А В С Д - Северо-Кавказский горно

Аналитическая геометрия
Методические указания
и типовой расчет
для студентов всех направлений подготовки
(бакалавриат)
Составители:
Е. И. Соколова, И. В. Крыжановская
ВЛАДИКАВКАЗ 2014
-0-
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ГОРНО-МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Кафедра математики
Аналитическая геометрия
Методические указания
и типовой расчет
для студентов всех направлений подготовки
(бакалавриат)
Составители:
Е. И. Соколова, И. В. Крыжановская
Допущено редакционно-издательским советом
Северо-Кавказского горно-металлургического
института (государственный технологический
университет)
Протокол РИСа № 3 от 11.04.2014
ВЛАДИКАВКАЗ 2014
-1-
УДК 514.12
ББК 22.151.5
С59
Рецензент: канд. физ.-матем. наук, доц. Вазиева Л. Т.
С59
Аналитическая геометрия: Методические указания и типовой расчёт / Сост. Е. И. Соколова, И. В. Крыжановская; Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет) – Владикавказ: Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет), 2011 – 47 с.
Данные методические указания состоят из двух частей.
В I части даны 25 вариантов индивидуальных заданий по теме
«Аналитическая геометрия для самостоятельного решения». Каждый
вариант содержит 12 задач.
Во II части приводится подробное решение типовых задач с необходимыми разъяснениями и сведениями.
Типовой расчет выполняется на отдельных листах.
В установленный срок типовой расчет сдается студентом на проверку преподавателю, а затем защищается.
В конце пособия приводится бланк индивидуального задания, в который студент, сняв ксерокопию бланка, может вписать данные своего
варианта.
УДК 514.12
ББК 22.151.5
Редактор: Иванченко Н. К.
 Составление. Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет), 2014
 Соколова Е. И., Крыжановская И. В., составление 2014
Подписано в печать 2.12.2014. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная.
Гарнитура “Таймс”. Печать на ризографе. Усл.п.л. 2,73. Тираж 1000 экз.
Заказ № _____ Северо-Кавказский горно-металлургический институт
(государственный технологический университет). Изд-во “Терек”. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии СКГМИ (ГТУ).
362021, г. Владикавказ, ул. Николаева, 44.
-2-
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
1)
2)
3)
4)
ЗАДАНИЕ № 1
Даны точки А, В, С, Д. Найти:
координаты точек, симметричных относительно оси Ох
точкам А и В, сделать чертёж;
координаты точек, симметричных относительно оси Оу
точкам С и Д, сделать чертёж;
расстояние между точками А и В, С и Д;
середину между точками А и С, В и Д.
1.1
А(-4; 7); В(2; 3); С(8; 1); Д(-6; -5);
1.2
А(4; 5); В(2; -3); С(-6; 1); Д(-4; -5);
1.3
А(8; 3); В(-4; -2); С(-6; 7); Д(-2; -8);
1.4
А(3; -2); В(4; 5); С(-7; 8); Д(-8; -3);
1.5
А(4; -1); В(-3; 8); С(-6; -5); Д(9; 4);
1.6
А(-1; -2); В(3; 4); С(7; -6); Д(-5; 10);
1.7
А(5; -3); В(-1; -6); С(9; 2); Д(-7; -4);
1.8
А(11; 4); В(-2; 1); С(-9; -6); Д(-4; 5);
1.9
А(-8; 3); В(5; -7); С(4; 9); Д(-1; -5);
1.10
А(8; 5); В(7; -2); С(-4; -3); Д(-13; 6);
1.11
А(-5; 9); В(4; -3); С(-3; -1); Д(2; 7);
1.12
А(2; 4); В(-6; 5); С(4; -8); Д(-2; -9);
1.13
А(3; -9); В(-6; -3); С(11; 1); Д(14; -5);
1.14
А(15; 3); В(-1; 2); С(-9; -7); Д(5; 6);
-3-
1.15
А(7; 8); В(-4; 3); С(-9; -4); Д(10; 5);
1.16
А(4; -7); В(-1; -6); С(8; 9); Д(5; -4);
1.17
А(-4; 2); В(10; -7); С(-2; -8); Д(6; 5);
1.18
А(14; 1); В(-8; 15); С(2; 7); Д(-6; -7);
1.19
А(4; -9); В(-6; 3); С(-6; -5); Д(8; 1);
1.20
А(6; 9); В(-8; 3); С(-4; -7); Д(-6; 5);
1.21
А(5; -4); В(7; 8); С(-9; 6); Д(-1; -4);
1.22
А(-6; -2); В(3; -4); С(8; 10); Д(-5; -8);
1.23
А(12; -3); В(-4; -7); С(-4; 5); Д(8; 3);
1.24
А(-3; -5); В(5; -6); С(7; 9); Д(-9; 10);
1.25
А(7; -9); В(-1; -3); С(5; 11); Д(-7; 9).
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
ЗАДАНИЕ № 2
Треугольник АВС задан координатами своих вершин.
Найти:
уравнение сторон АВ и АС; длину стороны АВ;
уравнение и длину высоты СД;
уравнение медианы АМ;
точку N пересечения медианы АМ и высоты СД;
уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ;
расстояние от точки В до прямой АС;
угол при вершине А;
координаты точки Р, расположенной симметрично точке А
