Математический анализ (ВМ)(new)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»
(МИИТ)
УТВЕРЖДАЮ:
Проректор по учебно-методической
работе – директор РОАТ
__________Апатцев В.И.
«__»__________2011 г.
Кафедра
Высшая и прикладная математика
Автор
Блистанова Лидия Дмитриевна
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Математический анализ
Специальность:
230101.65, «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети»
Утверждено на заседании
Утверждено на заседании
Учебно-методической комиссии РОАТ
кафедры
Протокол № 4 от «01» июля 2011г.
Протокол № 7 от «21» июня 2011г.
Председатель УМК______Горелик А.В. Зав. кафедрой________Ридель В.В.
Москва 2011 г.
Автор-составитель:
Блистанова Л.Д., доктор физико-математических наук, профессор кафедры
«Высшая и прикладная математика»
Учебно-методический комплекс по дисциплине «Математический анализ»
составлен
в
соответствии
с
требованиями
Государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования по
специальности: 230101.65, «Вычислительные машины, комплексы, системы и
сети».
Дисциплина входит в федеральный компонент цикла математических и
естественнонаучных дисциплин и является обязательной для изучения.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»
(МИИТ)
СОГЛАСОВАНО:
Выпускающая кафедра
«Вычислительная техника»
Зав. кафедрой ________Горелик В.Ю.
Выпускающая кафедра
«Железнодорожная автоматика,
телемеханика и связь»
Зав. кафедрой ________Горелик А.В.
УТВЕРЖДАЮ:
Проректор по учебнометодической
работе – директор РОАТ
__________ Апатцев В.И.
«_____» ___________2011г.
«_____» ___________2011г.
Кафедра
Высшая и прикладная математика
Автор
Блистанова Л.Д., д.ф.-м.н., проф.
РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Математический анализ
Специальность:
230101.65, «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети»
Утверждено на заседании
Утверждено на заседании
Учебно-методической комиссии РОАТ
кафедры
Протокол № 4 от «01» июля 2011г.
Протокол № 7 от «21» июня 2011г.
Председатель УМК______Горелик А.В. Зав. кафедрой________Ридель В.В.
Москва 2011 г.
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Курс математического анализа является фундаментом дальнейшего
образования инженера, имеющим важное значение не только для изучения
общетехнических дисциплин, но и для специальных дисциплин в
особенности. Цель преподавания курса математического анализа состоит в
том, чтобы ознакомить студентов с основами математического аппарата,
необходимого для решения как теоретических, так и практических задач;
привить студентам умение и привычку к самостоятельному изучению
учебной литературы по математике; развить логическое мышление и
повысить общий уровень математической культуры; выработать навыки
математического исследования прикладных задач и умение сформулировать
задачи по специальности на математическом языке.
2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
2.1. Изучить основы математического анализа.
2.2. Знать и уметь использовать неопределенные и определенные интегралы.
2.3. Иметь опыт вычисления кратных интегралов.
2.4. Ознакомиться с обыкновенными дифференциальными уравнениями и
уравнениями в частных производных.
2.5. Изучить числовые, степенные, функциональные ряды.
2.6. Изучить теорию функций нескольких переменных, кратные интегралы.
2.7. Иметь представление о теории функций комплексного переменного,
гармоническом анализе, преобразования Лапласа.
3. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ
Вид учебной работы
1. Аудиторные занятия
1.1. Лекции
1.2. Практические и семинарские занятия
1.3. Лабораторные работы (лабораторный
практикум) и т.д.
1.4. Индивидуальные занятия
2. Самостоятельная работа
3. ВСЕГО ЧАСОВ НА ДИСЦИПЛИНУ
Количество часов
Курс
Всего по уч.
плану
1
48
28
24
16
24
12
2
20
8
12
0
0
0
0
292
340
0
200
228
Контр. раб.
№1, №2, №3
(три)
Зачет
0
92
112
4. Вид и количество текущего контроля (контрольная
работа, курсовая работа, курсовой проект)
5. Виды промежуточного контроля (экзамен, зачет)
Контр. раб.
(одна)
Экзамен
4. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
4.1. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ ЗАНЯТИЙ
№
Раздел
Введение в математический
анализ
Дифференциальное
2 исчисление функции одной
переменной
Неопределенный и
3
определенный интеграл
Функции нескольких
4 переменных, кратные
интегралы
Обыкновенные
5 дифференциальные
уравнения
Уравнения в частных
6 производных и уравнения
математической физики
7 Ряды
Ряды Фурье. Преобразование
8
Фурье.
Элементы теории функций
9
комплексного переменного
Преобразование Лапласа.
10
Операционный метод
1
Виды занятий
практические самостоятельная
лекции
занятия
работа
Час.
час.
час.
2
2
12
2
2
40
4
2
40
4
4
25
3
4
40
2
2
20
3
2
40
1
2
25
1
2
25
2
2
25
4.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
Р А З Д Е Л 1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
1.1. Числовая последовательность, предел числовой последовательности.
Существование предела монотонной ограниченной последовательности.
Число e. Натуральные логарифмы.
1.2. Предел функции в точке, односторонние пределы. Предел функции на
бесконечности. Бесконечно малые функции и их свойства. Основные
теоремы о пределах.
1.3. Бесконечно большие функции и их свойства. Связь между бесконечно
большими и бесконечно малыми функциями. Сравнение бесконечно малых.
Эквивалентные бесконечно малые.
1.4. Непрерывность функции в точке. Непрерывность основных
элементарных функций. Непрерывность суммы, произведения, частного и
суперпозиции непрерывных функций.
1.5. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их
классификация.
1.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность,
существование наибольшего и наименьшего значений, существование
промежуточного значения.
Р А З Д Е Л 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
2.1. Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
Производная суммы, произведения и частного.
2.2. Производные основных элементарных функций. Производная сложной
функции. Производная обратной функции.
2.3. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.
Инвариантность
формы
первого
дифференциала.
Применения
дифференциала к приближенным вычислениям.
2.4. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
2.5. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.
2.6. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Представление функций ex, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)n по формуле Тейлора.
Применение формулы Тейлора к приближенным вычислениям.
2.7. Монотонные функции. Теоремы о возрастании и убывании функции на
интервале.
2.8. Экстремумы функции. Необходимые условия экстремума. Отыскание
наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
2.9. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
2.10. Асимптоты кривых: вертикальные и наклонные.
2.11. Общая схема исследования функции и построения ее графика.
2.12. Векторная функция скалярного аргумента. Производная, ее
геометрический и физический смысл.
2.13. Параметрические уравнения кривой на плоскости и в пространстве.
Функции, заданные параметрически, их дифференцирование.
Р А З Д Е Л 3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
3.1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл, его свойства.
Таблица
основных
формул
интегрирования.
Непосредственное
интегрирование. Интегрирование подстановкой (замена переменной) и по
частям.
3.2. Интегрирование рациональных функций путем разложения на
простейшие дроби.
3.3. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций.
3.4. Интегрирование некоторых классов иррациональных функций.
3.5. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Основные
свойства определенного интеграла.
3.6. Производная интеграла по переменному верхнему пределу. Формула
Ньютона–Лейбница.
3.7. Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям и
подстановкой.
3.8. Приближенное вычисление определенного интеграла: формулы
прямоугольников, трапеций и Симпсона.
3.9. Несобственные интегралы.
3.10. Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских
фигур, длин дуг кривых, объемов и тел площадей поверхностей вращения.
Р А З Д Е Л 4. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. KРАТНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
4.1. Функции нескольких переменных; область определения, способы
