4. Основы дифференциального исчисления

75
4. Основы дифференциального исчисления
4.1 Производная, ее геометрическое и кинематическое содержание
Пусть функция y  y x  определена на интервале, содержащем точку x.
Выберем некоторое число x – приращение аргумента – так, чтобы точка
x  x также принадлежала указанному интервалу. Приращением функции y
называется разность
y  y x  x   y x  .
y
Разностным отношением называется частное
от деления приращеx
ния функции на приращение аргумента.
Если существует предел разностного отношения при x  0
y x  x   y x 
y
,
lim
 lim
x  0 x
x  0
x
то он называется производной функции y  y x  в точке x. Операцию нахождения производной называют дифференцированием.
Если функция имеет производную для всех значений x, принадлежащих
некоторому интервалу, то производная будет являться некоторой функцией переменной x. Производную обозначают y  x  .
Левосторонней производной называется левосторонний предел разностного отношения
y
.
y  x  0  lim
x 0 x
Правосторонней производной называется правосторонний предел разностного отношения
y
.
y  x  0  lim
x 0 x
Если в точке x существует произy
водная y  x  , то в этой точке существуют
y  y x 
равные ей односторонние производные.
Обратно, если в точке x существуют рав- y  y
P
ные между собой односторонние производные, то в этой точке существует проy
N
M
изводная y  x  .
Фиксируем на графике функции
y  y x  точку M  x , y  и отметим точку
P x  x , y  y  .
Секущей
называют
прямую MP (рис. 4.1). Касательной к

x  x x
Рис. 4.1. К геометрическому
содержанию производной
x
76
графику функции y  y x  в точке M называют предельное положение секущей
MP при стремлении точки P к точке M по графику функции.
Пусть     x  – угол между секущей и осью Ox. Тогда
NP y
.
tg   x  

MN x
При x  0 секущая переходит в касательную. Поэтому тангенс угла 0
между касательной и осью Ox равен
y
tg 0  lim
 y  x  .
x 0 x
Таким образом, производная y  x  равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции y  y x  , проведенной в точке M  x, y x   .
Выясним кинематическое содержание понятия производной. Пусть закон
движения частицы(зависимость ее координаты от времени) имеет вид x  x  t  .
Тогда за время t перемещение частицы составит x  x  t  t   x  t  .
Средней скоростью на отрезке времени t; t  t  называется разностное
x
отношение
. Скоростью в момент времени t называется предел, к которому
t
стремится средняя скорость при стремлении длительности отрезка t; t  t  к
нулю:
x
 x  t  .
t 0 t
Таким образом, скорость равна производной от координаты по времени.
v  lim
4.2 Дифференциал
Пусть функция y  y x  определена на интервале, содержащем точку x.
Пусть приращение аргумента выбрано так, что точка x  x также принадлежит указанному интервалу.
Функция y  y x  называется дифференцируемой в точке x, если в этой
точке ее разностное отношение можно представить в виде
y
 A    x  ,
x
где A – число,   x  – бесконечно малая при x  0 .
Теорема. Для того, чтобы функция y  x  была дифференцируемой в точ-
ке x, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную.
Доказательство.
1. Необходимость. Пусть функция y  x  дифференцируема в точке x:
77
y
 A    x  .
x
Тогда
y
 lim  A    x    A , ч.т.д.
x 0 x
x 0
1. Достаточность. Пусть в точке x существует конечная производная
y
.
y   lim
x  0 x
y y
Вычитая ее из обеих частей тождества
, получим