относительно прямой СД.
2.1
А(-6; -4); В(-10; -1); С(6; 1);
2.2
А(12; 0); В(18; 8); С(0; 5);
-4-
2.3
А(-2; 2); В(-6; -3); С(10; -1);
2.4
А(8; 2); В(14; 10); С(-4; 7);
2.5
А(2; -4); В(-2; -1); С(14; 1);
2.6
А(2; -1); В(8; 7); С(0; 4);
2.7
А(5; -3); В(1; 0); С(17; 2);
2.8
А(14; -6); В(20; 2); С(2; -1);
2.9
А(3; 4); В(-1; 7); С(15; 9);
2.10
А(1; -2); В(7; 6); С(-11; 3);
2.11
А(-8; -3); В(4; -12); С(8; 10);
2.12
А(-5; 7); В(7; -2); С(11; 20);
2.13
А(-12; -1); В(0; -10); С(4; 12);
2.14
А(-10; 9); В(2; 0); С(6; 22);
2.15
А(0; 2); В(12; -7); С(16;15);
2.16
А(-9; 6); В(3; -3); С(7; 19);
2.17
А(1; 0); В(13; -9); С(17; 13);
2.18
А(-4; 10); В(8; 1); С(12; 23);
2.19
А(2; 5); В(14; -4); С(18; 18);
2.20
А(-1; 4); В(11; -5); С(15; 17);
2.21
А(-2; 7); В(10; -2); С(8; 12);
2.22
А(-6; 8); В(6; -1); С(4; 13);
-5-
2.23
А(3; 6); В(15; -3); С(13; 11);
2.24
А(-10; 5); В(2; -4); С(0; 10);
2.25
А(-4; 12); В(8; 3); С(6; 17).
ЗАДАНИЕ № 3
Найти координаты центра и радиус окружности.
Выполнить чертёж.
3.1
x2 + y2 – 8x + 12y – 29 = 0.
3.2
x2 + y2 + 16x – 20y – 5 = 0.
3.3
x2 + y2 – 4x + 4y – 8 = 0.
3.4
x2 + y2 + 6x – 4y – 62 = 0.
3.5
x2 + y2 + 6x – 14y – 6 = 0.
3.6
x2 + y2 – 24x + 2y – 51= 0.
3.7
x2 + y2 – 4x + 16y – 5 = 0.
3.8
x2 + y2 + 12x – 10y + 45 = 0.
3.9
x2 + y2 – 8x + 6y = 0.
3.10
x2 + y2 + 12x – 14y + 49 = 0.
3.11
x2 + y2 – 18x + 2y – 39 = 0.
3.12
x2 + y2 + 8x – 4y – 5 = 0.
3.13
x2 + y2 – 6x + 14y – 6 = 0.
3.14
x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0.
-6-
3.15
x2 + y2 + 8x – 12y – 29 = 0.
3.16
x2 + y2 – 16x + 20y – 5 = 0.
3.17
x2 + y2 + 4x + 4y – 8 = 0.
3.18
x2 + y2 + 24x –2y – 51= 0.
3.19
x2 + y2 – 12x + 14y – 15 = 0.
3.20
x2 + y2 – 10x + 16y – 11 = 0.
3.21
x2 + y2 + 8x – 6y – 24 = 0.
3.22
x2 + y2 – 12x + 8y – 29 = 0.
3.23
x2 + y2 + 10x – 4y + 13 = 0.
3.24
x2 + y2 – 8x + 6y – 24 = 0.
3.25
x2 + y2 – 4x + 16y + 67 = 0.
ЗАДАНИЕ № 4
Привести уравнение кривой к каноническому виду, указать вершины, найти фокусы и эксцентриситет кривой
(для гиперболы найти уравнения асимптот). Построить
кривую.
4.1
а) x2 + y2 – 36 = 0;
б) 9x2 – 49y2 – 441 = 0;
4.2
а) 9x2 + 16y2 – 144 = 0;
б) 25x2 – 81y2 – 225 = 0;
4.3
а) 4x2 + 9y2 – 36 = 0;
б) 81x2 – 64y2 – 1600 = 0;
4.4
а) 16x2 + 25y2 – 400 = 0;
б) 100x2 – 9y2 – 900 = 0;
4.5
а) 25x2 + 36y2 – 900 = 0;
б) 9х2 – y2 – 81 = 0;
-7-
4.6
а) 4x2 + 25y2 – 100 = 0;
б) 64x2 – y2 – 64 = 0;
4.7
а) 9x2 + 25y2 – 225 = 0;
б) 81x2 – 16y2 – 1296 = 0;
4.8
а) 4x2 + 9y2 – 144 = 0;
б) 25x2 – 16y2 - 400= 0;
4.9
а) 25x2 + 49y2 – 1225 = 0;
б) 4x2 – y2 – 36 = 0;
4.10
а) 4x2 + 81y2 – 324 = 0;
б) 9x2 – y2 – 36 = 0;
4.11
а) 9x2 + 49y2 – 441 = 0;
б) 36x2 – 25y2 – 900 = 0;
4.12
а) x2 + 16y2 – 64 = 0;
б) 25x2 – 9y2 – 225 = 0;
4.13
а) 9x2 + 100y2 – 900 = 0;
б) 16x2 – 49y2 – 784 = 0;
4.14
а) 25x2 + 81y2 – 2025 = 0;
б) 16x2 – 9y2 – 144 = 0;
4.15
а) 4x2 + 49y2 – 196 = 0;
б) 4x2 – y2 – 64 = 0;
4.16
а) 9x2 + 64y2 – 576 = 0;
б) 25x2 – 4y2 – 400 = 0;
4.17
а) 16x2 + 81y2 – 1296 = 0;
б) 9x2 – 4y2 - 36= 0;
4.18
а) x2 + 25y2 – 100 = 0;
б) 81x2 – 4y2 – 324 = 0;
4.19
а) 25x2 + 64y2 – 1600 = 0;
б) 16x2 – y2 – 64 = 0;
4.20
а) x2 + 9y2 – 36 = 0;
б) 49x2 – 25y2 – 1225 = 0;
4.21
а) 16x2 + 4y2 – 784 = 0;
б) 25x2 – 4y2 – 100 = 0;
4.22
а) x2 + 9y2 – 81 = 0;
б) 49x2 – 4y2 – 196 = 0;
4.23
а) x2 + 4y2 – 64 = 0;
б) 64x2 – 9y2 – 576 = 0;
4.24
а) 4x2 + 25y2 – 400 = 0;
б) 9x2 – 4y2 – 144 = 0;
4.25
а) x2 + 100y2 – 25 = 0;
б) 81x2 – 25y2 – 2025 = 0.
-8-
ЗАДАНИЕ № 5
Даны уравнения парабол.
1. Указать ось симметрии.
2. Найти координаты фокуса и написать уравнение директрисы
для каждой из парабол.
3. Построить графики заданных парабол.
5.1
а) у2 – 16х = 0;
б) х2 + 4у = 0;
5.2
а) х2 – 9у = 0;
б) у2 + 10х = 0;
5.3
а) у2 + 4х = 0;
б)х2 – 18у = 0;
5.4
а) х2 – 12у = 0;
б) у2 + 6х = 0;
5.5
а) у2 – 14х = 0;
б) х2 + 8у = 0;
5.6
а) х2 + 10у = 0;
б) у2 – 16х = 0;
5.7
а) у2 – 6х = 0;
б) х2 + 18у = 0;
5.8
а) х2 – 2у = 0;
б) у2 + 16х = 0;
5.9
а) у2 – 10х = 0;
б) х2 + 4у = 0;
5.10
а) х2 – 32у = 0;
б) у2 + 12х = 0;
5.11
а) у2 – 4х = 0;
5.12
а) у2 – 48х = 0;
б) х2 + 8у = 0;
5.13
а) х2 – 10у = 0;
б) у2 + 6х = 0;
5.14
а) у2 – 32х = 0;
б) х2 + 6у = 0;
5.15
а) х2 – 14у = 0;