задания. Предел функции в точке. Непрерывность.
4.2. Частные приращения и частные производные. Геометрический смысл
частных производных функции двух переменных.
4.3. Полное приращение и полный дифференциал. Касательная плоскость и
нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала
функции двух переменных.
4.4. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.
4.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о
независимости частных производных от порядка дифференцирования.
4.6. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые условия.
Формулировка достаточных условий.
4.7. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
4.8. Производная по направлению и градиент; их связь. Геометрический и
физический смысл градиента.
4.9. Кратные интегралы: задачи, приводящие к ним. Двойные и тройные
интегралы; их свойства, вычисление в декартовых координатах.
4.10. Замена переменных в кратных интегралах: переход от декартовых
координат к полярным, цилиндрическим и сферическим.
4.11. Геометрические и физические приложения кратных интегралов.
Р А З Д Е Л 5. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
5.1. Задачи приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Обыкновенные дифференциальные уравнения (основные понятия и
определения). Задача Коши для дифференциального уравнения первого
порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши
(без доказательства). Понятие об общем, частном и особом решениях
дифференциальных уравнений.
5.2. Основные классы уравнений первого порядка, интегрируемые в
квадратурах: уравнения с разделяющимися переменными, однородные,
линейные уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах.
5.3. Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений
первого порядка. Численные методы решения задачи Коши: метод Эйлера,
метод Рунге–Кутта.
5.4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Теорема
существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения
опускающие понижение порядка.
5.5. Линейные дифференциальные уравнения. Понятие однородного и
неоднородного уравнения. Линейные однородные дифференциальные
уравнения. Система фундаментальных решений. Общее решение. Линейные
однородные уравнения с постоянными коэффициентами.
5.6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Теорема о
структуре общего решения. Метод Лагранжа вариации произвольных
постоянных. Линейные неоднородные уравнения с постоянными
коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.
Р А З Д Е Л 6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТЫХ ПРОИЗВОДНЫХ И
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
6.1. Понятие об уравнениях в частных производных. Решение линейных
уравнений первого порядка в частных производных.
6.2. Уравнение колебаний струны. Решение задачи Коши методом Даламбера
и методом разделения переменных.
6.3. Уравнение теплопроводности. Метод Фурье решения задачи Коши.
6.4. Уравнение Лапласа. Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье.
Р А З Д Е Л 7. РЯДЫ
7.1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие
сходимости. Действия со сходящимися рядами.
7.2. Числовые ряды с положительными членами. Достаточные признаки
сходимости: сравнения Даламбера, радикальный признак Коши,
интегральный признак Коши.
7.3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости.
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
7.4. Функциональные ряды. Область сходимости. Понятие равномерной
сходимости. Теорема Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся
рядов.
7.5. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Основные
свойства степенных рядов.
7.6. Разложение функции в степенные ряды. Ряд Тейлора для функции.
7.7. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.
вычисление значений функций, вычисление пределов, вычисление
определенных интегралов, нахождение решений дифференциальных
уравнений.
Р А З Д Е Л 8. РЯД ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
8.1. Измеримые множества и измеримые функции. Интеграл Лебега.
Пространства суммируемых функций. Ортогональные системы функций.
Тригонометрическая система ортогональных функций. Ряд Фурье.
Разложение функций в ряд Фурье. Формулировка условий разложимости в
точке. Условие равномерной сходимости.
8.2. Ряды Фурье для функций с произвольным переходом. Ряды Фурье для
четных и нечетных функций. Разложение в ряд Фурье непериодических
функций.
8.3. Интегралы Фурье. Преобразование Фурье, его свойства и применение.
Р А З Д Е Л 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
9.1. Функции комплексного переменного. Важнейшие элементарные
функции комплексного переменного.
9.2. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши–
Римана. Дифференцируемость элементарных функций. Аналитические
функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
аналитической функции.
9.3. Интегрирование по комплексному аргументу. Теорема Коши.
Интегральная формула Коши.
9.4. Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки функций, их
классификация.
9.5. Вычеты. Основная теорема о вычетах. Применение вычетов к
вычислению интегралов.
Р А З Д Е Л 10. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ОПЕРАЦИОННЫЙ
МЕТОД
10.1. Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение. Свойства
изображений. Таблица изображний простейших функций.
10.2. Теорема о свертке, теорема запаздывания, теорема о сдвиге. Интеграл
Дюамеля.
10.3.
Операционный
метод
решения
линейных
обыкновенных
дифференциальных уравнений и их систем.
4.3. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
Тема
Вычисление пределов.
Непрерывность функции, ограниченность, наибольшее
и наименьшее значения
Вычисление производных.
Час.
1
1
1
Общая схема исследования функции и построения ее
графика.
Неопределенный интеграл. Методы интегрирования
Определенный интеграл. Приложения.
Функции
нескольких
переменных.
Частные
производные. Производная по направлению. Градиент.
Двойные и тройные интегралы. Их свойства и
вычисление в декартовых координатах.
Основные классы дифференциальных уравнений
первого порядка, интегрируемых в квадратурах.
Дифференциальные уравнения второго порядка.
Уравнения,
допускающие
понижение
порядка.
Линейные
дифференциальные
уравнения
с
постоянными коэффициентами.
Решение уравнений в частных производных.
Числовые ряды с положительными членами. Признаки
сходимости.
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная
сходимость. Знакочередующиеся ряды.
Степенные ряды. Разложение функций в ряд Фурье.
Применение вычетов к вычислению интегралов.
Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение.
Свойства изображений простейших функций.
Операционный
метод
решения
линейных
обыкновенных дифференциальных уравнений и их
систем.
1
1
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
5. CАМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
В первом семестре изучают следующие разделы учебного курса:
Введение. Введение в математический анализ. Дифференциальное
исчисление функции одной переменной. Неопределенный и определенный
интеграл.
После изучения указанных разделов студенты выполняют контрольную
работу № 1.
Во втором семестре изучают следующие разделы учебного курса:
Функции нескольких переменных. Кратные интегралы. Обыкновенные
дифференциальные уравнения в частных производных; уравнения
математической физики.
После изучения этих разделов учебной программы студенты выполняют
контрольные работы № 2 и 3.
В третьем семестре изучаются следующие разделы учебного курса:
Ряды. Ряды Фурье. Преобразование Фурье. Элементы теории функций
комплексного переменного. Преобразование Лапласа. Операционный метод.
После изучения этих разделов учебной программы студенты выполняют
контрольную работу № 4.
Студент должен выполнить контрольные работы по варианту, номер
которого совпадает с последней цифрой его учебного шифра. Например,
студент, номер шифра которого оканчивается на 3, должен решить задачи с
номерами 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93, 103, 113, 123, 133, 143, 153, 163,
173, 183.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
Введение в математический анализ.
Производная и ее приложения
Интеграл.
1 – 10. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
1.
a)
в)
д)
2. а )
2 x 2  3x  1
lim
;
x
3x 2  x  4
lim
x 4
2 x
6x  1  5
 2x  3 
lim 

