ЕН.Ф.1 Математика (новое окно)

Министерство образования и науки Российской Федерации
ФИЛИАЛ
государственного образовательного учреждения высшего профессионального
образования
Дальневосточный государственный технический университет
в г. Петропавловске-Камчатском
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
По дисциплине «Математика»
Для специальности 270102.65 «Промышленное и гражданское строительство»
Форма подготовки очная/заочная
Согласовано:
Заведующий выпускающей
кафедрой ПГС, ТГСВ
Учебно-методический комплекс
утвержден на заседании кафедры ПГС, ТГСВ
протокол № 1от «31» августа 2009 г.
Зав. кафедрой к.т.н., доцент Ткаченко В.А.
к.т.н., доц. Ткаченко В.А.
Учебно-методический комплекс составлен:
к.ф-м. т., доцент Паровик Р.И.
г. Петропавловск-Камчатский
2009 г.
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФИЛИАЛ
государственного образовательного учреждения высшего профессионального
образования
Дальневосточный государственный технический университет
в г. Петропавловске-Камчатском
Рабочая программа
По дисциплине «Математика»
Для специальности 270102.65 «Промышленное и гражданское строительство»
Форма подготовки очная/заочная
Согласовано:
Заведующий выпускающей
кафедрой ПГС, ТГСВ
Рабочая программа
утверждены на заседании кафедры ПГС, ГСВ
протокол № 1от «31» августа 2009 г.
Зав. кафедрой к.т.н., доцент Ткаченко В.А.
к.т.н., доц. Ткаченко В.А.
Рабочая программа:
к.ф-м. т., доцент Паровик Р.И.
г. Петропавловск-Камчатский
2009 г.
АННОТАЦИЯ
Математика является неотъемлемым элементом системы высшего
образования для любой технической и гуманитарной специальности.
Полноценное развитие мышления современного специалиста невозможно без
формирования логической и математической культуры.
Построение логического анализа ситуаций, вывода следствий из
известных фактов путем логических рассуждений, умение работать с
определениями, умение отличать известное от неизвестного, доказанное от
недоказанного,
искусство
анализировать,
классифицировать,
ставить
гипотезы, опровергать их или доказывать, пользоваться аналогиями - все это
будущий специалист осваивает только благодаря изучению математики.
ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ПРОГРАММЫ
Целью изучения математики является: подготовка студентов к усвоению
специальных технических дисциплин и обеспечение высокого уровня
профессиональных знаний и умений современного инженера. Овладение
курсом обеспечит профессиональные знания и умения, необходимые для
грамотного и творческого решения задач, связанных с созданием и
использованием математических моделей и процессов, с разработкой и
применением современных математических методов. Материал является
теоретической основой исследовательской деятельности
в областях,
использующих методы прикладной математики и компьютерные технологии.
Задачей изучения математики является: научить студентов точности,
логической стройности языка речи, а также навыкам работы с абстрактными
объектами.
Математика - базовая часть общеобразовательного цикла. Студент
должен владеть знаниями, полученными в средней школе: алгебраическими и
тригонометрическими функциями, неравенствами, свойствами плоских
геометрических фигур.
Методы и навыки, приобретенные в процессе обучения, используются
в ряде дисциплин, такие как информатика, механика, физика, специальные
дисциплины.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
- фундаментальные основы высшей математики, включая линейную
алгебру,
аналитическую
геометрию,
математический
анализ,
теорию
вероятности и математической статистики.
- основные понятия высшей математики: матрица, определитель, вектор,
функция,
последовательность,
предел,
производная,
интеграл,
дифференциальное уравнение, событие, вероятность, величина.
ряд,
- основные методы и приемы высшей математики: для решения систем
линейных уравнений, для работы с векторами, для нахождения пределов,
производных,
интегралов,
сумм
ряда,
решений
дифференциальных
уравнений, вероятностей событий.
- основные способы применения изученных понятий в математике и
других областях науки.
Уметь:
- использовать математические знания при изучении других дисциплин,
расширять свои познания.
- решать любые системы линейных уравнений;
- работать с векторами и решать любые задачи аналитической
геометрии;
- находить пределы последовательностей и функций;
- находить производные различных порядков любых функций и
применять их в исследовании данных функций;
- находить интегралы различных видов и применять их в прикладных
задачах;
- решать основные интегрируемые виды дифференциальных уравнений;
- устанавливать сходимость - расходимость ряда, раскладывать функцию
в ряд;
- решать задачи теории вероятностей и математической статистики;
- решать задачи алгебры высказываний и теории графов.
Владеть:
-
первичными
навыками
и
основными
методами
решения
математических задач из дисциплин профессионального цикла и дисциплин
профильной направленности.
- основными понятиями математики
- целостным представлением о математике как науке, ее месте в
современном мире и в системе наук.
I. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ
1. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ
Виды учебной работы
Всего часов
Общая трудоемкость
Аудиторные занятия
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа
630
300/84
100/44
100/32
100/8
330/546
Контрольная работа
Вид итогового
экзамен)
контроля
-/3
(зачет,
экзамен
Семестр/курс
1
2
3
218/214 212/206 200/210
108/32 102/24 90/28
36/16
34/12
30/16
36/8
34/12
30/12
36/8
34/30/110/182 110/182 110/182
-/1
-/1
-/1
экзамен экзамен экзамен
2. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
2.1 Разделы дисциплины и виды занятий
Раздел дисциплины
Лекции
ПЗ
СР
ЛР
ТЕМА 1. ВЕКТОРНАЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
10/5
10/2
40/60
10/2
ТЕМА 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
10/5
10/2
40/60
10/2
16/6
16/4
30/62
16/4
36/16
36/8
110/182
36/8
10/4
10/4
40/60
12/-
10/4
10/4
40/60
12/-
14/4
14/4
30/62
10/-
34/12
34/12
110/182
34/-
10/6
10/6
40/60
10/-
10/6
10/6
40/60
10/-
10/4
10/4
30/62
10/-
30/16
30/12
110/182
30/-
100/44
100/32
330/546
100/8
1 семестр
ТЕМА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Итого:
2 семестр
ТЕМА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ТЕМА 5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
ТЕМА 6. ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ И ИХ СИСТЕМЫ
Итого:
3 семестр
ТЕМА 7. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
РЯДЫ
РАЗДЕЛ 8 ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ТЕМА 9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Итого: 630
2.2. Содержание разделов дисциплины
ТЕМА 1. ВЕКТОРНАЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (10/5 часов)
Алгебра:
основные
алгебраические
структуры,
векторные
пространства и линейные отображения, булевы алгебры.
Комплексные числа и действия над ними. Комплексные числа в
тригонометрической форме.
Определители 2-го порядка и 3-го порядка, их свойства и способы
вычисления.
Определители
n-го
порядка,
их
свойства
и
способы
вычисления. Системы линейных уравнений. Правило Крамера. Линейные
однородные системы и методы их решения.
Матрицы и действия над ними. Нахождение обратной матрицы.
Решение системы матричным методом. Метод Гаусса для решения систем
линейных уравнений. Ранг матрицы. Исследование систем линейных
уравнений. Теорема Кронекера – Капелли.
Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось.
Координаты вектора и основные координатные соотношения. Скалярное,
векторное и смешанное произведение векторов. Линейная зависимость и
независимость
векторов.
Аффинная
система
координат.
Полярные
координаты. Преобразование координат
ТЕМА 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (10/5 часов)
Геометрия: аналитическая геометрия, многомерная евклидова
геометрия,
дифференциальная
геометрия
кривых
поверхностей,
элементы топологии.
Прямая на плоскости. Основные виды уравнений прямой на плоскости.
Взаимное
расположение
двух
прямых
на
плоскости.
Условие
параллельности, перпендикулярности прямых. Угол между прямыми.
Расстояние от точки до прямой. Кривые второго порядка: окружность,
эллипс, гипербола, парабола; их основные характеристики.
ТЕМА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (16/6 часов)
Анализ: дифференциальное исчисление, элементы теории функций и
функционального анализа, теория функций комплексного переменного,
дифференциальные уравнения.
Понятие
числовой
последовательности.
Операции
над
последовательностями. Ограниченность и неограниченность числовых
последовательностей. Бесконечно большие и бесконечно малые числовые
последовательности. Свойства бесконечно малых последовательностей.
Сходящиеся
последовательности.
Свойства
сходящихся
последовательностей.
Понятие функции одной переменной, её свойства и график. Предел
функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы. Бесконечно
малые и бесконечно большие функции и их свойства. Основные теоремы о
пределах
функций.
Первый
и
второй
замечательные
пределы.
Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции. Непрерывность
функции на промежутке.
ТЕМА 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (10/4 часа)
Понятие производной функции, её геометрической и физический
смысл. Основные правила и методы дифференцирования. Дифференциал и
его геометрический смысл. Производные
и дифференциалы высших
порядков. Свойства функций, дифференцируемых на отрезке. Применение
производной к исследованию функций. Правило Лопиталя. Наибольшее и
наименьшее значение функции на отрезке.
Комплексные числовые последовательности и ряды. Абсолютная
сходимость. Степенные ряды в комплексной области. Круг сходимости.
Функции комплексной переменной. Действительная и мнимая части
функции. Основные элементарные функции комплексной переменной:
рациональная, тригонометрические, гирпеболические, экспоненциальная,
логарифмическая. Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного
числа.
Дифференцирование функции комплексной переменной. Условия
Коши – Римана. Аналитические функции по ее действительной или мнимой
частям. Интегрирование функций комплексного числа.
Дифференцирование функции комплексной переменной.
Комплексные
функции
действительной
переменной:
непрерывность, дифференцирование, интегрирование.
Вычисление
интегралов
операционного
с
исчисление.
помощью
теории
Интегральное
пределы,
Теория вычетов.
вычетов.
Элементы
преобразование
Лапласа.
Применение операционного исчисления к вычислению обыкновенных
линейный дифференциальных уравнений и их систем.
ТЕМА 5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИСЧИСЛЕНИЯ (10/4 часа)