б) у2 + 12х = 0;
5.16
а) у2 – 22х = 0;
б) х2 + 18у = 0;
б) х2 + 16у = 0;
-9-
5.17
а) х2 – 2у = 0;
б) у2 + 6х = 0;
5.18
а) у2 – 18х = 0;
б) х2 + 34у = 0;
5.19
а) у2 – 48х = 0;
б) х2 + 28у = 0;
5.20
а) у2 – 12х = 0;
б) х2 + 20у = 0;
5.21
а) х2 – 24у = 0;
б) у2 + 8х = 0;
5.22
а) у2 – 26х = 0;
б) х2 + 12у = 0;
5.23
а) у2 – 36х = 0;
б) х2 + 44у = 0;
5.24
а) х2 + 20у = 0;
б) у2 – х = 0;
5.25
а) у2 – 64х = 0;
б) х2 + 5у = 0.
ЗАДАНИЕ № 6
Составить канонические уравнения:
а) эллипса; б) гиперболы; в) параболы
(А, В – точки, лежащие на кривой, F – фокус, а – большая
(действительная) полуось, b – малая (мнимая) полуось,  –
эксцентриситет, у = kx – уравнение асимптот гиперболы,
D – директриса кривой, 2с – фокусное расстояние).
6.1
а) b = 15,
в) D: x = -4.
F(-10, 0);
б) a = 13,
 = 14/13;
6.2
а) b = 2,
в) D: x = 5.
F(4 2 , 0);
б) a = 7,
=
6.3
a) А(3, 0)
в) D: y = -2.
B(2,
б) k = 3/4,
c = 5/4;
6.4
a)  = 21 /5, A(-5, 0);
в) D: y = 1.
5 /3)
85 /7;
б) A( 80 , 3), B(4 6 , 3 2 );
- 10 -
6.5
a) 2a = 22,  = 57 /11;
в) ось Oх, А(27, 9).
6.6
а) b = 15 ,  = 10 /25;
в) ось Oу, А(4, -8).
б) k = 3/4,
6.7
а) а = 4, F = (3, 0);
в) D: x = -2.
б) b = 2 10 ,
6.8
a) b = 4, F = (9, 0);
в) D: x = 6.
б) a = 5,
6.9
a) A(0, 3 ),
в) D: y = -4.
б) k =
6.10
a)  = 7/8,
в) D: y = 4.
6.11
a) 2a = 24,  = 22 /6;
в) ось Oх, А(-7, -7).
б) k =
2 /3,
2c = 10;
6.12
а) b = 2,  = 5 29 /29;
в) ось Oх, А(-5, 15).
б) k = 12/13,
2a = 26;
6.13
а) а = 6, F(-4, 0);
в) D: x = -7.
б) b = 3, F(7, 0);
6.14
a) b = 7, F(5, 0);
в) D: x = 10.
б) а = 11,
6.15
a) A(-17/3, 1/3), B( 21 /2, 1/2);
в) D: y = 1.
6.16
a)  = 3/5, A(0, 8);
в) D: y = 9.
б) k = 2/3,
B( 14 /3, 1);
2c = 10 13 ;
2a = 16;
F(-11, 0);
 = 7/5;
21 /10, c = 11/10;
б) A(3, - 3 /5), B( 13 /5, 6);
A(8, 0);
б) k = 1/2,
б) А(6, 0),
- 11 -
 = 12/11;
 = 5/2;
В(-2 2 , 1);
6.17
a) 2a = 22,  = 10/11;
в) ось Oх, А(-7, 5).
б) k = 11/5,
6.18
а) b = 5,
 = 12/13;
в) ось Oу, А(-9, 6).
б) k = 1/3,
2a = 6;
6.19
а) а = 9,
F(7, 0);
в) D: x = -1/4.
б) b = 6,
F(12, 0);
6.20
a) b = 5, F(-10, 0);
в) D: x = 12.
б) a = 9,
6.21
a) A(0, -2),
в) D: y =5.
6.22
a)  = 2/3, A(-6, 0);
в) D: y = 1.
б) А( 8 , 0),
6.23
a) 2a = 50,  = 3/5;
в) ось Oу, А(4, 1).
б) k =
6.24
а) b = 2 15 ,
F( 15 /2, 1);
 = 7/8;
2c = 12;
 = 4/3;
б) k = 2 10 /9,
 = 11/9;
B( 20 /3, 2);
29 /14, 2c = 30;
б) k = 5/6, 2a = 12;
в) ось Oу, А(-2, 3 2 ).
6.25
а) а = 13, F(-5, 0);
в) D: x = -3/8.
б) b = 44,
F(-7, 0);
ЗАДАНИЕ № 7
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно вектору KL .
7.1.
M(1;0;-2), K(2;-1;3), L(0;-3;2).
7.2.
M(-1;3;4), K(-1;5;0), L(2;6;1).
- 12 -
7.3.
M(4;-2;0), K(1;-1;-5), L(-2;1;-3).
7.4.
M(-8;0;7), K(-3;2;4), L(-1;4;5).
7.5.
M(7;-5;1), K(5;-1;-3), L(3;0;-4).
7.6.
M(-3;5;-2), K(-4;0;3), L(-3;2;5).
7.7.
M(1;-1;8), K(-4;-3;10), L(-1;-1;7).
7.8.
M(-2;0;-5), K(2;7;-3), L(1;10;-1).
7.9.
M(1;9;-4), K(5;7;1), L(3;5;0).
7.10.
M(-7;0;3), K(1;-5;-4), L(2;-3;0).
7.11.
M(0;-3;5), K(-7;2;6), L(-3;2;4).
7.12.
M(5;-1;2), K(2;-4;3), L(4;-1;3).
7.13.
M(-3;7;2), K(3;5;1), L(4;5;3).
7.14.
M(0;-2;8), K(4;3;2), L(1;4;3).
7.15.
M(1;-1;5), K(0;7;8), L(-1;3;8).
7.16.
M(-10;0;9), K(12;4;11), L(8;5;15).
7.17.
M(3;-3;-6), K(1;9;-5), L(6;6;-4).
7.18.
M(2;1;7), K(9;0;2), L(9;2;3).
7.19.
M(-7;1;-4), K(8;11;-3), L(9;9;-1).
7.20.
M(1;0;-6), K(-7;2;1), L(-9;6;1).
7.21.
M(-3;1;0), K(6;3;3), L(9;4;-2).
7.22.
M(-4;-2;5), K(3;-3;-7), L(9;3;-7).
- 13 -
7.23.
M(0;-8;10), K(-5;5;7), L(-8;0;4).
7.24.
M(1;-5;-2), K(6;-2;1), L(2;-2;-2).
7.25.
M(0;7;-9), K(-1;8;-11), L(-4;3;-12).
ЗАДАНИЕ № 8
Найти угол между плоскостями.
8.1.
x – 3y + 5 = 0, 2x – y + 5z – 16 = 0
8.2.
x – 3y + z – 1 = 0, x + z – 1 = 0
8.3.
4x–5y+3z-1 = 0 , x-4y-z+9=0
8.4.
3x – y + 2z + 15 = 0, 5x + 9y – 3z – 1 = 0
8.5.
6x + 2y – 4z + 17 = 0, 9x + 3y – 6z – 4 = 0
8.6.
x – y 2 + z – 1 = 0, x + y 2 – z + 3 = 0
8.7.
3y – z = 0, 2y + z = 0
8.8.
6x + 3y – 2z = 0, x + 2y + 6z – 12 = 0
8.9.
x + 2y + 2z – 3 = 0, 16x + 12y – 15z – 1 = 0
8.10.
2x – y + 5z + 16 = 0, x + 2y + 3z + 8 = 0
8.11.
2x + 2y + z – 1 = 0, x + z – 1 = 0
8.12.
3x + y + z – 4 = 0, y + z + 5 = 0
8.13.
3x – 2y – 2z – 16 = 0, x + y – 3z – 7 = 0
8.14.
2x + 2y + z + 9 = 0, x – y + 3z – 1 = 0