x  2 x  5


5x2  2 x  1
lim
;
x  2 x 2  x  3
;
3x 2  5 x  2
б ) lim
;
x2
2x2  x  6
г)
1  cos 6 x
;
x  0 1  cos 4 x
lim
x 1
.
б)
2 x 2  15 x  25
lim
;
x  5
5  4x  x2
в) lim
x 0
9 x  9 x
;
x2  6x
 3x  2 


д) lim
x  3x  4


3.
5.
.
3  2x  x2
;
а) lim 2
x  x  4 x  1
3x  3
;
в) lim
x 1 8  x  3
2 x 3
.
x 4
5x  x2  4
;
б) lim 2
x4 x  2 x  8
xtgx
;
г) lim
x   1  cos x
.
4 x  4 x
;
3x 2  x
3x 2  5 x  4
;
а) lim
x  2 x 2  x  1
в) lim
2x2  9x  9
;
x2  5x  6
3 xtgx
;
г) lim
x 0 sin 2 x
б) lim
x 3
2 x 1
x 2  7x  1
;
а) lim
x  3 x 2  x  3
x 0
4x2  7x  3
;
2x2  x 1
10 x 2
;
г) lim
x  0 1  cos x
2x2  x  4
;
а) lim
x  3  x  4 x 2
7x  7x
;
в) lim
x 0
5x
в) lim
7.
б) lim
x  1
3x 2  5 x  4
;
а) lim
x  x3  x  1
5 x  3 x
;
в) lim
x 1
x  x2
3 x
 2x  5 

 .
д) lim
x  2 x  1


 5x  1 


д) lim
x  5 x  4


6.
sin 3 x  sin 5 x
;
6x
2 x
 4x  3 


д) lim
x  4 x  1


4.
г) lim
x 0
x2  7  3
;
x2  4x
x 2  2x  8
;
б) xlim
 2 2 x 2  5 x  2
г) lim
x 0
cos x  cos 5 x
;
4x 2
3x 2  2 x  1
;
б) lim 2
x 1 x  4 x  3
г)
4x2
lim
;
x  0 1  cos 4 x
 2x  7 


д) lim
x  2 x  3


8.
4 x 1
.
2 x3  2 x  1
а) lim
;
x  3x 2  4 x  2
6  x  x2
;
б) lim
x  3 3 x 2  8 x  3
3x  3
;
в) lim
x 1 8  x  3
8x2
;
г) lim
x 0 sin 2 5 x
1 2 x
 4x  1 


д) lim
x  4 x  3


а) lim
x 
9.
.
5  2 x  3x 2
;
x2  x  3
x3  1
;
б) lim
x 1 5 x 2  4 x  1
4x  x
;
б) lim
x  4 x 2  16
 5x  2 


д) lim
x  5x  3


10.
tg 2 3x
;
г) lim
x 0 10 x 2
3 2 x
.
 x  2


д) lim
x  x  3


12.
y  arccos x ;
в)
x  2t 2  t ,
y
2
x0
.
a)
a)
2
г) lim x ctg 3x;
4 x
11 – 20. Найти производные
11.
x2  2x  8
;
б) lim
x2
8  x3
x 2  3x  4
;
а) lim
x  2 x3  5 x  1
2x
;
б) lim
x  0 10  x  10  x
dy
следующих функций.
dx
б)
y  ln ctg
x
;
3
y  ln t.
x
25
x
25  x 2  arccos ;
2
2
5
б)
y  exp ctg 2 x ;
1 t
;
в) x 
1 t2
13.
а) y 
2  t2
y 2 .
t
1 x3
ln
; б) y = arcctg [exp(5x)] ;
6 x3
в) x = sin23t, y = cos23t .
14.
a)


y  ln x  x 2  1 ;
б)
y
x 2 1
1
 arccos 2 ;
x
x
б)
1  cos 3x
;
1  cos 3x
в) x = t4 + 2t, y = t2 + 5t .
15.
a)
y
 
y  x  1 exp x 2 ;
в) x = t – ln sint, y = t + ln cost .
16.
a) y 
1
ctg 2 x  ln sin x; б) y = exp(cos3x) .
2
в) x = tg t , y 
17.
a) y  ln

