Вопросы к экзамену Мат Анализx

ФН-11
Вопросы к экзамену по курсу «Математический анализ»
МОДУЛЬ 1: Элементарные функции и пределы
1. Числовая последовательность. Предел последовательности; сходящиеся и
расходящиеся последовательности. Теорема о единственности предела сходящейся
последовательности (с доказательством).
2.
Ограниченная числовая последовательность. Теорема об ограниченности
сходящейся числовой последовательности. Признак Вейерштрасса сходимости
монотонной последовательности (формулировка).
3. Определения по Коши конечного и бесконечного предела функции в точке и на
бесконечности. Односторонние пределы функции. Определение предела функции
по Гейне. Теорема о связи двустороннего предела функции в точке с
односторонними пределами (с доказательством).
4. Теорема о единственности предела функции (с доказательством).
5. Ограниченные и локально ограниченные функции. Теорема о локальной
ограниченности функции, имеющей конечный предел (с доказательством).
6. Бесконечно малые функции. Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно
малой (с доказательством).
7. Теорема о сумме конечного числа бесконечно малых функций (с доказательством).
Теорема о произведении бесконечно малой на ограниченную (с доказательством).
8. Бесконечно большие функции. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно
большой функций (с доказательством).
9. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного функций (доказательство для
функций и последовательностей).
10. Теорема о пределе сложной функции (с доказательством).
11. Теорема о знакопостоянстве функции, имеющей ненулевой предел (с
доказательством).
12. Теорема о предельном переходе в неравенстве (доказательство для функций и
последовательностей).
13. Теорема о пределе промежуточной функции (доказательство для функций и
последовательностей).
14. Первый замечательный предел (с выводом). Второй замечательный предел (вывод
для функций с использованием теоремы Вейерштрасса для последовательностей) .
15. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Теоремы об
эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших функциях (с
доказательством). Выделение главной части.
16. Непрерывность функции действительного переменного в точке. Теорема о
непрерывности сложной функции (с доказательством).
17. Точки разрыва и их классификация. Доказательство непрерывности функции
многочлена и y  sin x .
18. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке
(формулировки соответствующих теорем).
МОДУЛЬ 2: Дифференциальное исчисление функций одного переменного
19. Производная функции в точке. Касательная к графику функции, геометрический
смысл производной. Вывод уравнений касательной и нормали к графику функции.
20. Дифференцируемость функции в точке. Теорема о связи дифференцируемости
функции с существованием конечной производной (с доказательством). Связь
дифференцируемости и непрерывности функции (с доказательством).
21. Основные правила дифференцирования. Вывод формул для вычисления
производных суммы, произведения, частного.
22. Теорема о дифференцируемости сложной функции (с доказательством).
23. Теорема о дифференцируемости обратной функции (с доказательством).
24. Дифференциал функции (определение, геометрический смысл). Инвариантность
формы записи дифференциала первого порядка (с доказательством).
25. Логарифмическая производная и производная функции, заданной параметрически.
26. Производные и дифференциалы высших порядков.
27. Формулировки и доказательства теорем Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.
28. Формулировка теоремы Бернулли – Лопиталя для предела отношения двух
бесконечно малых или бесконечно больших функций ( доказательство для случая
отношения бесконечно малых). Раскрытие неопределенностей вида 0 ∙ ∞, ∞ − ∞,
00 , ∞0 , 1∞ .
29. Сравнение на бесконечности порядков роста показательной, степенной и
логарифмических функций.
30. Вывод формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа
(формулировка и доказательство соответствующих теорем).
31. Формула Маклорена. Разложение по формуле Маклорена основных элементарных
x
функций: e , sin x , cos x , ln(1  x) , (1  x) .
32. Необходимое и достаточное условия возрастания и убывания дифференцируемой
функции (формулировки и доказательства).
33. Понятие локального экстремума. Критические точки. Формулировка и
доказательство необходимого условия локального экстремума дифференцируемой
функции. Формулировка и доказательство достаточного условия локального
экстремума функции по ее первой производной. Формулировка и доказательство
достаточного условия локального экстремума функции по ее второй производной.
34. Понятие выпуклой (вверх, вниз) функции. Формулировка и доказательство
достаточного условия выпуклости дважды дифференцируемой функции.
35. Определение точек перегиба функции. Формулировки и доказательства
необходимого и достаточного условий для точек перегиба функции.
36. Асимптоты функции. Вывод уравнения наклонной асимптоты.
37. Понятие длины дуги плоской кривой. Производная и дифференциал длины дуги
( с выводом).
38. Понятие векторной функции скалярного аргумента. Предел, непрерывность и
производная векторной функции, связь с координатными функциями. Теорема о
производной векторной функции постоянной длины (с доказательством).