Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации
ГОУ ВПО Костромской государственный технологический университет
Кафедра высшей математики
Землякова И. В.
Садовская О. Б.
Чередникова А. В.
Справочник
по математике для специальностей
инженерно-технического профиля
Кострома
2009
Глава 1. Основные числовые множества.........................................................3
Глава 2. Элементы теории множеств и математической логики...................3
Глава 3. Элементы линейной алгебры..............................................................5
Глава 4. Алгебра многочленов...........................................................................7
Глава 5. Векторная алгебра................................................................................8
Глава 6. Аналитическая геометрия..................................................................11
Глава 7. Комплексные числа............................................................................18
Глава 8. Дифференциальное исчисление........................................................20
Глава 9. Функции нескольких переменных....................................................24
Глава 10. Интегральное исчисление................................................................25
Глава 11. Кратные интегралы...........................................................................28
Глава 12. Дифференциальные уравнения........................................................31
Глава 13. Ряды....................................................................................................34
Глава 14. Случайные события..........................................................................36
Глава 15. Случайные величины........................................................................38
Глава 16. Математическая статистика.............................................................41
2
Глава 1. Основные числовые множества.
- множество натуральных чисел.
N=
Z=
- множество целых чисел.
Q=
- множество рациональных чисел.
Выражаются
или
конечными
десятичными
бесконечными, но обязательно периодическими:
дробями,
или
¾=0,75 1/3=0,(3)
I=
- множество иррациональных чисел.
Выражаются только бесконечными непериодическими десятичными
дробями и поэтому изображаются буквами или специальными символами.
R=
– множество действительных или вещественных
Геометрически изображаются точками числовой прямой.
чисел.
С=
–
множество
комплексных
Геометрически изображаются точками M(x,y) плоскости Oxy.
чисел.
Замечание: На множестве натуральных чисел N всегда определено
только сложение и умножение; на множестве целых чисел Z – сложение,
вычитание и умножение; на множествах Q,R и C – все арифметические
операции: сложение, вычитание, умножение и деление (без нуля).
Глава 2. Элементы теории множеств и математической логики.
Если каждому элементу x из множества X некоторым способом
поставлен в соответствие один элемент y из множества Y, то говорят, что
задано отображение множества X во множестве Y. Записывают:
или y=f(x)
X1
X3
X2
X – область определения или прообраз.
Y – множество значений или образ.
3
.
Y1 .
Y2
Y3
Если X и Y числовые множества, то отображение называется
функцией, а множество точек плоскости (x , f(x)) – графиком действительной
функции действительного аргумента. Преобразование графиков может быть
представлено схематически:
Алгебра, образованная множеством B=
вместе со всеми
возможными операциями на нем, называется алгеброй логики. Функции
алгебры логики называются бинарными или булевыми функциями.
Основными функциями одной и двух переменных являются: отрицание ( );
конъюнкция или логическое умножение (
; дизъюнкция или логическое
сложение ( ); импликация или логическое следование ( ); эквивалентность
(
).
Приведем таблицу их значений:
X1
X2
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
Основные равносильности:
;
=
X2
0
1
1
1
&
=0
=1
4
X1 X2
0
0
0
1
X1 X2
1
1
0
1
X1~X2
1
0
0
1
Пример:
y
B
f(x)
A
C
a
0
x
b
f
Операции над множествами:
Объединение
A
B
C=A B
C={ x | x   или x   }
Пересечение
A
B
Разность
A
A
C= A
B
C=A B
C={ x | x   и x   }
C={ x | x   и x   }
Мерой плоскостного множества является площадь, трехмерного –
объем, а линейного – длина.
«Эпсилон-окрестностью» точки а одномерного множества называется
открытый интервал (а- ;а+ ), обязательно симметричный относительно
точки а. Если точка а
, то -окрестностью является внутренняя часть
круга с центром в точке а и радиусом , в
- внутренняя часть сферы
радиусом с центром в точке а.
Глава 3. Элементы линейной алгебры.
§3.1 Определители.
Определение: Матрицей называется таблица чисел, в которой m строк и n
столбцов (m n):
5
=
– элементы матрицы, I – номер строки, j – номер столбца.
Только для квадратных матриц (m=n) введено понятие определителя.
Теорема: Определитель матрицы n n или определитель n-го порядка –
это число, равное сумме произведений элементов какого-либо столбца (
строки) на их алгебраические дополнения. Например, для определителя 4-го
порядка разложение по первой строке имеет вид:
=a11 A11+ a12 A12+ a13 A13+ a14 A14
где Aij- алгебраическое дополнение к элементу aij:
Aij = (-1)i+jMij
Определение: Минором Mij элемента aij называется определитель,
получаемый из данного после вычеркивания i-той строки и j-того столбца.
В частных случаях:
=
=
-
+
=
Или схематический (метод треугольников):
§3.2 Матрицы и линейные операции над ними.
Матрицу любого размера можно умножить на число, при этом каждый
элемент матрицы умножается на это число. Складывать и вычитать можно
матрицы только одинакового размера.
6
Если число столбцов первой матрицы равно числу строк во второй
матрице, то такие матрицы можно перемножить, причем
,
где каждый элемент cij матрицы
равен сумме произведений элементов
i-той строки матрицы
на соответствующие элементы j-того столбца
матрицы
:
cij=
1,c2
i=
j=
справедливо:
C nm  c1  Amn  c2  Bmn
 c1a11  c2 b11 c1 a12  c2 b12 c1 a1n  c2 b1n 


