Методические указания для заочников. 2 семестр

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
математика
2семестр
методические указания
к практическим занятиям
по математике
для студентов всех специальностей
заочной формы обучения
Тюмень 2003
Утверждено редакционно-издательским советом
Тюменского государственного нефтегазового университета
Составители: Осташков В.Н., к. ф.–м.н., доцент
Скалкина М.А., к.ф.–м.н. профессор
Канова Т.А., ст. преподаватель
Рожнова В.А., ст. преподаватель
© государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Тюменский государственный нефтегазовый университет»
2003
2 семестр
Введение в математический анализ, производная и ее приложения,
дифференциальное исчисление функций двух переменных.
Числовые и степенные ряды
1. Введение в анализ
Функция. Область определения, ее способы задания. Основные элементарные функции и их графики: x n , a x , e x , log a x , ln x , sin x , cos x , tg x , arctg x , arcsin x . Основные
понятия: функции четные и нечетные, возрастающие и убывающие, монотонные, периодические. Определения, особенности графиков. Сложная функция (функция от функции),
определение. Предел функции в точке. Определение, свойства. Бесконечно малые функции
и их свойства. Бесконечно большие функции и их свойства, связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями. Первый замечательный предел lim sinx x  1 . Втоx 
рой замечательный предел lim (1  )  e . Решение данных примеров на раскрытие неx 
1 x
x
определенностей , , 0   ,    , 1 . Определение функции непрерывной на отрезке, в
точке. Определение односторонних пределов, классификация точек разрыва.
0
0


2. Производная и ее приложения
Производная функции. Определение, геометрический смысл. Вывод уравнения касательной к линии y  f (x ) . Основные правила дифференцирования (производная суммы,
произведения, частного, сложной функции). Формулы дифференцирования для основных
элементарных функций. Производные высших порядков. Механический смысл y  и y  .
Дифференциал функции. Определение, геометрический смысл. Формулировка теорем
Ролля, Лагранжа, их геометрический смысл. Формулировка правил Лопиталя раскрытия
неопределенностей 00 и  , его использование при решении примеров. Теоремы о достаточном условии возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Необходимое
условие экстремума. Сформулировать и доказать достаточное условие экстремума. Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточные условия выпуклости и вогнутости.
Точки перегиба графика функций. Как они находятся? Асимптоты графика функций. Как
находятся вертикальные и горизонтальные асимптоты? Полное исследование функции,
построение графика на данных примерах.
3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Частные производные первого и второго порядка для функции двух переменных. Исследование на экстремум функции двух переменных.
4. Ряды
Числовые ряды. Определение, сумма ряда, необходимый признак сходимости, формулировка признаков сравнения, предельный признак сравнения. Формулировка достаточных признаков сходимости положительных рядов: Даламбера, радикального признака Ко-
3
ши, их применение к исследованию сходимости данного ряда. Ряд

1
n
n 1
p
сходится тогда и
только тогда, когда p  1 . Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда, оценка остатка ряда. Абсолютная и условная сходимость рядов. Степенные ряды. Нахождение
области сходимости степенного ряда: радиус сходимости, сходимость на концах интервала. Ряды Тейлора, Маклорена, для основных элементарных функций. Их применение в
приближенных вычислениях.
§ 1. Введение в математический анализ
1.1. Элементарные функции. Следующие функции действительной переменной называются основными элементарными функциями:
1. Постоянная функция: y  c , c  R (рис. 1);
2. Степенная функция: y  x a , a  R (рис. 2.a, 2.б, 2.в);
3. Показательная функция: y  a x , a  0 , a  1 (рис. 3.a, 3.б);
4. Логарифмическая функция: y  log a x , a  0 , a  1 (рис. 4.a, 4.б);
. 5. Тригонометрические функции: y  sin x , y  cos x , y  tg x , y  ctg x
(рис 5.a, 5.б, 5.в, 5.г);
6. Обратные тригонометрические функции: y  arcsin x , y  arccos x ,
y  arctg x , y  arcctg x (рис. 6.a, 6.б, 6.в, 6.г).
Рис. 1
Рис. 2.а
4
Рис. 2.б
Рис. 2.в
Рис. 4. а
Рис. 3.а
Рис. 3.б
Рис. 4.б
Рис. 6. а
Рис. 5.б
Рис. 5.а
Рис. 5.г
Рис. 5.в
5
Рис. 6.б
Рис. 6.г
Рис. 6.в
Основные элементарные функции, их области определения, свойства,
графики изучаются в средней школе. Повторению этого материала посвящены задания 101-110.
Функция, полученная в результате последовательного выполнения – композиции функций u  g (x) и y  f (u ) , называется сложной функцией:
( f  g )( x)  f ( g ( x)) .
Элементарной функцией называется всякая функция, которая может быть
получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа
арифметических операций, примененных к ним, и конечного числа их композиций.
Например, функция y  ax  b , где a, b  R , называется линейной, является элементарной, так как она получена с помощью сложения функции, путем
умножения постоянной функции y1  a на степенную функцию y 2  x 1 , и постоянной функции y 3  b .
Область определения функции y  f (x) обозначают D f или просто D .
Графиком функции y  f (x) называется множество


