000г 2001г 2002г 2003г 2004г 2005г Потребление, тыс. 300 310 325 340 350 370 385 долл. Чистые доходы, 335 340 360 378 400 417 430 тыс. долл. 1.Постройте уравнение линейной регрессии, используя метод первых разностей. 2. Охарактеризуйте тесноту связи между рядами по их уровням, по первым разностям. Сделайте выводы. №2 В таблице указаны остатки регрессии. Год Остатки Год Остатки Год Остатки 1990 -0,7 1994 0 1998 0 1991 0 1995 0,3 1999 0,3 1992 -0,2 1996 -0,1 2000 0,3 1993 0,9 1997 -0,1 2001 -0,1 1. Оцените автокорреляцию остатков. 2. Примените критерий Дарбина-Уотсона и сделайте выводы относительно рассматриваемой регрессии. Задание № 2. Выполните тест: 1. Что выражает корреляционную зависимость между 3. В каких пределах лежит значение критерия ДарбинаУотсона? значениями остатков ε t за текущий и предыдущий a) 0 ≤ d ≤ 1 b) − 1 ≤ d ≤ 1 моменты времени? c) − 1 ≤ d ≤ 0 d) 0 ≤ d ≤ 4 e) d ≥ 0 a) Коэффициент автокорреляции 4.С какой целью рассчитывается критерий Дарбина b) Коэффициент корреляции остатков Уотсона? c) Автокорреляция в остатках a) для определения автокорреляции остатков; d) Индекс корреляции остатков b) для определения коэффициент автокорреляции; e) Индекс детерминации остатков c) для определения зависимости значений временный 2. Как определяется критерий Дарбина-Уотсона? n n ряда от величины лага; 2 (ε t − ε t −1 ) ∑ ∑εt d) для определения остатков временного ряда; b) a) t =2 d= d = n t =1 n е) для определения отклонений значений временного ряда ∑ ε t2 ∑ (ε t − ε t −1 ) от тренда. t =1 n c) d= ∑ε t =2 n ∑ε 2 t 2 t −1 t =1 d) d = n ε 2 ∑ t t =1 n e) d = ∑ (ε 2 − ε ) t t t =1 t =2 Методические рекомендации: Выполнить задания в соответствии с условием (задание № 1). Ответить на тестовые задания в конце занятия для закрепления материала. Литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5.Бережная Е.В., Бережной В.И. "Математические методы моделирования экономических систем" М: Финансы и статистика, 2003 6.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. "Эконометрика. Начальный курс" М: Дело, 1998 Неделя 14 СРСП 27 Тема: Система одновременных уравнений Цель: Проверить уровень знаний студентов в умении применять условия идентификации к структурной модели и строить приведенную форму модели Форма проведения: решение задач Задание № 1. Решите следующие задачи: В задачах №1-2 1.Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели. 2.Определите метод оценки параметров модели. 3. Запишите приведенную форму модели. №1 Модель денежного рынка: Rt = a1 + b11 ⋅ M t + b12 ⋅ Yt + ε 1 , Yt = a 2 + b21 ⋅ Rt + b22 I t + ε 2 где R- процентная ставка; Y – ВВП; M – денежная масса; I – внутренние инвестиции; t – текущий период. №2 Модель Менгенса: Yt = a1 + b11Yt −1 + b12 I t + ε 1 , I t = a 2 + b21Yt + b22 Qt + ε 2 , C t = a3 + b31Yt + b32 C t −1 + b33 Pt + ε 3 , Qt = a 4 + b41Qt −1 + b42 Rt + ε 4 где Y – национальный доход; C – расходы на личное потребление; I – чистые инвестиции; Q – валовая прибыль экономики; P – индекс стоимости жизни; R – объем продукции промышленности; t – текущий период; t-1- предыдущий период. Задание №2. Выполните тест: 1. Какие возможные способы построения систем уравнений вы знаете? a) система линейных уравнений, система рекурсивных уравнений; b) система независимых уравнений, система взаимозависимых уравнений, система рекурсивных уравнений; c) система независимых уравнений, система зависимых уравнений; d) система рекурсивных уравнений, система нерекурсивных уравнений. e) система линейных уравнений, система зависимых уравнений 2. Каким образом подразделяются переменные в системе одновременных уравнений? a) идентифицируемые и неидентифицируемые переменные; b) приведённые и структурные переменные; c) эндогенные и экзогенные переменные; d) идентифицируемые и сверхидентифицируемые переменные. e) неидентифицируемые и сверхидентифицируемые переменные 3. С какой целью структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели? a) для определения значений эндогенных переменных; b) для определения структурных коэффициентов модели; c) для определения коэффициента автокорреляции; d) для определения случайной ошибки коэффициентов модели; e) для определения частных коэффициентов корреляции. 4. Какие переменные называются эндогенными в системе эконометрических уравнений? a) зависимые переменные у, число которых равно числу уравнений в системе; b) это переменные δ в приведенной форме модели; c) это независимые переменные, которые определяются вне системы х; d) это предопределенные переменные х, влияющие на фактор δ. e) переменные, которые выступают в виде фактора х 5. Каким образом строится система рекурсивных уравнений? a) в системе рекурсивных уравнений зависимая переменная у рассматривается как функция одного итого же набора факторов (х). b) в системе рекурсивных уравнений зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде фактора х в другом уравнении. c) в системе рекурсивных уравнений переменная у находится в обратной зависимости от факторов (х). d) в системе рекурсивных уравнений зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях – в правую часть системы. е) в системе рекурсивных уравнений расчетные значения находят по соответствующим уравнениям приведенной формы. Методические рекомендации: Применить условия идентификации к структурным моделям и построить приведенные формы моделей (задание № 1). Ответить на тестовые задания в конце занятия для закрепления материала. Литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. "Эконометрика. Начальный курс" М: Дело, 1998 СРСП 28 Тема: Система одновременных уравнений Цель: Проверить уровень знаний студентов в умении применять условия идентификации к структурной модели Форма проведения: решение задач Задание № 1. Решить следующие задачи: №1 Проверьте структурную форму модели на идентификацию. 1 = А +b y +b y +ε 2 = А +b y +a x +ε 2 3 = А +b y + a x +ε 13 4 =у +у +х у y y у 1 2 3 1 13 23 34 2 3 14 3 21 4 31 4 1 1 1 2 где у1- расходы на конечное потребление данного года; у2 – валовые инвестиции в текущем году; у3- расходы на зарплату в текущем году; у4- валовой доход за текущей год; х1 – валовой доход предыдущего года; х2- государственные расходы текущего года; А- свободный член уравнения; - случайная ошибка. №2 Проверьте структурную форму модели на идентификацию. №3 1.Оценить следующую структурную модель на идентификацию: ε 1 = А +b y +b y +ε 2 = А +b y + a x +ε 2 3 = А +b y + a x +ε 13 4 =у +у +х у y y у 1 2 3 1 13 23 34 2 3 14 3 21 4 31 4 1 1 1 2 где у1- расходы на конечное потребление данного года; у2 – валовые инвестиции в текущем году; у3- расходы на зарплату в текущем году; у4- валовой доход за текущей год; х1 – валовой доход предыдущего года; х2- государственные расходы текущего года; А- свободный член уравнения; - случайная ошибка. ε у1 = b13 у 3 + a11 х1 + a13 х3 у 2 = b21 у1 + b23 у 3 + a 22 х 2 у 3 = b32 у 2 + a31 х1 + a33 х3 у1 = 2 х1 + 4 х 2 + 10 х3 2.Исходя из приведенной формы модели уравнений у = 3 х − 6 х + 2 х 2 1 2 3 у3 = −5 х1 + 8 х 2 + 5 х3 найти структурные коэффициенты модели. Задание №2. Выполните тест: 1. Что означает термин «идентификация» в системе d) H+1>D e) H+1<D эконометрических уравнений? 3. Как выполняется счетное правило, если уравнение a) Это единственность соответствия между количеством структурной модели сверхидентифицируемо, где Н – эндогенных и экзогенных переменных в модели число эндогенных переменных? b) Это переход от структурной формы модели к a) D+1>H b) D+1<H c) D+1=H d) H+1>D e) H+1<D приведенной 4. Сколько параметров должна включать структурная c) Это решение структурной формы модели МНК модель, состоящая из n эндогенных и m экзогенных d) Это единственность соответствия между приведенной и переменных? структурной формами модели a) n*(n-1+m) b) n*m c) n-1+m d) n+m-1 e) (n+m-1)/n e) Это решение структурной формы модели КМНК 5. Сколько параметров должна включать приведенная 2. Как выполняется счетное правило, если уравнение форма, соответствующая структурной модели и структурной модели идентифицируемо, где Н – число состоящая из n эндогенных и m экзогенных переменных? эндогенных переменных? a) n-1+m b)n+m-1 c) (n+m-1)/n d) n*(n-1+m) e) n*m a) D+1<H b) D+1>H c) D+1=H Методические рекомендации: Применить условия идентификации к структурным моделям (задание № 1). Ответить на тестовые задания в конце занятия для закрепления материала. Литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. "Эконометрика. Начальный курс" М: Дело, 1998 Неделя 15 СРСП 29 Тема: Система одновременных уравнений Цель: Проверить уровень знаний студентов в умении применять косвенный МНК и двухшаговый МНК для построения структурной модели Форма проведения: выполнение индивидуальной работы Задание № 1. Выполнить индивидуальную лабораторную работу №6. Построить структурную эконометрическую модель, применив косвенный метод наименьших квадратов и двухшаговый метод наименьших квадратов. Вариант № 1 5 11 10 8 7 Регион у1 у2 х1 х2 Вариант № 2 1 9 7 3 6 Регион у1 у2 х1 х2 2 7 4 5 8 1 9 6 3 5 3 10 8 7 5 2 7 9 5 6 4 8 6 4 3 3 10 11 7 9 4 5 8 7 7 5 4 3 4 3 Вариант № 4 Регион у1 1 3 2 4 3 7 4 8 5 2 у2 4 6 6 3 4 х1 1 3 5 5 3 х2 2 7 3 6 5 Вариант № 3 Регион у1 у2 х1 х2 1 9 12 7 8 2 7 10 5 9 3 10 11 6 8 4 8 9 4 3 5 11 13 9 7 Задание №2 Защитить выполненную работу, ответив на следующие вопросы: 1. В каком случае применяется косвенный метод наименьших квадратов? 2.Этапы косвенного метода наименьших квадратов 3. В каком случае применяется двухшаговый метод наименьших квадратов? 4. Этапы двухшагового метода наименьших квадратов 5. Как проверить модель на идентификацию? 6. Каким методом оцениваются параметры приведенной формы модели? Методические рекомендации: Индивидуальное задание выполняется в отдельных тетрадях. Выполненное задание должно содержать исходные данные, расчетные таблицы, порядок выполнения задания и построенные структурные модели косвенным МНК и двухшаговым МНК. Литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2."Практикум по эконометрике" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика, 2002 3.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 4.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 5.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. "Эконометрика. Начальный курс" М: Дело, 1998 СРСП 30 Тема: Система одновременных уравнений Цель: Развитие аналитических и познавательных способностей по курсу «Эконометрика» Форма проведения: защита рефератов Задание Выступить с кратким докладом к написанному реферату и ответить на заданные вопросы. Методические рекомендации: Реферат должен быть выполнен на бумаге формата А4, содержать титульный лист, план, основное содержание по рассматриваемому вопросу и список использованной литературы. Литература: 1."Эконометрика" под редакцией И.И. Елисеевой, М: Финансы и статистика", 2002 2.Кристофер Доугерти "Введение в эконометрику" М: Ифра-М, 1999 3.Мардас А.Н. "Эконометрика" Учебное пособие, С-Пб "Питер", 2001 4.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. "Эконометрика. Начальный курс" М: Дело, 1998 5.Ежеманская С.Н. «Эконометрика», Ростов-на-Дону «Феникс», 2003г 6.Кремер Н.Ш., Бутко Б.А. «Эконометрика» М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002г. 7.Кулинич Е.И. «Эконометрия» М.: Финансы и статистика, 1999г 8.Айвазян С.А., Мхитрян В.С. «Прикладная статистика и эконометрика» М.:ЮНИТИ, 1998 9.Нименья И.Н. «Эконометрика» СПб: Издательский дом «Нева», 2003г 10.