Метод координат (10

СОДЕРЖАНИЕ
1. КУБ В СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
2. ФОРМУЛЫ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
3. КООРДИНАТЫ ВЕРШИН МНОГОГРАННИКОВ
4. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
КУБ В СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
z
D1(0;а;a)
C1(а;a;a)
А1 (0;0;a)
B1 (a;0;a)
y
D (0;а;0)
А
a
C (а;a;0)
a x
(0;0;0) a В (a;0;0)
3
Вспомним основные формулы
Если известны координаты точек А и В: Аx А ; у А ; z A , BxB ; y B ; z B  , то
1. Координаты вектора АВ:
2. Длина вектора АВ:
АВx B  x A ; y B  y A ; z B  z A 
АВ 
x B  x A 2   y B  y A 2  z B  z A 2
3. Координаты середины отрезка АВ: М xМ ; у М ; z М 
хМ 
х А  хВ
у  уВ
z  zВ
; уМ  А
; zМ  А
2
2
2
1. Формулы и методы решения.


1.1. Угол между прямыми. Вектор а ха ; уа ; z а лежит на прямой а,
Вектор в хв ; ув ; z в лежит на прямой в.


Косинус угла между прямыми а и в:
cos  
x а  xв  у а  у в  z а  z в
х а  у а  z а  хв  у в  z в
2
2
2
2
2
2
1.2. Угол между прямой и плоскостью. Прямая а образует

с плоскостью  угол    90
. Плоскость  задана
уравнением: ах+ву+сz+d=0 и nа; в; с - вектор нормали,
Синус угла определяется по формуле:

sin  

xа  а  у а  в  z а  с
ха  у а  z а  а 2  в 2  с 2
2
2
2
1.3. Угол между двумя плоскостями. Плоскость  задана
уравнением: а1 х  в1 у  с1 z  d  0 и ее вектор нормали n  а1 ; в1 ; с1 
плоскость  задана уравнением а2 х  в2 у  с2 z  d  0 и ее вектор
нормали n  а 2 ; в 2 ; с 2  . Косинус угла  между плоскостями:
cos  
а1  а 2  в1  в 2  с1  с2
а1  в1  с1  а 2  в 2  с2
2
2
2
2
2
2
1.4. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние h
от точки М xМ ; у М ; z М  до плоскости  , заданной уравнением
ах+ву+сz+d=0 определяется по формуле:
h
а  хМ  в  у М  с  z М  d
а2  в2  с2
1.5. Если отрезок АВ, концами которой служат точки
Аx А ; у А ; z A , BxB ; y B ; z B  разделен точкой Сx; у; z  в отношении  ,
то координаты точки С определяются по формулам:
х
х А  х В
у  у В
z  z В
;у  А
;z  А
1 
1 
1 
2. Координаты вершин многогранников
2.1. Координаты вершин единичного куба.
А0;0;0  А1 0;0;1
В 1;0;0 , В1 1;0;1
D 0;1;0 D1 0;1;1
С 1;1;0 С1 1;1;1
2.2. Координаты вершин правильной треугольной призмы, все
ребра которой равны 1.
А0;0;0 А1 0;0;1
В 1;0;0 , В1 1;0;1
1 3  1 3 
С  ;
;0 С1  ;
;1
2 2  2 2 
2.3. Координаты вершин правильной шестиугольной призмы,
все ребра которой равны 1.
3 3  3 3 
А0;0;0А1 0;0;1В1;0;0, В1 1;0;1С  ;
;0 С1  ;
;1
2 2  2 2 
 1 3   1 3 
D 1; 3;0 D1 1; 3;1 Е 0; 3;0 Е1 0; 3;1 F   ;
;0  F1   ;
;1
 2 2   2 2 

 

 

2.4. Координаты вершин правильной треугольной пирамиды
(тетраэдра), все ребра которой равны 1
А0;0;0 , В 1;0;0 ,
1
С  ;
2
1
D ;
2
3 
;0 
2 
3 2

;
6
6 
2.5. Координаты вершин правильной четырехугольной пирамиды ,
все ребра которой равны 1
А0;0;0 , В 1;0;0 ,
С 1;1;0 , D 0;1;0 
1 1 2 

S  ; ;

2 2 2 
2.6. Координаты вершин правильной шестиугольной пирамиды,
стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2


3 3 
А0;0;0, В1;0;0, С  ;
;0 , D 1; 3;0 ,
2 2 
 1 3 
Е 0; 3;0 , F   ;
;0 
 2 2 


3. Примеры решения задач
3.1. В единичном кубе найти угол между прямыми АВ1 и ВС1
Введем систему координат и найдем координаты
точек А, В, В1 , С1
z
вспомним?
Находим координаты направляющих векторов
прямых АВ1 и ВС1 по формуле 1.
y
вспомним?
АВ1 1;0;1, ВС1 0;1;0
х
Косинус угла  между прямыми АВ1 и ВС 1 определяется по формуле 1.1:
cos  
1 0  0 1  11
12  12  12  12
Ответ : 60
вспомним?