Г f  ( x; f ( x))  R 2 x  D f .
всех точек координатной плоскости R 2 с координатами ( x, f ( x) ), причем аргумент x пробегает всю область определения D f .
Преобразование графиков. При построении графиков функции часто используют следующие простые геометрические рассуждения. Если Г - график
функции y  f (x) , то:
1) график функции y1   f ( x) есть зеркальное отражение графика Г относительно оси Ox ;
6
2) график функции y 2  f ( x) - зеркальное отражение графика Г относительно оси Oy ;
3) график функции y 3  f ( x  a) - смещение графика Г вдоль оси Ox на
величину а;
4) график функции y 4  b  f ( x) - смещение графика Г вдоль оси Oy на
величину b .
5) график функции y 5  f (ax ) , a  0, a  1 - сжатие графика Г в a раз
(при a  1) или растяжение в 1a раз (при 0  a  1) вдоль оси Ox ;
6) график функции y 6  bf ( x) , b  0 , b  1 - растяжение графика Г в b раз
(при b  1 ) или сжатие в b1 раз (при 0  b  1) вдоль оси Oy .
П р и м е р 1. Найти область определения для данных функций и построить их графики.
а) y  2  8  x 2  2 x ;
б) y  13 ln( x  1) .
Р е ш е н и е. а) Функция определена, если 8  x 2  2 x  0 или
x 2  2 x  8  0 . Так как корни уравнения x 2  2 x  8  0 равны  2 и 4 , неравенство справедливо в отрезке  2; 4 .
Итак, D :  2; 4 , значения функции y  2 . Составим таблицу значений
функции и построим ее график
-2
-1
0
1
2
3
4
x
y
-2
0,2
0,8
1
0,8
0,2
-2
Заметим, что эта кривая – часть окружности, в чем легко убедиться
( y  2) 2  8  x 2  2 x  ( x  1) 2  9 , или ( x  1) 2  ( y  2) 2  9 – окружность с
центром в точке C (1;  2) , радиусом R  3 . Так как y  2 графиком данной
функции является верхняя половина этой окружности (см. рис 7.a).
Рис. 7.а
Рис. 7.б
б ) Логарифмическая функция определена для положительных аргументов, т. е. x  1  0 , значит D: x  1. График можно построить по точкам,
7
можно преобразовывая график функции y  ln x , сместив его влево на 1 и
сжав в 3 раза вдоль оси Oy (см. рис. 7.б) .
1. 2. Предел функции
1. При вычислении предела функции f (x) обычно руководствуются следующими соображениями.
1) Для всякой элементарной функции f (x) справедливо равенство
lim f ( x)  f (a ) при любых a  Df .
xa
2) Если a  Df и функция f (x) определена в некоторой окрестности точки a , то вычисление предела (раскрытие неопределенностей вида
0 
; ; 0  ;   ; 1 ) — достаточно сложная задача. Рассмотрим типичные
0 
случаи.
2. Рациональные функции. Если рациональная функция имеет вид
Q ( x)
f ( x)  Pnm( x ) , где Pn (x ) и Qm (x) - некоторые многочлены, причем Pn (a )  0 ,
то возможны два случая:
а) Qm (a)  0 , тогда lim
Qm ( x )
xa Pn ( x )
  , и б) Qm (a)  0 ; в этом случае непосред-
ственная подстановка x  a в дробь
Qm ( x )
Pn ( x )
приводит к неопределенности вида
00 , которую мы будем условно записывать так: lim
Qm ( x )
x a Pn ( x )
 00 . Для раскрытия
неопределенности, как правило, приходится разлагать числитель и знаменатель на множители и сокращать на линейный множитель ( x  a) .
П р и м е ч а н и е. Если Pn (a )  0 , то a принадлежит области определения
D функции
Qm ( x )
,
Pn ( x )
и поэтому ее предел в точке a равен значению функции:
Qm ( x )
x  a Pn ( x )
lim

Qm ( a )
.
Pn ( a )
x 3 1
.
2
x 1 x 1
П р и м е р 2. Вычислить: lim
  xlim1 ( x(x1)(1x)( xx1) 1)  xlim1 x xx11  32 .
2
x 3 1
 00
2
x 1 x 1
Р е ш е н и е. lim
2
3. Иррациональные функции. Если неопределенное выражение содержит
иррациональность, то, умножая на сопряженное выражение числитель и знаменатель, переводят иррациональность из знаменателя в числитель или
наоборот.
8
x2 4 2
П р и м е р 3. Вычислить: lim
x 0
Р е ш е н и е. lim
x 0
x2 4 2
x 2  9 3
 lim

x 2 9 3
00  xlim0 ((
x 2 ( x 2  9  3)
x 2  4  2)( x 2  4  2)( x 2  9  3)
x 2  9  3)( x 2  9  3)( x 2  4  2)
x 2 9 3
 lim
x  0 x ( x  4  2)
2
.
 32 .
x 0 x  4  2
2

2
4. Предел при x   . При вычислении предела при x   делают замену
переменных t  1x (тогда t  0 ) либо делят числитель и знаменатель на
наивысшую степень x , входящую в выражение.
x 2  x 3 1
.
2
x  2 x 5
П р и м е р 4. Вычислить lim
Р е ш е н и е.
2
3
lim x  2 x 1
x 2 x 5

   xlim

1 1x  14
x
2 52
 12 .
x
5. Первый замечательный предел
sin x
lim
1
x 0 x
используется при раскрытии неопределенностей вида
(1)
00  в тригонометриче-
ских выражениях.
tg x
.
x 0 x
П р и м е р 5. Вычислить lim
tg x
x 0 x
Р е ш е н и е. lim

00  xlim0 xsincosxx  xlim0 sinx x xlim0 cos1 x  1.
1cos x .
2
x0 sin x
П р и м е р 6. Вычислить lim
Р е ш е н и е.
x
lim 1 cos
2
sin
x
x 0

  xlim0 sin
2 sin 2 2x
0
0
 2 lim
sin 2x sin 2x

x
x 0 2
x
2
6. Второй замечательный предел
9
2
x
 2 lim
sin 2x
x  0 sin x sin x
1
1
x
x
 sin2 x  sin2 x  12 .

x


 lim (1  x)
x 
x 0
lim 1  1x
1
x
 e  2,7182818284 59045 ...
(2)
используют при вычислении пределов вида lim u ( x) v ( x ) , где
xa
lim u ( x)  1
lim v( x)  
x a
x a

(что дает неопределенность вида 1 ).
x 2 x .

x  3 x
П р и м е р 7. Вычислить lim
Р е ш е н и е.
 