Кремер Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика» М.: ЮНИТИ, 2000г 11.Уотшем Т. Паррамоу К. Количественные методы в финансах -М.: ЮНИТИ,1999 12.Федосеев В.В. ЭММ и прикладные модели -М ЮНИТИ.1999 7. Методические рекомендации и указания по типовым расчетам, выполнению расчетно-графических, лабораторных работ, курсовых проектов (работ) Лабораторная работа №1 Тема: Сведения из теории вероятностей и математической статистики Содержание занятия. 1. Построение закона распределения случайной величины. 2. Расчет числовых характеристик случайной величины. 3. Расчет выборочных числовых характеристик случайной величины. Литература:[4] стр17-23, [3] стр3-13, [5]стр5-17, [10]стр237-253 1. Построение закона распределения случайной величины. Задание №1. Случайная переменная Х определяется как сумма выпавших очков при бросании двух игральных костей. Найдите распределение вероятностей для случайной величины Х. Методические указания по выполнению задания: Если бросить две игральные кости, то возможны 36 исходов эксперимента, поскольку на первой кости может выпасть любое число от 1 до 6 и то же самое – на второй. Случайная переменная Х, определяемая как их сумма, может принимать одно из 11 числовых значений – от 2 до 12: Игральная Игральная кость II кость I 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Закон распределения данной случайной величины имеет следующий вид: хi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 рi 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 Задание № 2. Дан ряд распределения случайной величины Х: хi 1 4 5 рi 0,4 0,1 0,5 Найти функцию распределения. Методические указания по выполнению задания: В соответствии с определением 4 < х ≤ 5 ; F (x ) = 0,5 + 0,5 = 1 при F ( x ) = 0 при х ≤ 1 ; F ( x ) = 0,4 х > 5 . Итак: при 1 < х ≤ 4 ; F (x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 при при х ≤ 1 0 0,4 при 1 < х ≤ 4 F ( x) = 0,5 при 4 < х ≤ 5 1 при х > 5 2. Расчет числовых характеристик случайной величины. Задание № 3. Дан ряд распределения случайной величины Х: хi 1 4 5 рi 0,4 0,1 0,5 Найти математическое ожидание. Методические указания по выполнению задания: n Математическое ожидание случайной величины Х определяется по формуле: M ( X ) = x p ∑ i i i =1 Для данного закона распределения математическое ожидание составит: М ( Х ) = 1 ⋅ 0, 4 + 4 ⋅ 0,1 + 5 ⋅ 0,5 = 3,3 Задание №4. Дан ряд распределения случайной величины Х: хi 1 4 5 рi 0,4 0,1 0,5 Найти дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Методические указания по выполнению задания: Дисперсия определяется как математическое ожидание квадрата разности между величиной х и ее средним: n D ( x ) = ∑ x i2 p i − M ( X ) 2 . Для данного закона распределения дисперсия составит: i =1 D( X ) = 12 ⋅ 0,4 + 4 2 ⋅ 0,1 + 5 2 ⋅ 0,5 − 3,3 2 = 3,61 Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х определяется по формуле: закона распределения: σ x = D( X ) . Для данного σ x = 3,61 = 1,9 Чтобы оценить разброс значений случайной величины в процентах относительно ее среднего значения, вводится коэффициент вариации: V ( x ) = σx M ( x) ⋅ 100% . В задаче: V ( x) = 1,9 ⋅ 100% = 57,57% 3,3 3. Расчет выборочных числовых характеристик случайной величины. Задание № 5 Выборочная совокупность задана таблицей распределения. Найти выборочные числовые характеристики. Xi 1 2 3 4 ni 20 15 10 5 Методические указания по выполнению задания: Выборочные характеристики: выборочное среднее определяется по формуле: 1 n 20 ⋅ 1 + 15 ⋅ 2 + 10 ⋅ 3 + 5 ⋅ 4 100 x в = ∑ ni x i = = =2 n i =1 20 + 15 + 10 + 5 50 выборочная дисперсия: 2 2 2 2 1 20 ⋅ (1 − 2) + 15 ⋅ (2 − 2) + 10 ⋅ (3 − 2) + 5 ⋅ (4 − 2) Dв = ∑ n i ( x i − x в ) 2 = x 2 − x 2 = = 1. n 20 + 15 + 10 + 5 выборочное среднее квадратическое отклонение: σ в = Dв = x 2 − x 2 = 1 = 1 Лабораторная работа №2 Тема: Сведения из теории вероятностей и математической статистики Содержание занятия 1. Применение основных законов распределения случайных величин 2. Расчет точечных и интервальных оценок случайных величин Литература: [3] стр14-28, [4] стр28-33, [10] стр273-278 1. Применение основных законов распределения случайных величин Задание №1. Техническая система состоит из пяти независимо друг от друга функционирующих узлов. Определите математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение числа отказов узлов, если вероятность отказа любого из них равна 0,2. Методические указания по выполнению задания: Для биномиального распределения случайной величины Х числовые характеристики определяются следующим образом: М ( Х ) = п ⋅ р = 5 ⋅ 0,2 = 1 D ( Х ) = п ⋅ р ⋅ q = 5 ⋅ 0,2 ⋅ 0,8 = 0,8 σ х = прq = 0,8 = 0,894 Задание №2 Определить вероятность того, что на АЗС находится один автомобиль, если среднее число автомобилей, находящихся в данном интервале времени на АЗС равно трем. Методические указания по выполнению задания: Применим закон Пуассона: P( X = 1) = a m − a 31 e = 2,72 −3 = 0,149 m! 1! Задание №3 Среднее время обслуживания персонального компьютера 2 часа. Среднее квадратическое отклонение времени обслуживания 0,403ч. Определите вероятность окончания обслуживания ПК в течение интервала времени от 1,5 до 2,5 ч. Методические указания по выполнению задания: Данное распределение является нормальным (закон Гаусса). Р(1,5 ≤ Х ≤ 2,5) = [Ф(t 2 ) − Ф(t1 )] x − m x 1,5 − 2 x − m x 2,5 − 2 t1 = 1 = = −1,24 t 2 = 2 = = 1,24 σx 0,403 σx 0,403 По таблицам нормального распределения (приложение №1): Ф(t1 ) = Ф(−1,24) = 0,107 Ф(t 21 ) = Ф(1,24) = 0,892 Р(1,5 ≤ Х ≤ 2,5) = 0,892 − 0,107 = 0,785 x<0 0, Случайная величина Х распределена по показательному закону f ( x) = . Найти математическое −5 x 5e , x ≥ 0 ожидание, стандартное отклонение и дисперсию. Методические указания по выполнению задания: Тогда λ =5. Математическое ожидание М(Х) = стандартное отклонение Задание №4 σх = 1 λ = 1 1 1 = 0,2 . Дисперсия D ( Х ) = 2 = = 0,04 . 5 25 λ Задание №5 Троллейбусы прибывают на остановку через 4 минуты. Какова вероятность того, что время ожидания троллейбуса не превысит 3 минуты? Методические указания по выполнению задания: Так как β − α = 3 мин, а b-a=4 мин, то P (0 < X < 3) = 3 = 0,75 . 4 2. Расчет точечных и интервальных оценок случайных величин Задание №6 Автомат фасует чай в пачки. Проведена случайная выборка объемом п=30 пачек. Средний вес пачки чая в выборке х =101 г, выборочное стандартное отклонение s=4 г. Найти доверительный интервал для среднего веса пачки чая в генеральной совокупности с доверительной вероятностью γ =95%. Методические указания по выполнению задания: Значение t1−α ; n −1 берем из таблицы t-распределения Стьюдента (приложение №3). Так как 1 − α = γ = 0,95 , а п-1=30-1=29, то t 0 , 95; 29 = 2,045 . Доверительный интервал строится следующим образом: s х ± t1−α ; n −1 n −1 = 101 ± 2,045 4 29 = 101 ± 1,52 или (99,48; 102,52). Лабораторная работа №3 Тема: Проверка статистических гипотез Содержание занятия. Применение законов распределения случайных величин при проверке статистических гипотез (распределение Стьюдента, χ 2 -распределение, распределение Фишера) Литература: [4] стр39-50, [10] стр 304-307 Задание №1 Некоторая фирма владеет тремя магазинами, расположенными недалеко друг от друга. Руководство фирмы решило выяснить, посещают ли покупатели все три магазина одинаково охотно, либо имеется некоторое различие (например, с более или менее выгодным расположением магазинов, разной квалификацией персонала и т.д.) Для проверки была собрана информация о количестве покупателей, сделавших покупки в течение недели. Оказалось, что в первом магазине это число составляет 160 человек, во втором – 225, в третьем – 215. Методические указания по выполнению задания: Проверяемая гипотеза Н0 – равенство вероятностей посещения покупателями магазинов: р1=р2=р3=1/3. В результате испытания получаем: т1=160; т2=225; т3=215; п=160+225+215=600. Вычислим значение Значение Так как χ 12−α ; п −1 χ2. χ2 = (160 − 600 ⋅ 1 / 3)2 + (225 − 600 ⋅ 1 / 3)2 + (215 − 600 ⋅ 1 / 3)2 600 ⋅ 1 / 3 берем из таблицы 600 ⋅ 1 / 3 600 ⋅ 1 / 3 = 12,25 χ 2 критерия Пирсона (приложение №2). α = 0,01 , а п-1=3-1=2, то χ 12−α ; п −1 =9,21. Так как рассчитанное значение χ 2 больше табличного χ 2 > χ12−α ; n −1 , то гипотеза Н0 отвергается. Разницу в посещаемости магазинов в течение недели нельзя объяснить случайными колебаниями. Лабораторная работа №4 Тема: Парная линейная регрессия и корреляция. Содержание занятия. 1. Расчет параметров парной регрессии по методу наименьших квадратов. 2. Расчет линейного коэффициента корреляции и коэффициента детерминации. Литература: [1] стр41-48, [3] стр55-64, [5] стр141-147, [11] стр3-6 Задание Имеются следующие исходные данные: Предприятие Выпуск продукции, Затраты на производство, млн. тыс.ед., х тенге, у 1 30 1 150 2 4 3 100 3 4 2 70 5 3 100 6 5 180 6 210 7 8 4 150 3 100 9 10 2 70 Определить параметры парной линейной регрессии. Рассчитать значение линейного коэффициента корреляции и коэффициента детерминации. Сделать выводы. Методические указания по выполнению задания: 1. Для определения параметров парной линейной регрессии необходимо провести следующие расчеты: № x y yx y€ x2 y2 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Итого 1 4 3 2 3 5 6 4 3 2 33 30 150 100 70 100 180 210 150 100 70 1160 30 600 300 140 300 900 1260 600 300 140 4570 1 16 9 4 9 25 36 16 9 4 129 900 22500 10000 4900 10000 32400 44100 22500 10000 4900 162200 31,09 141,84 104,92 68,01 104,92 178,76 215,67 141,84 104,92 68,01 1160 среднее 3,3 116 457 Рассчитаем параметры a и b: 12,9 b= 16220 yx − y ⋅ x 2 2 x −x a = y − b ⋅ x = 116 − 36,915 ⋅ 3,3 = −5,82 = - 457 − 116 ⋅ 3,3 = 36,915 12,9 − 3,3 2 Уравнение регрессии имеет следующий вид: у€х = −5,82 + 36,915 ⋅ х Охарактеризуем результаты построенного уравнения регрессии: с увеличением выпуска продукции (х) на 1 тыс. единиц затраты на производство возрастут в среднем на 36,915 млн.тенге. Подставив в уравнение регрессии значения фактора х, найдем теоретические значения y€x (7 графа таблицы) 2. Уравнение регрессии дополняется показателем тесноты связи - линейным коэффициентом корреляции: rxy = b σx 12,9 − 3,3 2 x2 − x 2 =b = 36,915 = 0,9954 σy 16220 − 116 2 y2 − y2 Данный линейный коэффициент корреляции означает о наличии тесной зависимости затрат на производство от величины объема выпущенной продукции. Определим коэффициент детерминации: ryx2 = (0,9954) 2 = 0,991. Вариация результата на 99,1% объясняется вариацией фактора х, а на долю прочих неучтенных факторов в данной регрессионной модели приходится лишь 0,9%. Лабораторная работа №5 Тема: Парная линейная регрессия и корреляция. Содержание занятия: 1. Дисперсионный анализ результатов регрессии. 2. Статистическая оценка значимости уравнения и параметров уравнения линейной регрессии. 3.Расчет относительной ошибки аппроксимации. Оценка качества построенной модели с помощью средней ошибки аппроксимации. 4.Использование статистической функции ЛИНЕЙН и программы анализ данных для определения параметров регрессии. Литература: [1] стр48-57, [2] стр6-9, [3] стр89-114, [11] стр7-11 Задание №1 Имеются следующие исходные данные: Предприятие Выпуск продукции, тыс.