Типовые задачи по математике ГЭК2013_ФМ

Типовые задачи к государственному экзамену по математике с
методикой преподавания (2013).
Математический анализ
1. Построить график функции y  arcsin(sin x) и y  sin(arcsin x) .
2. Вычислить предел функции.
1) xlim
 1
1 3 x
,
1 x
2) lim x 2e1 x ,
(sin 2 x)
5) lim
x0
4) lim xsin x ,
6) lim
x 0
x  
3) lim x 2e1 x ,
x  
x 0
x2  x
x  arctgx
x3
3. Исследовать на непрерывность, построить график функции
 sin x, x  0,

x 3 , 0  x  2,

а) f ( x)   1
 x  2 , 2  x  5,

 x 2  23, x  5.
 x 2  4 x  3, x  2,
б) f ( x)  
4. Найти производную функции:
x3 ,


x  2,

sin x
а) f ( x)  (cos 2 x  1)  tg 2 x б) f ( x)  x 2  1
.
5. Определить углы, под которыми графики функций: sin x , tgx и ln x
пресекают ось абцисс.
6. Доказать тождество 2arctgx  arcsin
2x
при x  1 .
1 x2
7. Написать уравнение касательной и нормали к кривой y  x3  2 x 2  1
в точке ее пересечения с параболой y  2x 2 .
8. Найдите наибольшую площадь прямоугольника, две стороны
которого лежат на координатных осях, а одна из вершин на
параболе у=3 – х2.
9. Вычислить неопределенный интеграл:
xarctgxdx
x2  1
1) 
2)  cos 2 xdx, 3)  2 dx,
x 1
10.. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями
y
x2
2 .
11.Вычислить определенный интеграл:
1
1)

1
x  1dx,
2)  (e x  1)3 e x dx ,
0
0
12.Исследовать на сходимость ряд:

а)

n 1
1
n4  1

,
б)

n 1
n
,
n(n  1)

n!
5n

,

n
в) n 1 n! г) n1 n

y
1
1 x2 и
13.Исследовать на абсолютную или условную сходимость:
а)

 (1)
n 1
n 1
1
,
n
б)

 (1)
n 1
n 1
n
n 1
3
,
( x  1) n

n
n 1

14. Найти область сходимости степенного ряда
15.Вычислить с точностью до 10-3 интеграл
.
1
sin x
dx.
x
0

Дифференциальные уравнения
1. Найти решение уравнения (1  y 2 )dx  xydy  0 , удовлетворяющее
начальному условию y (2)  1 .
2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
y2
y
y   2  4  2.
x
x
2
3. Найти общее решение уравнения y   2 xy  2 xe  x .
4. Найти общее решение уравнения 3x 2 e y dx  ( x 3 e y  1)dy  0.
5. Найти общее решение уравнения y |V  6 y   9 y   0 .
6. Найти общее решение неоднородного д.у. y  4 y  4 y  3e3 x .
Геометрия
1. Доказать, что сумма квадратов расстояний от всех вершин квадрата до
прямой, проходящей через его центр, не зависит от выбора прямой. Найти
эту сумму, если сторона квадрата равна a .
2.Найти уравнения касательной плоскости и нормали поверхности,
заданной в евклидовом пространстве параметрическими уравнениями
 x  u  1,

 y  u  v,
z  u 2  v2

в точке М(0,3).
3. На плоскости Лобачевского доказать, что длина отрезка, соединяющего
середины двух сторон треугольника, меньше половины длины третьей
стороны.
2
2
4. Найдите уравнение образа окружности x  y  7 при осевой
симметрии, для которой точки (1,1) и (2,3) инвариантны в прямоугольной
системе координат.
5. Дан куб ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 3. Найти расстояние от
вершины А до плоскости BMN, где М и N - середины рёбер DC и D1C1
соответственно.
6. Найти объём шара, вписанного в тетраэдр, ограниченный
координатными плоскостями и плоскостью, заданной уравнением 2x + 3y
+ 6z – 18 = 0.
7. Найти координаты точки, симметричной точке А(0, 0, 2) относительно
прямой, заданной каноническими уравнениями
x y 1 z
.


1
1
1
8.Составьте уравнения ортогональной проекции прямой 5x  4 y  2z  5  0 ,
x  2 z  2  0 на плоскость 2x  y  z 1  0 .
Алгебра
1. Решить систему линейных уравнений методом последовательного
исключения переменных:
mx  y  z  0

 x  my  z  0
 x  y  mz  0

2. Вычислить последние две цифры числа 2102.
3. Доказать, что отображение x  3x является изоморфизмом аддитивной
группы действительных чисел на мультипликативную группу
положительных действительных чисел.
2
1 2


4. Найти A 1 , если А=  2 1  2
2  2 1 


5. Выполнить действия:

1  i 3
1  i
20

 
15
1  i 3
1  i
20

15
.

6. Образует ли кольцо: K= a  b 2  c 5 a, b, c  Z , если операции
определены как обычно.
7. Вычислить НОД(588, 2058, 2849) двумя способами.
8. Решить сравнения: 1) 12x16(mod 20),
2) 12x15(mod 20).