08-05-02

08-05-02. Деление многочленов
1. Деление с остатком. Неполное частное и остаток.
Для целых чисел мы изучали деление с остатком. Аналогичная операция существует
для многочленов.
Разделить многочлен P ( x ) на ненулевой многочлен Q ( x) с остатком —
значит найти такие многочлены T ( x ) и R ( x ) , что выполняется тождественное
равенство
P( x)  Q( x)  T ( x)  R( x)
причем, если R ( x ) — ненулевой многочлен, то его степень меньше степени
многочлена Q ( x) .
В этом определении многочлен T ( x ) называют неполным частным, а многочлен
R ( x ) — остатком.
Если при делении с остатком многочлена P ( x ) на многочлен Q ( x) остаток R ( x )
тождественно равен нулю, то говорят, что P ( x ) делится на Q ( x) .
2. Алгоритм деления с остатком, основанный на вычитании (на примерах).
Алгоритм деления с остатком одного многочлена P ( x ) на другой многочлен Q ( x)
основан на последовательном выделении слагаемых, содержащих множителем многочлен
Q( x) .
Пример. Разделим с остатком многочлен P( x)  x3  8x 2  2 x  3 на многочлен
Q( x)  x 2  2 x  3 .
Для этого сначала найдем такой одночлен вида ax k , что старший член произведения
ax k  Q( x) совпадает со старшим членом многочлена P ( x ) , то есть выполняется равенство
ax k  x 2  x3 
Отсюда a  1 , k  1 . Тогда можно записать равенства:
P( x)  x3  8x 2  2 x  3  x  Q( x)  x3  8x 2  2 x  3 
 x  Q( x)  x  Q( x)  x3  8x 2  2 x  3  x( x 2  2 x  3) 
 x  Q( x)  (10 x 2  x  3)  x  Q( x)  P1 ( x )
где P1 ( x)  10 x 2  x  3 .
В результате такого преобразования многочлен P ( x ) представлен в виде суммы двух
слагаемых, одно из которых x  Q ( x) делится на Q ( x) без остатка, а степень второго
слагаемого P1 ( x) меньше степени P ( x ) .
После этого выполним аналогичные преобразования для многочлена P1 ( x) . Сначала
из условия ax k  x 2  10 x 2 найдем a  10 , k  0 . Затем запишем равенства:
P1 ( x)  10 x 2  x  3  10  Q( x)  (10 x 2  x  3) 
10  Q( x)  10  Q( x)  (10 x 2  x  3) 
10( x 2  2 x  3)  10  Q( x)  19 x  27 
 10  Q( x)  P2 ( x)
где P2 ( x)  19 x  27 . Полученный многочлен P2 ( x) имеет степень меньше степени
P1 ( x) . В данном случае степень многочлена P2 ( x) оказывается меньше и степени делителя
Q( x) .
В результате сделанных преобразований для многочлена P ( x ) получаем следующее
представление:
P( x)  x  Q( x)  P1 ( x)  x  Q( x)  10  Q( x) 
 P2 ( x)  ( x  10)  Q( x)  (19 x  27)
то есть
x3  8x 2  2 x  3  ( x  10)  ( x 2  2 x  3)  (19 x  27)
Так как в этом представлении степень многочлена 19 x  27 меньше степени
делителя Q ( x) , то по определению деления с остатком многочлен T ( x)  x  10 является
неполным частным, а многочлен R( x)  19 x  27 остатком от деления P ( x ) на Q ( x) .
Пример 2. Разделим с остатком многочлен P( x)  x3  x 2  x  1 на многочлен
Q( x)  2 x  1 .
Из условия ax k  2 x  x3 находим a  12 , k  2 , а поэтому
1
1
P( x)  x 2  (2 x  1)  ( x 2  x  1) 
2
2
1 2
 x  Q ( x)  P1 ( x)
2
Из условия ax k  2 x  12 x 2 находим a  14 , k  1 , а поэтому
1
1
3
P1 ( x)  x 2  x  1  x(2 x  1)  ( x  1) 
2
4
4
1
 x  Q( x)  P2 ( x)
4
Из условия ax k  2 x  34 x находим a  83 , k  0 , а поэтому
3
3
5 3
P2 ( x)  ( x  1)   (2 x  1)    Q( x)  R( x)
4
8
8 8
В результате сделанных преобразований для многочлена P ( x ) получаем следующее
представление:
1
1
1
P( x)  x 2  Q( x)  P1 ( x)  x 2  Q( x)  x  Q( x) 
2
2
4
 P2 ( x) 
1 2
1
3
x  Q( x)  x  Q( x)   Q( x)  R( x) 
2
4
8
1
1
3
 ( x 2  x  )  Q( x)  R( x)
2
4
8
то есть
1
1
3
5
x3  x 2  x  1  ( x 2  x  )  (2 x  1)  
2
4
8
8
Так как в этом представлении степень многочлена R( x)  85 меньше степени
делителя Q( x)  2 x  1 , то по определению при делении P ( x ) на Q ( x) неполное частное
равно T ( x)  12 x 2  14 x  83 , а остаток равен R( x)  85 .
