10_Tema_10_urok_1

(Класс 10, модуль X, урок 1)
Тригонометрические функции числового аргумента
Урок 1. Площадь круга и длина окружности
План урока





10.1. Площадь круга единичного радиуса
10.2. Формула площади круга
10.3. Площади частей круга
10.4. Площадь сектора
10.5. Доказательство формулы площади сектора для угла с рациональной
мерой угла в градусах
 10.6. Доказательство формулы площади сектора
 10.7. Длина окружности
 10.8. Длина дуги окружности
 10.9. Доказательство формулы для длины дуги окружности
 Тесты
 Домашнее задание
Цели урока:
на основе известных сведений о площади круга и длине окружности
рассматривается общий подход к вычислению площади кругового сегмента
и длины дуги окружности. Это служит основой для последующего введения
радианной меры угла и определения тригонометрических функций
числового аргумента.
10.1. Площадь круга единичного радиуса
Напомним, что для вычисления площади круга радиуса R используется
формула
S=πR2, где π- иррациональное число,
приближенное значение которого равно 3,14159265 по недостатку. Строгое
определение площади рассматривается в курсах математического анализа.
Мы будем использовать тот факт, что площадь круга радиуса R можно
вычислить как предел последовательности площадей вписанных в круг или
описанных около него правильных n-угольников, когда n стремится к
бесконечности.
Рассмотрим круг радиуса R=1 в некоторых единицах измерения длин.
Например, пусть R=1 дм. Впишем в этот круг правильный n-угольник,
который можно представить в виде объединения n равных равнобедренных
треугольников с боковыми сторонами по 1 дм (рис. 1). Так как сумма углов
при вершинах всех треугольников равна полному углу в 360о, то у каждого
360
из равнобедренных треугольников угол при вершине равен
градусов.
n
Площадь одного такого равнобедренного треугольника вычислим по
1
формуле S  ab sin  , где a и - длины двух сторон, а φ - угол между ними.
2
Получим
1
360 0
(дм2).
S   12 sin
2
n
Значит, площадь Sn правильного n-угольника, вписанного в данный круг,
равна
n
360 0
(дм2).
S n   sin
2
n
Следовательно, площадь Sn круга равна
n
360 0
S 0  lim ( sin
) (дм2).
n  2
n
Действительное число, равное пределу последовательности
n
360 0
,
 sin
2
n
и есть число π. Можно считать, что π - это краткое обозначение для
n
360 0
lim ( sin
).
n  2
n
Таким образом, площадь круга единичного радиуса равна π
соответствующих единиц площади.
Это интересно
Число π, характеризующее отношение длины окружности к ее диаметру,
интересовало математиков с древних времен. Более того, бытовые
потребности в сравнении длин кривых и площадей фигур, ограниченных
кривыми, также приводили к тому, что иногда требовалось знать величину
числа π хотя бы приближенно. В этом плане одним из замечательных
достижений древности было найденное Архимедом приближенное значение
22
числа π в виде дроби
, которое позволяет вполне удовлетворительно
7
вычислять приближенные значения длины окружности и площади круга. По
мере развития математики, также во времена Архимеда, было обнаружено,
что для представления длины даже отрезков рациональных чисел
недостаточно, и нужны также иррациональные числа. В связи с этим перед
математиками возникла задача о выявлении природы числа π. В течение
более чем двух тысячелетий предполагалось, что число π иррационально.
Однако, установить это, оказалось непростой задачей, и первые
доказательства иррациональности числа π появились только в конце XIX
века.
10.2. Формула площади круга
Рассмотрим круг радиуса R и повторим рассуждения, аналогичные
приведенным в предыдущем пункте. Впишем в круг правильный n-угольник
и представим его в виде объединения n равных равнобедренных
треугольников с боковыми сторонами длины R и с углами при вершинах,
360 0
равными
. Площадь одного такого треугольника равна
n
1 2
360 0
.
S  R  sin
2
n
Поэтому площадь вписанного n-угольника есть
n
360 0
S n   R 2 sin
.
2
n
Следовательно, площадь S круга равна
n
360 0
n
360 0
S  lim (  R 2 sin
)  R 2 lim (  sin
)  R 2    R 2 S.
n  2
n  2
n
n
Мини-исследование 1.
Предлагается рассмотреть окружность единичного радиуса, несколько
вписанных в нее правильных многоугольников, с помощью вычислительных
средств вычислить их площади и установить, насколько отличается площадь
круга:
от площади вписанного в круг правильного шестиугольника;
от площади вписанного в круг правильного восьмиугольника;
от площади вписанного в круг правильного двенадцатиугольника.
10.3. Площади частей круга
Предположим, что площадь полукруга радиуса R определена и равна x. Так
как круг можно составить из двух равных полукругов (рис. 2), то площадь
круга, с одной стороны, равна 2x, а с другой стороны равна πR2. Поэтому
1
2x=πR2, откуда x  R 2 .
2
Допустим теперь, что площадь четверти круга радиуса R определена
и равна y. Так как круг можно составить из четырех секторов, каждый из
которых равен четверти круга (рис.3), то 4y= πR2,
откуда
1
y  R 2 .
2
Рассуждая аналогично, мы получим, что если круг радиуса R разбит
1
на n равных секторов, то площадь одного сектора равна R 2 .
n
1
R 2 .
Например, площадь сектора с углом в 1о равна
360
10.4. Площадь сектора
Для вычисления площади сектора радиуса R с углом в αо имеется формула
S