 




c a  c b
c1 a m 2  c2 bm 2 c1 a mn  c2 bmn 
2 m1
 1 m1
Глава 4. Алгебра многочленов.
Функция вида:
f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn ,где ai , i=
заданные числа, n N называется многочленом. Значения аргумента x , при
которых f(x)=0 – корни многочлена. С геометрической точки зрения они
являются абсциссами точек пересечения графика функции y=f(x) c осью Ox.
Если f(x) – многочлен высокой степени (n 3), то корни можно локализовать
графически. Например, если f(x)=x3-x-1, то уравнение x3-x-1=0 представляем
в виде: x3=x+1
y
2 ( x)
1 ( x)
x
Искомый корень
.
- абсцисса точки пересечения графиков функции
7
и
На множестве комплексных чисел многочлен n-ой степени с учетом
кратности имеет n корней, на множестве действительных чисел – не более,
чем n.
Например:
(x2-1)(x+2)(x2+1)=0
1)x2-1=0
x1=1, x2=-1
2) x+2=0
3) x2+1=0
x3=-2
x2=-1
x4=i, x5=-i
Многочлен
(x2-1)(x+2)(x2+1)
имеет 3 корня на множестве
действительных чисел и 5 корней на множестве комплексных чисел. Если
уравнение F(x)=0 имеет корень при x=a, то уравнение F(
)=0 так же имеет
корень при (x)=a.
Глава 5. Векторы.
Линейные операции над векторами:
Сумма векторов:
Правило треугольника
Правило параллелограмма
Разность
8
Координатные формулы:
Пусть
- взаимно ортогональные единичные векторы, имеющие
направления координатных осей или ортонормированный базис.
ax, ay, az- координаты(-проекции) вектора .
bx, by, bz- координаты(-проекции) вектора .
= ax + ay + az - разложение вектора
или
по координатному базису
( ax, ay, az)
- длина вектора (модуль).
| |=
Если
– единичный вектор направления
;
, его
координаты называются направляющими косинусами:
cos =
; cos =
; cos =
=(
(
=
=(
,
Если A(x1,y1,z1) – начало вектора, В(x2,y2,z2) – конец вектора, то
AB  ( x2  x1 , y2  y1 , z 2  z1 )
Скалярное произведение векторов
и
находится по формулам:

= a  b  cos( a ; b )
=
В пространстве Rn формула для скалярного произведения принимает вид:
=
, где
Угол между векторами:

cos(a ; b ) =
9
( a1 ,a2,…, an)
( b1 ,b2,…, bn)

cos(a ; b ) =
Условие коллинеарности векторов:
= =
Условие перпендикулярности векторов:
Если
, то
или
Проекция вектора
на направление, задаваемое вектором :

пр b a = a  cos(a ; b )
или
=
Векторное произведение:
Векторное произведение векторов
и

1) c  a  b  a  b  sin( a ; b )

0  (a ; b )  
2)
3) Тройка , , - правая.
Свойства векторного произведения:
1)
2)
3)(
=-
10
есть вектор =
, для которого:
4)
=
- численно равен площади параллелограмма,
построенного на векторах и , приведенных к одному началу, то есть
Sпар=
Векторное произведение в координатах:
=
=(
-
+(
-
) +(
-
)
Базис пространства:
Базис – любая упорядоченная система
, ,…,
из n
линейнонезависимых векторов n-мерного пространства.
Для того, чтобы n-векторов n-мерного пространства были линейно
независимы необходимо и достаточно, чтобы определитель, составленный
из координат этих векторов, был отличен от нуля.
Любой вектор
n-мерного пространства единственным образом
разлагается по векторам базиса:
=
+
+
+…+
Числа
, ,…,
называются координатами вектора
в базисе
, ,…, . Записывают: =( , ,…, ).
Для нахождения координат, например, вектора =(a1,a2) в базисе и ,
где =(p1,p2) и =(q1,q2), необходимо решить систему:
p1x+ q1y= a1
p2x+ q2y= a2
где x, y – искомые координаты вектора =(x,y)=x +y
Глава 6. Аналитическая геометрия.
§6.1 Простейшие задачи.
Расстояние между 2-мя точками А(х1,у1) и В(х2,у2):
A
M(x;y)
B
Деление отрезка АВ в данном отношении
11
,
В частном случае при =1 координаты середины отрезка АВ примут вид:
§6.2 Прямая на плоскости.
Общее уравнение прямой Ах+Ву+С=0 , (А2+В2)>0.
Вектора:
– нормальный вектор прямой.
– направляющий вектор прямой.
Частные случаи:
1) Ву+С=0 – прямая, параллельная оси Ох.
2) Ах+С=0 – прямая, параллельная оси Оу.
3) Ах+Ву=0 – прямая проходит через начало координат.
4) у=0 – ось Ох.
5) х=0 – ось Оу.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
у=kх+b,где k=tg
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном
направлении:
y-y1=k(x-x1)
Уравнение прямой, проходящей через 2 точки М1(x1,y1), M2(x2,y2):
Уравнение прямой в отрезках:
x y
 1
a b
Угол между двумя прямыми:
Условие параллельности прямых:
k2= k1 или
Условие перпендикулярности двух прямых:
k2 k1=-1 или k2=
или A1A2+B1B2=0
Расстояние d от точки M0(x0;y0) до прямой Ах+Ву+С=0 :
§6.3 Кривые второго порядка.
Канонические уравнения окружности:
Окружность радиуса R с центром в начале координат:
x2+y2=R2
Окружность радиуса R с центром в точке C(a;b): (x-a)2+(y-b)2=R2
12
Каноническое уравнение эллипса:
y
b B2
A1
-a
F1(-c;0)
0
A2
F2(c;0)
a
x
-b B1
A1A2=2а – большая ось, а – большая полуось.
В1В2=2b – малая ось, b – малая полуось.
F1F2=2c – фокусное расстояние.
F1, F2 – фокусы.
b2=a2-c2
Эксцентриситет фокуса:
Каноническое уравнение гиперболы:
b
F1(-c;0) A1
-a
B2
A2
a
0
F2(c;0)
y
x
-b B1
A1A2=2а – действительная ось ось, а – действительная полуось.
В1В2=2b – мнимая ось, b – мнимая полуось.
F1F2=2c – фокусное расстояние.
F1, F2 – фокусы.
b2=c2-a2
Эксцентриситет фокуса:
13
Уравнение асимптот гиперболы:
y= x
Если асимптоты гиперболы являются осями координат, то ее уравнение
примет вид:
y=
1)если (k>0)
2)если (k<0)
y
y
x
0
0
x
Каноническое уравнение параболы:
y2=2px
N
y2=2px
A
F (p/2;0)
-p/2
AN – директриса.
0 – вершина параболы.
F – фокус.
Уравнение директрисы:
x=
§6.4 Прямая линия в пространстве.
Каноническое уравнение прямой в R3:
Точка M0(x0;y0;z0) ,
прямой .
Параметрическое уравнение прямой:
t
, то есть
R,
14
- направляющий вектор
Общее уравнение прямой через пересечение 2-х плоскостей:
,
§6.5 Плоскость в пространстве.
Уравнение плоскости, проходящей
перпендикулярно вектору
:
через
точку
M0(x0;y0;z0)
Общее уравнение плоскости в пространстве:
, (A2+B2+C2 0)
Частные случаи:
1) D=0,
– плоскость, проходящая через начало
координат.
2) С=0,
– плоскость параллельная оси Oz
(аналогично при А=0 оси Ox, B=0 оси Oy).
3) C=D=0,
-плоскость проходит через ось Oz.
A=D=0,
- плоскость проходит через ось Ox.
B=D=0,
- плоскость проходит через ось Oy.
4) B=C=0,
- плоскость параллельная координатной плоскости
YoZ.
A=C=0,
- плоскость параллельная координатной плоскости
YoZ.
B=C=0,
- плоскость параллельная координатной плоскости
YoZ.
5) B=C=D=0,
или х=0 – уравнение координатной плоскости YoZ.
A=C=D=0,
или у=0 - уравнение координатной плоскости YoZ.
B=C=D=0,
или z=0 - уравнение координатной плоскости YoZ.
Уравнение плоскости через три данные точки
М1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3)
x  x1
y  y1
z  z1
x2  x1
y 2  y1
z 2  z1  0
x3  x1
y3  y1
z3  z1
§6.6 Угол между прямыми и плоскостями.
Угол
между плоскостями определяется через угол между их
нормальными векторами:
,
,
15
Аналогично определяется угол между прямыми: как угол между их
направляющими векторами:
,
,
Прямая
(
параллельна плоскости p (
Am+Bn+Cp=0 и перпендикулярна ей, если
§6.7. Поверхности второго порядка
x2 y2
x2 z2
y2 z2
1)Цилиндр: эллиптический: 2  2  1 ( 2  2  1 , 2  2  1 )
a
b
a
c
b
c
x2 y2
x2 z2
y2 z2
- гиперболический: 2  2  1 ( 2  2  1 , 2  2  1 )
a
b
a
c
b
c
- параболический: y 2  2 px ( z 2  2 px , z 2  2 py и т.д.)
16
), если
2)Эллипсоид:
x2 y2 z2