Интегральные исчисления. Первообразная. Неопределённый интеграл
и его свойства. Таблица основных интегралов. Основные методы
интегрирования:
подстановкой.
непосредственное
Интегрирование
интегрирование,
по
дробно-рациональных
частям,
выражений,
иррациональных и содержащих тригонометрические функции.
Определённый интеграл, его свойства и вычисление. Приложение
определённого интегралах вычислению площадей плоских фигур, длин дуг
кривых, объёмов тел и площадей поверхностей вращения.
ТЕМА 6. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ И ИХ СИСТЕМЫ (14/4 часа)
Понятие
о
дифференциальном
уравнении.
Дифференциальные
уравнения с разделяющимися переменными. Однородные и линейные
дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Дифференциальные
уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные однородные и
неоднородные
дифференциальные
уравнения
второго
порядка
с
постоянными коэффициентами.
ТЕМА 7. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ (10/6 часов)
Числовые ряды.
Сходимость, расходимость, сумма и остаток ряда.
Необходимое условие сходимости. Основные свойства.
Ряды с положительными членами, основные признаки сходимости.
Знакочередующиеся
ряды.
Признак
Лейбница.
Оценка
остатка
знакочередующегося ряда.
Функциональные ряды. Признак Вейеристрасса. Интегрирование и
дифференцирование
функциональных
рядов.
Область
сходимости.
Степенные ряды, интеграл сходимости. Разложение функций в ряд Тейлора.
Приближённые вычисления значений функций с помощью степенных
рядов.
Применение
степенных
рядов
к
вычислению
пределов
и
определённых интегралов.
ТЕМА 8 ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (10/6 часов)
Дискретная математика: логические исчисления, графы, теория
алгоритмов, языки и грамматики, автоматы, комбинаторика.
Понятие функции нескольких переменных. Предел
непрерывность
функции нескольких переменных. Дифференцирование сложной и неявной
функции. Экстремум функции нескольких переменных.
Двойной интеграл в прямоугольной и полярной системах координат,
его свойства и правила вычисления.
приложения
Геометрические и физические
двойного интеграла. Тройной интеграл в прямоугольной,
цилиндрической и сферической система координат, его свойства и правила
вычисления.
Геометрические
и
физические
интеграла. Поверхностные интегралы.
приложения
тройного
ТЕМА 9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА (10/4 часа)
Вероятность и статика: элементарная теория вероятностей,
математические основы теории вероятностей, модели случайных
процессов, проверка гипотез, принцип максимального правдоподобия,
статистические методы обработки экспериментальных данных.
Элементы
комбинаторики.
Случайные
события.
Классическое
определение вероятности случайного события. Геометрическое определение
вероятности случайного события. Статистическое определение вероятности
случайного события. Основные теоремы теории вероятностей (вероятность
противоположного события, вероятность суммы событий вероятность
произведения событий). Формула полной вероятности и формулы Байеса.
Повторение испытаний: формула Бернулли, локальная и интегральная
теоремы Лапласа. Дискретные и непрерывные случайные величины и их
основные числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия и
среднее квадратическое отклонение.
Основные
задачи
математической
статистики.
Генеральная
совокупность и выборка. Генеральная и выборочные средние. Генеральная и
выборочная дисперсии.
Оценки дисперсии. Понятие доверительного
интервала для оценки математического ожидания. Статистические методы
проверки гипотез. Понятие статистической гипотезы.
статистической
генеральной
гипотез
о
совокупности.
математическом
Критерий
Методы проверки
ожидании
согласия
и
дисперсии
Пирсона.
Метод
наименьших квадратов. Уравнение линейной регрессии. Статистические
методы обработки экспериментальных данных.
. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ
КУРСА
№
п/п
1
2
3
№
п/п
№ раздела дисциплины
1 семестр
Тема
1.1. Вычисление определителей
РАЗДЕЛ 1. ВЕКТОРНАЯ
И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Тема 1.2. Элементарные преобразования матриц.
Умножение матриц.
Тема 1.3. Решение систем алгебраических уравнений
Тема 1.4.. Разложения вектора по базису.
Тема 1.5. Скалярное, векторное и смешанное
произведения векторов.
Контрольная работа №1
Тема
2.6.
Полярная
система
координат.
РАЗДЕЛ 2.
Преобразование декартовой системы координат.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ
Тема 2.7. Линии на плоскости
ГЕОМЕТРИЯ
Тема 2.8. Линии второго порядка на плоскости
Тема 2.9. Уравнения поверхности и линии в
пространстве
Тема 2.10. Уравнения прямой в пространстве
Контрольная работа №2
Тема 3.11. Множества
РАЗДЕЛ 3.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ Тема 3.12. Функция и ее свойства
Тема 3.13. Последовательности.
ИСЧИСЛЕНИЕ
Тема 3.14 Предел функции.
ФУНКЦИИ ОДНОЙ
Тема 3.15. Непрерывность функции
ПЕРЕМЕННОЙ
Тема 3.16 Вычисление производной и дифференциала
функции
Тема 3.17. Дифференцирование сложных функций,
обратных, заданных неявно и параметрически.
Правило Лопиталя
Тема 3.18 Исследование функций при помощи
производных
Тема 3.18 Исследование функций при помощи
производных
Контрольная работа №3
2,3 семестр
№ раздела дисциплины
5
Наименование практических занятий
Тема 5.31. Вычисление простейших интегралов
Тема 5.33. Интегрирование рациональных и
иррациональных функций.
Тема 5.34.. Вычисления определенного интеграла.
Тема 5.35. Приложение определенного интеграла
Тема 5.36. Вычисление несобственных интегралов.
Контрольная работа №5
Тема 6.37. Дифференциальные уравнения первого и
РАЗДЕЛ 6.
высшего порядков
ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ Тема 6.38. Линейные дифференциальные уравнения
РАЗДЕЛ 5.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
ИСЧИСЛЕНИЯ
4
Наименование практических занятий
УРАВНЕНИЯ И ИХ
СИСТЕМЫ
6
7
РАЗДЕЛ 7. ЧИСЛОВЫЕ
И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
РЯДЫ
РАЗДЕЛ 8
ГАРМОНИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
РАЗДЕЛ 9. ТЕОРИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА
8
второго порядка
Тема 6.39. Системы дифференциальных уравнений
Контрольная работа №6
Тема 7.40 Числовые ряды. Признаки сходимости
рядов.
Тема 7.41. Степенные ряды и признаки их сходимости.
Контрольная работа №7
Тема 8.42 Разложение функции в ряд Фурье
Тема 8.43. Преобразование Фурье
Контрольная работа №8
Тема 9.44. Нахождение вероятности событий с
помощью комбинаторики, формул полной вероятности
и Байеса, теорем сложения и умножения вероятностей.
Тема 9.45. Вычисление характеристик дискретных и
непрерывных распределений.
Тема 9.46. Построение вариационного рада,
нахождение
его
характеристик,
построение
доверительного интервала, выдвижение и проверка
статистических гипотез.
Контрольная работа №9
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
Представлены лабораторные работы в Mathcad по следующим темам:
Лабораторная работа № 1. Решение систем линейных алгебраических
уравнений
Лабораторная работа № 2. Приближение функций
Лабораторная работа № 3. Приближенное интегрирование функций
Лабораторная работа № 4. Приближенное решение алгебраических и
трансцендентных уравнений
Лабораторная работа
№ 5. Задача Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений
Лабораторная работа № 6. Решение первой краевой задачи для
уравнения теплопроводности методом конечных разностей
Лабораторная работа №
7. Уравнение регрессии и коэффициент
корреляции.
Математический пакет выбирали после сравнения с аналогичными
свободно распространяемыми программами. Предпочтение отдали Mathcad,
благодаря наличию обширной справочной информации в самой системе, а
также существующему богатому набору литературы и примеров, в том числе,
и на вашем сайте, на котором просто найти множество подробно
рассмотренных примеров решения различных задач в разделе «Методические
разработки», причём не просто в виде текстов программ, а сами программы,
что в разы удобнее. Всё это позволило сделать освоение Mathcad лёгким и
эффективным сначала для нас самих, а затем и для студентов. Mathcad
широко используется в нашем институте и при изучении других предметов,
поскольку инженерные науки неразрывно связаны с математикой.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
№
п/п
№ раздела дисциплины
РАЗДЕЛ 1. ВЕКТОРНАЯ
И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
1
2
3
1
Тематика работы
1 семестр
Тема. Элементы дискретной математики
Алгебра высказываний. Теория графов. Логика
предикатов.
РАЗДЕЛ 2.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
РАЗДЕЛ 3.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
РАЗДЕЛ 4.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
РАЗДЕЛ 5.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
ИСЧИСЛЕНИЯ
Тема. Элементы теории поля.
Скалярные и векторные поля и их свойства
Тема. Элементы теории функции комплексного
переменного.
Функции комплексного переменного. Ряды. Вычет
функции.
2 семестр
Тема. Элементы теории функции комплексного
переменного.
Функции комплексного переменного. Ряды. Вычет
функции.
Тема. Двойные и тройные интегралы.
Вычисление двойного и тройного интеграла.
Некоторые приложения.
2
Тема. Поверхностные и криволинейные
интегралы.
3
4
5
Вычисление интегралов и их приложения.
РАЗДЕЛ 6.
Тема. Элементы операционного исчисления.
ОБЫКНОВЕННЫЕ
Интегральное преобразование Лапласа.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ И ИХ
СИСТЕМЫ
РАЗДЕЛ 7. ЧИСЛОВЫЕ
Тема. Численные методы решения задач.
И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
Численные методы решения алгебраических
РЯДЫ
уравнений и дифференциальных уравнений
РАЗДЕЛ 8
ГАРМОНИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Тема. Вейвлет разложение периодических
функций
Основы спектрального гармонического анализа.
. КОНТРОЛЬ ДОСТИЖЕНИЯ ЦЕЛЕЙ КУРСА
Вопросы к экзамену.
1 СЕМЕСТР.
1.
Комплексные числа в алгебраической форме и операции над ними.
2.
Тригонометрическая форма комплексных чисел. Операции над
комплексными числами в тригонометрической форме.
3.
Матрицы и операции над ними. Свойства операций.
4.
Элементарные преобразования матриц. Нахождение обратной
матрицы
5.
Определитель матрицы. Нахождение определителей и свойства.
6.
Минор и алгебраическое дополнение. Нахождение обратной
матрицы с помощью алгебраических дополнений.
7.
Системы линейных уравнений.
8.
Способы решения систем линейных уравнений (м. Гаусса, ф.
Крамера, с помощью обратной матрицы)
9.
Векторы и операции над ними.
10. Скалярное произведение векторов. Свойства. Применение.
11. Векторное произведение векторов. Свойства