3. Оформление деления с остатком в виде схемы «уголком».
Алгоритму деления многочлена на многочлен с остатком придают удобный вид,
записывая столбиком.
Вернемся к примеру 2 из предыдущего пункта и оформим деление с остатком
многочлена P( x)  x3  x 2  x  1 на многочлен Q( x)  2 x  1 в виде следующей схемы:
x3
 x2
 x 1
2x  1
x3
1
 x2
2
1
 x2
2
1
 x2
2
3
x
4
3
x
4
1 2 1 3
x  x
2
4 8
x
1
1
 x
4
1

3
8
5
8
В этой схеме на первом шаге подбирается такой множитель
1
2
1
2
x 2 , что в произведении
x 2  Q ( x) старший коэффициент совпадает со старшим коэффициентом многочлена P ( x ) .
Записывая многочлен
1
2
x 2  Q( x)  x 3  12 x 2 под многочленом P ( x ) и выполняя вычитание
P( x)  12 x 2  Q( x) , мы приходим к многочлену P( x)  12 x 2  x  1 , который в схеме записан
под верхней чертой.
На втором шаге подбирается такой множитель 14 x , что в произведении 14 x  Q( x)
старший коэффициент совпадает со старшим коэффициентом многочлена
P1 ( x) .
Записывая многочлен x  Q( x)  x  x под многочленом P1 ( x) и выполняя вычитание
P1 ( x)  14 x  Q( x) , мы приходим к многочлену P2 ( x)  34 x  1 , который в схеме записан под
средней чертой.
На третьем шаге подбирается такой множитель 83 , что в произведении 83 Q( x)
старший коэффициент совпадает со старшим коэффициентом многочлена P2 ( x) .
Записывая многочлен 83 Q( x)  34 x  83 под многочленом P2 ( x) и выполняя вычитание
P2 ( x)  83 Q( x) , мы приходим к многочлену R( x)  85 , который в схеме записан под нижней
чертой. Так как степень многочлена R ( x ) меньше степени многочлена Q ( x) , то на этом
процесс деления заканчивается. В результате в схеме под делителем появляется неполное
частное, а в самой нижней строке схемы — остаток.
1
4
1
2
2
1
4
4. Деление многочленов второй степени на двучлен ( x  m ).
Рассмотрим деление с остатком на линейные многочлены вида Q( x)  x  m , где m
— фиксированное число.
Сначала возьмем многочлен второй степени P( x)  ax 2  bx  c , где a  0 , и
выполним деление P ( x ) на Q ( x) , столбиком.
ax 2
bx
c
xm
2
ax
amx
ax  (am  b)
(am  b) x
c
(am  b) x am 2  bm
am 2  bm  c
В результате получаем, что при делении с остатком многочлена ax 2  bx  c на x  m
неполное частное равно многочлену первой степени ax  (am  b) , а остаток равен
постоянному многочлену am 2  bm  c , то есть числу.
Пример 3. Пусть P( x)  x 2  5 x  6 и Q( x)  x  2 . Тогда в приведенной схеме
деления можно принять a  1 , b  5 , c  6 , m  2 , а поэтому при делении с остатком
P ( x ) на Q ( x ) неполное частное равно 1  x  (1 2  5)  x  3 , а остаток равен
1 2  5  2  6  0 . Следовательно, P( x)  x 2  5x  6  ( x  2)  ( x  3)  0  ( x  2)  ( x  3) . В
данном случае многочлен x 2  5 x  6 разложен на два множителя ( x  2) и ( x  3) .
5. Деление многочленов третьей степени на двучлен ( x  m ).
Рассмотрим теперь деление с остатком многочлена третьей степени
P( x)  ax3  bx 2  cx  d
на линейный многочлен Q( x)  x  m .
Выполняя деление столбиком, получим:
ax3
ax3
bx2
amx2
(am  b) x 2
(am  b) x 2
cx
d
xm
ax (amb) x(am2 bmc)
2
cx
(am2 bm) x
(am 2  bm  c) x
(am 2  bm  c) x
d
d
am  bm3  cm
 am3  bm 2  cm  d
3
Следовательно,
ax3  bx 2  cx  d 
( x  m)(ax 2  (am  b) x  am2  bm  c)  (am3  bm2  cm  d )
или
P( x)  Q( x)  T ( x)  R( x)
где через T ( x ) обозначен многочлен ax 2  (am  b) x  (am2  bm  c) ,а через R ( x )
обозначено число am3  bm2  cm  d , то есть, постоянный многочлен, степень которого
меньше степени многочлена Q ( x) .
Следовательно, при делении с остатком многочлена ax3  bx 2  cx  d на x  m в
неполном частном получается многочлен T ( x ) второй степени, а в остатке постоянный
многочлен am3  bm2  cm  d .