1
.
sin 2 t

x  x  2  x 2  2 x ; б) y = 3x exp(-x-2) ;
в) x = t2 – t3 , y = 2t3 .
18.
a) y = ln cos2x – ln sin2x ; б)
y  2 ctg
2
3x
;
в) x = cos3t , y = sin3t .
19.
a) y  arccos
x 1
; б) y  ln ctg x  2 ;
x 1
в) x = 3sint, y = 3cos2t .
20.
a)
tg 3 x ctg 2 x
y

 ln sin x;
3
2
в) x = 2t – t2 , y = 2t3 .
б)
1
y  x exp  ;
 x
21 – 30. Найти пределы функции, применяя правило Лопиталя.
21.
23.
1  2 sin x
.
x 1 
3
tgx
6
lim
1  e2x
lim
.
x 0
ln 1  2 x 
25.
e x  e x  2x
lim
.
x 0
x  sin x
27.
1
 1
lim


.
x
x 0
1

e
x


29.
x  ln 1  x 
lim
.
x 0
ex 1
cos 2 x
.
x 1  tgx
4
22.
24.
lim
1  x2
lim
.
x 1
ln x
26.
3
lim
x
ln x.
x 0
28.
x2
lim
.
x 
e2 x
30.
e x  e x
lim
.
x 0
ln 1  x 
31 – 40. Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
y = f(x) и по результатам исследования построить ее график. Найти
наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [a; b].
4x
,
4  x2
31.
а) y 
32.
x2 1
,
а) y  2
x 1
б) [-1; 1] .
33.
x3
,
а) y  2
x 1
б) [-2; 2 ] .
34.
x2  5
,
а) y 
x3
б) [-2; 2] .
35.
2  4x2
,
а) y 
1  4x2
б) [ 1; 4] .
36.
3 x 1
а) y  ( x  1)e ,
37.
а) y 
ln x
,
x
б) [-3; 3] .
б) [ 0; 1] .
б) [ 1; 9] .
1
2 x
38.
а) y  e
39.
а) y  xe
40.
а) y 
,
б) [-1; 1] .
x2
,
б) [-2; 2] .
x2  3
,
x2  9
б) [-2; 2] .
41 – 50. Найти неопределенные интегралы. В случаях а), б), в) результат
проверить дифференцированием.
41.
a)
cos x
 e sin 2 xdx;
в)
dx
 x 3  27 ;
д)
 sin
2
2
 xarctgxdx;
б)
x 1
3
1
г)
x 1
3
dx;
x cos 3 xdx. .
42.
a)
в)
д)
x 2 dx
 x

4
xdx
 x3  8 ;
3
 cos
2
6
;
б)
 e ln 1  e dx;
г)
 sin x cos x ;
б)
 x2
x
x
dx
x  sin 3 xdx.
43.
a)
в)
д)
44.

x 2 dx
;
1 x
5 x  6dx ;
 x3  x2  x  1
 sin
6
3
x cos3 xdx.
г)

x
dx;
dx
x 1 
3
x  1
2
;
а)
dx
 sin 2 x2ctgx  1 ;
б)
 sin
а)
 5  cos 2 x ;
2

1 x 2
x cos 2 xdx.
45.
в)
sin 2 xdx
x
x  1dx
3
 2x2  x
б)
;
г)
2 5x
x
 e dx;
sin xdx
 1  sin x ;
4
д)  cos xdx.
46.
а)

cos xdx
sin 3 x
1
б)  x arccos dx;
x
;
2 x  1dx
в)
x
д)
 sin
3
 3x 2  4 x
4
;


x  2 x
x  1 dx
4
г)

б)
 x ln x
4
3
;
xdx.
47.
а)

arcsin xdx
1 x
2
;
xdx
;
в)  4
x  5x2  6
6
2

 1 dx;
x5
г)

arctgx
 x 2  1 dx;
б)
 x cos 2 xdx;
xdx
;
 81
г)
 cos x  3sin x ;
1 3 x  5
dx;

5
2
д) sin x cos xdx.
48.
а)
в)
x
д)
 sin
4
2
x cos 5 xdx.
dx;
x  3 1 x
dx;
г) 
x 1
dx
;
в)  3
x  x2  2x  2
д)
x arccos x
dx
49.
cos xdx
 3 8  3sin x ;

x 2  x  1
dx;
в)  4
x  3x 2  4
3
4
д)  sin x cos xdx.
а)
 x ln
б)

2
xdx;


x 1 6 x 1
dx;
3
x 1
г)

б)
x
г)
 sin x  2 cos x  1 ;
50.
а)
в)

3  ln x
dx;
x
x

 x dx
 x4  5x2  6 ;
3
2
sin 3xdx;
dx
4
3
д)  sin x cos xdx.
51 – 60. Вычислить определенные интегралы.

1
2
51.
 x sin xdx;
52.
 xarctgxdx.
0
0
2
1
ln x
dx.
53. 
x
1
54.
5x  1
0 x2  2 x  1 dx.

