Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования ИРКУТСКИЙ НАЦИНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт заочно-вечернего обучения Кафедра теоретической механики и сопротивления материалов Допускаю к защите ___________ руководитель А.Ю. Перелыгина РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ОБОРУДОВАНИЯ ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА к курсовой работе по дисциплине Сопротивление материалов Выполнил студент группы КТбз-17-2 ___________ В.С. Попов Нормоконтроль ___________ А.Ю.Перелыгина Курсовая работа защищена с оценкой ___________ Иркутск 2019 г 1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования ИРКУТСКИЙ НАЦИНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ По курсу: Сопротивление материалов Студент группы КТбз-17-2 Попов Вадим Сергеевич Зачетка №17150045 Тема курсовой работы: Расчет на прочность и устойчивость стержневых элементов оборудования Исходные данные: Задача 1. схема 9; F2=45кН; q=25кН/м; l1=1,7м; l2=1,7м; l3=1,1м; [σ]c=460Мпа; [σ]р=180Мпа Задача 2. схема 9; швеллер №22а; полоса 350х10 мм; уголок неравнополочный 125х80х8. Задача 4. схема 9; F=40кН; q=40кН/м; M=12кН∙м; l1=1,6м; l2=1,5м; l3=1,8м; [σ]=240МПа; [τ]=145Мпа Задача 5. схема 9; F=12кН; q=20кН/м; M=20кН∙м; l1=0,8 м; l2=2,0 м; l3=2,1 м; [σ]=230МПа; [τ]=140Мпа Задача 6. форма сечения 9; способ закрепления II; материал- Сталь 35; σу=320Мпа; σр=270 Мпа; F 430 кН 2 ; l=3,0м; nПР=1,55 Задача 9. схема II; l1=110мм; l2=310мм; l3=310мм; D2=340; D3=210; α1=50; α2=10; N=22 кВт; n=340об/мин; 80 МПа Рекомендуемая литература: 1. Дружинина Т.Я. Построение эпюр внутренних силовых факторов: учеб. пособие к расчет.-проектировоч. работам и домаш. задачам по курсу сопротивления материалов для машиностроит. и мех. специальностей оч. и заоч. обучения / Т.Я. Дружинина, Э.И. Фильчагина. – Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2002. – 94 с. 2. Лапшин В.Л. Сопротивление материалов. Расчет на прочность и устойчивость стержневых элементов горного оборудования: учеб. пособие для выполнения курсовой работы / В.Л. Лапшин, В.П. Ященко. – Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2014. – 100 с. 3. Лапшин В.Л. Сопротивление материалов. Практический курс: учеб. пособие. Ч 1. / В.Л. Лапшин [и др.]. – Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2011. – 132 с. 4. Мартыненко М.Г. Сопротивление материалов. Словарь основных терминов и определений. – Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2011. – 36 с. 2 5. Распопина В.Б. Сопротивление материалов. Определение геометрических характеристик поперечных сечений стержневых конструктивных элементов аналитически и с помощью модуля APM Structure 3D программного комплекса APM WinMachine: учеб. пособие. – Иркутск: Издво ИрГТУ, 2012. – 152 с 6. Распопина В.Б. Сопротивление материалов. Расчет вала при совместном действии изгиба и кручения: учеб. пособие для вузов по направлению подготовки бакалавров и магистров «Технология, оборудование и автоматизация машиностроит. пр-в». / В.Б. Распопина, Э.И. Фильчагина. – Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2005. – 98 с. 7. Расчет на устойчивость центрально сжатых стержней: метод. указания для выполнения курсовых и расчет.-проектировочных работ по сопротивлению материалов для мех. и машиностроит. специальностей оч.; веч. и заоч. форм обучения / сост. В.Л. Лапшин, В.П. Ященко. – Иркутск: изд-во ИрГТУ, 2001. – 26с. 8. Степин П.А. Сопротивление материалов: учеб. для немашиностроит. спец. ВУЗов. – СПб. : Лань, 2010 -319с. 9. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. – 590с. Дата выдачи задания «___» ____________2018 г. Дата представления проекта руководителю «___» 2019 г. Руководитель курсовой работы ______________ А.Ю. Перелыгина 3 СОДЕРЖАНИЕ 1. ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ..……………………………………...2 2. СОДЕРЖАНИЕ....…..……………....………………………...…………….…..4 3. ВВЕДЕНИЕ………...…………………………………………………………...5 4. Задача №1. Расчет ступенчатого стержня на прочность при центральном растяжении и сжатии .............................................................................................................. 7 5. Задача №2. Определение геометрических характеристик составного симметричного сечения из стандартных профилей ................................................. 10 6. Задача №4. Расчет статически определимой консольной балки на прочность и жесткость ..................................... Ошибка! Закладка не определена. 