12. Смешанное произведение векторов. Свойства
13. Метод координат на плоскости и в пространстве.
14. Уравнение прямой на плоскости. Способы задания.
15. Взаимное расположение прямых. Угол между прямыми. Расстояние
от точки до прямой. Точка пересечения двух прямых.
16. Уравнение плоскости. Взаимное расположение плоскостей. Угол
между плоскостями.
17. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
18. Числовая последовательность. Предел последовательности.
19. Теоремы о пределах последовательностей. Способы нахождения
пределов последовательностей.
20. Функция и способы ее задания. Предел функции.
21. Односторонние пределы функции. Бесконечно малые и большие
функции.
22. Теоремы о пределах функции. Замечательные пределы.
23. Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций.
24. Задачи приводящие к понятию производной.
25. Производная функции. Механический и геометрический смыслы
производной.
26. Касательная и нормаль.
27. Таблица производных.
28. Дифференциал функции и его приложения.
29. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.
30. Производные высших порядков.
31. Условия возрастания и убывания функции.
32. Экстремум
функции.
Необходимое
и
достаточное
условия
существования.
33. Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба.
34. Асимтоты кривой.
35. Схема исследования функции.
2 СЕМЕСТР.
1.
Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства.
2.
Таблица элементарных неопределенных интегралов.
3.
Основные способы интегрирования (замена, внесение под знак
дифференциала, по частям)
4.
Интегрирование рациональных дробей.
5.
Интегрирование простейших иррациональностей.
6.
Интегрирование тригонометрических функций.
7.
Определенный интеграл.
8.
Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
9.
Определенный интеграл с переменным верхним пределом.
10. Замена переменной под знаком определенного интеграла.
11. Нахождение площади с помощью определенного интеграла.
12. Длина дуги.
13. Объем тела вращения.
14. Работа переменной силы.
15. Площадь поверхности вращения.
16. Несобственные интегралы.
17. Дифференциальные уравнения. Основные понятия.
18. Дифференциальные уравнения первого порядка.
19. Дифференциальные уравнения допускающие понижения порядка.
20. Свойства решений линейных дифференциальных уравнений.
21. Линейные
дифференциальные
уравнения
с
постоянными
дифференциальные
уравнения
с
постоянными
коэффициентами.
22. Линейные
коэффициентами со специальной правой частью вида e x  p(x) .
23. Линейные
дифференциальные
уравнения
с
постоянными
коэффициентами со специальной правой частью вида m  cos x  n  sin x .
24. Линейные
дифференциальные
уравнения
с
постоянными
коэффициентами со специальной правой частью вида ax 2  bx  c .
25. Числовые ряды. Сходимость ряда.
26. Свойства и признаки сходимости знакопостоянных рядов.
27. Знакопеременные ряды.
28. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
29. Степенные ряды.
30. Ряд Маклорена. Ряд Тейлора.
31. Функции нескольких переменных. Геометрическое изображение.
32. Предел функции нескольких переменных.
33. Непрерывность функций нескольких переменных.
34. Частные производные функций нескольких переменных.
35. Локальный
экстремум
функций
нескольких
переменных.
Необходимое и достаточное условия существования экстремумов функции
двух переменных.
36. Необходимое и достаточное условия существования экстремумов
функции более чем двух аргументов.
37. Условные экстремумы. Метод множителей Лагранжа.
38. Двойной интеграл в прямоугольных координатах. Свойства.
39. Вычисление двойных интегралов в прямоугольных координатах.
Примеры.
40. Двойной интеграл в полярной системе координат. Примеры.
41. Применение двойных интегралов для вычисления площадей
плоских фигур, площадей поверхности, объемов цилиндрических тел.
42. Тройной интеграл в прямоугольных координатах. Свойства.
Вычисление.
43. Тройной интеграл в цилиндрической системе координат.
44. Тройной интеграл в сферической системе координат.
45. Применение
тройных
интегралов
для
вычисления
объемов.
Примеры.
3 СЕМЕСТР.
1. Криволинейные интегралы по длине дуги. Свойства. Вычисление.
Применение.
2. Криволинейные интегралы по координатам. Свойства. Вычисление.
Применение.
3. Поверхностные
интегралы
I
рода.
Свойства.
Вычисление.
интегралы
II
рода.
Свойства.
Вычисление.
Применение.
4. Поверхностные
Применение.
5. Элементы дискретной математики. Алгебра высказываний. Законы
логики.
6. Таблица высказываний. Нормальные формы.
7. Булево кольцо. Полином Жегалкина.
8. Упрощение релейно-контактной схемы.
9. Построение релейно-контактной схемы по заданным условиям.
Таблица Карно.
10. Размещения с повторениями и без повторений.
11. Перестановки и сочетания.
12. Случайные события. Операции над событиями.
13. Вероятность события. Свойства вероятностей.
14. Теоремы о сложении и умножении вероятностей.
15. Механизм диаграмм Эйлера-Венна. Геометрическая вероятность.
16. Формула полной вероятности. Теорема Байеса.
17. Схема последовательных испытаний Бернулли.
18. Приближенные
формулы
вычисления
вероятностей
в
Схеме
Бернулли.
19. Случайные величины. Дискретная случайная величина. Закон
распределения дискретной случайной величины.
20. Случайные величины. Непрерывная случайная величина. Закон
распределения непрерывной случайной величины.
21. Начальные и центральные моменты. Асимметрия и эксцесс
случайной величины.
22. Биномиальное распределение случайной величины.
23. Распределение Пуассона случайной величины.
24. Равномерное распределение случайной величины.
25. Показательное распределение случайной величины
26. Нормальное распределение случайной величины.
27. Распределение Пирсона случайной величины.
28. Распределение
систем
величин.
Ковариация
и
коэффициент
корреляции.
29. Распределения функции случайной величины.
30. Закон больших чисел. Неравенство и теорема Чебышева.
31. Закон больших чисел. Теорема Бернулли и центрально предельная
теорема.
32. Элементы статистики. Теория выборок. Вариационный ряд. Полигон
и гистограмма.
33. Выборочное среднее и выборочная дисперсия.
34. Теория оценок. Несмещенность, эффективность и состоятельность
оценки.
35. Точечная оценка истинного значения математического ожидания
нормальной случайной величины.
36. Точечная оценка дисперсии нормальной случайной величины.
37. Точность оценки. Доверительная
вероятность.
Доверительный
интервал.
38. Оценка генеральной средней при известном сигма.
39. Оценка истинного значения величины при неизвестном сигма.
40. Оценка дисперсии σ2 по выборочной s2.
41. Построение эмпирических моделей распределения величины по
результатам выборок. Непрерывные распределение.
42. Построение эмпирических моделей распределения величины по
результатам выборок. Дискретные распределения.
43. Проверка гипотез. Критерий Пирсона.
44. Аппроксимация экспериментальных данных. Уравнение линейной
регрессии.
45. Уравнение нелинейной регрессии.
V. ТЕМАТИКА И ПЕРЕЧЕНЬ КУРСОВЫХ РАБОТ И РЕФЕРАТОВ
Не предусмотрены учебным планом
V. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ
Основная литература
1. Балдин К.В., Башлыков В.Н., Рукосуев А.В. Математика / Учебное
пособие. – М: ЮНИТИ-ДАНА, 2006. – 543 с.
2. Березина Н.А. Высшая математика. Конспект лекций. – М.: Эсмо,
2008. – 160 с.
3. Данко П.Е., Попов А.Г.. Кожевников Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах в 2 ч. Ч.1 / Учебное пособие. – М.: изд-во «ОНИКС»,
2009. – 386 с.
4. Данко П.Е., Попов А.Г.. Кожевников Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах в 2 ч. Ч.2 / Учебное пособие. – М.: изд-во «ОНИКС»,
2009. – 479 с.
5. Кочетков Г.А. Краткий курс высшей математики / Учебное пособие.
7-е изд. – М: МГИУ, 2009. – 192 с.
6. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математики / Учебное
пособие. 7-е изд. – СПб.: Изд-во «Лань», 2005. – 240 с.
7. Михеев В.И., Павлюченко Ю.В. Высшая математика. Краткий курс. –
М: Физматлит, 2007. – 200 с.
8. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Полный
курс. 9-е.изд. – М.: Априс-пресс, 2009. – 608 с.
9. Шипачев В.С. Курс высшей математики / Учебник. 4-е изд. – М.:
«ОНИКС», 2009. – 608 с.
10. Шипачев В.С. Основы высшей математики. – М.: Изд.-во Высшее
образование, 2009. – 479 с.
Дополнительная литература
1. Андронов А.М., Е.А. Копытов, Л.Я. Гринглаз. Теория вероятностей и
математическая статистика. Учебник для вузов. - СПб.:Питер, 2004. – 461 с.
2 Горюшкин А.П., В.А. Горюшкин. Введение в математику. Краткий
курс алгебры и теории чисел / Учебное пособие. - ПетропавловскКамчатский, издательство ДВГТУ / ДВПИ им.В.В. Куйбышева (филиал в г.
Петропавловске-Камчатском) , 2007. – 280 с.
2. Гусак А.А., Бричикова Е.А.
Теория вероятностей. Справочное
пособие к решению. – Минск: ТетраСистемс, 2000. – 288 с.
3. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. Учебник
для вузов.- 2-е изд. – СПб.: Питер. 2006. – 364 с.
4. Рябушко
А.П.. Бархатов В.В., В.В. Державец, И.Е. Юруть.
Индивидуальные задания по высшей математике В 4 ч. -Минск: Высшая
школа, 2007
5. Фикс И.И., Терехина Л.И. Вероятность и элементы статистики.
Учебное пособие.-Томск: Изд-во ТПУ, 2008. -124 с.
6. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.
Учебное пособие. –М.: ЛКИ, 2008.-240с.
Электронные образовательные ресурсы
1. Математика: Учеб. пособие / Ю.М. Данилов, Л.Н. Журбенко, Г.А.
Никонова и др.; Под ред. Л.Н. Журбенко, Г.А. Никоновой; КГТУ. - М.:
ИНФРА-М, 2006. - 496 с. http://znanium.com/bookread.php?book=110071
2. Высшая математика: Учебное пособие / В.И. Малыхин. - 2-e изд.,
перераб.
и
доп.
-
М.:
ИНФРА-М,
2006.
-
365
с.
http://znanium.com/bookread.php?book=114124
3. Самохин А.В., Жулёва Л.Д., Шевелёва В.Н., Дементьев Ю.И. Сборник
задач по высшей математике. Часть IV. Интегралы. Дифференциальные
уравнения.
-
М.:
МГТУ
http://window.edu.ru/resource/006/46006
ГА,
2005.
-
104
с.
4. Богинич А.В., Двинина М.А., Телешев В.А. Учебное пособие по
высшей
математике.
-
Екатеринбург:
http://window.edu.ru/resource/366/62366
Изд. УГМА,
2007.
-
82
с.
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФИЛИАЛ
государственного образовательного учреждения высшего профессионального
образования
Дальневосточный государственный технический университет
в г. Петропавловске-Камчатском
Материалы для практических занятий
По дисциплине «Математика»
Для специальности 270102.65 «Промышленное и гражданское строительство»
Форма подготовки очная/заочная
г. Петропавловск-Камчатский
2009 г.
Задачи к практическим занятиям
Задача 1. Найдите общее решение системы линейных уравнений в
зависимости от значения параметра k. Выясните, при каких значениях k
система совместна, а при каких - определенна.
Номер
варианта
Система уравнений
1
 4 x1  5 x2  2 x3  kx4  4k  1,

