Сопромат

ЛЕКЦИИ по СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ
СОДЕРЖАНИЕ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Введение и основные понятия
Метод сечений для определения внутренних усилий
Эпюры внутренних усилий при растяжении-сжатии и кручении
Эпюры внутренних усилий при прямом изгибе
Понятие о напряжениях и деформациях
Плоское напряженное состояние
Упругость и пластичность. Закон Гука
Механические характеристики конструкционных материалов
Влияние различных факторов на механические характеристики
материалов
Основные понятия теории надежности конструкций
Прочность и перемещения при центральном растяжении или сжатии
Учет собственного веса при растяжении и сжатии.
Геометрические характеристики плоских сечений
Моменты инерции относительно параллельных осей
Главные оси инерции и главные моменты инерции
Прямой чистый изгиб стержня
Прямой поперечный изгиб стержня
Лекция № 1. Введение и основные понятия
Сопротивление материалов – наука о прочности, жесткости
и надежности элементов инженерных конструкций. Методами
сопротивления материалов ведутся практические расчеты и
определяются необходимые, как говорят, надежные размеры
деталей машин, различных конструкций и сооружений.
Основные понятия сопротивления материалов опираются на
законы и теоремы общей механики и в первую очередь на
законы статики, без знания которых изучение данного
предмета становится практически невозможным.
В отличие от теоретической механики сопротивление
материалов рассматривает задачи, где наиболее
существенными являются свойства деформируемых тел, а
законы движения тела, как жесткого целого, не только
отступают на второй план, но в ряде случаев являются
попросту несущественными.
Сопротивление материалов имеет целью создать
практически приемлемые простые приемы расчета типичных,
наиболее часто встречающихся элементов конструкций.
Необходимость довести решение каждой практической задачи
до некоторого числового результата заставляет в ряде случаев
прибегать к упрощающим гипотезам – предположениям,
которые оправдываются в дальнейшем путем сопоставления
расчетных данных с экспериментом.
Необходимо отметить, что первые заметки о прочности
упоминаются в записках известного художника ЛЕОНАРДО Де
ВИНЧИ, а начало науки о сопротивлении материалов
связывают с именем знаменитого физика, математика и
астронома ГАЛИЛЕО ГАЛИЛЕЯ. В 1660 году Р.ГУК
сформулировал закон, устанавливающий связь между
нагрузкой и деформацией: «Какова сила – таково и
действие». В XVIII веке необходимо отметить работы
Л.ЭЙЛЕРА по устойчивости конструкций. XIX – XX века
являются временем наиболее интенсивного развития науки в
связи с общим бурным ростом строительства и промышленного
производства при безусловно огромном вкладе ученыхмехаников России.
Итак, мы будем заниматься твердыми
деформированными телами с изучением их физических
свойств.
Введем основные понятия, принимаемые при изучении
дисциплины.
Прочность – это способность конструкции выдерживать
заданную нагрузку, не разрушаясь.
Жесткость – способность конструкции к деформированию в
соответствие с заданным нормативным регламентом.
Деформирование – свойство конструкции изменять свои
геометрические размеры и форму под действием внешних сил
Устойчивость – свойство конструкции сохранять при
действии внешних сил заданную форму равновесия.
Надежность – свойство конструкции выполнять заданные
функции, сохраняя свои эксплуатационные показатели в
определенных нормативных пределах в течение требуемого
промежутка времени.
Ресурс – допустимый срок службы изделия. Указывается в
виде общего времени наработки или числа циклов нагружения
конструкции.
Отказ – нарушение работоспособности конструкции.
Опираясь на вышесказанное, можно дать определение
прочностной надежности.
Прочностной надежностью называется отсутствие отказов,
связанных с разрушением или недопустимыми деформациями
элементов конструкции.
На рис.1 приведена структура модели прочностной
надежности. Она включает известные модели или
ограничения, которые априорно накладываются на свойства
материалов, геометрию, формы изделия, способы нагружения,
а также модель разрушения. Инженерные модели сплошной
среды рассматривают материал как сплошное и однородное
тело, наделенное свойством однородности структуры. Модель
материала наделяется свойствами упругости, пластичности и
ползучести.
Рис.1. Структура модели прочностной надежности элементов
конструкций
Упругостью называется свойство тела восстанавливать свою
форму после снятия внешних нагрузок.
Пластичностью называется свойство тела сохранять после
прекращения действия нагрузки, или частично полученную
при нагружении, деформацию.
Ползучестью называется свойство тела увеличивать
деформацию при постоянных внешних нагрузках.
Основными моделями формы в моделях прочностной
надежности, как известно, являются: стержни, пластины,
оболочки и пространственные тела (массивы), рис.2. Модели
Рис.2. Основные модели формы в моделях прочностной
надежности: а) стержень, б) пластина, в) оболочка
нагружения содержат схематизацию внешних нагрузок по
величине, характеру распределения (сосредоточенная или
распределенная сила или момент), а также воздействию
внешних полей и сред.
Внешние силы, действующие на элемент конструкции,
подразделяются на 3 группы: 1) сосредоточенные силы, 2)
распределенные силы, 3) объемные или массовые силы.
Сосредоточенные силы — силы, действующие на небольших
участках поверхности детали (например давление шарика
шарикоподшипника на вал, давление колеса на рельсы и т.п.)
Распределенные силы приложены значительным участкам
поверхности (например давление пара в паропроводе,
трубопроводе, котле, давление воздуха на крыло самолета и
т.д.
Объемные или массовые силы приложены каждой частице
материала (например силы тяжести, силы инерции)
После обоснованного выбора моделей формы, материала,
нагружения переходят к непосредственной оценке надежности
с помощью моделей разрушения. Модели разрушения
представляют собой уравнения, связывающие параметры
работоспособности элемента конструкции в момент
разрушения с параметрами, обеспечивающими прочность. Эти
уравнения (условия) называют условиями прочности. Обычно
рассматриваются в зависимости от условий нагружения
четыре модели разрушения:




статического разрушения,
длительно статического разрушения,
малоциклового статического разрушения,
усталостного разрушения.
При малом числе циклов (N<102) развиваются значительные
пластические деформации (статическое разрушение), при
большом числе циклов (N>105) пластические деформации
отсутствуют (усталостное разрушение). В промежуточной
области (102<N<105) разрушение носит смешанный характер
(малоцикловое разрушение). Если на элемент конструкции
действует высокая температура (для алюминиевых сплавов
свыше 200 Co, для стальных и титановых сплавов свыше 400
Co, для жаропрочных сплавов свыше 600 Co), но в этом случае
рассматривается так называемая длительная прочность
материала.
Таким образом, сопротивление материалов зависит не
только от величин действующего усилия, но и от длительности
самого воздействия.
Как уже отмечалось, изучение дисциплины невозможно без
знания основ теоретической механики. Поэтому свой
остаточный ресурс знаний рекомендую проверить по разделу
«Статика», используя систему входных тестов.
Поскольку изучение сопротивления материалов базируется
прежде всего на таких известных понятиях как сила, пара сил,
связи, реакции в связях, равнодействующая система внешних
сил, то…
Вам рекомендуется решить простые задачи — входные
тесты.
Лекция № 2. Метод сечений для определения внутренних
усилий
Деформации рассматриваемого тела (элементов
конструкции) возникают от приложения внешней силы. При
этом изменяются расстояния между частицами тела, что в
свою очередь приводит к изменению сил взаимного
притяжения между ними. Отсюда, как следствие, возникают
внутренние усилия. При этом внутренние усилия
определяются универсальным методом сечений (или метод
разреза).
Известно, что различают силы внешние и силы внутренние.
Внешние усилия (нагрузки) – это количественная мера
взаимодействия двух различных тел. К ним относятся и
реакции в связях. Внутренние усилия – это количественная
мера взаимодействия двух частей одного тела, расположенных
по разные стороны сечения и вызванные действием внешних
усилий. Внутренние усилия возникают непосредственно в
деформируемом теле.
На рис.1 приведена расчетная схема бруса с произвольной
комбинацией внешней нагрузки образующую равновесную
систему сил:
(1)
Сверху вниз: упругое тело, левая отсеченная часть, правая
отсеченная часть
Рис.1. Метод сечений.
При этом, реакции связей определяются из известных
уравнений равновесия статики твердого тела:
(2)
где х0, у0, z0 — базовая система координат осей.
Мысленное разрезание бруса на две части произвольным
сечением А (рис.1 a), приводит к условиям равновесия каждой
из двух отсеченных частей (рис.1 б,в). Здесь {S’} и {S"}внутренние усилия, возникающих соответственно в левой и
правой отсеченных частях вследствие действия внешних
усилий.
При составлении мысленно отсеченных частей, условие
равновесия тела обеспечивается соотношением:
Так как исходная система внешних сил (1) эквивалентна
нулю, получаем:
{S’} = – {S”} (3)
Это условие соответствует четвертой аксиоме статики о
равенстве сил действия и противодействия.
Используя общую методологию теоремы Пуансо о приведении
произвольной системы сил к заданному центру и выбрав за
полюс приведения центр масс, сечения А', точку С', систему
внутренних усилий для левой части {S’} сводим к главному
вектору и главному моменту
внутренних усилий.
Аналогично делается для правой отсеченной части, где
положение центра масс сечения А”; определяется,
соответственно, точкой С" (рис.1 б,в).
{S’} ~ {R’,L’0}; {S"} ~ { R”,L”0},
(4)
Здесь в соответствие с четвертой аксиомой статики попрежнему имеют место следующие соотношения:
R’ = – R”
L’0
=–
(5)
L”0
Таким образом главный вектор и главный момент системы
внутренних усилий, возникающие в левой, условно
отсеченной части бруса, равны по величине и
противоположны по направлению главному вектору и
главному моменту системы внутренних усилий, возникающих в
правой условно отсеченной части.
График (эпюра) распределения численных значений главного
вектора и главного момента вдоль продольной оси бруса и
предопределяют, прежде всего, конкретные вопросы
прочности, жесткости и надежности конструкций.
Определим механизм формирования компонент внутренних
усилий, которые характеризуют простые виды сопротивлений:
растяжение-сжатие, сдвиг, кручение и изгиб.
В центрах масс исследуемых сечений С' или С" зададимся
соответственно левой (с', х', у', z') или правой (с", х", у", z”)
системами координатных осей (рис.1 б, в), которые в отличие
от базовой системы координат x, у, z будем называть
"следящими". Термин обусловлен их функциональным
назначением. А именно: отслеживание изменения положения
сечения А (рис.1 а) при условном смещении его вдоль
продольной оси бруса, например при: 0 х’1 а, а x’2 b и
т.д., где а и b — линейные размеры границ исследуемых
участков бруса.
Зададимся положительными направлениями проекций
главного вектора или
и главного момента
или
на
координатные оси следящей системы (рис.1 б, в):
{N’, Q’y, Q’z}
{N”, Q”y, Q”z}
{M’x, M’y, M’z}
{M”x, M”y, M”z}
(6)
При этом положительные направления проекций главного
вектора и главного момента внутренних усилий на оси
следящей системы координат соответствуют правилам статики
в теоретической механике: для силы — вдоль положительного
направления оси, для момента — против вращения часовой
стрелки при наблюдении со стороны конца оси. Они
классифицируются следующим образом:
Nx — нормальная сила, признак центрального растяжения или
сжатия;
Мx — внутренний крутящий момент, возникает при кручении;
Qz, Qу — поперечные или перерезывающие силы – признак
сдвиговых деформаций,
Му, Мz — внутренние изгибающие моменты, соответствуют
изгибу.
Соединение левой и правой мысленно отсеченных частей
бруса приводит к известному (3) принципу равенства по
модулю и противоположной направленности всех
одноименных компонент внутренних усилий, а условие
равновесии бруса определяется в виде:
{P1, P2, P3, …, N’, N”, Q’y, Q”y, Q’z, Q”z, M’x, M”x,
M’y, M”y, M’z, M”z, …, Pn-1, Pn} ~ 0
(7)
С учетом эквивалентности нулю исходной системы сил (1)
имеет место:
{N’, N”, Q’y, Q”y, Q’z, Q”z, М’x, M”x, M’y, M”y, М’z, M”z}~0
(8)
Как естественное следствие из соотношений 3,4,5 полученное
условие является необходимым для того, чтобы одноименные
компоненты внутренних усилий попарно образовали
подсистемы сил эквивалентные нулю:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
{N’, N”} ~ 0 > N’ = – N”
{Q’y, Q”y} ~ 0 > Q’y = – Q”y
{Q’z, Q”z} ~ 0 > Q’z = – Q”z
{М’x, M”x} ~ 0 > М’x = – M”x
{M’y, M”y} ~ 0 > M’y = – M”y
{М’z, M”z} ~ 0 > М’z = – M”z
(9)
Общее число внутренних усилий (шесть) в статически
определимых задачах совпадает с количеством уравнений
равновесия для пространственной системы сил и связано с
числом возможных взаимных перемещений одной условно
отсеченной части тела по отношению к другой.
Искомые усилия определяются из соответствующих уравнений
для любой из отсеченных частей в следящей системе
координатных осей. Так, для любой отсеченной части
соответствующие уравнения равновесия приобретают вид;
1.
ix
= N + P1x + P2x + … + Pkx = 0 > N
2.
iy
= Qy + P1y + P2y + … + Pky = 0 > Qy
3.
iz
= Q + P1z + P2z + … + Pkz = 0 > Qz
4.
x
(Pi) = Mx + Mx(Pi) + … + Mx(Pk) = 0 > Mx
(10)
5.
y
(Pi) = My + My(Pi) + … + My(Pk) = 0 > My
6.
z
(Pi) = Mz + Mz(Pi) + … + Mz(Pk) = 0 > Mz
Здесь для простоты обозначений системы координат с' х' у' z'
и с" х" у" т" заменены единой оxуz.
Уважаемые коллеги! Таким образом, предлагаемый автором
метод построения эпюр внутренних усилий, освобождающий
Вас от механического запоминания "правил знаков" при
построении эпюр внутренних усилий, заключается в
следующем:
1. Определите реакции в связях по величине и
направлению в базовой системе координат.
2. Определите количество участков бруса для
использования метода сечений.
3. Мысленно рассеките брус в пределах исследуемого
участка и изобразите на Ваше усмотрение левую или
правую условно отсеченную часть.
4. Укажите пределы изменения положения сечения вдоль
продольной оси в базовой системе координат на этом
участке.
5. Введите в искомом сечении соответственно левую или
правую следящую систему координатных осей.
6. Задайтесь положительными направлениями внутренних
усилий в следящей системе координат.
7. Составьте уравнения равновесия для рассматриваемой
условно отсеченной части бруса в следящей системе
координат.
8. Определите из уравнений равновесия искомые
внутренние усилия.
9. Вычислите искомые внутренние усилия на границах
участков и при необходимости, — их экстремальные
значения.
10.
Выбрав масштаб усилий, выполните построение
эпюры в соответствие с полученными их модульными
значениями и знаками.
Указанная последовательность действий (кроме п.1)
составляет суть метода сечений (разреза), единственного
метода для определения внутренних усилий.
Не забываем, что при распределенной нагрузке в
соответствие с теоремой Вариньона векторный момент
равнодействующей рассматриваемой системы сил
относительно любой точки равен сумме векторных моментов
всех сил этой системы относительно той же точки.
Эпюры внутренних усилий позволяет визуально найти
положение опасного сечения, где действуют наибольшие по
модулю внутренние усилия. В этом сечении при прочих
равных условиях наиболее вероятно разрушение конструкции
при предельных нагрузках.