ед., х Затраты на производство, млн. тенге, у 1 30 1 150 2 4 3 100 3 70 4 2 100 5 3 6 5 180 6 210 7 150 8 4 3 100 9 10 2 70 Провести дисперсионный анализ результатов регрессии и статистическую оценку значимости уравнения и параметров уравнения линейной регрессии. Методические указания по выполнению задания: F-тест – оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезы Н0 о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера. Fфакт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы: Fфакт = rxy2 1− r 2 xy (n − 2) = 0,991 (10 − 2) = 880,89 1 − 0,991 где n - число единиц по совокупности; m-число параметров при переменных х. Табличное значение при уровне значимости 0,05 составляет 5,32. Поскольку Fтабл < Fфакт, то гипотеза Н0 отклоняется и признается статистическая значимость и надежность уравнения регрессии. Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t–критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н0 о случайной природе формирования показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной стандартной ошибки: tb = b a r . ; ta = ; tr = mb ma mr Стандартные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам: mb = 2 S ост 31,095 = = 1,2437 ; 2 ( х − х ) 129 − 10 ⋅ 3,3 2 ∑ ma = S ∑х 2 ост п ⋅σ х 2 = 31.095 129 = 4,4674; 10 ⋅ 1,4147 2 xy 1− r 1 − 0,991 = = 0,0335 10 − 2 n−2 Значения t-критерия Стьюдента: 36,9154 tb = = 29,68; 1,2437 − 5,821 ta = = −1,303; 4,4674 0,995 tr = = 29,7 0,335 Табличное значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости 0,05 равно 2,306. Сравним фактические значения с табличным значением: t a = −1,303 < t табл = 2,306 t b = 29,68 > t табл = 2,306 t r = 29,7 > t табл = 2,306 mr = Гипотеза Н0 о случайной природе формирования параметра a принимается и признается статистическая незначимость данного показателя. А параметр b и линейный коэффициент корреляции r не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием действующего фактора х, гипотеза отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Для расчета доверительных интервалов определяются предельные ошибки ∆ для каждого показателя: ∆ а = t табл ma = 2,306 ⋅ 4,4674 = 10,302; ∆ b = t табл mb = 2,306 ⋅ 1,2437 = 2,8679 . Доверительные γ а = а ± ∆ а = −5,831 ± 10,302; интервалы − 16,122 < a < 4,481 γ b = b ± ∆ b = 36,915 ± 2,8679; 34,047 < b < 39,783 рассчитываются следующим образом: Задание №2 Имеются следующие исходные данные: Предприятие Выпуск продукции, Затраты на производство, млн. тыс.ед., х тенге, у 1 30 1 150 2 4 3 100 3 70 4 2 100 5 3 6 5 180 6 210 7 4 150 8 3 100 9 10 2 70 Оценить качество построенного уравнения регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации. Определить параметров регрессии при помощи статистической функции ЛИНЕЙН и программы анализ данных. Методические указания по выполнению задания: По результатам расчетов, сделанных на предыдущих занятиях заполним следующую таблицу: № x y y€ y − y€ A x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Итого среднее 1 4 3 2 3 5 6 4 3 2 33 3,3 30 150 100 70 100 180 210 150 100 70 1160 116 31,09 141,84 104,92 68,01 104,92 178,76 215,67 141,84 104,92 68,01 1160 - x -1,09 8,16 -4,92 1,99 -4,92 1,24 -5,67 8,16 -4,92 1,99 0 - i 3,63 5,43 4,93 2,84 4,93 0,69 2,7 5,44 4,93 2,84 38,38 3,838 Рассчитаем относительные ошибки аппроксимации (6 графа), используя формулу: Ai = y − y€x ⋅ 100% y A1 = − 1,09 ⋅ 100% = 3,63% 30 A2 = 8,16 ⋅ 100% = 5,43% и т.д. 150 Средняя ошибка аппроксимации составит: А= 1 38,38 = 3,838 . ∑ Ai = п 10 Качество построенной модели оценивается как хорошее, т. к. в среднем расчетные значения отклоняются от фактических значений на 3,83% и не превышают допустимого предела 8-10% С помощью инструмента анализа данных Регрессия, помимо результатов регрессионной статистики, дисперсионного анализа и доверительных интервалов, можно получить остатки и графики побора линии регрессии, остатков и нормальной вероятности. Порядок действий следующий: 1) в главном меню выберите пункты Сервис/ Анализ данных/ Регрессия. Щелкните по кнопке ОК. 2) заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода: Входной интервал Y - диапазон, содержащий данные результативного признака; Входной интервал Х - диапазон, содержащий данные факторов независимого признака; Метки – флажок, который указывает содержит ли первая строка названия столбцов или нет; Константа-ноль – флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении; Выходной интервал – указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона; Новый рабочий лист – можно задать произвольное имя нового листа. Щелкните по кнопке ОК. Лабораторная работа №6 Тема: Модель множественной линейной регрессии. Содержание занятия: 1.Оценка параметров уравнения множественной регрессии методом наименьших квадратов. 2. Построение уравнения множественной линейной регрессии в стандартизованном масштабе. Литература: [1] стр105-109, 112-120, [4] стр81-84 Задание Изучается зависимость выработки продукции на одного работника у (тыс. д.ед.) от ввода в действие новых основных фондов х1 (% стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих х2 (%). Номер предприятия у х1 х2 1 7 3,9 10 2 7 3,9 14 3 7 3,7 15 4 7 4,0 16 5 7 3,8 17 6 7 4,8 19 7 8 5,4 19 8 8 4,4 20 9 8 5,3 20 10 10 6,8 20 11 9 6,0 21 12 11 6,4 22 13 9 6,8 22 14 11 7,2 25 15 12 8,0 28 16 12 8,2 29 17 12 8,1 30 18 12 8,5 31 19 14 9,6 32 20 14 9,0 36 средние 9,6 6,19 22,3 1.Определить параметры уравнения множественной регрессии по методу наименьших квадратов. 2. Построить уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Методические указания по выполнению задания: Для определения параметров множественной линейной регрессии следует воспользоваться ППП MS Excel Анализ данных. Для этого: 1) в главном меню выберите пункты Сервис/ Анализ данных/ Регрессия. Щелкните по кнопке ОК. 2) заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода: входной интервал Y - диапазон, содержащий данные результативного признака; входной интервал Х - диапазон, содержащий данные факторов независимого признака. Щелкните по кнопке ОК. По результатам вычислений получено уравнение множественной регрессии вида: y€ = 1,8353 + 0,9459 x1 + 0,0856 x2 Коэффициент «чистой» регрессии при параметре х1 показывает, что при увеличении ввода в действие основных фондов на 1% выработка продукции на одного работника увеличивается на 0,9459 тыс. д. ед. при устранении влияния действия удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих. Аналогично интерпретируется показатель «чистой» регрессии при параметре х2. С увеличением удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих на 1% выработка продукции на одного работника увеличивается на 0,0856 тыс.д.ед. при устранении влияния основных фондов. Матрицу парных коэффициентов корреляции переменных можно рассчитать, используя, инструмент анализа данных Корреляция. Для этого: 1) в главном меню последовательно выберите пункты Сервис/ Анализ данных/ Корреляция. Щелкните по кнопке ОК 2) заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода. 3) результаты вычислений – матрица коэффициентов парной корреляции. Столбец 1 Столбец 2 Столбец 3 Столбец 1 1 Столбец 2 ryx1 1 Столбец 3 ryx2 rx1x2 1 Результаты вычислений данной задачи: ryx1 = 0,9699; ryx2 = 0,9408; rx1 x2 = 0,9428 Значения коэффициентов парной корреляции указывают на очень тесную связь выработки у как с коэффициентом обновления основных фондов - х1, так и с долей рабочих высокой квалификации - х2 . Но в то же время межфакторная связь rx1x2 = 0,9428 весьма тесная и превышает тесноту связи х2 с у. В связи с этим для улучшения данной можно исключить из нее фактор х2 как недостаточно статистически надежный. Расчет стандартизованных переменных следует выполнить по формулам: β1 = β1 = ryx1 − ryx 2 rx1x 2 2 x1x 2 1− r ryx 2 - ryx1 rx1x 2 2 x1x 2 1- r = 0,9699 − 0,9408 ⋅ 0,9428 = 0,7461 1 − 0,9428 2 = 0,9408 − 0,9699 ⋅ 0,9428 = 0,2374 1 − 0,9428 2 Уравнение регрессии в стандартизованном масштабе имеет вид: t y = 0,7461 ⋅ t x1 + 0,2374 ⋅ t x2 С увеличением основных фондов на 1 σ (сигму) выработка продукции на одного работника увеличивается на 0,7461 σ при устранении влияния действия удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих. С увеличением удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих на 1 σ выработка продукции на одного работника увеличивается на 0,2374 σ при устранении влияния основных фондов. Сравнивая стандартизованные коэффициенты регрессии можно сделать вывод, что наибольшее влияние на результативный признак оказывает влияние фактор х1. Лабораторная работа №7 Тема: Мультиколлинеарность. Фиктивные переменные. Содержание занятия. 1. Введение фиктивных переменных в уравнение множественной регрессии. 2. Частная корреляция модели множественной регрессии. Литература: [1] стр155-169, [3] стр200-216, стр262-282 Задание 1 Пусть по данным о 20 рабочих цеха оценивается регрессия заработной платы рабочего за месяц от количественного фактора – возраст рабочего (лет) и качественного фактора – пол. № Заработная плата рабочего Возраст рабочего, Пол, м/ж, х2 за месяц, $, у лет, х1 1 300 29 Ж 2 400 40 М 3 300 36 Ж 4 320 32 Ж 5 200 23 М 6 350 45 М 7 350 38 Ж 8 400 40 М 9 380 50 М 10 400 47 М 11 250 28 Ж 12 350 30 М 13 200 25 М 14 400 48 М 15 220 30 Ж 16 320 40 М 17 390 40 М 18 360 380 М 19 260 29 Ж 20 250 25 М Построить модель множественной регрессии. Методические указания по выполнению задания: Введем в модель фиктивную переменную z, которая принимает два значения: 1 – если пол рабочего мужской; 0 – если пол женский. Построим модель вида: у€х = а + bx + cz . Для оценки параметров модели используем метод наименьших квадратов. Построим систему нормальных ∑ у = п ⋅ а + b ∑ x + c ∑ z 2 уравнений: ∑ yx = a ∑ x + b ∑ x + c ∑ zx 2 ∑ yz = a ∑ z + b∑ xz + c ∑ z В результате решения системы получим оценки: a = 63,52; b = 7; c = 10,32. Уравнение регрессии: y€x = 63,52 + 7 x + 10,32 z . Интерпретация параметра с=10,32 при фиктивной переменной: у мужчин зарплата в среднем выше, чем у женщин при одном и том же возрасте мужчины и женщины на 10,32$. Задание №2 Изучается зависимость выработки продукции на одного работника у (тыс. д.ед.) от ввода в действие новых основных фондов х1 (% стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих х2 (%). Номер предприятия у х1 х2 1 7 3,9 10 2 7 3,9 14 3 7 3,7 15 4 7 4,0 16 5 7 3,8 17 6 7 4,8 19 7 8 5,4 19 8 8 4,4 20 9 8 5,3 20 10 10 6,8 20 11 9 6,0 21 12 11 6,4 22 13 9 6,8 22 14 11 7,2 25 15 12 8,0 28 16 12 8,2 29 17 12 8,1 30 18 12 8,5 31 19 14 9,6 32 20 14 9,0 36 средние 9,6 6,19 22,3 Определить средние коэффициенты эластичности, частные коэффициентов корреляции. Методические указания по выполнению задания: Средние коэффициенты эластичности определяются по формуле: Э yx j = b j xj y Для данного уравнения множественной регрессии (построенном на предыдущем занятии) получим: Э yx1 = b1 x1 6,19 = 0,9459 ⋅ = 0,609% y 9,6 Э yx2 = b2 x2 22,3 = 0,0856 ⋅ = 0,199% y 9,6 С увеличением основных фондов на 1% выработка продукции на одного работника увеличивается на 0,609% при устранении влияния действия удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих. С увеличением удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих на 1% выработка продукции на одного работника увеличивается на 0,199% при устранении влияния основных фондов. Линейные коэффициенты частной корреляции рассчитываются по рекуррентной формуле: ryx1⋅x 2 = ryx 2⋅ x1 = ryx1 − ryx 2 ⋅ rx1x 2 (1 − ryx2 2 )(1 − rx21x 2 ) ryx 2 − ryx1 ⋅ rx1x 2 2 yx1 2 x1 x 2 (1 − r )(1 − r ) = = 0,9699 − 0,9408 ⋅ 0,9428 (1 − 0,9408 2 ) ⋅ (1 − 0,9428 2 ) 0,9408 − 0,9699 ⋅ 0,9428 (1 − 0,9699 2 )(1 − 0,9428 2 ) = 0,734 = 0,3249 Сравнивая полученные результаты, видно, что более сильное воздействие на выработку продукции оказывает действие новых основных фондов. Лабораторная работа №8 Тема: Статистическая значимость коэффициентов линейной регрессии. Содержание занятия: 1. Оценить практическую значимость уравнения множественной регрессии через индекс множественной корреляции 2. Оценка значимости уравнения множественной регрессии по F-критерию Фишера. Литература: [1] стр129-141, [3] стр159-163, [4]стр85-86 Задание Изучается зависимость выработки продукции на одного работника у (тыс. д.