2x
lim 3x x
x 
 

1
 lim  311 
x   x 
2x
 lim 1 
x 

3 2 x
x
 lim  1 
x  
3
x

x
3


6
 e 6 .
1.3. Непрерывность функции
1. О п р е д е л е н и е . Функция y  f (x) с областью определения D называется непрерывной в точке x 0 , если выполнены следующие три условия:
а) функция y  f (x) определена в точке x 0 , т. е. x 0  D ;
б) существует lim f ( x) ;
x x0
в) lim f ( x)  f ( x0 ) .
x  x0
2. Теорема. Все элементарные функции непрерывны в области определения.
3. Точки разрыва. Если не выполнено хотя бы одно из условий определения (1), точка x 0 называется точкой разрыва функции y  f (x) . При этом
различают следующие случаи:
а) lim f ( x)  A существует, но функция не определена в точке x 0 или
x  x0
A  f ( x 0 ) .В этом случае x0 называется точкой устранимого разрыва.
б) lim f ( x) не существует, но при этом существуют оба односторонних
x x0
предела и они не равны друг другу:
lim f ( x)  lim f ( x) ,тогда точка x 0 называется точкой разрыва I рода.
x  x0  0
x  x0 0
в) в остальных случаях точка x 0 называется точкой разрыва II рода.
П р и м е р 8. Исследовать на непрерывность функцию
2 x ,
   x  1,
1
f ( x)   x 1 ,
1  x  3,
 x  2,5 , 3  x  .

10
Р е ш е н и е. Функция задана на трех промежутках разными формулами.
На каждом из промежутков функция непрерывна (см. рис. 8.). Рассмотрим
границы промежутков: x  1 и x  3 . В точке x  1 замечаем, что
lim f ( x)  lim 2 x  2;
x 1 0
x 1
lim f ( x)  lim
x 1 0
1
x 1 x 1
 .
Следовательно, x  1 — точка разрыва II рода. В
точке x  3 вычисляем:
lim f ( x)  lim x11  0,5; lim f ( x)  lim ( x  2, 5)  0,5; f (3)  0, 5.
x 3  0
x 3
x 3  0
x 3
Таким образом, в точке x  3 функция непрерывна.
Рис. 8
§ 2. Производная и ее приложения
2.1. Производной функции y  f (x) называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
y
x  0 x
f ( x)  lim
f ( x  x )  f ( x )
x
x  0
 lim
.
Если этот предел конечный, то производная существует и функция f (x)
называется дифференцируемой в точке x . Производная обозначается также
y (x ) или
dy
dx
. Процесс нахождения производной называется дифференциро-
ванием функции.
Правила дифференцирования функций. Пусть C  R - постоянная,
u  u(x) , v  v(x) - функции, имеющие производные.
1. C   0 .
2. (Cu )  = C  u  .
3. (u  v)   u   v  .
4. (u  v)   u   v  u  v  .

5. uv  u v 2uv , v  0 .

v
6. Правило дифференцирования сложной функции. Если функция y  f (u )
дифференцируемая по u , а функция u   (x) - по x, то сложная функция
y  f ( ( x)) имеет производную y   f (u )  u ( x) .
Таблица производных элементарных функций
1. (u n )   n  u n 1u  .
11
  u1    uu .

1б. u 1 
 u   2u u .

2. a   a  ln a  u  .
1а.
u
   e
u
2а. e u
3. log a u   u uln a .

4. sin u   cos u  u  .
6. tg u   u  .
10. arctg u 
 
u
1 u
 u 2
1 u
2
u
 u .
3а. ln u   uu .

5. cos u    sin u  u  .
7. ctg u    u  .
cos 2 u
8. arcsin u  
2
sin 2 u
9. arccos u   
.
11. arcctg u 
.
u
1 u 2
  u 2 .
1 u
.

12. u v  v  u v1  u   u v  ln u  v (вывод этой формулы дан ниже).
Производные второго порядка. Производной второго порядка (второй
производной) от функции y  f (x) называется производная от ее производной, т. е.
f ( x)  ( f ( x))  .
d2y


Вторую производную также обозначают y (x) или 2 . Производная от проdx
изводной второго порядка называется производной третьего порядка и т. д.
Производную n -го порядка обозначают y (n) ( x) или
dny
dx n
.
П р и м е р 1. Используя правила дифференцирования и таблицу производных, найдем производные следующих функций:
1) y  4 3x  5 x 2 
7
x3
2) y  5 (1  3x 2 ) 3 ,
,
4) y  lntg( 4  x) ,
3) y  x 2 arcsin x ,
5) y 
x
x3 ,
x 3
sin x
6) y  e 3  cos2 2 x ,
7) y  2
.
Р е ш е н и е. 1) Перепишем данную функцию, записав слагаемые в виде
1
степени: y  4 3  x 4  5 x 2  7 x  3 . Тогда y   (4 3  x 4 )  (5x 2 )  (7 x 3 ) 
 4 3  14 x
 34
 10 x  7(3) x  4 
1
43
44 x
 10 x 
21
x4
.
3
2) Записываем данную функцию в виде степени: y  (1  3x 2 ) 5 и вычисля12
ем: y   53 (1  3 x 2 )
 52
2
 (1  3x 2 )  53 (1  3x 2 ) 5 6 x 
18
5 (1 3 x 2 ) 2
5
.
3) Применив формулу 4 правил дифференцирования, находим:
2
y   ( x 2 )  arcsin x  x 2  (arcsin x)  2 x  arcsin x  x 2 .
1 x