Лекция № 3. Эпюры внутренних усилий при растяжениисжатии и кручении
ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ РАСТЯЖЕНИИСЖАТИИ
Растяжением или сжатием называется такой простой вид
сопротивления, при котором внешние силы приложены вдоль
продольной оси бруса, а в поперечном сечении его возникает
только нормальная сила.
Рассмотрим расчетную схему бруса постоянного поперечного
сечения с заданной внешней сосредоточенной нагрузкой Р и
распределенной q, (рис.1).
а) расчетная схема, б) первый участок, левая отсеченная
часть, в) второй участок, левая отсеченная часть, г) второй
участок, правая отсеченная часть, д) эпюра нормальных сил
Рис.1. Построение эпюры нормальных сил:
Пусть
. Прежде всего определим опорную реакцию R,
задавшись ее направлением вдоль оси х.
Брус имеет 2 участка 1 и 2.
В пределах первого участка мысленно рассечем брус на 2
части нормальным сечением и рассмотрим равновесие,
допустим левой части, введя следующую координату х1, рис.1
б:
Следовательно, в пределах первого участка брус
претерпевает сжатие постоянной нормальной силой.
Аналогично поступим со вторым участком. Мысленно рассечем
его сечением 2—2, и рассмотрим равновесие левой части
(рис.1 в).Установим предварительно границы изменения х2:
Подставляя граничные значения параметра х2, получим:
Таким образом, в пределах второго участка брус растянут и
нормальная сила изменяется по линейному закону.
Аналогичный результат получается и при рассмотрении
правой отсеченной части (рис.1 г):
На основе полученных данных строится эпюра нормальных
сил в виде графика распределения нормальной силы по длине
бруса (рис.1 д). Характерно, что скачки на эпюре
обусловлены наличием в соответствующих сечениях
сосредоточенных сил R и Р, что в свою очередь может служить
правилом правильности выполненных построений.
ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ПРИ КРУЧЕНИИ
Кручением называется простой вид сопротивления, при
котором к брусу (валу) прикладываются внешние пары сил в
плоскостях, совпадающих с поперечным сечением вала, а в
последних возникает только внутренний крутящий момент.
Рассмотрим расчетную схему вала, нагруженного двумя
сосредоточенными моментами М и 2М и распределенными по
длине: m, рис.2.
Методика построения эпюры аналогична только что
рассмотренной методике при растяжении-сжатии.
а) расчетная схема, б) первый участок, левая часть в) второй
участок, левая часть г) третий участок, правая часть, д) эпюра
внутренних крутящих моментов
Рис. 2. Построение эпюры внутренних крутящих моментов:
В исходных сечениях No 1,2 и 3 задаются положительными
значениями внутренних крутящих моментов М1, М2, М3. Пусть
М=ml.
Для первого участка (рис.2 б):
Для второго участка (рис.2 в):
Для третьего участка (рис.2 г):
Границы измерения параметра х3 в следующей системе
координат:
Тогда:
Отмеченные значения ординат откладываются на эпюре
внутренних крутящих моментов (рис.2 д).
Лекция № 4. Эпюры внутренних усилий при прямом изгибе.
Прямым изгибом называется такой вид простого
сопротивления, когда внешние силы приложены
перпендикулярно продольной оси бруса (балки) и
расположены в одной из главных плоскостей в соответствие с
конфигурацией поперечного сечения балки.
Как известно, при прямом изгибе в поперечном сечении
возникают два вида внутренних усилий: поперечная сила и
внутренний изгибающий момент.
Рассмотрим пример расчетной схемы консольной балки с
сосредоточенной силой Р, рис. 1 а., …
а) расчетная схема, б) левая часть, в) правая часть, г) эпюра
поперечных сил, д) эпюра изгибающих моментов
Рис.1. Построение эпюр поперечных сил и внутренних
изгибающих моментов при прямом изгибе:
Прежде всего вычислим реакции в связи на базе уравнений
равновесия:
После мысленного рассечения балки нормальным сечением
1—1 рассмотрим равновесие левой отсеченной части (рис.1 б),
получим:
Таким образом, на первом участке поперечная сила
отрицательная и постоянная, а внутренний изгибающий
момент изменяется по линейному закону.
Для правой отсеченной части при рассмотрении ее равновесия
результат аналогичен рис.1 в. А именно:
На основании полученных значений строятся эпюры
поперечных сил (рис.1 г) и внутренних изгибающих моментов
(рис.1 д).
Как следует из построенных эпюр
,а
в
сечении жесткой связи. Именно это сечение и является
наиболее опасным в данной расчетной схеме.
Продифференцируем выражение внутреннего изгибающего
момента по координате х:
Как видим, после дифференцирования получено выражение
для поперечной силы. Случайность это или закономерность? –
Закономерность.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ
ВНУТРЕННИМИ УСИЛИЯМИ ПРИ ИЗГИБЕ
Рассмотрим расчетную схему балки с произвольной
распределенной нагрузкой
(рис.2).
Рис.2. Схема изгиба балки:
а) расчетная модель, б) фрагмент балки
Составим уравнение равновесия:
Таким образом, действительно: первая производная от
внутреннего изгибающего момента по линейной координате
равна поперечной силе в сечении.
Это известное свойство функции и ее первой производной
успешно используется при проверке правильности построения
эпюр. Так, для расчетной схемы консольной балки (рис.1) эта
связь дает следующие проверочные результаты:
и М убывает от 0 до –Pl.
иМ
х.
Рассмотрим второй характерный пример изгиба двухопорной
балки (рис.3).
а) расчетная схема, б) модель первого участка, в) модель
второго участка, г) эпюра поперечных сил, д) эпюра
изгибающих моментов
Рис.3. Изгиб двухопорной балки:
Очевидно, что опорные реакции RA = RB

< б) (рис.3 участка первого>
:

для второго участка (рис.3 в) –
Эпюры внутренних усилий представлены соответственно
на рис.3 г и 3 д.
На основе дифференциальной связи Q и М, получим:

для первого участка:
Q > 0 и М возрастает от нуля до
Q = const и M

.
x
для второго участка:
Q < 0 и М убывает с
до нуля.
Q = const и M также пропорционален х, т.е. изменяется по
линейному закону.
Опасным в данном примере является сечение балки в центре
пролета:
.
Третий характерный пример связан с использованием
распределенной по длине балки нагрузки (рис.4). Следуя
методике, принятой ранее, очевидно равенство опорных
реакций:
, а для искомого сечения (рис.4 б)
выражения для внутренних усилий приобретают вид:
а) расчетная схема, б) отсеченная часть, в) эпюра поперечных
сил, г) эпюра внутренних изгибающих моментов
Рис.4 Двухопорная балка с равномерно распределенной
нагрузкой:
На обеих опорах изгибающий момент отсутствует. Тем не
менее опасным сечением балки будет центр пролета при
.
Действительно, исходя из свойства функции и производной
при
, внутренний изгибающий момент достигает
экстремума. Для нахождения исходной координаты х0 (рис.4
в) в общем случае приравняем выражение поперечной силы к
нулю. В итоге получим
После подстановки
получим:
в выражение изгибающего момента
Таким образом,
Необходимо отметить, что техника построения эпюр при
изгибе наиболее трудно усваивается слушателями. Вам
представляется возможность научиться «быстрому»
построению эпюр на тесторе-тренажере, приведенном в
ПРИЛОЖЕНИИ и решить в выходных тестах по сопротивлению
материалов Вам знакомые по постановке задачи позиции.
Лекция № 5. Понятие о напряжениях и деформациях
Как отмечалось выше, внутренние силы, действующие в
некотором сечении со стороны отброшенной части тела,
можно привести к главному вектору и главному моменту.
Зафиксируем точку М в рассматриваемом сечении с
единичным вектором нормали n. В окрестности этой точки
выделим малую площадку F. Главный вектор внутренних
сил, действующих на этой площадке, обозначим через P
(рис. 1 а). При уменьшении размеров площадки
соответственно
Рис.1. Композиция вектора напряжения.
а) вектор полного напряжения б) вектор нормального и
касательного напряжений
уменьшаются главный вектор и главный момент внутренних
сил, причем главный момент уменьшается в большей степени.
В пределе при
получим
Аналогичный предел для главного момента равен нулю.
Введенный таким образом вектор рn называется вектором
напряжений в точке. Этот вектор зависит не только от
действующих на тело внешних сил и координат
рассматриваемой точки, но и от ориентации в пространстве
площадки F, характеризуемой вектором п. Совокупность
всех векторов напряжений в точке М для всевозможных
направлений вектора п определяет напряженное состояние в
этой точке.
В общем случае направление вектора напряжений рn не
совпадает с направлением вектора нормали п. Проекция
вектора рn на направление вектора п называется нормальным
напряжением
, а проекция на плоскость, проходящую через
точку М и ортогональную вектору n, — касательным
напряжением
(рис. 1 б).
Размерность напряжений равна отношению размерности силы
к размерности площади. В международной системе единиц СИ
напряжения измеряются в паскалях: 1 Па=1 Н/м2.
При действии внешних сил наряду с возникновением
напряжений происходит изменение объема тела и его формы,
т. е. тело деформируется. При этом различают начальное
(недеформированное) и конечное (деформированное)
состояния тела.
Отнесем недеформированное тело к декартовой системе
координат Oxyz (рис. 2). Положение некоторой точки М в этой
системе координат определяется радиус-вектором r(х, у, z). В
деформированном состоянии точка М займет новое положение
М/ , характеризуемое радиус-вектором r' (х, у, z). Вектор
u=r'—r называется вектором, перемещений точки М. Проекции
вектора u на координатные оси определяют компоненты
вектора перемещений и(х, у, z), v(х, у, z), w(х, у, z), равные
разности декартовых координат точки тела после и до
деформации.
Перемещение, при котором взаимное расположение точек
тела не меняется, не сопровождается деформациями. В этом
случае говорят, что тело перемещается как жесткое целое
(линейное перемещение в пространстве или поворот
относительно некоторой точки). С другой стороны,
деформация, связанная с изменением формы тела и его
объема, невозможна без перемещения его точек.
Рис.2. Композиция вектора перемещения
Деформации тела характеризуются изменением взаимного
расположения точек тела до и после деформации. Рассмотрим,
например, точку М и близкую к ней точку N, расстояние между
которыми в недеформированном состоянии вдоль направления
вектора s обозначим через
(рис. 2). В деформированном
состоянии точки М и N переместятся в новое положение (точки
М' и N’), расстояние между которыми обозначим через s'.
Предел отношения
называется относительной линейной деформацией в точке М в
направлении вектора s, рис.3. Рассматривая три взаимно
перпендикулярных направления, например, вдоль
координатных осей Ох, Оу и Oz, получим три компоненты
относительных линейных деформаций
характеризующих изменение объема тела в процессе
деформации.
Для описания деформаций, связанных с изменением формы
тела, рассмотрим точку М и две близкие к ней точки N и Р,
расположенные в недеформированном состоянии в
направлении двух взаимно ортогональных векторов s1 и s2.
Расстояния между точками обозначим через
и
(рис. 4). В
деформированном состоянии положение точек обозначим
через М', N' и Р'. Угол между отрезками M'N' и М'Р' в общем
случае будет отличным от прямого. При
,
изменение угла
между двумя ортогональными до
деформации направлениями называется угловой
деформацией. Как видно из рис. 4, угловая деформация
складывается из двух углов и
, связанных с поворотами
отрезков M’N' и М'Р' 'в.плоскости, образованной векторами s1 и
s2, относительно этих векторов. Если заданы три взаимно
ортогональных вектора, направленных вдоль координатных
осей, то имеются три угловые деформации
,
и
,
которые вместе с тремя линейными деформациями ,
и
полностью определяют деформированное состояние в точке.
Рис.3. Композиция линейной деформации
Рис. 4. Композиция угловой деформации
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ. ТЕНЗОР
НАПРЯЖЕНИЙ
Вектор напряжений pn является физическим объектом,
имеющим длину, направление и точку приложения. В этом
смысле он обладает векторными свойствами. Однако этому
объекту присущи некоторые свойства, не характерные для
векторов. В частности, величина и направление вектора
напряжений зависят от ориентации вектора n нормали
бесконечно малого элемента поверхности dF. Совокупность
всех возможных пар векторов п, рn в точке определяет
напряженное состояние в данной точке. Однако для полного
описания напряженного состояния в точке нет необходимости
задавать бесконечное множество направлений вектора n,
достаточно определить векторы напряжений на трех взаимно
перпендикулярных элементарных площадках. Напряжения на
произвольно ориентированных площадках могут быть
выражены через эти три вектора напряжений. В дальнейшем
лектор умышленно меняет ориентацию координат. Так, что ось
Z – продольная ось бруса, а X и Y – координаты любой точки
его поперечного сечения.
Проведем через точку М три взаимно перпендикулярных
плоскости с векторами нормалей, направления которых
совпадают с направлениями координатных осей.
Элементарные площадки образуем дополнительными
сечениями, параллельными исходным плоскостям и
отстоящими от них на бесконечно малые расстояния dx, dy,
dz. В результате в окрестности точки М получим бесконечно
малый параллелепипед, поверхность которого образована
элементарными площадками dFх=dydz, dFн==dxdz, dFя=dxdy.
Векторы напряжений px, py, pz, действующие на элементарных
площадках, показаны на рис. 5.
Разложим каждый вектор напряжений на составляющие
вдоль координатных осей (рис. 6). На каждой площадке
действует одно нормальное напряжение
,
,
, где
индекс обозначает направление вектора нормали к площадке
и два касательных напряжения с двумя индексами, из
которых первый указывает направление действия компоненты
напряжения, второй—направление вектора нормали к
площадке.
Рис. 5. Равновесное состояние бесконечно-малого
параллелепипеда
Рис.6. Компоненты тензора напряженного состояния
Совокупность девяти компонент напряжений (по три на
каждой из трех взаимно перпендикулярных площадок)
представляет собой некоторый физический объект,
называемый тензором напряжений в точке. Тензор можно
представить в виде матрицы, соответствующим образом
упорядочив девять компонент:
Для компонент тензора напряжений общепринятым является
следующее правило знаков: компонента считается
положительной, если на площадке с положительной внешней
нормалью (т. е. направленной вдоль одной из координатных
осей) эта компонента направлена в сторону положительного
направления соответствующей оси. На рис. 6 все компоненты
тензора напряжений изображены положительными. На
площадках с отрицательной внешней нормалью (грани
параллелепипеда, не видимые на рис. 5 и 6) положительная
компонента направлена в противоположном направлении.
Напряжения на трех взаимно ортогональных площадках с
отрицательными направлениями нормалей также
характеризуют напряженное состояние в точке. Эти
напряжения, являющиеся компонентами тензора напряжений,
определяются аналогично напряжениям на площадках с
положительной нормалью. Они обозначаются теми же
символами и имеют положительное направление, обратное
изображенному на рис. 6.
Лекция № 6. Плоское напряженное состояние
Рассмотрим важный для приложений случай плоского
напряженного состояния, реализуемого, например, в
плоскости Oyz. Тензор напряжений в этом случае имеет вид
Геометрическая иллюстрация представлена на рис.1. При
этом площадки х=const являются главными с
соответствующими нулевыми главными напряжениями.
Инварианты тензора напряжений равны
принимает вид
, а характеристическое уравнение
Корни этого уравнения равны
(1)
Нумерация корней произведена для случая
Рис.1. Исходное плоское напряженное состояние.