360
 R 2 .
1
R 2 .
360
Это тот же самый результат, который получен в предыдущем пункте.
Например, по этой формуле площадь сектора с углом в 1о равна
10.5. Доказательство формулы площади
рациональной мерой угла в градусах
сектора
Рассмотрим сектор T радиуса R с углом в αо, причем  
для
угла
с
p
, где p и q –
q
натуральные числа. Тогда

360 p 360

p , где n=360q.
360q
n
Из пункта 10.3 следует, что площадь сектора с углом
360
градусов равна
n
1 2
360
R , а площадь S данного сектора с углом
p градусов равна
n
n
p
S   R 2 .
n
Следовательно,
p
p

S  R 2 
R 2 
R 2 .
n
360q
360
Тем самым формула из пункта 10.4 доказана при рациональных α.
10.6. Доказательство формулы площади сектора
Рассмотрим теперь произвольный сектор AOB радиуса R с углом в αо, где α иррационально. Построим последовательности (αn) и (αn') десятичных
приближений числа α с недостатком и с избытком. Затем для
каждого натурального n построим два сектора AOBn и AOB’n с
углами αn и αn' так, как указано на рисунке 4.
Пусть Sn - площадь сектора AOBn, S’n - площадь сектора AOBn и S0 –
площадь сектора AOB. Тогда
S n  S 0  S n'
и
Sn 
Поэтому
n
360
n
360
R 2 , S n' 
R 2  S 0 
 n'
360
 n'
360
R 2 .
R 2 .
Так как
lim ( n )  lim ( n' )   ,
n
n
то по теореме о пределе промежуточной последовательности

R 2
360
Тем самым формула из пункта 1.4 доказана.
S0 
10.7. Длина окружности
Строгое определение длины кривой рассматривается в курсе
математического анализа. Мы будем использовать тот факт, что длину
окружности можно вычислить как предел последовательности периметров
вписанных в окружность правильных n-угольников. Рассмотрим окружность
радиуса R. Впишем в нее правильный n-угольник. Для вычисления стороны
AB этого многоугольника соединим концы стороны с центром окружности и
получим равнобедренный треугольник AOB с боковыми сторонами длины R
360 0
и углом при вершине
(рис. 7). Проведем OH  AB. Тогда
n
1
180 0
,
AOH  AOB 
2
n
180 0
.
AH  AO  sin AOH  R sin
n
Следовательно, периметр Pn рассматриваемого n-угольника равен
180 0
/
Pn  n  AB  2n  AH  2n  R sin
n
Отсюда
lim Pn  lim (2 Rn sin
n 
n 
180 0
1
360 0
1
360 0
)  2 R  lim (  2n sin
)  2 R lim ( m sin
)
n  2
m  2
n
2n
m
 2R    2R
В результате получаем, что длина окружности радиуса R вычисляется по
формуле
L  2R .
10.8. Длина дуги окружности
Разделим окружность радиуса R на n равных дуг, например, на семь.
Предположим, что длина каждой дуги определена и равна x. Длина
окружности равна сумме длин составляющих ее дуг, а поэтому
7 x  2R ,
откуда
2R
x
.
7
Аналогичные рассуждения верны при произвольном натуральном n.
Например, длина дуги окружности радиуса R с угловой мерой в 1о равна
2R
1
, так как эта дуга составляет
часть всей окружности.
360
360
Для вычисления длины дуги окружности радиуса R с угловой
мерой в αо справедлива формула
L

