МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕМОДИНАМИКИ БАЗИЛЯРНОЙ АРТЕРИИ РАМН

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕМОДИНАМИКИ
БАЗИЛЯРНОЙ АРТЕРИИ
С.В. Фролов1, С.В. Синдеев1, В.А. Лищук2, Д.Ш. Газизова2, D.
Liepsch3, A. Balasso4
1
-Тамбовский государственный технический университет
2
- Научный центр сердечно-сосудистой хирургии им. А.Н. Бакулева
РАМН
3
- Мюнхенский университет прикладных наук
4
- Технический университет Мюнхена
E-mail: sergej.frolov@gmail.com
ВВЕДЕНИЕ
В результате нарушения гемодинамики в базилярной артерии
образуется аневризма (Рисунок 1). Особую опасность представляет собой
разрыв аневризмы, приводящий к субарахноидальному кровоизлиянию.
Рисунок
1.
Ангиограмма,
отображающая аневризму базилярной
артерии
Одной из актуальных задач на
сегодняшний день является разработка
методов прогнозирования возникновения
и развития аневризм базилярной артерии.
Наиболее перспективным методом для подобных задач является
применение математических методов моделирования движения крови по
базилярной артерии.
МЕТОДЫ
Учитывая то, что диаметр базилярной артерии сравнительно велик (>
1 мм.), можно принять допущение о том, что кровь является ньютоновской
жидкостью. Диаметр сосуда размером в 1 мм. является критическим, т.к
для сосудов с диаметром меньшим, чем 1 мм. наблюдается эффект
Фареуса-Линдквиста или сигма-эффект [1].
Для описания трехмерного движения крови как ньютоновской
несжимаемой жидкости воспользуемся законом сохранения импульса:
u
1
 u  u  νu  P  f ,
(1)
t
ρ
μ
ν ,
ρ
где u - скорость крови ( м / с ); ν - кинематическая вязкость крови ( м 2 / с ); μ -
динамическая вязкость крови ( Па / с ); ρ - плотность крови ( кг / м3 ); P давление крови ( Па ); f - внешние силы; t - время (с).
Под внешними силами f в уравнении (1) понимаются, как правило,
силы гравитации. Этой величиной при моделировании гемодинамики, как
правило, пренебрегают ( f =0). Кинематическая вязкость крови считают
постоянной ν = const. Таким образом, в уравнении (1) две неизвестные:
скорость крови u и давление P . Следовательно, необходимо добавить еще
одно уравнение - уравнение неразрывности:
ρ
 div ρu  0
t
(2)
Так как кровь моделируется как ньютоновская несжимаемая
жидкость, то ρ = const. Следовательно, уравнение (2) запишется в виде:
div u  0
(3)
Расчетная область D (Рисунок 2) состоит из базилярной артерии и
двух сосудов, на которые она разделяется. Согласно экспериментальным
данным, длина lБА базилярной артерии варьируется от 24.8 до 38.5 мм.
Диаметр d БА базилярной артерии изменяется в пределах от 2.7 до 4.28 мм
[2].
Рисунок 2. Геометрическая
3D модель базилярной артерии.
Для
решения
системы
уравнений (1), (3). Необходимо
задать начальные и граничные
условия. Для поверхности стенки
DС
сосуда
запишем условие
прилипания:
u D  0.
(4)
C
Для входной границы Dвх , также как и для выходных границ Dл ев,в ых ,
Dправ,в ых граничные условия могут быть заданы исследователем. Однако в
настоящий момент наиболее перспективным способом является получение
граничных условий из многомасштабных моделей гемодинамики [3].
Для определения начальных условий u0  u( x, y, z, t ) и P0  P( x, y, z, t )
при t  0 необходимо решить задачу Стокса:
 ν u0  P0  f

div u0  0

(5)
В системе (5) также как и в системе (1), (3) влиянием внешних сил
пренебрегают ( f = 0). Граничные условия такие же как и для системы (1)(3).
РЕЗУЛЬТАТЫ
Для проведения численных экспериментов была построена расчетная
область D . Параметры расчетной области составляют: lБА = 30 мм.; d БА = 3
мм.; α =120  ; l л ев = 7 мм.; l прав = 7 мм.; d л ев = 2 мм; d прав = 2 мм. Параметры
крови: ν = 3.3  10 6 м 2 / с ; μ = 0.003 Па / с ; ρ = 1050 кг / м3 .
Для стенки сосуда было задано условие прилипания (4). Для
моделирования течения крови по базилярной артерии на входной границе
потока Dв х был задан профиль скорости в соответствии с законом
Пуазейля. Для выходных границ D л ев,в ых , Dправ,в ых были заданы условия
свободного вытекания (условия Неймана):
u
n
0
D лев , вых
u
n
0
(6)
Dправ, вых
где n - внешняя нормаль к границам D л ев,в ых , Dправ,в ых .
На языке программирования С++ была разработана программа
решения системы уравнений математической модели движения крови по
базилярной артерии (1), (3-6) с применением технологии MPI. Решение
задачи (1), (3-6) требует значительных вычислительных ресурсов. Поэтому
для расчетов использовался суперкомпьютер «Ломоносов» НИВЦ МГУ
им. М.В. Ломоносова [4]. Моделировался период времени t  [0;1] с. с шагом
дискретизации по времени dt  0.0001 c. Результат расчета представлен на
Рисунок 3.
а)
б)
Рисунок 3. Скорость течения крови в области бифуркации
базилярной артерии. а) перпендикулярные сечения базилярной артерии
при t  0.133 ; б) продольное сечение базилярной артерии при t  0.133
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, разработана математическая модель движения крови
по базилярной артерии в частных производных. Данная модель может
использоваться для прогнозирования возникновения и развития аневризмы
базилярной артерии.
Библиографический список
1. Formaggia, L. Cardiovascular Mathematics. Modeling and simulation of
cardiovascular system / L. Formaggia, A. Quarteroni, A. Veneziani — Milan : SpringerVerlag, 2009. — 522 p.
2. Kamath, S. Observations on the length and diameter of vessels forming the cicle of
Willis // Journal of Anatomy. — 1981. — Vol. 133, № 3. — P. 419-423.
3. Frolov, S.V., Sindeev S.V., Lischouk V.A., Gazizova D.Sh., Liepsch D., Balasso A.
Development of multiscale hemodynamics model for research of basilar artery circulation //
Вопросы современной науки и практики. Объединенный университет им. В.И.
Вернадского. — 2013. — Vol. 48, № 4. — P. 46-53.
4. Воеводин В., Жуматий С., Соболев С., Антонов А., Брызгалов П., Никитенко
Д., Стефанов К., Воеводин В. Практика суперкомпьютера "Ломоносов"// Открытые
системы, N 7, 2012. С. 36-39.
Сведения об авторах
Фролов Сергей Владимирович – д.т.н., профессор, дата рождения:
28.12.1959г.
Синдеев Сергей Вячеславович – аспирант, дата рождения: 07.12.1989г
Лищук Владимир Александрович – д.б.н., профессор, дата рождения:
04.11.1935г
Газизова Динара Шавкатовна – д.м.н, профессор, дата рождения:
15.06.1952г
Liepsch Dieter – PhD, профессор, дата рождения: 14.03.1946г
Balasso Andrea – PhD, профессор, дата рождения: 25.06.1979г
Докладчик:
Фролов Сергей Владимирович,
sergej.frolov@gmail.com, тел: 8-920-481-75-86
Вид доклада: устный
54
года,
email: