Лекция №5. СОСТАВЛЕНИЕ И АНАЛИЗ ИСХОДНЫХ

ЛЕКЦИЯ №5. СОСТАВЛЕНИЕ И АНАЛИЗ ИСХОДНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
(Слайд 1)
5.1. Общий метод составления исходных уравнений
Системы автоматического регулирования в большинстве случаев являются сложными устройствами, динамика которых описывается совокупностью дифференциальных уравнений. Для получения этой совокупности
необходимо составить дифференциальное уравнение для каждого элемента автоматической системы так, чтобы общее число уравнений было
не меньше, чем число независимых обобщенных координат, определяющих состояние системы.
При составлении дифференциального уравнения каждого элемента
необходимо прежде всего выявить физический закон, определяющий
его поведение. Таким законом может быть, например, закон сохранения
вещества (объекты регулирования уровня, давления); закон сохранения
энергии (объекты регулирования температуры); закон равновесия моментов (объекты регулирования скорости или угла поворота); закон равновесия электродвижущих сил (электрические цепи) и другие основные законы
физики.
Математическое выражение соответствующего физического закона и
является исходным дифференциальным уравнением данного элемента
автоматической системы.
(Слайд 2)
Для электродвигателя закон равновесия моментов на его валу может
быть записан в следующем виде:
J
d
 M Â  MT ,
dt
(5.1)
где J и Ω – приведенный момент инерции и угловая скорость двигателя; МВ
– вращающий момент двигателя; МТ – тормозной момент внешних сил
(момент нагрузки).
После записи дифференциального уравнения необходимо определить факторы, от которых зависят переменные, входящие в это уравнение.
Необходимо установить, от каких величин, какими выражениями определяются вращающий момент двигателя МВ и тормозной момент МТ на его
валу. Нужно также выяснить, является ли приведенный момент инерции
постоянной величиной или он изменяется в функции какой-то переменной
(например в функции угла поворота двигателя).
1
(Слайд 3)
Так, например, если исследуется двигатель постоянного тока с параллельным возбуждением, то вращающий момент будет пропорциональным
произведению постоянного потока Ф = соnst и тока якоря ІЯ
 ÔI ß  ÑM I ß .
M B  CM
(5.2)
Момент нагрузки может быть постоянным или зависеть от какой-то величины, например, от скорости вращения двигателя, его угла поворота,
времени и т.д. Так, если момент пропорционален квадрату скорости (вентиляционная нагрузка) МТ = k Ω2, то при постоянстве приведенного момента инерции J = const уравнение (5.1) будет иметь следующий вид:
J
d
 CM I ß  k 2 .
dt
(5.3)
Дальнейшим шагом является линеаризация полученных уравнений
в соответствии рассмотренным далее методом, если линеаризация вообще является допустимой. Обычно достаточные признаки возможности
производить линеаризацию заключаются в отсутствии разрывных, неоднозначных или резко изгибающихся характеристик и в справедливости уравнений в течение всего интервала времени регулирования.
После нахождения совокупности дифференциальных уравнений системы целесообразно для упрощения представить их в операторном
виде и затем решать совместно относительно интересующей величины. Обычно система уравнений решается относительно отклонения регулируемой величины от заданного значения (ошибки – x(t)) или относительно самой регулируемой величины Х(t).
(Слайд 4)
Первый случай встречается чаще, так как исследование изменения
ошибки, как правило, является более важным. В этом случае получается
дифференциальное уравнение, которое иногда называется дифференциальным уравнением движения регулятора,
D  p  x  t   C  p Y  t    M K  p  FK  t  .
(5.4)
d
характеризует свободное
dt
движение регулируемого объекта с регулятором. Он называется характеристическим полиномом и может быть представлен в виде
Полином D(p) степени n оператора p 
D  p   a0 pn  a1 pn 1  ....  an ,
(5.5)
где а0 – аn в линеаризованной системе представляют собой постоянные коэффициенты.
2
Полином С(р) той же степени
C  p   C0 pn  C1 pn 1  ....  Ñn ,
(5.6)
где С0 – Сn – постоянные коэффициенты, определяют влияние управляющего воздействия Y(t) на характер изменения ошибки х(t). Выражение
C  p  Y  t   0 только в случае программного регулирования и в следящих
системах. В системах автоматической стабилизации Y  t   const . Поэтому
всегда можно выбрать начало отсчета так, чтобы Y  t   0 , что упрощает
выражение (5.4).