 2 x1  3x2  12 x3  17 x4  2k  5,

2 x1  x2  kx3  5 x4  4k  7 ,
3x1  x2  7 x3  9 x4  3k  2
2
 5 x1  x 2  kx3  11x 4  8k  22 ,

 x1  2 x 2  12 x 3  kx4  2k  4,

7 x1  2 x 2  13 x 4  14 k  23 ,
3x1  x 2  x 3  5 x 4  6k  10
3
 x1  3x2  kx3  3x4  3k  4,

 x1  4 x2  23 x3  10 x4  k  7 ,

 3x1  2 x2  29 x3  20 x4  3k  9,
 x1  2 x2  x3  kx4  2k  7
4
 x1  4 x2  17 x3  x4  3k  2,

5 x1  6 x2  15 x3  9 x4  15 k  4,

 7 x1  5 x2  kx3  16 x4  18 k  3,

 x1  x2  8 x3  kx4  2k  7
5
2 x1  3x2  3x3  14 x4  4k  8,
3x  x  23x  kx  7 k,
 1
2
3
4

3x1  x2  13x3  7 x4  6k  5,

4 x1  5 x2  kx3  24 x4  11k  17
Номер
варианта
6
7
Система уравнений
5 x1  3x2  x3  4 x4  15 k  1,

 3x1  2 x2  kx3  3x4  11k  4,

 4 x1  x2  12 x3  x4  12 k  9,
 2 x1  x2  2 x3  kx4  3k  4
3x1  2 x2  30 x3  kx4  5k  6,

5 x1  2 x2  2 x3  19 x4  10 k  25 ,

 x1  x2  kx3  5 x4  3k  13 ,

4 x1  x2  7 x3  14 x4  8k  17
8
3x1  2 x2  x3  kx4  3k  8,

2 x1  2 x2  kx3  2 x4  k  12 ,

 7 x1  3x2  9 x3  17 x4  7k-13 ,
 5 x1  x2  11 x3  19 x4  5k  7
9
4 x1  2 x2  28 x3  kx4  12 k  3,

5 x1  2 x2  17 x3  29 x4  15 k  18 ,

 x1  x2  x3  10 x4  3k  6,
3x1  4 x2  kx3  37 x4  8k  21
10
 x1  2 x2  kx3  5 x4  4k  4,

 x1  7 x2  17 x3  15 x4  3k  3,

 4 x1  x2  19 x3  kx4  12 k-12 ,
2 x1  3x2  x3  8 x4  6k  5
Задача 2. Найдите определитель матрицы А и решите матричное
уравнение:
Номер
Матрица A
Матрица B
Уравнение
варианта
AX =B
1
XА =B
2
3
AX =B
4
XА =B
5
AX =B
6
XА =B
7
AX =B
8
XА =B
9
AX =B
Номер
Матрица A
Матрица B
Уравнение
варианта
10
XА =B
Задача 3. Вычислите объем тетраэдра ABCD, длину его высоты,
опущенной из вершины D на грань ABC, угол между гранями ABC и ACD и
расстояние между прямыми AB и CD, угол между прямыми AB и
площадь грани ABC.
Номер варианта
Вершины тетраэдра
1
A(7, 2, 4), B(7, -1, -2), C(3, 3, 1), D(-1, 2, 1)
2
A(2, 1, 4), B(-1, 5, -2), C(-7, -3, 2), D(-6, -3, 6)
3
A(-1, -5, 2), B(-6, 0, -3), C(3, 6, -3), D(-10, 6, 7)
4
A(1, 3, 6), B(2, 2, 1), C(-1, 0, 1), D(-4, 6, -3)
5
A(-4, 2, 6), B(2, -3, 0), C(-10, 5, 8), D(-5, 2, -4)
6
A(3, 3, 1), B(-1, 2, 1), C(7, 2, 4), D(7, -1, -2)
7
A(-6, 0, -3), B(3, 6, -3), C(-1, -5, 2), D(-10, 6, 7)
8
A(4, -2, -6), B(-2, 3, 0), C(10, -5, -8), D(5, -2, 4)
9
A(2, 2, 1), B(-1, 0, 1), C(-4, 6, -3), D(1, 3, 6)
10
A(-10, 5, 8) B(-5, 2, -4), C(2, -3, 0), D(-4, 2, 6)
Задание 4. Вычислить пределы не пользуясь правилом Лопиталя.
x3  x  2
1. а) lim
x 0 x 3  x 2  x  1
б) lim
x 3
x 2  x  12
x2 4 x
AD,

в) lim

x 
2x 

 1  2x 
2. а) lim
x 0
4
г) lim
x 0
4 x 3  2 x 2  5x
x 2  2x
 2x  5 
в) lim


x  2 x  1


б) xlim
 4
5x
г) lim
x 0
4 x 4  5x 2  1
3. а) lim
x 1
x2 1
2x 

 2x  3 
5. а) lim
x 4
x2
г) lim
x 0
8x 3  1
1
2
x
2 x 
4
6. а) lim1
3 x 1
г) lim
x 0
б) lim
x 1
3 x
x3  2x  4
8. а) lim
x 2 x 2  11x  18
9. а) lim
x4
б) lim
x 1
x 2
x 2  2 x  24
7. а) xlim
6 2 x 3  15 x 2  108
 2  3x 
в) lim


x  5  3 x


2 x  x6
x2  x  6
cos 4 x  cos 3 4 x
3x 2
б) lim
 2x  4 
в) lim


x 
 2x 
tg 3 x  sin 3 x
2x 2
3  2x  x  4
3x 2  4 x  1
cos 2 x  cos 2 2 x
в) lim
x 0
x2
2x
 2x  1 
в) lim


x  2 x  4


x  10  4  x
2 x 2  x  21
б) lim
x  3
б) xlim
 2
x 2  3x  28
x 3  64
 3x  4 
в) lim


x  3 x  2


cos 7 x  cos 3 x
x sin x
г) lim
x 0
x 2  x  30
x 3  125
 2x  1
в) lim


x  2 x  1


x  12  4  x
x 2  2x  8
3x

в) lim

x 
4. а) xlim
 5
sin 2 3x  sin 2 x
x2
г) lim
x 0
б) lim
x 4
x
x 3  64
7 x 2  27 x  4
г) lim
x 0
б) lim
x 5
x 2  3x  2
5  x  x 1
cos x  cos 3 x
5x 2
3x 2  4 x  1
x  3  5  3x
7x
sin x  sin 7 x
2x 2  9x  4
5 x  x3
tg 2 x  sin 2 x
x2
2x  1  x  6
2 x 2  7 x  15
1 x 

2 x

в) lim

x 
10. а) lim
x  6
3x
г) lim
x 0
x 2  2 x  64
2 x 2  15 x  18
 4x  1 
в) lim


x  4 x  1


1  cos 2 2 x
sin 2 x
3x  17  2 x  12
x 2  8 x  15
б) xlim
 5
sin 2 3x  sin 2 x
5x 2
2x
г) lim
x 0
Задание 5. Провести полное исследование функции и построить ее
график.
1. y 
17  x 2
4x  5
2. y 
x3  4x
3x 2  4
3. y 
4x 2  9
4x  8
4. y 
2x 2  6
x2
5. y 
x 3  5x
5  3x 2
6. y 
3x 2  7
2x  1
x 2  11
7. y 
4x  3
9. y 
3 x 2  10
8. y 
3  2x
21  x 2
7x  9
10. y 
4 x 3  3x
4x 2  1
Задание 1. Вычислить неопределенный интеграл а); б); в). Вычислить
определенный интеграл 20.
1. а)
в)

 x
2

б)
 5 x  6 cos 2 xdx
x 3  6 x 2  12 x  9
 x  1 x  2 3 dx


1
5
4
3
sin x cos xdx
2)  x 2 x  x 2 dx
0
2. а)
в)

 x
2
cos 2 x
3
3. а)
sin 4 x
 x
2

б)
dx
2)
 4 cos 3xdx
x 3  4x 2  4x  2
 x  1 x
2
1

2

 4 x  3 cos xdx
б)
2

 x 1
dx
4  x2
dx
x2
x 3  4 x 2  3x  2
 x  1 x
2
2

1
dx
в)

3
3
 x
4. а)
в)


 3 x sin 2 xdx
2
б)
 5 x
2
2)

б)
cos 4 x
7. а)  Lnx 2 4dx
б)
3
cos x
 x
8. а)
в)

6
2)
2

2 3

x
x
1
cos 2 x sin 3 xdx
3
2)

1
2

 2 x  2 dx
2
2
 2x  2

dx
x 2 dx
 x

1
2
2 x 3  11x 2  16 x  10
 x  2 x
2

 2x  3
2
dx
2
б)
 3 e 2 dx
2
 x  1 x
0
sin 3 x
 x  1 x
x3  6x 2  9x  6
1
2)
5

1
б)
2x3  4x 2  2x  1
x2 1
dx
x
2
2)
3 sin 3 x
в) 
dx
cos 4 x


3x
dx

1 x2
dx
x6
2
6. а)  1  6 x 2 e 2 x dx
в)

 2 e dx
sin 3 x
3
2x3  7x 2  7x  1
 x  22 x 2  x  1 dx
1
cos 2 x
dx
sin 2 x
3
5. а)
в)
2)  x 2 9  x 2 dx
sin 3 2 x cos 3 2 xdx
5
x2  9
3x 3  6 x 2  5 x  1
 x  12 x 2  2 dx


dx
x
2
1 x2
3
9. а)  xLn2 xdx
в)

1
2
3
cos xdx
5
2)
sin 3 x

sin 3 2 x
3
2
cos 2 x

0
10. а)  x  12 Ln 2 x  1dx
в)
б)
x 3  6 x 2  8x  8
 x  2 x
2
4

dx
x 4 dx
1  x 
2 3
б)
x 3  5 x 2  12 x  4
 x  2 x
2
1
dx
2
2)
x
0
dx
4
x2  3
2
4

dx
dx
Задание 2. Вычислить площадь фигуры ограниченной указанными
линиями.
1. y  x 2 ; y  3 - x
2. y  x ; y  x 3
3. y  7 cos 3 t; y  sin 3 t
4. х  4t  sin t ; y  4t  cos t 
5. y 
1
x2
;
y

2
1 x2
7. x 2  4 y; y 
6. xy  6; x  y  7  0
8
x 4
8. x  2 cos 3 t; y  2 sin 3 t
2
9. y  x 2 ; y  2  x 2
10. x  3 cos t; y  2 sin t
Задание 3. Вычислить длину данной линии
1. y 
x 2 Lnx

;1  x  2
4
2
3. y   Ln cos x; 0  x 
2. y  1  x 2  arcsin; 0  x 

4. y  Ln1  x 2 ; 2  x  3
6
5. y  1  x 2  ar cos x; 0  x 
7. y  1  Ln sin x;
9. y 

3
x
7
9
8
9

2
e x  ex
 3; 0  x  2
2
6. y  Ln1  x 2 ; 0  x 
1
4
8. y  Ln cos x  2; 0  x 
10. y 

