Задачи для самостоятельного решения с ответами

Кузбасский региональный институт повышения квалификации и переподготовки
работников образования.
Факультет повышения квалификации.
Кафедра естественнонаучных дисциплин.
Решение задач при помощи неравенств.
Итоговая работа.
Яганова Ирина Юрьевна
учитель математики высшей
квалификационной категории
МОУ «Средняя
общеобразовательная школа
№ 7 » г. Мариинска.
Соскова Людмила Николаевна,
учитель математики 1
квалификационной
категории МОУ «Октябрьская
средняя общеобразовательная
школа» Прокопьевского района.
Бескончина Татьяна Ивановна,
учитель математики высшей
квалификационной категории
МОУ «Трудармейская
средняя общеобразовательная
школа» Прокопьевского района.
Консультант Трушкина Татьяна Петровна
старший преподаватель кафедры
естественно-научных дисциплин.
Кемерово, 2010г.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Оглавление
Пояснительная записка………………………….. 3 стр.
Цель…………………………………………………..4 стр.
Задачи с решением ……………………………… 5 стр.
Задачи для самостоятельного решения с ответами 15 стр.
Литература ………………………………………… 18 стр.
Заключение …………………………………………..19 стр.
2
Пояснительная записка
На современном этапе развития школьного образования проблема
подготовки выпускников, умеющих мыслить нестандартно и творчески,
приобретает особое значение в связи с высокими темпами развития и
совершенствования науки и техники.
Введение профильного обучения, анализ заданий ЕГЭ, задач для
поступающих в ВУЗы за последние годы показывает, что все чаще стали
встречаться задачи, решаемые с помощью неравенств.
В школьном курсе математики таких задач встречается немного. В
связи с этим возникла необходимость создания сборника задач, решаемых
с помощью неравенств.
Решение их способствует развитию логического мышления,
наблюдательности, развивает умение самостоятельно осуществлять
небольшие исследования.
Задачи, связанные с неравенствами, бывают двух видов:
1.
Задачи на сравнение двух выражений;
2.
Задачи,
которые
решаются
с
помощью
неравенств,
систем
неравенств и уравнений.
Эти задачи необходимо начинать решать уже в восьмом классе.
Предлагаемые задачи собраны из разных источников и предназначены
для школьников и педагогов, любящих решать задачи вообще, и для
использования на уроках и факультативных занятиях.
Цель: составить сборник задач, решаемых с помощью неравенств.
Задачи: 1. Проанализировать задания билетов вступительных
экзаменов в ВУЗы нашего региона, задания ЕГЭ за
предыдущие годы;
2. Изучить учебно-методическую литературу по данному
вопросу;
3
3. Подобрать в литературе задачи, решаемые с помощью
неравенств.
Задачи с решением
Задача 1.
Самолет пролетел путь от А до В по ветру и путь от В до А против ветра, причем
скорость ветра не менялась. В другой раз самолет совершил рейс по тому же
маршруту в безветренную погоду. В обоих случаях моторы самолета развивали
одинаковую мощность. В каком случае на весь полет ушло меньше времени?
Решение.
Ответ. В безветренную погоду.
Задача 2. Два туриста вышли из пункта А в пункт В. Первый турист половину
затраченного времени от начала движения шел со скоростью V1, затем со скоростью
V2. Второй же турист первую половину пути шел со скоростью V1, а вторую
половину со скоростью V2. Кто из них затратил меньше времени на прохождение
пути от А до В?
4
Решение.
Ответ. Первый турист затратил времени меньше.
Задача 3.
Туристы отправились на моторной лодке по течению реки и должны вернуться
обратно к стоянке не позднее чем через 3 часа. На какое расстояние могут отъехать
туристы, если скорость течения реки 2 км/ч, а скорость в стоячей воде 18 км/ч?
Решение.
Ответ. Не больше чем на 26 и две третьих км.
5
Задача 4.
На соревнованиях каждый стрелок делал 10 выстрелов. За каждое попадание он
получал 5 очков, за каждый промах с него снимали одно очко. Успешным считалось
выступление, при котором стрелок получал не менее 30 очков. Сколько раз стрелок
должен попасть в мишень, чтобы его выступление было сочтено успешным?
Решение.
Ответ. 7, 8, 9 или 10 раз.
