Самостоятельная работа по теме 4 1. Прямая m пересекает плоскость α в точке B. Существует ли плоскость, проходящая через прямую m и параллельная плоскости α? Ответ: Нет. Если бы такая плоскость существовала, то она имела бы с плоскостью α общую точку B, то есть не была бы ей параллельна. 2. Плоскости α и β параллельны, прямая т лежит в плоскости α. Докажите, что прямая т параллельна плоскости α. Ответ: Прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек. α и β параллельны по условию, то есть у α и β нет общих точек. Точка m принадлежит α, поэтому и у m с плоскостью β нет общих точек. То есть m параллельна плоскости β. Утверждение доказано. 3. Докажите, что плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые m и n плоскости α параллельны плоскости β Ответ: Пусть а и b не параллельны, тогда они пересекаются по прямой k. Т.к. m и n параллельны плоскости b, то они не имеют с ней общих точек, соответственно они не пересекают прямую k. т.е. m параллельна k и n параллельна k. Две пересекающиеся прямые не могут быть одновременно параллельными третьей прямой, значит предположение о пересечении плоскостей неверно, значит они параллельны. 4. Две стороны треугольника параллельны плоскости α. Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости α Ответ: Проведём через 3 вершины треугольника плоскость. Она параллельна плоскость альфа по признаку параллельности (две пересекающиеся прямые параллельны плоскости альфа). Это значит, что любая прямая плоскости треугольника параллельна альфа, т. е. и 3я сторона. Ч.т.д. 5. Три отрезка, и , не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости и параллельны Ответ: Возьмем пару отрезков А1А2 и В1В2. А1А2 и В1В2 по следствию из аксиомы А1 (п. 3, теорема) они лежат в одной плоскости. А1В1А2В2 параллелограмм (диагонали 4-угольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам). А1В1||А2В2. Возьмем вторую пару отрезков А1С1 и А2С2. Аналогично получим, что А1С1||А2С2. По теореме плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны.