Полиномы МК(р) определяют влияние возмущающих воздействий FK(t)
на характер изменения ошибки х(t). Если для какого-то возмущающего
воздействия FK  t   0 полином M K  p   0 , то система автоматического
регулирования является инвариантной относительно этого воздействия.
Из (5.4) вытекает, что ошибка системы автоматического регулирования
может быть представлена в виде суммы двух составляющих. Первая составляющая определяется наличием управляющего воздействия Y(t). Вторая составляющая определяется наличием возмущающих воздействий.
В системах автоматической стабилизации ошибка сводится только ко
второй составляющей, то есть она определяется только наличием возмущающих воздействий.
При решении системы дифференциальных уравнений относительно
регулируемой величины Х(t) получается так называемое уравнение движения регулируемого объекта при наличии автоматического регулирования.
(Слайд 5)
Это уравнение может быть получено в результате подстановки выражения для ошибки х(t) = Y(t) – X(t) в уравнение (5.4). В результате имеем:
D  p  X  t   B  p Y  t    M K  p  FK  t  ,
(5.7)
где полином В(p) определяется выражением
B  p  D  p  C  p .
Степень полинома B(p) – m, причем (m ≤ n)
B  p   b0 pm  b1 pm 1  ...  bm .
Как и ранее в системах автоматической стабилизации при Y(t) = const
можно при соответствующем выборе начала отсчета получить Y(t) = 0, что
упрощает выражение (5.7).
При заданных функциях времени в правой части дифференциальных
уравнений (5.4) и (5.7) эти уравнения могут быть решены (проинтегриро3
ваны) относительно искомых функций времени, то есть может быть
найдено изменение ошибки регулирования во времени х(t) из (5.4) и движение регулируемого объекта вместе с регулятором Х(t) – из (5.7).
5.2. Передаточные функции САР
(Слайд 6)
F1
F2
F3
Fx
ОР
ИЭ
X
ЧЭ
Y
х
ПЭ
Рис. 5.1. САР по замкнутому циклу
Записанные выше дифференциальные уравнения САР (5.4) и (5.7) могут
быть легко получены на основании понятия передаточной функции, которое
было введено ранее. Рассмотрим систему
автоматического регулирования по замкнутому циклу (рис. 5.1).
Предположим вначале, что чувствительный элемент (ЧЭ) отсоединен от
объекта регулирования (ОР) и рассмотрим так называемую разомкнутую систему автоматического регулирования.
Регулирующее воздействие, которое
прикладывает исполнительный элемент
(ИЭ) к регулируемому объекту, определяется выражением
Fx  w ðåã  p  x ,
(5.8)
где х – рассогласование на выходе чувствительного элемента; wрег(p) – передаточная функция цепи регулирования.
(Слайд 7)
Регулируемая величина может быть найдена из выражения
X  wF  p  Fx   wK  p  FK ,
(5.9)
где wF(p) – передаточная функция регулируемого объекта по регулирующему воздействию; wK(p) – передаточная функция регулируемого объекта
по возмущающему воздействию FK.
Подставляя (5.8) в (5.9), имеем:
X  W  p  x   wK  p  FK .
(5.10)
В 5.10 введена так называемая передаточная функция разомкнутой системы
W  p   wF  p  w ðåã  p  ,
4
(5.11)
которая равна отношению регулируемой величины к ошибке при внешних
возмущениях, равных нулю.
(Слайд 8)
При этих условиях передаточная функция разомкнутой системы дает
связь между регулируемой величиной и ошибкой
X  W  p x .
(5.12)
Рассмотрим теперь замкнутую систему, то есть предположим, что чувствительный элемент соединен с регулируемым объектом. В этом случае
можно использовать уравнение замыкания
x = Y – X.
(5.13)
(Слайд 9)
Решая (5.10) и (5.13) совместно, имеем для регулируемой величины
X
W  p
1 W  p 
Y
 wK  p  FK
1 W  p 
,
(5.14)
а для ошибки получим такое выражение
x
Y
 wK  p  FK .