Задача 5. Со склада вывозят железные болванки массой по 500 кг и медные массой
200 кг. На грузовик, который может везти не более 4 тонн, погрузили 12 болванок.
Сколько среди них может быть железных болванок?
Ответ. Не более 5 болванок.
6
Задача 6.
Турист на байдарке проплыл по течению реки 6 км, тут же повернул обратно и
проплыл против течения реки 4 км. С какой собственной скоростью должен плыть
турист, чтобы на все путешествие затратить не более часа, если скорость реки равна
2 км/ч?
Решение.
Ответ. Не менее 10 км/ч
Задача 7.
Около дома посажены липы и березы, причем общее их количество более 14. если
увеличить вдвое количество лип, а количество берез на 18, то берез станет больше.
Если увеличить вдвое количество берез, не меняя количество лип, то лип все равно
будет больше. Сколько лип и сколько берез было посажено?
7
Решение.
Ответ. 11 лип, 5 берез.
Задача 8.
Группа студентов решила купить цветок ценой от 170 до 195 рублей. Однако в
последний момент двое отказались участвовать в покупке, поэтому каждому из
оставшихся пришлось внести на 1 руб. больше. Сколько стоил цветок?
8
Ответ. 180 рублей.
Задача 9.
Лодка спускается по течению реки на расстояние 10 км, а затем поднимается против
течения на расстояние 6 км. Скорость течения реки равна 1 км/ч. В каких пределах
должна быть собственная скорость лодки, чтобы вся поездка заняла от 3 до 4 часов.
Решение.
Ответ:
9
Задача 10.
Школьник переклеивает все свои марки в новый альбом. Если он наклеит по 20
марок на один лист, то ему не хватит альбома, а если по 23 марки на лист, то по
крайней мере один лист окажется пустым. Если школьнику подарить такой же
альбом, на каждом листе которого наклеено по 21 марке, то всего у него станет 500
марок. Сколько листов в альбоме?
Ответ. 12 листов.
Задача 11.
Пункты А и В расположены на одной реке так, что плот, плывущий из А в В со
скоростью течения реки, проходит от А до В за 24 часа. Весь путь от А до В и
обратно катер проходит не менее чем за 10 часов. Если бы собственная скорость
катера увеличилась на 40%, то тот же путь (от А до В и обратно) занял бы у катера
не более 7 часов. Найдите время, за которое катер проходит путь от В в А, когда его
собственная скорость не увеличена.
10
Решение.
Ответ: 6 часов.
Задачи для самостоятельного решения с ответами
Задача 1.
Расстояние между станциями А и В равно 360 км. В одно и то же время из А и В
навстречу друг другу выходят два поезда. Поезд, отправившийся из А, прибывает на
станцию В не ранее чем через 5 часов. Если бы его скорость была в 1,5 раза больше,
чем на самом деле, то он встретил бы второй поезд раньше, чем через два часа после
своего выхода из А. Скорость какого поезда больше?
Ответ. Скорость поезда, вышедшего из В, больше.
11
Задача 2.
Из пункта А в пункт С в 9 часов утра отправился скорый поезд. В это же время из
пункта В, расположенного между пунктами А и С, выходят два пассажирских
поезда, первый из которых следует в пункт А, а второй – в пункт С. Причем,
скорости
пассажирских
поездов
равны.
Скорый
поезд
встречает
первый
пассажирский поезд не позже чем через 3 часа после его отправления, потом
приходит в пункт В не ранее 14 часов того же дня и, наконец, прибывает в пункт С
одновременно с первым пассажирским поездом. Найти время прибытия в пункт А
первого пассажирского поезда.
Ответ. 16 ч 30 мин.
Задача 3.
Из А в В по течению реки плывет плот. Одновременно с тем, когда плот начал путь
из А в В, из В в А навстречу ему поплыла лодка, которая встречает плот не ранее
чем через 2 ч и затем прибывает в А, затратив на весь путь менее 3 ч 20 мин. Успеет
ли плот преодолеть путь из А в В за 5 ч, если расстояние между А и В равно 20 км?
Ответ. Не успеет.
Задача 4.