1
a2 b2 c2
3)Гиперболоид:
-однополостный:
-двуполостный:
4)Конус:
x2 y2 z2


1
a2 b2 c2
x2 y2 z 2


 1
a2 b2 c2
x2 y2 z2


0
a2 b2 c2
17
5)Параболоид:
-эллиптический:
x2 y2

 2z
p
q
-гиперболический:
x2 y2

 2z
p
q
Глава 7. Комплексные числа.
§7.1 Представление комплексных чисел.
Алгебраическая форма представления комплексного числа:
Z=x+iy, x,y
R, i-мнимая единица, i2=-1
х – действительная часть комплексного числа, обозначаемая x=ReZ,
y – коэффициент при мнимой части комплексного числа, обозначаемый
y=ImZ.
Каждому комплексному числу Z=x+iy соответствует единственная
точка плоскости М(х,у). (Справедливо и обратное).
Тригонометрическая форма комплексного числа:
у
М(х,у)
у
0
x
z=r (cos +i sin ),
где r – модуль комплексного числа
18
х
r=|c|=
– аргумент комплексного числа Z,
Arg Z=arg Z + 2 n, n
Z
arg Z – главное значение аргумента комплексного числа Z:
-
arg Z  
или 0 arg Z 2
Показательная форма комплексных чисел:
Z=r
Формула Эйлера:
§7.2 Действия над комплексными числами.
Z1=x1+iy1=r1(cos
+i sin
)
Z2=x2+iy2=r2(cos
+i sin
)
Z1 Z2=(x1 x2)+ i(y1
y2)
Z1 Z2=( x1x2- y1y2)+i(x1y2+ x2y1)= r1 r2(cos
+i sin
)
Комплексное число Z1=x1-iy1 называется сопряженным к комплексному
числу = x1+iy1
cos
sin
Степени мнимой единицы:
,k
i
В частных случаях:
Z2= (x+iy)2=x2 2xyi+i2y2=(x2-y2) 2xyi
Z3= (x+iy)3=x3 3x2yi+3xy2i2
i3y3=(x3-3xy3) i(3x2y-y3)
Возведение в степень:
Zn=(r(cos
+i sin ))n=rn(cos
+i sin
19
)) , n
+i
Извлечение из корня:
§7.3 Функция комплексного переменного.
U(x,y)=Re f(Z) – действительная часть функции w=f(Z)=U(x,y)+iV(x,y)
V(x,y)=Im f(Z) –мнимая часть функции w=f(Z)=U(x,y)+iV(x,y)
Комплексная экспонента:
w=eZ=ex+iy=ex eiy=ex(cosy+isiny) – периодическая функция с периодом 2
Тригонометрические функции:
sinZ=
, cosZ=
-
в отличие от аналогичных функций действительного аргумента – не
ограничены.
Логарифмическая функция:
w= Ln = ln |Z|+i(arg Z+2
), k
- многозначна.
ln |Z|+iarg Z – главное значение комплексного логарифма.
Если функции U(x,y) и V(x,y) имеют непрерывные частные
производные в точке (x0,y0), удовлетворяющие условию Коши-Римана:
U’x(x,y)=V’y(x,y)
U’y(x,y)=-V’x(x,y)
то функция w= U(x,y)+iV(x,y), дифференцируема в точке z0=x0+iy0 и ее
производная определяется, например, по формуле:
w’=f’(z)= U’x(x0,y0)+i V’x(x0,y0)
Функция w=f(Z) называется аналитической или регулярной в точке z0,
если она дифференцируема как в самой точке z0, так и в некоторой ее
окрестности.
Глава 8. Дифференциальное исчисление.
§8.1 Пределы.
x n  a , lim y n  b то:
Если последовательности (xn) и (yn) сходятся, то есть lim
n 
n
lim ( x n  y n )  lim x n  lim y n  a  b
n 
n 
n 
lim ( x n  y n )  lim x n  lim y n  a  b
n 
n 
n 
20
lim (
n 
lim x n a
xn
)  n  , где lim y n  b  0
n 
yn
lim y n b
n 
Первый замечательный предел:
sin x
=
x 0 x
=1
lim
Следствие:
x
tgx
=1, lim
=1
x  0 tgx
x 0 x
sin kx
sin kx
=k, lim
=
lim
x 0 x
x  0 sin mx
sin kx
tgkx
= , lim
=
lim
x  0 tgmx
x  0 tgmx
lim
Второй замечательный предел:
=
=e
Основные неопределенности:
, ,
,
,
Основные эквивалентные бесконечно малые величины:
sinx x, tgx x, ln(1+x) x, 1-cosx x2, ex-1 x, при x
§8.2 Производные и дифференциалы.
Определение производной:
f ( x0 )  lim
x 0
f ( x0  x)  f ( x0 )
x
Дифференциал:
dy= f’(x)dx, dy
=
Правила дифференцирования:
1) (U V)’=U’ V’
2) (U V)’=U’
V’ U
, f(x)= f(x0)+ f’(x0)
3) ( )’=
4) (C U)’=C U’ , C-const
Производная сложной функции:
Пусть y=f(U), где U= (x): y=f[ (x)] – сложная функция
y’x=y’U U’x
Производные основных элементарных функций:
1. С  =0, C-const
2. x =1
3. ( x n ) =n xn-1
1
x
4. ( )  =-1/x2
5. ( x ) =
21
+о(
)
6. (ln x) =1/x
7. (log a x) =
8. (a x ) =ax lna
9. (e x ) =ex
10. (sin x) =cosx
11. (cos x) = -sinx
12. (tgx) =
13. (ctgx) =
14. (arcsin x) =
15. (arccos x) =
16. (arctgx) =
17. (arcctgx) =
Правило Лопиталя:
§8.3 Исследование функции с помощью производной.
Признаки возрастания и убывания функции:
Если f’(x) на (a,b) положительна, то функция возрастает на этом интервале.
Если f’(x) на (a,b) отрицательна, то функция убывает на этом интервале.
Экстремум дифференциальной функции y=f(x).