7. Задача №5 Расчет статически определимой шарнирно закрепленной балки на прочность ........................................................ Ошибка! Закладка не определена. 8. Задача №6. Проектный расчет центрально сжатого стержня на устойчивость........................................................................................................................... 26 9. Задача №9. Расчет промежуточного вала редуктора на прочность при изгибе с кручением ............................................ Ошибка! Закладка не определена. ЗАКЛЮЧЕНИЕ ..................................................................................................................... 34 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ .................................................... 35 4 ВВЕДЕНИЕ Сопротивление материалов — часть механики деформируемого твёрдого тела, которая рассматривает методы инженерных расчётов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость при одновременном удовлетворении требований надежности, экономичности и долговечности. Сопротивление материалов относится к фундаментальным дисциплинам общеинженерной подготовки специалистов с высшим техническим образованием, за исключением специальностей, не связанных с проектированием объектов, для которых прочность является важным показателем. В различных узлах машин (в том числе в механических передачах) содержится ряд деталей, предназначенных для поддерживания вращающихся элементов зубчатых и червячных колёс, шкивов, звёздочек и т.д. Такие детали называются валами и осями. По конструкции оси и прямые валы мало отличаются друг от друга, но характер их работы существенно различен: оси являются поддерживающими деталями и воспринимают только изгибающие нагрузки; валы представляют собой звенья механизмов, передающие крутящие моменты и, помимо изгиба, испытывают кручение. Нагрузки, воспринимаемые валами и осями, передаются на корпуса, рамы и станины через опорные устройства подшипники. Части валов и осей, непосредственно соприкасающиеся с подшипниками, носят общее наименование «цапфы». Цапфу, расположенную на конце вала, называют шипом, а цапфу на средней части вала шейкой. Цапфы, передающие на опоры осевые нагрузки, называют пятами. Оси могут быть неподвижными или вращаться вместе с насаженными на них деталями. Валы при работе механизма всегда вращаются. Признаками для классификации валов служат их назначение, форма геометрической оси, конструктивные особенности. Основными критериями работоспособности проектируемых редукторных валов являются прочность и выносливость. Они испытывают сложную деформацию совместное действие кручения, изгиба и растяжения (сжатия). Но так как напряжения в валах от растяжения небольшие, то их обычно не учитывают. Расчет на совместное действие изгиба и осевого нагружения, выполняемый с учетом как влияния осевых сил на прогибы бруса, так и с учетом дополнительных изгибающих моментов от указанных сил, принято называть расчетом на продольно-поперечный изгиб. Внешние силы, образующие момент относительно оси, перпендикулярной продольной оси балки, вызывают деформации, которые заключаются в искривлении продольной оси балки. Такой вид деформированного состояния называют чистым изгибом. Для отдельно взятого элемента конструкции взаимоуравновешенные активная сила и сила реакции опоры являются внешними силами. Конструкция оказывает сопротивление внешней нагрузке, за счет чего происходит изменение 5 формы и размеров конструкции – деформирование (от лат. deformatio – искажение). Основные требования к машинам и деталям: потребности производства, имеющего основной целью всемерное неуклонное повышение благосостояния трудящихся, определяют основные тенденции в развитии советского машиностроения: увеличение производительности и мощности машин, скоростей, давлений и других показателей интенсивности технологических процессов, повышение к.п.д. машин, уменьшение их массы и габаритов, широкую автоматизацию управления машинами, повышение их надежности и долговечности, снижение стоимости изготовления, повышение экономической эффективности эксплуатации, удобства и безопасности обслуживания. 6 Задача 1 Для заданного ступенчатого стержня (табл. 4) требуется: а) построить эпюру продольных сил N; б) рассчитать диаметры d1, d2, ступенчатого стержня; в) построить эпюру нормальных напряжений σ. Исходные данные взять из табл. 3. Дано: F2 45 кН , q 25 кН / м , 2 1, 7 м , 1 1, 7 м , Р 180 МПа , C 460 МПа . 3 1,1м , Схема IX . Рисунок 1. 