x x
y
y
 y   
 y  .
 x

x
y
Но из определения предела следует, что разность
 y  есть бесконечx
но малая при x  0 . Обозначим ее   x  , тогда
y
 y     x  , ч.т.д.
x
Теорема доказана.
Пусть функция y  x  дифференцируема в точке x. Тогда ее приращение
можно представить в виде суммы
y  y x    x  x ,
первое слагаемое y x в которой при x  0 есть бесконечно малая того же
порядка, что и x , а второе слагаемое   x  x есть бесконечно малая более
высокого порядка, нежели x . Главную часть y x приращения, линейную относительно x , называют дифференциалом функции y  x  в точке x:
dy  y x .
В качестве дифференциала dx независимой переменной естественно взять
приращение: dx  x , тогда
dy  y dx ;
дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал
аргумента. Поэтому производную можно записать в виде отношения дифференциалов:
dy
y  .
dx
lim
Замечание 5.1.1. Из изложенного следует, что понятия дифференцируемости, существования дифференциала и существования конечной производной можно отождествлять.
Теорема. Если функция y  x  дифференцируема в точке x 0 , то она в этой
точке непрерывна.
78
Доказательство. Представим приращение
y  y x    x  x . Тогда
y  y x   y x 0 
в виде
lim y  lim y  lim y  lim  y  x0  x  x0     x  x0  x  x0   0 ,
x  x0  0
откуда:
x  x0  0
x  x0
x  x0
lim y x   lim y x   lim y x   lim  y x0   y   y x0  , ч.т.д.
x  x0  0
x  x0  0
x  x0
x  x0
4.3 Дифференцирование суммы и произведения
Пусть функции u  u x  и v  v x  дифференцируемы в точке x.
Теорема. Производная суммы равна сумме производных:

 u  v  u  v  .
Доказательство. Пусть y x   u x   v x  . Тогда
y  u x  x   v x  x    u x   v x   
 u x  x   u x    v x  x   v x    u  v ,
откуда
y
u  v
u
v
 lim
 lim
 lim
 u  v  , ч.т.д.
x 0 x
x 0
x 0 x
x 0 x
x
Теорема. Производная произведения равна
uv   uv   uv .
Доказательство. Пусть y x   u x  v x  . Тогда
y   lim
y  u x  x  v x  x   u x  v x  .
Вычитая и прибавляя u x  x  v  x  , получим

 

y  u x  x  v x  x   u x  x  v x   u x  x  v x   u x  v x  
 u x  x  v  v x  u
Так как функция u x  дифференцируема в точке x, то она в этой точке
непрерывна: lim u x  x   u x  . Следовательно
x 0
u x  x  v  v x  u
y
 lim

x 0 x
x 0
x
v
u
 lim u x  x  lim
 v x  lim
 uv   uv , ч.т.д.
x 0
x 0 x
x 0 x
y   lim
79
4.4 Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Производная параметрически заданной функции. Производная обратной
функции
Теорема. Пусть функция x  x  t  дифференцируема в точке t0, а функция
y  y x  дифференцируема в точке x0  x  t0  . Тогда сложная функция
y  y x t  
также дифференцируема в точке t0, причем
y t  y x x t .
Доказательство. Так как функция y  y x  дифференцируема в точке x0,
то ее приращение в этой точке можно представить в виде
y  y x x    x  x ,
где   x  – бесконечно малая при x  0 .
Поделив обе части на t, получим
y
x
x
 y x
   x 
t
t
t
Так как функция x  x  t  дифференцируема в точке t0, то она в этой точке
непрерывна. Следовательно, lim x  0 , откуда
t  0
lim   x   0 .
t 0
Поэтому
y
x
x
 y x lim
 lim   x  lim
 y x xt , ч.т.д.
t 0 t
t 0 t
t 0
t 0 t
Покажем, что представление дифференциала в виде
dy  y x dx
сохраняет справедливость и в том случае, если x не является независимой переменной, а представляет собой дифференцируемую функцию аргумента t. В
последнем случае y  x  можно рассматривать как сложную функцию от t. Тогда
yt  y x x  .
dy
dx
Так как t является независимой переменной, то yt  , xt  . Следоdt
dt
вательно
dy
dx
.
 y x
dt
dt
Умножив обе части на dt, получим
dy  y x dx , ч.т.д.
Таким образом, производная y x всегда равна отношению дифференциала
функции к дифференциалу аргумента. Поэтому правило дифференцирования
сложной функции можно записать в виде тождества
yt lim
80
dy dy dx
.

