Лекция_9

Лекция 9
Тема: Математическая статистика и ее роль в медицине и
здравоохранении. Медико-демографические показатели.
План:
1.
2.
3.
4.
Погрешности измерений.
Классификация погрешностей
Оценка случайных погрешностей прямых измерений.
Учет приборной и случайной погрешностей.
Погрешности измерений
В основе точных естественных наук лежат измерения. При измерениях
значения величин выражаются в виде чисел, которые указывают во сколько
раз измеренная величина больше или меньше другой величины, значение
которой принято за единицу. Полученные в результате измерений числовые
значения различных величин могут зависеть друг от друга. Связь между
такими величинами выражается в виде формул, которые показывают, как
числовые значения одних величин могут быть найдены по числовым
значениям других.
При измерениях неизбежно возникают погрешности. Необходимо
владеть методами, применяемыми при обработке результатов, полученных
при измерениях. Это позволит научиться получать из совокупности
измерений наиболее близкие к истине результаты, вовремя заметить
несоответствия и ошибки, разумно организовать сами измерения и правильно
оценить точность полученных значений.
Погрешность измерения — оценка отклонения измеренного значения
величины от её истинного значения. Погрешность измерения является
характеристикой (мерой) точности измерения.
Никакие измерения не могут быть абсолютно точными. Измеряя
какую-либо величину, мы всегда получаем результат с некоторой
погрешностью (ошибкой). Другими словами, измеренное значение величины
всегда отличается от истинного ее значения. Задачей экспериментатора
является не только нахождение самой величины, но и оценка допущенной
при измерении погрешности. В зависимости от свойств и причин
возникновения различают систематические и случайные погрешности и
промахи.
Если измерение заключается в сравнении данной величины с другой,
однородной величиной, принятой за единицу, то измерение в этом случае
называется прямым.
Прямые (непосредственные) измерения – это такие измерения, при
которых мы получаем численное значение измеряемой величины либо
49
прямым сравнением ее с мерой (эталоном), либо с помощью приборов,
градуированных в единицах измеряемой величины.
Однако далеко не всегда такое сравнение производится
непосредственно. В большинстве случаев измеряется не сама интересующая
нас величина, а другие величины, связанные с нею теми или иными
соотношениями и закономерностями. В этом случае для измерения
необходимой величины приходится предварительно измерить несколько
других величин, по значению которых вычислением определяется значение
искомой величины. Такое измерение называется косвенным.
Косвенные измерения состоят из непосредственных измерений одной
или нескольких величин, связанных с определяемой величиной
количественной зависимостью, и вычисления по этим данным определяемой
величины.
В измерениях всегда участвуют измерительные приборы, которые
одной величине ставят в соответствие связанную с ней другую, доступную
количественной оценке с помощью наших органов чувств. Например, силе
тока ставится в соответствие угол отклонения стрелки на шкале с делениями.
При этом должны выполняться два основных условия процесса измерения:
однозначность и воспроизводимость результата. эти два условия всегда
выполняются только приблизительно. Поэтому процесс измерения содержит
наряду с нахождением искомой величины и оценку неточности измерения.
Существует много причин для возникновения погрешностей
измерений. Перечислим некоторые из них.
 Процессы, происходящие при взаимодействии прибора с объектом
измерений, неизбежно изменяют измеряемую величину. Например,
измерение размеров детали с помощью штангенциркуля, приводит к
сжатию детали, то есть к изменению ее размеров. Иногда влияние
прибора на измеряемую величину можно сделать относительно малым,
иногда же оно сравнимо или даже превышает саму измеряемую величину.
 Любой прибор имеет ограниченные возможности однозначного
определения измеряемой величины вследствие конструктивной
неидеальности. Например, трение между различными деталями в
стрелочном блоке амперметра приводит к тому, что изменение тока на
некоторую малую, но конечную, величину не вызовет изменения угла
отклонения стрелки.