7 Решение 1. Разбиваем стержень на участки, как показано на рис.1а. Пользуясь методом сечений, определяем значения продольных сил N на участках стержня, начиная со свободного конца: Участок 1. (0 z1 1,7 м); N ( z1 ) qz1 , N ( z1 0) 0 ; N ( z1 1,7) 25 1,7 42,5 кН. Участок 2. (0 z2 1,7 м); N ( z2 ) q 1,7 25 1,7 42,5 кН , Участок 3. (0 z3 1,1 м); N ( z3 ) q 1,7 F2 q z3 , N ( z3 0) 25 1,7 45 25 0 2,5 кН N ( z3 1,1) 25 1,7 45 25 1,1 25 кН . Строим эпюру продольных сил N (рис.1б). Реакция заделки вызывает растяжение стержня (знак эпюры положительный) и по величине равна скачку на эпюре N R 25 кН . 2. По эпюре продольных сил для каждой из ступеней стержня определяем наибольшие по величине сжимающие продольные силы. Ступень I (Участок 1): Р N MAX 42,5 кН . Из условия прочности на растяжение определим площадь поперечного сечения первой ступени по допускаемому напряжению: Р N MAX 42,5 103 А1 2,3 104 м 2 , 6 р 180 10 d1 4 2,3 104 1,71102 м 17 мм . 3,14 4 A1 Принимаем d1 17 мм . Ступень II (Участки 2 и 3): Р N MAX 42,5 кН . А2 Р N MAX р 42,5 103 2,3 104 м 2 , 6 180 10 8 4 2,3 104 d2 1, 71102 м 17 мм . 3,14 Принимаем d 2 17 мм . В сечении С стержень сжат. Из условия прочности на сжатие определим площадь поперечного сечения по допускаемому напряжению: C N MAX 2,5 кН . 4 A1 А2 C N MAX C 2,5 103 0, 05 104 м2 , 6 460 10 4 0,05 104 d2 0, 25 102 м 2,5 мм . 3,14 Принимаем окончательно d 2 17 мм . 4 A1 3. стержня: Вычисляем величину нормальных напряжений на участках N A 42,5 103 A B 18, 4 107 Па 184 МПа , 4 A1 2,3 10 NC 2,5 103 C 1, 08 107 Па 10,8 МПа , 4 A2 2,3 10 ND 25 103 D 10,8 107 Па 108 МПа , 4 A2 2,3 10 Строим эпюру нормальных напряжений (рис.1в). 9 Задача 2 Для симметричного сечения из стандартных профилей (табл. 6), требуется: а) определить положение центра тяжести сечения; б) определить главные центральные моменты инерции J X , J Y ; в) определить момент сопротивления WX относительно оси изгиба Х. Исходные данные взять из табл. 5. Размеры стандартных профилей (двутавр, швеллер, неравнополочный уголок) приведены в Прил. А. Схема IX , неравнополочный уголок 125х80х8 , швеллер 22а , Дано: полоса 350 х10 , С С С Рисунок 2. Решение: 1.Геометрические характеристики швеллера относительно его собственных центральных осей согласно ГОСТ 8240-72 следующие: площадь А1=28,8 см2; высота сечения h1=220 см; моменты инерции JX1=2330 см4; JY1=187 см4; абсцисса центра тяжести швеллера z0=2,46 см. неравнобокого уголка по ГОСТ 8510-72: площадь А3=А4=16 см2; моменты инерции JX3= JX4=83 см4; JY3= JY4=256 см4; x0=1,84 см; y0=4,05 см. Геометрические характеристики полосы относительно ее собственных центральных осей следующие: площадь А2=35·1=35 см2; центральных осей JX2 моменты инерции относительно собственных b2 h23 1 353 3573 см4 , 12 12 10 JY 2 h2b23 35 13 3 см 4 , 12 12 2. Построение сечения в масштабе (см. рисунок 3). Рисунок 3. 11 3. Определение координаты центра тяжести сечения. - Строим вспомогательную систему координат. В качестве вспомогательной системы координат выбираем центральные оси швеллера X1 и Y1. Определяем координаты центра тяжести сечения относительно вспомогательной системы координат. Для рассматриваемого сечения необходимо вычислить только одну координату XC, так как другая координата YC известна. Координата центра тяжести (к.ц.т.) сечения формуле: xC Sy A определяется по , где Sy – статический момент всего сечения относительно оси Y; A – площадь всего сечения. Для рассматриваемого примера статический момент сечения следует обозначить, как Sy1, так как xC определяется относительно оси Y1. Рассматриваемое сечение сложное. Применительно к нашей задаче формула статического момента: SY 1 1 SY 1 2 SY 1 3 SY 1 4 SY 1 x1 A1 x2 A2 x3 A3 x4 A4 Так как координата x в прямоугольной системе координат представляет собой кратчайшее расстояние (перпендикуляр) от центра тяжести соответствующей фигуры до оси Y, то: b 2 1 2 x1=0; x2 0 ( z0 2 ) 0 (2.46 ) 2,96 см. x3 x4 B3 y03 z03 12,5 4.05 2.46 5.99 см. SY 1 0 28,8 2,96 35 5,99 16 5,99 16 88, 08 см3. Площадь сложного сечения: А=А1+А2+А3+А4=28,8+35+16+16=95,8 см2. Следовательно, xC 95,8 1, 08 см. 88, 08 4. Определяем главные центральные моменты инерции сечения. 12 Поскольку ось XС является главной центральной, а ось YС ей перпендикулярна, центробежный момент инерции J X Y 0 , и эти оси составляют пару главных центральных осей. Для определения моментов инерции используем формулы перехода между параллельными осями: С C J Xc ( J X 1 yc21 A1 ) ( J X 2 yc22 A2 ) ( J X 3 yc23 A3 ) ( J X 4 yc24 A4 ) (2330 02 28,8) (3573 02 35) (83 12,82 16) (83 (12,8) 2 16) 11312 см4 . JYc ( JY 1 xc21 A1 ) ( JY 2 xc22 A2 ) 2( JY 3 xc23 A3 ) (187 (1,08)2 28,8) (3 (4,04) 2 35) 2(256 4,9 2 16) 2075 см4 . 