2

2
55. sin 2 x cos xdx.
56.
1
0


2
1
dx
. 58.  x ln 1  x dx.
57. 
sin
x

cos
x
0
0
1
dx
. 60.
59.  2
x

x

1
0
2
2

0
xdx
1  x4
.
x ln xdx.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
61 – 70. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x; y) в ограниченной
замкнутой области D. Область D изобразить на чертеже.
61. Z = x2 – y2 + 3xy + 7 ; D : -2  x  2, -2  y  2 .
62. Z = x2 + 2y2 – 1 ; D : x  -2, y  -2, x + y  4 .
63. Z = 3 – x2 – xy – y2 ; D : x  1, y  -1, x +1  y .
64. Z = x2 + y2 + x – y ; D : x  1, y  -1, x + y  2 .
65. Z = x2 +2xy +2y2 ; D : -1  x  1, -1  y  3 .
66. Z = 3x2 – 3xy +y2 + 1 ; D : x  -1, y  -1, x + y  1 .
67. Z = 5 + 2xy – x2 ; D : -1  y  4 – x2 .
68. Z = x2 – 2xy – y2 + x ; D : x  0, y  1, x + y + 2  0 .
69. Z = x2 – xy – 2 ; D : 4x2 – 4  y  1 .
70. Z = x2 + xy + 3y2 ; D : -1  x  1, -1  y  1 .
71 – 80. Даны: функция трех переменных u = f (x, y, z), точка

M0 (x0; y0; z0) и вектор a (а1, а2,, а3) .
Найти:
1) grad u в точке М0;

2) производную в точке М0 по направлению вектора a ;
3) наибольшую крутизну поверхности u = f (x, y, z) в точке М0.

a (-1; 2; 2) .

72. u = ln|3x2 – 2y + z| ; M0 (1; 1; 0) ; a (0; 4; 3) .

x
; M0 (1; 1; 2) ; a (-3; 0; 4) .
73. u 
71. u 
x 2  2 y  4 z ; M0 (1; -2; 1) ;
x yz
74. u 
75.
2 x  y  z 2 ; M0 (1; 2; 2) ;
M0 (2; 2; 1) ;

a (3; 0; -4) .

a (1; -2; 2) .
76. u = ln|10 – x2 – y2 – z2| ; M0 (2; 2; 1) ;

a (-4; 0; 3) .

a (2; -1; 2) .

78. u = x2y2 + x2z2 + y2z2 ; M0 (-1; 2; 1) ; a (0; 6; 8) .
77. u 
x 2  y 2  z 2 ; M0 (3; 4; 0) ;

a (2; 2; -1) .

80. u = ln|12 – x2 – y2 + z| ; M0 (1; 1; -5) ; a (3; 0; -4) .
2
79. u  3x  4 y  z ; M0 (3; 4; 0) ;
81 – 90. Вычислить двойной интеграл по области D . Область интегрирования D
изобразить на чертеже.
81.
 xy  y  1dxdy; D : y = x
2
, y = 2 – x2 .
D
82.
 x

 xy  x dxdy; D : x = 1 , y = x2 , y = 0 .
2
D
83.
 y

 xy  y dxdy; D : y = x , y = x3 , x  0 .
2
D
84.
 xy
 2 x dxdy; D : y = x2 , y =

 3x
y  y  1 dxdy; D : x = 1 , y =
2
x
.
D
85.
2

x , y = -x2 .
D
86.
 xy  4x  2 y  1dxdy; D : x = 1 , y = x
2
,y=0.
D
87.
 xy

 1 dxdy; D : y = x2 , y =
3
x.
D
88.
3
 8xy  9 x y dxdy; D : x = 1 , y =
2
2
x , y = -x3 .
D
89.
 9x
2

y 2  x  y dxdy; D : y = x , y =
x.
D
90.
 12 x
2

y 2  1 dxdy; D : x = 1 , y = x2 , y = -
x.
D
91 – 100. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного данными
поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость хОу .
91. z = 0 , z – x = 0 , y = 0 , y = 4 , x 
92. z = 0 , z - 4
y =0,x=0,x+y=4.
93. z = 0 , z – 9 + y2 = 0 , x2 + y2 = 9 .
94z = 0 , z – 1 + x2 = 0 , y = 0 , y = 3 – x .
25  y 2 .
95z = 0 , y + z – 2 = 0 , x2 + y2 = 4 .
96z = 0 , z – 1 + y2 = 0 , x = y2 , x = 2y2 + 1 .
97z = 0 , 4z – y2 = 0 , 2x – y = 0 , x + y = 9 .
98z = 0 , x2 + y2 – z = 0 , x2 + y2 = 4 .
99z = 0 , z – y2 = 0 , x2 + y2 = 9 .
100z = 0 , z – 4 + x + y = 0 , x2 + y2 = 4 .
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
Дифференциальные уравнения
101 – 110. Найти решения дифференциальных уравнений первого порядка,
удовлетворяющие указанным начальным условиям.
101 . 2 x  2 xy 
2  x 2 y'  0 , y(1)  0 .
y/x
102. xy ' xe  y  0 , y (1)  1 .
2
2
103. 20 xdx  3 ydy  3x ydy  6 xy dx , y (1)  1 .
104. xy '  y ln( y / x) , y(1)  e
2
105. 3( x y  y )dy 
9  y 2 dx  0 , y(0)  0
106. xy ' y  x  1, y(1)  0 .
107. y ' cos x  ( y  1) sin x , y(0)  0
2
108. xy ' y 
x 2  y 2 , y (1)  0
109. y' y / x  x , y (1)  0
2
110. y ' y cos x 
1
sin 2 x , y(0)  0
2
111 – 120. Решить дифференциальные уравнения второго порядка: а) найти общее
решение; б) найти решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
111. а) xy ' '2 y'  x .
3
б) y' '3 y'4 y  e , y(0)  0 , y ' (0)  1
x
112. а) 3 yy ' '( y' )  0 .
2
б) y' '6 y '9 y  x  1 , y(0)  1, y' (0)  0
113. а) y' '6tgx  sin x
б) y ' '9 y '  x  2 , y (0)  2 , y ' (0)  1
114. а) y' ' tgy  2( y' ) 2
б) y ' '2 y '10  sin 3x , y(0)  1 , y ' (0)  1
115. а) y' ' tgx  y'1
б) y' '4 y  x , y (0)  1 , y' (0)  0
2
116. а) 2 yy' '( y' ) 2  ( y' ) 4  0
б) y' ' y'6 y  2e
117. а) xy ' ' y'  1
3 x
, y(0)  0 , y' (0)  2
б) xy ' '3 y'  cos2 x , y (0)  3 , y ' (0)  1
118. а) (1  y) y' '5( y' )  0
б) y' '4 y'4  2 sin 3x , y ()  0 , y ' (0)  1
119. а) y ' ' x ln x  y '  0
2
б) y' '4 y'5 y  4e , y(0)  2 , y' (0)  0
x
120. а) 2( y' )  ( y  1) y' '
б) y' '4 y'  cos x , y (0)  2 , y ' (0)  1
2
121 – 130. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений. Сделать