ед.) от ввода в действие новых основных фондов х1 (% стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих х2 (%). Номер предприятия у х1 х2 1 7 3,9 10 2 7 3,9 14 3 7 3,7 15 4 7 4,0 16 5 7 3,8 17 6 7 4,8 19 7 8 5,4 19 8 8 4,4 20 9 8 5,3 20 10 10 6,8 20 11 9 6,0 21 12 11 6,4 22 13 9 6,8 22 14 11 7,2 25 15 12 8,0 28 16 12 8,2 29 17 12 8,1 30 18 12 8,5 31 19 14 9,6 32 20 14 9,0 36 средние 9,6 6,19 22,3 1. Определить линейный коэффициент множественной корреляции. Сделайте вывод. 2. Провести оценку значимости уравнения множественной регрессии по F-критерию Фишера. 1. Линейный коэффициент множественной корреляции определяется следующим образом: R yx1 x 2 = ryx1 ⋅ β 1 + ryx 2 ⋅ β 2 = 0,9699 ⋅ 0,7461 + 0,9408 ⋅ 0,2374 = 0,973 Зависимость y от х1 и х2 характеризуется как тесная. 2. Общий F-критерий проверяет гипотезу о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи: F= R2 n − m −1 0,973 2 20 − 2 − 1 ⋅ = ⋅ = 151,778 2 m 2 1− R 1 − 0,973 2 Табличное значение F-критерия составляет 3,59 (приложение 2). Так как фактическое значение F-критерия Фишера превышает табличное значение, то можно сделать вывод о статистической значимости и надежности построенного уравнения множественной регрессии. Лабораторная работа №9 Тема: Нелинейные эконометрические модели. Содержание занятия: 1. Определение параметров нелинейной регрессии. 2. Оценка качества построенной модели нелинейной регрессии. Литература: [1] стр62-87, [3] стр115-129, [4] стр77-81 Задание Имеются следующие исходные данные: Предприятие Выпуск продукции, Затраты на производство, млн. тыс.ед., х тенге, у 1 1 30 2 4 150 3 3 100 4 2 70 5 3 100 6 5 180 7 6 210 4 150 8 9 3 100 10 2 70 1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры равносторонней гиперболы. 2. Оценить построенную модель через среднюю ошибку аппроксимации Методические указания по выполнению задания: Уравнение равносторонней гиперболы yˆ x = a + b 1 линеаризуется при замене z = . Тогда уравнение примет вид x x y = a + bz . Для определения параметров уравнения необходимо провести следующие расчеты: № x y z=1/х z2 yz y2 yx (y-yx)2 y-yx Ai 1 1 30 1 30 1 900 -2.43 32.43 1051.8 108.1 2 4 150 0.25 37.5 0.06 22500 142.4 7.61 57.9179 5.074 3 3 100 0.33 33.33 0.11 10000 126.3 -26.3 691.605 26.3 4 2 70 0.5 35 0.25 4900 94.12 -24.12 581.578 34.45 5 3 100 0.33 33.33 0.11 10000 126.3 -26.3 691.605 26.3 6 5 180 0.2 36 0.04 32400 152 27.96 781.518 15.53 7 6 210 0.17 35 0.03 44100 158.5 51.52 2654.22 24.53 8 4 150 0.25 37.5 0.06 22500 142.4 7.61 57.9179 5.074 9 3 100 0.33 33.33 0.11 10000 126.3 -26.3 691.605 26.3 10 2 70 0.5 35 0.25 4900 94.12 -24.12 581.578 34.45 итого 33 1160 3.87 346 2.03 162200 1160 0 7841.35 306.1 среднее 3.3 116 0.39 34.6 0.2 16220 116 0 784.135 30.61 Параметры уравнения равносторонней гиперболы определяются следующим образом: yz − y ⋅ z 34.6 − 116 * 0.39 b= 2 = = −193 0.2 − 0.39 2 z − z2 a = y − b ⋅ z = 116 − ( −193) * 0,39 = 190,7 Уравнение равносторонней гиперболы имеет следующий вид: y€x = 190,7 + − 193 x 2 σ Индекс корреляции: R = 1 − ост = 0,846 - связь между рассматриваемыми признаками очень тесная. xy σ у2 Средняя ошибка аппроксимации составила 30,61; поэтому качество построенной модели оценивается как плохое. Лабораторная работа №10 Тема: Гетероскедастичность Содержание занятия. Применение тестов для оценки гетероскедастичности. Литература: [1] стр155-169, [3] стр200-216, стр262-282 Задание Оценить регрессионную зависимость выпуска продукции обрабатывающей промышленности на душу населения у от валового внутреннего продукта на душу населения х для 17 стран. Исходные данные (усл.ед): № у х № у х 1 18 3 10 100 224 2 27 6 11 63 25 3 18 7 12 130 26 4 45 9 13 135 27 5 55 13 14 60 28 6 68 15 15 70 35 7 51 18 16 80 37 8 84 21 17 180 44 9 85 22 На основе данных с помощью обычного МНК оценить регрессии для шести стран с наименьшими значениями показателя х и для шести стран с наибольшими значениями этого показателя. Методические указания по выполнению задания: Для установления явления гетероскедастичности существуют ряд тестов: 1) тест Голдфелда-Кванта; 2) тест ранговой корреляции Спирмена; 3) тест Уайта; 4) тест Глезера; 5) тест Парка. Наиболее популярным является тест Голдфелда-Кванта. Данный тест используется для проверки следующего типа гетероскедастичности: когда среднее квадратическое отклонение случайной составляющей σ i = σ (ε i ) пропорционально значению признака-фактора хi в том наблюдении, т.е. σ i2 = σ 2 ⋅ x i2 , i = 1, 2,...., n . Тест Голдфелда-Кванта состоит в следующем: 1) упорядочение п наблюдений по мере возрастания переменной х; 2) исключение из рассмотрения С центральных наблюдений; при этом (п-С):2>р, где р – число оцениваемых параметров; 3) разделение совокупности из (п-С) наблюдений на две группы соответственно с малыми и большими значениями фактора х и определение по каждой из групп уравнений регрессий; 4) определение остаточной суммы квадратов для первой и для второй S2 групп и нахождения их отношения R=S1:S2 (или R=S2:S1, в числителе должна быть наибольшая из сумм квадратов отклонений). При выполнении нулевой гипотезы о гомоскедастичности отношение R будет удовлетворять F-критерию со степенями свободы ((п-С-2р):2) для каждой остаточной суммы квадратов. Чем больше величина R превышает табличное значение F-критерия, тем больше нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин (если Fтабл > Fкр, то гетероскедастичность имеет место). Применим тест Голдфелда-Кванта. Суммы квадратов отклонений составляют S1=229, S2=9804. При этом S2:S1=9804:229=42,8. Критическое значение Fкр=6,39, при 5-% уровне значимости. Поскольку F=42,8> Fкр=6,39, то нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется. Лабораторная работа № 11 Тема: Динамический ряд. Содержание занятия. 1. Расчет автокорреляции уровней временного ряда. 2. Расчет параметров трендов. Литература: [1] стр234-239,[2] стр138-139 Задание №1 Имеются условные данные о средних расходах на конечное потребление (усл. д.ед.) за 8 лет: t 1 2 3 4 5 6 7 8 yt 7 8 8 10 11 12 14 16 Рассчитать коэффициент автокорреляции первого порядка. Методические указания по выполнению задания: Расходы на конечное потребление в текущем году зависят от расходов на конечное потребление предыдущих лет, поэтому определим коэффициент корреляции между рядами yt и yt-1 и измерим тесноту связи между расходами на конечное потребление текущего и предыдущего годов. Формула для ∑ (x j − x) * ( y j − y) r xy = 2 ∑ (x j − x)2 * ∑ ( y j − y) расчета коэффициента корреляции имеет вид: В качестве переменной х рассмотрим ряд y2, y3,…, y8; в качестве переменной y - ряд y1, y2,… y7. Тогда приведенная формула примет вид: n n r 1 = Σ(y t =2 Σ (y n t =2 t 1 2 3 4 5 6 7 8 итого t − y1 ) ∗ ( y t −1 − y 2 ) ) 2 t ( n − y1 * ∑ y t −1 − y 2 ) 2 n t t =2 n −1 ; y2 = ∑y t −1 t =2 n −1 t =2 Заполним таблицу: yt yt-1 y t 7 8 8 10 11 12 14 16 86 где y1 = ∑y 7 8 8 10 11 12 14 70 − y1 -3,29 -3,29 -1,29 -0,29 0,71 2,71 4,71 0 y t −1 − y 2 ( y t − y1 ) ⋅ ( y t −1 − y 2 ) ( y t − y1 ) 2 ( y t −1 − y 2 ) 2 -3 -2 -2 0 1 2 4 0 9,87 6,58 2,58 0,00 0,71 5,42 18,84 44 10,8241 10,8241 1,6641 0,0841 0,5041 7,3441 22,1841 53,4287 9 4 4 0 1 4 16 38 где у1 = 8 + 8 + 10 + 1 + 12 + 14 + 16 = 11,29 у = 7 + 8 + 8 + 10 + 1 + 12 + 14 + 14 = 10 . 2 7 7 Используя формулу, получаем коэффициент автокорреляции первого порядка: r1 = 44 = 0,976 53,49 ⋅ 38 Полученное значение свидетельствует об очень тесной зависимости между расходами на конечное потребление текущего и непосредственно предшествующих годов и, следовательно, о наличии во временном ряде сильной линейной тенденции. Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Задание №2. Имеются данные об урожайности овощей в хозяйствах области: Год Урожайность овощей, ц/га 1995 49,2 1996 41,7 1997 46,0 1998 67,3 1999 69,0 2000 73,6 2001 85,8 2002 92,4 2003 98,4 2004 94,4 1. Построить графики ряда динамики и трендов. 2. Рассчитать параметры уравнений трендов. 3. Выбрать наилучший вид тренда на основании графического изображения и значения коэффициента детерминации. Методические указания по выполнению задания: Построение графиков осуществляется с помощью Мастера диаграмм: 1) введите исходные данные; 2) активизируйте Мастер диаграмм: в главном меню выберите Вставка/Диаграмма 3) в окне Тип выберите График. Щелкните по кнопке Далее. 4) Заполните диапазон данных. Установите флажок размещения данных в столбцах (строках). Щелкните по кнопке Далее. 5) Заполните параметры диаграммы на разных закладках: названия диаграммы и осей; подписи данных и др. Укажите место размещения диаграммы на отдельном или на имеющемся листе. Щелкните по кнопке Готово. Линия тренда может быть добавлена в построенный график. Для этого: 1) выделите область построения диаграммы; в главном меню выберите Диаграмма/Добавить линию тренда; 2) в появившемся диалоговом окне выберите вид линии тренда и задайте соответствующие параметры. Для полиномиального тренда необходимо задать степень аппроксимирующего полинома. В качестве дополнительной информации на диаграмме следует отобразить уравнение регрессии и значение коэффициента детерминации, установив соответствующие флажки на закладке Параметры. Щелкните по кнопке ОК. Для вышеприведенных исходных данных получены следующие уравнения трендов и значения коэффициента детерминации R2 . Тип тренда Уравнение R2 Линейный y€t = 6,641t + 35,253 0,9206 Полиномиальный второй степени y€t = 33,062 + 7,37t − 0,996t 2 0,922 Степенной y€t = 38,438t 0,3854 0,8034 Экспоненциальный y€t = 40,152 ⋅ e 0,979 t или 0,8846 y€t = 40,152 ⋅ 1,1028 t Логарифмический y€t = 33,007 + 2567 ln(t ) 0,8063 Исходные данные лучше всего описывает полином второй степени. Следовательно, в рассматриваемом примере для расчета прогнозных значений следует использовать полиномиальное уравнение. Лабораторная работа №12 Тема: Динамический ряд. Содержание занятия. 1.Построение аддитивной и мультипликативной моделей временного ряда. 2.Прогнозирование по аддитивной и мультипликативной моделям. Литература: [1] стр239-255,[2] стр137 Задание Пусть имеются поквартальные данные о прибыли компании за 3 года. Квартал I II III IV 1 72 100 90 64 2 70 92 80 58 3 62 80 68 48 Построить мультипликативную модель временного ряда и сделать прогноз на последующие два квартала. Методические указания по выполнению задания: Для построения мультипликативной модели временного ряда необходимо: 1) Провести выравнивание временного ряда методом скользящей средней. 2) Найти оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (графа 5). Расчет оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели № Прибыль, Скользящая средняя за Центрированная Оценка сезонной квартала, t Yt 4 квартала скользящая средняя компоненты 1 72 2 100 81,5 3 90 81,0 81,25 1,108 4 64 79,0 80,00 0,800 5 70 76,5 77,75 0,900 Год 6 7 8 9 10 11 12 92 75,0 75,75 1,215 80 73,0 74,00 1,081 58 70,0 71,50 0,811 62 67,0 68,50 0,905 80 64,5 65,75 1,217 68 48 Найденные оценки используются для расчета сезонной компоненты S. Для этого находятся средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты Si. Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле (в примере равно 4). Расчет сезонной компоненты Показатели Год № квартала I II III IV 1 1,108 0,800 2 0,900 1,215 1,081 0,811 3 0,905 1,217 Итого за квартал 1,805 2,432 2,189 1,611 Средняя оценка сезонной 0,9025 1,216 1,0945 0,8055 компоненты Скорректированная сезонная 0,8983 1,2104 1,0895 0,8018 компонента, Si Имеем: 0,9025+1,216+1,0945+0,8055=4,0185. Определим корректирующий коэффициент: k=4:4,0185=0,9954. Определим скорректированные значения сезонной компоненты, умножив её средние оценки на корректирующий коэффициент S i = S i ⋅ k 3) Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Получим величины T*E=Yt/Si, которые содержат только тенденцию и случайную компоненту. Расчет выравненных значений Т и ошибок в мультипликативной модели t Yt Si T*E=Yt/Si T T*S E=Yt-(T*S) E2 18,545 0,8983 80,15 94,94 0,943 -4,306 1 72 82,87 0,996 -0,304 0,092 2 100 1,2104 82,62 1,022 1,977 3,908 90 1,0895 82,61 80,79 3 0,886 0,784 79,92 78,71 1,014 4 64 0,8018 1,334 76,64 1,016 1,155 5 70 0,8983 77,92 1,019 1,749 3,062 6 92 1,2104 76,01 74,56 1,054 1,0895 73,43 72,48 1,013 1,026 7 80 72,34 70,41 1,027 1,546 2,390 8 58 0,8018 68,33 1,010 0,617 0,381 62 0,8983 69,02 9 0,997 -0,195 0,038 0,2104 66,09 66,25 10 80 -1,923 3,698 62,41 64,17 0,972 11 68 1,0895 3,217 62,10 0,964 -1,793 12 48 0,8018 59,86 4) Определить компоненту Т. Для этого рассчитываются параметры линейного тренда, используя уровни (Т*Е). Уравнение тренда имеет следующий вид: Т=87,022-2,076t. Подставляя в это уравнение значения t=1,2,…12 найти уровни Т для каждого момента времени. 5) Найти уровни временного ряда, умножив уровни Т на значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов. 6) Расчет ошибки в мультипликативной модели производится по формуле E=Yt-(T*S) (графа 7). Пусть необходимо дать прогноз прибыли в течение первого полугодия следующего года. Прогнозное значение Ft уровня временного ряда в мультипликативной модели есть произведение трендовой и сезонной компоненты. Для определения трендовой компоненты следует воспользоваться уравнением тренда Т=87,022-2,076t. Т13=87,022-2,076*13=60,034. Т14=87,022-2,076*14=57,958. Значения сезонной компоненты S1=0,8983; S2=1,2104. F13= Т13* S1=60,034*0,8983=53,928 F14= Т14* S2=57,958*1,2104=70,152 Прогноз ожидаемой прибыли компании на первое полугодие составит: 53,928+70,152=124,080 тыс. у.ед. Лабораторная работа № 13 Тема: Динамический ряд. Содержание занятия. 1. Применение методов исключения тенденции. 2. Автокорреляция в остатках. Расчет критерия Дарбина-Уотсона. Литература: [1] стр263-278, [2] стр139-140 Задание. По данным за 18 месяцев построено уравнение регрессии зависимости прибыли предприятия у (млн. тенге) от цен на сырьё х1 (тыс. тенге за 1т) и производительности труда х2 (ед. продукции на 1 работника): у€ = 200 − 1,5 х1 + 4 х 2 . При анализе остаточных величин были использованы значения, приведенные в следующей таблице: № 1 2 3 ∑ε 2 t у 210 720 300 … = 10500, ∑ (ε х1 800 1000 1500 … t − ε t −1 ) 2 х2 300 500 600 … = 40000 . Требуется: 1) по трем позициям рассчитать 2 y€t , ε t , ε t −1 , ε t2 , (ε t − ε t −1 ) . 2) рассчитать критерий Дарбина-Уотсона. 3) оценить полученный результат при 5-% уровне значимости. Методические указания по выполнению задания: 1) y€t определяется путем подстановки фактических значений х1 и х2 в уравнение регрессии: y€1 = 200 − 1,5 ⋅ 800 + 4 ⋅ 300 = 200 ; Остатки εt y€2 = 200 − 1,5 ⋅ 1000 + 4 ⋅ 500 = 700 ; рассчитываются по формуле: y€3 = 200 − 1,5 ⋅ 1500 + 4 ⋅ 600 = 350 ε t = yt − y€t . ε 12 = 100, ε 22 = 400, ε 32 = 2500 . Следовательно, ε 1 = 210 − 200 = 10, ε 2 = 720 − 700 = 20, ε 3 = 300 − 350 = −50 ; Результаты вычислений оформим в таблицу: 2 № y€ ε (ε − ε ) ε t 1 2 3 ... ∑ 200 700 350 .... t 10 20 -50 .... t −1 10 20 .... t −1 t 10 -70 .... (ε t − ε t −1 ) ε t2 100 4900 .... 40000 100 400 2500 .... 10500 ∑ (ε − ε ) ∑ε 2 2) Критерий Дарбина-Уотсона рассчитывается по формуле: d = t −1 t 2 t = 40000 = 3,81 10500 3) Фактическое значение d сравниваем с табличными значениями при 5-% уровне значимости. При п=18 месяцев и т=2 (число факторов) нижнее значение d ′ равно 1,05, а верхнее – 1,53. Так как фактическое значение d близко к 4, то можно считать, что автокорреляция в остатках характеризуется отрицательной величиной. Чтобы проверить значимость отрицательного коэффициента автокорреляции, найдем величину: 4- d=4-3,81=0,19 , что значительно меньше, чем d ′ . Это означает наличие в остатках автокорреляции. Лабораторная работа №14 Тема: Система одновременных уравнений Содержание занятия. 1. Определение параметров структурной модели на основе приведенной формы модели 2. Проверка структурной модели на идентификацию. Литература: [1] стр185-193, [3] стр332-337, [2] стр108-110 Задание №1 На основе приведенной формы модели вида: y1 = 0,852 x1 + 0,373x 2 + u1 y 2 = −0,072 x1 − 0,00557 x 2 + u 2 построить структурную форму модели. Методические указания по выполнению задания: у1 = b12 y 2 + a11 x1 + ε 1 Переходим от приведенной формы к структурной форме модели, т.е. к системе уравнений: y 2 = b21 y1 + a 22 x2 + ε 2 Для этой цели из первого уравнения приведенной формы модели надо исключить х2 выразив его из второго уравнения приведенной формы и подставив в первое: х = − 0,072 х1 − у 2 . Тогда у€ = 0,852 х + 0,373 * − 0,072 х1 − у 2 . После 1 1 2 0,00557 0,00557 соответствующих преобразований получим: у€1 = −66,966 у 2 − 3,97 х1 - первое уравнение структурной модели. Чтобы найти второе уравнение структурной модели обратимся вновь к приведенной форме модели. Из второго уравнения приведенной формы модели следует исключить х1, выразив его через первое уравнение и подставив во второе: у − 0,373 х 2 у − 0,373 х 2 и у€2 = −0,072 * 1 − 0,00557 х 2 . у€2 = −0,085 у1 + 0,026х2 - второе уравнение структурной х1 = 1 0,852 0,852 модели. Структурная форма модели имеет следующий вид: у1 = −66,966 у 2 − 3,970 х1 + ε 1 у 2 = −0,085 у1 + 0,026 х 2 + ε 2 Задание №2 Применив необходимое условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели. у1 = b12 y 2 + b13 y3 + a11 x1 + a12 x2 y 2 = b21 y1 + a21 x1 + a22 x 2 + a23 x3 y = b y + b y + a x + a x 31 1 32 2 33 3 34 4 3 Методические указания по выполнению задания: Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных отсутствующих в данном уравнении системы, но присутствующих в системе, было бы равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного. Если обозначить число эндогенных переменных в j-м уравнении системы через H, а число экзогенных переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение – через D, то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила: D+1=H - уравнение идентифицируемо; D+1<H - уравнение неидентифицируемо; D+1>H - уравнение сверхдентифицируемо. 1 уравнение: в нем присутствует три эндогенные переменные у1, у2, у3 , т.е. Н=3 и две экзогенные переменные – х1, х2,число отсутствующих экзогенных переменных равно двум – х3, х4, т.е. D=2. Имеем равенство: D+1=H (2+1=3).Уравнение идентифицируемо Во втором уравнении системы H=2 (y1, y2) и D=1(x4), т.е. D+1+H (1+1=2) Уравнение идентифицируемо В третьем уравнении системы H=3 (y1, y2,y3), а D=2 (x1,x2), т. е. D+1=H (2+1+3) и это уравнение идентифицируемо. Таким образом, система в целом идентифицируема. Задание №3 Проверить каждое уравнение системы на необходимое и достаточное условия идентификации: у1 = b12 y 2 + b13 y3 + a11 x1 + a12 x2 y 2 = b21 y1 + a22 x2 + a23 x3 + a24 x4 y = b y + b y + a x + a x 31 1 32 2 31 1 32 2 3 Методические указания по выполнению задания: Для первого уравнения Н=3 ( у1, у2, у3 ) и D=2 (х3, х4), т.е. D+1=H (2+1=3). Необходимое условие идентификации выдержано. Более точно условия идентификации определяются, если накладывать ограничения на коэффициенты матриц параметров структурной модели. Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного. Для проверки на достаточное условие идентификации заполним следующую таблицу коэффициентов при отсутствующих в первом уравнении переменных, в которой определитель матрицы коэффициентов равен нулю. Уравнения Переменные х3 х4 2 а23 а24 3 0 0 Det A= a23*0-a24*0=0. Следовательно, достаточное условие идентификации не выполняется и первое уравнение нельзя считать идентифицируемым. Для второго уравнения Н=2 ( у1, у 2 ) и D=1 (х1), т.е. D+1=H (1+1=2). Уравнение идентифицируемо. Достаточное условие идентификации выполняется. Коэффициенты при отсутствующих во втором уравнении переменных составят: Уравнения Переменные у3 х1 1 b13 а11 3 -1 а31 Det A= b13* а31+а11 ≠ 0. Ранг матрице равен двум, что соответствует следующему критерию: ранг матрицы коэффициентов должен быть не менее, чем число эндогенных переменных в системе без одного, второе уравнение системы точно идентифицируемо. Третье уравнение системы содержит Н=3 и D=2, т.е. по необходимому условию идентификации оно точно идентифицируемо D+1=H. Противоположный вывод имеем, проверив его на достаточное условие идентификации. Составим таблицу коэффициентов. Уравнения Переменные х3 х4 1 0 0 2 а23 а24 Det A= a24*0-a23*0 =0. Достаточное условие идентификации не выполняется. Уравнение неидентифицируемо. Следовательно, рассматриваемая в целом структурная модель, идентифицируемая по счетному правилу, не может считаться идентифицируемой из достаточного условия идентификации. Лабораторная работа №15 Тема: Система одновременных уравнений Содержание занятия. 1. Применение косвенного метода наименьших квадратов. 2. Применение ДМНК к простейшей сверхидентифицируемой модели. Литература: [1] стр200-204,[2] стр113-115, [8] стр30-341 Задание Пусть для построения данной модели мы располагаем некоторой информацией по 5 регионам: Регион у1 у2 х1 х2 1 2 5 1 3 2 3 6 2 1 3 4 7 3 2 4 5 8 2 5 5 6 5 4 6 средние 4 6,2 2,4 3,4 Построить структурную эконометрическую модель, применив косвенный метод наименьших квадратов и двухшаговый метод наименьших квадратов. Методические указания по выполнению задания: Приведенная форма модели составит: у€1 = δ 11 х1 + δ 12 х 2 + u1 y€2 = δ 12 x1 + δ 22 x 2 + u 2 Для каждого уравнения приведенной формы модели применяем традиционный МНК и определяем δ коэффициенты. Чтобы упростить процедуру расчетов, можно работать с отклонениями от средних уровней, т.е. y = y − y u x = x − x . Тогда для первого уравнения приведенной формы модели система нормальных уравнений составит: ∑ y1 x1 = δ 11 ∑ x12 + δ 12 ∑ x1 x 2 2 ∑ y1 x 2 = δ 11 ∑ x1 x2 + δ 12 ∑ x 2 № y1 y2 x1 x2 y1 x1 y1 x2 x12 x 22 x1 x 2 y 2 x1 y 2 x2 1 2 3 4 5 -2 -1 0 1 2 0 -1,2 -0,2 0,8 1,8 -1,2 0 -1,4 -0,4 0,6 -0,4 1,6 0 -0,4 -2,4 -1,4 1,6 2,6 0 2,8 0,4 0 -0,4 3,2 6 0,8 2,4 0 1,6 5,2 10 1,96 0,16 0,36 0,16 2,56 5,2 0,16 5,76 1,96 2,56 6,76 17,2 0,56 0,96 -0,84 -0,64 4,16 4,2 1,68 0,08 0,48 -0,72 -1,92 -0,4 0,48 0,48 -1,12 2,88 -3,12 -0,4 от средних ∑ Применительно к рассматриваемому примеру, используя отклонения уровней, имеем: 6 = 5,2δ 11 + 4,2δ 12 . Решая данную систему, получим следующее первое уравнение приведенной формы модели: 10 = 4,2δ 11 + 17,2δ 12 у1=0,852х1+0,373х2 Аналогично применяем МНК для второго уравнения приведенной формы модели. Система нормальных 2 − 0,4 = 5,2δ 21 + 4,2δ 22 уравнений составит: ∑ y 2 x1 = δ 21 ∑ x1 + δ 22 ∑ x1 x2 Применительно к нашему примеру имеем: 2 − 0,4 = 4,2δ 21 + 17,2δ 22 ∑ y 2 x 2 = δ 21 ∑ x1 x 2 + δ 22 ∑ x 2 Откуда второе уравнение приведенное уравнение составит: у2=-0,072х1-0,00557х2 y1 = 0,852 x1 + 0,373 x2 + u1 Таким образом, приведенная форма модели имеет вид: y 2 = −0,072 x1 − 0,00557 x 2 + u 2 Переходим от приведенной формы к структурной форме модели, т.