6
e 2 x  e 2 x  3
;0  x  2
4
Задание 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = z
(x;у) в области D, ограниченной заданными линиями.
1. z = x2 – 2xy + y2
5
 2x
2
2. z = x2 – 2xy – y2 + 4x + 1
3.z = 2x2 + 2xy -
1 2
y  4x
2
D: x = 0; х = 2; у = 0; у = 2
D: х = 5; у = 0; х – у – 1 = 0
D: у = 2х; у = 2; х = 0
4. z = x3 + y3 – 3xy
D: х = 0; у = -1; х = 2; у = 2
5. z = 4(x – y) – х2 – у2
D: х + 2у = 4; х – 2у = 4; х = 0
6. z = х2 + 2ху – у2 – 4х
D: х = 3; у = 0;у = х + 1
7. z = x2 + 2 xy – y2 – 2x + 2y
D: у = х + 2; у = 0; х = 2
8. z = x2 + 2 xy + 4x - y2
D: х + у + 2 = 0; х = 0; у = 0
9. z = 2x2y + x3 y – x2 y2
10. z = 3x2 + 3y2 – 2x – 2y +2
D: x = 0; у = 0; х + у = 6
D: х = 0; у = 0; х + у = 1
Задание 5. Вычислить двойной интеграл по области D. Сделать чертеж
области.
1.
 ye
xy
2
dxdy
D: у = Ln2;
у = Ln3; х = 2; х = 4
D
2.
 y Sin
2
D
3.
xy
dxdy
2
 yCosxydxdy
D: х = 0; у =  ;
D: у =
D
4.
 y e
2
xy
4
dxdy

2
у=
x
2
у =  ; х = 1; х = 2
D: х = 0; у = 2; у = х
D
5.  ySinxydxdy
D
6.
xy
D: у =

2

;
2
 y Cos 2 dxdy
D: х = 0; у =
 4 ye
D: у = Ln3; у = Ln4; х =
2
D
7.
у =  ; х = 1; х = 2
2x
dxdy
у=х
D
8.
 4 y Sinxydxdy
2
D
9.
 y Cosxydxdy
2

;
2
у=х
D: х = 0; у =  ;
у=х
D: х = 0; у =
D
10.
 4 y Sin 2 xydxdy
2
D
D: х = 0; у = 2 ; у = 2х
1
;х=1
2
Задание 6. Вычислить тройной интеграл по области V.
1.
 x Sin(xy)dxdydz
V: х = 1; у = 2х; у = 0; z = 0; z = 4 
2
V
2.
 y zCos
2
V
xyz
dxdydz
9
V: х = 9 у = 1; z = 2  ; х = 0; у = 0; z
=0
3.  x 2 Sin
V
4.  x 2 zSin
V
xy
2
V: х = 2; у = х; у = 0; z = 0; z = 
dxdydz
xyz
dxdydz
2
5.  y 2Cosxydxdydz
V: х = 1; у = 4; z =  ; х = 0; у = 0; z = 0
V: х = 0; у = 1; у = 2х; z = 0; z =  2
V
xy
2
6.  y e dxdydz
2
V: х = 0; у = 2; у = 2х; z = 0; z = -1
V
7.  y 2Cos
V
8.  x 2 zSin
V
xyz
dxdydz
3
V: х = 3; у = -1; z = 2  х = 0; у = 0; z = 0
xyz
dxdydz
4
V: х = 1; у = 2  z = 4
x=0
y=0 z=
0
9.  y 2e xy dxdydz
V: х = 0; у = -2; у = 4х; z = 0; z = 1
V
10.  2 y 2e xy dxdydz
V: х = 0; у = 1; у = х; z = 0; z = 1
V
Задание 7. Найти двойным интегралом площадь фигуры, ограниченной
линиями.
1. у =
3
; у = 4ех ; у = 3; у = 4
x
6. у = 24  x 2 ; х2 = 2 3 y ; х = 0;
(х  0)
2. х = 8 – у2; х = - 2у
3. у =
3
; у = 8ех ; у = 3; у = 8
x
7. у = 3 x ; у =
3
; х=4
x
8. х2 + у2 = 36; y  0; x 2  3 2  y
4. у =
x
1
; у=
; х = 16
2x
2
5. х = 5 – у2; х = 4у
9. у =
25
5
 x2 ; у = х 4
2
10. у =
2
;
x
у = 7ех; у = 2; у = 7
Задание 8. Найти тройным интегралом объем тела, заданного
ограничивающими его поверхностями. Сделать чертеж.
1. у = 16 2x; у = 2х; z = 0; х + z = 2
2. y = 5 х; y =
z=5+
3. x = 20 2y; x = 5 2у; z = 0; z + y =
1
;
2
5x
; z=0;
3
5 х
;
3
4. х + у = 4; у = 2х;
z = 3y; z = 0;
5. х + у = 2; х =
y; z =
12х
; z = 0;
5
6. y = 6 3x; y = 3х; z = 0;
х +z = 3;
7. x + y = 6; у = 3х; z = 4y; z = 0;
8. x = 7 3у; x = 2 3у; z = 0; z + y =
3;
9. y= 15x; y = x 15 ; z = 0; z = 15 (1 + х) 10. x + y = 8; у = 4x; z = 3y;
z = 0;
Задание 9. Найти общее решение следующих дифференциальных
уравнений.
1. а). (ху + х3у) у′ = 1 + х2;
б). у - х у′ = х sec(x/y)
2. a). y - x у′ = 2(1 + x2 у′);
б). (у3 – 3x2) dy + 2 xydx = 0
3. a). y - x у′ = 1 + x2 у′;
б). (у2 – 2ху) dx + x2 dy = 0
4. a). 2x у у′ = 1 – х2;
б). у2 + х2 у′ = ху у′
5. а). (х2 – 1 ) у′ - ху = 0;
б). х у′ - у = (х + у) ln(x+y)/y
6. a). (x2 + x) y +(y2 + 1) у′ = 0
б). 2х3 у′ = у (2х2 – у2)
7. а). (х + ху2) у′ + у – у2 = 0
б). ху + у2 = (2х2 + ху) у′
8. а). у - ху′ = 3(1 +х2 у′)
б). (х2 – 2ху ) у′ = ху – у2
9. а). у′ - ху2 = 2ху
б).х у′ = у cos(ln(x/y))
10. а). 2х2у у′ + у2 = 2
б). х у′ =
x2  y 2 + у
Задание 10. Найти частное решение дифференциальных уравнений
удовлетворяющих начальным условиям.
1. (х2 + 1) у′ + 4ху = 3
у(0) = 0
2. (1 – х)( у′ + у) = е-х
у(0) = 0
3. ху′ - 2у = 2х4
у(1) = 0
4. ху′ + у + х e x = 0
у(1) = 1/2e
5. х2 у′ + ху + 1 = 0
у(1) = 0
6. (х +1) у′ + у = х3 + х2
у(0) = 0
7. х у′ - 2у + х2 = 0
у (1) = 0
8. х(у′ - у) = ех
у(1) = 0
9. (ху′ - 1)lnx = 2y
y(e) = 0
10. xу′ + y = sinx

