СТРУКТУРА ЗАДАНИЯ

СТРУКТУРА ЗАДАНИЯ
Билет включает 4 задания – теорема с доказательством, формулировка, формулировка с применением, задача. Время выполнения работы – 1 ч. 20 минут.
ПРОГРАММА КОЛОКВИУМА № 1
1. Модуль вещественного числа, его свойства. Что представляют собой множества, описанные неравенствами:
|x|<6; |x-3|>4; |x+2|=5; |x-4|2; |x|3 . …
2. Окрестности числа и бесконечно удаленной точки (определения и примеры). Уметь записать эпсилонокрестности заданных точек при различных значениях эпсилон.
3. Функция одного переменного и ее график (определения). Построение графиков функций –f(x), f(-x), |f(x)|,
sgnf(x) при известном графике f(x).
4. Четность-нечетность функций (определения, свойства графиков; уметь проверить наличие этих свойств).
5. Ограниченность функции (определения, примеры ограниченных и неограниченных функций).
6. Числовая последовательность как функция. Предел числовой последовательности, сходимость.
7. Понятие о монотонной и ограниченной числовой последовательностях, теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности. Число «e», функции «экспонента» и «натуральный логарифм».
8. Различные определения предела функции (на языке окрестностей, на языке эпсилон-дельта для конечного и
бесконечного пред. значения, частные случаи,напр. lim f ( x)  3 , lim f ( x)   , lim f ( x )   ,…).
x 1
x  1
x  
9. Конечный предел функции (определение) и его единственность (с доказательством).
10. Теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел (доказывать). ]
11. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах (формулировка). Уметь выполнять задания вида «Найти
limx0 f(x), если в окрестности x=0 выполняется неравенство sinx  f(x)  x/(x+1)».
12. Бесконечно малые функции, их свойства (c доказательством). Уметь обоснованно (с учетом свойств) показывать, что данная функция является бесконечно малой (например, для функций f(x)=sinx/(x+1) в окрестности
x=0; f(x)=tg(x-1)+x-1 в окрестности x=1).
13. Бесконечно большие функции, их свойства. Уметь обоснованно (с учетом свойств) доказывать, что данная
функция является бесконечно большой (например, для функций f(x)=cosx+x при x; f(x)=x+(1/x) при x).
14. Определения бесконечно малой и бесконечно большой функции, теорема о связи между ними (доказывать).
15. Бесконечно малые функции (определение), лемма о представлении функции, имеющей конечный предел
(доказывать).
17. Теорема об арифметических действиях с пределами функций (формулировка)
18. Понятие о сложной функции, теорема о пределе сложной функции (формулировка).
19. Эквивалентные функции, примеры. Уметь доказывать с помощью определения, что две предложенных
функции эквивалентны (например, f(x)=sin6x-sin2x, g(x)=4x при x0).Теорема о замене эквивалентных функций
(формулировка), цепочки эквивалентностей.
20. Односторонние пределы (определения), теорема о связи с обычным пределом. Вычисление односторонних
пределов, выводы о существовании и значении обычного предела
22. Приращения аргумента и функции, определение непрерывности функции в точке и на множестве, критерий
непрерывности функции (доказывать).
23. Теоремы о непрерывных функциях (формулировки).
24. Характеристика точек разрыва функций, содержащих модуль, показательную функцию, заданных строчно
(напр., f ( x ) 
| x 3|
2
x  5x  6
2 x  3, при x  1
2 x  3, при x  1
1
, f ( x)  
, f ( x) 
).
2
2
x
1  3 /( x  3)
 x , при x  1
 x , при x  1
, f ( x)  
Образец билета
1. Дать определение конечного предела функции, доказать его единственность.
2. Дать определение эквивалентных функций, сформулировать теорему о замене эквивалентных функций.
3. Дайте определение графика функции одного переменного, постройте график f ( x) | 9  8 x  x 2 |
4. Охарактеризовать точки разрыва функции f ( x) 
1
1  21 /( x  2)
ПРОГРАММА КОЛЛОКВИУМА № 2
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1. Приращения аргумента и функции, определение производной функции в точке, физический смысл производной, дифференцируемость функции в точке и на множестве.
2. Геометрический смысл производной (доказать), уравнение касательной, проходящей к графику заданной функции в указанной точке.
3. Основные правила дифференцирования (теоремы о производной суммы, произведения, частного –
доказывать, производная сложной функции – только формулировка).
4. Вывод производных функций y=sin x, y=cos x, y=tgx, y=ctgx.
5. Теорема о дифференцируемости (доказывать), определение дифференциала функции.
6. Определения производной функции в точке, непрерывности функции в точке, теорема о связи между
непрерывностью и дифференцируемостью.
7. Теорема Лагранжа (формулировка), два следствия (с доказательством).
8. Определения строгой (возрастания, убывания) и нестрогой монотонности (не возрастания, не убывания)
функции одного переменного, критерии нестрогой и строгой монотонности (формулировки).
9. Определения точек экстремума и экстремумов функции (локальных максимума и минимума).
10. Необходимое условие точки экстремума (доказательство для точки максимума, точки минимума).
11. Формулировки первого и второго достаточных условий точки экстремума.
12. Направления выпуклости графика функции (для непрерывной и дифференцируемой функций),связь со
знаком второй производной.
13. Определение точки перегиба графика функции, необходимое и достаточное условие (формулировки).
14. Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции, определение и их нахождение.
15. Первообразная, теорема о первообразной (с доказательством)
16. Первообразная и неопределенный интеграл (определения), теорема Коши (формулировка).
17. Свойства неопределенного интеграла (с доказательством)
18. Определенный интеграл от непрерывных функций и его основные свойства.
19. Геометрический смысл определенного интеграла.
20. Понятие о несобственных интегралах с конечной и бесконечной особой точкой.
ПРИМЕРЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ, ПРОВЕРЯЮЩИХ ЗНАНИЕ ТЕОРИИ
1) Составить уравнение касательной к графику заданной функции; считая, что угол между линиями можно
рассматривать как угол между касательными к их графикам, проведенными в точке пересечения линий,
найти угол между заданными кривыми например, между графиками функций y  x 3 , y  x 2 .
2) Найти по определению дифференциалы для y=x2, y=x3.
3) Используя следствия теоремы Лагранжа, доказать, что arcsin x  arccos x  const на интервале (0;1)
4) Используя второе достаточное условие, найти точки экстремума функций y  x  2 sin 2 x , y  x 2 e  x .
5) Найти асимптоты графика функций
y
x3
3
; y  x 2  1 ; y  x 3  6x 2 .
1 x
6) Найти площади фигур, ограниченных графиками функций: а) y  x 2 , yx  8, x  0, y  16 ;
б) y  x 2  1, y  x  3 ; в) y  x 2 , yx  8, y  8 , ( y  8 / x) ; г) y  4 x, yx  1, y  0, x  2 ;
д) y  x 2 , y  x  6, y  0

7) Проверить сходимость несобственных интегралов:

1
dx
;
x
1

0
dx
;
x

dx
1
dx

dx

 x2 ;  x2 ;  x2 ; 
1
0
1
dx
1
x
1
;

0
dx
x
Образец билета
1. Понятие о направлениях выпуклости графика функции (для непрерывной и дифференцируемой функций).
2. Cформулировать и доказать теорему о производной суммы.
3. Дать определение вертикальной асимптоты к графику функции, найти вертикальные асимптоты графика функции f ( x) 
sin x
x 2  2x
.
4. Найти площадь области, ограниченной графиками функций
y  x 2 , y  x  6, y  0