е. к системе уравнений: у1 = b12 y 2 + a11 x1 + ε 1 y 2 = b21 y1 + a 22 x 2 + ε 2 Для этой цели из первого уравнения приведенной формы модели надо исключить х2 выразив его из второго уравнения приведенной формы и подставив в первое: х = − 0,072 х1 − у 2 . Тогда у€ = 0,852 х + 0,373 * − 0,072 х1 − у 2 2 1 1 0,00557 0,00557 у€1 = −66,966 у 2 − 3,97 х1 - первое уравнение структурной модели. Чтобы найти второе уравнение структурной модели обратимся вновь к приведенной форме модели. Из второго уравнения приведенной формы модели следует исключить х1, выразив его через первое уравнение и подставив во второе: у − 0,373 х 2 и у€2 = −0,072 * у1 − 0,373 х 2 − 0,00557 х 2 . у€2 = −0,085 у1 + 0,026 х 2 - второе уравнение структурной х1 = 1 0,852 0,852 модели. Итак, структурная форма модели имеет вид: у1 = −66,966 у 2 − 3,970х1 + ε 1 у 2 = −0,085 у1 + 0,026х 2 + ε 2 Применим двухшаговый метод наименьших квадратов к простейшей сверхидентифицируемой модели: у = b 1 12 ( y 2 + x1 ) + ε 1 . Используем те же исходные данные, поэтому получим ту же систему приведенных уравнений: y 2 = b21 y1 + a 22 x2 + ε 2 y1 = 0,852 x1 + 0,373 x 2 + u1 y 2 = −0,072 x1 − 0,00557 x 2 + u 2 На основе второго уравнения данной системы найдем теоретические значения для эндогенной переменной у 2 , т.е. у€2 . С это целью во второе уравнение подставляем значения х1 и х 2 . Расчетные данные для второго шага ДМНК. х1 х2 у€2 у€2 + х1 = z у1 у1 z z2 -1,4 -0,4 0,6 -0,4 1,6 -0,4 -2,4 -1,4 1,6 2,6 0 0,103 0,042 -0,035 0,020 -0,130 0 -1,297 -0,358 0,565 -0,380 1,470 0 -2 -1 0 1 2 0 2,594 0,358 0 -0,380 2,940 5,512 1,682 0,128 0,319 0,144 2,161 4,434 ∑0 у 2 их оценками у€2 , найдем значения новой переменной у€2 + х1 = z . Далее применяем 2 МНК к уравнению у1 = b12 ⋅ z е.е. ∑ y1 z = b12 ⋅ ∑ z . Откуда b = ∑ y1 z = 5,512 = 1,243 . Заменяя фактические значения 12 ∑z 2 4,434 Таким образом, сверхидентифицируемое структурное уравнение составит y1 = 1,243( y 2 + x1 ) . Ввиду того, что второе уравнение системы не изменилось, то его структурная форма, найденная из системы приведенных уравнений та же: у€2 = −0,085 у1 + 0,026х2 . В целом рассматриваемая система одновременных уравнений составит: у1 = 1,243( у 2 + х1 ) + ε 1 у 2 = −0,085 у1 + 0,026 х 2 + ε 2 8. Материалы для самостоятельной работы обучающегося: Тема: Сведения из теории вероятности и математической статистики Задача №1 Законы распределения независимых случайных величин Х и Y приведены в таблицах Хi -2 0 1 3 4 Pi 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1 Yi 2 4 6 8 Pi 0,2 0,4 0,3 0,1 Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Z=2X+3Y. Задача №2 Дан ряд распределения случайной величины Х: Хi 0 1 2 3 4 Pi 0,2 0,15 0,25 0,3 0,1 Необходимо: 1) найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации; 2) определить функцию распределения F(x) и построить ее график; 3) найти вероятность попадания случайной величины в интервал [0,2 ] Задача №3 Предприятие имеет 5 станков по производству камня, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа любого из них p=0,25. Определите параметры закона биномиального распределения случайной величины- числа отказа станков. Задача №4 Определите вероятность невыхода специалиста на работу по причине болезни, если среднее число заболевших специалистов составляет 4 человека. Задача №5 Какова вероятность того, что при 100-кратном бросании монеты число выпадений герба будет от 45 до 55? Тема: Проверка статистических гипотез Задача №1 Производитель утверждает, что доля бракованных изделий не превосходит 3%. В случайной выборке объема п=100 изделий оказалось 5 бракованных изделий. Не противоречит ли это утверждению производителя? Доверительная вероятность р=95%. Задача №2 Производственная линия выпускала 5% бракованных товаров. Было предложено усовершенствование, призванное снизить процент брака. После переналадки линии на осмотр поступило 300 единиц товара, из которых бракованными оказались 9 единиц. Можно ли на 1% уровне значимости считать, что качество продукции производственной линии улучшилось? Задача №3 Инвестиция 1 рассчитана на п1=14 лет, дисперсия ежегодных прибылей 2 s12 =(15%)2. Инвестиция 2 рассчитана на п2=12 лет, дисперсия ежегодных прибылей s 2 =(20%)2. Предполагается, что распределение ежегодных прибылей на инвестиции подчиняется нормальному закону распределения. Равны ли риски инвестиций 1 и 2? Доверительная вероятность р=99%. Задача №4 Урна содержит большое количество белых и черных шаров. 100 раз производится следующее действие: из урны наугад достается шар, фиксируется его цвет, затем шар опускается обратно в урну, после чего шары перемешиваются. Оказалось, что 67 раз достали белый шар, 33 раза – черный. Можно ли на 5% уровне значимости принять гипотезу о том, что доля белых шаров в урне составляет 0,6? Тема: Парная линейная регрессия и корреляция. Задача №1 Имеются следующие данные об уровне механизации работ Х(%) и производительности труда Y(т/ч) для 14 однотипных предприятий: хi 32 30 36 40 41 47 56 54 60 55 61 67 69 76 yi 20 24 28 30 31 33 34 37 38 40 41 43 45 48 Необходимо: 1)оценить тесноту связи и направление связи между переменными с помощью коэффициента корреляции; 2) найти уравнение регрессии Y по Х; 3) найти коэффициент детерминации и пояснить его смысл; 4) проверить значимость уравнения регрессии на 5%-м уровне; 5) построить 95%-й доверительные интервалы для каждого из параметров уравнения регрессии. Задача №2 По данным 30 нефтяных компаний получено следующее уравнение регрессии между оценкой Y (ден. ед.) и фактической стоимостью Х (ден. ед.) этих компаний: ух=0,875х+295. Найти: 95%-е доверительные интервалы для среднего и индивидуального значений оценки предприятий, фактическая стоимость которых составила 1300 ден.ед., если коэффициент корреляции между ними равен 0,76, а среднее квадратическое отклонение переменной Х равно 270 ден.ед. Тема: Модель множественной линейной регрессии. Задача №1 По 30 наблюдениям получены следующие данные: Уравнение регрессии у€ = а + 0,176 х + 0,014 х х Коэффициент детерминации у х1 х2 х3 1 2 − 7,75 х3 0,65 200 150 20 100 1.Найти скорректированный коэффициент корреляции, оцените значимость уравнения регрессии в целом. 2. Определите частные коэффициенты эластичности. 3. Оцените параметр а. Задача №2 По 50 семьям изучалось потребление мяса – у (кг на душу населения) от дохода - х1 (д.ед. на одного члена семьи) и от потребления рыбы – х2 (кг на душу населения). Результаты оказались следующими: Уравнение регрессии у€ = −180 + 0,2 х − 0,4 х х 1 2 Стандартные ошибки параметров 20 0,01 0,25 Множественный коэффициент корреляции 0,85 1.Используя t–критерий Стьюдента, оцените значимость параметров уравнения. 2.Рассчитайте F–критерий Фишера. 3. Оцените по частным F–критериям Фишера целесообразность включения в модель: а) фактора х1 после фактора х2 ; б) фактора х2 после фактора х1. Тема: Фиктивные переменные Задача №1 Необходимо исследовать зависимость между результатами письменных вступительных и и курсовых (на 1 курсе) экзаменов по математике. Получены следующие данные о числе решенных задач на вступительных экзаменах Х (задание - 10 задач) и курсовых экзаменах Y (задание – 7 задач) 12 студентов, а также распределение этих студентов по фактору «пол» № Число решенных задач Пол № Число решенных задач Пол студента, i студента студента, i студента хi yi хi yi 1 10 6 Муж. 7 6 3 Жен. 2 6 4 Жен. 8 7 4 Муж. 3 8 4 Муж. 9 9 7 Муж. 4 8 5 Жен. 10 6 3 Жен. 5 6 4 Жен. 11 5 2 Муж. 6 7 7 Муж. 12 7 3 Жен. Построить линейную регрессионную модель Y по Х с использованием фиктивной переменной по фактору «пол». Можно ли считать, что эта модель одна и та же для юношей и девушек? Тема: Нелинейные эконометрические модели. Задача №1 Для трех видов продукции А, В, С модели зависимости удельных постоянных расходов от объема выпускаемой продукции выглядят следующим образом: уА=600, уВ=80+0,7х, уС=40х0,5. 1.Определите коэффициенты эластичности по каждому виду продукции и поясните их смысл. 2. Сравните при х=1000 эластичность затрат для продукции В и С. 3.Определите, каким должен быть объем выпускаемой продукции, чтобы коэффициенты эластичности продукции В и С были равны. Задача №2 Зависимость объема производства у (тыс.ед.) от численности занятых х (чел.) по 15 заводам концерна характеризуется 2 следующим образом: у = 30 − 0,4 х + 0,04 х . Доля остаточной дисперсии в общей 20%. Определите: 1. Индекс корреляции. 2. Значимость уравнения регрессии. 3. Коэффициент эластичности, предполагая, что численность занятых составляет 30 человек. Задача №3 Зависимость среднемесячной производительности труда от возраста рабочих характеризуется моделью: Ее использование привело к следующим результатам: Производительность труда Производительность труда № рабочих, тыс. тенге, у № рабочих, тыс. тенге, у фактическая расчетная фактическая расчетная 1 12 10 6 11 12 2 8 10 7 12 13 3 13 13 8 9 10 4 15 14 9 11 10 5 16 15 10 9 9 Оцените качество модели, определив ошибку аппроксимации, индекс корреляции и F-критерий Фишера. у = а + bx + cx 2 . Тема: Гетероскедастичность Задача №1 В таблице приведены данные по 18 наблюдениям модели пространственной выборки: i xi i xi е2 е2 i i 10 71,5 23,8 2,3 1 21,3 75,7 45,7 5,6 11 2 22,6 34,7 12 76,0 32,7 12,8 3 56,9 78,9 41,7 10,1 13 4 79,8 56,8 14,6 14 5 43,8 49,8 13,9 15 80,7 49,7 6 58,9 16 80,8 56,9 24,0 7 17 96,9 87,8 21,9 8 59,7 9 67,8 19,7 18 97,0 87,5 Предполагая, что ошибки регрессии представляют собой нормально распределенные случайные величины, проверить гипотезу о гомоскедастичности, используя тест Голдфелда-Квандта. Задача №2 При оценивании модели пространственной выборки обычным методом наименьших квадратов получено уравнение: у€х = 3 + 0,6 х1 − 1,2 х 2 .Уравнение регрессии квадратов остатков на квадраты регрессоров имеет вид: е€2 = 2 + 0,3х12 + 0,1х 22 ; R 2 = 0,2 . Зная, что объем пространственной выборки п=200, проверить гипотезу Уайта о гомоскедастичности модели. Тема: Динамический ряд. Задача №1 Имеются данные об урожайности зерновых в хозяйствах области: Год 1 2 3 4 5 6 7 8 Урожайность 10,2 10,7 11,7 13,1 14,9 17,2 20,0 23,2 зерновых, ц/га 1. Обоснуйте выбор уравнения тренда и определите его параметры. 2. Дайте прогноз урожайности зерновых на следующий год. Задача №2 По данным за 30 месяцев некоторого временного ряда хt были получены значения коэффициентов автокорреляции уровней: r1=0,63; r2=0,38; r3=0,72; r4=0,97; r5=0,55; r6=0,40; r7=0,65. Требуется: 1.Охарактеризовать структуру этого ряда, используя графическое изображение. 2. Для прогнозирования значений хt в будущие периоды предполагается построить уравнение авторегрессии. Выбрать наилучшее уравнение, обосновать выбор. Указать общий вид этого уравнения. Задача №3 В таблице приводятся данные об уровне дивидендов, выплачиваемых по обыкновенным акциям (в процентах), и среднегодовой стоимости основных фондов компании (Х, млн. ден. ед.) за последние девять лет. Показатель 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Среднегодовая стоимость основных 72 75 77 77 79 80 78 79 80 фондов Дивиденды по обыкновенным 4,2 3,0 2,4 2,0 1,9 1,7 1,8 1,6 1,7 акциям 1.