8.15.
x + 2y + 2z – 3 = 0, 2x – y + 2z + 5 = 0
- 14 -
8.16.
3x + 2y – 3z – 1 = 0, x + y + z – 7 = 0
8.17.
x – 3y – 2z – 8 = 0, x + y – z + 3 = 0
8.18.
3x – 2y + 3z + 23 = 0, y + z + 5 = 0
8.19.
x + y + 3z – 7 = 0, y + z – 1 = 0
8.20.
x – 2y + 2z + 17 = 0, x - 2y – 1 = 0
8.21.
x + 2y – 1 = 0, x + y + 6 = 0
8.22.
2x – z + 5 = 0, 2x + 3y – 7 = 0
8.23.
5x + 3y + z – 18 = 0, 2y + z – 9 = 0
8.24.
4x + 3z – 2 = 0, x + 2y + 2z + 5 = 0
8.25.
x + 4y – z + 1 = 0, 2x + y + 4z – 3 = 0
ЗАДАНИЕ № 9
Найти расстояние от точки М0 до плоскости M1 M 2 M 3 .
9.1.
M1 (-3;4;-7), M 2 (1;5;-4), M 3 (-5;-2;0), M 0 (-12;7;-1).
9.2.
M1 (-1;2;-3), M 2 (4;-1;0), M 3 (2;1;-2), M 0 (1;-6;-5).
9.3.
M1 (-3;-1;1), M 2 (-9;1;-2), M 3 (3;-5;4), M 0 (-7;0;-1).
9.4.
M1 (1;-1;1), M 2 (-2;0;3), M 3 (2;1;-1), M 0 (-2;4;2).
9.5.
M1 (1;2;0), M 2 (1;-1;2), M 3 (0;1;-1), M 0 (2;-1;4).
9.6.
M1 (1;0;2), M 2 (1;2;-1), M 3 (2;-2;1), M 0 (-5;-9;1).
- 15 -
9.7.
M1 (1;2;-3), M 2 (1;0;1), M 3 (-2;-1;6), M 0 (3;-2;-9).
9.8.
M1 (3;10;-1), M 2 (-2;3;-5), M 3 (-6;0;-3), M 0 (-6;7;-10).
9.9.
M1 (-1;2;4), M 2 (-1;-2;-4), M 3 (3;0;-1), M 0 (-2;3;5).
9.10. M1 (0;-3;1), M 2 (-4;1;2), M 3 (2;-1;5), M 0 (-3;4;-5).
9.11. M1 (1;3;0), M 2 (4;-1;2), M 3 (3;0;1), M 0 (4;3;0).
9.12. M1 (-2;-1;-1), M 2 (0;3;2), M 3 (3;1;-4), M 0 (-21;20;-16).
9.13. M 1 (-3;-5;6), M 2 (2;1;-4), M 3 (0;-3;-1), M 0 (3;6;68).
9.14. M1 (2;-4;-3), M 2 (5;-6;0), M 3 (-1;3;-3), M 0 (2;-10;8).
9.15. M1 (1;-1;2), M 2 (2;1;2), M 3 (1;1;4), M 0 (-3;2;7).
9.16. M1 (1;3;6), M 2 (2;2;1), M 3 (-1;0;1), M 0 (5;-4;5).
9.17. M1 (-4;2;6), M 2 (2;-3;0), M 3 (-10;5;8), M 0 (-12;1;8).
9.18. M1 (7;2;4), M 2 (7;-1;-2), M 3 (-5;-2;-1), M 0 (10;1;8).
9.19. M1 (2;1;4), M 2 (3;5;-2), M 3 (-7;-3;2), M 0 (-3;1;8).
9.20. M 1 (-1;-5;2), M 2 (-6;0;-3), M 3 (3;6;-3), M 0 (10;-8;-7).
9.21. M1 (0;-1;-1), M 2 (-2;3;5), M 3 (1;-5;-9), M 0 (-4;-13;6).
9.22. M 1 (5;2;0), M 2 (2;5;0), M 3 (1;2;4), M 0 (-3;-6;-8).
- 16 -
9.23. M1 (2;-1;-2), M 2 (1;2;1), M 3 (5;0;-6), M 0 (14;-3;7).
9.24. M1 (-2;0;-4), M 2 (-1;7;1), M 3 (4;-8;-4), M 0 (-6;5;5).
9.25. M1 (14;4;5), M 2 (-5;-3;2), M 3 (-2;-6;-3), M 0 (-1;-8;7).
1)
2)
3)
4)
5)
ЗАДАНИЕ № 10
Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4.
Найти:
уравнение прямой А1А2;
уравнение прямой А3N параллельной прямой А1А2;
уравнение плоскости А1А2А3;
уравнение высоты, опушенной из вершины А4 на грань А1А2А3;
угол между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3.
10.1
А1(4; 2; 5); А2 (0; 7; 2); А3 (0; 2; 7); А4 (1; 5; 0);
10.2
А1 (4; 4; 10); А2 (4; 10; 2); А3 (2; 8; 4); А4 (9; 6; 4);
10.3
А1 (4; 6; 5); А2 (6; 9; 4); А3 (2; 10; 10); А4 (7; 5; 9);
10.4
А1 (3; 5; 4); А2 (8; 7; 4); А3 (5; 10; 4); А4 (4; 7; 8);
10.5
А1 (10; 6; 6); А2 (8; 2; -2); А3 (6; 8; 9); А4 (7; 10; 3);
10.6
А1 (1; 8; 2); А2 (5; 2; 6); А3 (5; 7; 4); А4 (4; 10; 9);
10.7
А1 (6; 6; 5); А2 (4; 9; 5); А3 (4; 6; 11); А4 (6; 9; 3);
10.8
А1 (7; 2; 2); А2 (5; 7; 7); А3 (5; 3; 1); А4 (2; 3; 7);
10.9
А1 (6; 8; 4); А2 (10; 5; 5); А3 (5; 6; 8); А4 (8; 10; 7);
10.10 А1 (7; 7; 3); А2 (6; 5; 8); А3 (3; 5; 8); А4 (8; 4; 1);
10.11 А1 (2; -1; 1); А2 (5; 5; 4); А3 (3; 2; -1); А4 (4; 1; 3);
- 17 -
10.12 А1 (2; 3; 1); А2 (4; 1; -2); А3 (6; 3; 7); А4 (-5; -4; 8);
10.13 А1 (2; 1; -1); А2 (3; 0; 1); А3 (2; -1; 3); А4 (0; 8; 0);
10.14 А1 (-1; 10; 0); А2 (6; 3; 2); А3 (1; -2; 3); А4 (0; 5; 2);
10.15 А1 (2; 2; 2); А2 (4; 3; 3); А3 (4; 5; 4); А4 (5; 5; 6);
10.16 А1 (3; 2; 5); А2 (4; 0; 0); А3 (-2; 1; 0); А4 (1; -3; 1);
10.17 А1 (1; 1; 10); А2 (0; 3; 2); А3 (1; -3; 1); А4 (1; 2; -2);
10.18 А1 (4; 3; -3); А2 (2; -1; 1); А3 (0; 1; 1); А4 (0; 1; 0);
10.19 А1 (3; 4; 2); А2 (5; 3; 1); А3 (4; 7; 1); А4 (4; 5; 6);
10.20 А1 (-1; 3; 0); А2 (0; 2; 1); А3 (0; 4; 1); А4 (1; 6; 4);
10.21 А1 (2; -1; 3); А2 (0; -7; 0); А3 (2; 1; -1); А4 (3; 0; 1);
10.22 А1 (0; 0; 1); А2 (2; 3; 5); А3 (6; 2; 3); А4 (3; 7; 2);
10.23 А1 (1; 1; -3); А2 (4; -1; -2); А3 (3; 2; -1); А4 (4; 0; -5);
10.24 А1 (-3; 6; -4); А2 (-2; 5; -1); А3 (-5; 8; -3); А4 (0; -4; 1);
10.25 А1 (5; 5; 4); А2(1; -1; 4); А3 (3; 5; 1); А4 (5; 8; -1).
ЗАДАНИЕ № 11
Найти точку пересечения прямой и плоскость.
11.1.
x  2 y  3 z 1


