Темы исследовательских задач по математике

Темы исследовательских задач по математике.
Можно приходить со своими темами!
Классы написаны ориентировочно.
5-8 класс.
АНТИмагический квадрат (Сгибнев А.И.).
Магическим квадратом называется таблица nхn, заполненная различными
натуральными числами от 1 до n 2 , в которой сумма чисел в каждой строке,
столбце и по диагоналям одинакова.
Существует ли магический квадрат для n = 2, 3, 4, 5?
Если да, то сколько есть магических квадратов данного размера?
Интересно рассмотреть также антимагические квадраты, у которых суммы в
каждом столбце, в каждой строке и диагоналях все различны.
6-9 класс.
Наилучшие приближения (Сгибнев А.И.).
Рассмотрим все обыкновенные дроби со знаменателем 4.
Какая из них лучше всего приближает число 5/18?
Тот же вопрос для дробей со знаменателем 7.
Тот же вопрос для всех дробей со знаменателями меньше 18.
Вообще, дробь p/q называется наилучшим приближением для числа, если она
ближе к нему, чем все другие дроби со знаменателем, меньше или равным q.
Как можно быстро находить наилучшие приближения для
а) рациональных чисел,
б) иррациональных чисел?
6-9 класс.
Угадайка с платой (Воронцов А.С.)
Рассмотрим такую игру: один игрок загадывает число, а второй пытается его
угадать. Он делает попытки и после каждой узнает про загаданное число
больше оно, или меньше, чем названное им. При этом если загаданное число
больше он платит 2 рубля, а если меньше, то 1. Какой суммы достаточно,
чтобы гарантированно угадать число?
Можно приходить со своими темами!
Классы написаны ориентировочно.
7-10 класс.
Остатки от Фибоначчи (Воронцов А.С.).
Рассмотрим последовательность Фибоначчи, в которой каждое число
заменено на его остаток от деления на d. Полученная последовательность
будет периодической.
Оказывается, что если рассмотреть зависимость длины периода от d можно
найти массу странных закономерностей. Часть из них уже доказана теми, кто
раньше занимался этим проектом, но многие еще ждут своих открывателей и
исследователей.
6-10 класс.
Все развертки тел Платона (Воронцов А.С.)
Каждый, кто хоть раз в жизни клеил из бумаги правильный многогранник
знает, что такое развертка многогранника и сможет для любого
многогранника нарисовать хоть одну развертку. Гораздо более интересный
вопрос – перечислить все возможные развертки для данного многогранника
или хотя бы просто найти их число.
8-10 класс.
Теорема Наполеона (Сгибнев А.И.).
На доске нарисовали треугольник. На его сторонах вовне построили 3
правильных треугольника и отметили их центры. После этого стёрли всё,
кроме трёх центров. Как восстановить исходный треугольник? Всегда ли
можно это сделать? Придумайте обобщения задачи.
8-10 класс.
Треугольники в разных системах координат (Сгибнев А.И.).
Рассмотрим множество треугольников, для которых радиус описанной
окружности R = 1. Пусть r - радиус вписанной окружности,
а p - полупериметр треугольника.
Изобразите множество всех таких треугольников на плоскости (r, p).
Изобразите на нём различные семейства треугольников (равнобедренные,
прямоугольные и т.д.).
Можно приходить со своими темами!
Классы написаны ориентировочно.
8-9 класс.
Треугольник по 3-м элементам (Сгибнев А.И.).
Имеется много наборов из трёх элементов, которые однозначно задают
треугольник (есть целая книга!). Требуется расклассифицировать эти наборы
(или алгоритмы построения, например, по количеству шагов).
8-9 класс.
Полуправильные шестиугольники (Шноль Д.Э.).
Рассматриваем шестиугольники с равными сторонами и двумя тройками
равных углов. Какие у них свойства? Наоборот: шестиугольники с равными
углами и двумя тройками равных сторон. Затем вписанные и описанные
шестиугольники и т.д.
8-10 класс.
Многочлены над конечными полями (Воронцов А.С.).
Как вы наверное знаете, у многочлена х 2  2 х  4 нет корней. Однако, если
рассматривать все числа по модулю 7 (то есть вместо всех чисел брать
остаток от деления на 7), то единица оказывается корнем этого многочлена и
его можно разложить на множители:
х 2  2 х  4  ( х  1)( х  3) .
Цель проекта – понять, как устроены разрешимые и неразрешимые
квадратные уравнения для разных модулей.
9-10 класс.
Двойственность (Воронцов А.С.)
В проективной геометрии известно такое понятие как "двойственность":
соответствие, переводящее прямые в точки, а точки в прямые.
В результате для каждой теоремы появляется "двойственное" к ней
утверждение. Поскольку это термин из проективной геометрии, это
соответствие не сохраняет расстояний между точками, поэтому что такое
двойственное утверждение к теореме, описывающей какие-то свойства,
связанные с расстояниями не всегда понятно. Тем не менее, в некоторых
специальных случаях можно придать этой конструкции разумный смысл.
Цель проекта -- исследовать, какие теоремы из школьного курса геометрии
имеют двойственные аналоги и как эти аналоги выглядят.
Можно приходить со своими темами!
Классы написаны ориентировочно.
10-11 класс.
Комплексный метод Ньютона (Воронцов А.С.)
Для численного решения уравнений существует метод Ньютона: некоторый
итерационный процесс, который дает всё более точное значение решения.
В случае, если решений несколько, то какое из них мы получим, зависит от
выбора начального приближения. Цель проекта -- понять, как именно
устроена эта зависимость. Особенно интересные результаты получаются,
если рассматривать не действительные, а комплексные числа.
10-11 класс.
Комплексные корни «решаемых» уравнений (Шноль Д.Э.)..
Исследовать на комплексной плоскости, как расположены комплексные
корни тех уравнений 4-ой степени, которые решаются школьными методами
(возвратные, биквадратные со сдвигом, методом неопределенных
коэффициентов и т.д.).
9-11. Математико-педагогический проект. Учебное пособие «Задачи с
параметром» (Шноль Д.Э.).
Создать учебное пособие для 7-9 классов по теме «Задачи с параметром».
Систематизировать типы задач, придумать свои задачи, написать решения,
составить ответы ко всем задачам и т.д. Можно работать небольшой
группой.