Если x0- точка экстремума функции y=f(x), то y=f’(x)=0 или не существует.
Достаточные условия экстремума:
1-е правило:
Пусть f’(x0)=0 или f’(x0) не существует, то есть x0- точка, подозрительная на
экстремум.
Если f’(x) при переходе через точку x0 слева на право меняет знак с «+» на
«-», то x0-точка максимума.
Если f’(x) при переходе через точку x0 слева на право меняет знак с «-» на
«+», то x0-точка минимума.
Если f’(x) при переходе через точку x0 не меняет знака, то в точке x0 нет
экстремума.
-
-
+
X0
+
x
X0
min
max
22
x
2-е правило:
Пусть f(x) дважды дифференцируема в точке x0 и f’(x)=0, f’’(x) 0.
Если f’’(x0) 0 , то x0- точка максимума.
Если f’’(x0) 0 , то x0- точка минимума.
Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
Если кривая вогнута на некотором интервале, то f’’(x)>0 для всех x из
этого интервала.
Если кривая выпукла на некотором интервале, то f’’(x)<0 для всех x из
этого интервала.
y
f(x)
y
f(x)
X0
f ( x)  0
X
X0
X
f ( x)  0
Необходимое условие перегиба:
Если хс- точка перегиба кривой, то f’’(x0)=0 или f’’(x0) не существует.
Достаточное условие перегиба:
Если вторая производная непрерывной функции y=f(x) при переходе через
точку х0 меняет знак, то (х0,f(x0)) – точка перегиба графика функции.
Асимптоты:
Различают вертикальные и невертикальные асимптоты. Вертикальные
асимптоты проходят через точки разрыва 2-го рода. Уравнение вертикальной
асимптоты х=а, причем хотя бы один из пределов
или
, бесконечен.
Уравнение невертикальной асимптоты ищут по формуле y=kx+b, где
k=
, b=
Если хотя бы один из пределов не существует, то невертикальных асимптот
нет.
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на
[а;b]:
1) Находим все критические точки функции (а;b), решая уравнение f’(x)=0
и определяя, где f’(x) не существует;
2) Вычисляем значение функции в критических точках, принадлежащих
(а;b);
3) Вычисляем значение функции на концах отрезка, то есть при x=a и x=b;
4) Из всех этих значений выбираем наибольшее и наименьшее.
23
§8.4 Физический и геометрический смысл производной.
Если S(t) – закон движения материальной точки, то S’(t)=V(t) – закон ее
скорости, а S’’(t)=V’(t)=a(t) – ускорение.
Угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) равен
значению ее производной при х равном абсциссе точки касания, то есть
k=tg =f’(x0).
y
y=f(x)
x
X0
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке (x0,f(x0)):
y=f’(x0)(x-x0)+f(x0)
Глава 9. Функции нескольких переменных
Функция двух переменных: z : R 2  R или z  f ( x, y )
Полное приращение функции: z  f ( x0  x, y0  y)  f ( x0 , y0 )
Дифференциал функции в точке ( x0 , y0 ) : dz 
z
z
dx  dy
x
y
z z
- частные производные, вычисленные в точке ( x0 , y0 )
,
x y
Градиент функции Z  f ( x, y ) : gradZ 
z
z
i
j
x
y
Производная по направлению, определяемому вектором l  l xi  l y j , где
cos  , cos  - направляющие косинусы вектора l :
cos  
ly
ly
lx
lx

, cos   
l
l
l x2  l y2
l x2  l y2
Частные производные функции нескольких переменных находятся по тем
же правилам и формулам, что и для функции одной переменной, при этом
все переменные кроме той, по которой производится дифференцирование,
являются константами.
24
Глава 10. Интегральное исчисление.
§ 10.1. Неопределенный интеграл.
Первообразной функции f (x) на отрезке a.b называется функция F (x) , такая,
что:
F ( x)  f ( x)
Неопределенный интеграл:  f ( x)dx F ( x)  C , где
функции f (x) , С – произвольная постоянная.
F (x ) -
Основные свойства:
1.
 ( f ( x)   ( x))dx   f ( x)dx    ( x)dx
 k  f ( x)dx  k   f ( x)dx , k – произвольная постоянная.
2.
Замена переменной в неопределенном интеграле:
1.
 f ( ( x))   '( x)dx   f (u)du  F (u)  C  F ( ( x))  C,
 f ( x)dx   f ( (t ))   '(t )dt ,  '(t )  0
u   ( x)
2.
Частные случаи:
 f ( x  a)dx   f ( x  a )d ( x  a )
1
 f (ax)dx  a  f (ax)d (ax),
a 0
1
 f (ax  b)dx  a  f (ax  b)d (ax  b),
a 0
Таблица интегралов:
x n1
 x dx  n  1  C, n  1
n
 dx  x  C

dx
 ln x  C
x
 sin xdx   cos x  C
 cos xdx  sin x  C
dx
 cos
2
x
 tgx  C
dx
 sin 2 x  ctgx  C
dx
 1 x
2
dx
1
x
 arctg  C
2
a
a
a
dx
 1  x 2  arcsin x  C
dx
x
 a 2  x 2  arcsin a  C
ax
x
a
dx