dt dx dt
Пусть функции x  xt  и y  yt  зависят от одного и того же
аргумента t. В этом случае говорят, что функциональная зависимость между y и
x задана параметрически. Правило дифференцирования параметрически заданной функции сразу следует из правила дифференцирования сложной функции. Разделив обе части равенства
dy dy dx

dt dx dt
dx
на
, получим:
dt
dy dy dx
.

dx dt dt
Пусть функции y  y x  и x  x  y  – взаимно обратные. Используя инвариантность формы первого дифференциала, можем записать
dy dx
 1,
dx dy
откуда
dx
dy
.
1
dx
dy
4.5 Производные основных элементарных функций
Пусть y  C  const . Тогда:
CC
 0.
x 0 x
Пусть y  x n , n  N . Используя формулу бинома Ньютона, получим
y   lim
n
 n
n
k
k
y   x  x   x n    Cnk x n  k  x    x n   Cnk x n  k  x  ,
 k 0

k 1
откуда
n
y
k 1
y   lim
 lim  Cnk x n  k  x   Cn1 x n 1  nx n 1 .
x 0 x
x 0
k 1
Можно показать (см. п. 5.6), что полученная формула справедлива для
произвольного вещественного показателя степени.
Пусть y  e x .
y
e x  x  e x
ex  1 x
x
y   lim
 lim
 e lim
e .
x 0 x
x 0
x 0 x
x
Пусть y  sh x . Используя определение гиперболического синуса, правила дифференцирования суммы, произведения и сложной функции, получим:
81

 e x  e x 
1 x

x
y 
 ch x .
  e e
2 
2

Аналогично доказывается, что
ch x   sh x .
Пусть y  sin x . Тогда
sin x  x   sin x
y
sin x cos x  cos x sin x  sin x
y   lim
 lim
 lim

x 0 x
x 0
x 0
x
x
cos x  1
sin x
 sin x lim
 cos x lim
 sin x  0  cos x  cos x .
x 0
x 0 x
x

Пусть y  cos x . Положим x  t  . Тогда
2

y  cos t    sin t ,
 2
dy
 cos t .
dt
Используя инвариантность формы первого дифференциала, получим
dy dy dx cos t



 cos x     sin x .

dx dt dt
1
2


Пусть y  ln x . Тогда x  e y . Используя правило дифференцирования обратной функции, получим
dy
1
1 1

 y  .
dx dx e
x
dy
Пусть y  arsh x . Для нахождения производной ареасинус можно выразить через логарифм и радикалы, однако удобнее воспользоваться правилом
дифференцирования обратной функции. С учетом тождества ch 2 y  sh 2 y  1
получим
1
1
1
.
y 


2
2
ch y
1  sh y
1 x
Аналогично доказывается, что
arch x 
1
.
x2 1
Найдем производные обратных тригонометрических функций:
1
1
1
;


arcsin x  
2
2
cos y
1  sin y
1 x
82
arccos x  
1
1
.

2
sin y
1 x
В последнем случае производную можно найти, учитывая связь между
обратными тригонометрическими функциями:

arcsin x  arccos x  ;
2

1
 

.
arccos x     arcsin x  
2
1 x2
4.6 Логарифмическое дифференцирование. Производная частного
Пусть требуется найти производную функции
 
y x   f  x  .
Подобные функции называются показательно-степенными, так как переменная находится и в показателе, и в основании степени.
Логарифмируя обе части, получим
 x
x
ln y  ln f  x 
   x  ln f  x  .
Учитывая, что y – функция от x, получим
d
d
ln y    x  ln f  x   ,
dx
dx
1 dy d
   x  ln f  x   ,
y dx dx
dy
d
 y   x  ln f  x   .
dx
dx
Последнее соотношение выражает правило логарифмического дифференцирования.
Пример 1. Пусть y  x x ; тогда ln y  x ln x , и производная равна
dy

 y x ln x   x x  ln x  1 .
dx
u x 
Пример 2. Пусть y 
. Эта функция не является показательноv x 
степенной, однако ничто не мешает использовать логарифмическое дифференцирование и здесь. Имеем:
ln y  ln u  ln v ,
u 1
1
uv  uv 
.
y    u  v  
vu
v 
v2