180
R 2 .
Например, по этой формуле длина дуги с угловой мерой в 15о равна
1
R 2 .
12
10.9. Доказательство формулы для длины дуги окружности
Рассмотрим дугу F окружности радиуса R с угловой
p
мерой в  0 , причем   , где p и q - натуральные числа.
q
Тогда
360
360

p
 p , где p=360n.
360q
n
Из предыдущего пункта следует, что длина дуги с угловой мерой в
градусов равна
360
n
1
p
 2R . Но тогда длина L дуги F равна
 2R . R$.
n
n
Следовательно,
p
p
  2R 
 2R 
 2R 

 R .
n
360q
360
180
Тем самым формула для длины дуги доказана при рациональном α.
L
Мини-исследование 2.
По аналогии с доказательством из пункта 10.6 рассмотрите доказательство
формулы для длины дуги окружности с угловой мерой α при
иррациональном α.
Проверь себя. Площадь круга и длина окружности
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
2
Чему равна площадь круга с радиусом
метров?

 1. 4π м2.
 2. 4 м2.
4
 3. м2.

 4. 2π м2.
(Правильный вариант: 3)
Чему равна площадь сектора круга с радиусом 12 см. и углом 60о?
 1. 12π см2.
 2. 24 см2.
 3. 48π см2.
 4. 24π см2.
(Правильный вариант: 4)
Чему равна длина окружности с радиусом
 1.
2

метров?
4
м.4

 2. 2π м.
200
 3.
см.

 4. 400 см.
(Правильный вариант: 4)
Чему равна длина кривой, которая изображена на рис. 6, в единицах,
равных длине стороны клетки?
 1. 6
 2. 4  6
 3. 18
 4. 3  8
(Правильный вариант: 2)
Проверь себя. Площадь круга и длина окружности
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
Чему равна площадь круга с радиусом 3 километра?
 1. 9 км2.
 2. 9000000π м2
 3. 9000 м2
 4. 9π км2.
(Правильные варианты: 2, 4)
Чему равна площадь сектора круга с радиусом 8 см. и углом 135о?
 1. 24 см2.
 2. 24π см2.
 3. 32π см2.
 4. 2400 мм2.
(Правильные варианты: 2, 4)
Чему равна длина дуги окружности с радиусом 24 метра и угловой мерой в
15о?
 1. 200π см.
 2. 3π м.
 3. 2π м.
 4. 300π см.
(Правильные варианты: 1, 3)
Чему равна длина пути конца часовой стрелки за 300 часов, если ее длина
равна 1,5 см.?
 1. 250π мм.
 2. 75π см.
 3. 25π см.
 4. 0,75π м.
(Правильные варианты: 2, 4)
Домашнее задание
1. Круг площади 100 см2 разделили на 100 равных секторов, которые с
чередованием цветов покрасили в два цвета - синий и красный. Чему равна
площадь всех секторов, покрашенных в красный цвет?
2. В равносторонний треугольник со стороной 6 см вписан круг.
Чему равна площадь той части треугольника, которая лежит вне этого
круга?
3. В квадрате со стороной 10 см описанная и вписанная окружности
ограничивают кольцо. Чему равна площадь этого кольца?
4. Каждая сторона равностороннего треугольника поделена на три равные
части и через все точки деления проведена окружность. Найти площадь
части треугольника, лежащей внутри этого круга, если сторона треугольника
равна 12 см.
5. На высоте равностороннего треугольника со стороной a как на диаметре
построена окружность. Найти площадь части треугольника, лежащей внутри
круга, ограниченного этой окружностью.
6. На стержень цилиндрической формы с диаметром сечения 8 мм намотали
в один ряд 300 витков тонкой проволоки. Найти длину всей намотанной
проволоки.
7. Около правильного шестиугольника со стороной 5 см описана
окружность. Найти длину этой окружности.
8. В правильный шестиугольник со стороной 20 см вписана окружность.
Найти длину этой окружности.
9. Найти длину границы сектора радиуса 6 см с углом в 50о.
10. Найти длину границы кругового сегмента радиуса 12 см с углом 120о.
Словарь терминов
Круговой сектор. Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой
окружности.
Круговой сегмент. Часть круга, ограниченная дугой окружности и хордой,
соединяющей концы дуги.
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. –
Рисунок 2. Рисунок 3. Рисунок 4. –
Рисунок 5. –
Рисунок 6. –
10-1-1-1.cdr
10-1-2-2.cdr
10-1-2-3.cdr
10-1-6-4.cdr
10-1-7-5.cdr
10-1-7-6.cdr