Рис.2. Позиция главных напряжений
Произвольная площадка характеризуется углом
на рис. 1,
при этом вектор п имеет компоненты:
,
, nх=0.
Нормальное и касательное напряжения на наклонной
площадке выражаются через угол следующим образом:
(2)
(3)
Так как на главных площадках касательное напряжение
отсутствует, то, приравнивая нулю выражение (3), получим
уравнение для определения угла между нормалью п и осью
Оу
(4)
Наименьший положительный корень уравнения (4)
обозначим через . Так как tg(х)—периодическая функция с
периодом , то имеем два взаимно ортогональных
направления, составляющие углы и
с осью Оу.
Эти направления соответствуют взаимно перпендикулярным
главным площадкам (рис. 2).
Если продифференцировать соотношение (2) по и
приравнять производную нулю, то придем к уравнению (4),
что доказывает экстремальность главных напряжений.
Для нахождения ориентации площадок с экстремальными
касательными напряжениями приравняем нулю производную
от выражения
,
откуда получим
(5)
Сравнивая соотношения (4) и (5), находим, что
Это равенство возможно, если углы
и
отличаются на
угол
. Следовательно, направления площадок с
экстремальными касательными напряжениями отличаются от
направлений главных площадок на угол
(рис. 3).
Рис.3. Экстремальность касательных напряжений
Величины экстремальных касательных напряжений получим
после подстановки (5) в соотношение (3) с использованием
формул
.
После некоторых преобразований получим
Сравнивая это выражение с полученными ранее значениями
главных напряжений (2.21), выразим экстремальные
касательные напряжения через главные напряжения
Аналогичная подстановка в (2) приводит к выражению для
нормальных напряжений на площадках с
Полученные соотношения позволяют проводить направленноориентированный расчет конструкций на прочность в случае
плоского напряженного состояния.
Лекция № 7. Упругость и пластичность. Закон Гука
Действие внешних сил на твердое тело приводит к
возникновению в точках его объема напряжений и
деформаций. При этом напряженное состояние в точке, связь
между напряжениями на различных площадках, проходящих
через эту точку, определяются уравнениями статики и не
зависят от физических свойств материала. Деформированное
состояние, связь между перемещениями и деформациями
устанавливаются с привлечением геометрических или
кинематических соображений и также не зависят от свойств
материала. Для того чтобы установить связь между
напряжениями и деформациями, необходимо учитывать
реальные свойства материала и условия нагружения.
Математические модели, описывающие соотношения между
напряжениями и деформациями, разрабатываются на основе
экспериментальных данных. Эти модели должны с
достаточной степенью точности отражать реальные свойства
материалов и условия нагружения.
Наиболее распространенными для конструкционных
материалов являются модели упругости и пластичности.
Упругость — это свойство тела изменять форму и размеры под
действием внешних нагрузок и восстанавливать исходную
конфигурацию при снятии нагрузок. Математически свойство
упругости выражается в установлении взаимно однозначной
функциональной зависимости между.компонентами тензора
напряжений и тензора деформаций. Свойство упругости
отражает не только свойства материалов, но и условия
нагружения. Для большинства конструкционных материалов
свойство упругости проявляется при умеренных значениях
внешних сил, приводящих к малым деформациям, и при малых
скоростях нагружения, когда потери энергии за счет
температурных эффектов пренебрежимо малы. Материал
называется линейно-упругим, если компоненты тензора
напряжений и тензора деформаций связаны линейными
соотношениями.
При высоких уровнях нагружения, когда в теле возникают
значительные деформации, материал частично теряет упругие
свойства: при разгрузке его первоначальные размеры и
форма полностью не восстанавливаются, а при полном снятии
внешних нагрузок фиксируются остаточные деформации. В
этом случае зависимость между напряжениями и
деформациями перестает быть однозначной. Это свойство
материала называется пластичностью. Накапливаемые в
процессе пластического деформирования остаточные
деформации называются пластическими.
Высокий уровень нагружения может вызвать разрушение, т.
е. разделение тела на части. Твердые тела, выполненные из
различных материалов, разрушаются при разной величине
деформации. Разрушение носит хрупкий характер при малых
деформациях и происходит, как правило, без заметных
пластических деформаций. Такое разрушение характерно для
чугуна, легированных сталей, бетона, стекла, керамики и
некоторых других конструкционных материалов. Для
малоуглеродистых сталей, цветных металлов, пластмасс
характерен пластический тип разрушения при наличии
значительных остаточных деформаций. Однако подразделение
материалов по характеру разрушения на хрупкие и
пластичные весьма условно, оно обычно относится к
некоторым стандартным условиям эксплуатации. Один и тот
же материал может вести себя в зависимости от условий
(температура, характер нагружены я, технология
изготовления и др.) как хрупкий или как пластичный.
Например, пластичные при нормальной температуре
материалы разрушаются как хрупкие при низких
температурах. Поэтому правильнее говорить не о хрупких и
пластичных материалах, а о хрупком или пластическом
состоянии материала.
Пусть материал является линейно-упругим и изотропным.
Рассмотрим элементарный объем, находящийся в условиях
одноосного напряженного состояния (рис. 1), так что тензор
напряжений имеет вид
При таком нагружении происходит увеличение размеров в
направлении оси Ох, характеризуемое линейной деформацией
, которая пропорциональна величине напряжения
(1)
Рис.1. Одноосное напряженное состояние
Это соотношение является математической записью закона
Гука, устанавливающего пропорциональную зависимость
между напряжением и соответствующей линейной
деформацией при одноосном напряженном состоянии.
Коэффициент пропорциональности E называется модулем
продольной упругости или модулем Юнга. Он имеет
размерность напряжений.
Наряду с увеличением размеров в направлении действия;
же напряжения
происходит уменьшение размеров в двух
ортогональных направлениях (рис. 1). Соответствующие
деформации обозначим через
и
, причем эти
деформации отрицательны при положительных
пропорциональны
и
:
(2)
Коэффициент пропорциональности называется
коэффициентом Пуассона, который в силу изотропности
материала одинаков для обоих ортогональных направлений.
Соотношения, аналогичные (1) и (2), в случае одноосного
нагружения в направлении осей Оу, Ог напряжением
соответственно имеют вид
,
(3)
(4)
,
При одновременном действии напряжений по трем
ортогональным осям, когда отсутствуют касательные
напряжения, для линейно-упругого материала справедлив
принцип суперпозиции (наложения решений):
С учетом формул (1 — 4) получим
(5)
Касательные напряжения вызывают угловые деформации,
причем при малых деформациях они не влияют на изменение
линейных размеров, и следовательно, на линейные
деформации. Поэтому они справедливы также в случае
произвольного напряженного состояния и выражают так
называемый обобщенный закон Гука.
Угловая деформация
напряжением
обусловлена касательным
, а деформации
и
— соответственно
напряжениями
и
. Между соответствующими
касательными напряжениями и угловыми деформациями для
линейно-упругого изотропного тела существуют
пропорциональные зависимости
(6)
которые выражают закон Гука при сдвиге. Коэффициент
пропорциональности G называется модулем сдвига.
Существенно, что нормальное напряжение не влияет на
угловые деформации, так как при этом изменяются только
линейные размеры отрезков, а не углы между ними (рис. 1).
Линейная зависимость существует также между средним
напряжением (2.18), пропорциональным первому инварианту
тензора напряжений, и объемной деформацией (2.32),
совпадающей с первым инвариантом тензора деформаций:
(7)
Рис.2. Плоская деформация сдвига
Соответствующий коэффициент пропорциональности К
называется объемным модулем упругости.
В формулы (1 — 7) входят упругие характеристики
материала Е, , G и К, определяющие его упругие свойства.
Однако эти характеристики не являются независимыми. Для
изотропного материала независимыми упругими
характеристиками являются две, в качестве которых обычно
выбираются модуль упругости Е и коэффициент Пуассона .
Чтобы выразить модуль сдвига G через Е и , рассмотрим
плоскую деформацию сдвига под действием касательных
напряжений (рис. 2). Для упрощения выкладок используем
квадратный элемент со стороной а. Вычислим главные
напряжения
,
. Эти напряжения действуют на
площадках, расположенных под углом
к исходным
площадкам. Из рис. 2 найдем связь между линейной
деформацией в направлении действия напряжения
угловой деформацией . Большая диагональ ромба,
характеризующая деформацию
Для малых деформаций
, равна
и
С учетом этих соотношений
До деформации эта диагональ имела размер
будем иметь
. Тогда
Из обобщенного закона Гука (5) получим
откуда
Сравнение полученной формулы с записью закона Гука при
сдвиге (6) дает
(8)
Сложим три соотношения упругости (5)
(9)
В итоге получим
Сравнивая это выражение с объемным законом Гука (7),
приходим к результату
Механические характеристики Е, , G и К находятся после
обработки экспериментальных данных испытаний образцов на
различные виды нагрузок. Из физического смысла все эти
характеристики не могут быть отрицательными. Кроме того, из
последнего выражения следует, что коэффициент Пуассона
для изотропного материала не превышает значения 1/2. Таким
образом, получаем следующие ограничения для упругих
постоянных изотропного материала:
Предельное значение
приводит к предельному
значению
, что соответствует несжимаемому материалу
(
при
). В заключение выразим из соотношений
упругости (5) напряжения через деформации. Запишем первое
из соотношений (5) в виде
С использованием равенства (9) будем иметь
откуда
Аналогичные соотношения можно вывести для
результате получим
и
.В
(10)
Здесь использовано соотношение (8) для модуля сдвига.
Кроме того, введено обозначение
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Рассмотрим вначале элементарный объем dV=dxdydz в
условиях одноосного напряженного состояния (рис. 1).
Мысленно закрепим площадку х=0 (рис. 3). На
противоположную площадку действует сила
совершает работу на перемещении
. Эта сила
. При увеличении
напряжения от нулевого уровня до значения
соответствующая деформация в силу закона Гука также
увеличивается от нуля до значения , а работа
пропорциональна заштрихованной на рис. 4 площади:
. Если пренебречь кинетической энергией и
потерями, связанными с тепловыми, электромагнитными и
другими явлениями, то в силу закона сохранения энергии
совершаемая работа перейдет в потенциальную энергию,
накапливаемую в процессе деформирования:
. Величина Ф=dU / dV называется удельной потенциальной
энергией деформации, имеющей смысл потенциальной
энергии, накопленной в единице объема тела. В случае
одноосного напряженного состояния
Рис.3. Расчетная схема энергии деформации
Рис.4. Линейный закон сопротивления
При одновременном действии напряжений
,
и
на
главных площадках (т. е. при отсутствии касательных
напряжений) потенциальная энергия равна сумме работ,
совершаемых силами
перемещениях
равна
на соответствующих
. Удельная потенциальная энергия
.
Рис.5. Расчетная схема сдвигаемой энергии
В частном случае чистого сдвига в плоскости Оху,
изображенном на рис. 5, сила
совершает работу на
перемещении
. Соответствующая этому случаю удельная
потенциальная энергия деформации равна
Подобные соотношения будут иметь место при сдвиге в других
плоскостях.
В общем случае напряженно-деформированного состояния
будем иметь
(11)
Если деформации выразить через напряжения с помощью
соотношений упругости (5) и (6), то получим эквивалентную
(11) форму записи через компоненты тензора напряжений
(12)
Выразив напряжения через деформации с использованием
соотношений (6) и (10), получим еще одну форму записи для
Ф — через компоненты тензора деформаций
Еще одну форму записи для удельной потенциальной
энергии деформации получим, разложив тензоры напряжений
и деформаций на шаровые тензоры и девиаторы. В результате
(11) можно привести к одной из форм
(13)
Здесь введены обозначения для — интенсивности
касательных напряжений и — интенсивности деформаций
сдвига, которые выражаются через вторые инварианты
и
девиаторов тензора напряжений и тензора деформаций
следующим образом:
Первые слагаемые в (13) соответствуют произведению
шаровых составляющих тензоров напряжений и деформаций,
а вторые — произведению девиаторных составляющих. Так
как шаровой тензор характеризует изменение объема, а
девиатор — изменение формы, то соотношения (13) можно
интерпретировать как разложение удельной потенциальной
энергии на две составляющие: Ф=Ф0+Фф, где Ф0 соответствует
изменению объема без изменения формы, а Фф — изменению
формы без изменения объема. Первая составляющая будет
вычисляться через компоненты тензора напряжений
следующим образом:
(14)
Удельную потенциальную энергию изменения формы проще
найти не через интенсивность касательных напряжений, а как
разность Ф — Ф0. Вычитая (14) из (12), после преобразований
получим
Лекция № 8. Механические характеристики конструкционных
материалов
Механические характеристики определяются следующими
факторами:



веществом, его структурой и свойствами;
конструктивными особенностями элемента, т. е,
размерами, формой, наличием концетраторов, состоянием
поверхности;
условиями при нагружении: температурой, скоростью,
повторяемостью нагрузки и др.
Конструкционные материалы в процессе деформирования
вплоть до разрушения ведут себя по разному. Пластичное
поведение характеризуется существенным изменением формы
и размеров, при этом к моменту разрушения развиваются
значительные деформации, не исчезающие после снятия
нагрузки. Такие материалы называют пластичными. При
хрупком поведении разрушение наступает при весьма малых
деформациях, и материалы с такими свойствами называют
хрупкими. Однако одни и те же конструкционные материалы,
находящиеся в различных условиях деформирования, ведут
себя по разному: при одних условиях проявляют себя как
пластичные материалы, при других—как хрупкие. В связи с
этим, основные макромеханические характеристики
материалов — упругость, пластичность, вязкость и др.
правильнее относить не к их свойствам, а к состояниям
материала.
МЕХАНИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ
В упругом состоянии деформации обратимы, и вся энергия,
затраченная на деформирование, при разгрузке возвращается
(диссипация энергии отсутствует). Для любого твердого тела
процесс деформирования начинается с упругой деформации.
Изотропное тело имеет две константы упругости— модуль
упругости Е и коэффициент Пуассона . Для анизотропных
тел число упругих констант в общем случае равно 21. Из
основных констант упругости можно получить их
производные—модуль сдвига G, модуль объемной реформации
К и постоянную Ламе .
Вязкое сопротивление — в некотором смысле
противоположно упругому — работа внешних сил,
уравновешенных силами вязкого сопротивления, полностью
рассеивается в виде тепла. Вязкое сопротивление
определяется величиной касательной силы, необходимой для
поддержания ламинарного скольжения слоев, или течения с
определенной скоростью. Таким образом вязкость можно
определить как сопротивление течению.
Представление о вязкоупругой деформации дает поведение
моделей, сочетающих свойства вязкости и упругости в такой
последовательности: при нагружении тела в нем возникает
мгновенная упругая деформация, подчиняющаяся закону
Гука; далее при том же максимальном напряжении
наблюдается вязкая деформация, подчиняющаяся закону
Ньютона.
Наиболее распространенными в теории линейной вязкоупругости являются реологические модели Максвелла и
Фойгта, дающие связь между напряжениями и деформациями
и скоростями их изменения:
— модель Максвелла,
— модель Фойгта,
тде
— коэффициент вязкости.
Пластическое состояние—характеризуется наличием
остаточных деформаций, фиксируемых после снятия внешних
нагрузок. Объем тела при пластической деформации не
изменяется; условие постоянства объема записывается в виде
, (эксперименты показывают, что изменение
объема не превышает 0,5%).