1
,   60
2
3.2. В правильной шестиугольной призме А...F1, все ребра
которой равны 1, найти угол между прямой AF и плоскостью ВСС1
Введем систему координат и находим координаты
нужных точек.
вспомним?
 1
 2
z
Найдем координаты вектора AF- ;
3 
;0
2 
Плоскость ВСС1 совпадает с плоскостью грани
ВВ1С1С ; зададим ее с помощью точек 
y
3 3 

В1;0;0 , В1 1;0;1, С  ;
;0 
2 2

Пусть ax+by+cz+d=0 – уравнение плоскости ВСС1
В 1;0;0   ВСС1   а  d  0
d  -a
х
c0
B 1;0;1  ВСС1   a  с  d  0
1

a
3 3 
3
3
b

С ; ;0   ВСС1   а   b 
d 0
3
2
2
2 2 
Уравнение плоскости ВСС1 примет вид aх - а у  а  0или 3х  у  3  0
3
Вектор нормали : n 3;1;0
Синус искомого угла:
sin  
3
 1
3       1 
 00
2
 2
 3
2
2
2
 1   3 
  1  0      
0

2
2

 


3
; Ответ :   60 
2
2
вспомним?
3.3. В правильной четырехугольной пирамиде , все ребра
которой равны 1, найти синус угла между прямой ВЕ и плоскостью
SAD, где Е- середина ребра SC
Координаты точки Е определим по формуле 3:
z
вспомним?
3 3 2 
 1 3 2
 и ВЕ ; ;
Е ; ;


4
4
4
4
4
4




Пусть уравнение плоскости ADS ax+by+cz+d=0
y


Из того, что А 0;0;0 , D0;1;0  S 1 ; 1 ; 2   ADS
вспомним?
2 2 2 


х
1
1
2
d 0
следует, что d=0, b+d=0 и : а   b   c 
2
2
2
Отсюда получим, что а   2с, b  0, d  0 и уравнение плоскости ADS примет вид:


 2сх  сz  0, или 2 х  z  0 . Вектор нормали n 2 ;0;1
Синус угла между прямой ВЕ плоскостью ADS определим по формуле 1.2
sin  
3
2
 1
2   -   0    1 
4
4
 4
2
2
2
 2
 1
3
 
       

 4
4
 4 
 2
2
 0 2  12

2
3
вспомним?
Ответ :
2
3
3.4. В единичном кубе А… D1 найти расстояние от точки А до
прямой ВD1
Находим координаты точек А0;0;0  В1;0;0  D1 0;1;1 , вектора ВD 1  1;1;1
Искомое расстояние есть длина перпендикуляра АК.
Если отрезок ВD разделен точкой K(x;y;z) в отношении λ ,
то координаты точки К определяются по формуле 1.5:
z
Вспомним?
y
К
х
х
1 0
0
0    1 0 0   0   
 1 0 0   0   
;у 
;z 
K
;
;
;
;
 АК 

1 
1 
1   1  1  1  
1  1  1  
т.к. АК  ВD1  AK  BD1  0

1


1
 2 1 1
2 1 1


 0    K  ; ; , AK  ; ; 
1  1  1 
2
 3 3 3
 3 3 3
AK 
4 1 1
  
9 9 9
6
6

9
3
Ответ :
6
3
Вспомним?
3.5. В правильной шестиугольной призме А...F1 , все ребра
которой равны 1, найти расстояние от точки А до плоскости BFE1
z


 1 3 
Координаты точек А 0;0;0  В1;0;0  и Е1 0; 3;1 , F - ;
;0 
 2 2 
Подставив координаты точек B, F и E в общее уравнение
1
плоскости получим систему уравнений:
3
 1
В  ВFE1   a      b 
d 0
2
2


 1 3 
3
 1
F   ; ;0   ВFE1   a      b 
d 0
2
 2
 2 2 
х
E 0; 3;1  BFE1   b  3  c  1  d  0
1
Откуда d  -a, c  -2a, b  a 3
y


Уравнение плоскости примет вид: ax  3ay  2az  a  0, или x  3 y  2 z  1  0
Вектор нормали: n 1; 3;2


Вычислим расстояние h от точки А до плоскости BFE по формуле 1.4:
h
1  0  3  0   2   0  1
12 
 3
2
  2
2
1

2
4
Ответ :
2
4

1
8
?
3.6. В единичном кубе А...D1, найти расстояние между
прямыми АВ1 и ВС1
z
При параллельном переносе на вектор ВА прямая ВС
1
отображается на прямую АD . Таким образом, плос1
кость AB D содержит прямую АВ и параллельна
1 1
1
прямой ВС . Расстояние между прямыми АВ1 и ВС1
находим как1расстояние от точки В до плоскости AB1D1
y
х
Пусть ax+by+cz+d=0 – уравнение плоскости AB D .
1 1
Так как А0;0;0   АВ1D1   d  0
B 1;0;1  AB1D1   a  c
1
D 0;1;1  A1B1D1   b  c
1
Уравнение плоскости запишется как –сx-сy+cz=0, или х+у+z=0..
Вектор нормали n1;1;1
Расстояние h от точки B1;0;0  до плоскости AB D находим по формуле 1.4
1 1
1  1  1  0   1  0
1
3
h


2
3
3
12  12   1
вспомним?
Ответ :
3
3