проверку найденного решения  ' 
 x'  5 x  2 y;
 y'  2 x  2 y.
 x'  x  y;

 y'  2 x  2 y.
 x '  3 x  y;

 y '  9 x  3 y.
 x'  3x  2 y;

 y '  3x  2 y.
 x'  3x  y;

 y '  6 x  2 y.
d
.
dt 
 x'  x  2 y;
 y '  3x  4 y.
 x'  2 x  y;

 y '  4 x  3 y.
 x'  2 x  y;

 y '  3x  2 y.
 x'  x  y;

 y'  2 x  4 y.
 x '  5 x  y;

 y '  5 x  y.
121. 
122. 
123.
124.
125.
127.
129.
126.
128.
130.
131-140. Определить тип уравнения, приводя их к каноническому виду:
131.
uxx  5uxy  4uyy  0
132.
uxx  6uxy  13uyy  0
133.
y 2 uxx  2xyuxy  x 2 uyy  0
134.
uxx  xuyy  0
135.
x2
y2
y uxx  x uyy  uy  ux  0
y
x
136.
uxx  4uxy  4uyy  3ux  6uy  0
2
2
137.
xuxx  2 xyuxy  yuyy  (
y
2 x

x
)uy  0
2
138.
y 2 uxx  x 2 uyy  2xux  0
139.
x 2 uxx  2xyuxy  y 2 uyy  0
140.
uxx  xuyy  0
141-144. Найти решение задачи Коши utt  a 2 uxx методом Даламбера при
начальных условиях:
141.
142.
u( x ,0) 
sin x
;
x
ut ( x ,0) 
x
1 x2
143.
u( x ,0) 
u( x,0) 
x
;
1 x2
144. u( x,0) 
x
; ut ( x ,0)  sin x
1 x2
ut ( x,0)  cos x
1
;
ex
2
ut ( x,0) 
x
1 x2
145-147. Методом Фурье найти решение задачи колебания струны
utt  a 2 uxx длины l при следующих граничных и начальных условиях:
145. u ( x,0)  sin
x
l
x
146. u ( x,0)  cos
147. u ( x,0)  sin
l
x
l
; u t ( x,0)  x; u (0, t )  u (l , t )  0;
; u t ( x,0)  x 2 ; u (0, t )  u (l , t )  0;
; u t ( x,0)  x; u (0, t )  u (l , t )  0
148-150. Методом Фурье найти решение задачи распространения
тепла ut  a 2 uxx в стержне конечной длины l при следующих граничных и
начальных условиях:
148. u( x,0)  x; u( 0, t )  u(l , t )  0;
149. u( x,0)  l  x;
150. u( x,0)  0;
u( 0, t )  u( l , t )  0;
u( 0, t )  3;
u( l , t )  10;
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4
РЯДЫ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД.
151 – 160. Выяснить, какие из данных рядов сходятся и какие расходятся. Для
знакочередующихся рядов выяснить также (в случае сходимости) абсолютную или условную
сходимость.
n 1
151. а)  3
,
n 1 n  3

ln n
152. . а) 
,
n 2 n

1
153. а)  2
,
n 1 n  1

2n
154. а) 
,
n 1 (3n)!

n2
155. а)  n ,
n 1 e

1
156. а) 
,
2
n 2 n ln n

2n  1
2n
б)  (1)
.
n!
n 1

n
n
б)  (1)
.
n  10
n 1

n n 5
б)  (1)
.
3n
n 1

n
n
б)  (1) 2
.
n 1
n 1

n ln n
б)  (1)
.
n
n2

n n 1
б)  (1) 2
.
n 5
n 1
n

n 2
б)  (1) n .
3
n 1
2

n n
б)  (1) n .
e
n 1

157. а)

n3n

n3
158. а) 
,
n 1 ( 2 n )!

n
,
n 1
n
 1
159. а)  1   ,
n
n 1 

n n 1
,

n 1 n  1!

б)
 (1)
n 1

160. а)
n
n 1
.
n3  7

б)
 (1) n
n 1
n2
n 1
3
.
151 – 160. Определить область сходимости данных рядов.
(n  1) n n
x .

n!
n 1

3n! n
x .

n
n 1 n

n 1 n
x .

n
n 1 3 n

 1 n
1   x .

n
n2 

151.
153.
155.
157.
3n
xn.
152. 
n 1 n( n  1)

n 2n n
154. 
x .
2
n 1 n  1

2n x n
156. 
.
n 1
n

n 1
158.  n
xn.
n 1 3 ( n  2)

2n

159.