В случае, когда все напряжения изменяются
пропорционально одной из составляющих, в процессе
пластической деформации направления главных деформаций
совпадают с направлениями главных нормальных напряжений,
направления максимальных сдвигов — с направлениями
максимальных касательных напряжений, а главные
направления девиатора напряжений — с главными
направлениями девиатора деформаций.
Одной из распространенных моделей поведения материала
при упруго-пластических деформациях является модель
пластичности, основанная на деформационной теории Генки—
Ильюшина, описываемая уравнениями:
Здесь
— средняя деформация,
— среднее напряжение,
— безразмерный коэффициент, называемый параметром
пластичности (с точностью до множителя он совпадает с
интенсивностью касательных напряжений). При
эта
модель описывает поведение упругого материала.
Высокоэластическое состояние — наиболее характерно для
полимеров; особенностями этого состояния являются большая
изменяемость формы и деформирование без изменения
объема. Для материалов, находящихся в высокоэластическом
состоянии, наблюдается существенная зависимость их свойств
от длительности и скорости нагружения, температуры и т. д.
Состояние разрушения — состояние, при котором за счет
интенсивного развития трещин в материале тела начинается
нарушение его сплошности и непрерывности. Физический
процесс разрушения материала представляется в виде двух
основных стадий — стадии рассеянных разрушений
(зарождение и развитие микроскопических трещин) и стадии
развития магистральной трещины. Очаги зарождения
микротрещин распределены по всему объему материала,
находящегося в однородном напряженном состоянии,
достаточно равномерно. Относительная длительность первой и
второй стадии разрушения зависит от свойств материала,
характера напряженного состояния и условий нагружения.
ДИАГРАММЫ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО
ДЕФОРМИРОВАНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
Основным опытом для определения механических
характеристик конструкционных материалов является опыт на
растяжение призматического образца центрально
приложенной силой, направленной по продольной оси; при
этом в средней части образца реализуется однородное
напряженное состояние. Форма, размеры образца и методика
проведения испытаний определяются соответствующими
стандартами, например, ГОСТ 34643—81, ГОСТ 1497-73. По
результатам испытаний строится зависимость
между
напряжениями
и деформациями
, которая
называется диаграммой деформирования. Опыты на
растяжение образцов выявляют некоторые общие свойства
конструкционных материалов—свойства упругости и
пластичности. На рис. 1 показаны типичные кривые
деформирования при растяжении образцов из материала сталь
30 и сталь 40Х.
Если напряжения не превышают
— предела
пропорциональности (точка / на диаграмме), и зависимость
между напряжениями и деформациями линейна, то она
описывается законом Гука
, где Е—модуль продольной
упругости материала. Размерность модуля упругости—Н/м2
(Паскаль). Значение модуля упругости Е на кривой
деформирования
численно равно тангенсу угла наклона
линейного участка:
. Таким образом, величину Е можно
рассматривать как характеристику упругого сопротивления
или как характеристику интенсивности- нарастания
напряжения с увеличением деформации. Физический смысл
коэффициента Е определяется как напряжение, необходимое
для увеличения длины образца в два раза. Такое толкование
довольно искусственно, поскольку величина упругого
удлинения у большинства твердых тел редко достигает даже
1%.
Рис.1. Характерные диаграммы растяжения
Напряжения, являющиеся верхней границей проявления
чисто упругих деформаций, соответствуют точке 2 диаграммы
и называются пределом упругости
.
Точка 3 диаграммы характерна тем, что при достижении
напряжениями величины
(
—предел текучести),
дальнейшее удлинение образца (для малоуглеродистых
сталей) происходит практически без увеличения нагрузки. Это
явление носит название текучести, а участок диаграммы,
расположенный непосредственно правее точки 3, называется
площадкой текучести. При этом полированная поверхность
образца мутнеет, докрывается ортогональной сеткой линий
(линии Чернова—Людерса), расположенных под углом 45o к
продольной оси образца—по направлению плоскостей
действия максимальных касательных напряжений.
У многих конструкционных материалов площадка текучести
не выражена столь явно, как у малоуглеродистых сталей. Для
таких материалов вводится понятие условного предела
текучести
; это напряжение, которому соответствует
остаточная (пластическая) деформация, равная s %. Обычно
принимается s = 0,2%.
После площадки текучести для дальнейшего увеличения
деформации необходимо увеличение растягивающей силы.
Материал снова проявляет способность сопротивляться
деформации; участок за площадкой текучести (до точки 4)
называется участком упрочнения. Точка 4 соответствует
максимальной нагрузке, выдерживаемой образцом.
Соответствующее напряжение называется временным
сопротивлением
(или пределом прочности
).
Дальнейшая деформация образца происходит без увеличения
или даже с уменьшением нагрузки вплоть до разрушения
(точка 5). Точке 4 на диаграмме соответствует начало
локального уменьшения размеров поперечного сечения
образца, где, в основном, сосредоточивается вся последующая
пластическая деформация.
Диаграмма, приведенная на рис.1, является диаграммой
условных напряжений, условность состоит в том, что все силы
относились к F0 — первоначальной площади поперечного
сечения образца; в действительности же при растяжении
площадь поперечного сечения образца уменьшается. Если
учитывать текущее значение площади поперечного сечения
при определении напряжений, то получим диаграмму
истинных напряжений (рис. 2).
Рис.2. Диаграмма истинных напряжений
Если в некоторый момент нагружения (точка А на рис. 1)
прекратить нагружение и снять нагрузку, то разгрузка
образца пойдет по линии АВ, параллельной линейному
участку диаграммы 0 — 1. При этом полная деформация в
точке А равна:
где
— упругая деформация,
— пластическая
(остаточная деформация). Уравнение это справедливо для
любой точки диаграммы.
После того как материал испытал воздействие осевого
усилия одного знака (например, растяжение) в области
пластических деформаций
сопротивляемость этого
материала пластической деформации при действии сил
другого знака (сжатие) понижается. Это явление носит
название эффекта Баушингера.
При растяжении образца происходит не только увеличение
его длины, но и уменьшение размеров поперечного сечения, т.
е. в упругой области деформация в поперечном направлении
, где — деформация в продольном направлении, —
коэффициент Пуассона. Для изотропных материалов значения
коэффициента Пуассона находятся в пределах
.
Таблица 1. Механические характеристики некоторых
материалов
Примечание. В знаменателе указана соответствующая
характеристика при сжатии».
Для сталей различных марок Е = 195-206 ГПа, G = 79-89
ГПа, = 0,23-0,31, для сплавов алюминия Е = 69-71 ГПа, G =
26-27 ГПа, = 0,30-0,33. Упругие свойства некоторых
материалов даны в табл. 3.1.
Характеристиками пластичности материала являются
относительное удлинение и относительное сужение при
разрыве:
где l0, F0 — длина рабочей части образца и площадь
поперечного сечения до деформации; lк — длина рабочей
части образца после разрыва; F0 — конечная площадь
поперечного сечения в шейке образца после разрыва.
По величине относительного удлинения при разрыве
проводится разделение состояния материалов на пластичное и
хрупкое. Материалы, имеющие к моменту разрушения
достаточно большие значения
, относят к
пластическим материалам; к хрупким относят материалы с
относительным удлинением
.
Оценка пластических свойств материала может быть
проведена по такой характеристике, как ударная вязкость —
KC=A/F,
где А — работа, затрачиваемая на ударное разрушение
образца, Дж (или
), F — площадь поперечного сечения
образца в месте концентратора, м2 (или см2),
Работа А деформации при разрушении образца может быть
определена по диаграмме растяжения
. Так, если
первоначальная длина образца l0, то работа деформации,
совершаемая силой Р на перемещении и:
где uк — перемещение в момент, предшествующий
разрушению. Тогда по зависимости
и
находим
,
,
где
— площадь диаграммы деформирования
(работа деформации на единицу объема материала). Для
сталей КС=50—100 Н м/см2. Материалы с ударной вязкостью
КС < 30 Н м/см2 относят к числу хрупких.
Некоторые пластичные материалы в районе площадки
текучести обнаруживают особенность (например титан),
называемую «зубом текучести»; для таких материалов
вводится понятие верхнего и нижнего предела текучести
.
Экспериментальное изучение свойств материалов при
сжатии проводится на коротких образцах с тем, чтобы
исключить возможность искривления образца. Для пластичных
материалов характер диаграммы
при сжатии примерно
до возникновения текучести такой же, как и при растяжении.
В процессе деформации сжатия образец укорачивается; при
этом размеры поперечного сечения увеличиваются. Из-за
трения между опорными плитами нагружающего устройства и
торцевыми поверхностями образца он принимает
бочкообразную форму. Для ряда пластичных материалов
обнаружить напряжение, аналогичное временному
сопротивлению при растяжении, не удается, так.как образец
сплющивается.
Хрупкие материалы проявляют значительно лучшую
способность сопротивляться деформациям сжатия, чем
деформациям растяжения; для них разрушающее напряжение
при сжатии превышает предел прочности при растяжении в
несколько раз. Разрушение хрупких материалов при сжатии
происходит за счет образования трещин.
Лекция № 9. Влияние различных факторов на механические
характеристики материалов
Зависимость механических характеристик конструкционных
материалов от их химического состава, внешних условий и
условий нагружения весьма многообразна; отметим наиболее
существенные, характерные для типичных условий
эксплуатации конструкций.
Влияние содержания углерода. Введение различных
легирующих добавок в металлы позволяет значительно
повысить прочностные характеристики сплавов. На рис. 1
показано влияние процентного содержания углерода на
механические свойства конструкционной стали. Как видно, с
увеличением содержания углевода, временное сопротивление
повышается в несколько раз; однако при этом значительно
ухудшаются пластические свойства; относительное удлинение
и относительное сужение при разрыве уменьшаются.
Рис.1. Влияние процентного содержания углерода
Влияние температуры окружающей среды.
Повышенные температуры оказывают существенное влияние
на такие механические характеристики конструкционных
материалов, как ползучесть и длительная прочность.
Ползучестью называют медленное непрерывное возрастание
пластической (остаточной) деформации под воздействием
постоянных нагрузок. Длительной прочностью называется
зависимость разрушающих напряжений (временного
сопротивления) от длительности эксплуатации. Свойства
ползучести и длительной прочности проявляются у
углеродистых сталей при Т >300oС, для легированных сталей
при Т>350oС. для алюминиевых сплавов при Т>100oС.
Некоторые материалы проявляют эти свойства и при обычных
температурах.
Мерой оценки ползучести материала является предел
ползучести — напряжение, при котором пластическая
деформация за определенный промежуток времени достигает
заданной величины. В некоторых случаях сопротивление
ползучести оценивается величиной скорости деформации по
прошествии заданного времени. При обозначении предела
ползучести указывается величина деформации, время и
температура испытаний. Например, для жаропрочного сплава
ХН77ТЮР при температуре 700oС за время 100 часов и
деформации ползучести 0,2% предел ползучести составляет
400 МПа:
.
Ползучесть сопровождается релаксацией напряжений —
самопроизвольным уменьшением напряжений с течением
времени при неизменной деформации. Скорость релаксации
напряжений возрастает при повышении температуры. Мерой
скорости релаксации служит время релаксации—промежуток
времени, в течение которого напряжение уменьшается по
сравнению с начальным значением в е=2,718 раза.
Прочность материала при повышенных температурах
оценивается пределом длительной прочности — напряжением,
при котором материал разрушается не ранее заданного
времени. При обозначении предела длительной прочности
указывается продолжительность нагружения и температура
испытания. Так, для сплава ХН77ТЮР при температуре 700oС и
времени 1000 часов предел длительной прочности составляет
. При кратковременных испытаниях для
этого же сплава при температуре 700oС пределы прочности и
текучести соответственно равны:
.
Влияние повышенных температур на характеристики
прочности и пластичности можно проследить на рис. 2 и 3, где
представлены осредненные результаты экспериментов для 1—
углеродистой стали, содержащей 0,15% углерода; 2—0,40%
углерода, 3—хромистой стали. Прочность углеродистых сталей
с повышением температуры до 650—700oС снижается почти в
десять раз. Наиболее резкое снижение
наблюдается для
алюминиевых сплавов. Наибольшими значениями
при
высоких температурах обладают литые жаропрочные сплавы,
содержащие 70—80% никеля. Снижение пределов текучести
с повышением температуры происходит примерно так же,
как и снижение
. Для углеродистых сталей характерным
является ухудшение пластических свойств (охрупчивание) при
температурах около 300oС (кривая 2 на рис. 3).
Рис.2. Влияние температуры на упругие свойства
Рис.3. Влияние температуры на пластические свойства
Влияние температур на упругие свойства.
Температурный коэффициент линейного расширения
температурный коэффициент модуля упругости
между собой соотношением
и
связаны
или
где r и m — постоянные, характеризующие параметры
кристаллической решетки. На рис. 4 приведена зависимость
безразмерного модуля упругости Е/Е0 некоторых
конструкционных материалов от температуры (E0— модуль
упругости материала при обычной температуре): 1 —
нержавеющая сталь; 2 — алюминиевые сплавы, 3 —
углеродистые стали, 4 — титановые сплавы.
Для сталей с повышением температуры испытаний с 25 до
450oС модули упругости Е и G уменьшаются на 20—40%, при
этом, начиная с 300—400oС наблюдается расхождение между
значениями модулей, определенными при статических и
динамических испытаниях.
Изменение модулей упругости при малый колебаниях
температуры (от –50 до +50oС) незначительно и им обычно
пренебрегают.
Рис.4. Зависимость модуля упругости от температуры
Лекция № 11. Основные понятия теории надежности
конструкций
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
Согласно ГОСТ 27.002—89 «Надежность в технике. Термины
и определения» надежность конструкции есть свойство
сохранять во времени способность к выполнению требуемых
функций в заданных режимах. Одним из основных понятий
Теории надежности конструкций является понятие
предельного состояния. Условие прочности по существу есть
условие обеспечения прочностной надежности.
Основной особенностью реальных условий эксплуатации
машин и конструкций является случайный характер
взаимодействия с окружающей средой. Это проявляется в том,
что мы не можем достоверно предвидеть все типы внешних
нагрузок и их величины, которые могут встретиться в
процессе эксплуатации. Кроме того, источником
неопределенности могут быть случайные свойства
материалов. Например, предельное напряжение , входящее
в условие прочности, по своей природе является случайным.
Его величина зависит от многих факторов: марки материала,
технологии изготовления, размеров детали или конструкции,
условий эксплуатации и др. Случайный характер
механических свойств материалов наглядно проявляется при
испытаниях, обнаруживающих значительный разброс
экспериментальных данных. Источник неопределенности
связан также с разбросом размеров при изготовлении
конструкций: в принципе невозможно выдержать абсолютно
точно геометрические параметры конструкции, при их
изготовлении допускаются некоторые отклонения.
В случае одномерного напряженного состояния
(1)
напряжение , зависящее от внешних нагрузок, при
определенных условиях может принять довольно большое
значение, а предельное значение может оказаться малым,
так что это неравенство нарушится. Если стечение
обстоятельств, приводящее к нарушению условия прочности,
редкое событие, то приходим к вероятностной трактовке
условия прочности с позиций теории надежности.
Вероятностью называется числовая характеристика степени
возможности наступления некоторого события в определенных
многократно воспроизводимых условиях. Вероятность события
А можно оценить на основе опытных данных. Если проводится
достаточно большое число опытов N, в которых событие Л
появилось NA раз, то можно считать, что вероятность
появления этого события равна
P(A)=NА/N.