, x + 2y + 3z – 14 = 0.
1
1
4
11.2.
x 1 y  3 z 1


, x + 2y – 5z + 20 = 0
3
4
5
- 18 -
11.3.
x 1 y  5 z 1


, x – 3y + 7z – 24 = 0
1
4
2
11.4.
x 1 y z  3
 
, 2x – y + 4z = 0
1
0
2
11.5.
x 5 y 3 z 2


, 3x + y – 5z – 12 = 0
1
1
0
11.6.
x 1 y  2 z  3


,
3
2
3
x + 3y – 5z + 9 = 0
11.7.
x 1 y  2 z  1


,
2
1
1
x – 2y + 5z + 17 = 0
11.8.
x 1 y  2 z  4


,
2
0
1
x – 2y + 4z – 19 = 0
11.9.
x  2 y 1 z  4


,
1
1
1
2x – y + 3z + 23 = 0
11.10.
x2 y2 z 3


,
1
0
0
2x – 3y – 5z – 7 = 0
11.11.
x 1 y 1 z  2


,
2
1
3
4x + 2y – z – 11 = 0
11.12.
x 1 y 1 z 1


,
1
0
1
3x – 2y – 4z – 8 = 0
11.13.
x  2 y 1 z  3


,
1
1
2
x + 2y – z – 2 = 0
- 19 -
x3

1
x2

11.15.
2
11.14.
x2 y2

,
5
3
y2 z4

,
1
3
5x – y + 4z + 3 = 0
x + 3y + 5z – 42 = 0
11.16.
x 3 y 4 z 4


,
1
5
2
7x + y + 4z – 47 = 0
11.17.
x  3 y 1 z 1


,
2
3
5
2x + 3y + 7z – 52 = 0
11.18.
x  3 y 1 z  3


,
2
3
2
3x + 4y + 7z – 16 = 0
11.19.
x 5 y 2 z  4


,
2
0
1
11.20.
x 1 y  8 z  5


,
8
5
12
x – 2y – 3z + 18 = 0
11.21.
x  3 y 1 z  5


,
1
1
0
x + 7y + 3z + 11 = 0
11.22.
x  5 y  3 z 1


,
1
5
2
3x + 7y – 5z – 11 = 0
11.23.
x 1 y  2 z  6


,
7
1
1
4x + y – 6z – 5 = 0
11.24.
x 3 y  2 z 8


,
1
1
0
5x + 9y + 4z – 25 = 0
2x – 5y + 4z + 24 = 0
- 20 -
11.25.
x 1 y z 1
 
,
2 0
3
x + 4y + 13z – 23 = 0
ЗАДАНИЕ № 12
Указать вид поверхности и построить её.
12.1
а) 4х2 – у2 –16 z2 + 16 = 0;
б) х2+ 4 z = 0;
12.2
а) 3х2 + у2 + 9z2 – 9 = 0;
б) х2 + 2у2 – 2z = 0;
12.3
а) – 5х2 + 10у2 – z2 + 20 = 0;
б) у2 + 4z2 = 5х2;
12.4
а) 4х2 – 8у2 + z2 + 24 = 0;
б) х2 – у2 = – 9z2;
12.5
а) х2 – 6у2 + z2 = 0;
б) 7х2 – 3у2 – z2 = 21;
12.6
а) z = 8 – х2 – 4у2;
б) 4х2 + 9у2 + 36z2 = 72;
12.7
а) 4х2 + 6у2 – 24z2 = 96;
б) у2 + 8z2 = 20х2;
12.8
а) 4х2 – 5у2 – 5z2 + 40 = 0;
б)у = 5х2 + 3z2;
12.9
а) х2 = 8(у2 + z2 );
б) 2х2 + 3у2 – z2 = 18;
12.10 а) 5z2 + 2у2 = 10х;
б) 4z2 – 3у2 – 5х2 + 60 = 0;
12.11 а) х2 – 7у2 – 14z2 – 21 = 0;
б) 2у = х2 + 4z2 ;
12.12 а) 6х2 – у2 + 3z2 – 12 = 0;
б) 8у2 + 2z2 = х;
12.13 а) – 16х2 + у2 + 4z2 – 32 = 0;
б) 6х2 + у2 – 3z2 = 0;
12.14 а) 5х2 – у2 – 15z2 – 15 = 0;
б) х2 + 3z = 0;
12.15 а) 6х2 + у2 + 6z2 – 18 = 0;
б) 3х2 + у2 – 3z = 0;
12.16 а) – 7х2 + 14у – z2 + 21 = 0;
б) у2 + 2z2 = 6х2;
- 21 -
12.17 а) – 3х2 + 6у2 – z2 – 18 = 0;
б) х2 – 2у = – z2;
12.18 а) у2 = 8(х2 + z2 );
б) 3х2 + 2у2 – z2 = 18;
12.19 а) z = 4 – х2 – у2;
12.20 а) 4х2 + 5у2 – 10z2 = 60;
б) 3х2 + 12у2 + 4z2 = 48;
б) 7у2 + z2 = 14х2;
12.21 а) 9х2 – 6у2 – 6z2 + 1 = 0;
б)15у = 10х2 + 6z2;
12.22 а) х2 = 5(у2 + z2 );
б) 2х2 +3у2 – z2 = 36;
12.23 а) 4х2 + 3у2 = 12х;
б) 3х2 – 4у2 – 2z2 + 12 = 0;
12.24 а) 8х2 – у2 – 2z2 – 32 = 0;
б) у – 4х2 = z2;
12.25 а) 2х2 + 5у2 = 10z2;
б) 9х2 + 4у2 = 36.
- 22 -
Часть II. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА
ЗАДАНИЕ № 1
Даны точки А(-3; 2), В(1; 5), С(2; -3), D(3; -1).
Найти:
1) координаты точек, симметричных относительно оси Ох точкам А и В, сделать чертеж;
2) координаты точек, симметричных относительно оси Оy точкам С и D, сделать чертеж;
3) расстояние между точками А и В; С и D;
4) середину между точками А и С, В и D.
РЕШЕНИЕ.
1. Точка А(х; -y) симметрична точке А(х; y) относительно оси Ох,
поэтому
А(-3; -2), B(1; -5).
2. Точка С(-х; y) симметрична точке С(х; y) относительно оси Оy
поэтому
С(-2; -3), D(-3; -1).
В(1; 5)
5
А(-3; 2)
D(-3; -1)
-2
D(3; -1)
А(-3; -2)
С(-2; -3)
С(2; -3)
B(1; -5)
3. Расстояние между точками А(хА; yA) и В(xВ; yВ) находим по формуле:
- 23 -
AB 
AB 
xB  x A 2   yB  y A 2
1  (3)2  5  22
CD 
.
(1)
 42  32  16  9  25  5,
3  22   1  (3)2
 12  22  1  4  5.
4. Середину М между точками А и С найдем по формуле:
x A  xC
,
2
yM 
3 2
 0,5,
2
yM 
xM 
xM 
y A  yC
.
2
2  (3)
 0,5 .
2
Аналогично найдем середину K между точками В и D
xK 
1 3
 2,
2
ОТВЕТ: М(-0,5; -05),
yK 
5  (1)
 2.
2
K(2; 2).
ЗАДАНИЕ № 2
Треугольник АВС задан координатами своих вершин:
А(4; 3); В(16; -6); С(20; 16).
Найти:
1) уравнение сторон АВ и АС; длину стороны АВ;
2) уравнение и длину высоты СД;
3) уравнение медианы АМ;
4) точку N пересечения медианы АМ и высоты СД;
5) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ;
6) расстояние от точки В до прямой АС;
7) угол при вершине А;
8) координаты точки Р, расположенной симметрично точке А
относительно прямой СД.
РЕШЕНИЕ
1. Воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через
- 24 -
две данные точки:
x  x1
y  y1

.
x2  x1 y2  y1
(2)
Подставляя координаты точек А и В, получим уравнение прямой (АВ)
x4
y 3

,
16  4  6  3
или
или
x4 y 3

12
9
x4 y 3

4
3
 3x  12  4 y  12 .
Из последнего равенства получим:
3x  4 y  24  0  уравнение стороны (АВ).
Аналогично получим уравнение прямой (АС)
- 25 -
x4
y 3

,
20  4 16  3
или
x4 y 3

16
13
13x  52  16 y  48 .
Из последнего равенства получим:
13x  16 y  4  0  уравнение стороны (АС).
Длину стороны (АВ) вычислим по формуле (1)
AB 
16  42   6  32
 144  81  225  15 .
2. Уравнение стороны (АВ): 3 x  4 y  24  0 запишем в виде уравнения с угловым коэффициентом ( y  kх  b ), т. е.
3
3
y   х  6 . Тогда k AВ   .
4
4
Так как высота (СД) перпендикулярна (АВ), то kСД  
1
k AВ

