Лабораторная работа 5-6

Лабораторная работа 5-6
Вероятность и статистика
Часть 1.
1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность
того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите
вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
3. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США,
остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется
жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой,
окажется из Китая.
4. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают.
Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не
подтекает.
5. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится
восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная
сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
6.  В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7
спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в
котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность
того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.
7. В фирме в данный момент свободно 10 машин: 5 черных, 1 желтая, и 4 зеленых.
По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к
заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет желтое такси.
8. В среднем на 150 карманных фонариков приходится три неисправных. Найдите
вероятность купить работающий фонарик.
9. На тарелке 10 пирожков: 3 с мясом, 5 с капустой и 2 с вишней. Артур наугад
выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.
10. Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность, что он
назовет число, кратное 20?
11. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают.
Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не
подтекает.
12. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов —
первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между
четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова
вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний
день конференции?
13. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений —
по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные
распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений
определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя
России состоится в третий день конкурса?
14. В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос
по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене
билете школьнику достанется вопрос по ботанике.
Часть 2
Статистические расчеты
Задача № 1
Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:
xi
pi
30
0,5
40
0,2
60
0,3
Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y  2 X  10 .
Решение. Расчет ведем по формулам для числовых характеристик дискретных
случайных величин.
Математическое ожидание:
M ( X )  p1 x1  p2 x2  p3 x3  0,5  30  0,2  40  0,3  60  41 .
Дисперсия:
D( X )  M ( X 2 )  M ( X )2  p1 x12  p2 x22  p3 x32  (41) 2 
 0,5  900  0,2  1600  0,3  3600  1681  169
Среднее квадратическое отклонение:
 ( X )  D( X )  169  13 .
Для вычисления характеристик случайной величины Y  2 X  10 воспользуемся
свойствами математического ожидания и дисперсии:
M (Y )  M (2 X  10)  2M ( X )  M (10)  2  41  10  72 ,
D(Y )  D(2 X  10)  2 2  D( X )  D(10)  4 169  0  676 .
Задача № 2
Дана интегральная функция F(x) распределения непрерывной случайной величины:
если x  1
 0,

2
F( x)  x  1 , если 1  x  2 .
 1,
если x  2

Требуется: 1) убедиться, что заданная функция F(x) является функцией
распределения, проверив свойства функции; 2) найти плотность данного распределения
f(x); 3) построить графики интегральной и дифференциальной функций распределения.
Решение. 1) На левом конце участка 1  x  2 заданной функции имеем: F(1)=
x  12 x1  (1  1) 2  0 , а на правом конце участка: F(2)= x  12 x2  (2  1) 2  1 . Так как
выполняется свойство непрерывности функции распределения, то F(x) является
интегральной функцией распределения непрерывной случайной величины.
2) Плотность распределения или дифференциальная функция распределения
непрерывной случайной величины находится по формуле:
f( x)  F( x) , т.е. в данном
случае:
если x  1
 0,

f( x)  2x  1, если 1  x  2 .
 0,
если x  2

3)
p
F(x)
1
x
0
1
2
f(x)
0
x
Рис.1
Задача № 3
Рассчитать и построить гистограмму относительных частот по сгруппированным
данным, где mi – частота попадания вариант в промежуток (хi, хi+1).
i
mi
xi<X  xi+1
1
2–6
5
2
6 – 10
3
3
10 – 14
18
4
14 – 18
9
5
18 - 22
5
Решение. Относительная частота рассчитывается по формуле: ni 
mi
k
. Т.е. при
 mi
i 1
5+3+18+9+5=40 получим ряд значений:
5 1
3
18
9
9
5 1
 ,