C

ln a
x
2
 e dx  e
x

dx
x
C
 ln x  x 2  m  C
x m
dx
1
xa
 x 2  a 2  2a ln x  a  C
2
 arctgx  C
25
первообразная
Некоторые
интегрировании:
cos 2 x 
тригонометрические
формулы,
применяемые
при
1  cos 2 x
1
1  cos 2 x
1
, sin 2 x 
, tg 2 x  2  1 , ctg 2 x  2  1
sin x
2
cos x
2
Разложение дроби на простейшие при интегрировании рациональных дробей:
Pn ( x)
A
A2
Ak
B
B2
 1 

 1 

l
2
2
k
( x  a) ( x  b) ( x  cx  d ) x  a ( x  a)
( x  a)
x  b ( x  b) 2
Bl
Cx  D

 2
l
( x  b) x  cx  d
n  k  l  2 , т.е. дробь правильная.
k
§ 10.2. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
b
 f ( x)dx  F ( x) |  F (b)  F (a),
b
a
f ( x ) - непрерывна, F – первообразная для f ( x ) .
a
Теорема Барроу:
x
Если f ( x) непрерывна, то ( f (t )dt )x  f ( x)
a
b
b
 ( f ( x)   ( x))dx    f ( x)dx     ( x)dx
a
a
b
b
b
a
a
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx
a
 f ( x)dx  0
a
a
a
 f ( x)dx   f ( x)dx
a
b
 ( f ( x)   ( x))dx    f ( x) dx     ( x) dx
a
Свойства определенного интеграла:
b
b
b
c
b
a
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
b
a
 f ( x)dx  0о среднем:
Теорема
a
b

a
Если f ( x) непрерывна на [a, b], то  c  [a, b] такое, что:
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
c
b
a
c
b
 f ( x)dx  f (c)(b  a) .
a
Замена переменных:
b


f ( x)dx   f ( (t ))dx   '(t )dt ,
a

где  (t ) - монотонна, непрерывно дифференцируема;  ( )  a ,  (  )  b
Интегрирование по частям:
b
 udv  (u  v)
a
b
b
a
  vdu
a
26
§ 10.3. Некоторые приложения определенного интеграла.
Площадь криволинейной трапеции:
b
F   f ( x)dx
a
( f ( x) - непрерывна, f ( x)  0)
Площадь фигуры, ограниченной линиями:
y  f ( x), y   ( x)
x  a, x  b
f ( x)   ( x)
b
F   ( f ( x)   ( x))dx
φ
a
Площадь криволинейного сектора:
r=r(φ)
φ=β
β

F
φ=α
1 2
r ( )d
2 
α
Объемы тел, полученных вращением криволинейной трапеции:
вокруг оси Оx:
b
b
Vox    f ( x)dx , Vox    y 2 dx
2
a
a
27
вокруг оси Oy:
d
d
Voy     ( y)dy , Voy    x 2dy
2
φ(y)
c
c
§ 10.4. Несобственный интеграл.

A
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx
A
a
Если
a
A
lim  f ( x)dx существует
A
и конечен, то несобственный интеграл
a
сходится, если этот предел не существует или бесконечен, то несобственный
интеграл расходится.


f ( x)dx 

c

f ( x)dx 


 f ( x)dx,
 cR
c
Глава 11. Кратные интегралы.
§ 11.1. Двойной интеграл.
 f ( x, y)dxdy
D
Сведение к повторному и изменение пределов интегрирования:
p(y)
g(x)
φ(х)

b
 ( x)d
a
g ( x)
f ( x; y )dxdy   dx
D
Некоторые приложения двойного интеграла
Площадь фигуры:
F=  dxdy
D
Объем цилиндроида:
V   f ( x, y)dxdy
D
28

d
 ( y)
c
p( y)a
f ( x; y )dy   dy
 f ( x; y)dx
m    ( x, y)dxdy , где  ( x, y ) – плотность
Масса плоской фигуры:
D
Двойной интеграл в полярной системе координат
r  r2 ( )
φ=
r  r1 ( )β
β α
 f ( x, y)dxdy   f (r cos , r sin  )rdrd , где:
D
D
x  r cos 
y  r sin 
φ=α
dxdy  rdrd
Сведение к повторному:
r2 ( )

 f (r cos  , r sin  )rdrd   d 
D
f (r cos  , r sin  )rdr
r1 ( )
Площадь фигуры в полярных координатах:
F   rdrd
D
§ 11.2. Тройной интеграл.
Сведение к повторному:
b
y2 ( x )
a
y1 ( x )
 f ( x, y, z)  dx  dy  dz   dx 
T
z2 ( x , y )
dy

f ( x, y, z )dz
z1 ( x , y )
Некоторые приложения тройного интеграла
 dx  dy  dz
Объем тела:
T
  ( x, y, z)dx  dy  dz , где
Масса тела:
 ( x, y, z ) - плотность тела.
T
§ 11.3. Криволинейный интеграл второго рода.
 P( x, y)dx  Q( x, y)dy
AB
Изменение направления обхода по кривой:
 P( x, y)dx  Q( x, y)dy    P( x, y)dx  Q( x, y)dy
AB
BA
Сведение криволинейного интеграла 2-го рода к определенному интегралу:
1. Кривая АВ задана уравнением y  f ( x) , где a  x  b
b
 P( x, y)dx  Q( x, y)dy   ( P( x, f ( x) f '( x)))dx
AB
a
29
2. Кривая АВ задана параметрически: x=x(t), y=y(t)