4
.
3
Для составления уравнения прямой (СД) воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку с известным угловым коэффициентом:
y – y0 = k (x – x0).
(3)
Подставляя в это уравнение координаты точки С(20; 16) вместо
(х0; y0) и учитывая, что k  kСД 
у – 16 =
или
4
, получим
3
4
(х – 20)
3
3 y  48  4 x  80 .
4 x  3 y  32  0  уравнение высоты (СД).
- 26 -
Длину высоты (СД) можно найти по формуле расстояния от
точки (х0; y0) до прямой Ax  By  C  0
d
Ax0  By 0  C
A2  B 2
.
(4)
Подставляя координаты точки С(20; 16) найдём расстояние от
этой точки до прямой (АВ), т.е. длину высоты:
СД  d 
3  20  4  16  24
3 4
2
2

60  64  24
25

100
 20 .
5
3. Найдём координаты точки М. Так как М – середина отрезка
ВС , то
xB  xC 16  20

 18,
2
2
y  yC  6  16
xM  B

 5.
2
2
xM 
Уравнение медианы (АМ) составим по формуле (2):
x4 y 3

18  4 5  3
или
или
x4 y 3
x4 y 3



14
2
7
1
x  4  7 y  21 .
x  7 y  17  0 - уравнение прямой (АМ).
4. Точку N пересечения медианы (АМ) и высоты (СД) найдём, решив совместно систему их уравнений
 x  7 y  17  0,

4 x  3 y  32  0.
- 27 -
Первое уравнение системы умножим на (-4) и прибавим ко второму
28 y  3 y  68  32  0,
25 y  100  y  4; x  7 y  17  28  17  11.
Таким образом, N(11; 4).
5. Составим уравнение прямой (L), проходящей через вершину
С(20; 16) параллельно стороне (АВ).
Так как (L)  (АВ), то k L  k AB  
3
и уравнение прямой (L)
4
можно составить по формуле (3)
y – 16 = 
3
(x – 20)
4
или
4y – 64 = -3x + 60
или
3x + 4y – 124 = 0 – уравнение прямой (L).
6. В пункте 1) найдено уравнение прямой (АС): 13x  16 y  4  0 .
Найдём расстояние от точки В(16; -6) до стороны (АС)
dВ 
13  16  16  6  4
132  162
300
300
60


.
425 5 17
17

7. Угол при вершине А найдём по формуле угла между двумя прямыми:
tg  
k2  k1
.
1  k1k2
3
4
(5)
Пусть в нашем случае k1  k AB   , k2  k AC 
13
, тогда
16
 25 
13 3
25
 

16
16 4
tg  
 16     4,
 3  13 1  39  25 
1    
 
64  64 
 4  16
  arctg 4  76.
- 28 -
З а м е ч а н и е. Угол между двумя прямыми заданными общими
уравнениями можно найти по формуле:
 
S1  S 2
cos     .
S1  S 2

(АВ): 3x + 4y – 24 = 0  S1  3; 4 ,
(АС): 13x - 16y – 4 = 0 
cos  

S 2  13;  16,
39  64

 25
9  16  169  256 5  5 17
1
  arccos
 76 0 .
17

1
,
17
8. Прямая (АВ) перпендикулярна (СД). Поэтому искомая точка Р
расположена симметрично точке А относительно (СД) и лежит на
прямой (АВ). Кроме того точка Д является серединой отрезка
[АР].
Найдём координаты точки Д, решив совместно систему уравнений прямой (АВ) и высоты (СД)
4 x  32

3x  4 
 24  0,

3x  4 y  24  0,

3
 


4 x  3 y  32  0,
 y  4 x  32 ,

3
 128  72
9 x  16 x  128  72  0,
 x  25  8,

 
 
4 x  32
 y  3 ,
 y  32  32  0.

3
Таким образом, Д(8; 0).
Применяя формулы деления отрезка на равные части, найдём
координаты точки Р
- 29 -
 x A  xP
 xД ,
 2
 xP  2 x Д  x A ,
 


y

y
y

2
y

y
,

A
P
P
Д
A


 yД ,
 2
 xP  16  4  12,

 yP  0  3  3.

Таким образом, точка симметричная точке А относительно прямой (СД) есть точка Р(12; -3).
ЗАДАНИЕ № 3
Найти координаты центра и радиус окружности
x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0. Выполнить чертёж.
РЕШЕНИЕ
Уравнение окружности имеет вид:
x  xc 2   y  yc 2  R2 ,
где C xc ; yc   центр окружности с радиусом R.
В общем уравнении окружности x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0 выделим
полные квадраты
менных х и y:
a
2
 2ab  b 2  (a  b) 2

относительно пере-
( x 2  2  x  3  9)  9  ( y 2  2  y  2  4)  4  3  0,
( x  3) 2  ( y  2) 2  16.
Таким образом, центр окружности находится в точке C3;  2 ,
радиус окружности R = 4.
Y
X
C3;  2
- 30 -
ЗАДАНИЕ № 4
Привести уравнение кривой к каноническому виду, указать
вершины, найти фокусы и эксцентриситет кривой (для гиперболы найти уравнения асимптот). Построить кривую.
а) 4x2 + 36y2 – 576 = 0,
б) 5x2 – 16y2 + 80 = 0
РЕШЕНИЕ
Канонические уравнения:
x2 y 2

 1;
– эллипса
a 2 b2
– гиперболы
x2 y 2
x2 y 2


1


 1.
или
a 2 b2
a 2 b2
1. Преобразуем уравнение 4x2 + 36y2 – 576 = 0 к каноническому виду
4x2 + 36y2 = 576 
4 x 2 36 y 2 576


576 576 576
или
x2 y 2

 1 – уравнение эллипса.
144 16
Таким образом, a 2  144, b 2  16 . Тогда a  12, b  4 .
Вершины эллипса (точки пересечения эллипса с координатными
осями)
имеют
координаты:
A1(12; 0), A2 (12; 0),
B1 (0;  4), B2 (0; 4) .
Так как a  b , то фокусы расположены на большей оси, т.е. на
оси Ох. Тогда координаты фокусов  F1 (c; 0), F2 (c; 0) ,
и
- 31 -
эксцентриситет
кривой
 144  16  128  8 2 ,
c
,
где
=
c  a 2  b2
a
8 2 2 2


 1, F1 (8 2 ; 0),
12
3


т.е.
F2 (8 8 ; 0) .
Y
B2
F1
F2
X
A1
A2
B1
2. Преобразуем уравнение 5x2 – 16y2 + 80 = 0 к каноническому
виду
5x2 – 16y2 = 80 
5 x 2 16 y 2 80


80
80
80
или
x2 y 2

 1  уравнение гиперболы.
16 5
Таким образом, a 2  16, b 2  5 . Тогда a  4, b  5 .
A1(4; 0), A2 (4; 0), B1 (0;  5 ), B2 (0; 5 )  точки пересечения характеристического прямоугольника с осями Ox и Oy.
Так как ось Ох является действительной, то фокусы расположены на оси Ох. Тогда координаты фокусов  F1 (c; 0), F2 (c; 0) , и
c
эксцентриситет кривой    , где c  a 2  b2 =  16  5  21 ,
a
т.е.  
21
 1,
4
F1 ( 21; 0), F2 ( 21; 0) .
- 32 -
Уравнения асимптот гиперболы имеют вид: y  
y
b
x , т.е.
a
5
x.
4
Y
X
F2
F1
ЗАДАНИЕ № 5. Даны уравнения парабол.
4. Указать ось симметрии.
5. Найти координаты фокуса и написать уравнение директрисы для каждой из парабол.
6. Построить графики заданных парабол:
а) у2 – 25х = 0;
б) х2 + 10у = 0.
РЕШЕНИЕ.
Канонические уравнения параболы имеют вид x 2  2 py или
y 2  2 px . Вершина параболы
x 2  2 py находится в точке
O (0; 0) , ось симметрии  ось Оy; для параболы y 2  2 px осью
симметрии является ось Ох, вершина также расположена в точке
O (0; 0) . Фокусы расположены на оси симметрии: F  0; p  и
 2 
p