4) Дифференцируя функцию y  ln tg( 4  x) как сложную находим производную:
y 
( tg ( 4  x ))
tg ( 4  x )

( 4  x )
1

tg ( 4  x ) cos 2 ( 4  x )

1
sin(
  x )cos(   x )
4
4

2
sin(
 2 x )
2
 cos22 x
.
5) В соответствии с формулой 5 правил дифференцирования получаем:
y 
( x 3 ) ( x  3)  x 3 ( x  3) 
( x  3)
2
3 x 2 ( x  3)  x 3

( x  3)
2
9 x 2
( x  3) 2
 2x
3
.
6) По аналогии с примером 3 находим:

x
x
x
 3x 
y    e   cos2 2 x  e 3  (cos2 2 x)  13 e 3  cos2 2 x  e 3  2 cos 2 x  ( sin 2 x)  2 
 

x
1e3
3
 cos 2 x 
2
x
3
2e
sin 4 x
.
7) Так как данная функция - показательная, то, согласно формуле 2
y  2
2
sin x
sin x
 ln 2  ( sin x )  2
cos x ln 2
sin x
 ln 2 
1
1 (sin x )  2
2
 cos x 
1 .
2 sin x
Степенно - показательная функция. Выведем формулу для производной
степенно - показательной функции y  u v , считая что u и v дифференцируемые функции и u  0 .
Р е ш е н и е. Логарифмируя равенство y  u v и дифференцируя обе части

полученного равенства ln y  v ln u , находим: yy  v  ln u  v uu . Следовательно, y   y(v  ln u  v uu )  u v (v  ln u  v uu )  u v v  ln u  vu v 1u  .
Таким
образом,
получили (u v )   vu v 1u   u v ln u  v  .
Замечание. Степенно – показательная функция дифференцируется как
степенная плюс как показательная. Например, производная функции
y  (7 x) cos x ( x  0) , равна
y  cos x  (7 x)cos x 1  (7 x)  (7 x)cos x  ln( 7 x)  (cos x) 
 7 cos x  (7 x)cos x 1  (7 x)cos x  ln( 7 x)  sin x .
13
2. 2. Геометрические приложения производной
Т е о р е м а. Если кривая задана уравнением y  f (x) , то значение f ( x 0 )
производной f (x) в точке x0 , равно угловому коэффициенту k касательной
к кривой в точке M 0  x 0 , y 0  : f ( x0 )  k  tg  , где
y0  f ( x0 ) (см. рис 9).
Уравнение касательной к кривой y  f (x) в точке
M 0 ( x 0 , y 0 ) имеет вид:
y  y 0  k ( x  x 0 ), или y  f ( x 0 )  f ( x 0 )  ( x  x 0 ) .
О п р е д е л е н и е. Углом между двумя кривыми в
точке их пересечения называется угол между касаРис. 9
тельными к кривым в этой точке.
Угол θ между прямыми с угловыми коэффициентами k 1 и k 2 находится по формуле:
k  k1
2 k1
tgθ   12k
,
причем знак “плюс” соответствует острому углу θ, а знак “минус” – тупому.
Если k1 k 2  1, то касательные — взаимно перпендикулярны, а кривые
называются ортогональными.
П р и м е р 2 . Найти уравнение касательной к графику функции
y  x 2  4 x  3 , которая параллельна прямой y  2 x  4 . Сделать чертеж.
Р е ш е н и е. График функции y  x 2  4 x  3 – парабола. Так как y  0
при x1  1 , x 2  3 , то вершиной параболы является точка (2; –1). По условию,
касательная t к параболе и данная прямая m с уравнением y  2 x  4 параллельны, значит, их угловые коэффициенты равны:
k1  y1  2 x  4 , k 2  y 2  2 ,
k1  k 2  2 x  4  2  x  3 .
Следовательно, x 0  3 - абсцисса точки
касания M 0 параболы и прямой t ,
Рис. 10
2
y 0  x 0  4 x 0  3  0 – ее ордината. Таким образом, уравнение касательной t имеет вид:
y  0  2( x  3) или y  2 x  6 . (рис.10)
2. 3. Дифференцирование функций, заданных параметрически
14
Если функция y  f (x) задана параметрически двумя уравнениями
x   (t ) , y  ψ (t ) , t  ( ;  ) , то ее производные вычисляются по формулам:
dy
dx

y t
xt
,
dy
d2y

dx 2
( dx ) t

xt
xt ytt  xtt yt
xt 3
.
П р и м е ч а н и е. Производные по аргументу t иногда, следуя Исааку
Ньютону, обозначают точками наверху:
dy
dt
 yt  y ,
d2y
dt 2
 ytt  y ,
d 3t
dt 3
 y. В
этих обозначениях формулы, по которым находятся производные параметрически заданной функции, принимают вид:
dy
dx
П р и м е р 3. Найти
dy
dx
d2y
y
 x ,
d2y
и
dx 2
dx
2