2
y   
2
2

Задание 11. Найти общее решение дифференциального уравнения,
допускающего понижение порядка.
1. 2ху′у′′ = у′2 – 1
2. (1 – х2) у′′ - ху′ = 2
3. х3у′′ + х2у′ = 1
4. у′′ + у′tgx = sin2x
5. x2у′′ + ху′ = 1
6. ху′′ - у′ = х2ех
7. у′′ хlnx = 2у′
8. у′′ = у′ + х
9. ху′′ = у′ + х2
10. ху′′ + у′ = lnx
Задание 12 Найти общее решение дифференциального уравнения.
1. у′′ + у = -4cosx – 2sinx
2. 2у′′ + 7у′ + 3у = 222sin3x
3. у′′ - 6у′ + 34у = 18cos5x + 60sin5x
4. у′′ - 8у′ + 20у = 16(sin2x – cos2x)
5. у′′ + 4у′ + 20у = 4cos4x – 52sin4x
6. у′′ + у′ - 2у = 9cosx – 7sinx
7. у′′ + 6у′ + 13у = -75sin2x
8. у′′ + 5у′ = 39cos3x – 105sin3x
9. у′′ - 4у′ + 5у =(24sinx + 8cosx)e-2x
10. у′′ + 4у′ = ех (24cos2x + 2sin2x)
Задание 13. Найти частное решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее данным начальным условиям.
1. у′′ - 4у′ + 20у = 16хе2х
у(0) = 1
у′(0) = 2
2. у′′ - у = (14 – 16х)е-х
у(0) = 0
у′(0) = -1
3. у′′ + 8у′ + 16у – 16х2 – 16х + 66
у(0) = 0
у′(0) = -1
4. у′′ + 10у′ + 34у = -9е-5х
у(0) = 0
у′(0) = 6
5. у′′ + у′ - 12у = (16х + 22)е4х
у(0) = 3
у′(0) = 5
6. у′′ + 8у′ + 16у = 16х3 + 24х2 – 10х + 8
у(0) = 1
у′(0) = 3
7. у′′ - 8у′ = 16 + 48х2 – 128х3
у(0) = -1
у′(0) = 2
8. у′′ +3у′ = (40х + 58)е2х
у(0) = 0
у′(0) = 2
9. у′′ - 4у = 8е2х
у(0) = 1
у′(0) = -8
10. у′′ + 2у′ + 2у = 2х2 + 8х + 6
у(0) = 1
у′ (4) = 4
Задание 1. Найдите дизъюнктивную нормальную форму для формулы
F(x,
y,
z),
совершенную
конъюнктивную
нормальную
формулы G(x, y, z) и полином Жегалкина для формулы S(x, y, z).
Номер
Формулы F(x, y, z), G(x, y, z),
варианта
S(x, y, z)
форму
для
Номер
Формулы F(x, y, z), G(x, y, z),
варианта
S(x, y, z)
1
F(x, y, z) = x  y   z  &  y  z ,
G(x, y, z) = x  y & x  z,
S(x, y, z) = ( x  y)  x  z  &  y  z .
2
F(x, y, z) = ( x & y)   y  z  ,
G(x, y, z) = x & y  & ( x  z ) ,
S(x, y, z) = x  y & ( x  z ).
3
F(x, y, z) = ( x  y)  ( y  z) ,
G(x, y, z) = ( x & z)  ( y  x) ,
S(x, y, z) = x  y   ( x  z ).
4
F(x, y, z) = x  y  & ( x  z ) ,
G(x, y, z) = ( x & y)   y  z  ,
S(x, y, z) = ( x & y)   y  z .
5
F(x, y, z) = ( x  y)  ( x  z ) ,
G(x, y, z) = x & y & ( x  z) ,
S(x, y, z) = x & y  ( x  z )
6
F(x, y, z) = ( x  z )  ( y  z) ,
G(x, y, z) = ( x & y)  ( y & z ) ,
S(x, y, z) = x & y & ( x  z ).
7
F(x, y, z) = x & y   ( x  z ) ,
G(x, y, z) = x  y  & ( x  z) ,
S(x, y, z) = ( x  y)  ( y  z).
Номер
Формулы F(x, y, z), G(x, y, z),
варианта
S(x, y, z)
8
F(x, y, z) = x  y   x  z  ,
G(x, y, z) = x & y  & x  z  ,
S(x, y, z) = ( x & y)  ( y  z).
9
F(x, y, z) = x  y  x & z  ,
G(x, y, z) =
x & ( y & z)  y) z ,
S(x, y, z) = x  y & ( x  z ).
10
F(x, y, z) = ( x  y)  ( y  z) ,
G(x, y, z) =  y & z  x  y   x ,
f(x, y, z)= ( x  y)  y  z .
Задание 2. Упростите релейно-контактную схему
1)
2)
3)
5)
7)
4)
6)
8)
9)
10)
Задача 3. Для данного графа Г постройте матрицу смежности, найдите
хроматическое число, вычислите цикломатическое число, выберите остов
графа и закодируйте остов, постройте базис циклов графа и выразите через
этот базис элементарный цикл C.
Номер
Граф Г
Цикл C
варианта
1
2
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1)
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1)
Номер
Граф Г
Цикл C
варианта
3
(2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 2)
4
(1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 1)
5
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1)
Номер
Граф Г
Цикл C
варианта
6
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1)
7
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 1)
8
(2, 3, 4, 5, 6, 7, 2)
Номер
Граф Г
Цикл C
варианта
9
(2, 3, 4, 5, 6, 7, 2)
10
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 1)
Задача 4. Для данной сети S найдите максимальный поток.
Номер
варианта
1
Сеть S
Номер
варианта
2
3
4
5
Сеть S
Номер
варианта
6
7
Сеть S
Номер
варианта
8
9
10
Сеть S
Задание 5. Решите следующие задачи по теории вероятности.
1. Из трех орудий произведен залп по цели. Вероятность попадания в
цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,9; для второго и третьего
орудий эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,6. найти вероятность
того, что только одно орудие попадет в цель.
2. Студент знает 35 из 50 вопросов программы. Найти вероятность того,
что студент знает 2 вопроса, содержащиеся в экзаменационном билете.
3. В каждой из двух урн содержится 3 черных и 4 белых шаров. Из
второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в первую урну, после
чего из первой урны наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того,
что шар, извлеченный из первой урны, окажется белым.
4. Три автомата изготовляют детали, которые поступают на общий
конвейер. Производительность первого, второго и третьего автоматов
относятся как 2:3:5. Вероятность того, что деталь изготовленная первым
автоматом, отличного качества, равна 0,9; для второго и третьего автоматов
эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,7. найти вероятность того, что
наудачу взятия с конвейера деталь окажется отличного качества.
5. для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих
устройства. Вероятность того, что при аварии первое устройство с работает,
равна 0,8; для второго и третьего устройств эти вероятности соответственно
равны 0,9 и 0,8. Найти вероятность того, что при аварии сработают: а) только
одно устройство, б) только два устройства в) все три устройства.
6. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при двух выстрелах
равна 0,96. Найти вероятность двух попаданий при трех выстрелах.
7. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при двух выстрелах
равна 0,992. Найти вероятность четырех попаданий при пяти выстрелах.
8. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний
равна 0,8. Найти вероятность того, что событие наступит 120 раз в 144
испытаниях.
9. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний
равна 0,2. Найти вероятность того, что событие наступит 20 раз в 100
испытаниях.
10.
Вероятность появления события в каждом из независимых
испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие
появится не менее 70 раз и не более 80 раз.
Задание 6. Найти вероятность того, что в n независимых испытаниях
событие появится: а) ровно k раз, б). не менее k раз, в) не более k раз, г) хотя
бы один раз, зная что в каждом испытании вероятность появления события
равна p.
1. n = 4,
k = 2,
p = 0,9
2. n = 4,
k = 3,
p = 0,8
3. n = 5,
k = 2,
p = 0,7
4. n = 5,
k = 3,
p = 0,6
5. n = 4,
k = 2,
p = 0,5
6. n = 4,
k = 3,
p = 0,4
7. n = 5,
k = 2,
p = 0,3
8. n = 5,
k = 3,
p = 0,4
9. n = 4,
k = 2,
p = 0,3
10. n = 4, k = 3,
p = 0,2
Задание 7. Найти закон распределения дискретной случайной величины
Х, которая имеет только два возможных значения: х1 и х2, причем х1 х2.
Математическое ожидание М(Х), дисперсия D(X) и вероятность р1
возможного значения х1 известны.
1. р1 = 0,9
М(Х) = 3,1
D(X) = 0,09
2. р1 = 0,8
М(Х) = 3,2
D(X) = 0,16
3. р1 = 0,7
М(Х) = 3,3
D(X) = 0,21
4. р1 = 0,6
М(Х) = 3,4
D(X) = 0,24
5. р1 = 0,5
М(Х) = 3,5
D(X) = 0,25
6. р1 = 0,4
М(Х) = 3,6
D(X) = 0,24
7. р1 = 0,3
М(Х) = 3,7
D(X) = 0,21
8. р1 = 0,2
М(Х) = 3,8
D(X) = 0,16
9. р1 = 0,1
М(Х) = 3,9
D(X) = 0,09
10.р1 = 0,9
М(Х) = 2,2
D(X) = 0,36
Задание 9. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x).
Требуется: а). найти плотность распределения вероятности   x  , б). найти
математическое ожидание Х, в). найти дисперсию Х, г). построить графики
функции и плотности распределения.
1.
0, x  0