5. Определяем значение осевого момента сопротивления. Осевой момент сопротивления в нашем случае вычисляется по формуле WXc J Xc , y max где ymax – расстояние от соответствующей оси до наиболее удаленных точек сечения (рис.3). Тогда WXc 11312 595 см3 19 13 Задача 4 Для заданной консольной балки требуется (табл.10): а) построить эпюры внутренних силовых факторов Q и М в балке; б) проверить на прочность по нормальным напряжениям сечение из задачи 2; в) рассчитать угол поворота и прогиб в точке К методом начальных параметров. Исходные данные принять по табл. 9. Дано: F 40 кН , q 40 кН / м , М 12 кН / м , 1 1,6 м , 2 1,5 м , 3 1,8 м , 240 МПа , 145МПа . Схема IX . Рисунок 4 14 Решение 1. Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M. Разбиваем балку на три силовых участка. Составляем уравнения поперечных сил и изгибающих моментов на каждом участке: Участок 1. (0 z1 1,8 м); Q( z1 ) F const 40 кН . М ( z1 ) Fz1 . z1 0 ; M (0) 0 . z1 1,8 м ; M ( z1 1,8) 40 1,8 72 кН / м . Участок 2. ( 0 z2 1,5 м); Q( z2 ) F qz2 . z2 0 ; Q(0) 40 кН . z2 1,5 ì ; Q(1.5) 40 40 1.5 20 кН . qz22 М ( z2 ) F (1,8 z2 ) M (параболическая зависимость M от z2 ). 2 2 z2 0 ; M (0) 40 (1,8 0) 12 40 0 84 кНм . 2 40 1,52 z2 1,5 ì ; M (1.5) 40 (1,8 1,5) 12 99 кНм . 2 dМ ( z2 ) 0. Уравнение момента исследуем на экстремум dz2 F 40 F qz2 0 zЭКС 1 м. q 40 Экстремум расположен в пределах рассматриваемого участка. Определяем величину M ЭКС : M (1) 40 (1,8 1) 12 40 12 104 кНм . 2 Участок 3. ( 0 z3 1,6 м); Q( z3 ) F q 1,5 40 40 1,5 20 кН (постоянное значение Q на участке, линия эпюры параллельна нулевой линии). М ( z3 ) F (3,3 z3 ) M q 1,5 (1,5 / 2 z3 ) (линейная зависимость M от z3 ). z3 0 ; М ( z3 ) 40 (3,3 0) 12 40 1,5 (1,5 / 2 0) 99 кНм . z3 1, 6 м ; М ( z3 ) 40 (3,3 1,6) 12 40 1,5 (1,5 / 2 1,6) 67 кНм . По полученным данным строим эпюры Q и M (рис.4б,в). 2. Проверка на прочность сечения из задачи 2 по нормальным напряжениям. 15 Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид MAX M MAX WX . Из эпюры М определяем максимальное значение изгибающий момент M MAX 104 кНм (рис.4в). В задаче 2 нейтральная ось совпадает с главной центральной осью сечения ХС. В данном случае нейтральная ось совпадает с осью симметрии сечения, следовательно, относительно этой оси имеет место момена сопротивления WXK 194,6 см3 C Записываем условие прочности по нормальным напряжениям: для точки К: К MAX M MAX WXKC 104 103 175 106 Па 175 МПа 240 МПа . 6 595 10 Условие прочности выполняется, прочность обеспечивается. На основе проделанных вычислений строим эпюру нормальных напряжений для опасного сечения балки (рис.5). Рисунок 5. 16 3. Расчет угла поворота и прогиба в точке К методом начальных параметров. Представим распределенную нагрузку. Как показано на рис. 6 для составления уравнения моментов. Рисунок 6. Составляем уравнение изгибающих моментов для балки M ( z ) F z M ( z 1,8)0 q( z 1.8)2 q( z 3,3)2 2 2 Уравнение углов поворота сечений получается путем интегрирования исходного дифференциального уравнения: ( z) M ( z) 1 z2 q( z 1.8)3 q( z 3,3)3 1 dz C F M ( z 1,8) C EI x EI x 2 6 6 После вторичного интегрирования получим уравнение прогибов: y ( z ) dz M ( z) 1 z 3 M ( z 1,8)2 q( z 1.8)4 q( z 3,3) 4 dz C D F Cz D EI x EI x 6 2 24 24 Определим постоянные интегрирования. Используя условия закрепления балки, а именно, что прогиб и угол поворота в заделке равны нулю, составим граничные условия: z 4,9 м ; ( z 4,9) 0; y( z 4,9) 0. Уравнения углов поворота и прогибов запишем для заделки (жесткой опоры, принадлежит третьему участку). Из них найдем постоянные интегрирования C и D: ( z 4,9) 1 4,92 40(4,9 1.8)3 40(4,9 3,3)3 1 40 12(4,9 1,8) C 0 EI x 2 6 6 1 346,09 C 0 EI x 17 C 346,09 EI x y ( z 4,9) 1 4,93 12(4,9 1,8)2 40(4,9 1.8) 4 40(4,9 3,3) 4 346,09 40 4,9 D 0 EI x 6 2 24 24 EI x 698,98 1695,8 D0 EI x EI x 996,8 . D EI x Запишем в окончательном виде уравнения перемещений ( z) y( z) 1 z2 q( z 1.8)3 q( z 3,3)3 346,09 1 F M ( z 1,8) EI x 2 6 6 EI x 1 z 3 M ( z 1,8)2 q( z 1.8)4 q( z 3,3)4 346,09 996,8 F z EI x 6 2 24 24 EI x EI x Определяем угол поворота сечения в точке К: Для точки К z=1,8 м. ( z) 1 1,82 40(1,8 1.8)3 40(1,8 3,3)3 346, 09 1 40 12(1,8 1,8) EI x 2 6 6 EI x 303,8 кНм 2 EI x Определяем прогиб в точке К: y( z) 1 1,83 12(1,8 1,8) 2 40(1.8 1.8) 4 40(1.8 3,3) 4 346, 09 996,8 1.8 40 EI x 6 2 24 24 EI x EI x 343.4 (кНм3 ) EI x Знак минус означает, что прогиб направлен вниз. 18 Задача 5 Для двухопорной балки (табл.12) требуется: а) построить эпюры внутренних силовых факторов Q и М в балке; б) подобрать размеры поперечных сечений разной формы (круг, прямоугольник, швеллер, двутавр) из условия прочности по нормальным напряжениям; в) произвести полную проверку на прочность двутаврового сечения. Исходные данные взять из табл. 11. Дано: F 12 кН , q 20 кН / м , М 20 кНм , 1 0,8 м , 2 2 м , 3 2,1 м , 230 МПа , 140 МПа . Схема IX . 