6. Значение многочлена.
Пусть P ( x ) некоторый многочлен. Подставляя вместо буквы x конкретное число
m , мы получим некоторое число, которое называется значением многочлена P ( x ) при
x  m и обозначается P ( m ) .
Пример 4. Пусть S ( x)  x3  2 x 2  3x . Подставляя вместо x число 4, получим
43  2  42  3  4  44 . Следовательно, S (4)  44 .
Пример 5. Пусть T ( x)  2 x 4  5x  3 . Подставляя вместо x число
2 , получим
2  ( 2)  5  2  3  2  2  3  5 2  11  5 2 
4
2
Следовательно, T ( 2)  11  5 2 .
7. Теорема Безу.
В пункте 4. мы показали, что при делении квадратного трехчлена P( x)  ax 2  bx  c
на линейный многочлен Q( x)  x  m в остатке получается постоянный многочлен, равный
числу am 2  bm  c . Это число равно значению P ( x ) при x  m . Таким образом,
полученный в пункте 2.4. результат можно сформулировать b следующем виде.
Остаток при делении квадратного трехчлена P ( x ) на x  m равен P ( m ) .
Аналогично, x в пункте 5 мы показали, что при делении кубического многочлена
P ( x ) на линейный многочлен Q( x)  x  m в остатке получается число, равное P ( m ) .
Отмеченные закономерности выполняются и в общем случае.
Теорема Безу. Остаток при делении многочлена P ( x ) на x  m равен
значению многочлена P ( x ) при x  m .
По теореме Безу можно очень быстро находить остаток при делении многочлена
P ( x ) на x  m . Этот остаток равен P ( m ) .
8. ** Доказательство теоремы Безу.
В этом пункте разберем доказательство теоремы Безу.
Запишем результат деления с остатком многочлена P ( x ) на x  m в виде
P( x)  ( x  m)  S ( x)  H ( x)
где через S ( x ) обозначено неполное частное, а через H ( x ) — остаток. Если остаток
H ( x ) — ненулевой многочлен, то его степень должна быть меньше степени делителя. Это
значит, что H ( x ) является постоянным многочленом, то есть числом. Обозначим это
число через h . Тогда выполняется тождественное равенство
P( x)  ( x  m)  S ( x)  h
Отсюда следует, что при x  m выполняется равенство
P ( m)  ( m  m)  S ( m)  h
или
h  P(m)
Итак, остаток при делении многочлена P ( x ) на x  m равен P ( m ) . Теорема Безу
доказана.
Пример 6. При делении многочлена P( x)  x10  2 x 4  1 на x 1 получается остаток
P(1)  110  2 14  1  0 . Это означает, что многочлен x10  2 x 4  1 делится на x 1 без
остатка. Поэтому многочлен x10  2 x 4  1 можно разложить на множители. Один из
способов разложения данного многочлена на два множителя — это способ деления
уголком. Другой способ такой:
x10  2 x 4  1  ( x10  x 4 )  ( x 4  1) 
 x4  ( x6  1)  ( x4  1) 
 x 4  ( x  1)  ( x5  x 4  x3  x 2  x  1) 
( x  1)  ( x3  x 2  x  1) 
 ( x  1)  ( x9  x8  x7  x6  x5  x 4 ) 
( x  1)  ( x3  x 2  x  1) 
 ( x  1)  ( x9  x8  x7  x6  x5  x 4  x3  x 2  x  1)
Контрольные вопросы
1. Что значит выполнить деление с остатком данного многочлена P ( x ) на ненулевой
многочлен Q ( x) ?
2. Когда говорят, что многочлен P ( x ) делится на ненулевой многочлен Q ( x) ?
3. Как разделить столбиком многочлен x 3  x 2  x  1 на многочлен 2x  1 ?
4. Сформулируйте теорему Безу и проиллюстрируйте ее на примере многочленов
P( x)  x 3  2 x 2  3 x и Q ( x )  x  1 .
5. Докажите теорему Безу.
Задачи и упражнения
1. Чему равны неполное частное и остаток при делении многочлена 3x 2  x  1 на
многочлен x 2 ?
2. Чему равен остаток при делении многочлена x 3  8 на многочлен x 2  2 x  4 ?
3. Найти неполное частное и остаток по схеме «деление уголком»:
1)
3x3 6 x2 9 x 1
x2  6x  3
2)
x4
3)
3x 1
5x2  3
x3
8 x2
5 x 10
x 2  3x  5
4)
( x  5)( x 2
3x 10
x2  5
5)
x17
1
x 1
4. Найти остаток от деления многочлена 2 x3  3x 2  x  1 на x  2 .
5. Определить неполное частное и остаток от деления многочлена x 4  x 2  2 x  3 на
x  1.
6. При каком значении коэффициента a многочлена x 5  2 x 3  a делится (без остатка)
на x  2 ?
7. При каком значении коэффициента a остаток при делении многочлена x 4  ax  4 на
x  3 равен 10?