Пример 3. Покажем, что соотношение x   x  1 справедливо при
произвольном  R . Имеем:
 
83
ln y   ln x ;
1

y
x
y  ; y    
 x 1 , ч.т.д.
y
x
x
x
4.7 Производные и дифференциалы высших порядков
Пусть производная y  функции y  y x  определена на некотором интервале. Тогда в каждой точке этого интервала она является функцией от x, и ее
можно продифференцировать вновь. Полученную производную называют производной второго порядка, или второй производной:

y    y   .
Вообще, производной n-го порядка функции y  y x  называют производную от производной n 1-го порядка:

n
n 1
y   y  .


Пример 1. Найти третью производную функции y  x k .


 
   k 1  
k 2 
y    y     y      kx

k
k

1
x
 k  k  1 k  2 x k 3 .
 


 





Пример 2. Найти n-ю производную функции y  xe x .
Имеем:
n
y   e x  xe x ; y   2e x  xe x ; y   3e x  xe x ; ...; y    ne x  xe x .
Если производная функции y  y x  определена на некотором интервале,
то в каждой точке этого интервала первый дифференциал dy  y dx является
функцией от x. Дифференциал этой функции называют вторым дифференциалом:
d 2 y  d  dy  .
Вообще, дифференциалом n-го порядка называют дифференциал от дифференциала n 1-го порядка:
d n y  d d n1 y .


Пусть аргумент функции y  y x  является независимой переменной. Тогда при дифференцировании по x дифференциал dx можно считать постоянным, и второй дифференциал равен

d 2 y  d  dy    y dx  dx  y dx 2 ,
поэтому вторую производную можно записать в виде частного от деления второго дифференциала на квадрат дифференциала независимой переменной:
d2 y
y   2 .
dx
84
Аналогично
dny
n
y   n .
dx
Последние соотношения неприменимы, если аргумент сам является
функцией другой независимой переменной. В последнем случае dx является
функцией от x. Используя правило дифференцирования произведения, получим:


d 2 y  d  dy    y dx  dx  y dx 2  y  dx  dx , d 2 y  y dx 2 ;
второй дифференциал не обладает свойством инвариантности формы.
4.8 Основные теоремы о дифференцируемых функциях
Теорема Ролля. Если функция y  x  непрерывна на отрезке a; b , диффе-
ренцируема на интервале  a; b и принимает на концах отрезка одинаковые
значения, то на интервале  a; b найдется хотя бы одна точка, в которой производная y  равна нулю.
Доказательство. Если y x   const , то в любой точке интервала y   0 и
теорема справедлива.
Пусть y x   const . Так как y  x  непрерывна на отрезке a; b , то на этом
отрезке она достигает своего наибольшего M и наименьшего m значений. Так
как y x   const , то по меньшей мере одно из этих значений достигается во
внутренней точке отрезка. Без ограничения общности можно считать, что
m  y  c  , c  a; b .
По определению производной:
y  c  lim
y c  x   y c
.
x
Так как yc  m – наименьшее значение функции, то разность
y c  x   y c в числителе неотрицательна при любом x , и знак частного
совпадает со знаком x . Поэтому:
y  c  x   y  c 
y  c  x   y  c 
y c  0  lim
 0 , y c  0  lim
 0.
x 0
x 0
x
x
Так как y  x  дифференцируема в точке x  c , то ее односторонние производные в этой точке совпадают. Следовательно
y  c  y  c  0  y  c  0  0 , ч.т.д.
x 0
Теорема Коши. Если функции f  x  и   x  непрерывны на отрезке a; b
и дифференцируемы на интервале  a; b , причем в каждой точке интервала
   0 , то на интервале найдется хотя бы одна точка c, в которой
85
f  b  f  a 
  b    a 

f  c 
  c 
.
Доказательство.
Прежде всего отметим, что   b    a   0 . Действительно, в противном
случае функция   x  удовлетворяла бы условиям теоремы Ролля, и нашлась бы
точка   a; b , в которой      0 , что противоречит условию теоремы Коши.
Рассмотрим вспомогательную функцию
f b  f a 
F  x   f  x   f a  
  x    a .
 b   a 
Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Следовательно, на интервале  a; b найдется хотя бы одна точка c, в которой F  c  0 . Но
F  x   f  x  
f  b  f  a 
  b    a 
  x  ,
следовательно, в точке c:
f  b  f  a 
f  b  f  a  f  c 
f  c  
  c   0 ,