n 1
n 1

3 (5n  1)
n
xn.
160.
 n(n  2) x
n
.
n 1
161 – 170. Разложить функцию f (x) в ряд Фурье в указанном интервале. Выписать
полученный ряд и три первых члена разложения отдельно.
161. f ( x)  x  1
162. f ( x)  x
2
в интервале (; ) .
в интервале (2;2) .
 x
2
f ( x) | x | 1
0,   x  0
f ( x)  
 x,  x  
f ( x) | x  1 |
f ( x) | x  3 |
f ( x)  x  3
f ( x)  x 2  1
1,   x  0
f ( x)  
2,0,  x  
163. f ( x) 
в интервале (; ) .
164.
в интервале (1;1) .
165.
166.
167.
168.
169.
170.
в интервале (; ) .
в интервале (1;1) .
в интервале (; ) .
в интервале (; ) .
в интервале (1;1) .
в интервале (; ) .
171 – 175. Найти вычеты функции f (Z )
2Z  2
.
Z  2Z  3
Z 3
173. f ( Z )  2
.
Z 1
Z 5
175. f ( Z )  2
.
Z  4Z  3
171. f ( Z ) 
2
Z 1
.
Z  5Z  6
3Z  2
174. f ( Z )  2
.
Z 4
172. f ( Z ) 
2
176 – 180. Вычислить с помощью вычетов интегралы. Обход – против часовой стрелки.
Z2
Z
Φ
dZ .
177.
dZ
.
| Z  i|  3
| Z  i|  3
( Z 2  1) 2
( Z 2  1) 2
sin Z
Z 1
178. Φ
dZ. 179. Φ 3
dZ.
3
2
|Z 1|  4
|Z |  2
Z  2Z  Z
Z 1
176. Φ
ez
dZ .
| Z  2| 4 Z 2  9
180. Φ
181 – 190. Найти решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющих заданным
начальным условиям, применяя метод операционного исчисления. Сделать проверку
найденного решения.
181. y' ' y'  te , y(0)  1 , y' (0)  0 .
t
182. y' '9  e , y(0)  0 , y ' (0)  1 .
183. y' '9 y  cos3t , y(0)  0 , y ' (0)  1 .
2 t
184. y' '2 y'3 y  e , y(0)  0 , y' (0)  0 .
t
185. y' '2 y'2 y  t  t , y(0)  0 , y ' (0)  1 .
186. y' '2 y' y  cost , y(0)  1 , y' (0)  0 .
2
187. y' '4 y  e , y(0)  0 , y' (0)  0 .
t
188. y' '5 y'6 y  e , y (0)  1 , y' (0)  0 .
189 . y ' '4 y '4 y  1 , y(0)  0 , y ' (0)  1 .
190. y ' ' y '2 y  sin t , y(0)  0 , y' (0)  0 .
t
6. ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ
Основная литература
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для
втузов. Т.1. – М.: Интеграл-пресс, 2007.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для
втузов. Т.2. – М.: Интеграл-пресс, 2007.
3. Краснов М.Л, Киселёв А И, Макаренко Г И, Шикин Е В. Заляпин В И,
Соболев С К., Вся высшая математика. – М.: Высшая школа, 2003.
4. Бугров Я С, Никольский С М., Элементы линейной алгебры и
аналитической геометрии. – М.: Высшая школа, 2006.
5. Щипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 2006.
6. Данко П Е, Попов А Г, Кожевникова Т Я., Высшая математика в
примерах и задачах. – М.: ОНИКС, 2008.
7. Бугров Я.С. Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное
и интегральное исчисление. – М.: Высшая школа, 2003.
Дополнительная литература
8. Блистанова Л.Д. Математика. Методические указания по выполнению
контрольных заданий № 1 – 4 для студентов-заочников I курса инженернотехнических специальностей. М.: РГОТУПС, 2006.
9. Ридель В.В., Алексеев В.Н., Приказчиков Д.А. Дифференциальное
исчисление функции одной переменной. М.: РОАТ, 2009.
10.Могилевич Л.И., Блистанова Л.Д., Алексеев В.Н., Садыкова О.И.
Математика. Решение дифференциальных уравнений операционным
методом. Методические указания по выполнению контрольных работ
для студентов II курса технических специальностей. М.: РОАТ, 2010.
11.Блистанова Л.Д., Зубова М.Н., Ридель В.В. Уравнения в частных
производных: Уч. пос. - М.:МИИТ, 2009.
12.Голечков Ю.И., Корольков Е.П., Ряднов А.В. Начала математического
анализа: Уч. пос. - М.: МИИТ, 2011.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
Студент должен выполнять контрольные работы по варианту, номер
которого совпадет с последней цифрой его учебного шифра.
Каждую контрольную работу следует выполнить в отдельной тетради,
оставив в ней поля для замечаний преподавателя-рецензента. На обложке
тетради студент указывает: дисциплину, номер контрольной работы, номер
(или название) учебной группы, шифр, курс, фамилию, имя, отчество. Работа
выполняется аккуратно. В ней должны быть даны четкие пояснения к
решению задач. В конце работы студент ставит дату выполнения и свою
подпись. Выполненную работу сдают для проверки. Преподавательрецензент проверяет правильность решения каждой задачи и отмечает
ошибки решения или недостатки оформления контрольной работы. В конце
работы преподаватель пишет рецензию на работу, где отмечает недостатки и
достоинства решения задач, а также выносит окончательное заключение:
“Работа допущена к зачету” или “Работа не допущена к зачету”. Во втором
случае рецензент подробно указывает причины и дает рекомендации по
исправлению ошибок. В этой же тетради после рецензии преподавателя
студент должен исправить решения указанных рецензентом задач и вновь
сдать контрольную работу на проверку. Зачет по контрольной работе студент
может получить лишь после беседы с преподавателем.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ
Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельное
изучение дисциплины. Для самостоятельного изучения математики имеется
список литературы в рабочей программе. Помимо литературы из рабочей
программы, преподаватель может рекомендовать литературу по своему
усмотрению, наиболее соответствующую разработанному им курсу лекционных
и практических занятий.
В университете проводятся лекции, но они не могут охватить все
вопросы программы и имеют установочный характер. Преподавателю
рекомендуется ориентироваться на уровень того потока студентов, с которыми
он проводит занятия. В помощь студентам преподаватель должен проводить
консультации.
Преподаватель должен дать соответствующие рекомендации к
выполнению контрольных работ. Также, преподаватель может предложить
студенту воспользоваться пакетом прикладных программ для проверки решения
заданий из контрольной работы и дать указания по оформлению контрольных
работ.
Преподаватель рецензирует контрольную работу и отмечает ошибки.
Выносится заключение: «Работа к зачету допущена» или «Работа к зачету не
допущена». Зачет по контрольной работе студент получает после собеседования
с преподавателем.
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ТЕКУЩЕГО, ПРОМЕЖУТОЧНОГО И
ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ
Задачи
1. Решить дифференциальные уравнения:
a)
d 2x
dx
 2  2 x  0 , если х(0)=1, x0  1;
2
dt
dt
б)
d 2x
dx
 6  9 x  0 , если х(0)=1, x0  1;
2
dt
dt
d 2x
dx
в) t 2  t  1  21  t x  0 ;
dt
dt
г) x  2x  sin t , если х(0)=0;
д) x  2x  t sin t , если х(0)=0, x0  0 ;
Ответы:
а) x  e t cos(t ) ;
б) x  e 3t  4te3t ;
в) x=
9
3
cos( 2t )  sin 2t  ;
20
20
г) x 
e 2t  cos t  2 sin t
5
д) x 
2  2t 2
14
1
2
e  cos t  sin t  t sin t  t cos t .
25
25
25
5
5
2. Найти периодические решения уравнения:
а)
dxt 
 x(t )  4t  6 sin( t )  2 cos(t ) 
dt
t
 2 t   
0
dx 
d ;
d
б)
d 2 xt 
 dx 