2
2
F  ; 0  соответственно для x  2 py и y  2 px . Директриса –
 2 
прямая, перпендикулярная оси симметрии и не пересекающая пара- 33 -
болу. Уравнение директрисы: y  
p
p
и x
соответственно
2
2
для x 2  2 py и y 2  2 px .
1. Преобразуем уравнение у2 – 25х = 0 к каноническому виду:
у2 = 25х
или
у2 = 2 
25
х.
2
Осью симметрии этой параболы является ось Ох, поэтому фокус
 25 
; 0  , уравнение директрисы имеет
 4 
расположен на этой оси: F 
вид x  
25
.
4
Y
Х
F
-25/4
25/4
2. Преобразуем уравнение х2 + 10у = 0 к каноническому виду:
х2 = -10у
или
х2 = 2(-5)у.
Осью симметрии этой параболы является ось Оy, поэтому


фокус расположен на этой оси: F  0; 
имеет вид:
y
5
.
2
- 34 -
5
 , уравнение директрисы
2
Y
5/2
X
F
-5/2
ЗАДАНИЕ № 6. Составить канонические уравнения:
а) эллипса, проходящего через точки А( 3; 6 ), B (3; 2 ) ;
б) гиперболы, асимптотами которой служат прямые
3
y   x , а один из фокусов находится в точке (-10; 0);
4
в) параболы, имеющей директрису y  6 .
РЕШЕНИЕ.
1. Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
x2 y 2

 1.
a 2 b2
Так как эллипс проходит через точки А( 3; 6 ), B (3; 2 ) ,
то координаты этих точек удовлетворяют уравнению эллипса. Подставив в уравнение эллипса координаты данных точек, получим
систему уравнений
6
3
 a 2  b 2  1,

 9  2  1,
 a 2 b 2

a 2  12,
 2
b  8.
Таким образом, искомое уравнение имеет вид:
- 35 -
x2 y2

 1.
12 8
2. По условию имеем:
b 3
  ,
a 4
c  10,

3

b  a,
4

c  10.
Для гиперболы a, b, c связаны соотношением c  a 2  b2 или
c2  a2  b2 . Поэтому получим уравнение 100  a 2  9 a 2 или
16
25 2
9
9
100 
a , a 2  64, b 2  a 2   64  36 . Таким образом,
16
16
16
искомое уравнение имеет вид:
x2 y 2

 1.
64 36
3. Каноническое уравнение параболы в данном случае
p
. По условию задачи
2
p
уравнение директрисы y  6 . Поэтому   6 или
р = 12.
2
x 2  2 py , а уравнение её директрисы y  
Искомое каноническое уравнение параболы имеет вид:
х 2  24 y .
ОТВЕТ: а)
x2 y2
x2 y 2

 1 ; б)

 1 ; в) х 2  24 y ..
12 8
64 36
ЗАДАНИЕ № 7. Написать уравнение плоскости, проходящей через

точку M(2;-4;5) перпендикулярно вектору KL , где
K(1;-6;7), L(8;3;1).
- 36 -
РЕШЕНИЕ.
Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через

точку M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) перпендикулярно вектору п ={A; B; C}
(нормальный вектор)
A( x - x0 ) + B( y - y0 ) + C( z - z0 )= 0 .
(6)

Так как вектор KL перпендикулярен плоскости, то он и будет служить нормальным вектором.
Находим его координаты:


n = KL = {8-1;3-(-6);1-7} = {7;9;-6}.
Подставляя в уравнения (6) значения
A = 7; B = 9; C = -6, x 0 = 2; y 0 = -4; z 0 = 5,
Получим:
7(x – 2) + 9(y – (-4)) – 6(z – 5) = 0.
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, находим искомое уравнение плоскости:
7x – 14 + 9y + 36 – 6z + 30 = 0,
7x + 9y – 6z + 52 = 0.
ОТВЕТ: 7x + 9y – 6z + 52 = 0.
ЗАДАНИЕ № 8. Найти угол между плоскостями
4x – 10y + z – 3 = 0 и 11x – 8y - 7z + 16 = 0.
РЕШЕНИЕ.
Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами.
Если
1 : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 ;
 2 : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 ,
- 37 -


то п1  {A1; B1; C1} ; п2  {A2 ; B2 ; C2 } .
Поэтому
 
п1  п2
cos     
п1  п2

A1 A2  B1B2  C1C2
A12  B12  C12  A22  B22  C22
.
(7)

Имеем п1  {4;10;1} ; п2  {11;8;7} .
Тогда
 
п1  п2
4 11  (10)  (8)  1 (7)
=
cos     
2
п1  п2
4  (10) 2  12  112  (8) 2  (7) 2

44  80  7
117
1
2
.



2
16  100  1  121  64  49
117  2  117
2
cos  
2
, тогда    / 4 .
2
ОТВЕТ:  / 4 .
ЗАДАНИЕ № 9. Найти расстояние от точки M 0 (1;1;2) до плоскости,
проходящей
через
точки
M 1 (1;5;7) ;
M 2 (3;6;3) ; M 3 (2;7;3) .
РЕШЕНИЕ.
1. Составим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки по формуле:
x  x1
y  y1
z  z1
x2  x1
y2  y1
z2  z1  0.
x3  x1
y3  y1
z3  z1
(8)
Подставляя в эту формулу координаты точек M 1 , M 2 , M 3 и
вычисляя определитель, получим
- 38 -
x 1
y 5 z 7
 3 1 6  5 3  7  0 ,
 2 1 7  5 3  7
x 1 y  5 z  7
4
3
1
2
0.
10
10
Разложим определитель в левой части равенства по элементам первой строки
(x – 1)(10 – 20) – (y – 5)(-40 + 30) + (z + 7)(-8 + 3) = 0;
-10(x – 1) + 10(y – 5) – 5(z + 7) = 0
или
2(x – 1) – 2(y – 5) + z + 7 = 0,
2x – 2 – 2y + 10 + z + 7 = 0,
2x – 2y + z + 15 = 0.
2. Расстояние от точки M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) до плоскости Ax + By + +
Cz + D = 0 вычисляется по формуле:
d
Ax0  By 0  Cz0  D
A2  B 2  C 2
.
(9)
Тогда получим:
d
2  1  2  (1)  2  15
2 2  (2) 2  12

2  2  2  15
4  4 1

21
 7.
3
ОТВЕТ: d = 7.
ЗАДАНИЕ № 10. Даны координаты пирамиды А1А2А3А4:
А1(4; -1; 5); А2 (0; 3; 2); А3 (0; 2; -2); А4 (1; -3; 0).
Найти:
9) уравнение прямой А1А2;
- 39 -
10) уравнение прямой А3N параллельной прямой А1А2;
11) уравнение плоскости А1А2А3;
12) уравнение высоты, опушенной из вершины А4 на грань
А1А2А3;
13) угол между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3.
РЕШЕНИЕ.
1. Воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через две данные точки:
x  x1
y  y1
z  z1


.
x2  x1 y2  y1 z2  z1
Подставляя координаты точек А1 и А2, получим уравнение прямой (А1А2):
x  4 y  (1) z  5


,
04
3  (1)
25
x  4 y 1 z  5


.
4
4
3
2. Составим уравнение прямой А3N параллельной прямой А1А2, используя формулу
x  x0 y  y0 z  z0


,
m
n
p
(10)

где S  m; n; p  направляющий вектор искомой прямой; x0 ; y0 ; z0   точка, через которую проходит искомая прямая.