( y x )t
x

x y  xy
x 3
.
, если функция y  y(x) задана параметриче-
ски:
 x  t 3  3t  1,

2
 y  3t  5t ,
t R .
Р е ш е н и е. Последовательно находим: x  3t 2  3 , x  6t ; y  6t  5 ;
y  6 ;
dy
dx

y
x

6t  5
3t 2  3
,
d2y
dx2

x y xy
x 3

(3t 2 3)66t (6t 5)
(3t 2 3)3

6t 2 10t 6 .
9(t 2 1)3
2. 4. Дифференцирование неявных функций
Говорят, что уравнение F ( x; y)  0 задает неявно функцию y  y(x) , на
интервале (a; b) , если для всех x  (a; b) выполняется равенство
F ( x, y( x))  0 .
Для вычисления производной функции y  y (x) следует продифференцировать по x тождество F ( x; y)  0 , помня, что y есть функция от x , а затем
полученное уравнение разрешить относительно y (x ) .
П р и м е р 4. Найти значение
dy
dx
в точке M (1;  1) для функции, заданной
неявно уравнением x 3  2 x 2 y 2  5 x  y  3  0 .
Р е ш е н и е. Продифференцируем обе части уравнения по x (не забываем,
что y зависит от x ):
3x 2  4 xy 2  2 x 2 2 yy   5  y   0 , y   4 x 2 yy   4 xy 2  3x 2  5 ,
y 
4 xy 2 3 x 2 5
1 4 x y
2
, y ( M )  y (1;  1)  41( 1) 231
2
2
1 41 ( 1)
15
5
  54 .
2. 5. Правило Лопиталя
1. При раскрытии неопределенностей  00 ;   ; кроме классических методов вычисления пределов, рассмотренных ранее, во многих случаях можно
пользоваться правилом Лопиталя - Бернулли:
если lim f ( x)  lim g ( x)  0 или lim f ( x)  lim g ( x)   и существует
x a
xa
x a

lim gf (( xx))
xa
предел отношения их производных
, то
Это правило справедливо и в случае a   .
x a
lim gf (( xx))
x a
f ( x )

g
x a ( x )
 lim
.
e 1) 
e
  xlim0 ((sin
 lim cos
 1.
x)
x
x 0
x
П р и м е р 6. lim sin x  x  00   lim cos x 1  00   lim  sin
  16 .
6
x
x 0 x
x 0 3x
x 0
x
e x 1
 00
sin
x
x 0
П р и м е р 5. lim
x
3
2
Здесь мы дважды применили правило Лопиталя и воспользовались первым замечательным пределом.
1
П р и м е р 7. lim lnxx     lim x1  0 .
x
x
2. При раскрытии неопределенностей 0  ;    для применения правила Лопиталя, данное выражение надо преобразовать в отношение двух
функций (в неопределенность 00  или   ).
П р и м е р 8. lim xe x    0  lim
x 
П р и м е р 9. lim ctgx  1x      
x0
    lim
1
x 

e
x 
x sin x
lim x cosx sin
 00 
x
x0
x
x
e
x 
0.

 sin x  x cos x  0  0 .
00   xlim
cos
x  cos x  x sin x
2
0

неопределенностей 0 ;  ; 1  рекомендуется
 x sin x
sin
x  x cos x
x 0
 lim

0
0
3. При раскрытии
найти предварительно предел логарифма искомой функции.
1
 
П р и м е р 10. lim ( x  2 x ) x   0 .
x
1
Р е ш е н и е. Введем обозначение y  ( x  2 x ) x , тогда ln y  1x ln( x  2 x ) .
ln( x  2 x )
x
x  
lim ln y  lim
x  
2 x ln 2 2
x
x 1 2 ln 2
 lim
Так как lim ln y  ln 2  lim y  2 .
x  

   x lim 1x2x2lnx 2 
ln 2 2
x
x 2 ln 2
 lim
 ln 2 .
x  
2. 6. Исследование функции и построение ее графика
Для построения графика функции y  f (x) сначала проводим элементар-
16
ное исследование: находим область определения, асимптоты, выясняем некоторые особенности функции (если они имеются), т. е. точки пересечения с
осями координат, симметрия, периодичность. Затем, используя первую производную, находим интервалы монотонности, экстремумы, а по второй производной — интервалы выпуклости, точки перегиба.
Рекомендуется исследование сопровождать последовательным построением графика функции.
П р и м е р 1. построить график функции y 
x4
x 3 1
.
Р е ш е н и е. 1. Область определения данной функции представляет собой
множество D  x  R x  1 (см. рис. 11).
D  (; 1)  (1;  )
2. Пределы функции в точках разрыва и на концах области определения
(данная функция имеет одну точку разрыва):
x4
  ; lim y
3
x 1 x 1
x  
lim y  lim
x 1
  ; lim y   .
x  
Рис. 11
3. Асимптоты. Если lim f ( x)   , то прямая x  a — вертикальная
xa
асимптота. В нашем случае вертикальная асимптота имеет уравнение x  1 .
Прямая y  kx  b является наклонной асимптотой, если существуют конечные пределы
k  lim f (xx ) и b  lim ( f ( x)  kx ) .
x 
Так как k  lim
4
x
3
x   ( x 1) x
x 
4
 1 ; b  lim  x3  x   0 , то наклонная асимптота