, ч.т.д.
  b    a 
  b    a    c
Теорема Лагранжа. Если функция y  x  непрерывна на отрезке a; b и
дифференцируема на интервале  a; b , то на интервале найдется хотя бы одна
точка c, в которой
y b  y a   y  c b  a  .
Доказательство. Пусть   x   x ,   x   1 . Тогда функции y  x  и   x 
удовлетворяют всем условиям теоремы Коши. Следовательно, на интервале
найдется хотя бы одна точка c, в которой
y b  y a  y  c
, y b  y a   y  c b  a  , ч.т.д.

ba
1
Геометрический смысл теоремы Лаy
y  y x 
гранжа: на участке графика функции y  x 
B
между точками A a, y a
и B b, y b
  
  
найдется хотя бы одна точка Cc, y c  , в ко-
торой касательная параллельна секущей AB
(рис. 4.2).
4.9 Правило Лопиталя
Теорема (правило Лопиталя). Пусть
непрерывные и дифференцируемые в точке
A
a
C
c
Рис. 4.2.
b
x
86
x=a функции f  x  и   x  обращаются в этой точке в нуль. Пусть также
  a   0 . Тогда, если при x  a существует предел отношения производных
f  x 
  x 
, то он равен пределу отношения функций
lim
xa
f  x 
 lim
  x 
xa
f  x
 x
f  x
 x
:
.
Доказательство.
Рассмотрим отрезок  a; x  . Применяя к функциям f  x  и   x  теорему
Коши, получим:
f  x  f  a
  x    a
где c  a; x  . Так как f  a     a   0 , то
f  x


f  c 
  c 
f  c 
.
  x    c 
Переходя к пределу при x  a , получим
lim
xa
f  x
 x
 lim
c a
f  c 
  c 
,
 lim
xa
f  x 
  x 
, ч.т.д.
e2 x  1
.
x 0 sin x
e2 x  1  0 
2e2 x
lim
    lim
 2.
x  0 sin x
 0  x  0 cos x
x
Пример 2. Вычислить предел lim1  x  tg .
x 1
2
x
1 x 0 2
x 2
lim1  x  tg  0    lim
    lim sin 2
 .
x 1
x 1
x  0   x1
2
2

ctg
2
Пример 1. Вычислить предел lim
1
Пример 3. Вычислить предел lim cos x  x 2 .
x 0
1
Логарифмируя функцию f  x    cos x  x 2 и переходя к пределу, получим
1
lim ln cos x  x 2  lim
x0
x 0
1
откуда lim cos x  x  e
2
x 0
ln cos x 

1
2

x2
1
.
e
0
 sin x
1
sin x
1
    lim
  lim
 ,
2 x0 x
2
 0  x  0 2 x cos x
87
4.10 Возрастание и убывание в точке. Экстремумы
Пусть функция y  x  определена в окрестности точки x  c .
Функция y  x  называется возрастающей в точке c, если найдется
окрестность точки c, в которой y x   y c при x > c и y x   y c при x < c.
Функция y  x  называется убывающей в точке c, если найдется окрест-
ность точки c, в которой y x   y c при x < c и y x   y c при x > c.
Теорема 1. Если функция y  x  дифференцируема в точке c и y  c  0 , то
функция возрастает в точке c.
Доказательство. Так как
y c  x   y c
y x   y c
,
y  c  lim
 lim
x 0
x c
x
xc
то
y x   y c


   0    0 x  c    y  c    x  c  y  c    .