Вероятность как мера возможности наступления события
удовлетворяет условиям
, причем значение Р=0
соответствует невозможному событию, а значение Р=1 —
достоверному событию.
Вероятность события, заключающегося в выполнении
условия (4.1) Р(
) в теории надежности называется
вероятностью безотказной работы. Вместо условия прочности
(1) записывается условие
Р(
)=Р*,
(2)
где Р* —заданное достаточно высокое значение вероятности,
которое называется нормативной вероятностью безотказной
работы. В этом случае говорят, что условие прочности
обеспечено с вероятностью Р*.
РАСЧЕТНЫЕ НАГРУЗКИ, КОЭФФИЦИЕНТЫ ЗАПАСА
Условие прочности (1) записано через напряжения, которые
вычисляются через внешние нагрузки, приложенные к
конструкции. Пусть внешние нагрузки определены с
точностью до одного параметра S, а напряжение связано с
этим параметром зависимостью
.
Тогда условие прочности (1) можно записать через внешние
нагрузки
S<R
(3)
Здесь через R обозначено предельное значение нагрузки,
т.е. такое ее значение, которое приводит к предельному
состоянию
.
Величина R, зависящая от свойств материала и условий
нагружения, называется несущей способностью или
сопротивлением.
При заданном значении S отношение
называется коэффициентом запаса. Он обозначает, что
сколько раз нужно увеличить нагрузку, чтобы достичь
предельного состояния. Вместо условия прочности (2) можно
записать эквивалентное условие
n>1
(4)
Если нагрузка и свойства материала являются случайными,
то условия прочности (3) и (4) теряют смысл, их нужно
заменить вероятностными условиями типа (2):
P(S<R)=P*,
или
P(n > 1)=P*.
При этом коэффициент запаса п также будет случайным.
Практически расчет на прочность с учетом случайного
характера внешних нагрузок и случайных свойств материала
проводится следующим образом. Вводится некоторое
характерное значение нагрузки [S]. Это значение, называемое
допускаемым или нормативным значением, можно найти из
условия
P(S<[S])=[PS],
(5)
где [PS] —; некоторое значение вероятности, называемое
обеспеченностью. Аналогично вводится нормативное значение
[R] несущей способности
P(R>{R]=[PR].
(6)
[n]=[R]/[S]
(7)
Отношение
называется нормативным коэффициентом запаса. Этот
коэффициент зависит от условий нагружения, от свойств
материалов, условий работы конструкции, степени ее
ответственности и ряда других факторов. Такой коэффициент
назначается, исходя из многолетнего опыта эксплуатации
конструкций, и для каждого типа конструкций задается
нормативно-технической документацией.
В качестве нормативных значений [S] и [R] можно выбрать
средние значения соответствующих случайных величин
где Sj и Rj экспериментально полученные значения случайных
величин в серии из N опытов. Однако в действующих нормах,
в частности, строительных, нормативные значения не
совпадают со средними значениями, а сдвинуты в сторону
более опасных значений, что связано со значительным
разбросом опытных данных около средних значений. Для
нагрузки принимается несколько большее значение, а для
несущей способности — меньшее
где коэффициенты
и
находятся из уравнений (5) и
(6). Таким образом, нормативный коэффициент запаса (7)
вычисляется через средние значения следующим образом:
С учетом случайного характера внешних нагрузок и
сопротивлений условие прочности (3) заменяется следующим
условием
SP < RP.
Здесь SР —; достаточно редко встречающееся в реальных
условиях эксплуатации высокое значение нагрузки, RР —;
также достаточно редко встречающееся низкое значение
несущей способности. Эти значения называются расчетными.
Они находятся из уравнений
(8)
(9)
В правой части уравнений содержатся нормативные
значения вероятности безотказной работы, которые близки к
единице (0,95; 0,99; 0,999;...).
Расчетные значения нагрузок и несущей способности можно
выразить через средние значения этих величин следующим
образом:
где коэффициенты kS >1 и kP < 1 находятся из решения
уравнений (8) и (9). Расчетные значения связаны с
соответствующими нормативными значениями соотношениями
SP = kп[S], RP = ko[R].
Коэффициент
называется коэффициентом однородности (меньше единицы).
Другой коэффициент, учитывающий случайный характер
несущей способности,
называется коэффициентом однородности (меньше единицы).
Это условие можно заменить равенством
SP=RP/m,
где коэффициент m >1 учитывает условия работы
конструкции, степень ее ответственности. С учетом
обозначения (7) для нормативного коэффициента запаса
получим формулу, учитывающую случайные свойства
нагрузки и несущей способности, а также степень
ответственности конструкции
[n] = mkп / kо.
РАСЧЕТЫ ПО ДОПУСКАЕМЫМ НАГРУЗКАМ И ПО
ДОПУСКАЕМЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ
Если пренебречь случайным разбросом прочностных свойств
материала конструкции, то расчетное и нормативное
значения, а также среднее значение несущей способности R
совпадают
RP = [R] = <R> = R,
а уравнение (7) позволяет получить выражение нормативной
или допускаемой нагрузки через нормативный коэффициент
запаса
[S] = R / [n].
При этом параметр несущей способности R связан с
предельным значением
напряжения.
Если на заданную конструкцию действует фиксированная
неслучайная нагрузка S, то соотношение
NS = R / S
определяет коэффициент запаса по нагрузке. При этом
условие прочности можно переписать следующим образом
S < [S].
После подстановки условие прочности примет вид
nS > [n]
Переход от нагрузок к вызываемым этими нагрузками
напряжениям производится по ранее описанным
соотношениям. Отношение
называется коэффициентом запаса по напряжениям. С учетом
(4) и (6) можно получить связь между коэффициентами запаса
по нагрузкам и по напряжениям
Рис.1. Вариабельность коэффициентов запаса
В общем случае полученные коэффициенты запаса не
совпадают, что видно из рис. 1. Равенство этих
коэффициентов возможно только в том случае, когда
зависимость между напряжениями и нагрузкой линейна. При
нелинейной зависимости коэффициент теряет ясный
физический смысл как число, на которое нужно умножить
значение параметра внешней нагрузки, чтобы достичь
предельного состояния. По аналогии можно ввести
допускаемое напряжение
Расчет по допускаемым напряжениям
в общем случае дает результаты, отличные от расчетов по
допускаемым нагрузкам. Эти результаты совпадают только в
случае линейных зависимостей между напряжениями и
нагрузкой.
Следует отметить, что приведенные рассуждения относятся
к понятию предельного состояния в точке, которое нужно
отличать от предельного состояния конструкции. Предельное
состояние в точке еще не означает потерю несущей
способности конструкции. Пусть предельное состояние
конструкции будет достигнуто при достижении параметром
нагрузки S предельного значения R*. Тогда локальное условие
прочности нужно заменить условием
S < R*.
Расчеты с использованием этого условия носят название
расчетов по предельному состоянию для конструкции. При
этом говорят о конструкционной прочности в отличие от
прочности материала, характеризуемой локальным пределом
прочности или R. Конструкционная прочность зависит не
только от прочностных свойств материала, но и от
масштабного фактора, конструктивной формы, типа
напряженного состояния, условий взаимодействия с
окружающей средой и ряда других факторов.
Лекция № 10. Прочность и перемещения при центральном
растяжении или сжатии
НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ (СЖАТИИ)
ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
Переходя к изучению введенных основных видов
деформации стержней, ограничимся рассмотрением стержней
постоянного поперечного сечения с прямолинейной осью, т. е.
призматических стержней. Начнем с деформации растяжения
(сжатия).
Напомним, что под растяжением (сжатием) понимают такой
вид деформации стержня, при котором в его поперечном
сечении возникает лишь один внутренний силовой фактор —
продольная сила Nz. Поскольку продольная сила численно
равна сумме проекций, приложенных к одной из отсеченных
частей внешних сил на ось стержня (для прямолинейного
стержня она совпадает в каждом сечении с осью Oz), то
растяжение (сжатие) имеет место, если все внешние силы,
действующие по одну сторону от данного поперечного
сечения, сводятся к равнодействующей, направленной вдоль
оси стержня (рис. 1). Одна и та же продольная сила Nz при
действии на различные части стержня (левую или правую)
имеет противоположные направления. Знак Nz зависит от
характера вызываемой ею деформации. Продольная сила
считается положительной, если вызывает растяжение
элемента (рис. 2, а), и она отрицательна, если вызывает
сжатие (рис. 2,б).
Рис.1. Расчетная схема Рис.2. а) Растяжение и б) сжатие
Для того, чтобы сформулировать предпосылки теории
растяжения (сжатия) призматического стержня, обратимся к
эксперименту. Представим себе стержень, изготовленный из
какого-либо податливого материала (например, резины), на
боковую поверхность которого нанесена система продольных
и поперечных рисок (рис. 3, а). Эта ортогональная система
рисок остается таковой и после приложения растягивающей
нагрузки (рис. 3, б). Поскольку поперечные риски являются
следами поперечных сечений на поверхности стержня и
остаются прямыми и перпендикулярными к оси стержня то это
свидетельствует о выполнении гипотезы плоских сечений
(Бернулли). С учетом гипотезы об отсутствии поперечного
взаимодействия продольных волокон приходим к выводу, что
деформация растяжения стержня сводится к одноосному
растяжению его продольных волокон, и в поперечном сечении
стержня возникают лишь нормальные напряжения а (рис. 4),
индекс г у которых опускаем. Ортогональность продольных и
поперечных рисок свидетельствует также об отсутствии
сдвигов, а, следовательно, и связанных с ними касательных
напряжений т в поперечных и продольных сечениях стержня.
Рис.3. Модель растянутого
стержня
Рис.4. Связь напряжения и
усилия
Тогда продольная сила Nz равная сумме проекции
внутренних сил, действующих в данном поперечном сечении
площадью F (рис. 4) очевидно будет равна
.
Это соотношение является уравнением равновесия статики,
связывающим продольную силу Nz, и нормальное напряжение
, которое в общем случае является функцией координат х и
у и поэтому не может быть найдено из одного лишь 1
уравнения статики. Таким образом, задача определения
напряжений даже в самом простом случае деформирования
стержня (растяжении или сжатии) оказывается статически
неопределимой.
Необходимое для решения этой задачи дополнительное
уравнение вытекает из гипотезы плоских сечений. Поскольку
поперечные сечения стержня, оставаясь плоскими и
перпендикулярными к оси стержня, в процессе
деформирования лишь поступательно перемещаются вдоль
оси стержня (что приводит к одинаковому удлинению всех
продольных волокон), то приходим к уравнению =const, из
которого ввиду однозначности связи и (для линейноупругого материала это—закон Гука:
.) вытекает, что
Решая совместно уравнения получим, что
или
Таким образом, при растяжении (сжатии) призматического
стержня нормальные напряжения равномерно распределены
по поперечному сечению, а касательные напряжения в
сечениях отсутствуют, что является следствием гипотезы
плоских сечений. Указанное, несмотря на, казалось бы,
очевидность и простоту, является фундаментальным
результатом, справедливым, строго говоря, лишь для
призматического стержня. Однако в инженерной практике его
используют и для приближенной оценки нормальных
напряжений в стержнях переменного сечения. При этом,
чтобы погрешность формулы была невелика, необходимо,
чтобы площадь поперечного сечения стержня изменялась
достаточно плавно вдоль его оси.
Условие прочности при растяжении (сжатии)
призматического стержня для стержня из пластического
материала (т. е. материала, одинаково работающего на
растяжение и сжатие) будет иметь вид:
(1)
где
—допускаемое напряжение. Напряжение в условии
(1) подставляется по модулю, так как знак в этом случае
роли не играет. Для стержней из хрупких материалов,
неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, знак
напряжения имеет принципиальное значение, и условие
прочности приходится формулировать отдельно для
растяжения и сжатия
где
и —напряжения растяжения и сжатия, а
ответствующие им допускаемые напряжения.
и
—
В практике инженерных расчетов, исходя из условия
прочности, решаются три основные задачи механики
материалов конструкций. В применении к случаю растяжения
(сжатия) призматического стержня эти задачи формулируются
следующим образом.
Проверка прочности (поверочный расчет). Этот расчет
проводится, если нагрузка (в нашем случае ее представляет
Nz), сечение стержня F и его материал
заданы.
Необходимо убедиться, что выполняется условие прочности
Проверочный расчет заключается в том, что определяется
фактический коэффициент запаса прочности п и сравнивается
с нормативным коэффициентом запаса [n]:
где — предельное (или опасное) напряжение, т. е.
напряжение, вызывающее отказ элемента конструкции
(напомним, что, например, для стержня из пластичного
материала это—предел текучести
текучести
).
или условный предел
Подбор сечения (проектный расчет). В этом расчете по
Заданной нагрузке (Nz) определяются размеры поперечного
сечения стержня (F) из заданного материала (
дано).
Минимальное значение F получим, если в условии прочности
(1) принять знак равенства:
Определение допускаемой нагрузки, то есть максимального
значения нагрузки, которое допускает данный элемент
конструкции (F и
даны) при выполнении условия
прочности.
ПОНЯТИЕ О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ, ПРИНЦИП
СЕН-ВЕНАНА
Даже для призматического стержня равномерное
распределение напряжений по поперечному сечению не
всегда имеет место. Так, отклонения от равномерного
распределения напряжений наблюдаются в окрестности
сечений, содержащих вырезы, выточки, отверстия, трещины, в
местах резкого изменения поперечного сечения, а также в
местах приложения сосредоточенных сил и т. п.
Неравномерное распределение напряжений в указанных
местах является следствием искажения плоскостей
поперечных сечений или их депланации.
Поясним это явление на примере подверженной растяжению
полосы из податливого материала с круговым отверстием, на
поверхности которой нанесены продольные и поперечные
риски (рис. 5, а). В зоне отверстия имеет место депланация
поперечных сечений, вызванная неравномерным растяжением
продольных волокон (рис.5, б). При этом наибольшие
удлинения и соответственно напряжения max получают
волокна возле отверстия. Такое местное увеличение
напряжений возле вырезов, выточек, отверстий и т. п., а
также в местах приложения сосредоточенных сил, называется
у концентрацией напряжений, а источники концентрации
напряжений (вырезы, выточки, отверстия и т. п.) получили
название концентраторов напряжений.
Рис.5. Концентрация напряжений: а) исходное состояние, б)
деформированное состояние, в) распространение напряжений
Рассмотренными методами механики деформированного
тела, опирающимися на гипотезу плоских сечений, задачи о
распределении напряжений в зонах концентрации
напряжений не решаются. Такие задачи решаются методами
теории упругости или исследуются экспериментально. При
этом для практических расчетов вводится так называемый
теоретический коэффициент концентрации напряжений
,
представляющий собой отношение максимальных max и
номинальных
напряжений:
, где
номинальные напряжения определяются без учета
концентрации напряжений. В приведенном примере
растяжения полосы с отверстием
, a Fnt — площадь
поперечного сечения полосы, уменьшенная за счет отверстия
(«нетто»). Таким образом,
коэффициентов.