Определите параметры уравнения регрессии по первым разностям и дайте их интерпретацию. В качестве зависимой переменной используйте показатель дивидендов по обыкновенным акциям. 2. В чем состоит причина построения уравнения регрессии по первым разностям, а не по исходным уровням рядов? Тема: Система одновременных уравнений Задача №1 Имеется следующая гипотетическая модель: Y1 = b12Y2 + a11 X 1 + a12 X 2 Y2 = b21Y1 + b23Y3 + a 22 X 2 Y3 = b32Y2 + a31 X 1 + a33 X 3 Приведенная форма исходной модели имеет вид: Y1 = 3 X 1 − 6 X 2 + 2 X 3 Y2 = 2 X 1 + 4 X 2 + 10 X 3 Y3 = −5 X 1 + 6 X 2 + 5 X 3 1. Проверьте структурную форму модели на идентификацию. 2. Определите структурные коэффициенты модели. Задача №2 1.Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели. 2.Определите метод оценки параметров модели. 3. Запишите приведенную форму модели. Ct = a1 + b11Yt + b12Yt −1 + ε 1t (функция потребления ); Модель Кейнса (одна из версий): I t = a 2 + b21Yt + ε 2t (функция инвестиций ); Yt = C t + I t + Gt ( тождество дохода). где C – потребление; Y –ВВП; I – валовые инвестиции; G – государственные расходы; t – текущий период; t-1- предыдущий период. Тематика рефератов по дисциплине «Эконометрика» История возникновения эконометрики Жизнь и деятельность ученых, внесших вклад в развитие эконометрики Виды эконометрических моделей. Экономические данные. Виды и их свойства Законы распределения случайных величин. Нормальное распределение и его применение в экономических расчетах. Проверка статистических гипотез. Проблемы спецификации эконометрических моделей. Определение мультиколлинеарности и методы устранения мультиколлинеарности. Фиктивные переменные и их сущность Нелинейные модели регрессии. Производственные функции. Гомоскедастичность и гетероскедастичность остатков. Тесты для оценки гетероскедастичности Ранговая корреляция. Частная корреляция. Ложная корреляция. Обобщенный метод наименьших квадратов. Трехшаговый метод наименьших квадратов. Прогнозирование на основе временных рядов. Автокорреляция остатков временного ряда. Тесты на наличие автокорреляции. Методы устранения автокорреляции Динамические эконометрические модели Методы отбора факторов для построения регрессии Статистика Дарбина-Уотсона и ее применение Эконометрическое моделирование в маркетинговых исследованиях. Модель адаптивных ожиданий. Модели с распределенным лагом. 30 Оценивание параметров моделей с распределенным лагом. 10. Методические указания по прохождению учебной, производственной и преддипломных практик, формы отчетной документации (если требует специфика дисциплины) 11. Материалы по контролю и оценке учебных достижений обучающихся График выполнения и сдачи заданий по дисциплине № п/п 1 2 3 4 5 6 7 Критерий оценки Активность на лекции Активность на семинаре (практическом занятии) Активность на занятии СРСП Реферат Индивидуальный задание Контрольная работа Промежуточная аттестация (Р1, Р2) 8 9 Текущий контроль Рейтинг допуска 10 Итоговый контроль (экзамен) Итого Оценка вида Балл за работу К-во выполн-х работ 100 15 100 15 100 100 100 100 100 15 2 2 2 Среднеарифметическая сумма всех оценок (Р1+Р2)/2 Текущий контроль* 0,6 100*0,4 Рейтинг допуска + итоговый контроль Примерные тестовые вопросы 1. постановочный, априорный, параметризация, 1. Дайте определение эконометрики. информационный, идентификация модели, 1. эконометрика это статистиковерификация модели; математический анализ экономических 2. постановка задачи, построение модели, отношений; аналитическое решение, проверка модели; 2. эконометрика это взаимосвязь 3. формулировка задачи, построение модели, экономических процессов и явлений; решение модели на ЭВМ, анализ 3. эконометрика - это анализ экономических полученного решения; явлений и процессов; 4. формулировка задачи, решение задачи на 4. эконометрика - это аналитический анализ ЭВМ, внедрение решения. построение экономических отношений; модели, графическое решение модели, анализ 5. эконометрика - это качественный анализ полученного решения экономических отношений; 5. Какая случайная величина называется дискретной? 2. На основе, каких областей знаний строятся 1. если в результате испытания она может эконометрические методы? принять значение из счетного множества 1. экономики, математики и статистики; возможных числовых значений; 2. теории вероятности, макроэкономики и 2. если в результате испытания случайная геометрии; величина может принять непрерывное 3. математического анализа, информатики; значение из некоторого диапазона; 4. ЭММ, макроэкономики; 3. если в результате испытания случайная 5. микроэкономики, статистики. величина может принять бесконечное число 3. В чем заключается основная задача эконометрического значений; анализа? 4. если в результате испытания случайная 1. в отыскании значений коэффициентов величина может принять заранее известное эконометрической модели, обеспечивающих значение из числа возможных значений; наименьшую величину е. 5. если в результате испытания случайная 2. в отыскании фактических значений величина может принять значение из результативного признака; непрерывного диапазона. 3. в отыскании случайной величины е; 6. Дайте определение закона распределения случайной 4. в построении уравнения парной или величины. множественной регрессии; 1. закон распределения - это правило, 5. в построении системы одновременных устанавливающее связь между возможными уравнений. значениями случайной величиной и их 4. Какие основные этапы включает эконометрический вероятностями; эксперимент? 2. закон распределения связь между значениями случайных величин х и у; 3. закон распределения - это правило, устанавливающее связь между результативным признаком у и признаком фактором х; 4. закон распределения - это закон, с помощью которого описывают распределения случайных величин; 5. закон распределения - это взаимосвязь между вероятностями значений случайной величины. 7. Какие основные числовые характеристики случайной величины вы знаете? 1. математическое ожидание, дисперсия; 2. дисперсия, стандартное отклонение; 3. математическое ожидание, стандартное отклонение; 4. выборочная дисперсия, среднеквадратическое отклонение; 5. выборочная средняя, математическое ожидание. 8. Дайте определение статистической гипотезы. 1. предположение о том, что случайная величина подчиняется определенному закону распределения, называется статистической гипотезой; 2. предположение о том, что случайная величина подчиняется закону распределения Фишера (F-критерий), называется статистической гипотезой; 3. предположение о том, что случайная величина подчиняется закону распределения Стьюдента (t-тест), называется статистической гипотезой; 4. предположение о том, что случайная величина подчиняется закону распределения Гаусса, называется статистической гипотезой 5. предположение о том, что случайная величина подчиняется биномиальному закону распределения, называется статистической гипотезой 9. Что называется проверкой гипотезы? 1. проверка гипотезы - это процедура сопоставления высказанной гипотезы с выборочными данными; 2. процедура сопоставления случайных величин называется проверкой гипотезы; 3. процесс сравнения истинной гипотезы со значениями случайных величин называется проверкой гипотезы; 4. процесс сопоставления нуль-гипотезы с теоретическими значениями результативного признака называется проверкой гипотезы 5. процесс сравнения истинной гипотезы с результативными значениями случайных величин называется проверкой гипотезы; 10.Общий вид записи уравнения парной регрессии. y = f ( x ) 2. y = f ( x1 , x2 ) 1 3. y = f ( x1 , x 2 ...x k ) 4. y = f x у 5. y = f x 1. 11. Определите среднюю ошибку аппроксимации, если ∑A = 67,3 , а n=10. 12. 1. 6,73 2. 87,3 3. 673 4.57,3 5. 0,10 Определите значение F-критерия для парной i 2 регрессионной модели, если rxy = 0,8 ; n=20. 1. 72 2. 80 3. 20,8 4. 19,2 5. 10 13. С помощью какого показателя определяется теснота связи между признаками в парной линейной регрессии? 1. Линейный коэффициент корреляции 2. Коэффициент детерминации 3. Индекс детерминации 4. Индекс множественной корреляции 5. Частный коэффициент корреляции 14. С помощью какого показателя определяется теснота связи между признаками в парной нелинейной регрессии? 1. Индекс корреляции 2. Линейный коэффициент корреляции 3. Коэффициент детерминации 4. Индекс множественной корреляции 5. Частный коэффициент корреляции 15. С помощью какого показателя определяется теснота связи между признаками во множественной регрессии? 1. Индекс множественной корреляции 2. Индекс корреляции 3. Линейный коэффициент корреляции 4. Коэффициент детерминации 5. Частный коэффициент корреляции 16. С помощью какого показателя определяется значимость уравнения регрессии? 1. F-критерия Фишера 2. t-критерия Стьюдента 3. ошибки аппроксимации 4. коэффициента корреляции 5. индекс корреляции 17. С помощью какого показателя определяется значимость параметров уравнения регрессии? 1. t-критерия Стьюдента 2. ошибки аппроксимации 3. коэффициента корреляции 4. индекс корреляции 5. F-критерия Фишера 18. С помощью какого показателя определяется значимость качество построенного уравнения регрессии? 1. ошибки аппроксимации 2. коэффициента корреляции 3. индекс корреляции 4. F-критерия Фишера 5. t-критерия Стьюдента 19. Что означает данное выражение Fфакт > F табл? 1. Уравнение регрессии статистически значимо и надежно 2. Уравнение регрессии статистически не значимо и не надежно 3. Параметры уравнения регрессии статистически значимы и надежны 4. Параметры уравнения регрессии статистически не значимы и не надежны 5. Линейный коэффициент корреляции статистически незначим и не надежен 20. Что означает данное выражение tфакт > tтабл? 1. Параметры уравнения регрессии статистически значимы и надежны 2. Параметры уравнения регрессии статистически не значимы и не надежны 3. Уравнение регрессии статистически не значимо и не надежно 4. Уравнение регрессии статистически значимо и надежно 5. Линейный коэффициент корреляции статистически незначим и не надежен 21. С помощью какого показателя определяется значимость линейного коэффициента корреляции? t-критерия Стьюдента ошибки аппроксимации коэффициента корреляции индекс корреляции F-критерия Фишера 22. Определите значение t-критерия для параметра b в уравнении регрессии yˆ x = −10,5 + 30,2 x , если mb = 2,1 14,38 2. 32,3 3. 28,1 4. -8,4 5. 5 23. Определите значение t-критерия для параметра a в уравнении регрессии yˆ x = −10,5 + 30,2 x , если ma = 4,5 1. -2,3 2. -6 3. 6,71 4. -15 5. 6 24.Какой показатель выражает меру для оценки включения фактора в модель множественной регрессии? 1. Частный F-критерий 2. Общий F-критерий 3. Индекс множественной корреляции 4. Коэффициент детерминации 5. Ошибка аппроксимации 25. Какой показатель характеризует долю дисперсии признака объясняемую регрессией в общей дисперсии результативного признака? 1. Коэффициент детерминации 2. Множественный коэффициент корреляции 3. Коэффициент эластичности 4. Частный коэффициент корреляции 5. Выборочная дисперсия 26. Какой показатель характеризует тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов включенных в регрессию? 1. Частный коэффициент корреляции 2. Коэффициент детерминации 3. Множественный коэффициент корреляции 4. Коэффициент эластичности 5. Выборочная дисперсия 27. Какой коэффициент показывает на сколько процентов в среднем изменится значение результативного признака при изменении фактора х на 1 %? 