 .
,
,
,
40 8
40
40 20
40
40 8
По полученным результатам и данным таблицы строим гистограмму.
ni
18
40
xi
0
2
6
10
14
18
22
Рис.2
Задачи для самостоятельного решения
Задачи № 1-20
Закон распределения дискретной случайной величины Х задан в таблице. Найти:
1)математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 2)
вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y  3X  20 ,
пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии.
Номер
задачи
11
12
13
14
15
16
17
Условие задачи
xi
pi
xi
pi
xi
pi
xi
pi
xi
pi
xi
pi
xi
pi
2
0,2
3
0,3
10
0,1
4
0,2
20
0,1
12
0,2
15
0,3
4
0,3
5
0,2
20
0,2
6
0,3
30
0,2
14
0,3
17
0,2
6
0,1
7
0,2
30
0,1
8
0,1
40
0,1
16
0,1
19
0,2
8
0,2
9
0,1
40
0,2
10
0,2
50
0,2
18
0,2
21
0,1
10
0,2
11
0,2
50
0,4
12
0,2
60
0,4
20
0,2
23
0,2
18
19
20
xi
pi
xi
pi
xi
pi
22
0,2
21
0,1
30
0,3
24
0,3
23
0,2
40
0,2
26
0,1
25
0,1
50
0,2
28
0,2
27
0,2
60
0,1
30
0,2
29
0,4
70
0,2
Задачи № 21-30
Дана интегральная функция F(x) распределения непрерывной случайной величины.
Требуется: 1) убедиться, что заданная функция F(x) является функцией распределения,
проверив свойства функции; 2) найти плотность данного распределения f(x); 3) построить
графики интегральной и дифференциальной функций распределения.


 0, если
 0,
если
x0
x0


1
21) F( x)  3x3 , если 0  x 
; 22) F( x)  1  cos x, если 0  x  π ;
3
2
3


π
1
 1,
 1, если
если x 
x3


2
3

 0,
если x  0
 2
23) F( x)  3x  2 x, если 0  x  1 ;
3

1
 1,
если x 
3

π

если x  
 0,
2

π
24) F( x)   2 cos x, если   x   π ;
2
3

π
 1,
если x  

3
π

если x  
если x  1
 0,
 0,
2
 1

1
25) F( x)  sin x  1, если  π  x  π ; 26) F( x)   x 2  x , если 1  x  2 ;

2
2
2
2
если x  2
π
 1,
 1,
если x 

2



 0,
если x  1  2
 0,
если x  0
 (1  x)2


π
27) F( x)  1 
, если 1  2  x  1 ; 28) F( x)  sin 2 x, если 0  x  ;
2
4


1,
если x  1
π

1,
если x 

4
 0,
 0,
если x  2  2 2
если x  4  4 2
 (2  x) 2
 (4  x) 2


29) F( x)  1 
, если 2  2 2  x  2 ; 30) F( x)  1 
, если 4  4 2  x  4 .
8
32


1, если x  2
1,
если
x4


Задачи № 31-40
Рассчитать и построить гистограмму относительных частот по сгруппированным
данным случайной величины Х, где mi – частота попадания вариант в промежуток (хi,
хi+1).
Номер
задачи
31
33
35
37
39
Номер
задачи
Условие задачи
i
1
2
3
4
5
i
1
2
3
4
5
i
1
2
3
4
5
i
1
2
3
4
5
i
1
2
3
4
5
xi<X  xi+1
2-4
4-6
6-8
8 - 10
10 - 12
xi<X  xi+1
(-6)– (-2)
(-2)– 2
2–6
6 – 10
10 - 14
xi<X  xi+1
7–9
9 – 11
11 – 13
13 – 15
15 - 17
xi<X  xi+1
4–6
6–8
8 – 10
10 – 12
12 - 14
xi<X  xi+1
10 – 14
14 – 18
18 – 22
22 – 26
26 - 30
mi
5
8
16
12
9
mi
2
8
14
6
10
mi
5
4
8
12
11
mi
3
9
7
22
9
mi
3
16
8
7
6
32
34
36
38
40
Условие задачи
i
1
2
3
4
5
i
1
2
3
4
5
i
1
2
3
4
5
i
1
2
3
4
5
i
1
2
3
4
5
xi<X  xi+1
3–7
7 – 11
11 – 15
15 – 19
19 - 23
xi<X  xi+1
4–8
8 – 12
12 – 16
16 – 20
20 - 24
xi<X  xi+1
5–8
8 – 11
11 – 14
14 – 17
17 - 20
xi<X  xi+1
1–5
5–9
9 – 13
13 – 17
17 - 21
xi<X  xi+1
20 – 22
22 – 24
24 – 26
26 – 28
28 - 30
mi
4
6
9
10
11
mi
5
7
10
12
6
mi
5
7
4
1
3
mi
4
5
9
10
2
mi
4
6
10
4
6