F ( X )   x2 , 0  x  1
1, x  1

3.
0, x  0
 2
 x 2, 0  x  1
F(X )   2
 x 2  2 x  1,1  x  2
1, x  2

0, x  1

(1  x ) 2 2, 1  x  0

5. F ( X )  
2
1  (1  x) 2, 0  x  1
1, x  1

0, x  0

7. F ( X )   x 3, 0  x  3
0, x  3

0, x  2
9.. F ( X )  0, 2  x  2  , 2  x  3
1, x  3

0, x  1
1 2, 1  x  0
2. F ( X )  
( x  1) 2, 0  x  1
1, x  1
4.
0, x  0

F ( X )  1  cos x  2, 0  x  
1, x  

0, x  0
6. F ( X )  
2
 x (1  x), x  0
0, x  0
8. F ( X )  cx3 , 0  x  1
0, x  1

0, x  0

10. F ( X )   x 4, 0  x  4
0, x  4

Задание 8. Найти вероятность попадания в заданный интервал  ,  
нормально
распределенной
случайной
величины,
если
известны
ее
математическое ожидание  и среднее, квадратическое отклонение  .
Задание
10.
1.
  1,
  5,
  2,
 2
2.
  2,
  6,
  3,
 2
3.
  3,
  7,
  4,
 3
4.
  4,
  8,
  5,
 3
5.
  5,
  9,
  6,
 3
6.
  1,
  5,
  4,
 1
7.
  2,
  6,
  4,
 2
8.
  3,
  7,
  5,
 2
9.
  4,
  8,
  5,
 3
10.   5,
  9,
  6,
 3
Найти
доверительные
интервалы
для
оценки
математического ожидания  нормального распределения с надежностью
0,95, зная выборочную среднюю x (статистическую среднюю m*x ), объем
выборки (число наблюдений) n и среднее квадратическое отклонение 
1.
x  84,21,
  15,
n = 225
2.
x  84,22
  14,
n = 196
3.
x  84,23
  13
n = 169
4.
x  84,24
  12
n = 144
5.
x  84,25
  11
n = 121
6.
x  84,26
  10
n = 100
7.
x  84,27
 9
n = 81
8.
x  84,28
 8
n = 64
9.
x  84,29
 7
n = 49
10. x  84,30
 6
n = 36
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФИЛИАЛ
государственного образовательного учреждения высшего профессионального
образования
Дальневосточный государственный технический университет
в г. Петропавловске-Камчатском
Контрольно-измерительные материалы
По дисциплине «Математика»
Для специальности 270102.65 «Промышленное и гражданское строительство»
Форма подготовки очная/заочная
г. Петропавловск-Камчатский
2009 г.
Задание 1
Вопрос 1. Что называется функцией?
1. Число;
2. Правило, по которому каждому значению аргумента х в
соответствует одно и только одно значение функции у;
3. Вектор;
4. Матрица;
5. Нет правильного ответа.
Вопрос 2. В каком случае можно определить обратную функцию?
1. Когда каждый элемент имеет единственный прообраз;
2. Когда функция постоянна;
3. Когда функция не определена;
4. Когда функция многозначна;
5. Нет правильного ответа.
Вопрос 3. Какая функция называется ограниченной?
1. обратная;
2. функция f(x) называется ограниченной, если m≤f(x)≤M;
3. сложная;
4. функция f(x) называется ограниченной, если f(x)>0;
5. функция f(x) называется ограниченной, если f(x)≤0;
Вопрос 4. Какая точка называется предельной точкой множества А?
1. нулевая;
2. т.х0 называется предельной точкой множества А, если в любой
окрестности точки х0 содержатся точки множества А, отличающиеся от х0;
3. не принадлежащая множеству А;
4. нет правильного ответа;
5. лежащая на границе множества.
Вопрос 5. Может ли существовать предел в точке в том случае, если
односторонние пределы не равны?
1. да;
2. иногда;
3. нет;
4. всегда;
5. нет правильного ответа.
Задание 2
Вопрос 1. Является ли функция бесконечно малой при х→∞?
1. да;
2. нет;
3. иногда;
4. всегда;
5. нет правильного ответа.
Вопрос 2. Является ли функция бесконечно большой при х→∞?
1. да;
2. нет;
3. иногда;
4. если х=0;
5. нет правильного ответа.
Вопрос 3. Является ли функция у=sin x бесконечно большой при х→∞?
1. да;
2. нет;
3. иногда;
4. всегда;
5. нет правильного ответа.
Вопрос 4. Является ли функция у=cos x бесконечно большой при х→∞?
1. да;
2. нет;
3. иногда;
4. всегда;
5. нет правильного ответа.
Вопрос 5. Является ли функция у=tg x бесконечно большой в т. х0=0?
1. да;
2. иногда;
3. всегда;
4. нет;
5. нет правильного ответа.
Задание 3
Вопрос 1. Является ли произведение бесконечно малой функции на
функцию ограниченную, бесконечно малой функцией?
1. нет;
2. да;
3. иногда;
4. не всегда;
5. нет правильного ответа.
Вопрос 2. В каком случае бесконечно малые α (х) и β(х) называются
бесконечно малыми одного порядка в точке х0?
1. если они равны;
2. если ;
3. если ;
4. если их пределы равны 0;
5. нет правильного ответа.
Вопрос 3. Сколько видов основных элементарных функций мы изучили?
1. 5;
2. 1;
3. 0;
4. 2;
5. 3.
Вопрос 4. Чему равен предел константы С?
1. 0;
2. е;
3. 1;
4. ∞;
5. с.
Вопрос 5. Является ли степенная функция непрерывной при любом
положительном значении показателя степени?
1. нет;
2. да;
3. иногда;
4. при х >1;
5. нет правильного ответа.
Задание 4
Вопрос 1. Приведите формулу первого замечательного предела.
1.
x
Lim x  1
x0
2.
Lim
x 0
3.
Lim
x 0
sin x
 0;
x
sin x
 1;
x
4. y  kx  b ;
5. нет правильного ответа.
Вопрос 2. Приведите формулу второго замечательного предела.
x
1.
 1
1    1 ;
Lim
x
x0 
2.
Lim 1  x
1
x
1;
x 1
3.
Lim
x0
4.
sin x
1
x
Lim 1  x
1
x
1
x 0
5.
Lim
x 0
tg ( x)
1
x
Вопрос 3. Какие функции называются непрерывными?
1. бесконечно малые;
2. удовлетворяющие условиям: а) f определима в т. х0
3. существует и равен f(x0);
4. бесконечно большие;
5. степенные;
Вопрос 4. Если f ( x0  0)  f ( x0  0)  L , но f ( x0 )  L , какой разрыв имеет
функция?
1. нет правильного ответа;
2. 2-го рода;
3. устранимый;
4. неустранимый;
5. функция непрерывна.
Вопрос 5. Какой разрыв имеет f (x) в т. х0, если f ( x0  0)  f ( x0  0) , и не
известно: конечны ли эти пределы?
1. устранимый;
2. неустранимый;
3. функция непрерывна;
4. 1-го рода;
5. 2-го рода.
Задание 5
Вопрос 1. Сформулируйте свойство непрерывности сложной функции.
1. сложная функция непрерывна всегда;
2. если функция u=g(х) непрерывна в точке х0 и функция у=f(u)
непрерывна в точке u=g(х0), то сложная функция у=f(g(x)) непрерывна в
точке х0.
3. сложная функция, являющаяся композицией непрерывных функций
не является непрерывной;
4. сложная функция разрывна;
5. сложная функция является композицией непрерывных функций и
имеет устранимый разрыв.
Вопрос 2. Является ли функция у=(1-х2)3 непрерывной?
1. нет;
2. иногда;
3. при х >1;
4. да;
5. нет правильного ответа.
Вопрос3. Что такое производная функции в точке?
1. Значение функции в данной точки;
2. Предел отношение приращения функции в данной точке к
приращению аргумента при стремлении последнего к нулю;
3. Приращение аргумента функции в данной точке;
4. Приращение функции в данной точке;
5. Предел приращения функции в данной точке;
Вопрос 4. Какая функция является дифференцируемой в точке х=4 ?
1. значение, которой определено в данной точке;
2. значение, которой отлично от нуля;
3. имеющая производную в данной точке;
4. непрерывная в точке х=4;
5. нет правильного ответа.
Вопрос 5. Какая функция называется дифференцируемой на интервале
(а,в)?
1. разрывная в каждой точке интервала;
2. дифференцируемая в каждой точке этого интервала;
3. постоянная;
4. возрастающая;
5. убывающая.
Вопросы к экзамену.
1 СЕМЕСТР.
1.
Комплексные числа в алгебраической форме и операции над ними.
2.
Тригонометрическая форма комплексных чисел. Операции над
комплексными числами в тригонометрической форме.
3.
Матрицы и операции над ними. Свойства операций.
4.
Элементарные преобразования матриц. Нахождение обратной
матрицы
5.
Определитель матрицы. Нахождение определителей и свойства.
6.
Минор и алгебраическое дополнение. Нахождение обратной
матрицы с помощью алгебраических дополнений.
7.
Системы линейных уравнений.
8.
Способы решения систем линейных уравнений (м. Гаусса, ф.
Крамера, с помощью обратной матрицы)
9.
Векторы и операции над ними.
10. Скалярное произведение векторов. Свойства. Применение.
11. Векторное произведение векторов. Свойства
12. Смешанное произведение векторов. Свойства
13. Метод координат на плоскости и в пространстве.
14. Уравнение прямой на плоскости. Способы задания.
15. Взаимное расположение прямых. Угол между прямыми. Расстояние
от точки до прямой. Точка пересечения двух прямых.
16. Уравнение плоскости. Взаимное расположение плоскостей. Угол
между плоскостями.
17. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
18. Числовая последовательность. Предел последовательности.
19. Теоремы о пределах последовательностей. Способы нахождения
пределов последовательностей.
20. Функция и способы ее задания. Предел функции.
21. Односторонние пределы функции. Бесконечно малые и большие
функции.
22. Теоремы о пределах функции. Замечательные пределы.
23. Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций.
24. Задачи приводящие к понятию производной.
25. Производная функции. Механический и геометрический смыслы
производной.
26. Касательная и нормаль.
27. Таблица производных.
28. Дифференциал функции и его приложения.
29. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.
30. Производные высших порядков.
31. Условия возрастания и убывания функции.
32. Экстремум
функции.
Необходимое
и
достаточное
существования.
33. Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба.
34. Асимтоты кривой.
35. Схема исследования функции.
условия
2 СЕМЕСТР.
1.
Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства.
2.
Таблица элементарных неопределенных интегралов.
3.
Основные способы интегрирования (замена, внесение под знак
дифференциала, по частям)
4.
Интегрирование рациональных дробей.
5.
Интегрирование простейших иррациональностей.
6.
Интегрирование тригонометрических функций.
7.
Определенный интеграл.
8.
Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
9.
Определенный интеграл с переменным верхним пределом.
10. Замена переменной под знаком определенного интеграла.
11. Нахождение площади с помощью определенного интеграла.
12. Длина дуги.
13. Объем тела вращения.
14. Работа переменной силы.
15. Площадь поверхности вращения.
16. Несобственные интегралы.
17. Дифференциальные уравнения. Основные понятия.
18. Дифференциальные уравнения первого порядка.
19. Дифференциальные уравнения допускающие понижения порядка.
20. Свойства решений линейных дифференциальных уравнений.
21. Линейные
дифференциальные
уравнения
с
постоянными
дифференциальные
уравнения
с
постоянными
коэффициентами.
22. Линейные
коэффициентами со специальной правой частью вида e x  p(x) .
23. Линейные
дифференциальные
уравнения
с
постоянными
коэффициентами со специальной правой частью вида m  cos x  n  sin x .
24. Линейные
дифференциальные
уравнения
с
постоянными
коэффициентами со специальной правой частью вида ax 2  bx  c .
25. Числовые ряды. Сходимость ряда.
26. Свойства и признаки сходимости знакопостоянных рядов.
27. Знакопеременные ряды.
28. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
29. Степенные ряды.
30. Ряд Маклорена. Ряд Тейлора.
31. Функции нескольких переменных. Геометрическое изображение.
32. Предел функции нескольких переменных.
33. Непрерывность функций нескольких переменных.
34. Частные производные функций нескольких переменных.
35. Локальный
экстремум
функций
нескольких
переменных.
Необходимое и достаточное условия существования экстремумов функции
двух переменных.
36. Необходимое и достаточное условия существования экстремумов
функции более чем двух аргументов.
37. Условные экстремумы. Метод множителей Лагранжа.
38. Двойной интеграл в прямоугольных координатах. Свойства.
39. Вычисление двойных интегралов в прямоугольных координатах.
Примеры.
40. Двойной интеграл в полярной системе координат. Примеры.
41. Применение двойных интегралов для вычисления площадей
плоских фигур, площадей поверхности, объемов цилиндрических тел.
42. Тройной интеграл в прямоугольных координатах. Свойства.
Вычисление.
43. Тройной интеграл в цилиндрической системе координат.
44. Тройной интеграл в сферической системе координат.
45. Применение
Примеры.
тройных
интегралов
для
вычисления
объемов.
3 СЕМЕСТР.
1.
Криволинейные интегралы по длине дуги. Свойства. Вычисление.
Применение.
2.
Криволинейные интегралы по координатам. Свойства. Вычисление.
Применение.
3.
Поверхностные
интегралы
I
рода.
Свойства.
Вычисление.
интегралы
II
рода.
Свойства.
Вычисление.
Применение.
4.
Поверхностные
Применение.
5.
Элементы дискретной математики. Алгебра высказываний. Законы
логики.
6.
Таблица высказываний. Нормальные формы.
7.
Булево кольцо. Полином Жегалкина.
8.
Упрощение релейно-контактной схемы.
9.
Построение релейно-контактной схемы по заданным условиям.
Таблица Карно.
10. Размещения с повторениями и без повторений.
11. Перестановки и сочетания.
12. Случайные события. Операции над событиями.
13. Вероятность события. Свойства вероятностей.
14. Теоремы о сложении и умножении вероятностей.
15. Механизм диаграмм Эйлера-Венна. Геометрическая вероятность.
16. Формула полной вероятности. Теорема Байеса.
17. Схема последовательных испытаний Бернулли.
18. Приближенные формулы вычисления вероятностей в Схеме
Бернулли.
19. Случайные величины. Дискретная случайная величина. Закон
распределения дискретной случайной величины.
20. Случайные величины. Непрерывная случайная величина. Закон
распределения непрерывной случайной величины.
21. Начальные и центральные моменты. Асимметрия и эксцесс
случайной величины.
22. Биномиальное распределение случайной величины.
23. Распределение Пуассона случайной величины.
24. Равномерное распределение случайной величины.
25. Показательное распределение случайной величины
26. Нормальное распределение случайной величины.
27. Распределение Пирсона случайной величины.
28. Распределение систем величин. Ковариация
и коэффициент
корреляции.
29. Распределения функции случайной величины.
30. Закон больших чисел. Неравенство и теорема Чебышева.
31. Закон больших чисел. Теорема Бернулли и центрально предельная
теорема.
32. Элементы статистики. Теория выборок. Вариационный ряд.
Полигон и гистограмма.
33. Выборочное среднее и выборочная дисперсия.
34. Теория оценок. Несмещенность, эффективность и состоятельность
оценки.
35. Точечная оценка истинного значения математического ожидания
нормальной случайной величины.
36. Точечная оценка дисперсии нормальной случайной величины.
37. Точность оценки. Доверительная вероятность. Доверительный
интервал.
38. Оценка генеральной средней при известном сигма.
39. Оценка истинного значения величины при неизвестном сигма.
40. Оценка дисперсии σ2 по выборочной s2.
41. Построение эмпирических моделей распределения величины по
результатам выборок. Непрерывные распределение.
42. Построение эмпирических моделей распределения величины по
результатам выборок. Дискретные распределения.
43. Проверка гипотез. Критерий Пирсона.
44. Аппроксимация экспериментальных данных. Уравнение линейной
регрессии.
45. Уравнение нелинейной регрессии.
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФИЛИАЛ
государственного образовательного учреждения высшего профессионального
образования
Дальневосточный государственный технический университет
в г. Петропавловске-Камчатском
Список литературы
По дисциплине «Математика»
Для специальности 270102.65 «Промышленное и гражданское строительство»
Форма подготовки очная/заочная
г. Петропавловск-Камчатский
2009 г.
Основная литература
1. Балдин К.В., Башлыков В.Н., Рукосуев А.В. Математика / Учебное
пособие. – М: ЮНИТИ-ДАНА, 2006. – 543 с.
2. Березина Н.А. Высшая математика. Конспект лекций. – М.: Эсмо,
2008. – 160 с.
3. Данко П.Е., Попов А.Г.. Кожевников Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах в 2 ч. Ч.1 / Учебное пособие. – М.: изд-во «ОНИКС»,
2009. – 386 с.
4. Данко П.Е., Попов А.Г.. Кожевников Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах в 2 ч. Ч.2 / Учебное пособие. – М.: изд-во «ОНИКС»,
2009. – 479 с.
5. Кочетков Г.А. Краткий курс высшей математики / Учебное пособие.
7-е изд. – М: МГИУ, 2009. – 192 с.
6. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математики / Учебное
пособие. 7-е изд. – СПб.: Изд-во «Лань», 2005. – 240 с.
7. Михеев В.И., Павлюченко Ю.В. Высшая математика. Краткий курс. –
М: Физматлит, 2007. – 200 с.
8. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Полный
курс. 9-е.изд. – М.: Априс-пресс, 2009. – 608 с.
9. Шипачев В.С. Курс высшей математики / Учебник. 4-е изд. – М.:
«ОНИКС», 2009. – 608 с.
10. Шипачев В.С. Основы высшей математики. – М.: Изд.-во Высшее
образование, 2009. – 479 с.
Дополнительная литература
1. Андронов А.М., Е.А. Копытов, Л.Я. Гринглаз. Теория вероятностей и
математическая статистика. Учебник для вузов. - СПб.:Питер, 2004. – 461 с.
2. Горюшкин А.П., В.А. Горюшкин. Введение в математику. Краткий
курс алгебры и теории чисел / Учебное пособие. - Петропавловск-
Камчатский, издательство ДВГТУ / ДВПИ им.В.В. Куйбышева (филиал в г.
Петропавловске-Камчатском) , 2007. – 280 с.
3. Гусак А.А., Бричикова Е.А.
Теория вероятностей. Справочное
пособие к решению. – Минск: ТетраСистемс, 2000. – 288 с.
4. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. Учебник
для вузов.- 2-е изд. – СПб.: Питер. 2006. – 364 с.
5. Рябушко
А.П.. Бархатов В.В., В.В. Державец, И.Е. Юруть.
Индивидуальные задания по высшей математике В 4 ч. -Минск: Высшая
школа, 2007
6. Фикс И.И., Терехина Л.И. Вероятность и элементы статистики.
Учебное пособие.-Томск: Изд-во ТПУ, 2008. -124 с.
7. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.
Учебное пособие. –М.: ЛКИ, 2008.-240с.
Электронные образовательные ресурсы
1. Математика: Учеб. пособие / Ю.М. Данилов, Л.Н. Журбенко, Г.А.
Никонова и др.; Под ред. Л.Н. Журбенко, Г.А. Никоновой; КГТУ. - М.:
ИНФРА-М, 2006. - 496 с. http://znanium.com/bookread.php?book=110071
2. Высшая математика: Учебное пособие / В.И. Малыхин. - 2-e изд.,
перераб.
и
доп.
-
М.:
ИНФРА-М,
2006.
-
365
с.
http://znanium.com/bookread.php?book=114124
3. Самохин А.В., Жулёва Л.Д., Шевелёва В.Н., Дементьев Ю.И. Сборник
задач по высшей математике. Часть IV. Интегралы. Дифференциальные
уравнения.
-
М.:
МГТУ
ГА,
2005.
-
104
с.
http://window.edu.ru/resource/006/46006
4. Богинич А.В., Двинина М.А., Телешев В.А. Учебное пособие по
высшей
математике.
-
Екатеринбург:
http://window.edu.ru/resource/366/62366
Изд. УГМА,
2007.
-
82
с.
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФИЛИАЛ
государственного образовательного учреждения высшего профессионального
образования
Дальневосточный государственный технический университет
в г. Петропавловске-Камчатском
Глоссарий
По дисциплине «Математика»
Для специальности 270102.65 «Промышленное и гражданское строительство»
Форма подготовки очная/заочная
г. Петропавловск-Камчатский
2009 г.
Асимптота
Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной
точки М кривой до этой прямой при удалении точки М в бесконечность
стремится к нулю.
Вектор
Вектор – это направленный отрезок.
Векторное произведение



