sin (x + y)

Методы решения
тригонометрических уравнений
Алгебра-10 класс
Содержание




Метод замены переменной
Метод разложения на множители
Однородные тригонометрические уравнения
С помощью тригонометрических формул:
−
−
−
Формул сложения
Формул приведения
Формул двойного аргумента
Метод замены переменной
С помощью замены t = sinx или t = cosx, где t ∈
[−1;1] решение исходного уравнения сводится к
решению квадратного или другого алгебраического
уравнения.
См. примеры 1 – 3
Иногда
используют
универсальную
x
тригонометрическую подстановку: t = tg
α 2
α
1 t2
2
cos α 

2
α
1

t
2
1  tg
2
1  tg 2
sin α 
2tg
2
α
1  tg
2
2

2t
1 t2
Пример 1
2 sin 2 x  5 sin x  2  0
Пусть sin x  t , где t   1; 1, тогда
2t 2  5t  2  0
t1  2,не удовлетворяет условию t   1; 1

t 2  1 ;

2
Вернемся к исходной переменной
1
sin x 
2
1
n
x   1 arcsin  πn , n  Z
2
n π
x   1
 πn , n  Z
6
n π
Ответ :  1
 πn , n  Z .
6
Пример 2
cos 2 x  sin 2 x  cos x  0
Поскольку sin 2 x  1  cos2 x , то


cos 2 x  1  соs 2x  cos x  0
2cos 2 x  cos x  1  0
Пусть соsx  t , где t   1; 1, тогда
2t 2  t  1  0
t1  1,

t 2   1 ;

2
Вернемся к исходной переменной :
x  2πk , k  Z
соsx  1,
x  2πk , k  Z

 
 
1
1


x   arccos    2πn , n  Z
x   2π  2πn , n  Z
cos x   ;

3

2

 2
Ответ : 2πk , k  Z ; 
2π
 2πn , n  Z .
3
tg
Пример
3
x
x
2
 3ctg
2
Вернемся к исходной переменной
4
Поскольку ctg
x
1

, то
2 tg x
2

tg

tg

x
3

4
x
2 tg
2
x
Пусть tg  t , где t  0, тогда
2
3
t 4
t
t
t 2  4t  3  0
tg
t1  1
t  3
2
x
x
 1,
 2  arctg1  πn , n  Z
2
 
x
 x  arctg 3  πk , k  Z
 3;
 2
2
x
 2  arctg1  πn , n  Z

 x  arctg 3  πk , k  Z
 2
x π
 2  4  πn , n  Z

x  2arctg 3  πk , k  Z
π

x

 2πn , n  Z

2

x  2arctg 3  2πk , k  Z
Ответ :
π
 2πn ; 2arctg 3  2πk ; n , k  Z .
2
Метод разложения на множители
Суть этого метода заключается в том, что
произведение нескольких множителей равно
нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а
другие при этом не теряют смысл:
f(x) · g(x) · h(x) · … = 0
⟺ f(x) = 0 или g(x) = 0 или
h(x) = 0
и т.д. при условии существования каждого из
сомножителей
См. примеры 4 – 5
Пример 4
1 
2

sin
x

cos
x



0
3 
5

1

sin x  3  0,

cos x  2  0;

5

x

x

1

sin
x

,

3

cos x   2 ;

5
1
1

n
n
x   1 arcsin  πn , n  Z
  1 arcsin  πn , n  Z

3
3
 
 2
x   π  arccos 2   2πk , k  Z
  arccos    2πk , k  Z



5


 5

Ответ :  1 arcsin
n
1
2

 πn ;   π  arccos   2πk ; n ,k  Z .
3
5

Пример 5
2sin x cos 5x  cos 5x  0
cos 5x 2sin x  1  0
2 sin x  1  0,
cos 5x  0;

1

sin
x

,

2

cos 5 x  0;
1

n


x


1
arcsin
 πn , n  Z

2

5x  π  πk , k  Z

2

n π


x


1
 πn , n  Z

6

x  π  πk , k  Z

10
5
π πk
n π
Ответ :  1
 πn , n  Z ;