играют роль поправочных
Однако, как показали эксперименты и точные решения
задач теории упругости, местные отклонения от равномерного
распределения напряжений, вызванные концентрацией
напряжений, быстро затухают по мере удаления от сечения с
концентратором, и на расстояниях порядка ширины сечения
распределение напряжений можно считать практически
равномерным (рис. 5, в). Отмеченное свойство является
частным случаем широко используемого практически во всех
разделах механики деформируемого твердого тела (в том
числе и теории упругости) принципа Сен-Венана
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Определим упругие деформации стержня предполагая, что
изменение его длины при растяжении
, называемое
абсолютной продольной деформацией или удлинением, мало
по сравнению с его первоначальной длиной
. Тогда
относительная продольная деформация будет равна
Учитывая, что согласно закону Гука для одноосного
растяжения (сжатия)
,
где Е—;модуль продольной упругости материала стержня, а
нормальные напряжения определяются по формуле —
(в нашем случае Nz=P), для абсолютной деформации получаем
(2)
Произведение EF принято называть жесткостью поперечного
сечения стержня при растяжении (сжатии), так как удлинение
обратно пропорционально EF.
Рис.6. Модели продольной и поперечной деформаций
Как показывают эксперименты, при растяжении стержня
размеры его поперечного сечения уменьшаются (рис. 6), а при
сжатии — увеличиваются. Это явление получило название
эффекта Пуассона.
По аналогии с продольной деформацией изменение
размеров поперечного сечения
(на рис. 6
) будем
называть абсолютной поперечной деформацией, а
—
относительной поперечной деформацией. Относительные
продольная и поперечная деформации, имеющие
противоположные знаки, связаны между собой
коэффициентом , являющимся константой материала и
называемым коэффициентом поперечной деформации или
коэффициентом Пуассона:
Как известно, для изотропного материала
.
Формула (2) для удлинения стержня
применима только в
случае, когда по длине стержня ни жесткость поперечного
сечения, ни продольная сила не изменяются (EF=const, Nz
=const). Удлинение стержня со ступенчатым изменением EF и
Nz (рис. 7) может быть определено как сумма удлинений
ступеней, у которых EF и Nz постоянны:
(индекс k у модуля продольной упругости означает, что
участки стержня могут быть изготовлены из различных
материалов). В случае, когда Nz и EF меняются по длине
стержня l непрерывно и их можно считать постоянными лишь
в пределах ступеней длиной dz, обобщая формулу эту,
получаем
В качестве тестов для практики расчетов определенных
интегралов рекомендую воспользоваться системой входных
тестов Т-5, указанных в ПРИЛОЖЕНИИ.
Рис.7. Ступенчатый брус
С упругими продольными деформациями стержня при
растяжении (сжатии) связаны продольные перемещения его
сечений. На рис. 8 приведены три случая определения таких
перемещений, откуда видно, что перемещения поперечных
сечений численно равны удлинениям заштрихованных частей
стержня:



перемещение свободного торцевого сечения 1—1 при
неподвижном другом торцевом сечении (рис. 8, а)
численно равно удлинению стержня;
перемещение промежуточного сечения 2—2 (рис. 8, б)
численно равно удлинению части стержня, заключенной
между данным сечением и сечением неподвижным;
взаимное перемещение сечений 3—3 и 4—4 (рис, 8, в)
численно равно удлинению части стержня, заключенной
между этими сечениями.
Рис.8. Модели перемещений
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ
(СЖАТИИ)
Напряженное состояние при растяжении стержня является
одноосным (рис. 9, а). Поскольку на поперечных и
продольных площадках касательные напряжения не
возникают, то эти площадки являются главными. Причем в
случае растяжения
, а в случае сжатия
.
Рис.9. Напряженное состояние: а ) исходный элемент, б )
компоненты напряжений
Напряжения на площадках, наклоненных к оси стержня под
углом , определяются по формулам для упрощенного
плоского напряженного состояния:
Площадки с экстремальными касательными напряжениями
(рис. 9, б), как известно, наклонены по отношению к
исходным под углами
равны
(следует и из формулы для
)и
.
Именно с действием экстремальных связывается появление
на боковой поверхности образца из малоуглеродистой стали,
испытываемого на растяжение, линий скольжения,
ориентированных под углом
площадках с экстремальными
напряжения, равные
.
к оси образца. На
действуют и нормальные
Лекция № 11. Учет собственного веса при растяжении и
сжатии.
Подбор сечений с учетом собственного веса (при
растяжении и сжатии).
При установлении внешних сил, растягивающих или
сжимающих элементы конструкций, мы до сих пор
игнорировали собственный вес этих элементов. Возникает
вопрос, не вносится ли этим упрощением расчета слишком
большая погрешность? В связи с этим подсчитаем величины
напряжений и деформаций при учете влияния собственного
веса растянутых или сжатых стержней.
Пусть вертикальный стержень (Рис.1, а) закреплен своим
верхним концом; к нижнему его концу подвешен груз Р. Длина
стержня l, площадь поперечного сечения F, удельный вес
материала и модуль упругости Е. Подсчитаем напряжения по
сечению АВ, расположенному на расстоянии от свободного
конца стержня.
а)
б)
Рис.1. Исходная расчетная схема бруса а) и б) — равновесие
нижней отсеченной части.
Рассечем стержень сечением АВ и выделим нижнюю часть
длиной с приложенными к ней внешними силами (Рис.1, б) —
грузом Р и ее собственным весом
. Эти две силы
уравновешиваются напряжениями, действующими на площадь
АВ от отброшенной части. Эти напряжения будут
нормальными, равномерно распределенными по сечению и
направленными наружу от рассматриваемой части стержня, т.
е. растягивающими. Величина их будет равна:
Таким образом, при учете собственного веса нормальные
напряжения оказываются неодинаковыми во всех сечениях.
Наиболее напряженным, опасным, будет верхнее сечение, для
которого достигает наибольшего значения l; напряжение в
нем равно:
Условие прочности должно быть выполнено именно для этого
сечения:
Отсюда необходимая площадь стержня равна:
От формулы, определяющей площадь растянутого стержня
без учета влияния собственного веса, эта формула отличается
лишь тем, что из допускаемого напряжения вычитается
величина .
Чтобы оценить значение этой поправки, подсчитаем ее для
двух случаев. Возьмем стержень из мягкой стали длиной 10 м;
для него
, а величина
. Таким образом,
для стержня из мягкой стали поправка составит
т. е. около
0,6%. Теперь возьмем кирпичный столб высотой тоже 10 м;
для него
, а величина
Таким образом, для
кирпичного столба поправка составит
, т.е. уже 15%.
Вполне понятно, что влиянием собственного веса при
растяжении и сжатии стержней можно пренебрегать, если мы
не имеем дела с длинными стержнями или со стержнями из
материала, обладающего сравнительно небольшой прочностью
(камень, кирпич) при достаточном весе. При расчете длинных
канатов подъемников, различного рода длинных штанг и
высоких каменных сооружений (башни маяков, опоры
мостовых ферм) приходится вводить в расчет и собственный
вес конструкции.
В таких случаях возникает вопрос о целесообразной форме
стержня. Если мы подберем сечение стержня так, что дадим
одну и ту же площадь поперечного сечения по всей длине, то
материал стержня будет плохо использован; нормальное
напряжение в нем дойдет до допускаемого лишь в одном
верхнем сечении; во всех прочих сечениях мы будем иметь
запас в напряжениях, т. е. излишний материал. Поэтому
желательно так запроектировать размеры стержня, чтобы во
всех его поперечных сечениях (перпендикулярных к оси)
нормальные напряжения были постоянны,
Такой стержень называется стержнем равного
сопротивления растяжению или сжатию. Если при этом
напряжения равны допускаемым, то такой стержень будет
иметь наименьший вес.
Возьмем длинный стержень, подверженный сжатию силой Р
и собственным весом (Рис.2). Чем ближе к основанию стержня
мы будем брать сечение, тем больше будет сила, вызывающая
напряжения в этом сечении, тем большими придется брать
размеры площади сечения. Стержень получит форму,
расширяющуюся книзу. Площадь сечения F будет изменяться
по высоте в зависимости от , т. е.
.
Установим этот закон изменения площади в зависимости от
расстояния сечения от верха стержня.
Рис.2. Расчетная схема бруса равного сопротивления
Площадь верхнего сечения стержня
прочности:
определится из условия
и
где
— допускаемое напряжение на сжатие; напряжения во
всех прочих сечениях стержня также должны равняться
величине
Чтобы выяснить закон изменения площадей по высоте
стержня, возьмем два смежных бесконечно близких сечения
на расстоянии от верха стержня; расстояние между
сечениями ; площадь верхнего назовем
, площадь же
смежного
.
Приращение площади
при переходе от одного сечения к
другому должно воспринять вес
элемента стержня между
сечениями. Так как на площади
он должен вызвать
напряжение, равное допускаемому
, то
определится из
условия:
Отсюда:
После интегрирования получаем:
При
площадь
и
; подставляя эти значения, имеем:
Отсюда
,
Если менять сечения точно по этому закону, то боковые
грани стержня получат криволинейное очертание (Рис.2), что
усложняет и удорожает работу. Поэтому обычно такому
сооружению придают лишь приближенную форму стержня
равного сопротивления, например в виде усеченной пирамиды
с плоскими гранями. Приведенный расчет является
приближенным. Мы предполагали, что по всему сечению
стержня равного сопротивления передаются только
нормальные напряжения; на самом деле у краев сечения
напряжения будут направлены по касательной к боковой
поверхности.
В случае длинных канатов или растянутых штанг форму
стержня равного сопротивления осуществляют тоже
приближенно, разделяя стержень по длине на ряд участков;
на протяжении каждого участка сечение остается постоянным
(Рис.3) — получается так называемый ступенчатый стержень.
Рис.3. Эквивалентный ступенчатый брус с приближением к
модели бруса равного сопротивления
Определение площадей
... при выбранных длинах
производится следующим образом. Площадь поперечного
сечения первого нижнего участка будет по формуле равна:
Чтобы получить площадь поперечного сечения второго
участка, надо нагрузить его внешней силой Р и весом первого
участка
:
Для третьего участка к внешней силе добавляются веса
первого и второго участков. Подобным же образом поступают
и для других участков.
Деформации при действии собственного веса.
При определении влияния собственного веса на
деформацию при растяжении и сжатии стержней придется
учесть, что относительное удлинение различных участков
стержня будет переменным, как и напряжение
. Для
вычисления полного удлинения стержня постоянного сечения
определим сначала удлинение бесконечно малого участка
стержня длиной , находящегося на расстоянии от конца
стержня (Рис.4).
Рис.4. Расчетная модель бруса с учетом собственного веса.
Абсолютное удлинение этого участка равно
Полное удлинение стержня
равно:
Величина
представляет собой полный вес стержня. Таким
образом, для вычисления удлинения от действия груза и
собственного веса можно воспользоваться прежней формулой:
подразумевая под S внешнюю силу и половину собственного
веса стержня.
Что же касается деформаций стержней равного
сопротивления, то, так как нормальные напряжения во всех
сечениях одинаковы и равны допускаемым
, относительное
удлинение по всей длине стержня одинаково и равно
Абсолютное же удлинение при длине стержня l равно:
где обозначения соответствуют приведенным на рис.1.
Деформацию ступенчатых стержней следует определять по
частям, выполняя подсчеты по отдельным призматическим
участкам. При определении деформации каждого участка
учитывается не только его собственный вес, но и вес тех
участков, которые влияют на его деформацию, добавляясь к
внешней силе. Полная деформация получится суммированием
деформаций отдельных участков.
Лекция № 12. Геометрические характеристики плоских
сечений.
Вычисление моментов инерции и моментов
сопротивления для простейших сечений.
Известно, что интеграл вида
является моментом
инерции сечения относительно нейтральной оси.
Здесь — расстояние элементарной площадки dF от
нейтральной оси; суммирование охватывает всю площадь
сечения. Покажем в качестве примера вычисление этого
интеграла для прямоугольника (Рис.1) высотой h и шириной b.
Проведем через его центр тяжести О оси симметрии Oz и Оу.
Если внешние силы, действующие на балку, лежат в плоскости
Oz, то нейтральной осью будет ось Оу. Найдем относительно
этой оси сначала момент инерции, а потом и момент
сопротивления площади прямоугольника.
Площадки dF, на которые следует разбить всю площадь
сечения, выберем в виде узких прямоугольников шириной b и
высотой dz (Рис.1а). Тогда:
и интеграл J принимает вид:
Чтобы взять интеграл по всей площади прямоугольника,
следует z менять от
до
Тогда
Момент сопротивления относительно нейтральной оси Оу мы
получим, разделив Jy на
Если необходимо вычислить момент инерции и момент
сопротивления прямоугольника относительно оси Oz, то в
полученных формулах следовало бы b и h поменять местами:
и
Заметим, что сумма произведений
не изменится, если мы
сдвинем все полоски dF = bdz параллельно самим себе так,
что они расположатся в пределах параллелограмма ABCD.
Рис.1. Расчетная модель для определения осевого момента
инерции прямоугольника.
Иначе, момент инерции параллелограмма относительно оси
у равен моменту инерции равновеликого ему прямоугольника
При вычислении момента инерции круга радиуса (Рис.2)
также разбиваем площадь на узкие полоски размером вдоль
оси Oz; ширина этих полосок b = b(z) тоже будет переменной
по высоте сечения. Элементарная площадка
Момент инерции равен:
Рис.2. Расчетная модель для определения осевого момента
инерции кругового сечения.
Так как верхняя и нижняя половины сечения одинаковы, то
вычисление момента инерции достаточно провести для одной
нижней и результат удвоить. Пределами для изменения z
будут 0 и :
Введем новую переменную интегрирования — угол
тогда
Пределы: при
; при
, следовательно,
и
Для треугольного сечения (Рис.3) момент инерции
относительно оси АВ равен
(Рис.2);
;
,
В последующем будет изложен метод вычисления момента
инерции для сечения любой сложной формы относительно
любой оси.
На практике из симметричных сечений встречаются чаще
всего: для дерева — прямоугольник и круг, для металлов —
двутавровое и тавровое сечения. Для прокатных профилей
можно пользоваться таблицами ОСТ (сортамент), в которых
помещены размеры и
Рис.3. Расчетная модель для определения осевого момента
инерции сечения треугольного профиля
величины J и W для профилей, выпускаемых заводами.
В балках из металла обычно применяются сложные
поперечные сечения, потому что в них материал может быть
использован экономичнее, чем в таких сечениях, как
прямоугольник и круг.
Так, известно, что валы делают полыми, чтобы удалить ту
часть материала, которая слабо работает. Известно также, что
при изгибе балок материал около нейтральной оси принимает
на себя малые нормальные напряжения и также не может
быть использован полностью. Поэтому целесообразнее
переделать прямоугольное сечение так, чтобы удалить
материал у нейтральной оси и часть его сэкономить, а часть
перенести в верхнюю и нижнюю зоны балки, где он будет
работать более интенсивно. Так получается из прямоугольного
сечения профиль двутавра, обладающего той же прочностью и
меньшим весом. Применение двутавра целесообразно при
материалах, одинаково сопротивляющихся растяжению и
сжатию (большинство металлов).
Сечения в виде тавра, применяются или в случаях,
вызываемых специальными конструктивными
обстоятельствами, или для таких материалов, как чугун,
бетон, у которых сопротивления растяжению и сжатию резко
разнятся между собой; последнее обстоятельство требует,
чтобы напряжения в крайних волокнах были различными.
Как видно из изложенного, при решении вопроса о наиболее
экономичном проектировании сечения следует стремиться к
тому, чтобы при одной и той же площади F получить
наибольший момент сопротивления и момент инерции. Это
ведет к размещению большей части материала подальше от
нейтральной оси.
Однако для некоторых сечений можно увеличить момент
сопротивления не добавлением, а, наоборот, путем срезки
некоторой части сечения, наиболее удаленной от нейтральной
оси.