 Во всех процессах взаимодействия прибора с объектом измерения всегда
участвует внешняя среда, параметры которой могут изменяться и,
зачастую, непредсказуемым образом. Это ограничивает возможность
воспроизводимости условий измерения, а, следовательно, и результата
измерения.
 При визуальном снятии показаний прибора возможна неоднозначность в
считывании показаний прибора вследствие ограниченных возможностей
нашего глазомера.
50
 Большинство величин определяется косвенным образом на основании
наших знаний о связи искомой величины с другими величинами,
непосредственно измеряемыми приборами. Очевидно, что погрешность
косвенного измерения зависит от погрешностей всех прямых измерений.
Кроме того, в ошибки косвенного измерения свой вклад вносят и
ограниченность наших познаний об измеряемом объекте, и упрощенность
математического описания связей между величинами, и игнорирование
влияния тех величин, воздействие которых в процессе измерения
считается несущественным.
Классификация погрешностей
Значение погрешности измерения некоторой величины X принято
характеризовать:
1.
Абсолютной погрешностью – разностью между найденным на
опыте (измеренным) X изм и истинным значением X ист некоторой величины
ΔX=Xизм  Xист .
(1)
Абсолютная погрешность показывает, на сколько мы ошибаемся при
измерении некоторой величины Х.
2.
Относительной погрешностью равной отношению абсолютной
погрешности к истинному значению измеряемой величины Х
X 
X
.
X ист
(2)
Относительная погрешность показывает, на какую долю от истинного
значения величины Х мы ошибаемся.
X
Качество
результатов
измерений
какой-то
величины
характеризуется относительной погрешностью X . Величина X может быть
выражена в процентах.
Из формул (1) и (2) следует, что для нахождения абсолютной и
относительной погрешностей измерений, нужно знать не только измеренное,
но и истинное значение интересующей нас величины. Но если истинное
значение известно, то незачем производить измерения. Цель измерений
всегда состоит в том, чтобы узнать не известное заранее значение некоторой
величины и найти если не ее истинное значение, то хотя бы значение,
достаточно мало от него отличающееся. Поэтому формулы (1) и (2),
определяющие величину погрешностей на практике не пригодны. При
практических измерениях погрешности не вычисляются, а оцениваются. При
оценках учитываются условия проведения эксперимента, точность методики,
качество приборов и ряд других факторов. Наша задача: научиться строить
методику эксперимента и правильно использовать полученные на опыте
данные для того, чтобы находить достаточно близкие к истинным значения
измеряемых величин, разумно оценивать погрешности измерений.
51
Говоря о погрешностях измерений, следует, прежде всего, упомянуть о
грубых погрешностях (промахах), возникающих вследствие недосмотра
экспериментатора или неисправности аппаратуры. Грубых ошибок следует
избегать. Если установлено, что они произошли, соответствующие измерения
нужно отбрасывать.
Не связанные с грубыми ошибками погрешности опыта делятся на
случайные и систематические.
Случайные погрешности. Многократно повторяя одни и те же
измерения, можно заметить, что довольно часто их результаты не в точности
равны друг другу, а «пляшут» вокруг некоторого среднего (рис.1).
Погрешности, меняющие величину и знак от опыта к опыту, называют
случайными.
Случайные
погрешности
непроизвольно
вносятся
экспериментатором вследствие несовершенства органов чувств, случайных
внешних факторов и т.д. Если погрешность каждого отдельного измерения
принципиально непредсказуема, то они случайным образом изменяют
значение измеряемой величины. Эти погрешности можно оценить только при
помощи статистической обработки многократных измерений искомой
величины.
Систематические погрешности могут быть связаны с ошибками
приборов (неправильная шкала, неравномерно растягивающаяся пружина,
неравномерный шаг микрометрического винта, не равные плечи весов и т.д.)
и с самой постановкой опыта. Они сохраняют свою величину (и знак!) во
время эксперимента. В результате систематических погрешностей
разбросанные из-за случайных погрешностей результаты опыта колеблются
не вокруг истинного, а вокруг некоторого смещенного значения (рис.2).
