Лекция № 11 Основы статистического контроля технологических процессов производства ЭВС

Курс «Управление качеством»
Лекция № 11
Основы статистического контроля
технологических процессов производства ЭВС
Общие сведения.
Статистический контроль является основной частью
управления качеством. Существует множество различных видов
статистического контроля, поэтому необходимо дать определение
основных его видов.
Статистический контроль может вестись на основе анализа
или среднего, или среднеквадратического отклонения, или того и
другого. Поэтому необходимо выполнить методическое обоснование
контроля по указанным статистикам. При этом важное значение
имеет нахождение объема выборки для минимизации расходов на
контроль.
Виды статистического контроля
Контроль изделий, изготовленных в промышленном
производстве, должен быть организован так, чтобы при налаженном
производстве принималось максимальное их количество.
На промышленном предприятии получили распространение
следующие виды контроля (ГОСТ 16504-70):
1) входной контроль, способствующий исключению
дефектных
комплектующих
изделий,
деталей,
материалов;
2) операционный
контроль,
включающий
контроль
продукции после завершения очередной технологической
операции;
3) приемочный контроль, предусматривающий контроль
готовой продукции.
Перечисленные виды контроля могут быть или сплошными
или выборочными.
Сплошной контроль предусматривает контроль каждой
единицы продукции.
При выборочном контроле проверке подвергаются выборки,
производимые из большой партии изделий. Основная идея
выборочного статистического контроля заключается в том, что
о партии изделий судят по выборочным статистическим
характеристикам выборки.
Контроль технологического процесса с помощью среднего
значения выборки.
1. Общие сведения.
Средняя
арифметическая
х
характеризует
степень
отлаженности технологического процесса. Поэтому она
является важной характеристикой при контроле параметров
качества.
По значению х можно сделать вывод, имеет ли место
нарушение
технологического
процесса.
Для
этого
устанавливают допустимые границы изменения значений
параметра, которые обозначают через . При этом возможны
следующие случаи в отношении параметров нормального
распределения: 1) M(х) и  известны; 2) M(х) – известно, а 
не известно и др.
2. Установление двустороннего критерия для среднего
значения х, когда M(х) и  известны.
Постановка задачи.
Задано: распределение , вероятность попадания х в
заданный интервал.
Найти:  - границы изменения х.
В соответствии с теоремой Ляпунова  = *х , где =
1/х*(М(х) -х), х=/n.
Велич ину  находят из следующего соотношения
Р(М(х)-х М(х)+) = 1- = 2Ф(), где  - уровень
значимости. Его обычно принимают равным 0,05; 0,01; 0,005; 0,001.
По значению (1-) находят  из функции Лапласа, а затем и .
3. Установление двустороннего критерия для среднего
значения х, когда М(х) известно, а  не известно.
Постановка задачи аналогична предыдущей.
Решение состоит в определении  из соотношения
Р(М(х)-х М(х)+) = 1- = F(2 ) – F(1).
Возможны два случая:
1) n10. Тогда вероятность попадания х в заданный интервал
может быть описана распределением Стьюдента (Госсета).
Напомним. Что распределение Стьюдента получают
построением случайной величины
Т = (х – М(х)) / Sn .
Тогда вероятность распределения имеет вид
S( t, n ) = Bn( 1 + t2 / n-1)-n/2,
Bn = Г(n/2) / ( n(n-1) * Г((n-1) /2).
Распределение Стьюдента с увеличением n быстро стремиться
к нормальному.
В этом случае
 = t т * Sх ; Sх = S / n, S = 1 / n-1 * (х - х )2 .
Задавшись (1-), по графику функции Сьюдента находят tт,
итерационно решают уравнение (1-) = Т(tт) и далее находят  по tт.
2) n10. Вероятность попадания х в заданный интервал
может быть описана нормальным распределением.Тогда
 = *х ,  = (М(х) -х) / Sх , Sх = S / n, S – то же, что и в
предыдущем случае. Задавшись (1-), по фунуции Лапласа находят
, а затем и .
4. Определение неизвестной генеральной средней по
выборочной средней.
Постановка задачи.
Известны: генеральная совокупность распределена нормально,
М(х) и  неизвестны.
Требуется определить с заданной вероятностью 1-, что М(х)
принадлежит интервалу х - М(х)х + , т.е.
Р(х - М(х)х + ) = 1-.
Возможны два случая:
1) n10. В этом случае необходимо использовать
распределение Стьюдента. Тогда  = tт*S / n. По таблице
для функции Стьюдента можно найти tт, которое
соответствует уравнению 1- = Т(tт).
2) n>10. В этом случае необходимо использовать
нормальное распределение:  = *S / n.
По функции Лапласа из соотношения (1-) = 2Ф() находят ,
а затем .
5. Сравнение однородных средних.
Предположим, что на двух технологических установках
выпускают однотипные изделия. Возьмем выборку объемом n1 с
первой установки и выборку объемом n2 – с другой. Предположим,
что первый ряд наблюдений дал среднюю арифметическую х1, а
второй - х2. Если окажется, что они отличны, то важно установить:
является ли эта разность случайной и несущественной или нет.
Возможны два случая:
1) n10. Тогда распределение можно описать распределение
Стьюдента
tт = (х1 -х2 ) / Sх , Sх = S* n1+n2 / n1*n2 ,
S = 1 /( n1+n2-2)*((х1-хi)2 + ()
Найдя tт, можно подсчитать вероятность Р = Т(tт).
2) n10. Вэтом случае необходимо воспользоваться
нормальным распределением
 = (х1-х2) / Sх , Sх – находиться так же, как и в предыдущем
случае. Найдя , подсчитывают вероятность расхождения (Р =
Ф()) и решают, значимо ли оно.
Контроль технологического
стандартного отклонения.
1. Оценка  по S.
процесса
с
помощью
Величина стандартного отклонения характеризует качество
настройки технологического процесса и качество изделий.
На
практике
распространенной
ошибкой
является
необоснованная замена неизвестного стандартного отклонения
генеральной
совокупности
Sт
выборочным
стандартным
отклонением Sв .
Стандартное отклонение S одной выборки, особенно при
малом ее объеме, не может считаться пригодным значением оценки
Sг, так как средняя х, используемая при вычислении S, является
выборочной средней, а не математическим ожиданием. Поэтому S
из выборок не идентична Sт. Обозначим Sт =  и с2 = S / . Оно
приближается к 1 при n.
Коэффициент С2 используют для оценки  по S, т.е.,
 =S / C2.
Значение С2 зависит от объема выборок и они приведены в
соответствующих
таблицах.
Учитывая,
что
необходимо
использовать исправленное S, получим
S =S* n / n-1;  = (S * n-1) / C2* n.
Для интервальной оценки  используем распределение 2.
Тогда Р(S-S+) = P(22) – P(12), где Pс), P(12) – вероятности,
определяемые по распределению Пирсона (2),
22 = *S2 /(S+ )2, 12 = *S2 /(S- )2,  = n-k, N = n*k.
Если выборка одна, то ,  = N-1, N = n, S = S.
Разделив неравенство наS , получим
Р((S- )/S) /S(S+ )/S) = P
2. Оценка  поR.
В связи с тем, что вычисление стандартного отклонения S
связано с некоторыми трудностями, в качестве меры токлонения
отдельных значений внутри выборки используют размах R.
Последний легко определяется для выборок небольшого объема.
Известно (из теории и практики), что S и R находятся в
прямопропорциональной зависимости. Между ними существует
положительная корреляционная связь. Чем меньше R, тем меньше S,
и наоборот. Это выражают зависимостью
R
M    
 d2 
1 K
 Ri
где R 
K i 1
к – количество выборок, d2 – некоторый коэффициент,
зависящий от объема выборок.
Значение определяется в зависимости от n по таблице 7 [8].
Определение объема выборки
Рассмотрим определение объема выборки для оценки среднего
значения параметра, имеющего нормальное распределение в
генеральной совокупности.
Будем исходить из известного соотношения
P   X  M ( X )     Ф1 ( z)  2Ф( z)
Исходя из выражения для 

z
n
можно получить оценку n при заданной точности
n
z 2 2
2
Определим, что значение  задается заранее, а z находятся по
таблице Ф(z) распределения вероятностей Гаусса, поскольку 2Ф(z)
задаются  или известно, или может быть оценено.
Если объем выборки соизмерим с объемом генеральной
совокупности, то
x 

n
N n
1 1
1 1

 ;   z

N
n N
n N
а
n
1
 2 /( z ) 2  1 / N
Из последнего соотношения получается при N.
Для интервальной оценки  используем распределение Х2.
P(S      S   )  P( X 22 )  P( X 12 )
где
P( X 22 ), P( X12 )  вероятности,
определяемые
по
распределению Пирсона (Х2).
VS 2
VS 2
2
2
X2 
,X 
,  N  K , N  n * K
S   2 1 S   2
Если выборка одна, то
  N  1, N  n, S  S
Разделив неравенство на S, получим
  
 
 S   S  
P
 
 
  P

S
S 
X
S
X
 S
2 
 1
 X 22 S 2 X 12 
  P X 22  P X 12
 P
 2 

 
 
   
 
2
 
P 2  2  2  
S
X2 
 X1