, k  Z.
6
10
5
Однородные тригонометрические
уравнения
Уравнение вида a sin x + b cos x = 0 называют однородным
тригонометрическим уравнением первой степени.
a sin x + b cos x = 0
: cos x
a sin x b cos x
0
cos x + cos x = cos x
a tg x + b = 0
b
tg x = –
a
Замечание.
Деление на cos x допустимо, поскольку
решения уравнения cos x = 0 не являются
решениями уравнения a sin x + b cos x = 0.
Уравнение вида a sin2x + b sin x cos x + c cos2x
= 0 называют однородным
тригонометрическим уравнением второй
степени.
a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0
: cos2x
a sin2x
b sin x cos x
c cos2x
0
+
=
+
2x
2
2
cos
cos x
cos2x
cos x
a tg2x + b tg x + c = 0
Далее, вводим новую переменную tg x
решаем методом замены переменной.
= t и
Замечание. Если в данном уравнении а = 0 или
с = 0 то, уравнение решается методом
разложения
на множители.
Пример 6
2sin x  3cos x  0
: cos x
2 sin x 3 cos x
0


cos x
cos x
cos x
2tgx  3  0
tgx 
3
2
3
x  arctg  πn , n  Z
2
Ответ : arctg
3
 πn , n  Z .
2
Пример 7
: cos 2x
sin 2x  cos 2x  0
sin 2x cos 2x
0


cos 2x cos 2x cos 2x
tg 2x  1  0
tg 2x  1
π
2x    πn , n  Z
4
π πn
x  
, n Z
8
2
π πn
Ответ :  
, n  Z.
8
2
Пример 8
sin 2 x  3 sin x cos x  2cos 2 x  0
sin 2 x 3 sin x cos x 2cos 2 x


0
2
2
2
cos x
cos x
cos x
: cos2 x
tg 2x  3tgx  2  0
Пусть tgx  t , тогда
t 2  3t  2  0
t1  1
t  2
2
Вернемся к исходной переменной :
π

tgx  1,
x

 πn , n  Z

4
tgx  2;  

x  arctg 2  πk , k  Z
Ответ :
π
 πn ; arctg 2  πk ; n ,k  Z .
4
Пример 9
3 sin x cos x  cos2 x  0
cos x 3 sin x  cos x  0


 3 sin x  cos x  0,

cos x  0;
: cos x
1

tgx


,

3
 

π

x

 πn , n  Z ;

2
1
π

 arctg
 πk , k  Z ,
x    πk , k  Z ,

3
6
 
π
π

x   πn , n  Z .
  πn , n  Z ;

2

2
 3tgx  1  0,

x  π  πn , n  Z ;

2

x


x
Ответ : 
π
 πk ;
6
π
 πn ; n ,k  Z .
2
Пример 10
sin 3 x  sin 2 x cos x  3 sin x cos 2 x  3cos 3 x  0
: cos3 x
sin 3 x sin 2 x cos x 3 sin x cos 2 x 3cos 3 x



0
3
3
3
3
cos x
cos x
cos x
cos x
tg 3 x  tg 2x  3tgx  3  0
tg 2x tgx  1  3tgx  1  0
tg
2

x  3 tgx  1  0
tg x  3  0,

tgx  1  0;
2

tg x  3,

tgx  1;
2
x  arctg 3  πk , k  Z ,

x   π  πn , n  Z ;

4
Ответ : 


tgx   3 ,

x   π  πn , n  Z ;

4
π

x


 πk , k  Z ,

3

x   π  πn , n  Z .

4
π
π
 πn ;   πk ; n , k  Z .
4
3

Пример 11
3 sin 2 3x  2 3 sin 3x cos 3x  5cos2 3x  2


 cos2 3x  sin 2 3x
3 sin 2 3x  2 3 sin 3x cos 3x  5 cos 2 3x  2 cos 2 3x  sin 2 3x


3 sin 2 3x  2 3 sin 3x cos 3x  5cos2 3x  2cos2 3x  2sin 2 3x  0
sin 2 3x  2 3 sin 3x cos 3x  3cos2 3x  0
: cos2 3x
sin 2 3x 2 3 sin 3x cos 3x 3 cos 2 3x


0
2
2
2
cos 3x
cos 3x
cos 3x
tg 2 3x  2 3tg 3x  3  0
Вернемся к исходной переменной
Пусть tg 3x  t , тогда
tg 3x  3
3x  arctg 3  πn , n  Z
t 2  2 3t  3  0
 3
t 3 0
π
 πn , n  Z
3
π πn
x 
,n Z
9
3
t 3
Ответ :
t  2 3t 
2
t  3 
2
0
2
0
3x 
π πn

, n  Z.
9
3
1. Формулы сложения:
С помощью тригонометрических формул
sin (x + y) = sinx cosy + cosx siny
sin (x − y) = sinx cosy + cosx siny
cos (x + y) = cosx cosy − sinx siny
cos (x − y) = cosx cosy + sinx siny
tg (x + y) =
tg (x − y) =
tgx + tgy
1 − tgx tgy
tgx − tgy
1 + tgx tgy
сtgx сtgy − 1
сtg (x + y) =
сtgу + с tgх
сtgx сtgy + 1
сtg (x − y) =
сtgу − с tgх
Пример 12
3 cos x  sin x  1
:2
3
1
1
cos x  sin x 
2
2
2
3
π 1
π
Заметим, что
 cos ,
 sin , тогда
2
6 2
6
π
π
1
cos cos x  sin sin x 
6
6
2
π
 1
cos  x  
6
 2
π
1
 x   arccos  2πn , n  Z
6
2
π π
x     2πn , n  Z
3 6
π π
Ответ :    2πn , n  Z .
3 6
Пример13
π