Так, например, для круглого сечения срезка
заштрихованных сегментов (Рис.4) несколько увеличивает
момент сопротивления, так как при этом мы уменьшаем
момент инерции сечения в меньшей степени, чем расстояние
до крайнего волокна
.
Рис.4. Срезка сегментов для увеличения осевого момента
сопротивления.
Общий способ вычисления моментов инерции сложных
сечений.
При проверке прочности частей конструкций нам
приходится встречаться с сечениями довольно сложной
формы, для которых нельзя вычислить момент инерции таким
простым путем, каким мы пользовались для прямоугольника и
круга.
Таким сечением может быть, например, тавр (Рис.5 а)
кольцевое сечение трубы, работающей на изгиб (авиационные
конструкции) (Рис.5, б), кольцевое сечение шейки вала или
еще более сложные сечения. Все эти сечения можно разбить
на простейшие, как-то: прямоугольники, треугольники, круги
и т.д. Можно показать, что момент инерции такой сложной
фигуры является суммой моментов инерции частей, на
которые мы ее разбиваем.
Рис.5. Сечения типа тавр — а) и кольцо б)
Известно, что момент инерции любой фигуры относительно
оси у—у равен:
где z—расстояние элементарных площадок
до оси у—у.
Разобьем взятую площадь на четыре части: , , и .
Теперь при вычислении момента инерции можно
сгруппировать слагаемые в подинтегральной функции так,
чтобы отдельно произвести суммирование для каждой из
выделенных четырех площадей, а затем эти суммы сложить.
Величина интеграла от этого не изменится.
Наш интеграл разобьется на четыре интеграла, каждый из
которых будет охватывать одну из площадей , , и :
Каждый из этих интегралов представляет собой момент
инерции соответствующей части площади относительно оси у
— у; поэтому
где
— момент инерции относительно оси у — у площади
— то же для площади
,
и т. д.
Полученный результат можно формулировать так: момент
инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции
составных ее частей. Таким образом, нам необходимо уметь
вычислять момент инерции любой фигуры относительно любой
оси, лежащей в ее плоскости.
Решение этой задачи и составляет содержание настоящей и
последующих двух собеседований.
Лекция № 13. Моменты инерции относительно параллельных
осей.
Задачу — получить наиболее простые формулы для
вычисления момента инерции любой фигуры относительно
любой оси — будем решать в несколько приемов. Если взять
серию осей, параллельных друг другу, то оказывается, что
можно легко вычислить моменты инерции фигуры
относительно любой из этих осей, зная ее момент инерции
относительно оси, проходящей через центр тяжести фигуры
параллельно выбранным осям.
Рис.1. Расчетная модель определения моментов инерции для
параллельных осей.
Оси, проходящие через центр тяжести, мы будем называть
центральными осями. Возьмем (Рис.1) произвольную фигуру.
Проведем центральную ось Оу, момент инерции относительно
этой оси назовем . Проведем в плоскости фигуры ось
параллельно оси у на расстоянии от нее. Найдем
зависимость между
и
— моментом инерции относительно
оси . Для этого напишем выражения для и . Разобьем
площадь фигуры на площадки
; расстояния каждой такой
площадки до осей у и назовем и . Тогда
и
Из рис.1 имеем:
Первый из этих трех интегралов — момент инерции
относительно центральной оси Оу. Второй — статический
момент относительно той же оси; он равен нулю, так как ось у
проходит через центр тяжести фигуры. Наконец, третий
интеграл равен площади фигуры F. Таким образом,
(1)
т. е. момент инерции относительно любой оси равен моменту
инерции относительно центральной оси, проведенной
параллельно у данной, плюс произведение площади фигуры
на квадрат расстояния между осями.
Значит, наша задача теперь свелась к вычислению только
центральных моментов инерции; если мы их будем знать, то
сможем вычислить момент инерции относительно любой
другой оси. Из формулы (1) следует, что центральный момент
инерции является наименьшим среди моментов инерции
относительно параллельных осей и для него мы получаем:
Найдем также центробежный момент инерции
относительно
осей
, параллельных центральным, если известен
(Рис.1). Так как по определению
где:
,
то отсюда следует
Так как два последних интеграла представляют собой
статические моменты площади относительно центральных
осей Оу и Oz то они обращаются в нуль и, следовательно:
(2)
Центробежный момент инерции относительно системы
взаимно перпендикулярных осей, параллельных центральным,
равен центробежному моменту инерции относительно этих
центральных осей плюс произведение из площади фигуры, на
координаты ее центра тяжести относительно новых осей.
Зависимость между моментами инерции при повороте осей.
Центральных осей можно провести сколько угодно. Является
вопрос, нельзя ли выразить момент инерции относительно
любой центральной оси в зависимости от момента инерции
относительно одной или двух определенных осей. Для этого
посмотрим, как будут меняться моменты инерции
относительно двух взаимно перпендикулярных осей при
повороте их на угол .
Возьмем какую-либо фигуру и проведем через ее центр
тяжести О две взаимно перпендикулярные оси Оу и Oz
(Рис.2).
Рис.2. Расчетная модель для определения моментов инерции
для повернутых осей.
Пусть нам известны осевые моменты инерции относительно
этих осей , , а также центробежный момент инерции
.Начертим вторую систему координатных осей и
наклоненных к первым под углом ; положительное
направление этого угла будем считать при повороте осей
вокруг точки О против часовой стрелки. Начало координат О
сохраняем. Выразим моменты относительно второй системы
координатных осей
и .
и
, через известные моменты инерции
Напишем выражения для моментов инерции относительно этих
осей:
(3)
Из чертежа видно, что координаты площадки dF в системе
повернутых осей
будут:
Подставляя эти значения
и
в формулы (14.9), получим:
или
(4)
Аналогично:
или
(5)
Первые два интеграла выражений (4) и (5) представляют
собой осевые моменты инерции и , а последний —
центробежный момент инерции площади относительно этих
осей
. Тогда:
(6)
Для решения задач могут понадобиться формулы перехода от
одних осей к другим для центробежного момента инерции.
При повороте осей (Рис.2) имеем:
где
и
вычисляются по формулам (14.10); тогда
После преобразований получим:
(7)
Таким образом, для того чтобы вычислить момент инерции
относительно любой центральной оси , надо знать моменты
инерции и относительно системы каких-нибудь двух
взаимно перпендикулярных центральных осей Оу и Oz,
центробежный момент инерции относительно тех же осей и
угол наклона оси к оси у.
Для вычисления же величин > ,
приходится так
выбирать оси у и z и разбивать площадь фигуры на такие
составные части, чтобы иметь возможность произвести это
вычисление, пользуясь только формулами перехода от
центральных осей каждой из составных частей к осям, им
параллельным. Как это сделать на практике, будет показано
ниже на примере. Заметим, что при этом вычислении сложные
фигуры надо разбивать на такие элементарные части, для
которых по возможности известны величины центральных
моментов инерции относительно системы взаимно
перпендикулярных осей.
Заметим, что ход вывода и полученные результаты не
изменились бы, если бы начало координат было взято не в
центре тяжести сечения, а в любой другой точке О. Таким
образом, формулы (6) и (7) являются формулами перехода от
одной системы взаимно-перпендикулярных осей к другой,
повернутой на некоторый угол , независимо от того,
центральные это оси или нет.
Из формул (6) можно получить еще одну зависимость между
моментами инерции при повороте осей. Сложив выражения
для
и
получим
т. е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно
перпендикулярных осей у и z не меняется при их повороте.
Подставляя последнее выражение вместо
получим:
где
и
их значения,
— расстояние площадок dF от точки О. Величина
является, как уже известно, полярным моментом
инерции сечения относительно точки О.
Таким образом, полярный момент инерции сечения
относительно какой-либо точки равен сумме осевых моментов
инерции относительно взаимно перпендикулярных осей,
проходящих через эту точку. Поэтому эта сумма и остается
постоянной при повороте осей. Этой зависимостью (14.16)
можно пользоваться для упрощения вычисления моментов
инерции. Так, для круга:
Так как по симметрии для круга
то
что было получено выше путем интегрирования.
Точно также для тонкостенного кольцевого сечения можно
получить:
Лекция № 14. Главные оси инерции и главные моменты
инерции.
Как уже известно, зная для данной фигуры центральные
моменты инерции , и
, можно вычислить момент
инерции и относительно любой другой оси.
При этом можно за основную систему осей принять такую
систему, при которой формулы существенно упрощаются.
Именно, можно найти систему координатных осей, для
которых центробежный момент инерции равен.нулю. В самом
деле, моменты инерции и всегда положительны, как
суммы положительных слагаемых, центробежный же момент
может быть и положительным и отрицательным, так как
слагаемые zydF могут быть разного знака в зависимости от
знаков z и у для той или иной площадки. Значит, он может
быть равен нулю.
Оси, относительно которых центробежный момент инерции
обращается в нуль, называются главными осями инерции.
Если начало такой системы помещено в центре тяжести
фигуры, то это будут главные центральные оси. Эти оси мы
будем обозначать и ; для них
Найдем, под каким углом
z (фиг. 198) главные оси.
наклонены к центральным осям у и
Рис.1. Расчетная модель для определения положения главных
осей инерции.
В известном выражении для перехода от осей yz к осям
,
для центробежного момента инерции дадим углу значение
; тогда оси и , совпадут c главными, и центробежный
момент инерции будет равен нулю:
или
откуда:
(1)
Этому уравнению удовлетворяют два значения
,
отличающиеся на 180°, или два значения , отличающиеся
на 90°. Таким образом, это уравнение дает нам положение
двух осей, составляющих между собой прямой угол. Это и
будут главные центральные оси
и
, для которых
Пользуясь этой формулой, можно по известным
.
,
и
получить формулы для главных моментов инерции
и
. Для
этого опять воспользуемся выражениями для осевых моментов
инерции общего положения. Они определяют значения
если вместо подставить
и
(2)
Полученными соотношениями можно пользоваться при
решении задач. Одним из главных моментов инерции является
, другим
.
Формулы (2) можно преобразовать к виду, свободному от
значения . Выражая
и
через
и подставляя их
значения в первую формулу (2), получим, делая
одновременно замену
из формулы (1):
Заменяя здесь из формулы (1) дробь
на
получаем
(3)
К этому же выражению можно прийти, делая подобное же
преобразование второй формулы (3).
За основную систему центральных осей, от которых можно
переходить к любой другой, можно взять не Оу и Oz, а
главные оси
и
; тогда в формулах не будет фигурировать
центробежный момент инерции (
). Обозначим угол,
составленный осью , (Рис.2) с главной осью
, через .
Для вычисления
,
и
, переходя от осей
ранее найденных выражениях для
через , а
получаем:
,
и
— через
,
,
и
и
и
нужно в
, заменить угол
. В результате
По своему виду эти формулы совершенно аналогичны
формулам для нормальных и касательных напряжений по
двум взаимно-перпендикулярным площадкам в элементе,
подвергающемся растяжению в двух направлениях. Укажем
лишь формулу, позволяющую из двух значений угла
выделить то, которое соответствует отклонению первой
главной оси (дающей max J) от начального положения оси у:
Теперь можно окончательно формулировать, что надо
сделать, чтобы получить возможность простейшим образом
вычислять момент инерции фигуры относительно любой оси.
Необходимо через центр тяжести фигуры провести оси Оу и Oz
так, чтобы, разбивая фигуру на простейшие части, мы могли
легко вычислить моменты , и
после этого следует найти
по формуле (14.17) величину угла и вычислить главные
центральные моменты инерции
и
по формулам (14.18).
Рис.2. Расчетная модель нахождения положения главных
осей.
Далее, можно найти момент инерции относительно любой
центральной оси
(Рис.2), наклоненной к
под углом :
Зная же центральный момент инерции , можно сейчас же
найти момент инерции относительно любой параллельной ей
оси , проходящей на расстоянии (рис.2) от центра тяжести:
Во многих случаях удается сразу провести главные оси
фигуры; если фигура имеет ось симметрии, то это и будет
одна из главных осей. В самом деле, при выводе формулы
мы уже имели дело с интегралом
, представляющим
собой центробежный момент инерции сечения относительно
осей у и z; было доказано, что если ось Oz является осью
симметрии, этот интеграл обращается в нуль.
Стало быть, в данном случае оси Оу и Oz являются
главными центральными осями инерции сечения. Таким
образом, ось симметрии — всегда главная центральная ось;
вторая главная центральная ось проходит через центр тяжести
перпендикулярно к оси симметрии.
Пример. Найти моменты инерции прямоугольника (Рис.3)
относительно осей и и центробежный момент его
относительно тех же осей.
Рис.3. Пример расчета моментов инерции.
Центральные оси у и z как оси симметрии будут главными
осями; моменты инерции сечения относительно этих осей
равны:
Центральные моменты относительно повернутых осей
равны:
Центробежный момент инерции относительно осей
равен:
и
и
Координаты центра тяжести прямоугольника относительно
осей и равны:
Моменты инерции относительно осей
и
равны:
Центробежный момент инерции равен:
Наибольшее и наименьшее значения центральных
моментов инерции.
Как известно, центральные моменты инерции являются
наименьшими из всех моментов относительно ряда
параллельных осей.
Найдем теперь крайние значения (максимум и минимум) для
центральных моментов инерции. Возьмем ось , и начнем ее
вращать, т. е. менять угол ; при этом будет изменяться
величина
Наибольшее и наименьшее значения этого момента инерции
соответствуют углу , при котором производная
обращается в нуль. Эта производная равна:
Подставляя в написанное выражение
нулю, получаем:
отсюда
и приравнивая его
Таким образом, осями с наибольшим и наименьшим
центральными моментами инерции будут главные
центральные оси. Так как при повороте центральных осей
сумма соответствующих моментов инерции не меняется, то
Когда один из центральных моментов инерции достигает
наибольшего значения, другой оказывается минимальным, т,
е. если
то
Следовательно, главные центральные оси инерции — это
такие взаимно перпендикулярные оси, проходящие через
центр тяжести сечения, относительно которых центробежный
момент инерции обращается в нуль, а осевые моменты
инерции имеют наибольшее и наименьшее значения.
Лекция № 19. Прямой чистый изгиб стержня
При прямом чистом изгибе в поперечном сечении стержня
возникает только один силовой фактор — изгибающий момент
Мх (рис. 1). Так как Qy=dMx/dz=0, то Mx=const и чистый
прямой изгиб может быть реализован при загружении стержня
парами сил, приложенными в торцевых сечениях стержня.
Поскольку изгибающий момент Mх по определению равен
сумме моментов внутренних сил относительно оси Ох с
нормальными напряжениями его связывает выкающее из этого
определения уравнение статики
.
Сформулируем предпосылки теории чистого прямого изгиба
призматического стержня. Для этого проанализируем
деформации модели стержня из низкомодульного материала,
на боковой поверхности которого нанесена сетка продольных
и поперечных рисок (рис. 2). Поскольку поперечные риски
при изгибе стержня парами сил, приложенными в торцевых
сечениях, остаются прямыми и перпендикулярными к
искривленным продольным рискам, это позволяет сделать
вывод о выполнении гипотезы плоских сечений, которая, как
показывает решение этой задачи методами теории упругости,
перестает быть гипотезой, становясь точным фактом —
законом плоских сечений. Замеряя изменение расстояний
между продольными рисками, приходим к выводу о
справедливости гипотезы о ненадавливании продольных
волокон
.