Погрешность каждого измерения искомой величины можно предсказать
заранее, зная характеристики прибора.
Измеренные значения
Измеренные значения
Истинное значение
Истинное значение
Рис.1
Систематическая погрешность
Рис.2
52
Оценка случайных погрешностей прямых измерений
Пусть некоторая случайная величина х измеряется n раз в одинаковых
условиях. Результаты измерений дали набор n различных чисел
X 1 , x 2 ,....., x n .
За лучшую оценку истинного значения результата измерений
принимается среднее арифметическое значение величины х:
x
x
1
 x
2
 ...  x
n
n
n
1
  xi .
n i 1
где xi
-го измерения.
Для оценки случайной погрешности измерения существует несколько
способов. Наиболее распространена оценка с помощью стандартной или
средней квадратичной погрешности
(ее часто называют стандартной
погрешностью или стандартом измерений). Оценку
разбросу результатов измерений, которые служили для оценки истинного
значения.
Средней квадратичной погрешностью называется величина
 x  x 
n
S
2
i
i 1
n 1
где n
Если число наблюдений очень велико, то подверженная случайным
колебаниям величина S стремится к постоянном
.
Все сказанное выше о погрешностях относится к погрешностям
отдельного измерения. Однако важнее знать, насколько может уклоняться от
истинного значения x
x . Теория показывает, что
средняя квадратичная погрешность среднего арифметического S x равна
средней квадратичной погрешности отдельного результата измерений S,
деленной на корень квадратный из числа измерений n, то есть
Sx 
S
n
Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа
наблюдений.
Абсолютная погрешность среднего арифметического  x независимых
измерений оценивается по формуле:
 x  x  x  t p  S x , где tp – коэффициент Стьюдента
53
Интервальной оценкой измерений величины х является доверительный
интервал ( x -  x , x +  x ), в который попадает истинное значение с заданной
вероятностью p. Окончательный результат измерений запишется в виде
x= x   x .
Таблица 1
Коэффициенты Стьюдента
p =0,68
p =0,95
p =0,99
n
tp ,n
n
tp ,n
n
tp ,n
2
2,0
2
12,7
2
63,7
3
1,3
3
4,3
3
9,9
4
1,3
4
3,2
4
5,8
5
1,2
5
2,8
5
4,6
6
1,2
6
2,6
6
4,0
7
1,1
7
2,4
7
3,7
8
1,1
8
2,4
8
3,5
9
1,1
9
2,3
9
3,4
10
1,1
10
2,3
10
3,3
15
1,1
15
2,1
15
3,0
20
1,1
20
2,1
20
2,9
30
1,1
30
2,0
30
2,8
100
1,0
100
2,0
100
2,6
Относительная погрешность среднего арифметического
x 
x
x
 100%
Величина относительной погрешности характеризует точность
измерения.
Пример: При измерении массы таблетки на весах были получены
следующие результаты: 0, 148 г; 0,147 г; 0, 149 г; 0,150 г. Определить среднее
значение, относительную и интервальную погрешность при доверительной
вероятности 0,95%.
Решение:
54
x
0,148  0,147  0,149  0,150
 0,1485
4
Оценка стандартного отклонения
Sx 
(0,148  0,1485) 2  (0,147  0,1485) 2  (0,149  0,1485) 2  (0,150  0,1485) 2
 6  10  4
43
По таблице находим tp,n=t0,95 , 4=3,2
Абсолютная погрешность:
 x  t p  S x  3,2  0,0006  0,00192  0,002
Относительная погрешность:
x 
Истинная масса таблетки:
0,00192
 100%  1%
0,1485
x  (0,1485  0,002)
Учет приборной и случайной погрешностей
Как указывалось выше, уменьшения влияния случайных погрешностей
достигается путем многократных измерений. Увеличение числа измерений не
всегда имеет смысл, так как оно определяется соотношением между
приборной и случайной погрешностями.