Возьмем в качестве  положительное число, меньшее y  c  ; существование такого числа гарантируется условием y  c  0 . Тогда
y  c     0 ,
y x   y c
 0,
xc
т.е. всюду в -окрестности точки c выполнено y x   y c при x > c и
y x   y c при x < c, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Если функция y  x  дифференцируема в точке c и y  c  0 , то
функция убывает в точке c.
Точка x  c называется точкой локального максимума функции y  x  , если найдется окрестность точки c, в пределах которой значение y  c является
наибольшим.
Точка x  c называется точкой локального минимума функции y  x  , если
найдется окрестность точки c, в пределах которой значение y  c является
наименьшим.
Точка x  c называется точкой локального экстремума, если она является точкой локального минимума или локального максимума.
Теорема 3. Если дифференцируемая в точке x  c функция достигает в
этой локального экстремума, то y  c   0 .
Доказательство. Так как точка c есть точка экстремума, то в этой точке
функция не может ни возрастать, ни убывать. Поэтому в силу теорем 1 и 2 ее
88
производная не может быть ни положительной, ни отрицательной. Следовательно, y  c   0 , что и требовалось доказать.
Замечание 5.10.1. Точки, в которых производная равна нулю, называют стационарными точками функции.
4.11 Условия возрастания и убывания на интервале. Достаточные условия экстремума
Важнейшими следствиями теоремы Лагранжа являются теоремы, устанавливающие достаточные условия возрастания, убывания и экстремума функции.
Теорема 1. Для того, дифференцируемая на интервале a; b функция
y  x  возрастала на этом интервале, достаточно, чтобы в каждой точке интервала производная y  x  этой функции была положительной.
Доказательство. Пусть x a; b y  x   0 . Рассмотрим две любые точ-
ки x1, x2 интервала a; b , такие что x2>x1. Применяя к функции y  x  теорему
Лагранжа, получим:
y x2   y x1    x2  x1  y   ,
где   x1; x2  . Так как правая часть положительна, то положительна и левая
часть: y x2   y x1   0 . Так как точки x1 и x2 произвольны, то функция y  x  является возрастающей на интервале a; b .
Теорема 2. Для того, дифференцируемая на интервале a; b функция
y  x  неубывала на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы в каждой
точке интервала производная y  x  этой функции была неотрицательной.
Достаточность доказывается аналогично. Докажем необходимость.
Так как y  x  неубывает на интервале, то она неубывает в каждой его
точке. Поэтому в силу теоремы 2 п. 5.10 ни в одной точке интервала она не может иметь отрицательную производную, что и требовалось доказать.
Теорема 3. Пусть функция y  x  непрерывна в окрестности точки c и
дифференцируема в этой окрестности всюду, за исключением, возможно, самой точки c. Если при этом производная положительна при x  c и отрицательна при x  c , то точка x  c является точкой локального максимума.
Доказательство. Пусть x – произвольная точка указанной в условии
окрестности. Применяя к отрезку c, x  теорему Лагранжа, получим
y c  y x    c  x  y   ,   x; c .
Тогда как при x  c , так и при x  c правая часть положительна. Следовательно, положительна и левая часть: y  c   y  x   0 , y c  y x  , что и требовалось доказать.
89
Теорема 4. Пусть функция y  x  непрерывна в окрестности точки c и
дифференцируема в этой окрестности всюду, за исключением, возможно, самой точки c. Если при этом производная отрицательна при x  c и положительна при x  c , то точка x  c является точкой локального минимума.
Доказательство проводится аналогично.
4.12 Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Пусть функция y  x  непрерывна на отрезке a; b . Тогда на этом отрезке
она достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения могут достигаться либо на границах отрезка, либо в его внутренних точках. В последнем случае искомая точка должна являться либо стационарной точкой
функции y  x  , либо точкой, в которой первая производная y  x  терпит разрыв.
Поэтому для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции
y  x  на отрезке a; b следует:
1. Найти внутренние точки отрезка a; b , в которых производная y  x 
равна нулю или не определена.
2. Вычислить значения функции в найденных точках.
3. Вычислить значения функции на концах отрезка.
4. Среди всех найденных значений функции выбрать наибольшее и
наименьшее.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y  x 2  4
на отрезке 1;3 .
Двучлен x 2  4 отрицателен при x  2 . Используя определение модуля,
функцию y  x 2  4 можно записать в виде
 x 2  4,