1. Построим эпюры Q и M. Определяем опорные реакции балки. Заданная балка зафиксирована в двух сечениях с помощью шарнирно-подвижной и шарнирно-неподвижной опор (см. рис. 7). Характер прикладываемой нагрузки обуславливает необходимость определения только вертикальных реакций опор RA и RB, так как горизонтальная составляющая реакции в опоре B равна нулю ( HB=0 ). MА=0; l q l ql3 ( 3 l1 l2 ) F (l1 l2 ) RB (l1 l2 l3 ) 0 2 2 2 l3 q l1 20 0,82 2,1 ql3 ( l1 l2 ) F (l1 l2 ) 20 2,1( 0,8 2) 12(0,8 2) 2 2 2 RB 2 27, 4 кН . l1 l2 l3 0,8 2 2,1 2 1 MB=0; 2 3 ql l Fl3 q l1 ( 1 l2 l3 ) RA (l1 l2 l3 ) 2 2 2 ql3 l 20 2,12 0,8 Fl3 q l1 ( 1 l2 l3 ) 12 2,1 20 0,8( 2 2,1) 2 2 2 2 RA 18, 6 кН . l1 l2 l3 4,9 19 Проверка Y=0; RA -ql1-ql3 +F+RB =18,6-20·0,8-20·2,1+12+27,4=0. Записываем уравнения для Q и M по участкам. Для каждого участка выбирается своя система координат I –й участок: 0≤z1≤l1 Q(z1) =RA - qz1. M ( z1 ) RA z1 qz12 2 z1=0; Q(z1)=18,6 кН; M ( z1 ) 0 Рисунок 7. 20 0,82 z1=l1; Q(z1)= 18,6-20·0,8= 2,6 кН; M ( z1 ) 18, 6 0,8 8,5 кН м. 2 II –й участок: 0≤z2≤l2 Q(z2) = RA - ql1 = 2,6 кН=const 20 l M ( z2 ) RA (l1 z2 ) ql1 ( 1 z2 ) 2 0,8 0) 8,5 кНм 2 0,8 z2=l2=2; M ( z2 ) 18, 6 (0.8 2) 20 0,8( 2) 13, 6 кНм 2 z2=0; M ( z2 ) 18, 6 (0.8 0) 20 0,8( III –й участок: 0≤z3≤l3 Рассмотрим равновесие правой части балки Q(z3) =-RB + qz3. M ( z3 ) RB z3 qz32 2 z3=0; Q(z3)= -27,4 кН; M ( z1 ) 0 z3=l3; Q(z3)=-27,4+20·2,1= 14,6 кН; M ( z3 ) 27, 4 2,1 20 2,12 13, 6 кН м. 2 dМ ( z2 ) 0. dz2 R 27, 4 RB qz0 0 z0 B 1.37 м . q 20 Уравнение момента исследуем на экстремум Экстремум расположен в пределах рассматриваемого участка. Определяем величину M ЭКС : M ( z0 ) 27, 4 1,37 20 1,372 18,8 кН м. . 2 Строим эпюры Q и M. Результат представлен на рис. 7. 2. Подбираем сечения указанных в задании форм. Условие прочности при изгибе по нормальным напряжениям для пластичных материалов: max M max [ ] , где WX Отсюда требуемый момент сопротивления WX M max [ ] Так как Mmax=18,8 кН·м, то предельное значение осевого сопротивления: WX 18,8 103 0, 081103 м3 . 230 106 21 Подбираем прямоугольное сечение. Соотношение сторон h/b=2. Так как для прямоугольного сечения момент сопротивления относительно оси X WX=bh2/6 и по условию h/b=2, то: h 3 12 WX 3 12 0,081103 0,099 м 9,9 см. b=h/2=9,9/2=4,95 см. Апр=h·b=9,9·4,95=49 см2. Подбираем круглое сечение Для круглого сечения осевой момент сопротивления WX d3 d 3 32 , тогда 32WX 3 32 0, 081103 0, 093 м 9,3 см. 3,14 Акр=πd2/4=3,14·9,32/4=67,9 см2. Подбираем сечение, состоящее из двух швеллеров. 22 В основе определения осевого момента сопротивления лежит соотношение WXc IX y max Так как сечение сложное и состоит из двух равных частей осевой момент сопротивления одного швеллера будет равен WX 2WXшв WXшв WX 0, 081103 0, 04 103 м3 40 см3 . 2 2 По таблице ГОСТ 8240-72 принимаем швеллер № 12 с ближайшим значением момента сопротивления, значение которого отвечает условию проектировочной задачи: WX=50,6 см3, Ашв=13,3 см2. Следовательно, площадь всего сечения балки Ашв =2·13,3=26,6 см2. Подбираем двутавровое сечение. WX 81 см3 . 23 По таблице ГОСТ 8239-89 принимаем двутавровую балку № 14 с ближайшим значением момента сопротивления, значение которого отвечает условию проектировочной задачи: WX=81,7 см3, Адв=17,4 см2. Наиболее рациональным по весу одного погонного метра балки является сечение, имеющее наименьшую площадь поперечного сечения: Двутавр Адв=17,4 см2; швеллер Ашв =26,6 см2; прямоугольник Апр=49 см2; круг Акр=67,9 см2. 3. Полная проверка двутаврового сечения. При проверке по касательным напряжениям в качестве опасного принимаем сечение с QMAX 27, 4 кН (сечение В). При проверке по эквивалентным напряжениям расчет выполняем для сечения С, в котором M и Q одновременно достигают Q 14, 6 кН , М 13,6 кНм ; 230 МПа , больших значений 140 МПа . По таблице сортамента определяем необходимые геометрические параметры двутавра №14: b 7,3 см , h 14 см , d 4,9 мм , t 7,5 мм , А 17, 4 см 2 , J X 572 см 4 , S X 46,8 см3 , WX 81, 7 см3 . Рассчитываем наибольшее нормальное напряжение в наиболее удаленной от нейтральной оси (Х) точке 1 (или 1', рис.8) опасного сечения С балки (рис.6): MAX M MAX 18.8 103 230 106 Па 230 МПа . 