 7 xt   6e5t  3 e5 x   
 5 x d
dt 2
d



0
Ответы:
а) x  2 cost  ;
t
3. Решить систему дифференциальных уравнений:
 dx
  2 x  4 y  cos(t )
а)  dt
,
dy
   x  2 y  sin t 
 dt
если x0  0, y0  0 .
 dx
 7 x  y

б)  dt
,
dy
  2 x  5 y
 dt
если x0  1, y0  1

x  y   y  e t
2 x  y   2 y  cos t
в) 
если x0  0, y0  0 .
Ответы:
а) x  4t  2  2 cos(t )  3 sin( t ) ,
y=  2t  2 sin( t ) ;
б) x  e 6t cos(t ) ,
y= e 6t cos(t )  sin t 
в) x  e t 
2
3
11 4t 3
5
1
e  cos(t )  sin t   ,
34
17
17
12
y=  e t 
22 4t  4
1

e   cos(t )  sin t  .
51
17
 17

3. Тест для самопроверки
1. Оригиналами являются функции
1) te t ; 2) te3t ; 3) e100t
2. Оригиналами являются функции
1) t cost  ; 2) t 3 e 3t ; 3) 2 t
2
3.
Изображением по Лапласу являются:
1)
p 1
;
p  p2  2
2)
p3 1
;
2 p3  p2  5
3)
p2 1
;
p3  p  5
4
г) p sin p .
4.
Изображением по Лапласу
1)
p2
;
p  p 1
2
p4  p2
2) 6
;
p  p 4
3) cos p ;
4)
5.
p3  1
.
p3 1
Последовательность предложений составляет формулировку теоремы о
существовании интеграла Лапласа:
1) p  C ;
2) f t   0 при t   ,0 ;
3) f t  определена и кусочно-непрерывная на  , .
4) Существуют такие постоянные М >0 и  0 , что f t   Me t .
0
5) Интеграл Лапласа

 f t e
 pt
dt сходится в полуплоскости Re p  0 и
0
является аналитической функцией от p в этой полуплоскости;
6)
В
Re p   1  0
полуплоскости
интеграл
Лапласа
сходится
начальной
задачи
равномерно.
6.
Изображением
Лапласу
решения
x  2x  x  cos 2t, x0  2, x0  5 является:
1) X  p  
2) X  p  

по

p  p 2  4 2 p  2
;
p2  4 p2  2 p 1






p  p 2  4  p  2
;
p2  4 p2  2 p 1


3) X  p  
7.

Изображением


Лапласу
решения
x  2x  2x  sin 2t , x0  2, x0  0 является:
1) X  p  
2) X  p  
3) X  p  
8.


p  p 2  4 2 p  1
.
p2  4 p2  2 p 1

по

начальной
задачи
2  p 2  4 2 p  4
;
p2  4 p2  2 p  2






2  p 2  4  p  2
;
p2  4 p2  2 p  2




2  p 2  4 2 p  2
.
p2  4 p2  2 p  2



Изображением по Лапласу решения начальной задачи для системы
дифференциальных уравнений
 dx
 dt  2 x  y
если x0  1, y0  1 является:
 dy
  x  2y  t
 dt
9.
1) pX  p   2 X  Y , pY  p   1  X  2Y 
2
;
p3
2) pX  p   2 X  Y , pY  p   1  X  2Y 
1
;
p2
3) pX  p   2 X  Y , pY  p   1  X  2Y 
3
.
p4
Изображением по Лапласу решения начальной задачи для системы
дифференциальных уравнений
 dx
 dt  x  2 y
если x0  4, y0  5 является:
 dy
  2x  y  t 2
 dt
1) pX  p   4  X  2Y , pY  p   5  2 X  Y 
2) pX  p   X  2Y , pY  p   2 X  Y 
2
;
p3
2
;
p3
3) pX  p   4  X  2Y , pY  p   5  2 X  Y 
3
p4
10. Какое изображение соответствует оригиналу 2t  t 3 :
1)
2
 p  33
;
2)
3)
2 p3  6
;
p4
p 3
 p  32  25
11. Какое изображение соответствует оригиналу e 3t t 2 :
1)
2)
3)
2
 p  33
;
2 p3  6
;
p4
p 3
 p  32  25
12. Какое изображение соответствует оригиналу e 3t cos(5t ) :
1)
2
 p  33
;
2 p3  6
2)
;
p4
3)
p 3
 p  32  25
.
Задача № 38
Определить промежутки возрастания и убывания функций:
1. f ( x)  3x 2  2 x
2. f ( x)  2  3x  x 3 .
Задача № 39
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале [-2,2]
x2  1


f x 
x
Задача № 40
Найти наклонную асимптоту функции
x2  1


f x 
x
Задача № 41
Найти вертикальную асимптоту функции
f  x 
x2  1
x
Задача № 42
Найти точку перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости функции
1  ln x
x