1 W  p 
1  W  p
(5.15)
Выражение
Ô  p 
W  p
(5.16)
1 W  p 
называется передаточной функцией замкнутой системы или главным оператором.
(Слайд 10)
Передаточная функция замкнутой системы дает связь между регулируемой величиной и управляющим воздействием при равенстве нулю возмущающих воздействий
X  Ô  p Y 
W  p
1 W  p 
Y.
(5.17)
Передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в виде дробно-рациональной функции от оператора p.
В результате сравнения формул (5.4) и (5.7) с формулами (5.14) и
(5.15) можно получить следующее выражение для передаточной функции
разомкнутой системы:
5
W  p 
B  p
,
C  p
(5.18)
где В(p) и D(p) – полиномы от оператора, совпадающие с соответствующими полиномами в (5.4) и (5.7).
(Слайд 11)
Характеристический полином системы
D  p  C  p  B  p.
(5.19)
Приравнивание нулю характеристического полинома дает характеристическое уравнение системы
D  p  C  p  B  p  0 .
(5.20)
Оно может быть записано в более удобной форме, которая непосредственно получается из (5.4) и (5.7), так как характеристическое уравнение
системы есть знаменатель операторного выражения, приравненный нулю:
1 W  p   0 .
(5.21)
(Слайд 12)
Для полиномов МК(p), входящих в формулы (5.4) и (5.7), можно положить следующее соотношение:
M K  p   C  p  wK  p  .
(5.22)
Из рассмотренного видно, что знание передаточной функции разомкнутой системы позволяет легко найти выражение для ошибки и регулируемой величины в функции управляющего и возмущающих воздействий.
5.3. Составление уравнений на основе типовых звеньев
Нахождение основных уравнений системы автоматического регулирования (5.14) и (5.15) во многих случаях может быть значительно облегчено
использованием понятия динамических звеньев. Динамические звенья
были подробно рассмотрены ранее.
Часто систему автоматического регулирования можно разбить на комбинацию динамических звеньев с определенными «типовыми» передаточными функциями. Эти звенья могут соединяться друг с другом различным
образом. Наиболее часто встречаются следующие соединения звеньев.
(Слайд 13)
1. Последовательное соединение звеньев (рис. 5.2).
6
х1
w1(р)
х2
х3
w2(р)
w3(р)
х4
Рис. 5.2. Последовательное соединение звеньев
В этом случае результирующая передаточная функция равна произведению передаточных функций отдельных звеньев
w  p   w1  p   w2  p   w3  p   ... .
(5.23)
Следует подчеркнуть, что это правило будет справедливым только в
том случае, когда соединение выхода предыдущего звена с входом последующего не меняет исходных уравнений каждого звена и, следовательно,
его передаточной функции.
Если при соединении двух звеньев наблюдается влияние одного звена
на другое, в результате которого меняются исходные уравнения какого-то
звена, то такое соединение двух звеньев должно рассматриваться как новое самостоятельное звено со своей передаточной функцией.
(Слайд 14)
2. Параллельное соединение звеньев (рис. 5.3).
х2
w1(р)
х1
х3
w2(р)
х5
х4
w3(р)
Рис. 5.3. Параллельное соединение звеньев
Так как сигналы на выходе всех звеньев складываются, то результирующая передаточная функция в этом случае равна сумме передаточных
функций
w  p   w1  p   w2  p   w3  p   ... .
(5.24)
Для этого правила остаются справедливыми замечания, сделанные
ранее относительно взаимного влияния звеньев.
7
(Слайд 15)
3. Обратные связи (рис. 5.4).
Обратная связь может быть положительной, если сигнал х3 с выхода
второго звена суммируется с сигналом х1 на выходе первого звена, и отрицательной, если он вычитается.
Для нахождения результирующей передаточной функции такой комбинации звеньев запишем следующие соотношения:
x2  w1  p   x1  x3  ; x3  w2  p  x 2 ,
(5.25)
где знак плюс относится к положительной, а знак минус – к отрицательной
обратной связи. Решая эти уравнения совместно, имеем
w p 
w1  p 
x2

.
x1 1 w1  p  w2  p 
(5.26)
Здесь знак минус относится к положительной, а знак плюс – к отрицательной обратной связи.