x  x 1
имеет уравнение y  x .
Если lim f ( x)  h , то y  h — горизонтальная асимптота.
x 
4. Точки пересечения графика с осями координат дают: во-первых, нули
функции f (x) (чтобы их найти, необходимо решить уравнение f ( x)  0 ) и,
во-вторых, значение y 0  f (0) , если 0  D . Так как для данной функции
y  0  x  0 , то график проходит через точку О (0; 0) .
5. Симметрия. Функция f (x) – четная, если f ( x)  f ( x) ; ее график
симметричен относительно оси Oy . Функция f (x) – нечетная, если
f ( x)   f ( x) ; ее график симметричен относительно начала координат. В
17
нашем случае
f ( x) 
x4
;
x 3 1
( x) 4
f ( x) 
(  x ) 3 1

x4
,
x 3 1
т. е. f ( x)  f ( x) и f ( x)   f ( x) , следовательно, симметрии относительно
осей координат у графика нет.
6. Периодичность. Если для некоторого числа T  R * выполняется равенство f ( x  T )  f ( x) для всех x  D , то функция f (x) – периодическая с
периодом T . Очевидно, наша функция не является периодической.
7. Находим первую производную: f ( x)  y 
x6 4x3
( x 3 1) 2
.
8. Находим критические точки ( т. е. точки, в которых f ( x)  0 или
f (x) не существует), отмечаем их на области определения функции (см. рис.
12) - получаем интервалы знакопостоянства производной f (x) :
y  0  x 6  4 x3  0  x3 ( x3  4)  0  x1  0, x2  3 4  1,59 .
Всюду в области определения D первая производная существует.
Рис. 12
9. Промежутки монотонности. Определяем знак производной в каждом
); а там, где
интервале. Там, где f ( x)  0 , функция возрастает (
f ( x)  0 ,
она убывает (
).
Результаты исследования сводим в табл. 1
Таблица 1
3
(; 0 )
0
(0; 1)
1
x
(3 4;   )
(1; 3 4 )
4
+
0
–
–
0
+
y

y



10. Экстремальные значения (если они есть):
y max  y (0)  0; ymin  y (3 4 )  43 3 4  2,12 .
12 x 2
( x 3 1) 3
11. Вторая производная: f ( x)  y  6 x
5
.
12. Интервалы знакопостоянства второй производной. Находим точки, в
которых f ( x)  0 или не существует, отмечаем их на области определения
18
функции (см. рис. 13). Получим интервалы знакопостоянства f (x ) .
y  0  6 x5  12 x 2  0  6 x 2 ( x3  2)  0 
 x1  0 , x2  3 2  1,26 .
Вторая производная существует для всех x  D .
13. Промежутки выпуклости и вогнутости. Определяем знак производной f (x ) в каждом интервале. Кривая является вогнутой при тех значениях
аргумента x , при которых f ( x)  0 (в окрестности точки вогнутости график
располагается над касательной к нему в этой точке; в таблице интервал вогнутости будем обозначать символом  ). Кривая в точке x является выпуклой, если в этой точке f ( x)  0 (в этой точке график располагается под касательной и выпуклостью вверх  ). Результаты сводим в табл. 2.
Рис. 13
x
( ;  3 2 )  3 2
y 
+
0
y

т. п.
Таблица 2
(1;   )
(  3 2; 0 )
0
( 0; 1)
1
–
0
–

+


14. Точки перегиба. Находим значение y m.
n.
 y(3 2 )   23 3 2  0,84 ,
тем самым определяем точку M (3 2;  23 3 2 ) — точку перегиба. Касательная
к графику в точке M помогает уточнить, в каком направлении проходит в
этой точке график. Поэтому полезно вычислить угловой коэффициент этой
касательной: f (3 2 )  43 и провести в точке M такую часть касательной
(обычно около 1 сантиметра), которая делает ясным прохождение кривой в
окрестности точки перегиба (см. рис. 14).
15. Строим график (если необходимо, находим несколько дополнительных точек).
П р и м е р 2. Построить график функции y  1  ln xx 11 .
19
Р е ш е н и е. 1. Область определения данной функции представляет собой
множество D  x  R xx11  0 (см. рис. 15).
D  (;  1)  (1;  )
Функция определена и непрерывна вне отрезка  1; 1 .

x  1

2. lim y  lim 1  ln xx 11   ; lim y  1 , так как lim
x  1
x
x 1
 1,
x
x   1
ln 1  0 .
3. x  1 и x  1 — вертикальные асимптоты; y  1 — горизонтальная
Рис. 15
асимптота.
4. x  0  D  график не пересекает ось Oy ; y  0 :
ln
x 1
x 1
 1  ln( e 1 ) ;
5. 6. нет.
7-10. y 
2
x 2 1
x 1
x 1
1
 e 1 ; x  1e 1  2,16 , так как e 1  0,367879 .
1e
 0 для всех x  D . Следовательно, функция возрастает на
интервалах (;  1) и (1;  ) .
11-14. y   24 x 2 ; y  имеет знак тот же, что и аргумент x : x  0  y   0 :
( x 1)
(1;  ) – выпуклость вниз, т. е. вогнутость () ;
x  0  y   0 : (;  1) – выпуклость вверх () . Точек перегиба нет.
15. Строим график (см. рис.16).
Рис. 16
Рис. 14
20
П р и м е р 3. Построить график функции y  x 2 e 2 x .
Р е ш е н и е. Очевидно, D  R , y(0)  0 , y  0 для всех x  D . Точек разрыва и вертикальных асимптот нет.
lim y  lim x 2 e 2  x         ,
x  
x  
так как lim e x   ;
x  
lim y  lim x 2 e 2  x    0 , так как
x  
x  
lim e x  0 . Неопределенность   0
x  
раскрываем, дважды применив правило
Лопиталя (см. 2.5.):
lim x 2 e 2  x  lim
x  
x2
x   e
( 2 x )
Рис. 17
 0  y  0 — горизонтальная асимптота при
x   .
Находим первую производную: y  (2 x  x 2 )e 2  x . Ищем критические
точки: y  0  2 x  x 2  0  x1  0 , x2  2 .
( ;  2 )
+
x
y
y
2
0
( 2; 0)
–
( 0;   )
+
0
0
y max  y (2)  4 ; y min  y (0)  0 ;
y  ( x 2  4 x  2)e2  x ; y  0  x 2  4 x  2  0 ;
x1  2  2  0,6 ; x2  2  2  3,4 .
x
( ;  2  2 )  2  2 ( 2  2 ;  2  2 )
y 
y
+