y  x   4  x 2 ,
 2
 x  4,
x  2
2  x  2.
x2
Производная данной функции
2 x , x  2

y  x     2 x , 2  x  2
2 x , x  2

обращается в нуль в точке x  0 и терпит разрывы первого рода в точках
x  2 . Из этих точек внутренними для отрезка 1;3 являются x  0 и x  2 .
Вычисляя значения функции, получим:
y0  4 , y2  0 .
90
На концах отрезка функция
равна:
y 1  3 , y3  5 .
Следовательно, наименьшее
значение функции, равное 0, достигается в точке x  2 ; наибольшее значение, равное 5, достигается в точке x  3 . График функции y  x 2  4 и ее производной
показан на рис. 4.3.
4.13 Выпуклость и перегибы
Пусть функция y  x  диф-
ференцируема в каждой точке интервала  a; b .
6
y, y 
y x
4
2
0
y  x 
2
4
1
0
1
2
x
3
Рис. 4.3. График функции y  x 2  4 и ее
производной на отрезке 1;3
График функции y  x  называется выпуклым вверх на интервале  a; b , ес-
ли он в пределах этого интервала лежит не ниже любой своей касательной.
График функции y  x  называется выпуклым вниз на интервале  a; b , если он в пределах этого интервала лежит не выше любой своей касательной.
Теорема 1. Если функция y  x  имеет на интервале  a; b конечную вторую производную и если эта производная неотрицательна (неположительна)
всюду на этом интервале, то график функции является выпуклым вниз (вверх).
Теорема 2. Если функция y  x  имеет в точке c непрерывную и положительную (отрицательную) вторую производную, то существует окрестность
точки c, в пределах которой график функции является выпуклым вниз (вверх).
Точка c называется точкой перегиба графика функции y  x  , если существует окрестность точки c, в пределах которой график функции слева и справа
от точки c имеет разные направления выпуклости.
Теорема 3. Если функция y  x  дважды дифференцируема в точке c и
точка c является точкой перегиба, то y  c   0 .
Теорема 4. Пусть функция y  x  дважды дифференцируема в окрестности
точки c и y  c   0 . Тогда если в пределах указанной окрестности вторая производная имеет разные знаки слева и справа от точки c, то точка c является
точкой перегиба.
91
4.14 Асимптоты графика функции
Асимптотой линии называется прямая, расстояние от которой до точки,
лежащей на линии, стремиться к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат по линии.
Прямая x  a является вертикальной асимптотой графика функции
y  x  , если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке x  a равен бесконечности.
Прямая y  a является горизонтальной асимптотой графика функции
y  x  , если хотя бы один из односторонних пределов функции при x   равен a.
Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде
y  kx  b .
y  kx  b
Пусть точка M  x, y  принадлежит
графику функции y  y x  . Расстояние от
d
M  x, y
этой точки до прямой (рис. 4.4)
Ax  By  D kx  y x   b
d

.
2
2
2
A B
k 1
Если прямая
y  kx  b является
Рис. 4.4
асимптотой графика, то расстояние d должно
стремится к нулю при x   . Знаменатель дроби сохраняет постоянное значение, то поэтому дробь будет стремиться к нулю при
lim  kx  y x   b  0 ,
x 
откуда
b  lim  kx  y x  .
x 
Если b  const  ,  0 , то бесконечно большие kx и y  x  должны быть
эквивалентными:
y x 
lim
 1,
x  kx
откуда
y x 
k  lim
.
x  x
4.15 Исследование функций и построение эскизов графиков
Общая схема исследования функции включает шесть этапов.
1. Нахождение области определения функции.
92
2. Исследование четности, нечетности и периодичности функции.
Нахождение нулей функции и интервалов, на которых функция сохраняет постоянный знак.
3. Исследование поведения функции близи граничных точек области
определения (в т.ч. при x   ). Нахождение вертикальных и горизонтальных
асимптот.
4. Нахождение наклонных асимптот.
5. Нахождение экстремальных значений, интервалов возрастания и убывания.
6. Нахождение точек перегиба, интервалов выпуклости и вогнутости.
Исследование завершается построением эскиза графика.
Пример. Исследовать функцию
x2
.
f  x 
x 1
1. При x 1 числитель не является бесконечно малой, а знаменатель –
является; поэтому при x 1 функция является бесконечно большой. Область
определения функции – все множество действительных чисел за исключением
точки x  1: D f     ;1 1; .
2. Имеем:
  x