Квартал застроен пятиэтажными и девятиэтажными домами, причем девятиэтажных
домов меньше, чем пятиэтажных. Если число девятиэтажных домов увеличить
вдвое, то общее число домов станет более 24, а если увеличить вдвое число
пятиэтажных домов, то общее число домов станет менее 27. сколько построено
пятиэтажных домов и сколько девятиэтажных?
Ответ. 9 пятиэтажных и 8 девятиэтажных.
Задача 5.
Пункты А и В расположены на одной реке так, что плот, плывущий из А в В со
скоростью течения реки, проходит путь от А до В за 24 часа. Весь путь от А до В и
обратно моторная лодка проходит не менее чем за 10 ч. если бы собственная
скорость моторной лодки увеличилась на 40% , то тот же путь (т.е. путь от А до В и
обратно) занял бы у лодки не более 7 ч. Найти время, за которое моторная лодка
проходит путь от А до В в случае, когда ее собственная скорость не увеличена.
Ответ. За 4 ч.
12
Задача 6.
В 9 ч утра из пункта А выезжает велосипедист, который едет до пункта В. Через 2 ч
после выезда велосипедиста из А в В выезжает автомобилист, который догоняет
велосипедиста не позже 12 ч дня. Продолжая движение, автомобилист прибывает в
пункт В, мгновенно поворачивает и едет из В в А. На этом пути автомобилист
встречает велосипедиста и потом прибывает в пункт А в 17 ч того же дня. Найти
время прибытия велосипедиста в пункт В , если известно, что между двумя
встречами велосипедиста и автомобилиста прошло не более 3 ч.
Ответ. 18 ч.
Задача 7.
От пристани А вниз по реке, скорость течения которой равна V км/ч, отходит плот.
Через час вслед за ним выходит катер, скорость которого в стоячей воде равна 10
км/ч. догнав плот, катер возвращается обратно. Определить все те значения V ,при
которых к моменту возвращения катера в А плот проходит более 15 км.
Ответ. 5 < V< 10
Задача 8.
Расстояние между А и В равно7 км. Два пешехода одновременно вышли навстречу
друг другу и встретились раньше чем через 1 час, если бы первый шел вдвое
быстрее, чем он шел на самом деле, а скорость движения второго была бы на 2 км/ч
больше его фактической скорости, то к моменту встречи второй прошел бы
большую часть пути. Скорость какого пешехода больше?
Ответ. Скорость второго пешехода больше.
Задача 9.
Из пунктов А и В, расстояние между которыми 120 км, одновременно друг другу
навстречу выезжают два велосипедиста и встречаются позже, чем через 5 ч после
выезда. На следующий день они выезжают навстречу одновременно в одну и ту же
сторону из пунктов С и D, расстояние между которыми 36 км, причем велосипедист,
едущий впереди, движется со скоростью, на 6 км/ч больше, чем накануне, а
велосипедист, едущий сзади, движется с той же скоростью, что и накануне. Хватит
ли второму велосипедисту двух часов, чтобы догнать первого?
13
Ответ. Не хватит.
Задача 10.
Из города А в город В, находящийся на расстоянии 105 км от А, с постоянной
скоростью V км/ч выходит автобус. Через 30 мин вслед за ним из А со скоростью 40
км/ч выезжает автомобиль, который, догнав в пути автобус, поворачивает обратно и
движется с прежней скоростью. Определить все те значения V, при которых
автомобиль возвращается в город А позже, чем автобус приходит в город В.
Ответ. 30 < V < 33,6
Заключение.
Цель работы достигнута, сборник работ составлен.
Данный сборник будет полезен учителям математики для использования в
учебном процессе и внеклассной работе.
14
Литература:
1.
Алгебра: учебник для 8 класса средней школы/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г.
Миндюк, К.И. Немкова, С.Б. Суворова. Под редакцией С.А. Теляковского. М:
Просвещение, 1994 г.
2.
Алгебра: для 8 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с
углубленным изучением математики/ Н.Я. Виленкин. М: Просвещение, 1995 г.
3.
Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы: учебное пособие /
Дыбок П.Т., Забоев А.И.. Под редакцией А.И. Приленко. М: Высшая школа, 1983 г.
4.
Задачи на составление уравнений./ М.В. Лурьев, Б.и. Александров. М: Наука,
1990 г.
5.
Практикум по элементарной математике./ В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович.
М: Просвещение, 1991 г.
15