2  2
–
0
т. п.
( 2  2 ;   )
0
т. п.

y m. n.  y (2  2 )  (2  2 ) 2 e 
2
 0,73 ; M 1 (0,6; 0,73) ;
y m. n.  y (2  2 )  (2  2 ) 2 e
2
 1,41 ; M 2 (3,4; 1,41) .
Найдем дополнительно значение функции при x  1:
21
+

y  (1)  e 3  20,1
и построим ее график (см. рис.17).
§ 3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
3.1. Частные производные первого порядка. Частной производной функции z  f ( x, y) по переменной x называется конечный предел.
f ( x  x, y )  f ( x, y )
x
x  0
lim
 xz  f x ( x; y) ,
т. е. чтобы найти частную производную z  f ( x, y ) по x , надо y считать постоянной и руководствоваться обычными правилами и формулами дифференцирования.
Аналогично определяется и производная z по y : yz  f y ( x; y ) .
П р и м е р 1. z  x3  3xy 2  5 y 4  8 . Найти z x и z y .
Р е ш е н и е. Полагаем y - равно постоянной: zx  3x 2  3 y 2 ; Если x - постоянная, то z y  6 xy  20 y 3 .
П р и м е р 2. z  x y . Найти z x и z y .
Р е ш е н и е. Если y постоянная, то это степенная функция: z x  yx y 1 ,
при x  const , z показательная функция z y  x y ln x .
3.2. Частные производные второго порядка.
 
( z x )x  z xx
2
2z
x
  z;
( z x )y  z xy
yx
;
2
 
( z x )y  z yy
  z;
( z y )x  z yx
xy
2
2z
y 2
.
Для большого класса функций смешанные производные равны, т. е.
  z xy
 .
z yx
П р и м е р 3. z  y ln x . Убедиться, что смешанные производные равны.
Р е ш е н и е. z x 
z y 
1
2 y
y
x
  ( z x )y  1 
; z xy
x
  ( z y ) x 
 ln x ; z yx
1
,
2 y
1 1.
2 y x
  z xy
 .
Таким образом, z yx
П р и м е р 4. Показать, что функция z  y sin( x 2  y 2 ) удовлетворяет
уравнению
1 z
x x
 1y  yz 
z
y2
.
22
Р е ш е н и е. Находим
z
y
z
x
 2 xy cos(x 2  y 2 ) ;
 sin( x 2  y 2 )  2 y 2 cos(x 2  y 2 ) . Подставляем найденные выражения в ле-
вую часть уравнения 2 y cos(x 2  y 2 )  1y sin( x 2  y 2 )  2 y cos(x 2  y 2 ) 
 1y sin( x 2  y 2 ) 
z
y2
, что и требовалось.
§ 4. Ряды
4.1 Числовые ряды
Пусть дана бесконечная числовая последовательность – u1 , u 2 , ..., u n , ...
Выражение вида

 u n  u1  u 2  ...  u n  ... – называется числовым
n 1
рядом, u n – общим членом ряда.
Сумму первых n членов ряда называют n - ой частичной суммой
S n  u1  u2  ...  u n
Ряд называют сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм, т.е. lim S n  S . Число S называют суммой ряда.
n 
Если lim S n   или не существует, ряд называют расходящимся.
П р и м е р 1. Ряд составленный из членов геометрической прогрессии сходится тогда и только тогда, когда q  1 .
Доказательство. Дан ряд a  aq  aq 2  ...  aq n  ...
S n  a  aq  ...  aq n 
a  aq n
1 q
.
При q  1 : lim S n  1aq - ряд сходится. Если q  1 , то lim S n   или не
n 
n
существует, ряд расходится. Итак,

 aq n  1aq
( q  1 ).
n0
Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то lim u n  0 .
n 
Таким образом, если lim u n  0 , то ряд расходится.
n 
П р и м е р 2. Покажем, что ряд

 nn2 14
2
n 1
23
расходится.
Р е ш е н и е: u n 
n 2 1
- общий член ряда; lim u n  lim
n2 4
n 2 1
n  n 2  4
n 
 1  0 , зна-
чит ряд расходится.
Перечислим основные достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда
u1  u 2  ...  u n  ...
(1)
1   2  ... n  ...,
(2)
причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда
(2), т. е. u n   n для всех n . Тогда, если сходится ряд (2), сходится и ряд (1),
если расходится (1), то расходится (2).
Второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуu
ля предел lim  n  k  0 , то оба ряда (1) и (2) одновременно сходятся или одn  n
новременно расходятся.
Признак Даламбера. Если для ряда

 un
u n 1
n  u n
существует предел lim
n 1
q,
то этот ряд сходится при q  1 и расходится при q  1.
П р и м е р 3.