1. Средний коэффициент эластичности 2. Коэффициент чистой регрессии 3. Частный коэффициент корреляции 4. Линейный коэффициент корреляции 5. Коэффициент детерминации 28. Какой показатель выражает размер изменения результативного признака с изменением признакафактора на единицу при неизменном значении других факторов? 1. Коэффициент чистой регрессии 2. Частный коэффициент корреляции 3. Линейный коэффициент корреляции 4. Коэффициент детерминации 5. Средний коэффициент эластичности 29. Какой показатель выражает величину отклонений фактических и расчетных значений результативного признака по каждому наблюдению? 1. Ошибка аппроксимации 2. Частный коэффициент корреляции 3. Линейный коэффициент корреляции 4. Коэффициент детерминации 5. Средний коэффициент эластичности 30. Что показывают стандартизованные коэффициенты регрессии? 1. На сколько сигм изменится в среднем результат, если соответствующий фактор изменится на одну сигму при неизменном среднем уровне других факторов. 2. На сколько процентов изменится в среднем результат, если соответствующий фактор изменится на одну процент при неизменном среднем уровне других факторов 3. На сколько единиц изменится в среднем результат, если соответствующий фактор изменится на одну единицу при неизменном среднем уровне других факторов 4. Во сколько раз изменится в среднем результат, если соответствующий фактор изменится на одну единицу при неизменном среднем уровне других факторов 5. Во сколько раз изменится в среднем результат, если соответствующий фактор уменьшится на одну единицу при неизменном среднем уровне других факторов 31. С помощью, каких показателей можно ранжировать факторы, участвующих во множественной регрессии? 1. Стандартизованных коэффициентов регрессии 2. Коэффициентов чистой регрессии 3. Средних квадратических отклонений 4. Показателей парной корреляции 5. Индексов множественной корреляции 32. Какому требованию должны отвечать факторы, включаемые во множественную регрессию? 1. Факторы не должны быть интеркоррелированы 2. Факторы не должны быть тесно связаны между собой 3. Факторы не должны находиться в точной функциональной связи 4. Факторы должны находиться в обратной зависимости 5. Факторы должны находиться в линейной зависимости 33.В чем преимущество стандартизованных коэффициентов регрессии по сравнению с коэффициентами «чистой» регрессии? 1. Сравнивая их, можно ранжировать факторы 2. Они показывают тесноту связи между результатом и признаками 3. Они позволяют установить функциональную зависимость между признаками 4. С помощью них проводится отсев факторов 5. По их значениям определяют мультиколлинеарность факторов. 34. С помощью какого инструмента анализа данных в Excel можно определить значения парных коэффициентов корреляции во множественной регрессии? 1. Корреляция 2. Регрессия 3. Описательная статистика 4. Частная корреляция 5. Линейная корреляция 35. Проверьте уравнение структурной модели на идентификацию. Модель состоит из трех эндогенных и трех экзогенных переменных. y1 = b13 y 3 + a11 x1 + a13 x3 1. 2. 3. уравнение идентифицируемо уравнение неидентифицируемо уравнение сверхидентифицируемо 4. частично идентифицируемо 5. частично сверхидентифицируемо 36. Как выполняется счетное правило, если уравнение структурной модели идентифицируемо, где Н – число эндогенных переменных? 1. D+1=H 2. D+1<H 3.D+1>H 4. H+1>D 5.H+1<D 37. Что означает термин «идентификация» в системе эконометрических уравнений? 1. Это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели 2. Это единственность соответствия между количеством эндогенных и экзогенных переменных в модели 3. Это переход от структурной формы модели к приведенной 4. Это решение структурной формы модели МНК 5. Это решение структурной формы модели КМНК 35. Сколько параметров должна включать структурная модель, состоящая из n эндогенных и m экзогенных переменных? 1. n*(n-1+m) 2. n*m 3.n-1+m 4. n+m-1 5.(n+m-1)/n 36. Сколько параметров должна включать приведенная форма, соответствующая структурной модели и состоящая из n эндогенных и m экзогенных переменных? 1.n*(n-1+m) 2. n*m 3.n-1+m 4. n+m-1 5.(n+m-1)/n 37. С помощью какого метода определяются параметры трендов? 1. Метод наименьших квадратов 2. Косвенный метод наименьших квадратов 3. Двухшаговый метод наименьших квадратов 4. Метод определителей 5. Графический метод 38.Какой показатель является критерием отбора наилучшей формы тренда? Скорректированный коэффициент детерминации Множественный индекс корреляции Автокорреляция остатков Коэффициент автокорреляции Линейный коэффициент корреляции 39. Как называется график зависимости значений автокорреляционной функции временного ряда от величины лага? 1. Коррелограмма 2. Тренд 3. Автокорреляция 4. Временной ряд 5. Циклическая компонента 40. Какая из моделей является экспоненциальным трендом? 1. 3. y ˆt yˆ t = e a +bt 2. yˆ t = a + bt b = a + b / t 4. y€t = at 5. yˆ t = a + b1t1 + b2 t 2 41. Что называется лагом временного ряда? 1. число, с помощью которого рассчитывается циклический тренд; 2. число, по которому определяют уровень временного ряда; 3. число, по которому определяет случайный компонент временного ряда; 4. число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции; 5. число периодов, по которому определяется трендовая компонента. 42. Типы исходных данных для построения эконометрических моделей. 1. пространственные данные; временные ряды; 2. выборочные данные, сплошные данные; 3. типические данные, пространственные данные; 4. данные основного массива, временные ряды. 5. статистические данные , анкетные данные 43. Охарактеризуйте параметры линейного тренда yˆ t = 739 + 29,3t , если y-объем выпуска товара, t- квартал. 1. 2. 3. 4. 5. С каждым кварталом объем выпуска увеличивается на 29,3 единицы С каждым кварталом объем выпуска уменьшается на 29,3 единицы С каждым кварталом объем выпуска увеличивается в 29,3 раз С каждым кварталом объем выпуска уменьшается в29,3 раз С каждым кварталом объем выпуска увеличивается на 29,3 % товара товара товара товара товара 44. Какая модель является аддитивной моделью временного ряда? 1. Y=T+S+E 2.Y=T*S*E 3. Y=T-S-E 4. Y=(T+S)-E 5.Y=(T+S)/E 45. Какая модель является мультипликативной моделью временного ряда? 1. Y=T+S+E 2.Y=T*S*E 3. Y=T-S-E 4. Y=(T+S)-E 5.Y=(T+S)/E 46. Дайте определение временного ряда. 1. временной ряд – это совокупность значений какого-либо экономического показателя за несколько последовательных периодов; 2. временной ряд – это совокупность значений случайных величин за месяц; 3. временной ряд – это значения, характеризующие определенную экономическую модель за период времени; 4. временной ряд – это совокупность значений в данный момент времени; 5. временной рядэто экономические показатели, определяемые за текущий период. 47. Что выражает корреляционную зависимость между значениями остатков ε t за текущий и предыдущий моменты времени? 1. Автокорреляция в остатках 2. Коэффициент автокорреляции 3. Коэффициент корреляции остатков 4. Индекс корреляции остатков 5. Индекс детерминации остатков 48. В каких пределах лежит значение критерия ДарбинаУотсона? 1. 0 ≤ d ≤ 4 2. 0 ≤ d ≤ 1 3. − 1 ≤ d ≤ 1 4. − 1 ≤ d ≤ 0 5. d ≥ 0 49. Какова цель построения аддитивной или мультипликативной модели временного ряда? Построение модели сводится к расчету T, S и E для каждого уровня временного ряда. Построение модели сводится к определению автокорреляционной зависимости между последовательными уровнями временного ряда. Построение модели сводится к расчету коэффициента автокорреляции уровня временного ряда. Построение модели сводится к расчету случайной компоненты. Построение модели сводится к расчету циклической компоненты. 50. Как определяется критерий Дарбина-Уотсона? n n 1. d= ∑ (ε t − ε t −1 ) 2 t =2 n ∑ε t =1 2 t 2. d= ∑ε n 3. d ∑ε t =2 n = ∑ε 2 t 4. d = 2 t −1 t =2 n d = ∑ (ε t2 − ε t ) t =1 t t =1 n ∑ (ε t − ε t −1 ) t =1 Вопросы для проведения контроля по материалам 1 – 8 недели: 1. Определение «эконометрика» 2. История возникновения и развития эконометрики. 3. Особенности эконометрического метода. 4. Этапы эконометрического эксперимента. 5. Основные классы эконометрических моделей. 6. Случайные величины. Виды случайных величин. 7. Числовые характеристики случайных величин. 8. Закон распределения случайных величин. 9. Функция распределения. Свойства функции распределения. 10. Основные законы распределения случайных величин. 11. Статистические оценки параметров распределения. 12. Принципы проверки статистических гипотез 13. Законы распределения случайных величин при проверке статистических гипотез. 14. В чем заключается спецификация парной регрессионной модели. 15. Методы выбора вида математической функции в парной регрессии. 16. Оценка параметров парной регрессионной модели. 17. Порядок проведения дисперсионного анализа результатов парной регрессии. 18. Статистическая оценка значимости уравнения парной регрессии. 19. Статистическая оценка значимости параметров уравнения парной регрессии и корреляции. 20. Ошибка аппроксимации. 21. Использование стандартных программ для определения результатов парной регрессии. 22.Спецификация множественной регрессионной модели. 23. Оценка параметров уравнения множественной регрессии МНК. 24. Уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе. 25. Частные уравнения регрессии и частная корреляция. Вопросы для проведения контроля по материалам 9 – 15 недели: 1. Мультиколлинеарность факторов. 2. Оценка практической значимости уравнения множественной регрессии. 3. Частные и средние коэффициенты эластичности. 4. Дисперсионный анализ результатов множественной регрессии. 5. Оценка значимости уравнения множественной регрессии 6. Частный F–критерий. 7. Оценка значимости параметров уравнения множественной регрессии. 8. Фиктивные переменные во множественной регрессии. 9. Классификация нелинейных эконометрических моделей. 10. Оценка параметров нелинейных эконометрических моделей. 11. Коэффициенты эластичности. 12. Корреляция в нелинейных эконометрических моделях. 13. Оценка значимости уравнения и параметров нелинейных регрессионных моделей. 14. Виды систем уравнений эконометрических моделей. 15. Структурная и приведенная формы эконометрических моделей. 16. Проверка структурной модели на идентификацию. 17. Методы оценивания параметров структурной модели. 18. Этапы косвенного метода наименьших квадратов. 19. Этапы двухшагового метода наименьших квадратов. 20. Основные элементы временных рядов. 21. Виды моделей временных рядов. 22. Автокорреляция уровней временного ряда. 23. Аналитическое выравнивание временного ряда. 24. Основные виды трендов. Расчет параметров трендов. 25. Аддитивная и мультипликативная модели временного ряда. 26. Этапы построения аддитивной и мультипликативной моделей временного ряда. 27. Прогнозирование по аддитивной и мультипликативной модели временного ряда. 28. Спецификация статистической оценки взаимосвязи двух временных рядов. n ∑ε t =1 2 t 29. Методы исключения тенденции. 30. Автокорреляция в остатках. 12. Программное и мультимедийное сопровождение учебных занятий (в зависимости от содержания дисциплины). Надстройка MS Excel «Анализ данных» 1. Электронный учебник «Эконометрика» - автор Черемухина О.В. 2. Электронный учебник «Теория вероятностей и математическая статистика» Садыкова Г.А. 13. Перечень специализированных аудиторий, кабинетов и лабораторий. Корпус № 2 , аудитории № 211, 213.