6 WX 81,7 10 Рассчитываем наибольшее касательное напряжение в точке 2 на нейтральной оси (оси Х, рис.8) опасного сечения В балки (рис.8): MAX QMAX S X , b( y ) I X где b( y ) d ширина сечения на уровне, где определяются напряжения, S X статический момент половины сечения. MAX QMAX S X 27, 4 103 114 106 74,8 106 Па 74,8 МПа . 3 8 b( y) I X 7,3 10 572 10 Рассчитываем эквивалентные напряжения сечения С балки (рис.8), в котором силовые факторы М,Q создают наиболее неблагоприятное сочетание Q 14, 6 кН , М 13,6 кНм . В поперечном сечении рассматриваем угловые точки 3 (или 3', рис.8), в которых одновременно возникаю большие нормальные и касательные напряжения: 3 My3 M (h / 2 t ) , IX IX где y3 расстояние от оси Х до точки 3 рассматриваемого сечения. 24 14 13,6 103 0,75 102 2 3 148 106 Па 148 МПа . 8 572 10 Касательные напряжения в точке 3: 3 QS ХОТС , b( y ) I X где b( y ) d ширина сечения на уровне, где определяются напряжения, S ХОТС статический момент отсеченной части сечения (верхней полки). Определяем статический момент отсеченной части сечения: h t 14 0, 75 3 S ХОТС АОТС y ОТС b t 7,3 0, 75 36, 2 см , 2 2 2 2 где АОТС площадь отсеченной части сечения (полки двутавра), y ОТС координата центра тяжести отсеченной части сечения. 14,6 103 36, 2 106 3 18,8 106 Па 18,8 МПа . 3 8 4,9 10 572 10 Эквивалентные напряжения в точке 3 рассчитываем по IV теории прочности: IV ЭКВ 32 3 32 1482 3 18,82 151,5 МПа . По полученным значениям строим эпюры нормальных и касательных напряжений (рис.8) для рассматриваемых сечений балки. Во всех опасных точках сечения условия прочности выполняются. Рисунок 8. 25 Задача 6 Стержень длиной заданного поперечного сечения (табл. 14) с заданным способом закрепления сжимается нагрузкой. Требуется: 1) из расчета на устойчивость найти с помощью таблиц коэффициентов снижения допускаемых напряжений определить размеры сечения стержня; 2) определить величину критической силы; 3) вычислить фактический коэффициент запаса устойчивости. Исходные данные взять из табл. 13. Модуль упругости принять равным: сталь- ЕСТ 2 105 МПа ; дюралюминий - Е Д 0,7 105 МПа . nПР Дано: Схема II , F 430 кН 2 , 3 м , y 320 МПа , pr 270 МПа , 1,55 . Способ закрепления – IX. Материал стержня – сталь 35. Решение: 1.Находим размеры поперечного сечения стержня, пользуясь методом последовательных приближений. Записываем выражение для определения площади поперечного сечения стержня из условия устойчивости. F [ ] , тогда A F , A [ ] 26 где У nПР 320 206 МПа -допускаемое напряжение, φ – коэффициент 1,55 уменьшения допускаемого напряжения на сжатие, или коэффициент продольного изгиба. Площадь поперечного сечения стержня d2 A 4 b h 0,758d 2 0, 4d 0,6d 0,518d 2 , откуда A 1,389 A 0,518 d Минимальный момент инерции I min d4 b3 h d 4 (0,4d )3 0,6d Ix 0,0458d 4 64 12 64 12 Минимальный радиус инерции I min 0,0458d 4 0,297d . A 0,518d 2 imin Выполняем первое приближение. В первом приближении коэффициент продольного изгиба обычно принимают φ=0,5, тогда A1 430 103 4,17 103 м2 . 0,5 206 106 d1 1,389 4,17 103 0, 089 м Минимальный радиус инерции imin 0, 297 0,089 0,0264 м Тогда расчетная гибкость колонны: 1 l imin1 0,7 3 79,5. 0,0264 По таблице B.3 определяем значение коэффициента 1' , соответствующего гибкости 1 79,5 1' 0,646 Проверим выполнение устойчивости в первом приближении: 1 F 430 103 159 МПа. A11' 4,17 103 0, 646 Условие устойчивости выполняется, т.к. σ1 <[σ]. Недонапряжение в этом случае 1 1 [ ] 159 206 100% 100% 22,8% 5% , что недопустимо. [ ] 206 Выполняем второе приближение. Во втором приближении коэффициент продольного изгиба 2 1 1' 2 0,5 0,646 0,573 2 27 430 103 A2 3, 64 103 м2 . 6 0,573 206 10 d 2 1,389 3, 64 103 0, 0838 м Минимальный радиус инерции imin 2 0, 297 0,0838 0,0248 м Тогда расчетная гибкость колонны: 2 l imin 2 0,7 3 84,6. 0,0248 По таблице B.3 определяем значение коэффициента 1' , соответствующего гибкости 2 84,6 2' 0,604 Проверим выполнение устойчивости в первом приближении: 2 F 430 103 195,5 МПа. A22' 3, 64 103 0, 604 Недонапряжение в этом случае 2 2 [ ] 195,5 206 100% 100% 5,09% 5% , что почти в пределах [ ] 206 допускаемых величин. Окончательно принимаем d 0, 0838 м . 2. Определяем значение критической силы. Для этого находим предельную гибкость стержня: Ï PÅÄ 2Å 3,142 2 105 85 , pr 270 Т.