 2nn
n 1
 lim
( n 1) 2
n  2
n1
n
n
n 1 1
2
n  n
 12 lim
П р и м е р 4.

 3n3
n
n 1
u n1
n  u n
lim
сходится, так как un 
3n1  n 3
3 n
n  ( n 1) 3
 lim
n
2n
; un 1 
n 1
2 n 1
u n 1
n  u n
, lim
 1.
n
расходится, так как u n  3 3 ; u n 1 
n
n3
3
n  ( n 1)
 3 lim
Признак Коши. Если для ряда
3 n1
( n 1) 3
;
 3  1.

 un
n 1
существует lim
n 
n
u n  q , то при q  1
ряд сходится, при q  1 расходится.
П р и м е р 5.

 ( 2nn15 ) n
n 1
lim
n 
n

сходится, так как un  ( 2nn15 ) n ;
u n  12  1
24
nu
n
 2nn15 ;
Признак Дирихле. Ряд

 n1p
сходится тогда и только тогда, когда p  1 .
n 1
П р и м е р 6. Гармонический ряд
 n12
П р и м е р 8. Ряд
 1n
расходится, так как p  1 .
n 1

П р и м е р 7. Ряд

сходится, так как p  2 .
n 1

 nn224
расходится, так как его можно сравнивать по
n 1
второму признаку с гармоническим рядом, который расходится.
n  2 ~ 1 (при n   ).
2
n
П р и м е р 9.
n 4


n2
4
n 1n  4
сходится, так как
n 2 ~ 1
n4  4 n 3
, ряд

 n13
сходится
n 1
( p  3) , значит по второму признаку сравнения сходится и данный ряд.
Для знакочередующего ряда
u1  u2  u3  u4  ...  ( 1) n un  ...
u k  0 для всех k , справедлив признак сходимости Лейбница.
Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов
монотонно убывают, а общий член стремится к нулю, т. е.
1) u1  u 2  u 3  ...
2) lim u n  0
n 
П р и м е р 10.


n 1
(1) n
n
сходится, так как
1) u1  1 ; u 2  12 ; u3  13 , …, т. е. 1  12  13  ...;
2) lim un  lim
1
n  n
n 
 0.
Абсолютная и условная сходимость. Рассмотрим знакопеременный ряд

 u n  u1  u 2  ...  u n  ...
n 1


n 1
и ряд из абсолютных величин членов ряда
u n  u1  u 2  ...  u n  ...
Если сходится ряд


n 1
u n , то сходится исходный ряд и называется абсо-
лютно сходящимся.
25

 u n называют условно сходящимся, если ряд
Сходящийся ряд
n 1
расходится.
П р и м е р 11.


n 1
1
n

n 1

( 1) n
n 1



1
1
n2
n

n 1
un
сходится (по признаку Лейбница), а ряд
расходится ( p  12 ) , значит, данный ряд сходится условно.
П р и м е р 12.

( 1) n
 n 2 1
сходится абсолютно, так как ряд
n 1
( p  2) .


 n211
сходится
n 1
4.2. Степенные ряды
Ряд вида

a 0  a1 ( x  x0 )  a 2 ( x  x0 )  ...  a n ( x  x0 )  ...   a n ( x  x0 ) n
2
n
n 0
называется степенным.
Числа a 0 , a1 , …, a n ,… – коэффициенты ряда (действительные числа), x0 –
центр ряда (также действительное число).
Теорема (об области сходимости степенного ряда):
Для всякого степенного ряда существует интервал сходимости с центром
в точке x0 : x  x 0  R , внутри которого степенной ряд абсолютно сходится
и вне которого расходится.
На концах интервала x  x 0  R требуется дополнительное исследование.
П р и м е р 13. Найти интервал сходимости степенного ряда


n 1


n 1
xn .
n 1
Р е ш е н и е. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда
x
n
n 1
– этот ряд из положительных чисел, к нему применим признак Да-
ламбера.
un 
x
n
n 1
; u n 1 
x
n 1
n2
un1
n   un
, lim
 lim
n 
x
n 1
n 1
n2 x
n
n 1
n
2
n 
 x lim
 x .
Если x  1 ряд сходится, при x  1 расходится.
Рассмотрим концы интервала. При x  1 имеем


n 1
26
1
n 1
– расходится, так
как p  ; при x  1 имеем
1
2
ряд сходится при  1  x  1.
1.
2.
3.
4.
5.


n 1
( 1)n
n 1
сходится по признаку Лейбница. Итак,
Список литературы:
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.—М.:
Наука, 1977.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах.—М.: Высшая школа, 1999.
Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.—М.: Наука,
1987.
Шипачев В.С. Основы высшей математики.—М.: Высшая школа, 1994.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.—М.:
Наука, 1978.
27
математика
2 семестр
методические указания
к практическим занятиям
по математике
для студентов всех специальностей
заочной формы обучения
Составители: Осташков В. Н., к.ф.–м.н., доцент
Скалкина М. А., к.ф.–м.н., профессор
Канова Т. А., ст. преподаватель
Рожнова В. А., ст. преподаватель
Подписано к печати
Бум. писч. № 1
Заказ №
Уч. изд. л. 1,75 п. л.
Формат 60/90 1/16
Усл. печ. л. 1,75 п. л.
Отпечатано на RISO GR 3750
Тираж
экз.
__________________________________________________________________
Издательство «Нефтегазовый университет»
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Тюменский государственный нефтегазовый университет»
625000, г. Тюмень, ул. Володарского, 38
Отдел оперативной полиграфии издательства «Нефтегазовый университет»
625000, г. Тюмень, ул. Володарского, 38
3