AB
b
P( x, y )dx  Q( x, y )dy   ( P( x(t ), y (t )) x '(t )  Q( x(t ), y (t )) y '(t ))dt
a
Формула Грина:
 Q
P 
 P( x, y)dx  Q( x, y)dy    x  y dxdy , где:
Г
Д
Д – односвязная область, Г – граница области,
обход области
стрелки.
совершается
против
часовой
Приложение криволинейного интеграла
Работа переменной силы F  P( x, y )i  q( x, y ) j вдоль кривой АВ:
A
 P( x, y)dx  Q( x, y)dy
AB
§ 11.4. Поверхностные интегралы.
Поверхностный интеграл 1-го рода
 f ( x, y, z )d
S
Сведение к двойному:
 f ( x, y, z )d   f ( x, y, z ( x, y))
S
2
2
1  z x'  z 'y dxdy ,
D
где поверхность S задана уравнением Z=z(z,y),
D – проекция поверхности S на плоскость xOy
Поверхностный интеграл 2-го рода
 P( x, y, z)dydz  Q( x, y, z)dxdz  R( x, y, z)dxdy
S
Сведение к двойному:
 P( x, y, z) cos   Q( x, y, z) cos   R( x, y, z) cos  d 
S
   P( x( y, z ), y, z )dydz   Q( x, y ( x, z ), z )dxdz 
Dyz
Dxz
 R( x, y, z ( x, y))dxdy , где:
Dxy
cos  , cos  , cos  - направляющие косинусы нормали, соответствующей
выбранной стороне поверхности S, Dyz, Dxy, Dxz – проекции поверхности S
30
на соответствующие координатные плоскости. Знак перед двойным
интегралом совпадает со знаком соответствующего косинуса нормали.
Формула Стокса:
  R Q 

 P R 
 Q P 

d 







cos



cos



cos

S   y z 
 y x 
 x y 






  P( x, y, z )dx  Q( x, y, z )dy  R( x, y, z )dz
L
L – контур, ограничивающий поверхность S. Обход контура согласован с
выбором стороны поверхности по правилу Стокса.
Формула Стокса в символьной форме:
 P( x, y, z)dx  Q( x, y, z )dy  R( x, y, z)dz  
L
S
cos 

x
P
cos 

y
Q
cos 

z
R
где cos  , cos  , cos  - направляющие косинусы нормали, соответствующей
выбранной стороне поверхности.
Формула Остроградского:
 P
Q
R 
  x  y  z dxdydz   ( p cos   q cos   r cos  )d ,
T
S
где S – внешняя сторона поверхности тела T, cos  , cos  ,
направляющие косинусы нормали к поверхности S.
Глава 12. Дифференциальные уравнения.
§ 12.1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.
y  f ( x, y ) или P( x, y )dx  Q( x, y )dy  0
Уравнение с разделяющимися переменными
M1 ( x)  N1 ( y)dx  M 2 ( x)  N2 ( y)dy  0
Уравнение с разделенными переменными:
M 1 ( x)
N ( y)
dx  2
dy  0
M 2 ( x)
N1 ( y )
Общий интеграл:
M 1 ( x)
N ( y)
dx  2
dy  0
N1 ( y )
2 ( x)
M
31
cos  -
Однородное уравнение
P( x, y )dx  Q( x, y )dy  0 , если функции
P ( x, y )
и Q ( x, y ) - однородные,
одной степени однородности.
Функция
P ( x, y )
называется
однородной
n-ой
степени,
если
P( x,  y)   n P( x, y) .
Подстановка y  t  x , dy  t  dx  x  dt приведет уравнение к уравнению с
разделяющимися переменными.
Иначе однородное уравнение может быть записано в виде y '  f ( y / x) .
Подстановка y '  t ' x  t ,
y
t.
x
Линейное уравнение
y ' P( x)  y  Q( x)
Подстановка:
y  u ( x)v( x) , y '  u ' v  uv ' , сводит уравнение к:
u ' v  uv ' p ( x)uv  Q ( x)
u ' v  u (v ' p ( x)v)  Q( x)
Функцию v=v(x) подберем из условия v’+P(x)v=0. Отсюда найдем v. Затем
решим уравнение u’v=Q(x).
Общее решение:
 P ( x ) dx 
P ( x ) dx
ye 
   Q( x )  e 
 dx  c 


§ 12.2. Дифференциальные уравнения высших порядков.
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Уравнение y n   f x  решается последовательным интегрированием.
Уравнение, не содержащее явно искомой функции y, т.е. F x, y' , y' '  0.
Подстановка y '  z , y ' '  z ' , z  zx приводит к дифференциальному
уравнению первого порядка.
Уравнение, не содержащее явно независимой переменной y, т.е.
F  y, y' , y' '  0.
Подстановка y '  z , y ' '  z ' z,
уравнению первого порядка.
z  z y  приводит к дифференциальному
32
Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами
y ' ' py ' qy  0
Характеристическое уравнение:
k 2  pk  q  0, k1 , k 2 - его корни.
Общее решение:
1. k1  k 2 :
y  c1e k x  c2 e k x
2. k1  k 2 :
y  e k x c1  c2 x 
3. k1, 2  a  bi : y  e ax c1 cos bx  c2 sin bx  .
Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами
1
2
1
y' ' py'qy  f x 
Общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения yодн
однородного уравнения y' ' py' qy  0 и некоторого частного решения Y
неоднородного y  yодн  Y .
Вид частного решения Y неоднородного уравнения для некоторых видов
правой части:
f x   aex
а) Y  Aex , если   k1,   k 2
б) Y  Aex x, если   k1, ,   k 2
в) Y  Aex x 2 , если   k1, ,   k 2
f x  m cos x  n sin x
а)
Y  M cos x  N sin x,
если
характеристического уравнения
б) Y  M cos x  N sin xx, если
уравнения.
 i  i -
не
является
корнем
корень характеристического
f x   a 0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n
а) Y  A0  A1 x  A2 x 2  ...  An x n , если k1  0, k 2  0
б) Y  A0  A1 x  A2 x 2  ...  An x n x, если k1  0, k 2  0
в) Y  A0  A1 x  A2 x 2  ...  An x n x 2 , если k1  0, k 2  0 .
Неопределённые коэффициенты A, M , N , A0 , A1 ,..., An находим из условия, что
Y – частное решение неоднородного уравнения.
33
Глава 13. Ряды.
§ 13.1. Числовые ряды.

u1  u 2  ...  u n  ...   u n .
n 1
Частная (частичная) сумма ряда: S n  u1  u 2  ...  u n
Sn  S  
Ряд сходится, если существует lim
n 
Остаток ряда: rn 

 uk
k  n 1
Гармонический ряд:
1

1
1
1
1


...


...