к. гибкость стойки 84, 6 ПРЕД 85 , то расчет критической силы ведем по формуле Ясинского. KP a b 398 1, 43 84,6 277 МПа , FKP KP A 277 106 3, 64 103 1008 103 Н 1008 кН . 3. Вычисляем коэффициент запаса устойчивости: nÓ FKP 1008 2,34 . F 430 28 Задача 9 Промежуточный вал редуктора получает от двигателя через зубчатые колеса 1 и 2 мощность N, передавая ее далее через зубчатую пару 3 и 4 рабочему механизму. Диаметры зубчатых колес D2 и D3. Частота вращения промежуточного вала n. Зубчатые пары 1-2, 3-4 составляют с вертикальной осью углы, соответственно, α1 и α2. Требуется: 1) построить схемы действия сил в зубчатых парах 1-2, 3-4; 2) определить вращающие моменты и окружные усилия на зубчатых колесах 2 и 3; 3) построить эпюру крутящих моментов; 4) построить эпюру изгибающего момента МХ в вертикальной плоскости; 5) построить эпюру изгибающего момента МY в горизонтальной плоскости; 6) построить эпюру суммарных изгибающих моментов; 7) определить величину расчетного (эквивалентного) момента, используя IV теорию прочности; 8) определить диаметр промежуточного вала при допускаемом напряжении 80 МПа . Исходные данные взять из табл. 19. D2 340 мм , D3 210 мм , Дано: 1 110 мм , 2 310 мм , 3 310 мм , 1 50 , 2 10 , N 22 кВт , n 340 об / мин , 80 МПа . Схема II . Решение 1. Построение схем действия сил в зубчатых парах. Составляем расчетные схемы действия сил в зубчатых парах 1-2 и 3-4. Расположение сопряженных зубчатых колес определяются углами α1 и α2. Схемы зацепления представлены на рис. 9. В точках контакта сопряженных зубчатых колес возникают окружные усилия F2 и F3 , направленные по касательным к венцам этих колес. Усилие F2 на 29 ведущем колесе 2 создает вращение промежуточного вала и направлено в сторону его вращения, а усилие F3 на ведомом колесе 3 препятствует вращению вала и направлено противоположно вращению. Рисунок 9. Усилия F2 и F3 на венцах колес приводим к центру тяжести тех сечений вала, где насажены зубчатые колеса 2 и 3. Для этого в данных сечениях прикладываем равные по величине и противоположные по направлению силы F2 и F2 , F3 и F3 . Усилия F2 и F2 создают моментную пару величиной M 2 F2 а усилия F3 и F3 - это моментная пара M 3 F3 D2 , 2 D3 . Эти моментные пары равны 2 по величине, направление момента M 2 совпадает с направлением вращения вала, а направление момента противоположно M 3 вращению. Таким образом, в результате переноса остаются силы F2 и F3 , приложенные к оси вала, и моменты M 2 и M 3 , действующие в плоскостях поперечных сечений вала. Силы F2 и F3 вызывают пространственный изгиб вала, а моментные пары создают кручение вала. Строим схему промежуточного вала (рис. 10). 2. Определение вращающих моментов и окружных усилий на зубчатых колесах 2 и 3. Строим схему промежуточного вала (рис.10,а). Определяем угловую скорость промежуточного вала: n 3,14 340 35, 6 рад / с . 30 30 Определяем величину вращающего момента, передаваемого промежуточным валом: 30 22 103 М2 М3 М 618 Нм . 35,6 Определяем окружные усилия на венцах зубчатых колес 2 и 3, которые насажены на промежуточный вал: 2M 2 618 F2 3635 Н , D2 0,34 2M 2 618 F3 5886 Н . D3 0, 21 N 3. Строим эпюру крутящих моментов (рис.10,б). Составляем схему работы вала на кручение (рис. 10,б). В сечениях, где насажены зубчатые колеса, прикладываем равные по величине и противоположные по направлению моменты М 2 М 3 М . Опорные подшипники вала крутящего момента не передают. Вал разбиваем на силовые участки и используем метод сечений. На участках АС и DB крутящий момент TZAC TZDB 0 , на участке СD: TZCD M 618 Нм const . строим эпюру крутящего момента (рис.10,в). 4. Строим эпюру изгибающего момента МХ в вертикальной плоскости. Определяем величины вертикальных проекций сил F2 и F3 , изгибающих вал (рис.9): F2Y F2 sin 1 3635 sin 50 2785 Н ; F3Y F3 sin 2 5886 sin10 1022 Н . Составляем расчетную схему работы вала на изгиб в вертикальной плоскости как балки на шарнирных опорах с усилиями, действующими по оси y (рис. 10,г). Определяем опорные реакции. Составляем уравнение моментов относительно опор А и В: M À 0; F2Y ( 1 2 ) F3Y 1 RBY ( 1 2 3 ) 0 , RBY F2Y ( 1 2 ) F3Y 1 2 3 1 2785 (0.11 0.31) 1022 0,11 1448 Н . 0,11 0,31 0,31 Знак минус означает. Что реакция направлена в другую сторону. M RAY F2Y B 0; F2Y F3Y ( 2 1 2 3 3 3 3 ) F3Y ( 2 3 ) RAY ( 1 2 3) 0 , 2785 0.31 1022 (0,31 0,31) 315 Н . 0, 73 Знак минус означает. Что реакция направлена в другую сторону. Проверка: Y 0; RAY RBY F2Y F3Y 315 1448 2785 1022 0 . Вычисляем изгибающие моменты в вертикальной плоскости в характерных сечениях вала: М XA М XB 0 ; М XC RAY 1 315 0,11 35 Нм ; М XD RBY 3 1448 0,31 449 Нм . 