Ортогональность продольных и поперечных рисок до и
после деформирования (как отражение действия закона
плоских сечений) указывает также на отсутствие сдвигов,
касательных напряжений в поперечных и продольных
сечениях стержня.
Рис.1. Связь внутреннего усилия и напряжения
Рис.2. Модель чистого изгиба
Таким образом, чистый прямой изгиб призматического
стержня сводится к одноосному растяжению или сжатию
продольных волокон напряжениями (индекс г в дальнейшем
опускаем). При этом часть волокон находится в зоне
растяжения (на рис. 2 это—нижние волокна), а другая часть—
в зоне сжатия (верхние волокна). Эти зоны разделены
нейтральным слоем (п—п), не меняющим своей длины,
напряжения в котором равны нулю. Учитывая
сформулированные выше предпосылки и полагая, что
материал стержня линейно-упругий, т. е. закон Гука в этом
случае имеет вид:
, выведем формулы для кривизны
нейтрального слоя
( —радиус кривизны) и нормальных
напряжений . Предварительно отметим, что постоянство
поперечного сечения призматического стержня и изгибающего
момента (Mх=сonst), обеспечивает постоянство радиуса
кривизны нейтрального слоя по длине стержня (рис. 3, а),
нейтральный слой (п—п) описывается дугой окружности.
Рассмотрим призматический стержень в условиях прямого
чистого изгиба (рис. 3, а) с поперечным сечением,
симметричным относительно вертикальной оси Оу. Это
условие не отразится на конечном результате (чтобы прямой
изгиб был возможен, необходимо совпадение оси Оу с главной
осью инерции поперечного сечения, которая и является осью
симметрии). Ось Ox поместим на нейтральном слое,
положение которого заранее неизвестно.
а) расчетная схема, б) деформации и напряжения
Рис.3. Фрагмент чистого изгиба бруса
Рассмотрим вырезанный из стержня элемент длиной dz,
который в масштабе с искаженными в интересах наглядности
пропорциями изображен на рис. 3, б. Поскольку интерес
представляют деформации элемента, определяемые
относительным смещением его точек, одно из торцевых
сечений элемента можно считать неподвижным. Ввиду малости
считаем, что точки поперечного сечения при повороте на
этот угол перемещаются не по дугам, а по соответствующим
касательным.
Вычислим относительную деформацию продольного волокна
АВ, отстоящего от нейтрального слоя на у:
.
Из подобия треугольников С001 и 01ВВ1 следует, что
.
Продольная деформация оказалась линейной функцией
расстояния от нейтрального слоя, что является прямым
следствием закона плоских сечений
(1)
Тогда нормальное напряжение, растягивающее волокно АВ, на
основании закона Гука будет равно
(2)
Эта формула не пригодна для практического использования,
так как содержит две неизвестные: кривизну нейтрального
слоя
и положение нейтральной оси Ох, от которой
отсчитывается координата у. Для определения этих
неизвестных воспользуемся уравнениями равновесия статики.
Первое выражает требование равенства нулю продольной
силы
(3)
Подставляя в это уравнение выражение (2)
и учитывая, что
, получаем, что
Интеграл в левой части этого уравнения представляет собой
статический момент поперечного сечения стержня
относительно нейтральной оси Ох, который может быть
равным нулю только относительно центральной оси. Поэтому
нейтральная ось Ох проходит через центр тяжести
поперечного сечения.
Вторым уравнением равновесия статики является,
связывающее нормальные напряжения с изгибающим
моментом (который легко может быть выражен через внешние
силы и поэтому считается заданной величиной). Подставляя в
уравнение связки выражение для. напряжений, получим:
и учитывая, что
где Jx—главный центральный
момент инерции относительно оси Ох, для кривизны
нейтрального слоя получаем формулу
(4)
Кривизна нейтрального слоя
является мерой деформации
стержня при прямом чистом изгибе.
тем меньше, чем
больше величина EJх, называемая жесткостью поперечного
сечения при изгибе (по аналогии с жесткостью поперечного
сечения при растяжении EF).
Подставляя (4) в (2), получаем формулу для нормальных
напряжений в виде
(5)
Рис.4. Распределение нормальных напряжений
которая была впервые получена Ш. Кулоном в 1773 году. Для
согласования знаков изгибающего момента Мх и нормальных
напряжений в правой части формулы (5) ставится знак
минус, так как при Mх>0 нормальные напряжения при y>0
оказываются сжимающими. Однако в практических расчетах
удобнее, не придерживаясь формального правила знаков,
определять напряжения по модулю, а знак ставить по смыслу.
Нормальные напряжения при чистом изгибе призматического
стержня являются линейной функцией координаты у и
достигают наибольших значений в волокнах, наиболее
удаленных от нейтральной оси (рис. 4), т. е.
Здесь введена геометрическая характеристика
,
3
имеющая размерность м и получившая название момента
сопротивления при изгибе. Поскольку при заданном Mх
напряжения max ? тем меньше, чем больше Wx, момент
сопротивления является геометрической характеристикой
прочности поперечного сечения изгибе. Приведем примеры
вычисления моментов сопротивления для простейших форм
поперечных сечений. Для прямоугольного поперечного
сечения (рис. 5, а) имеем Jх=bh3/12,ymax = h/2 и Wx = Jx/ymax =
bh2/6. Аналогично для круга (рис. 5,a Jx= d4/64, ymax=d/2)
получаем Wx= d3/32, для кругового кольцевого сечения (рис.
5, в), у которого
получаем
Итак, максимальные нормальные напряжения в сечении с
изгибающим моментом Mх определяются по формуле
(6)
Рис.5. Конфигурации поперечных сечений бруса
Этой формулой удобно пользоваться для расчета балок
пластичного материала в упругой области, одинаково
работающего на растяжение и сжатие. Поскольку знак
напряжения в этом случае не имеет значения, напряжения
вычисляются по модулю, и условие прочности при изгибе
балки в форме призматического стержня получает вид
где max Mх—максимальное значение изгибающего момента
(легко определяемое по его эпюре),
— допускаемое
напряжение на простое растяжение (сжатие). Напомним, что
чистый изгиб балки сводится к растяжению и сжатию ее
волокон (неравномерному в отличие от деформации
растяжения (сжатия) призматического стержня, при котором
).
Рис.6. Модель изгиба хрупкого материала
При расчете балок из хрупких материалов следует
различать наибольшие растягивающие max
и наибольшие
сжимающие
напряжения (рис. 6.), которые также
определяются по модулю непосредственно и сравниваются с
допускаемыми напряжениями на растяжение
и сжатие
Условие прочности в этом случае будет иметь вид:
.
.
Лекция № 15. Прямой поперечный изгиб стержня
При прямом поперечном изгибе в сечениях стержня
возникает изгибающий момент Мх и поперечная сила Qy рис.
1), которые связаны с нормальными
напряжениями
и касательными
Рис.1. Связь усилий и напряжений
а) сосредоточенная сила, б) распределенная
Рис.2. Модели прямого поперечного изгиба:
Выведенная в случае чистого изгиба стержня формула для
прямого поперечного изгиба, вообще говоря, неприменима,
поскольку из-за сдвигов, вызываемых касательными
напряжениями
, происходит депланация поперечных
сечении (отклонение от закона плоских сечений). Однако для
балок с высотой сечения h<l/4 (рис. 2) погрешность невелика
и ее применяют для определения нормальных напряжений
поперечного изгиба как приближенную. При выводе условия
прочности при чистом изгибе использовалась гипотеза об
отсутствии поперечного взаимодействия продольных волокон.
При поперечном изгибе наблюдаются отклонения от этой
гипотезы:
а) в местах приложения сосредоточенных сил. Под
сосредоточенной силой напряжения поперечного
взаимодействия могут быть достаточно велики и во много раз
превышать продольные напряжения
, убывая при этом, в
соответствии с принципом Сен-Венана, по мере удаления от
точки приложения силы;
б) в местах приложения распределенных нагрузок. Так, в
случае, приведенном на рис. 2, б, напряжения от давления на
верхние волокна балки
напряжениями
. Сравнивая их с продольными
, имеющими порядок
,
приходим к выводу, что напряжения
h2 <<l2, так как
при условии, что
.
Получим формулу для касательных напряжений
. Примем,
методика расчета нормальных напряжений известна, что
касательные напряжения равномерно распределены по
ширине поперечного сечения (рис. 3). Эта предпосылка
выполняется тем точнее, чем уже поперечное сечение
стержня. Точное решение задачи для прямоугольного
поперечного сечения показывает, что отклонение от
равномерного распределения
, зависит от отношения сторон
b/h. При (b/h) =1,0 оно составляет 12,6%, при (b/h) =0,5 —
только 3,3%.
Рис.3. Расчетная модель поперечного прямого изгиба
Непосредственное определение напряжений
затруднительно, поэтому находим равные им (вследствие
закона парности) касательные напряжения
, возникающие
на продольной площадке с координатой у элемента длиной dz,
вырезанного из балки, (рис. 3). Сам элемент показан на рис.
4. От этого элемента продольным сечением, отстоящим от
нейтрального слоя на у, отсекаем верхнюю часть, заменяя
действие отброшенной нижней части касательными
напряжениями (индекс гу в дальнейшем опускаем),
равнодействующая которых
показана на рис. 5. Здесь,
согласно второй предпосылке
Рис.4. Расчетный элемент бруса
Рис.5. Фрагмент расчетного элемента бруса
по ширине элемента b. Нормальные напряжения и
, действующие на торцевых площадках элемента, также
заменим их равнодействующими
,
.
Согласно первой предпосылке нормальные напряжения
определяются уже известным способом,
, где
—
статический момент отсеченной части площади поперечного
сечения относительно оси Ох.
Рассмотрим условие равновесия элемента (рис. 5) составив
для него уравнение статики
:
откуда после несложных преобразований, учитывая, что
получаем формулу для касательных напряжений при
нормальном поперечном изгибе призматического стержня
которая называется формулой Журавского.
Рис.6. Распределение касательных напряжений по контуру
прямоугольного сечения
В этой формуле by — ширина сечения в том месте, где
определяются касательные напряжения, а статический
момент, подставляемый в эту формулу, может быть вычислен
как для верхней, так и для нижней части (статические
моменты этих частей сечения относительно его центральной
оси Ох отличаются только знаком, так как статическим момент
всего сечения равен нулю).
В качестве примера применения формулы Журавского
построим эпюру касательных напряжений для случая
прямоугольного поперечного сечения балки (рис. 6.).
Учитывая, что для этого сечения
получаем
где F=bh—площадь прямоугольника.
Как видно из формулы, касательные напряжения по высоте
сечения меняются по закону квадратичеокой параболы,
достигая максимума на нейтральной оси
Сделаем несколько замечаний, касающихся расчетов на
прочность при прямом поперечном изгибе. В отличие от
простых видов деформации, когда в поперечных сечениях
стержня возникает лишь один силовой фактор, к которым
относятся и изученные выше растяжение (сжатие) и чистый
изгиб, прямой поперечный изгиб должен быть отнесен к
сложным видам деформации. В поперечных сечениях стержня
при поперечном изгибе возникают два силовых фактора:
изгибающий момент Мх и поперечная сила Qy (рис. 7),
напряженное состояние является упрощенным плоским, при
котором в окрестности произвольно выбранных точек
поперечного сечения действуют нормальные и касательные
напряжения. Поэтому условие прочности для таких точек
должно быть сформулировано на основе какого-либо уже
известного критерия прочности.
Однако учитывая, что наибольшие нормальные напряжения
возникают в крайних волокнах, где касательные напряжения
отсутствуют (рис. 7), а наибольшие касательные напряжения
во многих случаях имеют место в нейтральном слое, где
нормальные напряжения равны нулю, условия прочности в
этих случаях формулируются раздельно по нормальным и
касательным напряжениям
Рис.7 Распределение нормальных и касательных напряжений
по контуру сечения
Рис.8. К сравнительной оценке модулей напряжения
Покажем, что доминирующая роль в расчетах на прочность
балки, подвергнутой поперечному изгибу, будет принадлежать
расчету по нормальным напряжениям. Для этого оценим
порядок max и max на примере консольной балки,
показанной на рис. 8:
так как
Тогда
откуда max <<max , а поскольку
то
доминирующим в этом случае будет расчет по нормальным
напряжениям и условие прочности, например, для балки из
пластичного материала, работающей на прямой изгиб, как и в
случае чистого изгиба будет иметь вид:
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ ПРИ
ИЗГИБЕ
Наиболее рациональным следует признать сечение,
обладающее минимальной площадью при заданной нагрузке
(изгибающем моменте) на балку. В этом случае расход
материала на изготовление балки, будет минимальным. Для
получения балки минимальной материалоемкости нужно
стремиться к тому, чтобы по возможности наибольший объем
материала работал при напряжениях, равных допускаемым
или близким к ним. Прежде всего рациональное сечение
балки при изгибе должно удовлетворять условию
равнопрочности растянутой и сжатой зон балки. Иными
словами необходимо, чтобы наибольшие напряжения
растяжения (max
) н наибольшие напряжения сжатия (max
) одновременно достигали допускаемых напряжений
и
.
Поэтому для балки из пластичного материала (одинаково
работающего на растяжение и сжатие:
), условие
равнопрочности выполняется для сечений, симметричных
относительно нейтральной оси. К таким сечениям относится,
например, прямоугольное сечение (рис. 9, а), при котором
обеспечено условие равенства
. Однако в этом
случае материал, равномерно распределенный по высоте
сечения, плохо используется в зоне нейтральной оси. Чтобы
получить более рациональное сечение, необходимо возможно
большую часть материала переместить в зоны, максимально
удаленные от нейтральной оси. Таким образом, приходим к
рациональному для пластичного материала сечению в форме
симметричного двутавра (рис. 9, б), у которого возможно
большая часть материала сосредоточена на полках
(горизонтальных массивных листах), соединенных стенкой
(вертикальным листом), толщина которой
назначается из
условий прочности стенки по касательным напряжениям, а
также из соображений ее устойчивости. К двутаврому сечению
близко по критерию рациональности так называемое
коробчатое сечение (рис. 9, в).
Рис.9. Распределение нормальных напряжений в
симметричных сечениях
Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что для балок из
хрупкого материала наиболее рациональным будет сечение в
форме несимметричного двутавра, удовлетворяющего условию
равнопрочности на растяжение и сжатие (рис. 10):
которое вытекает из требования
Рис.10. Распределение напряжений несимметричного
профиля сечения балки.
а) двутавр, б ) швеллер, в) неравнобокий уголок, г)
равнобокий уголок
Рис.11. Используемые профили сечений:
Идея рациональности поперечного сечения стержней при
изгибе реализована в стандартных тонкостенных профилях,
получаемых методами горячего прессования или прокатки из
рядовых и легированных конструкционных
высококачественных сталей, а также алюминия и
алюминиевых сплавов, получивших широкое распространение
в строительстве, машиностроении, авиационном
машиностроении. Широко распространены показанные на рис.
11: а—двутавр, б— швеллер, в — неравнобокий уголок, г—
равнобокий уголок. Реже встречаются тавр, таврошвеллер,
зетовый профиль и др. Употребляются также холодногнутые
замкнутые сварные профили (рис. 12).
Рис.12. Замкнутые сварные профили
Поскольку по соображениям технологии сортамент
стандартных профилей по размерам ограничен (например,
наибольший прокатный двутавр согласно ГОСТ 8239—72
имеет высоту 550 мм), то для больших пролетов приходится
применять составные (сварные или клепаные) балки.