Приборной погрешностью называется разность между показаниями
любого прибора и истинным значением измеряемой величины. Она может
содержать случайную и систематическую составляющие.
Приборная погрешность является паспортной характеристикой
прибора. Она определяется для всей совокупности приборов данного вида
путем сравнения показаний приборов исследуемой партии с показаниями
эталонного прибора (путем градуировки). За значение приборной
погрешности принимается наибольшее из полученных значений.
При работе с отдельным прибором конкретная величина приборной
погрешности неизвестна, но заключена в известных пределах, которые
указываются в паспортных данных прибора.
Для таких приборов как термометр, линейка погрешность равна
половине цены деления. Для стрелочных электроизмерительных приборов
погрешность определяется классом точности.
Классом точности или приведенной относительной погрешностью
электроизмерительного прибора называют выраженное в процентах
отношение максимальной абсолютной погрешности х к наибольшему
значению измеряемой величины хmax (предел измерения)., которое можно
определить данным прибором:
55
k
x
100%
xmax
Отсюда следует, что
x 
kxmax
100
Относительная погрешность зависит от величины отсчета по прибору:
kxmax
kx
x

 100  100  100  max
x
x
x
По величине относительной погрешности судят о классе точности
прибора.
Значение класса точности такого прибора маркируется рядом с его
шкалой в виде числа (не обведенного в кружок или звездочку!).
Приборные погрешности, определяемые по приведенным формулам,
представляют максимально возможную ошибку прибора. Ошибка
конкретного измерения может быть меньше.
Так, например, у вольтметра класса точности 0,2, предназначенного
для измерения напряжения до Vmax = 300 В, максимальная относительная
приборная погрешность у верхнего предела измерений равна 0,2%. А при
измерении напряжения V = 50 В максимальная относительная погрешность
возрастает до величины 1,2%. Следовательно, при измерении вблизи нуля (в
первой половине шкалы) значительно уменьшается точность измерения.
Измерения в начальной части шкалы нежелательны.
Если класс точности не указан, то за приборную погрешность можно
принять половину цены наименьшего деления на шкале. Обычно эта
величина находится в согласии с классом точности. *)
Погрешность цифровых электроизмерительных приборов обычно
указывается в паспорте прибора.
Целесообразно оценивать приборную погрешность перед проведением
измерений.
*)Как
правило, точность прибора ниже точности отсчета, который
можно сделать по шкале прибора. Например, если мы измеряем длину
миллиметровым масштабом, то легко отсчитать на глаз десятые доли
миллиметра, но обычная линейка может и не обеспечивать такой
точности. Сколько бы раз мы ни повторяли измерения, точность
полученного нами результата не превысит точности, обеспеченной при
изготовлении линейки.
56
Контрольные вопросы для закрепления:
Почему возникают погрешности измерений?
Что такое абсолютная погрешность?
Что такое относительная погрешность?
Какая погрешность характеризует качество измерения? Приведите
примеры.
5. Что такое доверительный интервал?
6. Дайте определение понятию «систематическая погрешность».
7. Каковы причины возникновения систематических погрешностей?
8. Что такое класс точности измерительного прибора?
9. Как определяются абсолютные погрешности различных физических
приборов?
10.Какие погрешности называются случайными и как они возникают?
11.Опишите
процедуру
вычисления
средней
квадратичной
погрешности.
12.Опишите процедуру расчета абсолютной случайной погрешности
прямых измерений.
13.Что такое «коэффициент надежности»?
14.От каких параметров и как зависит коэффициент Стьюдента?
1.
2.
3.
4.
Литература:
1. Омельченко В.П., Демидова А.А. Математика: Компьютерные
технологии в медицине. – Ростов н/Д:Феникс, 2008. -588 с. Ил.(Среднее профессиональное образование)
2. Теория погрешностей [электронный ресурс]: URL:
http://users.kpi.kharkov.ua/fmp/biblio/BOOK1/ref.html#ref
57