2
x2
; f   x  f  x , f   x   f  x .
f   x

 x 1
x 1
Функция не является ни четной, ни нечетной.
Предположим, что f  x  – периодическая:
f  x  f  x  T  .
Имеем:
x2
x 2  2 xT  T 2
;

x 1
x  T 1
x 3  2 x 2T  T 2 x  x 2  2 xT  T 2  x 3  Tx 2  x 2 ;
2 x 2T  T 2 x  2 xT  T 2  Tx 2 .
x x  2
Это уравнение имеет два корня – T1  0 , T2 
– однако ни один из
1 x
них не удовлетворяет определению периода (в первом случае – нуль, во втором
случае – величина, не являющаяся константой). Следовательно, данная функция – непериодическая.
Для нахождения точек пересечения графика функции с осью Ox (нулей
функции) следует решить систему
x 2  0
.

x

1

0

93
Данная система имеет единственное решение x  0 ; при этом f  0  0 .
Единственной точкой пересечения графика с осью Ox является начало координат. Эта же точка является точкой пересечения графика с осью Oy.
Интервалы знакопостоянства:
x
0
0
  ;0
 0;1
1;  
f  x
–
–
0
не опред.
+
3. Исследуем поведение вблизи граничных точек области определения.
Имеем:
x2
x2
x2
x2
lim
  ; lim
  ; lim
  ; lim
 .
x  x  1
x  x  1
x 1 0 x  1
x 1 0 x  1
Функция не ограничена, в точке x  1 терпит разрыв II рода. Прямая x  1
является вертикальной асимптотой.
4. Для отыскания наклонных асимптот вычислим пределы
f  x
x
k1  lim
 lim
 1;
x  x
x  x  1
 x2  x2  x 
b1  lim  f  x   k1x   lim 
  1.
x 
x 
x 1 
При x   прямая y  x 1 является наклонной асимптотой.
f x
x
k 2  lim
 lim
 1;
x 
x  x  1
x
 x2  x2  x
b2  lim  f  x   k2 x   lim 
  1.
x 
x 
x 1 
При x   наклонной асимптотой является та же прямая.
5. Исследуем функцию на возрастание, убывание и экстремумы.
2
df 2 x x  1  x
2 x 2  2 x  x 2 x x  2
.



2
2
2
dx
x

1
x

1
x

1
 
 
 
В точках x  0 , x  2 производная обращается в нуль; при x 1 производная является бесконечно большой.
x
0
1
2
  ;0
 0;1
1;2
 2; 
f  x 
f  x
+
0
–
не опр.
–
0
+
возр.
макс.
убыв.
не опр.
убыв.
мин.
возр.
6. Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость и перегибы.
2
2
d2 f
d x 2  2 x  2 x  2 x  1  2 x  1 x  2 x
2



.
4
3
dx 2 dx  x  1 2
 x  1
 x  1


94
Вторая производная нигде не обращается в нуль. В точке x  1 она терпит
разрыв.
x
1
  ;1
1;
f  x 
f  x
–
не опред.
+
выпукла
не опред.
вогнута
График функции приведен на рис. 4.5.
10
y
x2
f  x 
x 1
8
6
4
O
2
x 1
0
y  x 1
2
4
6
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
x
6
x2
Рис. 4.5. График функции f  x  
, ее наклонная и вертикальная асимптоты
x 1