Так как (А3N)  (А1А2), то S A N  S A A   4; 4;  3 и
уравнение прямой (А3N), проходящей че3
- 40 -
1
2
рез точку А3 будет:
x  0 y  2 z  (2)
x
y2 z2





.
4
4
3
4
4
3
3. Уравнение плоскости, проходящей через
три заданные точки А1А2А3, найдём по
формуле (8):
x4
y  (1)
z 5
x4
0  4 3  (1) 2  5  0 
0  4 2  (1)  2  5
4
4
y 1 z  5
 3  0.
7
4
3
Раскрывая определитель третьего порядка по
элементам первой строки, получим:
( x  4)
4 3
3 7
 ( y  1)
4 3
4 7
 ( z  5)
4 4
4 3
 0,
( x  4) 28  (9)   ( y  1)28  12   ( z  5) 12  (16)   0
( x  4)  (19)  ( y  1) 16  ( z  5)  4  0,
 уравнение плоскости А1А2А3.
 19 x  16 y  4 z  40  0
4. Уравнение высоты (А4Н), опушенной из вершины А4 на
грань А1А2А3, найдём по формуле (10)
- 41 -
x  x4 y  y4 z  z4


.
m
n
p


Так как (А4Н)  (А1А2А3), то S A4 H  m; n; p  nA1 A2 A3 , где

nA1 A2 A3   19;  16; 4 – нормальный вектор плоскости А1А2А3.
Тогда уравнение прямой (А4Н), проходящей через точку А4, имеет
вид:
x  1 y  (3) z  0
x 1 y  3 z




 .
 19
 16
4
 19  16 4
5. Угол между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3 найдём по
формуле
 
S n
sin     ,
S n

(11)

где S – направляющий вектор прямой А1А4, n – нормальный вектор плоскости А1А2А3.
Так как

S  x4  x1; y4  y1; z4  z1 ,
то
и

S  1  4;  3  (1); 0  5   3;  2;  5
 
S  n  3  (19)  2  (16)  5  4  57  32  20  69,


S  9  4  25  38 , n  361  256  16  633,
sin  
69
69

 0,442,
38  633
24054
  arcsin 0,442  2614.
ЗАДАНИЕ № 11. Найти точку пересечения прямой
x 6 y 7 z 8


и плоскости 3x – 4y + 5z + 16 = 0.
2
1  3
- 42 -
РЕШЕНИЕ.
Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости
удобно использовать параметрические уравнения прямой.
1. Положим
x  6 y 7 z 8


t.
2
1  3
Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид:
 x  2t  6

 y  t  7
 z  3t  8

2. Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости, находим значение параметра t, при котором происходит пересечение прямой и плоскости:
3(2t – 6) – 4(-t + 7) + 5(-3t + 8) + 16 = 0.
Раскроем скобки и приведем подобные:
6t – 18 + 4t – 28 – 15t + 40 + 16 = 0,
-5t + 10 = 0
или
5t = 10.
Откуда t0 = 2.
3. Подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение t0 = 2, получим:
 x  2  2  6  2,

 y  2  7  5,
 z  3  2  8  2.

Таким образом, прямая и плоскость пересекаются в точке (-2; 5; 2).
ЗАДАНИЕ № 12. Указать вид поверхности и построить её:
1) 
x2
1
 4 y2  z2  2  0 ;
6
2
- 43 -
2) 3x 2 
y2 z2

 0.
2
4
РЕШЕНИЕ.
1. Приведём заданное уравнение к виду:

x2
1
 4y2  z2  2 .
6
2
Разделив на 2 обе части уравнения, получим каноническое
уравнение

x2
1
 2 y2  z2  1
12
4

x2 y 2 z 2


1.
12 1/ 2 4
или
z
C
В
y
х
Так как все переменные x, y, z содержаться во вторых степенях и перед одной из
переменных (переменной х) стоит знак “ минус”, то имеем однополостный гиперболоид,
раскрытый в направлении оси Ох. Полуоси его
“горлового” эллипса ОВ
= 1/ 2 ,
ОС = 2.
2. Приведём заданное уравнение к виду:
y2 z2
4 y2
2
3x 

 z2 ,
 12 x 
2
4
2
2
- 44 -
x2
y2

 z 2  это уравнение определяет конус.
1 / 12 1 / 2
Его осью симметрии является ось Оz. В сечении плоскостями
z = h получаются эллипсы
x2
y2

 1.
h 2 / 12 h 2 / 2
z
О
y
х
ЛИТЕРАТУРА
1. Зимина О. В., Кириллов А. И., Сальникова Т. А. Высшая математика. – М., Физматлит, 2001.
2. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчёты. – М., Высшая школа, 1983.
3. Рябушко А. П., Бархатов В. В., Державец В. В.,
Юруть И. Е. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. –
Минск: Высшая школа, 1990, ч. 1.
- 45 -
Бланк индивидуального варианта
Вариант №
ЗАДАНИЕ № 1. Даны точки А, В, С, Д. Найти: 1) координаты точек,
симметричных относительно оси Ох точкам А и В, сделать чертёж; 2) координаты точек, симметричных относительно оси Оу точкам С и Д, сделать чертёж; 3) расстояние между точками А и В, С и Д; 4) середину между точками А и С, В и Д.
А
В
С
Д
ЗАДАНИЕ № 2. Треугольник АВС задан координатами своих вершин.
Найти:
1) уравнение сторон АВ и АС; длину стороны АВ;
2) уравнение и длину высоты СД;
3) уравнение медианы АМ;
4) точку N пересечения медианы АМ и высоты СД;
5) уравнение прямой, проходящей через вершину с параллельно стороне АВ;
6) расстояние от точки В до прямой АС;
7) угол при вершине А;
8) координаты точки Р, расположенной симметрично точке А относительно прямой СД.
А
В
С
ЗАДАНИЕ № 3. Найти координаты центра и радиус окружности. Выполнить чертёж.
ЗАДАНИЕ № 4. Привести уравнение кривой к каноническому виду, указать вершины, найти фокусы и эксцентриситет кривой (для гиперболы
найти уравнения асимптот). Построить кривую.
а)
б)
ЗАДАНИЕ № 5. Даны уравнения парабол. 1) указать ось симметрии;
2) найти координаты фокуса и написать уравнение директрисы для каждой из парабол; 3) построить графики заданных парабол.
а)
б)
ЗАДАНИЕ № 6. Составить канонические уравнения: а) эллипса; б) гиперболы; в) параболы (А, В – точки, лежащие на кривой, F – фокус, а – большая (действительная) полуось, b – малая (мнимая) полуось,  – эксцентриситет,
у = kx – уравнение асимптот гиперболы, D – директриса
кривой, 2с – фокусное расстояние).
а)
б)
в)
- 46 -
ЗАДАНИЕ № 7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку

M перпендикулярно вектору KL .
M(
),
K(
),
L(
).
ЗАДАНИЕ № 8. Найти угол между плоскостями.
1 :
2 :
ЗАДАНИЕ № 9. Найти расстояние от точки М0 до плоскости M1 M 2 M 3 .
M1 (
), M 2 (
), M 3 (
), M 0 (
)
ЗАДАНИЕ № 10. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4.
Найти:
1) уравнение прямой А1А2;
2) уравнение прямой А3N параллельной прямой А1А2;
3) уравнение плоскости А1А2А3;
4) уравнение высоты, опушенной из вершины А4 на грань А1А2А3;
5) угол между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3.
А 1(
); А2 (
); А3 (
); А4 (
)
ЗАДАНИЕ № 11. Найти точку пересечения между прямой и плоскостью.
ЗАДАНИЕ № 12. Указать вид поверхности и построить её.
- 47 -