расходится при   1 и сходится при   1





2
3
n
n 1 n
Геометрический ряд:
a  aq  aq 2  ...  aq n  ... , a  0 , сходится при q  1 и его сумма S 
a
.
1 q
При q  1 геометрический ряд расходится.
Необходимый признак сходимости числовых рядов
Если

u
n 1
n
сходится, то lim u n  0.
Следствие:
Если lim u n  0 , то ряд расходится.
Достаточные признаки сходимости для положительных рядов
1. Признак сравнения:
Если даны u1  u 2  ...  u n  ... , u n  0 (1),
v1  v2  ...  vn  ... , vn  0 (2)
и u n  vn n , то:
из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1); из расходимости ряда (1)
следует расходимость ряда (2).
2. Признак Даламбера:
Если lim
n
un  1
 l , то:
un
34
при l<1 ряд

u
n 1
при l>1 ряд
n
сходится;
n
расходится;

u
n 1
при l=1 теорема ответа не даёт.
3. Интегральный признак:
Пусть дан ряд u1  u 2  ...  u n  ... , ( u n  0 ), члены которого являются
значением непрерывной функции f x  при целых значениях аргумента x,
f 1  u1 , f 2  u 2 , f n  u n ,…
и пусть f x  монотонно убывает на 1; , неотрицательна. Тогда:
если сходится несобственный интеграл

 f x dx , то ряд сходится;
1

 f x dx
если несобственный интеграл
расходится, то ряд расходится.
1
Знакочередующиеся ряды

Ряд u1  u 2  u 3  u 4  ...    1n 1 u n , u n  0 называется знакочередующимся.
n 1
Признак Лейбница:
u n  0 , то
Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают и lim
n 
ряд сходится.
§ 13.2. Степенные ряды.
a 0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  ... 

a
n 0
n
xn ,
где a 0 , a1 ,…, a n - коэффициенты, x – переменная.
Радиус сходимости:
R  lim
n 
Интервал сходимости:  R; R .
Для ряда
n

 a x  x 
n 0
n
0
an
an  1
интервал сходимости x0  R, x0  R  .
Ряд Тейлора:
f a  
n 
f ' a 
x  a   f ' ' a  x  a 2  ...  f a  x  a n  ...
1!
2!
n!
Ряд Маклорена:
f 0 
f ' 0
f ' ' 0 2
f n  0 n
x
x  ... 
x  ...
1!
2!
n!
35
Основные разложения в ряд Маклорена:
ex  1
x x2
xn

 ... 
 ... , x  R ,
1! 2!
n!
sin x  x 
2 n1
x3 x5 x 7
n1 x
   ... 1
 ... , x  R ,
2n  1!
3! 5! 7!
cos x  1 
2m
x2 x4
m x

 ...   1
 ... , x  R ,
2m!
2! 4!
1  x m  1  m x  mm  1 x 2  ...  mm  1...m  (n  1) x n  ... ,
1!
2!
n!
x   1;1 .
Глава 14. Случайные события.
Классическое определение вероятности:
Вероятностью события A называется отношения числа благоприятных
исходов событию A к общему числу равновозможных событий, образующих
полную группу, т.е.
P( A) 
m
, при этом очевидно: 0  P( A)  1 .
n
События называются несовместными, если наступление одного из них
исключает наступление другого.
События называются независимыми, если вероятность наступления
одного из них не влияет на вероятность наступления другого.
Теоремы сложения и умножения вероятностей:
P( A  B)  P( A)  P( B) – для независимых событий A и B .
P( A  B)  P( A)  P( B / A) – для зависимых событий A и B .
P( A  B)  P( A)  P( B) – для несовместных событий A и B .
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B) – для совместных событий A и B .
n
P A   PBk PBk  A ,
Формула полной вероятности:
k 1
где B1 , B2 ,..., Bn - полная группа событий.
Формула Бейеса:
PA Bm  
PBm PBm  A
n
 PB P  A
k 1
k
где B1 , B2 ,..., Bn - полная группа событий.
Повторение испытаний
36
Bk
, m  1,2,..., n,
Pn ( K )  Cnk  p k  q n k 
n!
 p k (1  p)n k ,
k !(n  k )!
где Pn ( K ) - вероятность появления события А ровно k раз при n независимых
испытаниях,
p – вероятность появления события А при каждом испытании;
q – вероятность не появления событии А при каждом испытании;
q=1-p, n!=1*2*3*…*n, 0!=1
Локальная теорема Лапласа
2
t

1
1
Pn ( K ) 

e 2 ,
np(1  p) 2
где Pn ( K ) - вероятность появления события А ровно k раз при n независимых
испытаниях,
p – вероятность появления события А при каждом испытании;
t
k  np
.
np(1  p)
2
Имеются таблицы значения функции  (t ) 
t

1
e 2 ,
2
соответствующие
положительным значениям t, причем  (t ) =  (t ) .
Интегральная теорема Лапласа
P(k1 , k2 )  ( x2 )  ( x1 ) , где P(k1 , k2 ) - вероятность того, что в n независимых
испытаниях событие А появится не менее k1 раз и не более k2 раз:
x
2
t

1
( x) 
 e 2 dt - функция Лапласа.
2 0
Имеется таблица значений функции Лапласа, причем ( x)  ( x)
x1 
k1  np
np (1  p )
x2 
k2  np
np (1  p )
Наивероятнейшее число k0 появления события А при n независимых
испытаниях:
37
np  (1  p)  k0  np  p (n – число испытаний, p – вероятность появления
события А при одном испытании).
Глава 15. Случайные величины.
§ 15.1. Дискретные случайные величины.
xi значения случайной величины x
pi  P( X  xi ), i=1,2..n;
n
p
i 1
i
1
Закон распределения:
X
x1
x2
…
xi
…
xn
Р
p1
p2
…
pi
…
pn
n
Математическое ожидание: M ( X )   xi pi
i 1
Свойства:
M (C )  C , C - постоянная
M ( X1  X 2 )  M ( X1 )  M ( X 2 )
M (CX )  C  M ( X )
M ( X1  X 2 )  M ( X1 )  M ( X 2 )
( X1 и X 2 - независимые случайные величины)
Дисперсия:
D( X )  M (( X  (M ( x))2 )
D( X )  M ( X 2 )  (M ( X ))2
Свойства:
D(C )  0
D(CX )  C 2 D( X )
D( X1  X 2 )  D( X1 )  D( X 2 )
( X1 и X 2 - независимые случайные величины)
Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х:
 ( X )  D( X )
38
Биномиальный закон распределения
Закон распределения Х – числа появлений события в n независимых
испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p
(схема Бернулли).
Математическое ожидание и дисперсия биноминального распределении
равны:
M(X)=np, D(x)=npq
Закон распределения Пуассона
Если число испытаний n велико, а вероятность появления события А в
каждом испытании мала, то:
Pn (k ) 
 k  e
k!
,
где Pn (k ) вероятность появления события А ровно k раз в n испытаниях,
  np .
Математическое ожидание и дисперсия
распределенной по закону Пуассона, равны:
случайной
M (X )  
D( X )  
§ 15.2. Непрерывные случайные величины.
Функция распределения:
F(x)=P(X<x)
Свойства:
1. 0  F ( x)  1
2. x1  x2  F ( x1 )  F ( x2 )
F ( x)  0, lim F ( x)  1
3. xlim

