Практическая работа

Практическая работа
Составление закона распределения дискретной случайной величины и нахождение
её характеристик
Пример 1.
Задают ли законы распределения дискретной случайной величины следующие таблицы?
а)
х
2
3
4
5
6
7
р
0,1
0,15
0,1
х
4
5
р
0,1
0,15 0,2
0,3
0,15
0,2
б)
6
7
8
9
0,15 0,1
10
0,1 0,3
Решение.
Для того чтобы проверить задан ли закон распределения нужно найти сумму чисел
записанных в таблице во второй строке. Если сумма равна 1, то закон распределения
задан. Если сумма не равна 1, то закон распределения не задан.
а) 0,1+0,15+0,1+0,3+0,15+0,2=1.
Значит, первая таблица задает закон распределения дискретной случайной величины.
б) 0,1+0,15+0,2+0,15+0,1+0,1+0,3=1,1.
Значит, вторая таблица не задает закон распределения дискретной случайной величины.
Пример 2.
Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения:
Х
2
Р
0,15 0,2
3
4
5
6
7
0,1
0,15
р5
0,05
Найдите р 5 .
Решение.
Сумма чисел во второй строке должна быть равна 1, так как задан закон распределения.
Значит,
0,15+0,2+0,1+0,15+ р 5 +0,05=1
р 5 =1-0,65
р 5 = 0,35.
Пример 3.
В коробке 7 карандашей, из которых 4 красные. Из этой коробки наудачу извлекаются 3
карандаша. Найти закон распределения случайной величины Х, равной числу красных
карандашей в выборке. Найти математическое ожидание, дисперсию.
Решение.
Всего 7карандашей
Берут 3 карандаша
4 красных
3 другого цвета
а) 0
3
б) 1
2
в) 2
1
г) 3
0
Случайная величина может принимать только четыре значения: 0,1,2,3.
Найдем вероятности этих значений:
с 40  с33 1  1 1
а) р1  р( х  0) 


35 35
с73
с14  с32 4  3 12
б) р 2  р( х  1) 


35 35
с73
с 42  с31 6  3 18
в) р3  р( х  2) 


35 35
с73
с 43  с30 4  1 4
г) р 4  р( х  3) 


35 35
с73
1 12 18 4 35




1 .
Проверим,
35 35 35 35 35
Следовательно, данная случайная величина имеет закон распределения:
х
0
1
2
3
Р
1
12
18
4
35
35
35
35
Найдём математическое ожидание:
1
12
18
4 12  36  12 60
5
М ( х)  0   1   2   3 


 1  1,71 .
35
35
35
35
35
35
7
2
Составим новую таблицу и найдём М ( х ) .
1
4
9
х2 0
Р
1
35
12
35
18
35
4
35
1
12
18
4 12  72  36 120
3
 1  4   9 


 3  3,43 .
35
35
35
35
35
35
7
Найдём дисперсию:
D( х)  М ( х 2 )  ( М ( х)) 2
М (х2 )  0 
D( х)  3,43  (1,71) 2  3,43  2,92  0,51
Задачи для самостоятельного решения
1. Задает ли закон распределения дискретной случайной величины данная таблица
а)
X
2
3
4
5
6
P
0,1
0,2
0,25
0,17
0,3
б)
X
P
21
0,11
22
0,19
23
0,2
24
0,2
25
0,3
X
P
4
0,13
5
0,17
6
0,3
7
0,37
8
0,68
X
P
9
0,2
10
0,3
11
0,11
12
0,13
13
0,47
в)
г)
2. Дискретная случайная величина имеет закон распределения. Найти неизвестную
вероятность.
а)
X
5
6
7
8
9
P
0,13
0,3
0,2
P4
0,17
б)
X
P
4
0,15
5
0,16
6
P3
7
0,5
8
0,07
X
P
1
0,3
2
P2
3
0,2
4
0,29
5
0,1
X
P
1
0,16
2
P2
3
0,15
4
0,07
5
0,5
в)
г)
3. а) В партии из 12 деталей имеется 4 нестандартных. Берут 3 детали на удачу. Найти
закон распределения дискретной случайной величины равной числу стандартных деталей
в выборке. Найти математическое ожидание, дисперсию.
б) В партии из 13 деталей имеется 9 нестандартных. Берут 3 детали на удачу. Найти закон
распределения дискретной случайной величины, равной числу стандартных деталей в
выборке. Найти математическое ожидание, дисперсию.
в) В партии из 10 деталей имеется 7 стандартных. Берут 2 детали на удачу. Найти закон
распределения дискретной случайной величины, равной числу стандартных деталей в
выборке. Найти математическое ожидание, дисперсию.
г) В коробке 10 карандашей, из них 5 карандашей поломанных. Из этой коробки берут
наугад 3 карандаша. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
равной числу поломанных карандашей. Найти математическое ожидание, дисперсию.