Векторным произведением двух векторов a и b называется вектор c
такой, что:



длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на
1)
синус угла между ними,



2)
вектор c перпендикулярен вектору a и вектору b ,
3)
векторы a , b и c образуют правую тройку векторов.
 

Векторное поле
Если в каждой точке М(x,y,z) области G пространства определен вектор

a (M ) ,
то
говорят,
что
в
области
G
задано
векторное
поле

a(M )  P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z).
Градиент функции
Градиентом функции
u  u ( x, y , z )
в точке
M
называется вектор,
координатами которого являются частные производные функции u  u ( x, y, z )
в точке M , т.е. grad u  ux , uy , uz .
Гистограмма относительных частот
Гистограммой относительных частот называется ступенчатая фигура,
состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные
интервалы длины
h,
а высоты равны отношению
wi
h
(плотность
относительной частоты).
Гистограмма частот
Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из
прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины
h , а высоты равны отношению
ni
h
(плотность частоты).
Дивергенция
Дивергенцией
векторного

a(M )  P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)
поля


называется выражение Px  Qy  Rz и обозначается div a , т.е. div a  Px  Qy  Rz .
Дисперсия
Дисперсией дискретной случайной величины называют математическое
ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического
ожидания:
D( x)  M ( x  M ( x)) 2 .
Дифференциал
Дифференциалом функции называется линейная часть приращения
функции. Если
f - дифференцируемая функция одной или нескольких
переменных, то справедливо (для функций двух переменных) равенство
 f

f
f x0  x; y0  y   f x0 ; y0    x0 ; y0 x  x0 ; y0 y    x; y  x 2  y 2
y
 x

где  x; y  величина, стремящаяся к 0 при приближении точки x; y 
к точке 0;0. Первое слагаемое в приведённой формуле и есть дифференциал.
Дифференциал функции обозначают
df  f  x dx
df и
коротко записывают так:
для функции одной переменной,
df 
f
f
dx  dy  ... для
x
y
функции двух и более переменных. Последняя формула называется также
формулой полного дифференциала.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение вида F ( x, y, y )  0, где x -независимая переменная; y искомая функция;
y  - ее производная, называется дифференциальным
уравнением первого порядка.
Классическое определение вероятности
Вероятностью
события
А
называют
отношение
числа
благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех
равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную
группу.
Коллинеарные вектора


Вектора а и b называются коллинеарными, если они лежат на одной
прямой или на параллельных прямых.
Компланарные вектора
 

Векторы a, b и с называются компланарными, если они лежат в одной
плоскости или в параллельных плоскостях.
Локальный максимум функции
Значение f ( x0 ) называется локальным максимумом функции f (x) на
( a,b) , если существует окрестность U ( x0 ) точки x0 такая, что U ( x0 )  (a, b) ,
и для всех x U ( x0 ) \ {x0 } выполнено неравенство f ( x)  f ( x0 ).
Локальный минимум функции
Значение f ( x0 ) называется локальным минимумом функции f (x) на
( a,b) , если существует окрестность U ( x0 ) точки x0 такая, что U ( x0 )  (a, b) ,
и для всех x U ( x0 ) \ {x0 } выполнено неравенство f ( x)  f ( x0 ).
Локальный экстремум функции
Максимум или минимум функции
f (x)
называется локальным
экстремумом функции f (x) на ( a,b) .
Математическое ожидание
Одна из числовых характеристик случайной величины. Математическое
ожидание
дискретной
случайной
величины
находится
как
сумма
произведений значений случайной величины на их вероятности, а
непрерывной случайной величины как интеграл по всей прямой от плотности
распределения, умноженной на переменную интегрирования.
Матрица
Матрицей
называется прямоугольная таблица чисел. Числа в этой
таблице называются элементами матрицы.
Если матрицу обозначают
буквой A , то элемент матрицы стоящий в строке с номером i и столбце с
номером j обычно обозначают aij . Например
a
A   11
 a21
a12
a22
a13 

a33 
Неопределённый интеграл
Неопределённым
интегралом функции называется на интервале
называется множество первообразных функции на этом интервале. Все эти
первообразные отличаются друг от друга на постоянную величину.
Например
x3
1
 x dx  3  C на  ;  или  x dx  ln  x   C на  ;0 .
2
Определитель матрицы
Определитель матрицы это число поставленное в соответствие каждой
матрице имеющей одинаковое число строк и столбцов. Для матриц второго
и третьего порядка это число можно найти по формулам
a b
c d
a b
 ad  bc , d
g
c
e
f  aei  bfg  cdh  afh  bdi  ceg
h
i
Первообразная
Функция, производная от которой равна данной функции в каждой точке
интервала называется первообразной функции на интервале.
Расходящийся числовой ряд
Числовой ряд

 an
называется расходящимся, если предел его
n 1
частичной суммы
бесконечности.
lim S n  lim a1  a 2  ...  a n 
n 
n 
не существует или равен
Решение обыкновенного дифференциального уравнения
Решением обыкновенного дифференциального уравнения называется
всякая функция y   x  , которая, будучи подставлена в это уравнение,
обратит его в тождество.
Ротор
Ротором (или вихрем) векторного поля a  P, Q, R называется вектор
 R Q P R Q P 
 .
rota  

,

,


y

z

z

x

x

y


Скалярное поле
Пусть задана некоторая область в пространстве. Говорят, что в этой
области задано скалярное поле u M  , если каждой точке M в этой области
поставлено в соответствие некоторое число u M  .
Скалярное произведение
Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется
число a  b , равное произведению длин этих векторов, помноженному на
косинус угла  между ними: a  b  a  b cos  . По определению a  0  0  a  0 .
Смешанное произведение
Пусть a , b, c - векторы, а a  b - векторное произведение векторов a и b .
Смешанным произведением векторов a , b, c
называется число, равное
скалярному произведению вектора a  b на вектор c . Обозначение: abc .
Таким образом: abc  a  b  c .
Степенной ряд
Выражение вида
a0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  ...,
где a0 , a1 , a2 ,..., an ... - постоянные числа, а x - переменная величина,
называется степенным рядом.
Сходящийся числовой ряд
Числовой ряд

 an
называется сходящимся, если существует конечный
n 1
предел
последовательности
S n 
его
частичных
сумм: lim S n  lim a1  a2  ...  a n   S . В этом случае указанный предел
n
n 
называется суммой ряда.
Точка перегиба
Точка перегиба кривой называется такая ее точка, которая отделяет
участок выпуклости от участка вогнутости.
Функция распределения
Функция распределения случайной величины Х называется числовая
функция
F(x) = P(X<x)
Частная производная по x
Частная производная по х для функции двух переменных
f(x,y)
называется функция
f
f ( x  x, y)  f ( x, y)
( x, y)  lim
x
x
x 0
Частная производная по y
Частная производная по х для функции двух переменных
называется функция
f
f ( x, y  y )  f ( x, y )
( x, y )  lim
y
y
y  0
f(x,y)
Числовой ряд
Числовой ряд - выражение вида
a1  a2  a3  ...  an  ...
или

a
n 1
n
где a1, a2, a3  R , an – числовое выражение, зависящее от n
Эмпирическая функция распределения
Эмпирическая функция распределения – числовая функция
Fn* ( x) 
nx
n
,
где n - объем выборки,
nx – число вариант, меньших х