x 
4. P(a  X  b)  F (b)  F (a)
Плотность вероятностей (дифференциальная функция):
f(x)=F’(x),
где F(х) – функция распределения.
39
величины
Х,
Свойства:
f ( x)  0


f ( x)dx  1

x

F ( x) 
f ( x)dx

b
P (a  X  b)   f ( x)dx
a
Математическое ожидание:

M (X ) 
 xf ( x)dx ;

b
Если возможные значения Х принадлежит [a,b], то M ( X )   xf ( x)dx
a
Дисперсия:

 ( x  M ( X ))
D( X ) 
2
f ( x)dx


D( X ) 
 (x
2
f ( x)dx  ( M ( X )) 2

Если возможные значения Х принадлежат [a,b], то:
b
D ( X )   ( x  M ( X )) 2 f ( x)dx
a
b
D ( X )   ( x 2 f ( x)dx  ( M ( X )) 2
a
Нормальное распределение (Распределение Гаусса)
f ( x) 
1
 2

e
( xa )2
2 2
; M ( X )  a , D( X )   2
Вероятность попадания в заданный интервал ( ,  ) нормальной случайной
величины:
  a
 a 
P(  X   )   

,
  
  
x
2
t

1
 e 2  dt - функция Лапласа.
где ( x) 
2 0
Вероятность заданного отклонения S:
 
P(| X  a |  )  2 
 
40
Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина Х распределена равномерно на [a,b], если
её плотность равна:
0, x  a
 1
ab
(b  a)
M (X ) 
, a  x b;
, D( X ) 
, f ( x)  
2
b

a
12

0, x  b
2
Показательное распределение
e x , x  0
f ( x)  
0, x  0
- плотность распределения вероятности;
1  e x , x  0
- функция распределения.
F ( x)  
0
,
x

0

P ( a  x  b)  e   a  e   b ; M ( X ) 
1

; D( x) 
1

2
;  (X ) 
1

Глава 16. Математическая статистика.
Для изучения количественного (дискретного или непрерывного) признака
Х из генеральной совокупности извлечена выборка x1 , x2 , x3 ,...xn объемом n.
Значение xi называют вариантами, а последовательность вариант,
записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом.
Статистическим распределением выборки называют перечень вариант
xi вариационного ряда и соответствующих им частот ni или относительных
ni
.
n
 wi  1 .
частот wi , wi 
n
i
i
 n;
i
Мода – наиболее часто встречающийся вариант (с наибольшей частотой),
медиана – такое значение признака, которое делит всю статистическую
совокупность, представленную в виде вариационного ряда, на две равные по
числу вариант части. Статистическое распределение выборки можно задать
также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот
(относительных частот).
Эмпирическая функция распределения (функция распределения выборки):
F * ( x) 
nx
, где nx - число вариант, меньших х; n – объем выборки.
n
Полигон и гистограмма
Полигон частот – ломаная, отрезки которой соединяют точки
( x1 , n1 ),( x2 , n2 ),...( xk , nk ) , где xi - варианты выборки, ni - частоты. Полигон
41
относительных частот – ломаная, соединяющая точки ( x1 , w1 ),( x2 , w2 ),...( xk , wk ) ,
где wi 
ni
- относительные частоты.
n
Гистограмма частот – ступенчатая фигура из прямоугольников с
основаниями длинной xi  xi 1  xi и высотой
ni
;
xi
Гистограмма относительных частот состоит из прямоугольников
высотой
wi
.
xi
гистограмма частот
гистограмма относительных
частот
ni
xi
wi
xi
xi
xi 1
x
xi
x
Статистические оценки параметров распределения
* - Статистическая оценка теоретического (неизвестного) параметра  .
Точечной называют оценку, которая определяется одним числом.
Несмещенной называют статистическую оценку, математическое ожидание
которой равно оцениваемому параметру  при любом объеме выборки, т. е.
M (* )   . Если M (* )   , то оценка называется смещенной.
Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном
объеме выборки) имеет наименьшую возможную дисперсию D(* )  min .
Состоятельной называют статистическую оценку, которая при n  
сходится к оцениваемому параметру:
вер
*  
n
Генеральная средняя:
x1  x2  ...  xN
, если x1 ,...xN различны;
N
x  N  x  N  ...  xk  N k
xĂ  1 1 2 2
, если x1 имеет частоту N1 , …, xk - частоту N k ;
N
N   Ni - объем генеральной совокупности.
xĂ 
i
42
Выборочная средняя:
xâ 
x1  x2  ...  xn
, если x1 ,...xn - различны;
n
или
x1  n1  x2  n2  ...  xk  nk
,
n
если x1 имеет частоту n1 , … , xk - частоту nk
xâ 
n   ni - объем выборки, xâ - несмещенная оценка xĂ .
i
Выборочная дисперсия:
k
n
Dв=
 ( xi  xa )2
i 1
n
или Dв=
 n (x  x )
i 1
i
i
2
a
,  в  Dв
n
Исправленная выборочная дисперсия:
S2 
n
Dв
n 1
Степень связи между двумя случайными величинами по серии из n
испытаний над каждой оценивают по коэффициенту корреляции:

M (( X  M ( X ))  (Y  M (Y ))
 XY

1 n
 ( xi  x )( yi  y )
n i 1
1 n
1 n
2
(
x

x
)

 i
 ( yi  y )
n i 1
n i 1
где x  M ( X ) , y  M (Y ) .
43
,