х1
w1(р)

х3
х2
х2
w2(р)
Рис. 5.4. Локальная обратная связь
При использовании понятия динамических звеньев обычно наиболее
просто находится передаточная функция разомкнутой системы (см.
рис. 5.1). Затем по ранее рассмотренным правилам легко находится уравнение системы автоматического регулирования.
(Слайд 16)
При анализе для системы автоматического регулирования необходимо
составить так называемую структурную схему (рис. 5.5), представляющую собой совокупность динамических звеньев и связи между ними.
Такая структурная схема часто является весьма простой и её составление не представляет особого труда. Однако в некоторых случаях составление структурной схемы сопряжено с большими трудностями и может быть сделано только на основе детального анализа исходных дифференциальных уравнений системы регулирования. В этом случае структурная схема не облегчает нахождения основных уравнений системы, но и
здесь она остается весьма ценной, так как на ней в наглядной форме
представлены все узлы исследуемой системы и все существующие между
8
ними связи. Это может оказаться полезным во всех дальнейших исследованиях.
Х
Y
wоp(р)
d
х
с
w2(р)
w1(р)
a
b
+
w4(р)
-
w3(р)
w5(р)
Рис. 5.5. Пример структурной схемы САР
На рис. 5.5 изображен пример системы автоматического регулирования
(структурная схема). Передаточная функция разомкнутой системы в случае размыкания обратной связи будет иметь вид:
w4  p 
wî ð  p  .
p
w
p




4
5
W  p   w1  p   w2  p   w3  p 
1 w
(5.27)
Для нахождения передаточной функции разомкнутой системы можно
разомкнуть систему в другом месте, например в точках а, b, с или d.
После получения передаточной функции разомкнутой системы по выражению (5.16) получают передаточную функцию замкнутой системы, а по
формулам (5.14) или (5.15) – дифференциальные уравнения САР.
(Слайд 17)
В тех случаях, когда структурная схема оказывается сложной и содержит много перекрестных связей, можно попытаться ее упростить и свести к
простейшему виду. преобразование структурных схем линейных систем
делается на основании правил приведенных в табл. 5.1.
На рис. 5.6 изображены этапы упрощения сложной структурной схемы
на основе приведенных выше правил. При упрощении введены дополнительные передаточные функции определяемые выражениями
W1
,
1 W1W2
(5.28)
W3  4  W3  W4 ,
(5.29)
W1 2 
(Слайд 18)
9
W3  6 
W3  W4
.
1 W3  W4 W5W6
(5.30)
Полученная в результате преобразования схема (рис. 5.6, в) уже относиться к простейшим.
1
-
2
W1
-
3
1
4
2
W3
-
W2
3
W5
4
W4
W6
W7
a)
2
3
W1-2
-
4 3
W3-4
W6
W5
W5
б)
W7
2
-
W1-2
W3-6
3
W5
в)
W7
Рис. 5.6. Пример преобразования структурной схемы САР
10
Таблица 5.1
Правила преобразования структурных и линейных систем
Операция
Перестановка сумматоров
или элементов сравнения
Исходная схема
x2
x1
Эквивалентная схема
x4
-
x4
x1
x5
x3
Перенос узла с выхода на
вход сумматора
x1
W1
Перенос узла с входа на
выход сумматора
Перенос узла с выхода на
вход звена
x2
x1
x3
x3
-
x2
x2
W2
x1
x1
x2
x1
x2
x1
x1
x2
x2
W2
W2-1
x1
x1
Перенос сумматора с выхода на вход звена
x1
x1
x3
W1
W1
x2
Перенос сумматора с входа
на выход звена
x1
W2
W1-1
x1
x3
x2
Замена звеньев прямой и
обратной цепи
W1
x2
x1
x1
W1
W2
11
x2
W2
W2-1
x2
W1-1
W2
Переход к единичной обратной связи
x3
x3
W2
x2
x1
x2
W1
W1
x2
x2
Перенос узла с входа на
выход звена
x2
W1
x3
x3
W1
W2
x1
x3
x1
x1
x1
x3
x1
x5
x5 = x1 – x2 +x3 +x4
W2
x2
-
x3
x5 = x1 – x2 +x3 +x4
Перестановка звеньев
x2
x2
x1
W2-1
W1
W2
x2