Критерий Стьюдента, стандартная ошибка, интервальный

Критерий Стьюдента, стандартная ошибка, интервальный прогноз с
применением распределения Стьюдента для уравнения регрессии.
Критерий Стьюдента (или t-критерий Стьюдента) - общее название для класса методов
статистической проверки гипотез (статистических критериев), основанных на сравнении с
распределением Стьюдента.
Требования к данным:
Для применения данного критерия необходимо, чтобы исходные данные имели
нормальное распределение. В случае применения двухвыборочного критерия для
независимых выборок также необходимо соблюдение условия равенства дисперсий.
Стандартная ошибка.
Термин стандартная ошибка среднего характеризует стандартное отклонение
выборочного среднего, рассчитанное по выборке размера n из генеральной
совокупности, и зависит от дисперсии генеральной совокупности (сигма) и объема
выборки (n):
= ( 2/n)1/2
Где
2 - дисперсия генеральной совокупности и

 n - число наблюдений в выборке.
Поскольку дисперсия генеральной совокупности, как правило, неизвестна, то оценка
стандартной ошибки вычисляется по формуле:
= (s2/n)1/2
где


s2 - выборочная дисперсия (наилучшая оценка дисперсии популяции) и
n - объем выборки.
Распределение Стьюдента
Определение:
Пусть
такие что
— независимые стандартные нормальные случайные величины,
. Тогда распределение случайной величины , где
называется распределением Стьюдента с степенями свободы. Пишут
. Её распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность
, где
— гамма-функция Эйлера.
Ур-е регрессии, интервальный прогноз с применением распределения Стьюдента
Пусть зависимость между х и у имеет вид
y  a 0  a 1x   ,
a ,a
где 0 1 - постоянные коэффициенты, называемые параметрами модели, -случайная
величина.
Уравнение у = u(х), в котором х играет роль «независимой» переменной, называется
уравнением регрессии, а соответствующий график — линией регрессии величины Y по X.
При неизвестном 2 дисперсии оценок a 0 и a 1 заменяются их оценками:
 оценка дисперсии
 оценка дисперсии
a 0 
x2
 S2
nS2x
,
a 1 
S2
nS2x .
Указанные оценки дисперсий можно использовать для построения доверительных
интервалов и проверки гипотез относительно параметров модели, следует лишь при этом
опираться не на нормальное распределение, а на распределение Стьюдента с числом
степеней свободы n-2.
Так, если   , то доверительные интервалы будут иметь вид
 для ао:
1
 x2  2
a 0  t ( n  2, 1  21 )   2   S,
 nSx 
 для а1:
1
 S2  2
a 1  t ( n  2, 1  21 )   2  ,
 nSx 
1
1
где t ( n  2, 1  2 ) - (1- 2 ) - процентная точка распределения Стьюдента с числом
степей свободы n-2.
Пояснения, дополнительная информация:
Среднее.
Среднее показывает "центральное положение" (центр) переменной и рассматривается
совместно с доверительным интервалом. Обычно интерес представляют статистики
(например, среднее), дающие информацию о популяции в целом. Чем больше размер
выборки, тем более надежна оценка среднего. Чем больше изменчивость данных
(больше разброс), тем оценка менее надежна.
Среднее = ( xi)/n
Где n - число наблюдений (объем выборки).
Распределение Стьюдента Плотность вероятности
Функция распределения