31 Строим эпюру изгибающих моментов M X в вертикальной плоскости (рис. 10,д). 5. Строим эпюру изгибающего момента МY в горизонтальной плоскости. Определяем величины горизонтальных проекций сил F2 и F3 , изгибающих вал (рис.10): F2 X F2 cos 1 3635 cos 50 2336 Н ; F3 X F3 cos 2 5886 cos10 5797 Н . Составляем расчетную схему работы вала на изгиб в горизонтальной плоскости как балки на шарнирных опорах с усилиями, действующими по оси х (рис. 10,е). Рисунок 10. 32 Определяем опорные реакции. Составляем уравнение моментов относительно опор А и В: M À 0; F3X 1 F2 X ( 1 2 ) RBX ( 1 2 3 ) 0 , RBX F3 X 1 M RAX F2 X F2 X ( 1 1 2 3 B 3 2 0; F2 X F3 X ( 2 1 2 3 ) 3 3 ) 5797 0,11 2336 (0,11 0,31) 2218 Н . 0, 73 F3 X ( 2 3 ) RAX ( 1 2 3) 0 , 2336 0,31 5797 (0,31 0,31) 5915 Н . 0, 73 Проверка: X 0; R AX RBX F2 x F3x 5915 2218 2336 5797 0 . Вычисляем изгибающие моменты в горизонтальной плоскости в характерных сечениях вала: М YA М YB 0 ; М YC RAX 1 5915 0,11 651 Нм ; М YD RBX 3 2218 0,31 688 Нм . Строим эпюру изгибающих моментов M Y в горизонтальной плоскости (рис. 16ж). 6. Строим эпюру суммарных изгибающих моментов. Вычисляем значения суммарного изгибающего момента в характерных сечениях вала: М CA М CB 0 ; М М CD М М 35 651 652 Нм ; М (449) 688 822 Нм . C 2 X М CC D 2 X D 2 Y C 2 Y 2 2 2 2 Строим эпюру суммарного изгибающего момента M C в горизонтальной плоскости (рис. 16,з). 7. Определяем величину расчетного (эквивалентного) момента. По эпюрам M кр и M выбираем опасное сечение, где одновременно действует максимальный изгибающий момент М D 822 Нм и крутящий момент M кр 618 Нм . Определяем величину максимального эквивалентного момента по IV теории прочности IV М ЭКВ М D2 0,75M кр2 8222 0,75 6182 981 Нм . 8. Определяем диаметр промежуточного вала: d 3 IV М ЭКВ 3 981 1,57 102 м 15, 7 мм . 6 3,14 80 10 Принимаем диаметр вала d 80 мм . 33 ЗАКЛЮЧЕНИЕ При выполнении практических задач, входящих в данную курсовую работу, мною были применены и закреплены теоретические знания по сопротивлению материалов. Также были выработаны навыки использования теоретических знаний при решении инженерных задач расчета деталей машин и конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. В ходе выполнения данной курсовой работы я научился анализировать эпюры внутренних силовых факторов, определять опасные сечения и опасные точки в сечениях, анализировать условия прочности и делать выводы о надежности конструкции. 34 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Дружинина Т.Я. Построение эпюр внутренних силовых факторов: учеб. пособие к расчет.-проектировоч. работам и домаш. задачам по курсу сопротивления материалов для машиностроит. и мех. специальностей оч. и заоч. обучения / Т.Я. Дружинина, Э.И. Фильчагина. – Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2002. – 94 с. 2. Лапшин В.Л. Сопротивление материалов. Расчет на прочность и устойчивость стержневых элементов горного оборудования: учеб. пособие для выполнения курсовой работы / В.Л. Лапшин, В.П. Ященко. – Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2014. – 100 с. 3. Лапшин В.Л. Сопротивление материалов. Практический курс: учеб. пособие. Ч 1. / В.Л. Лапшин [и др.]. – Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2011. – 132 с. 4. Мартыненко М.Г. Сопротивление материалов. Словарь основных терминов и определений. – Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2011. – 36 с. 5. Распопина В.Б. Сопротивление материалов. Определение геометрических характеристик поперечных сечений стержневых конструктивных элементов аналитически и с помощью модуля APM Structure 3D программного комплекса APM WinMachine: учеб. пособие. – Иркутск: Издво ИрГТУ, 2012. – 152 с 6. Распопина В.Б. Сопротивление материалов. Расчет вала при совместном действии изгиба и кручения: учеб. пособие для вузов по направлению подготовки бакалавров и магистров «Технология, оборудование и автоматизация машиностроит. пр-в». / В.Б. Распопина, Э.И. Фильчагина. – Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2005. – 98 с. 7. Расчет на устойчивость центрально сжатых стержней: метод. указания для выполнения курсовых и расчет.-проектировочных работ по сопротивлению материалов для мех. и машиностроит. специальностей оч.; веч. и заоч. форм обучения / сост. В.Л. Лапшин, В.П. Ященко. – Иркутск: изд-во ИрГТУ, 2001. – 26с. 8. Степин П.А. Сопротивление материалов: учеб. для немашиностроит. спец. ВУЗов. – СПб.: Лань, 2010 -319с. 9. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. – 590с. 35