π

sin   x   cos  x   3
3

6

π
π
π
π
π

π

sin   x   cos  x   sin cos x  cos sin x  cos cos x  sin sin x 
3
3
6
6
3

6


3
1
3
1
cos x  sin x 
cos x  sin x  3 cos x
2
2
2
2
3 cos x  3
cos x  1
x  2πn , n  Z
Ответ : 2πn , n  Z
2. Формулы приведения:
С помощью тригонометрических формул
π 
sin   t   cos t
2

sin π  t   sin t
π

cos   t    sin t
2

cos π  t   cos t
 3π

sin 
 t   cos t
 2

 3π

cos 
 t    sin t
 2

sin 2π  t    sin t
cos 2π  t   cos t
π

tg  t    ctg t
2

tg π  t    tg t
π

ctg  t    tg t
2

ctg π  t    ctg t
 3π

tg
 t    ctg t
 2

tg 2π  t    tg t
 3π

ctg
 t    tg t
 2

ctg 2π  t    ctg t
Лошадиное правило
В старые добрые времена жил рассеянный
математик, который при поиске ответа менять
или не менять название функции (синус на
косинус), смотрел на свою умную лошадь, а она
кивала головой вдоль той оси координат,
которой
принадлежала
точка,
соответствующая
первому
слагаемому
аргумента π/2 + α или π + α.
Если лошадь кивала головой вдоль оси ОУ, то
математик считал, что получен ответ «да,
менять», если вдоль оси ОХ, то «нет, не
менять».
3. Формулы двойного аргумента:
С помощью тригонометрических формул
sin 2x = 2sinx cosx
cos 2x = cos2x – sin2x
2tgx
tg 2x =
1 – tg2x
ctg2x – 1
ctg 2x =
2ctgx
cos 2x = 2cos2x – 1
cos 2x = 1 – 2sin2x
Пример 14
sin 4x  cos 2x  0
2sin 2x cos 2x  cos 2x  0
cos 2x 2sin 2x  1  0
cos 2x  0,
2 sin 2x  1  0;


cos 2x  0,

sin 2x  1 ;

2
π

2
x

 πn , n  Z

2

2x   1k arcsin 1  πk , k  Z

2
Ответ :
π πn

,n Z;
4
2

π πn

x


,n Z

4
2

x   1k π  πk , k  Z

12
2

π πk
 1

, k  Z.
12
2
k
4. Формулы понижения степени:
С помощью тригонометрических формул
sin 2 α 
1
1  cos 2α 
2
1
cos α  1  cos 2α 
2
2
sin α  cos α 
1
sin 2α
2
sin α  cos α 2  1  sin 2α
5. Формулы половинного угла:
α
1  cos α
sin 
2
2
α
sin α
1  cos α
tg 

2 1  cos α
sin α
α
1  cos α
cos 
2
2
α
sin α
1  cos α
ctg 

2 1  cos α
sin α
6. Формулы суммы и разности:
С помощью тригонометрических формул
cos α  cos β  2cos
αβ
α β
 cos
2
2
αβ
βα
cos α  cos β  2 sin
 sin
2
2
sin α  sin β  2 sin
αβ
α β
 cos
2
2
α β
αβ
sin α  sin β  2 sin
 cos
2
2
sin( α  β )
tg α  tg β 
cos α  cos β
sin( α  β )
tg α  tg β 
cos α  cos β
sin( α  β )
ctg α  ctg β 
sin α  sin β
ctg α  ctg β 
sin( β  α )
sin α  sin β
7. Формулы произведения:
С помощью тригонометрических формул
1
cos α  cos β  cosα  β   cosα  β 
2
1
sin α  sin β  cosα  β   cosα  β 
2
1
sin α  cos β  sin α  β   sin α  β 
2
Мнемоническое правило
“Тригонометрия на ладони”
Очень часто требуется знать наизусть
значения cos, sin, tg, ctg для углов 0°,
30°, 45°, 60°, 90°.
Но если вдруг какое-либо значение
забудется, то можно воспользоваться
правилом руки.
Правило: Если провести линии через
мизинец и большой палец,
то они пересекутся в точке, называемой
“лунный бугор”.
Образуется угол 90°. Линия мизинца образует угол 0°.
Проведя лучи из “лунного бугра” через безымянный, средний,
указательный пальцы, получаем углы соответственно 30°, 45°, 60°.
Подставляя вместо n: 0, 1, 2, 3, 4, получаем значения sin, для
углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
Для cos отсчет происходит в обратном порядке.